Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 1.2MB
Покупки 0
Дата загрузки 11 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Aniq integrallarning geometriyaga tatbiqlari

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-Matematika fakulteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar ” kafedrasi Matematik analiz fanidan KURS ISHI Mavzu: “ Aniq integrallarning geometriyaga tatbiqlari ” Bajardi: -guruhi talabasi Ilmiy rahbari: “Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi mudiri. FARG ‘ ONA–202 5 REJA: 1 KIRISH. ASOSIY QISM 1 -§ .Aniq integral haqida tushuncha ……………………………………..6 2 -§ . Aniq integral yordamida yuzalarni hisoblash……………………....11 3 -§ . Aniq integral yordamida egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash…...18 4 -§ . Aylanish jismlarining hajmlarini hisoblash………………………...22 5 -§ . Sirtlarning yuzalarini hisoblash……………………………………..25 XULOSA …………………………………………………………………32 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .................................................33 2 “Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim tarbiyasi deb javob beraman!!! Shavkat Mirziyoyev KIRISH. Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va jismoniy, ma’daniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir. Ma’naviy–ma’rifiy jihatdan inson, inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbaidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”. Odamlari, fuqarolari bilimli–zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jhatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq–huquqlarini 3 yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy–axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim- t arbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi r. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir.Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma- ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha 4 ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o‘qituvchi o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Matematik analiz kursi davomida Aniq integral haqida olgan bilim ko’nikmalarni mustahkamlash. Aniq integrallarning geometriyaga tatbiqlari haqida chuqurroq bilimlarga ega bo’lish. 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish. 2. Matematik analiz fanini chuqurroq o’rganish. 3. Elementar matematikani yaxshiroq o’rganish. 4. Aniq integrallarning geometriyaga tatbiqlarining yaxshiroq o’rganish. 5. Kurs ishini jihozlab uni himoyaga tayyor qilish. 5 1 -§ . Aniq integral haqida tushuncha funksiya kesmada aniqlangan bo‘lsin. 1-ta’rif. Ushbu tengsizlikning qanoatlantiruvchi , chekli nuqtalar to’plamiga kesmaning bo’linishi deb ataladi. nuqtani olib, quyidagi yig’indini tuzamiz: (1) (1) yig’indining funksiyaning kesmaning berilgan bo’linishi va tanlangan nuqtalariga mos integral yig’indisi yoki Riman integral yig’indisi deb ataladi. (1) integral yig’indining bo’linishdiametri nolga intilgandagi limitini qaraylik: (2) Agar kesmaning har qanday bo’linishi olinganda ham (2) limit nuqtalarning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda har doim bir xil songa intilsa, u holda funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya deyiladi, limitning qiymati esa funksiyaning kesma bo’yicha aniq integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: . a soni – integralning quyi chegarasi, b soni esa integralning yuqori chegarasi deyiladi , - integral osti funksiya , - integral ostidagi ifoda deyiladi. integralning hisoblashga funksiyaning kesmada integrallash deyiladi. 6 Agar da bo’lsa, u holda aniq integralning geometrik ma’nosi , , va chiziqlar bilan chegaralangan figura – egri chiziqli figura yuzini ifodalaydi. 2.Aniq integralning xossalari. Aniq integral quyidagi xossalarga ega: 1. 2. 3. 4. 5. bu yerda c-ixtiyoriy o’zgarmas son. 6. Agar bo’lib, uchun bo’lsa, u holda . 7. Agar bo’lib, uchun bo’lsa, u holda 8. Agar funksiya da chegaralangan bo‘lsa, ya’ni shunday m, M sonlar topilib, uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiyaning oraliq bo‘yicha aniq integrali uchun quyidagi baho o‘rinli: . 7 9. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi (o‘rta qiymat haqidagi teorema). 10. Agar funksiya uzluksiz va bo‘lsa, u holda tenglik o‘rinli, ya’ni uzluksiz funksiyadan yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integralning hosilasi mavjud va u integral ostidagi funksiyaning dagi qiymatiga teng. 3. Aniq integralni hisoblash. Agar funksiya da uzluksiz va uning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda quyidagi Nyuton-Leybnits formulasi o‘rinli: . (3) Agar funksiya kesmada uzluksiz, funksiya esa differensiallanuvchi bo‘lib, shu bilan birga bo‘lsa, u holda ushbu tenglik o‘rinli: . (4) (4) formula aniq integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi deb ataladi. Ko‘pincha almashtirish o‘rniga teskari almashtirishdan foydalaniladi. Bu holda integrallashning yangi chegaralari va bevosita va tengliklardan topiladi. Agar funksiyalar va ularning hosilalari kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda ushbu . (5) 8 tenglik o‘rinli. (5) formula aniq integral uchun bo‘laklab integrallash formulasi deb ataladi. Amaliy masalalarni yechishda quyidagi faktlardan foydalanish qulaylik yaratadi: . Agar funksiya toq funksiya bo‘lsa, u holda ushbu tenglik o‘rinli: . . Agar juft funksiya bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli. . Agar funksiya davriy funksiya bo‘lib, uning davri T ga teng bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun ushbu tenglik o‘rinli: . 1-misol. Ushbu integral integral yig‘indining limiti sifatida hisoblansin(aniq integral ta’rifi yordamida). Yechish. Bu misol uchun kesmani n ta teng bo‘laklarga bo‘lamiz va sifatida har bir bo‘linish oralig‘ining o‘ng cheti ya’ni ni tanlab olaylik. U holda ……. bo‘lib, lar uchun quyidagilarga ega bo‘lamiz: 9 ………. Oxirgi tengliklardan ko‘rsatish qiyin emaski, Topilganlarni (1) integral yig‘indiga qo‘yib, da ekanligini e’tiborga olib, quyidagiga ega bo‘lamiz: . Ma’lumki, ushbu formula o‘rinli: . U holda . 2-misol. Aniq integralni hisoblang: Yechish. Aniq integral xossalaridan va Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz: 3 -misol. Aniq integralni hisoblang: Yechish. almashtirishni bajaramiz. U holda bo‘lib, hosil bo‘ladigan integral chegaralari va bo‘ladi. U holda (4) formulaga asosan quyidagiga ega bo‘lamiz: 10 Natijada masala ko‘phadni integrallashga keltirildi: Shunday qilib, . 4-misol. Aniq integralni hisoblang: Yechish. almashtirish bajarsak, quyidagiga ega bo‘lamiz: 2 -§ . Aniq integral yordamida yuzalarni hisoblash Aytaylik, funksiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va nomanfiy bo’lsin. U holda funksiya grafigi Ox o‘qining kesmasi, va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan Φ soha yuzi(1- rasm) quyidagi formula orqali hisoblanadi: (6) 1-rasm. Odatda Φ soha egri chiziqli trapetsiya deb ataladi. 11 Agar funksiya parametrik ko‘rinishda berilgan bo‘lib, funksiya oraliqda nomanfiy qiymatlarni qabul qilsin va uzluksiz bo‘lsin. Shuningdek, bo‘lib, funksiya esa da nomanfiy qiymatlarni qabul qilsin. U holda Φ soha yuzi (7) formula bilan hisoblanadi. Aytaylik, va funksiyalar da uzluksiz bo‘lib, bo‘lsin. U holda va funksiyalar grafiklari va hamda to‘g‘ri chiziqlar mos kesmalari bilan chegaralangan Φ soha yuzi (2-rasm) quyidagi formula orqali hisoblanadi: (8) 2-rasm. Berilgan funksiyalarga nisbatan yuqoridagiga o‘xshash farazlar asosida, Φ shakl (3-rasm) yuzasi uchun quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi: (6′) 12 (7′) 3-rasm. Φ shaklining (4-rasm) yuzasi uchun esa: (8′) 4-rasm. Aytaylik, oraliqda uzluksiz va nomanfiy funksiya bo‘lsin, bunda U holda qutb koordinatalarida berilgan funksiya grafigi hamda mos ravishda va nurlarning kesmalari bilan chegaralangan Φ sektor yuzasi (5-rasm) quyidagiga teng: (9) 13 Misollar ishlanishidan namunalar 1-misol. parabola va to‘g‘ri chiziq bilan chegaralangan Φ shaklning yuzini hisoblang (6-rasm). Yechish. Berilgan egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining abssissalarini topamiz. Buning uchun tenglamani yechib, kesishish nuqtalari absissalari va ekanligini topamiz. U holda (8) formula yordamida shaklning yuzasi quyidagicha hisoblanadi: 2-misol . ellipsga nuqtada urinma o‘tkazilgan. Egri chiziqli ABC uchburchakning yuzasini toping (7- rasm ). 14 7-rasm. Yechish. Ellipsning AC yoyi va urinmaning BC kesmasi quyidagi funksiyalarning grafiklari hisoblanadi: h amda ( 8 ) formulaga ko‘ra funksiyaning integralini bevosita hisoblaymiz: Shunday qilib, natijani hosil qilamiz. 3-misol. giperbolada nuqta berilgan. OAM egri chiziqli uchburchakning yuzini toping (8-rasm). 15 8-rasm. Yechish. formulalar bo‘yicha qutb koordinatalariga o‘tamiz. U holda giperbolaning tenglamasi quyidagi ko‘rinishga keladi: OAM uchburchakning yuzasini (9) formula orqali topamiz: bu yerda Bundan, ekanligini hisobga olsak, quyidagiga ega bo‘lamiz: 4 -misol. Ushbu egri chiziq bilan chegaralangan shakl yuzini toping. 16 9-rasm. Yechish. Egri chiziq (9-rasm) va o‘qlariga nisbatan simmetrik. Berilgan shaklning birinchi chorakda joylashgan qismining, ya’ni OAB egri chiziqli uchburchagining yuzini topamiz. Egri chiziqni parametrik tarzda ifodalaymiz: bunda kesma egri chiziqning AB yoyiga mos keladi. U holda OAB uchburchakning yuzi (7) formulaga ko‘ra quyidagiga teng: (10) Bu yuzani hisoblashni quyidagicha soddalashtirish mumkin. (10) ga bo‘laklab integrallash formulasini qo‘llab va ekanilini hisobga olib, quyidagini tenglikni olamiz: (11) (10) va (11) tengliklarni qo‘shsak, quyidagiga ega bo‘lamiz: (12) Bundan esa 17 Demak, berilgan shaklning yuzi ga teng. 5-misol . egri chiziq bilan chegaralangan shaklning yuzini toping (10-rasm). 10-rasm. Yechish. Aytaylik, bo‘lganda funksiya o‘zining eng katta qiymati ga erishsin. Egri chiziqning OA quyi yoyi, funksiyasining grafigi bo‘lib, da ushbu parametrik formulalar bilan berilgan. Yuqori OA yoyi esa funksiyasining grafigi bo‘lib, u ya’ni yuqoridagi formulalar bilan parametrik tarzda berilgan, lekin bu safar shaklning va egri chiziqli uchburchakning yuzalarini (7) formula yordamida topamiz. Berilgan shaklning yuzi esa bu yuzalarning ayirmasiga teng: 18 ya’ni (13) (13) formula 4-misoldagi (10) formulaga o‘xshash, ammo bu holda qaralayotgan shakl yopiq egri chiziq bilan chegaralangan. Ko‘pincha (13) tipidagi integrallarni hisoblashlarni 4-misoldagi kabi soddalashtirish mumkin. (13) ga bo‘laklab integrallash formulasini qo‘llab va ekanligini inobatga olib, quyidagi formulaga kelamiz: (14) (13) va (14) formulalarni qo‘shib, (12) ga o‘xshash quyidagi (15) formulani hosil qilamiz. Bu holda (15) formula bo‘yicha hisoblashlar (13) yoki (14) formulalarga qaraganda ancha soddalashadi: 3-§. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash Parametrik tenglamalari bilan berilgan ushbu fazoviy egri chiziqning yoyi uzunligi quyidagi formula orqali hisoblaniladi: (16) 19 bu yerda da uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar. Parametrik ko‘rinishda berilgan tekislikdagi egri chiziq yoyining uzunligi esa quyidagiga formuladan topiladi: (17) bu yerda va oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar. Agar tekislikdagi egri chiziq tenglama bilan berilgan bo‘lib, oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, u holda bu chiziqning oraliqdagi yoyi uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi: (18) Qutb koordinatalarida tenglama bilan berilgan yassi egri chiziq yoyining uzunligi esa quyidagiga formula orqali hisoblanadi: (19) bu yerda oraliqda uzluksiz differensiallanadigan funksiya. Egri chiziq yoyining uzunligi ba’zan uning tabiiy parametri deb ataladi. Tekis egri chiziqning tenglamalar bilan berilishi, egri chiziqning tabiiy parametrlash deb yuritiladi, bu yerda – egri chiziqning biror nuqtasidan nuqtasigacha bo‘lgan yoyi uzunligi. Bunda chiziqqa yo‘nalish berilib, yoylarning shu yo‘nalishdagi nuqtalargacha bo‘lgan uzunliklari musbat, qarama- qarshi yo‘nalishdagi nuqtalargacha bo‘lgan uzunliklari esa manfiy deb qabul qilinadi. Egri chiziqning nuqtadagi egrilik radiusi va uning shu nuqtagacha bo‘lgan yoyi uzunligi s ni bog‘lovchi tenglamani egri chiziqning tabiiy (ichki) tenglamasi deb ataladi. 1-misol. aylananing yoyi va funksiyaning grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli uchburchakning perimetrini toping. 20 11- rasm . Yechish. 11- rasmda ko ‘ rsatilgan aylana va funksiya grafigining kesishish nuqtalari bo ‘ lgan A va B nuqtalarning koordinatalarini topamiz : Aylananing AB yoyi tenglamasini quyidagi oshkor ko‘rinishda ifodalaymiz va yoy uzunligi ni (18) formula yordamida hisoblaymiz: va yoylarning va uzunliklari bu yoylarning o‘qiga nisbatan simmetrik ekanligiga ko‘ra o‘zaro teng. OB yoyning uzunligini topamiz. Shartga ko‘ra u formula bilan berilgan, biroq funksiyaning hosilasi x = 0 nuqta atrofida chegaralanmagan. Shu sababli, y ni erkli o‘zgaruvchi sifatida qabul qilib, OB yoyni tenglama bilan ifodalaylik. Bu holda bo‘ladi va (18) ga o‘xshash formuladan quyidagini olamiz: Ushbu almashtirishni bajarib, quyidagini natijaga ega bo‘lamiz: 21 Shunday qilib, misolda berilgan uchburchakning perimetri ga teng. 2-misol. Markazi koordinatalar boshida joylashgan ushbu astroida yoyini teng uzunlikdagi uchta qismga bo‘luvchi aylananing radiusini toping. 12-rasm . Yechish . Astroidaning yoyini ko‘rinishida parametrlaymiz va (17) formula bo‘yicha ga mos keluvchi) nuqtadan ga mos keluvchi nuqtagacha bo‘lgan yoy uzunligini hisoblaymiz (12-rasm): yoyning to‘liq uzunligi ga teng. AC yoyning uzunligi ga teng bo‘lishi shartidan ekanligini olamiz, bundan Astroidaning to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrikligiga ko‘ra markazi O va radiusi bo‘lgan aylana AB yoyni uzunligi bo‘yicha teng uchta yoyga bo‘ladi. 3 -misol . 22 fazoviy egri chiziq yoyining uzunligini toping Yechish . Parametr sifatida ni qabul qilamiz. U holda bo‘ladi va (16) formuladan quyidagini topamiz. 4-misol. ellips yoyi uzunligini elliptik funksiya orqali ifodalang. Yechish . Birinchi chorakda joylashgan ellips yoyini quyidagicha parametrlaymiz : Bu yoyning uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi: Ellipsning to‘liq uzunligi esa ga teng bo‘lib, u ni tashkil etadi. 4-§. Aylanish jismlarining hajmlarini hisoblash Aytaylik, funksiya kesmada uzluksiz va nomanfiy bo‘lsin. U holda funksiya grafigi, va to‘g‘ri chiziqlarning kesmalari hamda o‘qining kesmasi bilan chegaralangan shaklni (13- rasm) o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi V quyidagiga teng: 23 (20) 13-rasm. Agar funksiya parametrik ko‘rinishda tenglamalar bilan berilgan bo‘lib, funksiya oraliqda musbat uzluksiz hosilaga ega va bo‘lsin. Shuningdek, funksiya oraliqda uzluksiz va musbat bo‘lsa, u holda shaklning (13-rasm) o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi V quyidagiga teng bo‘ladi: (21) Agar funksiya kamayuvchi va bo‘lsa, u holda yuqoridagi shartlar o‘zgarmagan holda shaklning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi quyidagiga (21′) teng bo‘ladi. Aytaylik, va funksiyalari kesmada uzluksiz va bo‘lsin. , funksiyalarning grafiklari 24 14-rasm. 15-rasm. 16-rasm. va hamda to‘g‘ri chiziqlarning kesmalari bilan chegaralangan Φ shaklning (14-rasm) Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi (22) 15-rasm va 16-rasmda ko‘rsatilgan Φ shaklning Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismlar uchun, berilgan funksiyalarga nisbatan o‘xshash farazlar asosida, hajmlarni hisoblash uchun mos ravishda quyidagi formulalar qo‘llaniladi: (23) (24) (25) Jism fazosida tekisliklar orasida joylashgan bo‘lsin. Jismning o‘qiga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan har bir kesimi yuzaga ega bo‘lsin, bu yerda oraliqda integrallanuvchi funksiya. Agar bu jism hajmga ega bo‘lsa, uning hajmi quyidagi teng bo‘ladi: (26) Agar o‘qi o‘rniga yoki o‘qi olinsa ham, shunga o‘xshash formulalar o‘rinli bo‘ladi. 25 1 -misol. parabola yoyi, Ox o‘qining kesmasi va to‘g‘ri chiziq kesmasi bilan chegaralangan shaklni qaraylik. Bu shaklning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmini toping. Yechish. parabola bilan to‘g‘ri chiziq kesishish nuqtasi C ning abssissasi ni topamiz (17-rasm): bundan kelib chiqadi. Izlanayotgan hajm ABCD egri chiziqli trapetsiya va OCD uchburchakning aylanishidan hosil bo‘lgan va jismlarning hajmlari ayirmasiga teng. (6) formuladan quyidagilarni topamiz: Demak, berilgan aylanish jismining hajmi quyidagiga teng: 17-rasm. 18-rasm. 2-misol. aylanani o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmini toping (18-rasm). Yechish. AOC va ABC yoylar quyidagi funksiyalarning grafiklaridir: Aylanma jismning hajmini (11) formuladan topamiz: 26 5-§. Sirtlarning yuzalarini hisoblash Aytaylik, kesmada uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo‘lsin. Bu funksiya grafigini o‘q atrofida aylantirish natijasida hosil bo‘lgan sirtning yuzi S quyidagiga formula orqali topiladi: (27) Aytaylik, yarim tekislikda egri chiziq ushbu parametrik tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. Bu yerda va oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar. Berilgan egri chiziqning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirtning yuzasi S quyidagi formula bo‘yicha topiladi: (28) Agar egri chiziq yarim tekislikda joylashgan bo‘lsa, u holda quyidagi formuladan foydalaniladi: (29) Yuqoridagiga o‘xshash shartlarda egri chiziqning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirtning yuzi mos ravishda quyidagi formulalar orqali hisoblaniladi: (27′) (28′) 27 (29′) Uzunligi bo‘lgan to‘g‘rilanuvchi egri chiziq l to‘g‘ri chiziqning bir tomonida joylashgan bo‘lsin. - uzunligi s bo ‘ lgan egri chiziq yoyining oxiridan to ‘ g ‘ ri chiziqqacha bo ‘ lgan masofa va oraliqda uzluksiz funksiya bo ‘ lsin . U holda bu egri chiziqning to‘g‘ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirtning S yuzasi quyidagiga teng: (30) egri chiziqning qutb o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirtning yuzasi esa quyidagiga teng bo‘ladi: bu yerda oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi funksiya. Xuddi shu shart bajarilganda, egri chiziqning nur atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzi quyidagiga teng bo‘ladi: bu yerda Silindrik sirtning yasovchilari Oz o‘qiga parallel bo‘lsin, uning tekislikdagi yo‘naltiruvchisi esa maxsus nuqtalarga ega bo‘lmagan va quyidagi parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziq bo‘lsin: (31) 28 bu yerda x(t) va y(t) - [ α ; β ] oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar. Bu sirtda L egri chiziq (31) va tenglama bilan parametrik tarzda berilgan bo‘lsin. Bu yerda – manfiy bo‘lmagan va oraliqda uzluksiz funksiya. Silindrik sirtning va egri chiziqlar hamda va ga mos keluvchi yasovchilar orasidagi qismining S yuzasi quyidagiga teng bo‘ladi: (32) Agar parametr sifatida egri chiziq yoyining s uzunligi olinsa, u holda (33) agar parametr bo‘lib, shartni qanoatlantirsa, u holda (34) Silindrik sirtda ikkita va egri chiziqlar mos ravishda (31) hamda va tenglamalar bilan parametrik ko‘rinishda berilgan bo‘lsin, bu yerda va oraliqda uzluksiz va shartni qanoatlantiradi. Silindrik sirtning va egri chiziqlar hamda va yasovchilar orasidagi qismining yuzi quyidagiga teng: (35) 29 1-misol. parabola yoyining (19-rasm): 1) o‘q atrofida; 2) o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzini toping. Yechish. 19-rasm. 1) (27) formuladan quyidagini topamiz: almashtirish bajaramiz. Agar bo‘lsa, va agar bo‘lsa, bo‘lishini hisobga olsak, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz: (36) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi ni topish uchun, masalan, almashtirishdan foydalanishimiz mumkin. Buning natijasida quyidagini hosil qilamiz: 30 (36) dan quyidagiga ega bo‘lamiz: Boshlang‘ich funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz: U ho lda natijaga ega bo‘lamiz. 2) Egri chiziqni parametrik ravishda tenglamalar bilan berilgan deb hisoblab, (28′ ) formuladan quyidagini topamiz: 2-misol. to‘g‘ri chiziq sikloida yoyini A va B nuqtalarda kesib o‘tadi. Sikloidaning AB yoyi to‘g‘ri chiziq atrofida aylantirilganda hosil bo‘lgan sirt yuzasini toping (20-rasm). 31 20-rasm. Yechish. A va B nuqtalar parametrning va qiymatlariga, AB yoyi esa oraliqqa mos keladi. Aylanish sirtining yuzini quyidagi (28) ga o‘xshash formula yordamida topamiz: (37) Bu yerda (28) dagi egri chiziq nuqtasidan Ox o‘qigacha (aylanish o‘qi) bo‘lgan masofa o‘rniga, egri chiziq nuqtasidan y = a to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa keltirilgan. Bu holda to‘g‘ri chiziq aylanish o‘qi vazifasini bajaradi (20-rasm). (37) formuladan quyidagi tenglikni hosil qilamiz. almashtirish bajargandan keyin quyidagini topamiz: 32 XULOSA Matematik analizning asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lgan aniq integral tushunchasi nazariy va amaliy jihatdan nihoyatda muhim hisoblanadi. Ushbu mavzuni o‘rganish orqali biz matematik vositalarni real hayotdagi geometrik va fizik muammolarni hal etishda qanday qo‘llash mumkinligini chuqur anglab yetamiz.Birinchidan, aniq integralning asosiy tushunchalarini o‘zlashtirish, uni funksiya grafigi ostidagi sath yuzasini aniqlashda ishlatish imkonini beradi. Bu orqali har xil shakldagi tekislik figuralarining maydonlarini hisoblash mumkin.Ikkinchidan, aniq integral yordamida egri chiziqli yoy uzunligini 33 hisoblash usullari o‘rganildi. Bu esa geometriyadagi ko‘plab amaliy masalalarda, xususan, arxitekturaviy tuzilmalar va mexanik tizimlar qurilishida qo‘l keladi.Uchinchidan, yuzalarni koordinata o‘qlari atrofida aylantirish orqali hosil bo‘lgan aylanish jismlarining hajmini aniq integral yordamida hisoblash metodlari o‘rganildi. Bu usullar ko‘plab muhandislik va texnik loyihalarda qo‘llaniladi.To‘rtinchidan, aylanish jismlarining sirt yuzalarini topish formulasini o‘zlashtirish orqali yanada murakkab shakllarning tashqi o‘lchamlarini aniqlashga erishildi. Xulosa qilib aytganda, aniq integrallarni geometriyada qo‘llash nafaqat nazariy bilimlarni boyitadi, balki fan va texnikaning turli sohalarida real masalalarni hal qilishga asos bo‘ladi. Bu mavzu matematik analiz fanining amaliy ahamiyatini ko‘rsatib beradi va kasbiy sohalarda zarur ko‘nikmalarni shakllantirishda muhim rol o‘ynaydi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora- tadbirlari to’g’risida”gi PQ-4708-sonli Qarori. 2.Alimov Sh.O. Ashurov R.R. Matematik analiz 1,2,3 q.T. “ Mumtoz so’z” 2018. 3. G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil 34 4. B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil. 5. Sadullayev A., Mansurov X.T., Xudoyberganov G., Vorisov A.K., G’ulomov R. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami,1,2,3 q. T.”O’qituvchi”, 1995,1995,2000. 6. Shokirova X.R Karrali va egri chiziqli integrallar. T.”O’zbekiston”,1990. 7. Canuto C., Tabacco A. Mathematical Analysis, II. Springer-Verlag, Italia, Milan, 2008. 8. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz,1,2 q.T.”O’qituvchi”,1994,1995. Internet saytlari. 1. http://www.ziyonet.uz/ 2. http://www.allniath.ru/ 3. http://www.mcce.ru/ 4. http://www.mexmat.ru/ 5. http://www.webmath.ru/ 6. http://www.exponenta.ru/ 7. www.lib-homelinex.org/math 8. www.eknigu.com/lib/Mathematics/ 35

Aniq integrallarning geometriyaga tatbiqlari

Купить