Aniq integralni hisoblash. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash 26 - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	942.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Aniq integralni hisoblash. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash 26

Купить

Mavzu: Aniq integralni hisoblash. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

2MUNDARIJA:
KIRISH ................................................................................................................................... 3
I.BOB.ANIQ INTEGRAL HAQIDA TUSHUNCHA
1.1-§ Boshlang‘ich funksiya .......................................................................... 6
1.2-§ Aniq integral ........................................................................................ 7
1.3-§ Aniq integral xossalari ....................................................................... 10
II.BOB.ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH ………15
2.1-§ Aniq integrallarni taqribiy hisoblash metodikasi ............................... 15
2.2-§ To‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli .............................................................. 19
2.3-§ Trapetsiyalar usuli ............................................................................. .21
2.4-§ Simpson formulasi(parabolalar usuli) ................................................ 22
2.5-§ To‘g‘ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson formulasi qoldiq
hadlari .......................................................................................................... 23
XULOSA .................................................................................................... 30
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .................................................. 32

3 KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi ?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim
tarbiyasi deb javob beraman.!
Shavkat Mirziyoyev
Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy-siyosiy va huquqiy jihatdan
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy-ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak,
vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va
millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbaidir. Mamlakatimiz
Prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi
millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab
chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va
ma’naviyati bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli-zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy-siyosiy
jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har
qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni
yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda,
bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlarimizga
erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va
istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri
bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori
malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas
bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz.
Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z
bilan aytganda, o‘zligini anglash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil
davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi
mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq-huquqlarini

4yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy-axloqiy yetuk
barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va
tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq
ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday
noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirgan davlatning istiqboli porloq
bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-
mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir.
Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha maroon
imkoniyatlarni safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan
biridir.
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga
yo‘naltirilganlik, mantiqiy fikrlash, algoritmlash va topqirlik xislatlarini
shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal
tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Oliy ta’lim muassasalarida Matematik analiz fanini o‘qitish jarayonida
ilg‘or pedagogik texnologiyalardan hamda zamonaviy kompyuter dasturlaridan
foydalanish – o‘qitish samaradorligini oshirishning omillaridan biri sifatida
yaqqol ko‘zga ko‘rinmoqda. Chunki o‘qitishning ilg‘or, nostandart (interfaol)
shakllari, ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga, o‘quvchilarning bilish
faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o‘quv mashg‘ulotlarini takomillashtirish
yo‘llaridan biridir.
Ushbu "Aniq integralni taqribiy hisoblash" mavzusidan talabalar elementar
funksiyalarda integrallanmaydigan murakkab funksiyalarni sonli usullar
yordamida integrallash, integral ostidagi yuzalarni taqribiy hisoblash, xatoliklarni
baholash hamda zamonaviy Maple kompyuter matematik paketida amaliy
masalalar yechish haqida tizimli ma’lumotga ega bo‘lishadi.

5Ushbu kurs ishining dolzarbligi shundaki, amaliyotda Nyuton-Leybnits formulasi
bilan hisoblash imkonsiz bo‘lgan aniq integrallarni berilgan aniqlikda hisoblash
algoritmlari, ya’ni to‘g‘ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson (parabolalar)
usullari Matematik analiz fani nuqtai nazaridan chuqur o‘rganilgan va tushunarli
qilib ishlangan. Kurs ishida har bir usulning xatolik chegaralari, o‘zaro solishtirma
tahlili va amaliy masalalar yechimi keng ma’noda yoritilgan.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Matematik analiz kursi davomida
aniq integral va uni taqribiy hisoblash usullari haqida olingan bilim va
ko‘nikmalarni mustahkamlash. Aniq integrallarni sonli usullar bilan yechishda
chuqurroq amaliy bilimlarga ega bo‘lish. Integral ostidagi egri chiziqli trapetsiyalar
yuzasini to‘g‘ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va parabolalar yordamida
yaqinlashtirish prinsiplari hamda Maple dasturiy muhitida taqribiy integrallash
masalalari haqida to‘liq ma’lumot berish.
Mavzuga doir ilmiy va uslubiy ma’lumotlarni yig‘ish va rejani
shakllantirish, Matematik analiz fanini chuqurroq o‘rganish, uning hisoblash
usullarini yaxshiroq o‘zlashtirish, taqribiy hisoblashga doir amaliy masalalar
yechishni mukammal o‘rganish, kurs ishini talab darajasida texnik jihatdan
jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.

6I BOB. Aniq integral haqida tushuncha
1.1-§. Boshlang‘ich funksiya
Differensial hisobning asosiy vazifasi berilgan F(х) funksiyaga ko‘ra uning
hosilasi ni yoki differensialini topishdan iborat edi.
Integral hisobning asosiy vazifasi buning teskarisi bo‘lib, funksiyani
uning ma’lum hosilasiga yoki differensialiga ko‘ra topishdan
iborat. Demak, funksiya bеrilgan, shunday funksiyani tоpish
kеrakki, uning hоsilasi ga tеng bo‘lsin, ya’ni
(1.1.1)
bo‘lsin.
1.1.1-ta ’ rif. Agar kеsmada aniqlangan funksiya uchun bu
kеsmaning barcha nuqtalarida tеnglik bajarilsa, funksiya shu
kеsmada funksiyaga nisbatan bоshlang‘ich funksiya dеb ataladi.
Masalan: Bоshlang‘ich funksiya ta’rifiga asоsan, funksiya
funksiyasi uchun bоshlang‘ich ekani kеlib chiqadi, chunki .
Agar funksiya uchun bоshlang‘ich funksiya mavjud bo‘lsa, u
bоshlang‘ich yagоna bo‘lmasligini ko‘rish оsоn. .
Umuman .
Misol. Ushbu
funksiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasini toping.

7Yechish. Bu funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
Bo‘ladi, chunki
Agar va funksiyalar funksiyadan kеsmada
bоshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, ular оrasida ayirma o‘zgarmas sоnga tеng bo‘ladi.
Agar bеrilgan funksiya uchun qanday bo‘lmasin birgina bоshlang‘ich
funksiya tоpilgan bo‘lsa, funksiya uchun har qanday bоshlang‘ich funksiya
k o‘rinishga ega bo‘ladi.
1.2-§. Aniq integralf(x)
funksiya [a,b] kesmada aniqlangan bo‘lsin. [a,b] kesma ning
a= x0< x1< x2<...< xn−1< xn= b
shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi
{xk}k=1
n
nuqtalar sistemasiga
[a,b] kesman ing bo‘linishi deyiladi va u
kabi belgilanadi.
xk(k= 1,n) nuqta P bo‘linishning bo‘luvchi nuqtasi [xk,xk+1]
kesma esa, qism oralig‘i deyiladi. Agar
[a,b] kesmaning ixtiyoriy P
bo‘linishidagi qism oralig‘ining uzunliklari bir xil bo‘lsa, u holda, bunday
bo‘linish,
[a,b] kesmaning regulyar bo‘linishi deyiladi.
d= d(P )= max
0≤k≤n−1
Δx k (Δx k= xk+1− xk)
, P bo‘linishning diametri, deb ataladi.
Har bir
[xk,xk+1] kesma dan (k=0,n−1) ∀ ξk nuqtani olamiz: xk≤ ξk≤ xk+1 .
1.2.1–ta’rif . Ushbu

σP(f)= σP(f,{ξk})= ∑
k=0
n−1
f(ξk)Δx k (1.2.1)
yig‘indiga,
f(x) funksiyaning, P bo‘linishga va ξk nuqtani tanlashga mos kelgan,

8integral yig‘indisi (Riman yig‘indisi) deb ataladi.
1.2.2–ta’rif . Agar ∀ ε>0 olinganda ham, shunday σ= σ (ε)>0 mavjud
bo‘lib, diametri
d(P)<σ bo‘lgan [a,b] kesma ning har qanday P bo‘linishida,
hamda
∀ ξk (xk≤ ξk≤ xk+1) nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘lmagan holda,

|J− ∑
k=0
n−1
σP(f,{ξk})|<ε (1.2.2)
tengsizlik bajarilsa, u holda, shu
J son, integral yig‘indining limiti deyiladi va u
J= lim
d(P)→0
σP(f)
kabi yoziladi.
1.2.3–ta’rif . Agar
f(x) funksiya uchun, (1.2.1) integral yig‘indining
d(P )→ 0
da J limiti mavjud bo‘lsa, u holda, f(x) funksiya [a,b] kesmada Riman
ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Integral yig‘indining
J limitiga f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha
olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u
∫
a
b
f(x)dx = J
(1.2.3)
simvol orqali belgilanadi (1.2.3) da,
f - integral ostidagi funksiya, a son-
integralning quyi chegarasi,
b son esa,- integralning yu qori chegarasi, deb ataladi.
Integral ostidagi
x o‘zgaruvchini boshqa o‘zgaruvchiga almashtirish ham
mumkin, ya’ni
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
b
f(t)dt =∫
a
b
f(z)dz
va h.k..
Ta’rif bo‘yicha,
∫
a
a
f(x)dx = 0, ∫
a
b
f(x)dx = −∫
b
а
f(x)dx
(
a<b deb olamiz).
1. 2. 1 - misol .
f(x)= x funksiya ixtiyoriy [a,b] kesmada Riman ma’nosida

9integrallanuvchi ekanligini ko‘rsating.
Yechilishi. [a,b] kesmaning ∀ P= {xk}k=1
n bo‘linishini olamiz. Natijada
[a,b]
kesma [x0,x1],[x1,x2],...,[xn−1,xn] bo‘laklarga bo‘linadi va
ξi=
xi+xi−1
2 (ξk∈ [xi−1,xi]),i= 1,n
deb belgilaymiz. P bo‘linishga mos kelgan
integral yig‘indini tuzamiz:
σP(f)= σP(f,{ξi})= ∑i=1
n
f(ξi)Δx i= ∑i=1
n xi+xi−1
2 (xi− xi−1)= ∑i=1
n xi2− x
2i−1
2 =
= 1
2
[(x1
2− x0
2)+(x2
2− x1
2)+...+(xn
2− xn−1
2 )]= 1
2 (xn
2− x0
2)= 1
2
(b2− a2)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bundan (1.2.4)
Demak,
f(x)= x funksiya ixtiyoriy [a,b] kesmada Riman ma’nosida
integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi
funksiya chegaralangan bo‘lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har
qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo‘lavermaydi.
1.2.2–misol . Ushbu

Dirixle funksiyasi
[a,b]⊂ R (a<b) kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi
emasligini ko‘rsating.
Yechilishi.
[a,b] kesmaning ∀P bo‘linishini olib, quyidagi
σP(D ;{ξk})= ∑
k=1
n
D (ξk)⋅Δx k,
σP(D ;{ηk})= ∑
k=1
n
D (ηk)Δx k
yig‘indilarni tuzamiz.
ξk∈[xk−1,xk] nuqta sifatida [xk−1,xk] kesmadagi ixtiyoriy

10ratsional nuqtani, ηk sifatida esa (ηk∈[xk−1,xk]) , shu kesmadagi ixtiyoriy
irratsional nuqtani olamiz. U holda,
D (ξk)= 1,D (ηk)= 0 bo‘ladi. Shuning uchun,
σР(D ;{ξk})= ∑
k=1
n
Δx k= b− a, σР(D ;{ηk})= 0
(1.2.4)
Demak,
b− a≠ 0 uchun Dirixle funksiyasining integral yig‘indisi, (1.2.2) –
ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi
[a,b]
kesmada integrallanuvchi emas.
1.2. 3 –misol . Ushbu
funksiya ning
[a,b]⊂ R (a<b) kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi
emas ligini ko‘rsating .
Yechilishi.
P J= [a,b] kesmaning ixtiyoriy bo‘linishi bo‘lsin. Unda
J=[a,b]
kesma J1,J2,...,Jn kesmalarga bo‘linadi. ξk∈[xk−1,xk]= Jk nuqta
sifatida,
[xk−1,xk] kesmadagi ixtiyoriy ratsional nuqtani, ηk(ηk∈[xk−1,xk])
sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irratsional nuqtani olamiz. U holda,
σP(f;{ξk})= ∑
k=1
n
f(ξk)⋅Δx k= ∑
k=1
n
ξk⋅Δx k,
σP(f;{ηk})= ∑
k=1
n
f(ηk)Δx k= ∑
k=1
n
(− ηk)⋅Δx k
y ig‘indilarni tuzamiz. Bunda
σP(f;{ξk}) yig‘indi f1(x)= x funksiya uchun
integral yig‘indi bo‘ladi va u ( 1.2.1 ) -misolga asosan,

lim
d(P)→0
σP(f;{ξk})= b2− a2
2
= ∫
a
b
xdx . (1.2.5)
b o‘ladi.
σP(f;{ηk}) yig‘indi esa, f2(x)=− x funksiya uchun integral yig‘indi
bo‘lib,

11 lim
d(P)→0
σP(f;{ηk})=− b2− a2
2
= −∫
a
b
xdx . (1.2.6)
bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig‘indi yagona limitga ega emas.
Demak, berilgan funk s iya
[a,b] kesma da Riman ma’nosida
integrallanuvchi e mas.
1.3-§. Aniq integralning xossalari
1) Tengliklar bilan ifoda qilinadigan xossalar.
1.3.1-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
ixtiyoriy [ a , b ] Ì
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.
1.3.2-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi va
a<c<b
bo‘lsa, u holda

∫
a
b
f(x)dx =∫
a
c
f(x)dx +∫
c
b
f(x)dx (1.3.1)
tenglik o‘rinli.
1.3.1-eslatma . Agar
a<c<b bo‘lib, f(x) funksiya [a,c],[c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, u
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va (1.3.1)
tenglik o‘rinli.
1.3.2-eslatma. Agar
a=b bo‘lib, f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan
bo‘lsa, u holda
∫
a
a
f(x)dx =0 ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.
Agar
a<b bo‘lib , f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
∫
a
b
f(x)dx =−∫
b
a
f(x)dx , a<b
(1.3.2)
deb qabul qilamiz.
1.3.3-xossa . Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u

12holda k f(x)(k= const ) funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va

∫
a
b
kf (x)dx = k∫
a
b
f(x)dx (1.3.3)
tenglik o‘rinli.
1.3.4-xossa. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham
[a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘ladi va ushbu
∫
a
b
[f(x)± g(x)]dx =∫
a
b
f(x)dx ±∫
a
b
g(x)dx
(1.3.4)
tenglik o‘rinli.
1.3. 5-xossa . Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda
f(x)g(x) funksiya ham [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
1.3.3-eslatma. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa,
u holda
∀ n∈N uchun |f(x)|n funksiya ham shu [a,b] oraliqda integrallanuvchi
bo‘ladi.
2) Tengsizliklar orqali ifoda la nadigan xossalar.
6-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lib, u shu
oraliqda manfiy bo‘lmasa, (
∀ x∈[a,b] uchun f(x)≥ 0 ), u holda
∫
a
b
f(x)dx ≥ 0 (a<b)
(1.3.5)
bo‘ladi.
1.3 . 1 -natija . Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘lib,
∀ x∈[a,b] uchun f(x) ≤ g(x) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u
holda ushbu

13∫
a
b
f(x)dx ≤∫
a
b
g(x)dx (1.3.6)
tengsizlik ham o‘rinli .
1.3. 2 -natija (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ) . Agar
f(x) va g(x)
funksiyalar
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda f(x) - a g(x) ( a -
ixtiyoriy o‘zgarmas) funksiya ham
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va
∫
a
b
[f(x)− αg (x)]2dx ≥ 0
tengsizlik o‘rinli.
Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifoda
α ga nisbatan kvadrat uchhad
bo‘lib, u
α ning barcha haqiqiy qiymatlarida manfiy emas. Demak, kvadrat uch-
hadning diskriminanti musbat emas, ya’ni

[∫
a
b
f(x)g(x)dx ]2−∫
a
b
f2(x)dx ⋅∫
a
b
g2(x)dx ≤ 0,
|∫
a
b
f(x)⋅g(x)dx |≤ √∫
a
b
f2(x)dx ⋅√∫
a
b
g2(x)dx (1.3.7)
Bu tengsizlik, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
1.3.7-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa , u
holda |
 x f | funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
1.3.4-eslatma. |
 x f | funksiyaning [a,b] kesmada integrallanuvchiligidan ,
f(x)
funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo‘lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi.
3) O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.
f(x)
funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. U
holda
m= inf {f(x)} , M = sup {f(x)} mavjud va m≤ f(x)≤ M , ∀ x∈[a;b]
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

141.3.1-teorema . Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib, ushbu

∫
a
b
f(x)dx = μ(b− a)
tenglik orinli bo‘ladi .
N atija. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday
c (c∈[a,b])
nuqta topiladiki,

∫
a
b
f(x)dx = f(c)(b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1.3.2 -teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘lib,
g(x) funksiya shu oraliqda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u
holda shunday o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib,
∫
a
b
f(x)g(x)dx = μ∫
a
b
g(x)dx
(1.3.8)
tenglik o‘rinli.
Natija . Agar
f(x) [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda [a,b] kesmada
shunday
c (c∈[a,b]) nuqta topiladiki,

∫
a
b
f(x)g(x)dx = f(c)∫
a
b
g(x)dx (1.3.9)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Chegaralari o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integrallar .
f(x) funksiya [a,b]
kesma da aniqlangan va u shu kesma da integrallanuvchi bo‘lsin. U holda aniq
integralning 1-xossasiga asosan ,
f(x) funksiya istalgan [a,x] Ì [a,b] kesmada
ham integrallanuvchi bo‘ladi, ya’ni

15F(x)=∫
a
x
f(t)dtintegral mavjud bo‘ladi.
1.3.3-teorema. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa,
F(x)
funksiya shu oraliqda uzluksiz bo‘ladi.
1.3.4-teorema. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lib,
x0
Î [a,b] nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda F(x) funksiya x0 nuqtada
differensiallanuvchi bo‘ladi va
F ¿(x0)= f(x0)
tenglik o‘rinli.
1.3.5 -eslatma. Agar
a= x0 bo‘lsa, u xolda F ¿(a+0)= f(a) , agar b= x0
bo‘lsa,
F ¿(b− 0)= f(b) deb qarash lozim .
Natija. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u xolda " x Î
[a,b]
lar uchun F¿(x)= f(x) , ya’ni
F (x)=∫
0
x
f(t)dt +C funksiya ,
f(x) uchun
boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
II BOB. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH
2.1-§Aniq integrallarni taqribiy hisoblash masalasi
Amaliy va nazariy masalalarning ko pchiligi biror
ʻ oraliqda uzluksiz
bo‘lgan funksiyadan olingan aniq integralni hisoblashga
keltiriladi. Ammo integral hisobining asosiy formulasi

16 ,
bu yerda funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi amaliyotda
ko‘pincha ishlatilmaydi. Chunki ko‘p hollarda ni elementar
funksiyalarning chekli kombinatsiyasi orqali ifodalab bo‘lmaydi. Bundan tashqari
amaliyotda jadval ko‘rinishida berilgan bo‘lishi ham mumkin, bunday
holda boshlang‘ich funksiya tushunchasining o‘zi ma’noga ega bo‘lmay qoladi.
Shuning uchun ham aniq integrallarni taqribiy hisoblash metodlari kata
ahamiyatga ega.
Biz bu bobda funksiyalarning etarlicha keng sinfi uchun
aniq integralning taqribiy qiymatini integral ostidagi funksiyaning
oraliqning chekli sonda olingan nuqtalaridagi qiymatlarining chiziqli
kombinatsiyasiga keltiradigan metodlarni ko‘rib chiqamiz:
, (2.1.1)
bu yerda kvadratura formulasining tugunlari,
kvadratura formulasining koeffitsiyentlari va kvadratura yig‘indisi
deyiladi. Agar integrallash chegaralari va kvadratura formulasining tugunlari
bo lsa, u holda kvadratura formula „yopiq tipdagi“, aks holda esa „ochiq tipdagi“ʻ
deyiladi. Kvadratura formulasining tugunlari va koeffitsiyentlari
funksiyaning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasligi talab qilinadi.
Ushbu
. (2.1.2)
ifoda esa (2.1.2) kvadratura formulasining qoldiq hadi yoki xatosi deyiladi.

17Odatda (2.1.2) formulaga nisbatan umumiyroq kvadratura formula qaraladi.
Faraz qilaylik, chekli yoki cheksiz oraliqda aniqlangan
funksiyalarning biror sinfi bo‘lib, oraliqda vazn funksiyasi bo‘lsin.
Endi quyidagi
(2.1.3)
kvadratura formula va uning qoldiq hadi
(2.1.4)
ni qaraymiz.
Quyida oraliqni chekli deb faraz qilib, biz kvadratura formula tuzishning
ayrim yo‘nalishlarini qisqacha ko‘rib chiqamiz.
1. Ko‘pincha kvadratura formula tuzish uchun funksiya oraliqda
ta nuqtalar yordamida interpolyatsiyalanadi:
(2.1.5)
Endi buni ga ko‘paytirib integrallasak ,
(2.1.6)
kelib chiqadi, bu yerda
(2.1.7)
Shu usulda tuzilgan kvadratura formulalar interpolyatsion formulalar
deyiladi.
2. Analizdan va 6-bobdan ma’lumki, chekli oraliqda uzluksiz funksiyalarni

18algebraik ko‘phadlar bilan etarlicha yuqori aniqlikda yaqinlashtirish mumkin
(Veyershtrass teoremasi). Shu bilan birga, ko‘phad darajasi qancha yuqori bo‘lsa
aniqlik ham shuncha yuqori bo‘ladi. Shuning uchun ham (2.1.7) formulada
parametrlarni shunday tanlashga harakat qilinadiki, bu tenglik etarlicha
yuqori darajali algebraik ko‘phadlar uchun aniq bo‘lsin. Shu usul bilan tuzilgan
(2.1.7) formula oraliqda uzluksiz bo‘lgan ko‘p funksiyalarni integrallashda
aniqlik jihatidan yaxshi natija beradi. Odatda, (2.1.7) formula barcha m -darajali
ko phadlar uchun aniq bo‘lib
ʻ uchun aniq bo‘lmasa, u holda uning
algebraik aniqlik darajasi ga teng deyiladi.
Faraz qilaylik, funksiya davriy funksiya bo‘lib, uning davri, ga teng
bo lsin va
ʻ integralni hisoblash talab qilinsin. U holda (2.1.7)
formulada parametrlarni shunday tanlashga harakat qilinadiki, u imkon
boricha yuqori tartibli trigonometrik ko‘phadlarni aniq integrallasin.
Aniqlik darajasi (tartibi) eng yuqori bo‘lgan kvadratura formulalar katta
ahamiyatga ega. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratura formulalar
deyiladi.
3. Kvadratura formulalar tuzishda elliginchi yillarning oxirlaridan boshlab
yangi bir yo‘nalish rivojlana boshladi. Uning mohiyati quyidagidan iborat. Bizga
funksiyalarning biror sinfi berilgan bo lsin. Butun
ʻ sinf uchun
aniqlikni tavsiflaydigan miqdor sifatida quyidagi aniq yuqori chegara
(2.1.8)
olinadi. Bu yerda tugunlarni va koeffitsiyentlarni shunday tanlash
talab qilinadiki o zining eng kichik qiymatiga erishsin. Bunday formulalar,
ʻ
tabiiy ravishda, funksiyalarning sinfida eng kichik xatoga ega bo lgan
ʻ
formulalar deyiladi. Masalani boshqacha tarzda ham qo‘yish mumkin; ya'ni

19 larga nisbatan ayrim shartlar bilan, masalan, koeffitsiyentlarning
o‘zaro teng bo‘lishligi yoki tugunlarning bir xil uzoqlikda
joylashgan bo‘lishligi kabi va h.k. Koeffitsiyentlari yoki tugunlari mana shu
shartlarni qanoatlantirgan holda (2.1.3) formulani shunday tuzish talab qilinadiki,
qoldiq funksiyalar sinfida eng kichik bo‘lsin.
Paragrafni yakunlashdan oldin umumiy bir mulohazani aytib o‘tamiz.
Integrallarni (2.3) formula yordamida hisoblashda, kvadratura yig‘indi umuman
taqribiy ravishda hisoblanadi. Odatda o‘rnida biror ga ega
bo‘lamiz, demak
,
bu yerda yaxlitlash xatosi. Faraz qilaylik, barcha uchun
bo‘lsin. Agar ko‘paytmalarning yig‘indisi aniq hisoblansa, u holda
kvadratura yig‘indini hisoblashda yaxlitlash xatosi dan ortmaydi, xususan
teng bo‘lishi ham mumkin. Bundan ko‘rinib turibdiki, qancha katta bo‘lsa,
kvadratura yig‘indini hisoblashda hosil bo‘lgan yaxlitlash xatosi
shuncha katta bo‘ladi.
Faraz qilaylik, (2.1.3) formula ni aniq integrallasin, ya’ni
. (2.1.9)
Bundan, ravshanki eng kichik qiymatni qabul qilishi uchun barcha
lar uchun bo lishi kerak. Bu esa musbat koeffitsiyentli kvadraturaʻ
formulalar katta ahamiyatga ega ekanligini ko‘rsatadi.

20Eng sodda kvadratura formulalari: to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson
formulalari hisoblanadi.
2.2-§. To‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli
Mazkur bo‘limda biz eng sodda va fundamental taqribiy integrallash
usullaridan biri, yani to‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli bilan tanishamiz. Ushbu
usulning mohiyati ma’lum bir oraliqdagi funksiya grafigi ostida yotgan yuzani
hisoblashda, integral ostidagi funksiyaning qiymatlarini to‘g‘ri to‘rtburchaklar
yordamida taqribiy ifodalashga asoslanadi. Aniq integralning ta’rifidan kelib
chiqqan holda, yuzani hisoblash jarayoni funksiyaning grafigi ostida yotgan
sohaga bo‘linib, har bir kichik sohaga mos keluvchi yuzani taqribiy baholashni
o‘z ichiga oladi. To‘g‘ri to‘rtburchaklar usulida, integrallash oralig‘i teng
bo‘laklarga bo‘linadi va har bir bo‘lakda funksiyaning qiymati ushbu bo‘lakning
chap, o‘ng yoki o‘rta nuqtasidagi qiymati bilan almashtiriladi. Natijada, ushbu
nuqtalardan o‘tuvchi vertikallar hamda oraliqning chegaralarini tutashtiruvchi
gorizontal chiziqlar bilan hosil bolgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisi, aslida
aniq integralning taqribiy qiymatini beradi. Bu usulning soddaligi uni tushunish
va qo‘llashni osonlashtiradi, biroq uning aniqligi ba’zan yetarli bo‘lmasligi
mumkin.
To‘g‘ri to‘rtburchaklar usulining matematik formulasini ko‘rib chiqaylik.
Oraliq [a,b] ni n
ta teng bo‘lakka bo‘lamiz, bunda har bir bo‘lakning uzunligi
bo‘ladi. Bo‘lish nuqtalari
, bu yerda
Chap nuqtalar usulida, har bir bo‘lak uchun yuzani hisoblashda biz
bo‘lakning chap nuqtasidagi funksiya qiymatini olamiz va uni bo‘lak
uzunligi ga ko‘paytiramiz. Shuning uchun, chap nuqtalar usulining integrali
taqribiy qiymati quyidagicha yoziladi:

21 . (2.2.1)
O‘ng nuqtalar usulida esa, biz har bir bolakning o‘ng nuqtasidagi funksiya
qiymatini olamiz:
. (2.2.2)
Bu usullarning har biri ma’lum bir xatolikka ega bo‘lib, bo‘laklar soni
oshishi bilan xatolik kamayadi. O‘rta nuqtalar usuli esa yanada aniqroq natijalar
berishi mumkin, chunki u har bir bo‘lakning o‘rtasidagi funksiya qiymatini oladi:
(2.2.3)
Bu formulalar integral ostidagi funksiyaning qiymatlari bo‘yicha yuzani
taqribiy hisoblashning aniq mexanizmini ko‘rsatib beradi.
Usulning geometrik talqini uning mohiyatini yanada chuqurroq tushunishga
yordam beradi. Aniq integralni hisoblash, aslida, funksiya grafigi bilan absissalar
o‘qi orasidagi yuzani aniqlash demakdir. To‘g‘ri to‘rtburchaklar usulida, biz bu
yuzani bir-biriga yaqin joylashgan bir nechta to‘g‘ri to‘rtburchaklar yigindisi
bilan almashtiramiz. Chap nuqtalar usulida, har bir to‘g‘ri to‘rtburchakning
balandligi chap nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo‘ladi, natijada hosil bo‘lgan
to‘g‘ri to‘rtburchaklar ko‘pincha asl yuzadan biroz kichikroq bo‘ladi (agar
funksiya o‘suvchi bo‘lsa). O‘ng nuqtalar usulida esa, aksincha, to‘g‘ri
to‘rtburchaklar ko‘pincha asl yuzadan biroz kattaroq bo‘ladi (agar funksiya
o‘suvchi bo‘lsa). O‘rta nuqtalar usulida esa, har bir bo‘lakning o‘rtasidagi
qiymatdan olingan balandlik bilan hosil qilingan to‘g‘ri to‘rtburchaklar, odatda
chap va o‘ng nuqtalar usullariga nisbatan yuzaga ko‘proq mos keladi, chunki ular
yuzaning ikki tomonidagi xatoliklarni muvozanatlashtirishga intiladi.

222.3-§.Trapetsiyalar usuli
kesmani bo‘lishlar sonini avvalgidek qoldiramiz va intervalga mos
keladigan funksiyaning har bir yoyini bu yoyning chetki nuqtalarini
tutashtiruvchi vatarlar bilan almashtiramiz. Bunda
berilgan egri chiziqli trapetsiya ta to‘g‘ri chiziqli trapetsiya bilan almashtiriladi
(1-shakl).
Bu to‘g‘ri chiziqli trapetsiyalar har birining yuzasi ga teng. Bu
yuzalarning barchasini qo‘shib, trapetsiyalar formulasini hosil qilamiz:
. (2.3.1)
Bu formulaning xatoligi tengsizlik bilan
baholanadi, bu yerda

1-shakl

242.4-§.Simpson formulasi (parabolalar usuli)
kesmani
nuqtalar bilan uzunliklari bo‘lgan ta teng kesmalarga ajratamiz
va har bir ketma-ket kelgan nuqtalar orqali parabolalar
o‘tkazamiz. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini parabolalarni
nuqtalarini tutashtiruvchi yoylari bilan chegaralangan
ta parabolik trapetsiyalar yuzalarining yig‘indisi bilan almashtiramiz.
nuqtalar orqali o‘tkazilgan parabola tenglamasini
ko‘rinishda izlaymiz. koeffitsiyentlarni
parabolaning berilgan uchta nuqtadan o‘tishi shartidan topamiz. Hisoblashlar
qulay bo‘lishi uchun koordinatalar boshini o‘qlarning yo‘nalishini
o‘zgartirmasdan kesmaning o‘rtasiga joylashtiramiz.
2-shakl
Parabolaning nuqtalaridan o‘tishi shartidan
kelib chiqadi. Bundan

25 , ,
(2.4.1)
Endi - parabolik trapetsiya yuzini aniq integral orqali hisoblaymiz:

(2.4.2)
formulaga koeffitsiyentlarning qiymatlarini qo‘yib, topamiz:
. (2.4.3)
Parabolik trapetsiyalarning yuzalarini qo‘shib, izlanayotgan integralning taqribiy
qiymatini beruvchi formulani yozamiz:
formulaga Simpson formulasi (yoki parabolalar formulasi) deyiladi.
Bu formulaning xatoligi tengsizlik bilan baholanadi, bu
yerda
To g ri to rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari.ʻ ʻ ʻ
Endi yuqorida qurilgan kvadratura formulalarining qoldiq hadlarini aniqlash bilan
shug‘ullanamiz.
2.5-§. To‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalarining
qoldiq hadlari

26Endi yuqorida qurilgan kvadratura formulalarining qoldiq hadlarini aniqlash bilan
shug‘ullanamiz. To‘g‘ri to‘rtburchak formulasining qoldiq hadi
(2.5.1)
ni topish uchun funksiya oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz
hosilaga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko‘ra:
(2.5.2)
bu yerda yoki . Bu tenglikning har ikkala
tomonini dan gacha integrallasak,
(2.5.3)
kelib chiqadi, chunki Quyidagicha belgilash kiritaylik:
. (2.5.4)
Integrall ostidagi funksiya o‘z ishorasini saqlaydi, shuning uchun
(2.5.4) integralga umumlashgan o rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llash mumkin:ʻ
(2.5.5)
bunda uzluksiz bo lgani uchun Koshi teoremasiga ko‘ra shunday
ʻ
topiladiki,
.
Endi (2.6) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
. (2.5.6)

27Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko rinishidir.ʻ
Endi trapetsiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun
funksiyani nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyatsiyalab,
interpolyatsion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz:
(2.5.7)
Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallaymiz, natijada
hosil bo‘ladi. Bu yerda oraliqda bo‘lgani uchun
integralga o‘rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo‘llash mumkin:
. (2.5.8)
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun
deb olib, quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko‘phadini tuzamiz:
Ravshanki,
.
Endi interpolyatsion formulaning qoldiq hadi
bo‘lib, bu yerda
.
Demak, (2.3) formulaning qoldiq hadi

28bo‘lib, ko‘phad oraliqda o‘z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o‘rta
qiymat teoremasiga ko‘ra
ga ega bo‘lamiz.
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko‘rsatadiki,
to‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko‘phadlar uchun
aniq bo‘lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq
formuladir.
1-misol. Ushbu
integral to‘g‘ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida
taqribiy hisoblansin.
◄ segmentni 5 ta teng bo‘lakka bo‘lamiz. Bunda bo‘linish nuqtalari

bo‘lib, bu nuqtalarda funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:

Har bir bo‘lakning o‘rtasini ifodalovchi nuqtalar

bo‘lib, bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:

29a) To ‘ g ‘ ri to ‘ rtburchaklar formulasi bo ‘ yicha
bo‘lib,
bo‘ladi.
b) Trapetsiyalar formulasi bo ‘ yicha
bo‘lib,
bo‘ladi.
c) Simpson formulasi bo ‘ yicha
bo‘lib,
bo‘ladi.

30 Taqribiy formulalar yordamida hisoblab topilgan integralning
qiymatini, uning
qiymati bilan taqqoslab, Simpson formulasi yordamida topilgan integralning
taqribiy qiymati aniqroq ekanligini ko‘ramiz.
2-misol. integralning qiymatini trapetsiyalar formulasi
yordamida toping.
Yechish. Nyuton-Leybnits formulasi bo‘yicha
Trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblaymiz. Bunda

Quyidagi jadvalni tuzamiz:
Trapetsiyalar formulasida qiymat 0,78498; Nyuton-Leybnits formulasida esa
0,785 ga teng bo‘ldi. Bundan ko‘rinadiki, unchalik katta bo‘lmagan farqqa ega
qiymatlar hosil bo‘ldi.
3-misol. integralning qiymatini trapetsiyalar formulasi
yordamida taqribiy hisoblang.

31 Yechish. Dastlab Nyuton-Leybnits formulasida hisoblaymiz:
Endi trapetsiyalar usulidan foydalanib hisoblaymiz. kesmani ta
kesmalarga ajratamiz va har bir nuqtada
qiymatlarni hisoblaymiz va quyidagi jadvalga joylashtiramiz:

Trapetsiyalar formulasiga ko‘ra

32 X ULOSA
Ushbu kurs ishida matematik analiz va hisoblash matematikasining eng
fundamental va amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan bo‘limlaridan biri — "Aniq
integralni taqribiy hisoblash" mavzusi nazariy asoslardan boshlab amaliy
tatbiqlargacha atroflicha tadqiq etildi. Ish doirasida aniq integralning kelib
chiqishi, uning geoemetrik va analitik mohiyati, Darbu yig‘indilari orqali
integrallanuvchanlik mezonlari, integralning asosiy xossalari hamda Nyuton-
Leybnits formulasini qo‘llash imkonsiz bo‘lgan xollarda raqamli usullardan
foydalanish muammolari chuqur tahlil qilinib, quyidagi tizimli xulosalarga
kelindi:
Birinchidan, aniq integral tushunchasining asosi bo‘lgan ixtiyoriy integral
yig‘indilar va ularning limiti qaralishidan avval, funksiyaning quyiy va yuqori
chegaralarini belgilab beruvchi Darbu yig‘indilarining nazariy ahamiyati
o‘rganildi. Kesmani bo‘laklash jarayonida Darbu yig‘indilarining o‘zgarishi,
ya’ni bo‘laklash qadami kichrayishi bilan quyi Darbu yig‘indisining
kamaymasligi, yuqori Darbu yig‘indisining esa ortmasligi hamda ularning mos
ravishda quyi va yuqori integrallarga intilishi matematik jihatdan asoslandi.
Riemann ma’nosida integrallanuvchanlikning zaruriy va yetarli sharti aynan
ushbu quyi va yuqori Darbu integrallarining tengligiga borib taqalishi kurs
ishining nazariy poydevorini mustahkamladi. Shuningdek, aniq integralning
chiziqlilik, additivlik, monotonlik hamda o‘rta qiymat haqidagi teoremalari kabi
muhim xossalari funksiyalarni integrallash jarayonini soddalashtirish va integral
qiymatini baholashda asosiy mezon ekanligi ko‘rsatildi.
Ikkinchidan, matematik analizda uchraydigan barcha aniq integrallarni ham
Nyuton-Leybnits formulasi yordamida, ya’ni analitik usulda aniq hisoblash har
doim ham imkonli bo‘lavermasligi tahlil qilindi. Amaliyotda boshlang‘ich
funksiyasi elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydigan integrallar (masalan,
Puasson integrali, Laplas funksiyasi yoki integrallanuvchi sinus va kosinuslar)
juda ko‘p uchraydi. Bundan tashqari, ko‘plab fizika, mexanika, muhandislik va
iqtisodiy jarayonlarda integrallanuvchi funksiya aniq analitik formula shaklida

33emas, balki laboratoriya tajribalari yoki statistik kuzatuvlar natijasida olingan
jadval yoki grafik ko‘rinishida beriladi. Bunday sharoitda integral qiymatini
aniqlashning yagona va eng samarali vositasi taqribiy hisoblash (raqamli
integrallash) usullari hisoblanadi.
Uchinchidan, kurs ishi doirasida eng ko‘p tarqalgan va amaliyotda keng
qo‘llaniladigan uchta asosiy kvadratura formulalari — To‘g‘ri to‘rtburchaklar
usuli, Trapesiyalar usuli va Simpson (parabolalar) usuli sxemalari va algoritmlari
mukammal o‘rganildi. Geometrik nuqtai nazardan yondashilganda, ushbu
usullarning mohiyati integral ostidagi egri chiziqli trapesiyaning yuza qismini
mos ravishda to‘g‘ri to‘rtburchaklar, to‘g‘ri chiziqli trapesiyalar yoki ikkinchi
tartibli parabolik segmentlar yuzalari yig‘indisi bilan almashtirishga
(approksimatsiya qilishga) asoslanishi sxematik tarzda tahlil qilib berildi.
To‘rtinchidan, ushbu uchta usulning aniqlik darajasi va qoldiq hadlarining
xatoliklar tartibi o‘zaro solishtirildi. Integrallash kesmasi bir xil miqdordagi teng
bo‘laklarga (n) bo‘lingan holatda, eng yuqori aniqlik va eng kichik xatolik
darajasini Simpson usuli berishi amaliy misollar yordamida to‘liq tasdiqlandi.
To‘g‘ri to‘rtburchaklar va trapesiyalar usullari o‘zining algoritmi soddaligi bilan
ajralib tursa-da, Simpson usuli integral ostidagi funksiyani parabola yordamida
yaqinlashtirgani sababli ancha yuqori aniqlik tartibiga (O(h^4)) ega ekanligi va
hisoblash ishlarini optimallashtirishi nazariy jihatdan isbotlandi. Taqribiy
hisoblash usullarida integrallash kesmasini bo‘lishlar sonini (n) orttirib borish,
ya’ni qadam o‘lchamini (h) kichraytirish orqali taqribiy natijani haqiqiy integral
qiymatiga cheksiz yaqinlashtirish mumkinligi aniqlandi.

34FOYDALANILADIGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
Asosiy adabiyotlar
1. Alimov SH.O., Ashurov R.R. Matematik analiz 1,2,3 q. T. “Mumtoz so‘z”,
2018.
2. Tao T. Analysis 1,2. Hindustan Book Agency, India, 2014.
3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. I, II q. T.: «Voris-nashriyot». 2010 y.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, «Лань»,
2016.
5. Shoimqulov B.A., Tuychiyev T.T., Djumaboyev D.X. Matematik analizdan
mustaqil ishlar. T. “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”, 2008
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 1,2,3 т. М. “ФИЗМАТЛИТ”, 2001.
7. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, I, 2-q. T. "O‘qituvchi", 1994,
1995.
Qo‘shimcha adabiyotlar
1. A.Gaziyev, I.Israilov, M.Yaxshibayev “Matematik analizdan misol va
masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.-
2. G‘aymnazarov G., G‘aymnazarov O.G. Funksional analiz kursidan masalalar
yechish. T.: “Fan va texnologiya”, 2006.-114b.
3. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому
анализу» Учеб. Пособие для вузов. М.: ООО «Издателство Астрел» ООО
«Издателство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст.
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциалним уравнениям.
М.:Интеграл-Пресс, 1998,-208с.
5. Иванова Е.П. Линейние дифференциалние уравнения с постоянними
коеффитсиентами. Учебное пособие к расчетной работе - Москва: МАИ,
2003.- 52 с. ИСБН 5-7035-1283-2.
6. М.А. Краснов, Г.И. Макаренко, А.И. Киселев. Вариационное исчисление.

35М., Наука, 1973.
7. В.М. Алексеев, Э.М. Галлев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по
оптимизатсии. М., Наука, 1984.
8. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
9. http://www.allmath.ru/

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26