Информация о документе

Цена 19900UZS
Размер 1.0MB
Покупки 0
Дата загрузки 08 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Aniq integralni hisoblash qoidalari

Купить
ww O`ZBЕKISTON RЕSPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA'LIM VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA TA`LIM YO`NALISHI II BOSQICH 207-GURUH TALABASI KATTAXO`JAYEVA JAHONBIBI ning ‘‘Matematik analiz ‘‘ fanidan tayyorlagan Mavzu : Aniq integralni hisoblash qoidalari 1r a Ba B nn AA s s .. ff w oo rr m we r 2 . A B B Y m Y o oP P c cD . D . Y YF F Y YT B B Reja: I.Kirish II.Asosiy qism 2.1. Chegaralari o`zgaruvchi bo`lgan aniq integrallar.........................................3 2.2. Aniq integralni hisoblash usullari.................................................................10 2.3. Aniq integralni hisoblashda to`g`ri to`rtburchaklar formulasi.....................16 2.4. Aniq integralni taqribiy hisoblashda trapetsiya formulasi...........................20 2.5. Aniq integralni taqribiy hisoblashda Simpson (parabolalar ) formulasi.......22 III. Xulosa. IV.Foydalanilgan adabiyotlar. Kirish. Kurs ishi mavzusi aniq integrallarni hisoblash to’grisida. Avvalo integral o`zi nima u qachon paydo bo`lgan degan savollarga javob topsak. Integral (lot. integer — butun) — matematik analiz (tahlil)ning asosiy tushunchalaridan biri. Integral hisob — integrallar va ularning xossalarini, hisoblash usullarini, tatbiqlarini o rganuvchi matematika bo limi. Integral hisob ʻ ʻ taraqqiyoti va mazmuni differensial hisob taraqqiyoti va mazmuni bilan uzviy bog liq. Integral hisob differensial hisob bilan birga cheksiz kichik miqdorlar ʻ analizini (qarang Matematik analiz ) tashkil qiladi. 17-asrga kelib, texnika va tabiiy fanlarning taraqqiyoti matematika oldiga juda ko p yangi masalalarni, jumladan, ʻ murakkab geometrik shakldagi jismlarning yuzini, hajmini, og irlik markazini ʻ hisoblash masalalarini qo ydi. Bularni aniqlashning qadimgi eski usullari o rniga ʻ ʻ yangi va kuchli matematik usullar yaratish zaruriyati tug ildi. Shu davrda Integral ʻ hisob vujudga keddi. Integral hisob ning asosiy tushunchalari aniq va aniqmas integral tushunchalaridir. Integral hisob ning turli tatbiklarida bu anikmas integrallarga mos aniq integrallarning ahamiyati katta bo lgani uchun ular yaxshi ʻ o rganilgan va qiymatlari hisoblangan jadvallar tuzilgan. ʻ Integral tushunchasi bir necha xaqiqiy o zgaruvchining funksiyalari uchun ham, ʻ kompleks o zgaruvchining funksiyalari uchun ham aniqlangan va xossalari yaxshi ʻ o rganilgan. ʻ Bu kurs ishida aniq integrallarning hisoblashning usullari to’g’risida ma’lumotlar keltirilgan Jumladan 1.Nyuton Leybnis formulasi 2.O’zgaruvchilarni almashtirish usuli 3.Bo’laklab integrallash usuli 4. Vallis formulalari keltirilgan. Bundan tashqari aniq integrallarni taqribiy hisoblash formulalari bor. Bulardan 1.To’g’ri to’rtburchaklar formulasi 3 2.Trapetsiyalar formulasi. 3.Parabolalar (simpson) formulasi. Aniq integrallarni hisoblashda biz Nyuton Leybnis formulasi hamda bo’laklab integrallash va o’zgaruvchilarni almashtirish usullaridan ko;p foydalanamiz kurs ishining maqsadi mana shu aniq integrallarni hisoblash usullari ,keng foydalaniladfigan usullar hamda aniq intagralni hisoblashning ko’plab usullari to’g’risida ma’lumot berilgan. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash formulalari ham keltirilgan . Bulardan aniq integralni hisoblashning trapetsiyalar formulasi bizga maktab litsey kollej o’quv jarayonida o’tilgan . Bunda esa biz aniq integrallarni taqribiy hisoblashning parabolalar hamda to’g’ri to’rtburchaklar formulasi to’g’risida ma’lumot berilgan. Aniq integrallarning afzallik tomoni shundaki biz uchburchakni yoki to’g’ri to’rtburchaklarni aniq hisoblash yo’llarini bilamiz.Ammo bir tomoni chegarasi egri chiziqli funksiyaga bog’liq sohalar yoki ikki tomoni ham egri chiziqqa bog’liq sohalarni yuzini hisoblash biz uchun ancha qiyin.Aniq integrallar esa biz uchun ana shunday sohalar yuzlarini hisoblashda katta yordam beradi. Biz bu aniq integrallarni hisoblashlarni reja asosida ma’lumotlar berilgan. 2.1 . F(x) funktsiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bulsin. U holda aniq integralning 1°- xossasiga ko'ra f(x ) funktsiya istalgan [a, x]∁ [a ,b ] (a ≤ x ≤ b ) oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi. Ravshanki, ∫ a x f ( t) dt integral x ga bog'liq. Uni F(x) deb belgilaymiz. F(x)=∫a x f(t)dt (1.1 ) Endi f(x) funktsiyaga kura F(x) funktsiyaning xossalarini uzluksizligi, differentsiallanuvchi bo'lishini o'rganamiz. Teorema. Agar f(x) funktsiya [a, b] oraliqda integrallanuvchi bo'lsa, F(x) funksiya shu oraliqda uzluksiz bo`ladi Isbot. F(x) funktsiya integrallanuvchi bo'lgani uchun sup |F(x)| = M< ∞ bo'ladi. ∀ x ∈ [a, b] nuqta olib, unga shunday ∆ x > 0 orttirma beraylikki, x + ∆ x ∈ [a, b] bulsin. U xolda F(x) funktsiyaning orttirmasi uchun quyidagiga ega bo'lamiz: ∆ F ( x ) = F ( x + ∆ x ) − F ( x ) = ∫ ax + ∆ x f ( t) dt − ∫ ax f ( t) dt = ∫ xx + ∆ x f ( t) dt (1.2) Aniq integralning 7°-xossasidan foydalanib topamiz: | ∆ F ( x ) | = | ∫ xx + ∆ x f ( t) dt | ≤ ∫ xx + ∆ x | f ( t ) | dt ≤ M ∫ xx + ∆ x dt = M ∆ x ( 1.3 ) Demak | ∆ F ( x )| ≤ M ∆ x . ( 1.4 ) Bundan esa lim ∆ x → + 0 ∆ F ( x ) = 0 (1.5) limit kelib chiqadi. ∆ x< 0 bo'lganda ham xuddi yuqorndagiga o'x-shash lim ∆ F(x)=0 bulishi ko'rsatiladi. Bu esa F(x) funktsiyaning x€[a,b] nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo'ldi. Teorema. Agar f(x) funktsiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo'lib, x ∈ (a, b) nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda F(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi buladi va 5 F '( x 0 ) = f ( x 0 ) (1.6) Isbot. F(x) funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi: F ( x 0 ) = ∫ x 0x 0 + ∆ x f ( t) dt ( ∆ x > 0 ) ( 1.7 ) ni olib quyidagi ∆F¿¿ ayirmani qaraymiz. Aniq integralning xossalaridan foydalanib topamiz: ∆ F ( x 0 ) ∆ x − f ( x 0 ) = 1 ∆ x [ ∫ x 0x 0 + ∆ x f ( t) dt − f ( x 0 ) ∫ x 0x 0 + ∆ x dt ] = ¿ ¿ 1 ∆ x ∫ x 0x 0 + ∆ x [ f ( t) − f ( x 0 ) ] dt . ( 1.9 ) Bu munosabatdan, | ∆F(x0) ∆x − f(x0)|≤ 1 ∆x ∫x0 x0+∆x |f(t)− f(x0)|dt (1.10 ) tengsizlik kelib chiqadi. Shartga ko'ra f(x) funktsiya x 0 nuktada uzluksiz. Ta'rifga asosan; ∀ ε > 0 olinganda ham shunday d > 0 son topiladiki, |x — x0 | < d bo'lganda | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε buladi. Agar ∆ x < ?????? deb olsak, u holda ∀ t ∈ [ x 0 , x 0 + ∆ x] uchun |f(t)− f(x0)|<ε(1.11 ) buladi. Natijada tengsizlik quyidagi | ∆F(x0) ∆x − f(x0)|< E ∆x ∫x0 x0+∆x dt E(1.12 ) Ko`rinishga keladi demak, ¿ Bundan lim ∆ x → + 0 ∆ F ( x 0 ) ∆ x = f ( x 0 ) , ( 1.14 ) Ya`ni, F'(x0+0)= f(x0)(1.15 )tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagidek, ∆ x<0 bo'lganda lim∆x→−0 ∆F(x0) ∆x = f(x0), (1.16) Ya`ni, F ' ( x 0 − 0 ) = f ( x 0 ) ( 1.17 ) tenglik xam o'rinli bulishi ko'rsatiladi. Teorema isbot bo'ldi.Agar f (x) funktsiya [a, b] oraliqda integrallanuvchi bo'lib, x = a va x = b nuqtalarda uzluksiz (bunda funksiyaning x = a da o'ngdan, x =b da esa chapdan uzluksizligi tushuniladi) bo’lsa, u holda F'(a+0)= f(a+0),F'(b−0)= f(b− 0) bulishi yuqoridagiga o'xshash ko'rsatiladi. Natija. f(x) funktsiya [a, b] oraliqda uzluksiz bulsa, u holda ∀ x ∈ [ a, b] uchun F'(x)= f(x)(1.18 ) buladi. Demak, F(x) funktsiya f(x) ning [a, b] dagi boshlang`ich funk ∫❑ ❑ ❑ siyasi. Endi quyi chegarasi o'zgaruvchi bulgan aniq integralni qaraymiz. F(x) funksiya [a, b] oraliqda integrallanuvchi bulsin. U holda bu funktsiya [x, b] ∁ [a, b] (a < x < b) oraliqda ham integrallanuvchi va bu integral x ga bog'liq buladi. Uni Φ ( x ) = ∫ xb f ( t) dt ( 1.19 ) deb belgilaymiz. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz: ∫a b f(t)dt =∫a x f(t)dt +∫b a f(t)dt = F(x)+Φ (x)(a≤x≤b). (1.20) Bundan esa 7 Φ (x)=∫a b f(t)dt − F (x)(1.21 )bulishi kelib chiqadi. Bu tenglik, F (x) funktsiyaning xossalarini f (x) hamda G'(x) funktsiyalarning xossalari orqali o'rganish mumkinligini ko'rsatadi. Jumladan, agar f(x) funktsiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo'lsa, u xolda Φ ' ( x ) = − f ( x ) ( 1.22 ) buladi. Haqiqatan ham, bu holda ∫a b f(t)dt mavjud va u chekli son, F(x) funktsiya esa yuqorida keltirilgan teoremaga kura [a, b] da F'(x) hosilaga ega bulib, Φ ' ( x ) = ( ∫ xb f ( t) dt ) ' = ( ∫ ab f ( t) dt − F ( x ) ) ' = − F ' ( x ) = − f ( x ) (1. 23) bo`ladi. 2.2 . Integral mavzusining asosiy masalalaridan biri funktsiya integralining mavjudligi bo'lsa, ikkinchisi — funktsiya integralini hisoblashdir. Biz f(x) funktsiyaning [a, b] oraliqdagi aniq integralini integral yig'indining chekli limiti sifatida ta'riflagan edik. Yuqorida aytib o'tganimizdek integral yig'indining limiti tushunchasi murakkab xarakterga ega bo'lib, uni hisoblash, hatto sodda hollar-da xam ancha qiyin buladi. To'g'ri, f(x) funktsiyaning integrallanuvchiligi ma'lum bo'lsa, unda integral yigindining limiti [a, b] oraliqni bo'laklash usuliga xam, har bir bo'lakda olingan ξk nuktalarga ham bog'liq bo'lmay, λp→ 0 da yagona I¿ songa intiladi. Bu xolda [a , b] oralikni bo'laklashni xamda ξ k nuktalarni integral yig'indi va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish imkonini beradi. Natijada funktsiya integralini topish uchun birorta bo'laklashga nisbatan integral yig'indining limitini xisoblash yetarli bo'ladi. Masalan, ∫ ab xdx integralni xisoblaylik. Bunda f(x) = x bo'lib y [a, b] oralikda uzluksiz. Demak, bu funktsiya [a, b] da integrallanuvchi. [a,b] oralikni ushbu P ={ a , a + α n , a + α n , a + kα n , a + α n = b } bo'laklashni olib, xar bir [ a + kα n , a + ( k + 1 ) α n ] bo`lakda ξk=a+kan deb qaraymiz bunda α n = b − a n U holda, σ=∑k=0 n−1 f(ξk)∆xk=∑k=0 n−1 (a+k∙αn)αn= αn∑k=0 n−1 (a+k∙αn)=¿¿ αn¿ α n [ na + b − a n ∙ ( n − 1 ) n 2 ] = b 2 − a 2 2 − b − a 2 ∙ α n . Bundan limαn→0σ= limαn→0[ b2−a2 2 − b− a 2 ∙αn]= b2−a2 2 Demak ∫a b xdx = b2−a2 2 . (1.24) Umuman, ko'p hollarda funksiyalarning integralini ta'rifga ko'ra hisoblash qiyin bo'ladi. Shuning uchun integrallarni xisoblashning amaliy jihatdan qulay bo'lgan yo'llarini topish zaruriyati tug'iladi. 1) N`yuton—Leybnits formulasi. Ushbu bandda, funksiyalarning aniq integrallarini xisoblashda keng qo'llanadigan formulani keltiramiz. Ma'lumki, f(x) funksiya [a, b] oraliqda uzluksiz bulsa, u holda F(x)=∫a x f(t)dt (1.25 ) 9 funksiya shu oraliqda f(x) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo’ladi. Bu bir tomondan. Ikkinchi tomondan, f(x) funksiyaning ixtiyoriy boshlang’ich funksiyasi Ф(x) berilgan boshlang'ich funksiya F(x) dan ixtiyoriy o’zgarmas qo'shiluvchiga farq qiladi, ya'ni ?????? (x)=F(x)+C (C=const) (1.26) Bo`ladi demak Φ ( x ) = ∫ ax f( t) dt + C ( 1.27 ) Bu tenglikdan avval x=a deb, ?????? (a)=C, (1.28) So`ngra x=b deb, Φ (x)=∫a b f(t)dt +C(1.29 ) tengliklarni topamiz. (1.28) va (1.29) tengliklardan ixtiyoriy boshlang'ich funksiya ?????? (x) uchun ushbu ∫a b f(x)dx =Φ (b)−Φ (a)(1.30 ) formula kelib chikadi. Bu (1.30) formula Nyuton—Leybnits formulasi deb ataladi. Odatda, (1.30) tenglikning o'ng tomonidagi ?????? (b)— ?????? (a) ayirma ?????? (x) ¿ ab kabi yoziladi: Φ (b)−Φ (a)=Φ (x)| b a Demak, ∫a b f(x)dx =Φ (x)| b a MISOLLAR 1. ∫ ab xdx = x 2 2| b a = b 2 − a 2 2 . 2.∫a bdx x =ln x| b a=ln b− ln a= ln b a(a>0,b>0). 2) Uzgaruvchilarni almashtirish usuli. f(x ) funksiya [a, b] oralikda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Bu holda f(x) funksiyaning aniq integrali f(x)dx mavjud buladi. Ko'pincha o’zgaruvchini almashtirish natijasida berilgan integral undan soddaroq integralga keltiriladi. Faraz qilaylik, aniq integralda o'zgaruvchi x ushbu x= φ (t) formula bilan almashtirilgan bulib, bunda kuyidagi shartlar bajarilgan bulsin: a) ?????? ( t) funktsiya biror [a, b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz, t o'zgaruvchi [a;b ] oraliqda o'zgarganda ?????? (t) funktsiyaning kiymatlari [a, b] oraliqdan chiqmaydi; b) v ) ?????? (t) funktsiya [a,b] oralikda uzluksiz ?????? '(t) xosilaga ega. U holda ∫ ab f ( x ) dx = ∫ α β f ( φ ( t)) ∙ φ ' ( t) dt ( 2.1 ) tenglik o'rinli bo'ladi. Haqiqatan ham, f(x) funktsiya [a, b] oraliqda uzluksiz bo'lgani uchun shu oralikda boshlang'ich funktsiya ?????? (x) ga ega bulib,(1.30) formula o'rinli. [ ?????? , ?????? ] oraliqda ?????? ( ?????? (t)) funksiyani qaraylik. Bu funksiya [ ?????? , ?????? ] oraliqda uzluksiz bo’lib, uning xosilasi yuqoridagi formulaga ko'ra quyidagicha yoziladi: [ Φ ( φ ( t) )] ' = Φ ' ( φ ( t)) ∙ φ ' ( t) . ( 2.2 ) Keyingi tenglikdan ?????? ' (x) = f(x) ekanini e'tiborga olib topamiz: [Φ (φ(t))]'= f(φ(t))∙φ'(t)(2.3 ) Bu esa ?????? ( ??????(t) ) funksiya [ ?????? , ?????? ] da f( ?????? (t)) ∙ ?????? ’(t) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bulishini bildiradi. N`yuton—Leybnits formulasiga ko'ra, ∫ α β f ( φ ( t)) ∙ φ ' ( t) dt = Φ ( φ ( β )) − Φ ( φ ( α )) . ( 2.4 ) 11 Buni b) shartdan foydalanib ushbu ∫ α β f( φ ( t)) ∙ φ ' ( t) dt = Φ ( b ) − Φ ( a ) ( 2.5 ) ko'rinishda yozish mumkin. Shunday qilib, (2.3) va (2.5) munosabatlardan oxirgi tenglik kelib chiqadi. Misol: quyidagi ∫0 1 √1− x2dx integralni o'zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblang. Bu integralda x = sint ni almashtirish bajaramiz. U xolda(2. 5 ) formulaga kura topamiz: ∫ 01 √ 1 − x 2 dx = ∫ 0π / 2 √ 1 − sin 2 t ∙ cost dt = ∫ 0π / 2 cos 2 t dt = ¿ ∫ 0π / 2 [ 1 2 + 1 2 cos 2 t ] dt = [ 1 2 t + 1 4 sin 2 t ]| π / 2 0 = π 4 . 3) Bulaklab integrallash usuli. u(x) va v (x)funksiyalarning har biri [a, b] oraliqda uzluksiz u'(x) va v’(x) hosilalarga ega bulsin. U xolda ∫ ab u ( x ) dv ( x ) = [ u ( x ) ∙ v ( x ) ] | b a − ∫ ab v ( x ) du ( x ) ( 2.6 ) Formula o`rinli . Haqiqatdan ham [f(x)∙g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) formulaga ko`ra [u(x)∙v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).(2.7 ) Demak, u(x)v(x) funktsiya [a,b] oraliqda [u'(x)v(x)- u (x)v' (x)] funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo'lib, N`yuton — Leybnits formulasiga ko’ra ∫a b [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]dx =[u(x)∙v(x)]| b a(2.8 ) buladi. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz: ∫a b v(x)∙u'(x)dx +∫a b u(x)∙v'(x)dx =[u(x)∙v(x)]| b aBu tenglikdan esa ∫ ab u ( x ) dv ( x ) = [ u ( x ) v ( x ) ] | b a − ∫ ab v ( x ) du ( x ) ( 2.9 ) Formula kelib chiqadi. Bu formula ∫ ab u ( x ) dv ( x ) integralni hisoblashni ∫a b v(x)du (x) integralni xisoblashga olib keladi. Bunda u(x) hamda dv(x) larni shunday tanlash lozimki, ∫b a v(x)du (x) integral imkoniyat boricha sodda xisoblansin. Misollar. 1. ∫1 2 lnxdx integralni xisoblang. Agar u(x) = In x , dv (x) = dx deb olinsa, u holda du = 1 x dx , v ( x ) = x Bo`lib formulaga ko`ra topamiz ∫1 2 ln xdx = xln x | 2 1−∫1 2 x∙1 xdx = xln x| 2 1− x| 2 1= 2ln 2−1. 2. In= ∫0 π/2 sin 2xdx integralni hisoblang, bunda n = O, 1, 2, Bu integral, xususan n= 0, n= 1 bo'lganda osongina hisoblanadi: I0= ∫0 π/2 dx = π 2,I1= ∫0 π/2 sinxdx =[−cosx ]π/2 0 =1. n ≥ 2 bo'lganda berilgan integralni 13 In= ∫0 π/2 sin nxdx = ∫0 π/2 sin n−1xd (−cosx )Ko’rinishda yozib, unga bo'laklab integrallash formulasini qo'llaymiz. Natijada In=(−sin n−1xcosx )¿ ¿ ( n − 1 ) ∫ 0π / 2 sin n − 2 x ( 1 − sin 2 x ) dx = ( n − 1 ) ∫ 0π / 2 sin n − 2 xdx − ¿ ¿ −(n−1)∫0 π/2 sin nxdx =(n−1)∙In−2−(n−1)∙In Bo’lib, undan ushbu I n = n − 2 n ∙ I n − 2 ( 2.10 ) rekurrent formula kelib chikadi. Bu formula yordamida berilgan integralni n = 2, 3, bo'lganda ketma-ket xisoblash mumkin. Biz quyida n— juft va toq bo'lganda berilgan integralning qiymatini keltiramiz: n = 2m— juft son bo'lganda I2m= 2m−1 2m 2m− 3 2m− 2 5 6 3 4.1 2I0= (2m−1)!! (2m)!! π 2,(2.11 ) n =2m+1 — toq son bo'lganda I 2 m + 1 = 2 m 2 m − 1 2 m − 2 2 m − 1 6 7 4 5 2 3 I 1 = ( 2 m ) ‼ ( 2 m + 1 ) ‼ . ( 2.12 ) Bunda m!! simvol m dan katta bulmagan va u bilan bir xil juft-likka ega bo'lgan natural sonlarning ko'paytmasini bildiradi. Shunday qilib, ∫0 π/2 sin nxdx =¿¿ Xususan ∫0 π/2 sin 2xdx =¿π 4,¿ ∫0 π/2 sin 3xdx =¿2 3.¿4 . Vallis formulasi. Yuqorida keltirilgan 2 – misoldan foydalanib, π sonini ifodalovchi formulani keltiramiz. Ravshanki, 0<x< π/2 bo`lganda sin 2 n + 1 x < sin 2 n x < sin 2 n − 1 x ( n = 1,2,3 , … .. ) ( 2.13 ) tengsizliklar o’rinli. Bu tengsizliklarni [0, π/2¿ oraliqda integrallab ∫0 π/2 sin 2n+1xdx <¿∫0 π sin 2nxdx <∫0 π/2 sin 2n−1xdx ,(2.14 )¿ So’ngra (2.11) va (2.12) formulalardan foydalanib topamiz: (2n)!! (2n+1)!!<(2n−1)!! (2n)!! π 2<(2n− 2)!! (2n−1)!! Bundan [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 1 2 n + 1 < π 2 < [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 ∙ 1 2 n tengsizliklar kelib chikadi. Ammo bu tengsizliklarning chekkalarnda turgan ifodalar ayirmasi [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 ∙ 1 2 n − [ ( 2 n ) ‼ ( 2 n − 1 ) ‼ ] 2 ∙ 1 2 n + 1 ≪ [ ( 2 n ) ‼ ( 2 n − 1 ) ‼ ] 2 ∙ 1 2 n + 1 ∙ 1 2 n < π 2 ∙ 1 2 n bulib, n → ∞ da nolga intilgani uchun ushbu π 2 = lim n → ∞ [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 1 2 n + 1 formula o’rinli buladi. Demak π 2 = lim n → ∞ 2 1 ∙ 2 3 ∙ 4 3 ∙ 4 5 2 n 2 n − 1 ∙ 2 n 2 n + 1 . ( 2.15 ) Bu (2.13) formula Vallis formulasi deyiladi. 2.3 . Biz yuqoridagi integral ostidagi funksiyaning boshlang’ich funksiyasi ma’lum bo’lsa ,aniq integralni Nyuton- Leybnis formulasi yordamida hisoblash 15 mumkinligini ko’rdik .Ammo boshlang’ich boshlang’ich funksiyani topish masalasi doim osongina hal bo’lavermaydi.Agar integral ostidagi funksiya murakkab bo’lsa ,tegishli aniq integralni hisoblashning taqribiy usularini qo’llash lozim .Bu usullar integral ostidagi f(x) funksiyani uni taqribiy ifodalovchi ko’phad bilan almashtirishga (f(x)≈Pn(x)¿ asoslanadi .f(x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin .Veynshtrass teoremasiga asosan , ∀ ε>0 son olinganda ham ε b − a songa ko’ra shunday P n ( x ) ko’phad topiladiki , ∀ x∈[a,b] lar uchun | f ( x ) − P n ( x ) | < ε b − a tengsizlik o’rinli bo’ladi .Bundan ∫a b Pn(x)dx integralning ∫a b f(x)dx Integralga yaqinlashishi kelib chiqadi .Haqiqatan ham aniq intgralning xossalaridan foydalanib topamiz: ¿ ≤∫a b |f(x)dx − Pn(x)|dx < ε b− a(b− a)= ε. Shunday qilib ,quyidagi ∫a b f(x)dx ≈∫a b Pn(x)dx (3.1 ) Taqribiy formulaga kelamiz . Masalan,[0,1] oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lgan funksiyaning ∫0 1 f(x)dx Integralini taqribiy ifodalovchi formula talab etilsin . Ushbu Bn(x)=∑k=0 n f( k n)Cnkxk(1− x)n−k Ko’phadni qaraylik .Odatda ,bu ko’phad Bernshteyn ko’phadi deb ataladi. n → ∞ da Bernshteyn ko’phadining [0,1] oraliqda f(x) funksiyaga tekis yaqinlashishi ,ya’ni ∀ ε>0 olinganda ham ∀ x ∈ [ 0,1 ] uchun |f ( x ) − B n ( x ) | < ε Tengsizlik o’rinli bo’lishi isbotlanadi. (3.1) formuladan foydalanob topamiz: ∫ 01 f ( x ) dx ≈ ∫ 01 B n ( x ) dx = ∫ 01 [ ∑ k = 0n f ( k n ) C nk x k ( 1 − x ) n − k ] dx = ¿ ¿ ¿∑k=0 n f( k n)Cnk∫0 1 xk(1− x)n−kdx . Endi Ik=∫0 1 xk(1− x)n−kdx ,k= 0,1,2 ,… ,nintegrallarni Hisoblaylik.Bo’laklab integrallash usuli (u= xk,dv =(1− x)n−kdx ¿ bilan ushbu Ik= k n− k+1∙Ik−1,k=0,1,2 ,… ,n Rekurrent munosabatlarni hosil qilamiz. Bu munosabatlardan ∀ k uchun C nk I k = n ! k ! ( n − k ) ! ∙ k n − k + 1 ∙ I k − 1 = C nk − 1 I k − 1 C nk − 2 I k − 2 = ¿ ¿ C n1 I 1 = C n0 I 0 = ∫ 01 ( 1 − x ) n dx = ¿ 1 n + 1 ¿ Kelib chiqadi.Buni e’tiborga olsak ,berilgan aniq integralni taqribiy ifodalovchi quyidagi ∫ 01 f ( x ) dx ≈ 1 n + 1 ∑ k = 0n f ( k n ) formua hosil bo’ladi. ∫a b f(x)dx integralni taqribiy hisoblash yo'llarini yana Biri integrallash oralig’i [a,b]ni n ta teng bo’lakka bo’lish va har bir bo’lakda f(x) funksiyani 1) C-const; 2) Ax+B (A,B-o’zgarmas); 3) A x2+Bx +C (A,B,C-o’zgarmas) Ko’rinishdagi ya’ni nolinchi ,birinchi va ikkinchi darajali ko’phadlardan biri bilan bilan almashtirishga asoslangan .Biz bu hollarni alohida qarab, ∫a b f(x)dx 17 integralni taqribiy ifodalovchi to’g’ri to’rtburchaklar,trapetsiya ,parabolalar(Simpson) formulalariga kelamiz. To'g'ri to'rtburchaklar formulasi. f (x) funktsiya [a, b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lib, uning∫a b f(x)dx integralini taqribiy hisoblash talab etilsin. Avvalo ∀ x [a, b] uchun f ( x ) ≈ f ( a + b 2 ) = const deb olib quyidagi ∫ ab f ( x ) dx ≈ f ( a + b 2 ) ∙( a − b ) ( 3.2 ) formulani hosil qilamiz. Bu taqribiy formula f(x) ≥ 0 bulganda aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzini aA'B’b to'g'ri to'rtburchak yuzi bilan almashtirilishini ko'rsatadi. Yuqoridagi formulaning aniqligini oshirish maqsadida [a , b] oraliqni a = x0,x1 , x 2 ,…. x n-1 x n =b nuqtalar yordamida n ta teng bo'lakka bo'lib, har bir [x k > x k+1 ]] bo'lakda formula (3.2) qo'llaniladi. U xolda ∫ x kx k + 1 f ( x ) dx ≈ f ( x k + x k + 1 2 ) ∙( x k + 1 − x k ) = b − a n ∙ f ( x k + 1 2 ) Bo`ladi, bunda xk=a+k∙b−a n ,xk= xk+xk+1 2 =a+(k+1 2)∙b− a n , x k + 1 − x k = b − a n ( k = 0,1,2 , … … … , n − 1 ) . Natijada quyidagiga ega bo'lamiz: ∫a b f(x)dx =∫x0 x1 f(x)dx +¿∫x1 x2 f(x)dx +...+¿∫xk xk+1 f(x)dx +...+¿¿¿¿ +∫xn−1 xn f(x)dx ≈b−a n ∙f(x0)+b− a n ∙f(x1)+....+b−a n ∙f(xk)+¿+ . . . . + b − a n ∙ f ( x n − 1 ) = b − a n ∙ ¿ + f(xn−1)¿. Shunday qilib, ∫a b f(x)dx integralni taqribiy xisoblash uchun quyidagi ∫a b f(x)dx ≈b−a n ∙¿ + f ( x n − 1 ) = b − a n ∙ ( 3.3 ) Formulaga kelamiz. Bu (3.3) formula to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deb ataladi. [a,b] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lgan f(x) funksiyaning ∫ ab f ( x ) dx integralini (3.3) to’g’ri to’rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi R n = ( b − a ) 3 24 n 3 f ' ' ( ζ ) , ζ ∈ ( a , b ) formula bilan ifodalanadi. 2.4. Trapetsiyalar formulasi. f(x) funktsiya [a, b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. ∀ xϵ [a,b] uchun f(x)≈ f(b)− f(a) b−a x+bf (a)−af (b) b−a (4.1 ) deb olib, ∫ ab f ( x ) dx integralni taqribiy ifodalovchi ushbu ∫ ab f ( x ) dx ≈ ∫ ab [ f ( b ) − f ( a ) b − a x + bf ( a ) − af ( b ) b − a ] dx = ¿ ¿ ¿ f ( a ) − f ( b ) 2( b − a ) ( 4.2 ) 19 Formulani xosil qilamiz. (4.1) munosabatdagi f( b ) − f ( a ) b − a x + bf ( a ) − af ( b ) b − a ifoda (a, f(a)), (b, f (b)) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq nuqtasining ordinatasini ifodalaydi.(4.2) taqribiy formula f(x) ≥ 0 ( ∀ x [a, b]) bo'lganda (yuqoridagi chizma) aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzini aABb trapetsiya yuzi bilan almashtirilishini ifodalaydi. Endi (4.2) formulaning aniqligini oshirish maqsadida [ a , b] oraliqni a = x 0 , x 1 , ….. , xn = b nuqtalar yordamida n ta teng bo`lakka bo`lib har bir [x k ,x k+1 ] bo`lakda f(x) funksiyaning ∫ x kx k + 1 f ( x ) dx integraliga nisbatan (4.2) formulani qo'llanamiz. U xolda ∫xk xk+1 f(x)dx ≈ f(xk)+ f(xk+1) 2 (xk+1− xk)¿¿ bo`lib natijada ushbu ∫a b f(x)dx =∫x0 x1 f(x)dx +∫x1 x2 f(x)dx +..… +¿∫xn−1 xn f(x)dx ≈¿ ≈ f ( x 0 ) + f ( x 1 ) 2( x 1 − x 0 ) + f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2( x 2 − x 1 ) + .. … … + ¿ + f ( x n − 1 ) + f ( x n ) 2( x n − x n − 1 ) = b − a 2 [ f ( x 0 ) − f ( x n ) 2 + f ( x 1 ) + .. . + f ( x n − 1 )] formulaga kelamiz, demak ∫a b f(x)dx ≈b−a n [ f(x0)+ f(xn) 2 + f(x1)+ f(x2)+......+ f(xn−1)] (4.4) Bu (4.4) formula trapetsiyalar formulasi deb ataladi. f (x) dx integralni taqribiy ifodalovchi trapetsiyalar formulasining xatoligi ushbuRn= −(b−a)3 12 n2 f''(ζ)(4.5 ) (4.5) formula bilan hisoblanadi. 2.5. Parabolalar (Simpson) formulasi. Bu holda [a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz f(x) funktsiyaning ∫a b f(x) dx integralini ralini taqribiy hisoblash uchun f(x) funktsiyani (a, f(a)), ( a+b 2 ,f¿ )) xamda (b, f (b)) nuqtalardan utuvchi y = A x2 +Bx +C parabola nuktasining ordinatasi bilan almashtiramiz. Berilgan (a, f(a)), ( a + b 2 , f ¿ )) va (b, f(b)) nuqtalar orqali parabola o'tkazish mumkin. Bunday parabola yagona buladi. Haqiqatan xam, y = A x2 +Bx +C parabola yuqorida aytilgan nuqtalar orqali o't- gani uchun ushbu { Aa 2+Ba +C= f(a) A∙( a+b 2 ) 2 +B∙( a+b 2 )+C= f( a+b 2 ) Ab 2+Bb +C= f(b) (5.1) tengliklar o'rinli bo’ladi. Bu sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan | a2 a 1 ( a+b 2 ) 2 a+b 2 1 b2 b 1| = (a−b)3 4 21 determinant har doim noldan farqli (chunki a≠b ). Demak, sistema yagona yechimga ega. Bu xol (a, f(a)), ( a+b 2 ,f¿ )) va (b, f(b)) nuqtalardan yagona y = A x 2 +Bx +C parabola o'tishini bildiradi. Endi ∫ ab A x 2 + Bx + C dx integralni berilgan ∫ ab f ( x ) dx integralning taqribiy qiymati deb quyidagi ∫a b f(x)dx ≈∫a b (Ax 2+Bx +C)dx (5.2 ) formulani hosil qilamiz Bu taqribiy ∫a b Ax2+Bx +C integralni hisoblaymiz: ∫a b (Ax 2+Bx +C)dx = A∙x3 3 ¿¿ + B ∙ b 2 − a 2 2 + C ∙ ( b − a ) = b − a 6 ¿ + 6 C ] = b − a 6 ¿ +(Ab2+Bb +C)}= b−a 2 [f(a)+4f( a+b 2 )+f(b)] Shunday qilib, ∫a b f(x) dx integralni taqribiy hisoblash uchun ushbu ∫ ab f ( x ) dx ≈ b − a 6 [ f ( a) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] ( 5.3 ) formulaga kelamiz. Bu formula f(x) > 0 bo'lganda chizmada ko'rsatilgan aABb egri chiziqli trapetsiya yuzini aABb egri chiziqli trapetsiya yuzi bilan almashtirilishini ifodalaydi. formulaning aniqligini oshirish uchun [a, b]oraliqnia0= x0,x1,… ..,x2k,x2k+1,x2k+2,… .,x2n−2,x2n−1,x2n= b (x0<x1<x2… .<x2k<x2k+1<x2k+2<....<x2n−2<x2n−1<x2n) nuqtalar yordamida 2n ta teng bo'lakka bo'lib, har bir [ x 2 k , x 2 k + 2 ], (k — 0, 1, 2, … , n — 1) oraliq bo'yicha olingan integralga formulani qo'llanamiz. U holda [ x 2 k , x 2 k + 2 ],oraliq uchun ∫x2k x2k+2 f(x)dx ≈ x2k+2− x2k 6 [f(x2k)+4f(x2k+1)+f(x2k+2)]=¿¿ ¿ b − a 6 n [ f ( x 2 k ) + 4 f ( x 2 k + 1 ) + f ( x 2 k + 2 )] ( k = 0,1,2 , .. … , n − 1 ) formulaga egamiz. Natijada aniq integralning xossasidan foydalanib, quyidagi ifodaga ega bo'lamiz: ∫a b f(x)dx =∫x0 x2 f(x)dx +¿∫x2 x4 f(x)dx +¿..… ..+ ∫x2n−2 x2n f(x)dx ≈¿¿ ≈b− a 6n ¿ + .. … .. + ( f ( x 2 n − 2 ) + 4 f ( x 2 n − 1 ) + f ( x 2 n )) ¿ = b − a 2 ¿ + f ( x 2 n ) + 4 ( f ( x 1 ) + f ( x 3 ) + .. … . + f ( x 2 n − 1 )) + 2 ¿ + f(x4)+..… … +f(x2n−2¿)¿ Shunday qilib, f(x) funksiyaning aniq integralini taqribiy ifodalaydigan quyidagi ∫a b f(x)dx ≈b−a 6n ¿¿ +2(f(x2)+f(x4)+..… .+f(x2n−2))¿(5.4 ) 23 formulaga kelamiz. Bu (5.4) formula parabolalar (yoki Simpson) formulasi deb ataladi. Foydalanilgan adabiyotlar . 1 .T.Azlarov ,X. Mansurov Matematik analiz .Toshkent “O’zbekiston” 1973.1975-y 1-2-qism. 2.G.M.Fixtengolts.Matematik analiz asoslari. “O’qituvchi” nashriyoti Toshkent 1970-1972-y.1-2-qismlar. 3. V . P . Demidovich Сборник задач и упражнений по математическому анализу Москва “Наука” 1920-г. 4 Г.Н.Берман Сборник задач по математического анализа. Москва “Наука” 1977-й 5. A . Sadullayev va boshqalar . Matematik analiz kursidan misol va masalalar to ’ plami Toshkent “ O ’ zbekiston ” 1993-1995- y 1-2- qism 6.A.Gaziyev.I.Isroilov.M.Yaxshiboyev Matematik analizdan misol va masalalar Toshkent “Yanggi asr avlodi”2006 7. A.Gaziyev.I.Isroilov.M.Yaxshiboyev.Funksiyalar va grafiklar.”Voris-Nashriyot” Toshkent 2006 8.A.Gaziyev.I.Isroilov.M.Yaxshiboyev Matematik analizdan misol va masalalar 2-qism Toshkent “Yanggi asr avlodi”2006 9.Sh.Alimov R.Ashurov.Matematik analiz.Toshkent “Mumtoz so’z” 2018-y 1-2-3- qismlar. 10.H.R.Shokirova Karrali va egri chiziqli integrallar Toshkent “O’zbekiston” 1972-y Xulosa Xulosam shuki,bu kurs ishimni yozish mobaynida men juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldim,bilgan bilimlarimni takrorlab mustahkamlab oldim.Bundan tashqari aniq integrallarning afzallik tomonlarini bilib oldim.Aniq integrallarning tadbiqlari usullari formulalri to’g’risida chuqur bilim va ko’nikmalarga ega bo’ldim . 25

Aniq integralni hisoblash qoidalari

Reja:

I.Kirish

II.Asosiy qism

   2.1. Chegaralari o`zgaruvchi bo`lgan aniq integrallar.........................................3

   2.2. Aniq integralni hisoblash usullari.................................................................10

   2.3. Aniq integralni hisoblashda to`g`ri to`rtburchaklar formulasi.....................16

   2.4. Aniq integralni taqribiy hisoblashda trapetsiya formulasi...........................20

   2.5. Aniq integralni taqribiy hisoblashda Simpson (parabolalar ) formulasi.......22

III. Xulosa.

IV.Foydalanilgan adabiyotlar. 

 

 

Купить