Aniq integralni taqribiy hisoblashda maxsuslikdan qutulish

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	340.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	pdf
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Aniq integralni taqribiy hisoblashda maxsuslikdan qutulish

Купить

1

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIKA FAKULTETI “MATEMATIK MODELLASHTIRISH”
KAFEDRASI “MATEMATIK MODELLASHTIRISH” FANIDA N

KURS ISHI

Mavzu : Aniq integralni taqribiy hisoblashda maxsuslikdan qutilish

60540200 - “Amaliy matematika”

Bajardi: Hamdamov.I.
Ilmiy rahbari: Begmatov T.
Topshirgan sanasi: ___________
Baho: __________

Samarqand – 2025

2

M undarija
Kirish ................................ ................................ ................................ ................. 3
1-bob. Aniq integral va hisoblashdagi muammolar ................................ ............. 5
1.1 Aniq integralning modellashtirishdagi o‘rni ................................ ............... 5
1.2 Maxsuslik (singulyarlik) nima? ................................ ................................ .. 7
1.3 Amaliy modellashtirishdagi muammolar ................................ ................... 9
2-bob. Taqribiy hisoblash usullari va ularning maxsuslik bilan bog‘liq
muammola ri ................................ ................................ ................................ ...... 11
2.1 Taqribiy usullarning mohiyati ................................ ................................ .. 11
2.2 Trapetsiya usuli ................................ ................................ ....................... 12
2.3 Simpson usuli ................................ ................................ .......................... 16
2.4 Reman yig‘indilari ................................ ................................ ................... 21
2.5 Maxsusliklarda bu usullarning muammosi ................................ ............... 23
3-bob: Maxsusliklardan qutilish usullari ................................ ........................... 25
3.1. Maxsusli klar: Tushuncha va tahlil ................................ .......................... 25
3.2. Maxsusliklardan qutilishning asosiy usullari ................................ ........... 26
3.3.Maxsusliklarni qutilish usulining amaliy m odellashtirishda qo‘llanilishi . 27
Xulosa ................................ ................................ ................................ ............... 28
Foydalanilgan adabiyotlar ................................ ................................ .................... 30

3

Kirish
Zamonaviy ilmiy va muhandislik sohalarida ko‘plab real jarayonlarni
matematik modellar orqali ifodalash keng qo‘llaniladi. Bunday modellashtirish
jarayonlarida ko‘pincha integral tushunchasi markaziy o‘rin tutadi. Masalan, issiqlik
uzatish, bosim taqsimoti , tezlik profilini hisoblash, xarajatlar umumiy qiymatini
topish, biologik yoki kimyoviy o‘zgarishlarning umumiy miqdorini aniqlash kabi
holatlar doimiy yoki o‘zgaruvchan qiymatlarni bir butun sifatida hisoblashni talab
qiladi. Bunday hisob -kitoblar asosan aniq integral orqali amalga oshiriladi.
Shuningdek, integral orqali aniqlangan qiymatlar tizimning umumiy
energetikasi, intensivligi yoki hajmiy o‘zgarishini aniqlash imkonini beradi. Shu
sababli, aniq integral modellashtirishning asosiy vositalaridan bir idir. Ammo
ko‘plab holatlarda bu integralni matematik yo‘l bilan aniq ifodalash yoki hisoblash
qiyin bo‘ladi. Ayniqsa, integrallanuvchi funksiyaning shakli murakkab, aniqlanish
sohasi cheklangan yoki funksiyada keskin o‘zgarishlar bo‘lsa, aniq natijani oli sh
imkonsiz bo‘lishi mumkin.
Bu holatda taqribiy hisoblash usullari yordamga keladi. Bu usullar kompyuter
yordamida sonli natijalarni olishga imkon beradi va ko‘p hollarda yuqori aniqlik
bilan ishlaydi. Ammo ular ham har doim istalgan holatda samarali nati ja bera
olmaydi. Ayniqsa, agar integrallanuvchi funksiyada maxsuslik yoki singulyarlik
mavjud bo‘lsa, taqribiy usullar ishlamay qolishi yoki juda katta xatolik bilan natija
berishi mumkin.
Maxsusliklar — bu funksiyada qiymatning cheksizga intilishi, aniqla nmagan
nuqta mavjudligi yoki keskin o‘zgarishlar bo‘lishidir. Ular ko‘plab real tizimlarda
uchraydi. Masalan, elektr zaryad atrofidagi kuchli maydon, suyuqlik oqimining
tezlikdagi keskin o‘zgarishi, yoki zarba to‘lqinlari kabi fizik hodisalar
modellashtiri lganda singulyarliklar yuzaga keladi. Bunday hollarda, oddiy sonli
integral usullari – masalan, trapetsiya yoki Simpson usullari – natijani noto‘g‘ri
hisoblab chiqarishi mumkin.

4

Mazkur kurs ishi ana shu muammoni o‘rganishga qaratilgan: aniq integralni
taqr ibiy hisoblashda yuzaga keladigan maxsusliklarni tushunish, ularni tahlil qilish
va ulardan qanday soddalashtirilgan yo‘l bilan qutilish mumkinligini modellashtirish
nuqtai nazaridan ko‘rsatish. Bu yerda klassik matematik yechimlardan ko‘ra,
tizimning fizi k yoki amaliy tavsifiga asoslangan yondashuvlar muhim ahamiyat kasb
etadi.
Ish davomida quyidagilar ko‘rib chiqiladi:
Aniq integralning modellashtirishdagi amaliy roli;
Maxsusliklarning turli ko‘rinishlari va ular qanday muammo tug‘dirishi;
Taqribiy hisobl ash usullarining imkoniyatlari va chegaralari;
Maxsusliklar mavjud bo‘lgan sharoitda hisoblashni soddalashtirish yoki
transformatsiya qilish usullari.
Shuningdek, real tizimlarda maxsuslik qanday paydo bo‘lishi va unga qanday
yechim topish mumkinligi ham o ‘rganiladi. Bu esa integralni hisoblashni nafaqat
matematik masala, balki modellashtirish muammosi sifatida yondashishga asos
yaratadi.

5

1-bob. Aniq integral va hisoblashdagi muammolar
1.1 Aniq integralning modellashtirishdagi o‘rni
Matematik modellashtirish – bu real hayotdagi jarayonlar yoki tizimlarni
matematik tenglamalar yordamida ifodalashdir. Bunday jarayonlarda aniq integral
alohida ahamiyatga ega, chunki u o‘zgaruvchi miqdorlarning yig‘indisini aniqlash
imkonini beradi. Hayotda va texnikada ko‘plab holatlar mavjudki, bu yerda
o‘zgaruvchi biror fizik yoki iqtisodiy kattalikni vaqt, masofa, bos im, tezlik yoki
boshqa parametrlar bo‘yicha umumlashtirish talab etiladi.
Aniq integralning asosiy modellashtirishdagi vazifasi – biror o‘zgaruvchan
funksiyani ma’lum oraliqda “to‘plash” va uning umumiy miqdorini topishdir .
Misollar orqali bu holatni quyid agicha ko‘rsatish mumkin:
Fizika va muhandislikdagi modellar
Issiqlik uzatish : Agar harorat T(x) biror tayoq uzunligi bo‘ylab o‘zgaradigan
bo‘lsa, butun tayoqdan o‘tayotgan issiqlik oqimini hisoblash uchun ∫ ??????(??????)???????????? &#3627408463;
&#3627408462;
ko‘r inishidagi integral ishlatiladi.
Elektr toki : O‘zgaruvchan kuchlanish ostida ishlayotgan qurilmada umumiy
sarflangan energiyani hisoblashda kuchlanish va tok funksiyalarining integrallari
qo‘llaniladi.
Bosim va kuch : Muayyan sirtda bosim notekis taqsimlang an bo‘lsa, umumiy
kuchni aniqlash uchun bosim funksiyasining integralidan foydalaniladi.
Iqtisodiy modellashtirish
Xarajatlar va daromad : Agar xarajatlar va daromadlar vaqt bo‘yicha o‘zgarib
borayotgan bo‘lsa, ularning umumiy miqdorini aniqlash uchun in tegral kerak
bo‘ladi.
Narx va talab funksiyalari : Bozor tahlilida narx va talab o‘zgaruvchan bo‘lsa,
umumiy sotuv yoki daromadni aniqlashda integral asosiy vosita bo‘ladi.
Biologiya va ekologiyadagi modellar

6

Organizmdagi moddalar aylanishi : Masalan, qon orqali o‘tadigan kislorod
miqdorini aniqlash uchun kislorod konsentratsiyasining integrali olinadi.
Ekotizimdagi ifloslantiruvchi moddalarning umumiy ta’siri : Daryo bo‘ylab
o‘zgaruvchi ifloslanish darajasini modellashtirishda integral asosida umumiy zarar
hisoblanadi.
Transport va logistika tizimlari
Harakat energiyasi : Avtomobilning tezligi vaqt bo‘yicha o‘zgarib tursa, u yo‘l
bosgan masofani integral orqa li topish mumkin.
Yoqilg‘i sarfi : Yoqilg‘i sarfi tezlikka bog‘liq bo‘lsa, umumiy sarf ham integral
yordamida hisoblanadi.

7

1.2 Maxsuslik (singulyarlik) nima?
Modellashtirish jarayonida, ayniqsa aniq integralni hisoblashda, ba'zi
holatlarda funksiyaning qiymati keskin o‘zgarishi yoki cheksizga yaqinlashishi
mumkin. Bu holatlar maxsusliklar (yoki singulyarliklar ) deb ataladi. Maxsusliklar,
odatda, funksiyaning biror nuqtada yoki oraliqda o'zgarishini aniq tavsiflab bera
olmaydi, shuning uchun bu holatlarda taqribiy hisoblash usullari bilan ishlashda
muammolar yuzaga keladi.
Maxsusliklarning turli turlari mavjud, ular aniq integralni hisoblashda
qo‘llaniladigan usullarni qiyinlashtiradi. Keling, maxsusliklarning turlarini va
ularning modellashtirishdagi rolini batafsil ko‘rib chiqamiz:
Chekka Maxsuslik (Singulyarlik)
Chekka maxsuslik – bu integralning boshlanish yoki tugash nuqtasida
funksiyaning qiymati juda katta yoki aniqlanmagan bo‘lishi holatidir. Bu turdagi
maxsuslikda, integrallanuvchi funksiyaning qiymati chegaraviy nuqtalarda yoki
oraliqda o‘zgaruvchan bo‘lishi mumkin. Misol uchun:
Agar integrallanuvchi funksiya f(x) ning integrali hisoblanayotgan oraliqning
boshlanish nuqtasida yoki tugash nuqtasida f(x) ning qiymati cheksiz yoki
aniqlanmagan bo‘lsa, bu chekka maxsuslik sifatida qaraladi.
Masalan, f(x)=1/x funksiy asi x=0 nuqtasida cheksizga o‘sadi va bu nuqtada
aniq hisoblashlar amalga oshirilishi qiyinlashadi.
Bunday holatda taqribiy usullarni qo‘llash, masalan, trapetsiya yoki Simpson
usullari, cheksiz qiymatlar yoki noaniqliklar bilan bog‘liq xatoliklarg a olib kelishi
mumkin.
Ichki Maxsuslik (Singulyarlik)
Ichki maxsuslik – bu oraliq ichida, ya'ni a<x<b nuqtalarida funksiya
qiymatining keskin o‘zgarishi, sakrash yoki cheksiz bo‘lishi holatidir. Bu holatda,
integralni hisoblash davomida fu nksiya oraliqning o‘zida ma'lum nuqtada singulyar
yoki maxsus holatga ega bo‘ladi.

8

Misol: Funksiya f(x)=1/(x−c) nuqtasida, x=c nuqtasi ichki maxsuslikni tashkil
etadi. Agar c oraliqning ichki nuqtasi bo‘lsa, unda funk siya bu nuqtada aniqlanmaydi
yoki cheksiz qiymatga ega bo‘ladi.
Bunday holatlarda, taqribiy usullar yordamida hisoblash natijalari xatoliklar
yoki hatto yaroqsiz natijalarga olib kelishi mumkin, chunki integrallash oraliqning
o‘zi hisoblash uchun noqulay bo‘ladi. Agar singulyar nuqtaning xususiyatlari
e’tiborga olinmas a, natijalar noto‘g‘ri yoki juda katta xatolik bilan chiqishi mumkin.
Diskret O‘zgarish (Singulyarlik)
Diskret o‘zgarish – bu funksiya biror nuqtada birdan o‘zgarib ketishi holatidir.
Bunday holat, asosan, diskret o‘zgarishlarga ega bo‘lgan funksiyalar bilan uchraydi.
Masalan, fizikada zarba, ya’ni tezlikning bir nuqtada keskin o‘zgarishi, yoki
iqtisodiy modellarda bozorning birdan o‘zgarishi.
Diskret o‘zgarishlar ko‘pincha fizik yoki iqtisodiy tizimlarda voqea bo‘lib, ular
matematik jihatdan tavsiflanishi qiyin bo‘ladi. Taqribiy usullar bu holatlarni
aniqlashda qo‘llanilganda, ular xatoliklarni keltirib chiqarishi yoki natijalarni
noto‘g‘ri hisoblashga olib kelishi mumkin.
Maxsusliklardan Taqlidiy Hisoblashlarda Muammolar
Maxs usliklar mavjud bo‘lgan holatlarda, odatdagi taqribiy usullar, masalan,
Trapetsiya , Simpson , yoki Riemann yig‘indilari kabi usullar yordamida
hisoblashda qiyinchiliklar yuzaga keladi. Bu usullar aniq natijalar bermaydi yoki
hisoblash xatoligi katta bo‘ladi . Bu holatlar, asosan, funksiyaning keskin o‘zgarishi
yoki cheksiz qiymatlarga yaqinlashishi bilan bog‘liq bo‘ladi.
Trapetsiya usuli va Simpson usuli kabi usullar odatda aniq natijalar bera
olmaydi, chunki ular integrallash oraliqdagi singulyar nuqtalarni e'tiborga olmaydi.
Bu esa, hisoblash jarayonida juda katta xatoliklar yoki qiyinchiliklarga olib keladi.
Riemann yig‘indilari esa, ayrim holatlarda, maxsusliklar mavjud bo‘lganda,
konvergensiyani yo‘qotishi yoki natijalar noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin.

9

1.3 Amaliy modellashtirishdagi muammolar
Amaliy modellashtirishdagi muammolar ko'plab ilmiy va muhandislik
sohalarida uchraydi, ayniqsa murakkab tizimlarni va real jarayonlarni matematik
tarzda tasvirlashda. Aniq integral va boshqa matematik modellardan foydalanishda
yuzaga keladigan muammolarni keltirib chiqaradigan asosiy omil —
funksiyalarning maxsusliklar (singulyarliklar) yoki boshqa noan'anaviy
xususiyatlarga ega bo'lishidir. Bu holatlar hisoblash jarayonini yanada
murakkablashtiradi, chunki modellarni yaratishda funksiyalarni tasvirlashda
beqarorliklar va aniqlanmasliklar paydo bo'lishi mumkin.
Amaliy modellashtirishdagi muammolar va ularning sabablari
Cheksizlik va noaniqliklar
Real tizimlarni modellashtiris hda funksiyalar ko‘pincha cheksiz qiymatlarga
ega bo‘lishi yoki aniqlanmagan bo‘lishi mumkin. Bu holatlar maxsusliklarga olib
keladi va natijada integrallashda yoki boshqa hisoblashlar jarayonida xatoliklar
yuzaga keladi.
Masalan, fizik modellarni qurishda , suyuqlik yoki gazning zichligini
hisoblashda, ba'zan bu kattaliklar o‘zgaruvchi nuqtalarda cheksiz qiymatlarga
yaqinlashadi. Bu holatlar tibbiy tasvirlashda ham yuzaga kelishi mumkin, masalan,
MRI (magnit rezonans tasvirlash) yordamida olingan tasvirlard a signal kuchli
o'zgarishlar paydo bo‘lishi mumkin, bu esa hisoblashlarda noaniqliklar va
xatoliklarga olib keladi.
O‘zgaruvchan shartlar va noaniqliklar
Real tizimlarda sharoitlar va parametrlar ko‘pincha o‘zgaruvchan bo‘ladi.
Masalan, iqtisodiy tizimlard a, bozor holati yoki narxlar tezda o‘zgaradi. Bunday
o‘zgarishlar modelni ishlab chiqishda noaniqliklar yaratadi va ularni to‘g‘ri
modellashtirish uchun maxsus yondashuvlar talab etiladi.
Elektron tizimlarni modellashtirishda haroratning o‘zgarishi yoki
materiallarning xususiyatlari o‘zgarishlar va noaniqliklar keltirib chiqarishi
mumkin.

10

Diskret va davomiy o‘zgarishlar
Ko‘p amaliy modellar diskret o‘zgarishlar yoki vaqtni diskretlashtirish ni talab
qiladi, bu esa hisoblash jarayonida noaniqliklarni va maxsusliklarni keltirib
chiqaradi. Masalan, suyuqlik yoki gazning oqimini modellashtirishda, diskret vaqt
oraliqlari yoki fazoviy tarmoq modellarida noaniqliklar yuzaga kelishi mumkin.
Bunda in tegrallash yoki differensial tenglamalarni yechish uchun maxsus
usullar talab etiladi.
Murakkab tizimlarni modellashtirish
Real tizimlar ko‘pincha murakkab va ko‘p omillarni o‘z ichiga oladi. Bu
tizimlarning har bir xususiyati mustaqil ravishda modellashni talab qiladi. Masalan,
iqlimni modellashtirishda ko‘plab o‘zgaruvchilar va parametrlar bor, va har birining
o‘ziga xos ta'siri bo‘ladi. Bunday tizimlarni modellashtirishda maxsusliklar va
beqarorliklar yuzaga kelishi mumkin.
Shuningdek, murakkab dinamik t izimlarda, masalan, biokimyoviy jarayonlar
yoki transport tarmoqlarini modellashtirishda, yuqori o‘zgaruvchanlik va
noaniqliklar hisoblash natijalarini sezilarli darajada o‘zgartirishi mumkin.

11

2-bob. Taqribiy hisoblash usullari va ularning maxsuslik bilan bog‘liq
muammolari
2.1 Taqribiy usullarning mohiyati
Taqribiy usullarning mohiyati aniq yechimlarni topishda qiyinc hiliklar
tug‘ilgan hollarda, ya'ni matematika yoki amaliy modellashtirishda to‘g‘ri natijalar
olishning imkoni bo‘lmagan holatlarda qo‘llaniladigan yondashuvlardir. Taqribiy
(sonli) usullar, odatda, analitik yechimlarni topish mumkin bo‘lmagan yoki juda
mu rakkab bo‘lgan matematik masalalarda, masalan, integralni yoki differensial
tenglamalarni yechishda ishlatiladi.
Taqribiy usullarning asosiy maqsadi — aniq yechimga yaqinlashish va
qo‘llaniladigan kompyuter resurslaridan foydalanib, hisoblashlar orqali ish onchli va
samarali natijalar olishdir. Taqribiy usullar ko‘pincha real tizimlarni
modellashtirishda, maxsusliklar va beqarorliklar yuzaga kelgan holatlarda
qo‘llaniladi. Bu usullar yordamida masalalarni yechish uchun matematik modelga
kiritilgan parametrla r va boshlang‘ich shartlar asosida yaqinlashgan natijalar
hisoblanadi.
Taqribiy usullarni qo‘llashning asosiy yo‘nalishlari:
Integral hisoblash
Aniq integralni hisoblash ko‘plab masalalar uchun muhimdir. Ammo ba'zi
integrallarni analitik tarzda yechish imk oni bo‘lmagan hollarda, taqribiy usullar
yordamida yechim olish mumkin. Misol uchun, trapetsiya usuli va Simpson usuli
kabi usullar aniq integralni hisoblashda qo‘llaniladi, ular matematik formulalarga
asoslangan va qisqa vaqt ichida ishlov berish imkoniya tini beradi.
Sonli integratsiya usullari
Sonli integratsiya usullari aniq integralni hisoblash uchun ishlatiladigan
usullardir. trapetsiya usuli , Simpson usuli va Rema n yig‘indilari — bu usullar real
dunyodagi i ntegrallashda qo‘llanilib, matematik masalalarda yaqin yechimlarni
beradi. Taqribiy usullar ko‘pincha hisoblashda aniq yechimni topishda faqat
chegaralangan xatolik darajasi bilan ishlaydi.

12

2.2 Trapetsiya usuli
Trapetsiya usuli — bu aniq integralni hisoblashning eng oddiy taqribiy
usullaridan biridir. Ushbu usulda, integralni hisoblash uchun funktsiya grafigi
yordamida maydonni trapetsiya shaklida tasvirlash va uni hisoblash orqali natija
olinadi. Bu usul o‘rtach a tezlikda ishlaydi va ba'zan xatoliklar yuzaga kelishi
mumkin.
Misol: Trapetsiya usuli yordamida integralni hisoblash:
Quyidagi integralni hisoblash kerak:

Bu funksiya ham silliq va odd iy, lekin taqribiy usul orqali hisoblashni amaliy
ko‘rsatishimiz kerak.
Trapetsiya usulini qo‘llash uchun oraliqni kichik segmentlarga bo‘lish kerak.
Bu holatda, oraliqni 2 bo‘lakka bo‘lamiz, shunda 3 ta nuqtada qiymat olamiz: x0=0 ,
x1=1 , va x2=2 .
Funksiyaning qiymatlari:

Trapetsiya usulini qo‘llash
Trapetsiya usulining form ulasi:

Bu yerda h=(b−a)/2 , ya’ni oraliqning uzunligi bo‘yicha kichik qadam. Bu
misolda a=0 , b=2 , shuning uchun:

13

Hisoblasak ;

Agar aniq qiymatni hisoblasak:

C++ dasturida trapetsiya usulini qo‘llab, bu integralni hisoblaymiz.
Maxsuslikdan qutilish uchun, a=0.1 va b=1 o‘rtasida hisoblashni amalga oshiramiz
(shunday qilib, 0 nuqtasidan qochamiz).
#include <iostream>
#include <math .h >
// Funksiya: 1/sqrt(x) integrali
double f(double x) {
return 1.0 / sqrt (x);
}
// Trapetsiya usuli bilan integralni hisoblash
double trapezoidalRule (double (*func)( double ), double a, double b, int n) {
double h = (b - a) / n; // Qadam uzunligi
double sum = 0.5 * ( func (a) + func (b)); // Chegaralar bo'yicha yig'indi
// Ichki nuqtalar bo'yicha yig'indi
for (int i = 1; i < n; i++) {
sum += func (a + i * h);
}
return sum * h; // Integral qiymati
}

14

int main () {
double a = 0.1 ; // Pastki chegarani o'rnatamiz (0.0 dan emas, chunki maxsuslik
bor)
double b = 1.0 ; // Yuqori chegara
int n = 1000 ; // Qadamlar soni
double result = trapezoidalRule (f, a, b, n);
std::cout << "Integralning taqribiy qiymati: " << result << std::endl;
return 0;
}
Izoh.
Trapetsiya usulini qo‘llash uchun hisoblash () funksiyasini yaratdik. Bu
funksiya integralni taqribiy hisoblash uchun n ta qadamdan foydalanadi.
Bosh dasturda, integralni hisoblash uchun pastki (0.1) va yuqori (1.0)
chegaralarni belgilab, n = 1000 qadamda natijani hisobladik.
Dastur natijasi:
Dastur natijasida integralning taqribiy qiym ati chiqariladi. Masalan, agar biz
a=0.1 , b=1 , va n=1000 ni tanlasak, natija quyidagicha bo‘ladi:
Integralning taqribiy qiymati: 2.03943
Misol . Quydagi misolni trapetsiya usuli bilan va C++ da dasturini tuzamiz:

Analitik yechimi: ar ctan (1)=p/4 ≈0,7854

C++ tilida dastur iy modelini tuzamiz :
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// Funksiya ta'rifi

$15 double f(double x) { return 1.0 / (1 + x * x); } // Trapetsiya usuli funksiyasi double trapezoidal(double a, double b, int n) { double h = (b - a) / n; double sum = f(a) + f(b); for (int i = 1; i < n; i++) { double x = a + i * h; sum += 2 * f(x); } return (h / 2) * sum; } int main() { double a = 0.0; double b = 1.0; int n = 10; // bo'linmalar soni double natija = trapezoidal(a, b, n); cout.precision(10); cout << "Trapetsiya usuli natijasi: " << natija << endl; cout << "Aniq qiymat (pi/4) : " << M_PI / 4 << endl; cout << "Xatolik : " << fabs((M_PI / 4) - natija) << endl; return 0; } Dastur natijasi: Trapetsiya usuli natijasi: 0.7842408374 Aniq qiymat (pi/4) : 0.7853981 634 Xatolik : 0.0011573260$

16

2.3 Simpson usuli
Simpson usuli trapetsiya usuliga nisbatan aniqroq natija beradi, chunki u
parabolalar yordamida funksiya grafikasini yaqinlashtiradi. Bu usul yordamida
integralni hisoblashda xatoliklar sezi larli darajada kamayadi, ammo hisoblashda
ko‘proq resurs talab etiladi. Simpson usuli uchun funksiya, oraliqda ikki nuqtada va
ularning o‘rtasidagi parabola yordamida ifodalanadi.
Agar f(x) uzluksiz bo'lib, [a,b] oraliqga bo'lingan bo'lsa va bo'linma soni juft
bo'lsa, Simpson usuli bilan ishlash: Quydagi formula bilan hisoblanadi.

Bu yerda:
h= (b−a )/n — qadam qadam
n— bo'linmalar soni (juft bo'lishi shart)
xi=a+i *h
Q uydagi integralni hisoblaymiz.

Bu funksiya silliq bo‘lib, aniq qiymatini hisoblash mumkin, lekin uni taqribiy
hisoblash usuli bilan ham topamiz.
Simpson usuli yordamida yuqoridagi integralni taqribiy hisoblash .
Simpson usulini qo‘llash u chun oraliqni kichik segmentlarga bo‘lish kerak. Bu
holatda, oraliqni 2 bo‘lakka bo‘lamiz, shunda 3 ta nuqtada qiymat olamiz: x0=0,
x1=0.5 va x2=1 .

17

Simpson usulining formulasi:

Bu yerda h=(b−a)/2 , ya’ni oraliqning uzunligi bo‘yicha kichik qadam. Bu
misolda a=0 , b=1 , shuning uchun:

Agar aniq qiymatni hisoblasak:

Aniq natija: I=0.7854
Taqribiy hisoblash natijasi (Simpson usuli): I≈0.7833
C++ tilida dastur qismi:
#include <iostream>
#include <m ath.h>
using namespace std;

// Integrallanuvchi funksiya: f(x) = 1 / (1 + x^2)

18

double f(double x) {
return 1.0 / (1 + x * x);
}
// Simpson usuli
double simpson(double a, double b, int n) {
if (n % 2 != 0) {
cout << "Xatolik: n juft son bo'lishi kerak!" << endl;
return -1;
}

double h = (b - a) / n;
double sum = f(a) + f(b);
for (int i = 1; i < n; i++) {
double x = a + i * h;
if (i % 2 == 0)
sum += 2 * f(x);
else
sum += 4 * f(x);
}
return (h / 3) * sum;
}
int main() {
double a = 0.0;
double b = 1.0;
int n = 10; // juft bo'lishi kera
double natija = simpson(a, b, n);
if (natija != -1) {
cout.precision(10);
cout << "Simpson usuli natijasi: " << natija << endl;

$19 cout << "Aniq qiymat (pi/4) : " << M_PI / 4 << endl; cout << "Xatolik : " << fabs((M_PI / 4) - natija) << e ndl; } return 0; } Dastur natijasi: Simpson usuli natijasi: 0.7853981634 Aniq qiymat (pi/4) : 0.7853981634 Xatolik : ~0 Integraln i simpson usuli orqa li hisoblaymiz : Bu integraldan analitik yechim : C++ tilida dastur kod qismi: #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; // Funksiya ta'rifi: f(x) = x^4 + 2x^2 + 1 double f(double x) { return pow(x, 4) + 2 * pow(x, 2) + 1; } // Simpson usuli double simpson(double a, double b, int n) { if (n % 2 != 0) {$

20

cout << "Xatolik : n juft son bo'lishi kerak!" << endl;
return -1;
}
double h = (b - a) / n;
double sum = f(a) + f(b);
for (int i = 1; i < n; i++) {
double x = a + i * h;
if (i % 2 == 0) {
sum += 2 * f(x);
} els e {
sum += 4 * f(x);
}
}
return (h / 3) * sum;
}
int main() {
double a = 0.0; // pastki chegara
double b = 2.0; // yuqori chegara
int n = 10; // bo'linmalar soni (juft bo'lishi shart)
double natija = simpson(a, b, n);
if (natija != -1)
cout << "Simpson usuli natijasi: " << natija << endl;
return 0;
}

Dastur natijasi:
Simpson usuli natijasi: 20.1333

21

2.4 Reman yig‘indilari
Remann yig‘indilari — bu taqribiy usulning yana bir shaklidir, bu usulda
integral hisoblash uchun maydonni kichik bo‘laklarga bo‘lish va har bir bo‘lakning
maydonini hisoblash kerak. Bunda yakuniy natija bo‘lgan integral, har bir kichik
bo‘laklar s ummasi sifatida olinadi. Bunday usul yordamida integrallarni aniq
hisoblash mumkin bo‘lmasa, ularni yaqinlashtirish mumkin.
Rema n yig’indisi formulasi:
Agar f(x) funksiyasi [a,b] oraliqda uz luksiz bo‘lsa va oraliq n ta kichik qismga
bo‘linsa (Δx=(b−a)/n ), unda:

bo’ladi.
Modellashtirishdagi o‘ rni
Riemann yig’indilari soddaligi sababli ko‘plab modellashtirish dasturlarida
boshlang‘ich taqribiy usul sifatida ishlatiladi. Masalan:
Elektr zanjirlaridagi quvvat sarfini hisoblash;
Suyuqliklarning umumiy oqimini aniqlash;
Mahsulot tannarxini vaqtga bo g‘lab hisoblash.
Ushbu usul dastlabki taxminlar va vizual tasavvur berishda qulay, ammo aniq
natijalar talab qilinadigan holatlarda ehtiyotkorlik bilan qo‘llaniladi.
M isol .
Berilgan funksiya: f(x)=x 2
Hisoblash oraliği: [0,2]
Bo‘laklar soni: n=4
Chap Riemann yig’indisi bo‘yicha integralni taqribiy hisoblang.
Qadamlar:
Δx=(2−0)/4=0. 5
Chap nuqtalar: x0=0, x1=0. 5, x2=1. 0, x3=1. 5

$22 Q uydagicha hiso blanadi : C++ da dastur qismi: #include <iostream> using namespace std; // Funksiya: f(x) = x^2 double f(double x) { return x * x; } int main() { double a = 0.0; // Boshlanish nuqtasi double b = 2.0; // Tugash nuqtasi int n = 4; // Bo‘laklar soni double delta_x = (b - a) / n; double sum = 0.0; for (int i = 0; i < n; ++i) { double x = a + i * delta_x; // Chap nuqtalar sum += f(x); } double result = sum * delta_x; cout << "Chap Riemann yig'indisi natijasi: " << result << endl; return 0; } D astur na tijasi:$

23

2.5 Maxsusliklarda bu usullarning muammosi
Taqribiy integral hisoblash usullari — masalan, trapetsiya, Simpson yoki
Reman yig‘indilari — silliq va yaxshi ta’riflangan funk siyalar uchun mo‘ljallangan.
Ammo modellashtirishda ko‘p hollarda uchraydigan maxsusliklar (singulyarliklar)
bu usullarning ishlashiga jiddiy to‘siq bo‘ladi. Maxsuslik mavjud bo‘lsa, hisoblash
aniqligi keskin pasayadi yoki butunlay noto‘g‘ri natijalar chiq ishi mumkin.
Maxsusliklar qanday muammo tug‘diradi ?
Chekka maxsusliklarda (boshlanish yoki oxirgi nuqtalarda)
Masalan: ∫1
0
1
√??????????????????
Bu integral matematik jihatdan yaqinlashuvchi bo‘lsa ham, x=0 da
funksiyaning qiymati cheksiz bo‘lib ketadi. Taqribiy usullar bu nuqtada sonli qiymat
ololmaydi, chunki hisoblashda f(0)f(0 )f(0) aniqlanmagan yoki juda katta chiqadi.
Muammo:
Trapetsiya yoki Simpson usulida oraliqdagi har bir nuqtadagi funksiya qiymati
olinadi. Agar nuqtada qiymat cheksiz bo‘lsa, algoritm ishdan chiqadi yoki xatolik
beradi.
Natijada butun hisob noto‘g‘ri bo‘ladi, yoki hisoblash tugamaydi.
Ichki maxsusliklard a (oraliq ichidagi nuqtalarda)
Masalan: ∫ 1
??????−1
2
0 ????????????
Bu yerda x=1 nuqtasida funksiya cheksiz bo‘ladi, lekin oraliqdagi boshqa
nuqtalarda oddiy ishlaydi. Ammo hisoblash davomida bu nuqta ham qamrab olinadi.
Muammo:
Simpson yoki trapetsiya usuli bu nuqtani inkor eta olmaydi — uni avtomatik
tarzda hisobga oladi.
Maxsuslikdagi keskin o‘zgarish atrofidagi qiymatlar hisoblashni buzadi:
funksiya grafigi juda tik yoki sakrashli bo‘ladi.
Integrallashda kuchli xatoliklar yuzag a keladi, xususan, funksiya
qiymatlarining o‘rtachasi noto‘g‘ri hisoblanadi.

24

Diskret o‘zgarishlar (sakrashlar)
Ayrim fizik modellar, masalan, impulslar yoki zarbalar, aniqlangan nuqtalarda
qiymatining keskin o‘zgarishini ko‘rsatadi.
Muammo:
Trapetsiya y oki Simpson usullari silliqlikni talab qiladi. Sakrash joylari bu
silliqlikni buzadi.
Agar funksiya birdan o‘zgarib ketsa (masalan, 0 dan 100 ga), bu holda
hisoblangan maydon (ya'ni integral qiymati) noto‘g‘ri chiqadi.
Qanday qilib bu muammolarni kamaytirish mumkin?
Maxsuslik nuqtalarini ajratib olish (oraliqni bo‘lish) - integralni alohida
intervallarga bo‘lish va maxsuslik yaqinida moslashtirilgan metodlarni qo‘llash.
Ko‘proq nuqtalar bilan hisoblash (mesh refinement) - m axsuslik yaqinida
qadam uzunligini kichraytirish orqali aniqlikni oshirish.
Funksiyani almashtirish - cheksizlikka ega funksiyani unga ekvivalent, lekin
silliqroq funksiya bilan almashtirish.
Mos lashtirilgan sonli usullar - singulyarliklar uchun maxsus ishlab chiqilgan
kvadraturalar (masalan, Gauss -Kronrod usullari) bilan ishlash.

25

3-bob: Maxsusliklardan qutilish usullari
3.1. Maxsusliklar: Tushuncha va tahlil
Matematik modellashtirishda maxsusliklar (yoki singulyarliklar) — bu
funksiyaning qiymati cheksizga intilishi, aniqlanmasligi yoki keskin o‘zgarish yuz
beradigan nuqtalardir. Bunday nuqtalar modellashtirish natijalariga kuchli ta’sir
ko‘rsatadi va hisoblash jarayonlarini murakkablashtiradi. Maxsusliklarni aniqlash va
tah lil qilish modellashtirishda muhim bosqich hisoblanadi, chunki ular fizik
hodisalarning chegara holatlarini aks ettiradi.
Maxsusliklarni tahlil qilish bosqichlari .
Maxsuslik mavjudligini aniqlash -real modellashtirishda fizik sabablari bormi
(masalan, bosim, kuch, tok kuchi kutilmaganda juda katta bo‘lib ketishi)?
Maxsuslik joylashgan nuqtani aniqlash -bu nuqtani taqribiy hisoblashda
aniqlash muhim: u oraliq chetida yoki ichkar isidami?
Maxsuslik xatti -harakatini o‘rganish -bu xatti -harakatga qarab qanday usul
tanlash mumkinligi baholanadi.
Ta’sir doirasini baholash -m axsusl ik faqat bitta nuqtaga taalluqlimi yoki uning
atrofidagi oraliqni ham sezilarli o‘zgartiryaptimi?
Amaliy jihatdan tahlil misollari
Elektr maydoni modeli - zaryadga juda yaqin nuqtada kuchli singulyarlik yuz
beradi.
Suyuqliklar dinamikasi - quvurda oqim keski n toraygan joyda bosim funksiyasi
cheksizlikka intiladi.
Iqtisodiy modellarda - narx o‘zgarishi nuqtasida xarid qilish hajmining
sakrashli o‘zgarishi.
Maxsusliklarni tahlil qilish — bu oddiy matematik hisob emas, balki tizim
xatti -harakatini tushunish, fizik sabablarga asoslanib muammoni aniqlash va uni
hisoblash jarayoniga moslashtirishdir.

26

3.2. Maxsusliklardan qutilishning asosiy usullari
Transformatsiya usullari
Maxsusliklardan qutilish uchun eng samarali yondashuvlardan biri
transformatsiya usulidir. Bu usulda maxsuslik yuzaga kelgan oraliqni yoki
o‘zgaruvchi qiymatlarni yangi o‘zgaruvchilarga almashtirish orqali yechim olishga
harakat qilinadi.
Misol: Singulyar integralni yechish uchun:

Bu integralda x=0 nuqtada maxsuslik mavjud. Maxsuslikdan qutilish uchun,
transformatsiya orqali integralni quyidagicha o‘zgartiramiz:

Endi integral quyidagicha bo‘ladi:

Bu yerda maxsuslik yo‘qolgan va hisoblash aniq natija beradi.
Chastota yondashuvlari.
Chastota (yoki o‘zgaruvchan qadamlar) yondashuvi orqali maxsusliklardan
qutilish mumkin. Bu usulda, maxsuslik yuzaga kelgan nuqtalar yaqinida qisqa
qadamlar olinadi, bu esa hisoblashda ko‘proq aniqlikni ta’minlaydi.
Misol: Agar f(x) funktsiyasi x=0 nuqtada singuly ar bo‘lsa, biz chastota usulini
qo‘llash orqali integralni hisoblashni amalga oshirishimiz mumkin. Ya’ni,
maxsuslik bo‘lganda, qadam uzunligini o‘zgartirib, integralni aniqroq hisoblash
mumkin.
Hisoblash tarmoqlar i - orqali o‘zgaruvchi yoki integral bo‘limlari bir -biridan
farqlanib, maxsusliklarni yengishga yordam beradi. Bu usulda ko‘pincha subyektiv
(empirik) yondashuvlar qo‘llaniladi, ya’ni konkret masala asosida taxminiy
yondashuvlar aniqlanadi.

27

3.3. Maxsusliklarni qutilish usulining amaliy m odellashtirishda
qo‘llanilishi
Matematik modellashtirishda maxsusliklardan qutilish usullari, ayniqsa,
kompyuter modellari va simulyatsiyalash da keng qo‘llaniladi. Bu usullar
yordamida, masalan, ijtimoiy, iqtisodiy va ekologik tizimlarning matematik
modellari yaratishda yuzaga keladigan maxsusliklar osonlikcha yengiladi.
Iqtisodiy modellar, masalan, narxlar o‘zgarishi yoki tahliliy savdo ni
hisoblashda maxsusliklar paydo bo‘lishi mumkin. Bu maxsusliklar ko‘pincha
iqtisodiy jarayonlar juda o‘zgaruvchan bo‘lganda, ya’ni yuzaga kelgan ixtiloflar
yoki defitsitlar natijasida yuz beradi.
Ekologik m odellashtirishda m axsusliklardan qutulish
Ekologik tizimlar modellashtirilganda maxsusliklar asosan tizimdagi harorat
yoki tarkibiy o‘zgarishlar tufayli paydo bo‘ladi. Bu tizimlar ko‘pincha noaniqliklarni
va maxsus nuqtalarni o‘z ichiga oladi. Maxsusliklardan qutilish uchun ekologik
modellarni:
Chastota yondashuvi bilan modellashtirish,
Simulyatsiyalar or qali yechim topish,
Tizimning stabilizatsiya modelini yaratish kabi yondashuvlar yordamida
soddalashtirish mumkin.
Maxsusliklardan qutilishning turli usullari matematik modellashtirishda
muhim rol o‘ynaydi. Transformatsiya, chastota yondashuvlari, va subye ktiv usullar
yordamida maxsusliklar muvaffaqiyatli tarzda yengiladi. Bu metodlar ko‘plab
amaliy masalalarda , jumladan iqtisodiy va ekologik tizimlarni modellashtirishda
samarali qo‘llaniladi. Maxsuslikdan qutilish va taqribiy hisoblash usullari bilimlarni
yanada chuqurlashtirishga va nazariy ishlarni amaliy qo‘llashga yordam beradi.

28

Xulosa
Ushbu kurs ishida aniq integralni taqribiy hisoblash usullarining nazariy
asoslari va ularning amaliy qo‘llanilishi keng yoritildi. Integrallash matematik
tahlilning asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lib, uning ko‘plab masalalarda, jumladan
fizika, muhandislik, iqtis odiyot va kompyuter fanlarida keng qo‘llanilishi mavjud.
Ammo har bir funksiya uchun integralni aniq analitik usulda topish imkoni mavjud
emas. Ayniqsa, murakkab funksiyalar, empirik ma’lumotlar asosida berilgan
funksiyalar yoki analitik ifodasi mavjud bo‘ lmagan hollarda bu muammo yanada
dolzarb bo‘ladi.
Shunday hollarda aniq integralni taqribiy hisoblash usullari, ya’ni sonli
integrallash usullari qo‘llaniladi. Bu usullar integralni ma’lum nuqtalardagi
funksiyalar qiymatlari asosida hisoblaydi va natijada integralning taxminiy
qiymatini beradi. Kurs ishida o‘rganilgan asosiy usullar — trapetsiya usuli va
Simpson usuli bo‘lib, ular eng ko‘p qo‘llaniladigan klassik taqribiy metodlardandir.
Trapetsiya usuli oddiy tuzilishga ega bo‘lib, integral ostidagi funksi yani
oraliqlarda trapetsiya bilan almashtirishga asoslanadi. Simpson usuli esa parabolik
yaqinlashtirishga asoslangan bo‘lib, aniqligi yuqoriroq bo‘ladi. Har ikki usulni C++
dasturlash tili orqali kompyuterda avtomatlashtirish imkoniyati ularni amaliy
hiso blashlarda qulay vosita sifatida keng qo‘llashga imkon beradi.
Amaliy hisoblashlar shuni ko‘rsatdiki, ushbu usullar orqali integralni ancha
aniq qiymatlar bilan hisoblash mumkin. Natijalar analitik yechim bilan
solishtirilganda, xatolik juda kichik bo‘lish i aniqlanib, bu usullarning ishonchliligini
tasdiqlaydi. Ayniqsa, bo‘linmalar sonini oshirish bilan aniqlik sezilarli darajada
ortadi.
Bunday yondashuvlar orqali aniq integralni yechishdagi maxsuslikdan qutilish ,
ya’ni analitik usul bilan yechib bo‘lmaydig an yoki yechimi mavjud bo‘lmagan
hollarda ham taqribiy natijaga erishish mumkinligi ta’minlanadi. Bu esa amaliy
muammolarni modellashtirish va echishda matematik analizni amaliyotga
yaqinlashtiradi.

29

Xulosa qilib aytganda, aniq integralni taqribiy hisoblash usullari — matematik
modellashtirish va sonli tahlilning muhim bo‘limidir. Ular orqali ilmiy va texnik
masalalarni kompyuter yordamida samarali yechish, yuqori aniqlikdagi natijalarni
olish, va funksiyalarning integrallanishidagi maxsusliklarni bartaraf e tish mumkin.
Bu mavzuning o‘rganilishi amaliy va nazariy jihatdan katta ahamiyat kasb etadi va
hisoblash matematikasining muhim yo‘nalishlaridan biri hisoblanadi.

30

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Qoriyev A.Q., Raxmonov A.R. – Matematik analiz . Toshkent: O‘zbekiston
Milliy Universiteti nashriyoti, 2020.
2. Boymurodov M.N. – Hisoblash matematikasi . Toshkent: O‘qituvchi, 2018.
3. Ibrahimov I., Matnazarov Sh. – Matematik analizdan masalalar va
mashqlar . Toshkent: Fan, 2017.
4. G.D. Smith – Numerical Solution of Partial Differential Equations . Oxford
University Press, 1985.
5. Kalitkin N.N. – Chislennye metody . Moskva: Nauka, 2001.
6. Chapra S.C., Canale R.P. – Numerical Methods for Engineers . McGraw -
Hill, 6 th Edition, 2010.
7. GNU C++ Documentation – https://gcc.gnu.org/
8. GeeksforGeeks: https://www.geeksforgeeks.org – Trapezoidal and
Simpson’s Rule implementations in C++
9. Khan Academy – https://www.khanacademy.org – Integral hisob va sonli
integrallash mavzulari.

Aniq integralni taqribiy hisoblashda maxsuslikdan qutulish

Купить

Информация о документе

Продавец

Aniq integralni taqribiy hisoblashda maxsuslikdan qutulish

Похожие документы