Aniqmas integral - Алгебра - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	726.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	doc
Раздел	Рефераты
Предмет	Алгебра

Aniqmas integral

Купить

Aniqmas integral

Mavzu: Aniqmas integral va uning xossalari
Reja
1. Boshlang’ich funksiya va uning xossasi.
2. Aniqmas integral va uning xossalari.
3. Asosiy integrallar jadvali .
504

Tayanch ibora va tushunchalar
Boshlang’ich funksiya, aniqmas integral, integrallash, aniqmas integral
xossalari, asosiy integrallar jadvali.
1. Boshlang’ich funksiya va uning xossasi. Ma’lumki
matematikada amallar juft-juft bo’lib uchrab keladi. Jumladan, qo’shish va
ayirish, ko’paytirish va bo’lish, darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish va
boshqalar. Funksiya hosilasini topishga yoki differensialash amaliga teskari
amal bormikan degan tabiiy savol tug’iladi.
Differensial hisobda funksiya berilgan bo’lsa, uning hosilasini
topishni qaradik. Haqiqatda ham fan va texnikaning bir qancha
masalalarini hal etishda teskari masalani yechishga to’g’ri keladiki,
berilgan funksiya uchun shunday, funksiyani topish kerakki,
uning hosilasi berilgan funksiyaga teng bo’lsin. Ma’lumki, bunday
funksiyaga berilgan funksiyaning boshlang’ich (dastlabki)
funksiyasi deyiladi.
Masalan, funksiyaning boshlan g’ ich funksiyasi,
b o’ ladi, chunki b o’ ladi.
2. Aniqmas integral va uning xossalari. Ta ’ rif . funksiya
biror oraliqda funksiyaning boshlang ’ ich funksiyasi bo ’ lsa ,
( bunda ixtiyoriy o ’ zgarmas ) funksiyalar to ’ plami shu oraliqda
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va

505

bilan belgilanadi. Bu yerda integral ostidagi funksiya,
integral ostidagi ifoda, integrallash o’zgaruvchisi,  integral belgisi
deyiladi.
Demak, simvol, funksiyaning hamma
boshlang’ich funksiyalari to’plamini belgilaydi.
Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amaliga
integrallash deyiladi.
Aniqmas integralning xossalari :
1) aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga,
differensiali esa integral ostidagi ifodaga teng, ya’ni

2) biror funksiyaning hosilasidan hamda differensialidan aniqmas
integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng, ya’ni

Bu xossalar aniqmas integralning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Haqiqatan, 1-xossadan b o’ ladi.
(Qolganlarini keltirib chiqarish o’quvchiga havola etiladi).
Bu xossalardan differensiallash va integrallash amallari o’zaro
teskari amallar ekanligini payqash mumkin.
3) o’ zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish
mumkin, ya’ni bo’lsa,

4) chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas
integrali, shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga
teng, ya’ni
3. Asosiy integrallar jadvali . Berilgan funksiyaga asosan uning
boshlang’ichini topish, berilgan funksiyani differensiallashga nisbatan
ancha murakkabroq masaladir. Differensial hisobda asosiy elementar
506

funksiyalarning, yig’indining, ko’paytmaning, bo’linmaning hamda
murakkab funksiyalarning hosilasini topishni o’rgandik. Bu qoidalar
istalgan elementar funksiyalarning hosilasini topishga imkon berdi.
Elementar funksiyalarni integrallashda esa differensiallashdagidek umumiy
qoidalar yo’q. masalan, ikkita elementar funksiyalar boshlang’ichlarining
ma’lum bo’lishiga qaramasdan, ular ko’paytmasining, bo’linmasining
boshlang’ichini topishda aniq bir qoida yo’q.
Integrallashda integral ostidagi ifodaning muayyan berilishiga
qarab, unga mos individual usullardan foydalanishga to’g’ri keladi.
Boshqacha aytganda, integrallashda ancha kengroq fikr yuritish kerak
bo’ladi. Funksiyani integrallash ya’ni boshlang’ich funksiyani topish
metodlari bir qancha shunday usullarni ko’rsatadiki, ular yordamida ko’p
hollarda maqsadga erishiladi.
Integrallashda maqsadga erishish uchun quyidagi asosiy
integrallar jadvalini yoddan bilish zarur.
Bu formulalarning to’g’riligini, tekshirish tengliklarning o’ng
tomonidagi ifodalar differensiali integral ostidagi ifodaga teng ekanligini
ko’rsatishdan iboratdir. Masalan ,

Integrallashga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Integralning 4 va 3 xossalariga asosan,

bo’ladi. Asosiy integrallar jadvalidagi 1), 2), 4) formulalarga asosan,
507

Demak,
.
Yuqoridagi integralni hisoblashda har bir uchta integralda o’zining
ixtiyoriy o’zgarmasini qo’shdik, lekin oxirgi natijada bitta ixtiyoriy
o’zgarmasni qo’shamiz, chunki ixtiyoriy o’zgarmaslar bo’lsa,
ham ixtiyoriy o’zgarmas bo’ladi, shuning uchun, oxirgi
natijani quyidagicha yozamiz:
.
Integralning to’g’ri hisoblanganligini tekshirish uchun oxirgi
tenglikning o’ng tomonini differensiallash bilan ko’rsatish mumkin.(buni
bajarishni o’quvchiga havola etamiz).
2-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Manfiy daraja xossasidan, hamda 4) xossadan
foydalanib, jadvaldagi 1) formulaga asosan,

b o’ ladi.
3-misol. integralni hisoblang.
Yechish. ayniyatdan hamda integralning 3) va
508

4) hossalaridan foydalanib hisoblaymiz:

4-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Jadvaldagi 9) formulaga asosan,

Mustahkamlash uchun savollar
1. Boshlang’ich funksiya qanday funksiya?
2. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral orasida qanday
bog’lanish bor?
3. Integrallash amali nima?
4. Aniqmas integral qanday xossalarga ega?
5. Asosiy integrallar jadvali nimalardan iborat?
6. Integrallash to’g’ri bajarilganligini qanday tekshirish mumkin?

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

5 -mavzu . Aniqmas integralda integrallash usullari
Reja
1. O’zgaruvchini almashtirish .
2. Bo’laklab integrallash.
509

Tayanch ibora va tushunchalar
O’zgaruvchini almashtirish, bevosita integrallash, bo’laklab integrallash,
bo’laklab integrallashning maqsadga muvofiqligi.
Shunday bir necha usullarni qaraymizki, ular yordamida ko’p hollarda
integrallarni hisoblash, jadval integrallariga keltiriladi.
1. O’zgaruvchini almashtirish . Ko’p hollarda yangi o’zgaruvchi
kiritish bilan integralni hisoblash, jadval integraliga keltiriladi. Bunda
almashtirish olinib, bunda yangi o’zgaruvchi bo’lib,
o’zgaruvchini almashtirish formulasi

ko’rinishda bo’ladi.
O’zgaruvchini almashtirish usuliga bir necha misollar qaraymiz
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. deb yoki ekanligini hisoblasak,

b o’ ladi.
2-misol. integralni hisoblang.
Yechish. o’zgaruvchi bilan almashtiramiz. Bu holda
yoki bo’lib,
b o’ la
di.
3-misol.  integralni hisoblang.
Yechish. Bunda o’zgartirish olib,

510

natijaga ega bo’lamiz. Bunday integrallashga bevosita integrallash deb
ataladi. Chunki bilan o’zgaruvchini almashtirib ham shu natijaga
kelish mumkin edi. Yuqoridagi integralda o’zgaruvchini almashtirib
o’tirmasdan uni fikrda bajardik.
4-misol. integralni hisoblang.
Yechish. bilan yangi o’zgaruvchini almashtirib,
ekanligini hisobga olsak,

b o’ ladi.
5-misol. integralni hisoblang.
Yechish. bilan yangi o’zgaruvchi kiritamiz oxirgi
tenglikdan differensial topib, bo’lganligi uchun,
b o’ ladi.

6-misol. integralni hisoblang.
Yechish. ni hisobga olib,

natijaga kelamiz.
Shunday qilib, oddiy hollarda

tengliklardan foydalanib, o’zgaruvchini almashtirishni fikrda bajarib,
bevosita integrallash ham mumkin.
2. Bo’laklab integrallash. Bo’laklab integrallash usuli differensial
hisobning ikkita funksiya ko’paytmasi differensiali formulasiga asoslangan.
511

Ma’lumki, bundan Oxirgi
tenglikni integrallab,

natijaga ega b o’ lamiz. Shunday qilib,
(1)
formulani hosil qildik. (1) formulaga bo’laklab integrallash formulasi
deyiladi.
Bu formula yordamida berilgan integraldan ikkinchi
integralga o’tiladi. Demak, bo’laklab integrallashni qo’llash natijasida hosil
bo’lgan ikkinchi integral, berilgan integralga nisbatan soddaroq yoki jadval
integrali bo’lgandagina bu usulni qo’llash maqsadga muvofiqdir. Bu
maqsadga integral ostidagi ifodani va ko’paytuvchilarga qulay
bo’laklab olish natijasida erishish mukmin. Berilgan integral ostidagi
ifodaning bir qismini va qolgan qismini deb olgandan keyin (1)
formuladan foydalanish uchun va larni aniqlash kerak bo’ladi.
ni topish uchun ning differensiali topilib, ni topish uchun esa
ifodani integralaymiz, bunda integral ixtiyoriy o’zgarmas ga bog’liq
bo’lib, uning istalgan bir qiymatini xususiy holda ni olish mumkin.
Shunday qilib, integral ostidagi ifodaning bir qismini deb olishda
u differensiallash bilan soddalashadigan, qolgan qismi bo’lib,
qiyinchiliksiz integrallanadigan bo’lishi kerak.
Bo’laklab integrallash formulasi ko’proq:
(bularda biror darajali ko’phad) ko’rinishdagi integrallarni
hisoblashda ishlatiladi. Bu integrallarni hisoblashda 1) guruh integrallarda
uchun ko’phad, qolgan qismi uchun olinib, 2) guruh
integrallarda uchun mos ravishda
lar,
qolgan qismi uchun olinadi.
512

Bo’laklab integrallashga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Integral ostidagi ifodani deb
Bo’laklasak, bo’lib, (1) formulaga asosan,

natijaga ega bo’lamiz.
Bu integralda (1) formuladan foydalanish natijasida ikkinchi
integral hosil bo’ldi, bu jadval integrali bo’lganligi uchun
osongina topildi.
2-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Yuqorida eslatilganidek ko’rinishda bo’laklab
olsak,

hosil bo’ladi. (1) formulaga asosan

bo’ladi. Oxirgi hosil bo’lgan integral berilgan integralga nisbatan
soddalashdi (berilgan integralda ning 2- darajasi, ikkinchisida buning
darajasi bittaga kamaydi). Keyingi integralda yana (1) formulani
qo’laymiz .
Shunday qilib, natijada
h
osil bo’ladi.
3-misol. integralni hisoblang.
513

Yechish. Yuqorida eslatilganidek emas, teskarisini ya’ni
bo’laklab olaylik; bu holda
bo’lib (1) formuladan foydalangandan
keyin

+
ifoda hosil bo’ladi. Keyingi integral berilgan
integralga nisbatan murakkabroqdir( ning darajasi bittaga ortdi). Demak,
bunday bo’laklab olish maqsadga muvofiq emas, ya’ni
deb olish kerak edi. (Bu integralni hisoblashni o’quvchiga havola qilamiz).
4-misol. integralni hisoblang.
Yechish.
Bu integralda bir marta bo’laklab integrallagandan keyingi hosil bo’lgan
integralda o’zgaruvchini almashtirish usulidan foydalanib integralladik.
Integrallash usullarini qo’llashda o’zgaruvchini almashtirganda yoki
bo’laklab integrallaganda yozuvda tartib bo’lishi uchun yuqoridagi
integralni hisoblangandagidek yozishga odat qilishni tavsiya etiladi.
5-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Bo’laklab integrallasak

hosil bo’ladi.
514

Keyingi integral, berilgan integral bilan o’xshashdek tuyuladi, lekin
oxirgi integralda bo’laklab integrallash formulasini ikkinchi marta qo’llash
bilan quyidagiga ega bo’lamiz:
Shunday qilib ,

hisoblanishi kerak bo’lgan integralga nisbatan oddiy chiziqli
tenglamaga keldik . Oxirgi tenglamadan

natijaga ega bo’lamiz .
Mustahkamlash uchun savollar
1. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas
integrali nimaga teng ?
2. O’zgaruvchini almashtirib integrallashning mohiyati nima?
3. Bevosita integrallash nima?
4. Bo’laklab integrallash usuli nimaga asoslanadi?
5. Bo’laklab integrallash formulasini yozing?
6. Bo’laklab integrallash qanday holda maqsadga muvofiq
bo’ladi?
7. Qanday hollarda bo’laklab integrallashdan foydalaniladi?

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
515

Ushbu integrallarni hisoblang.
6 -mavzu. Rasional va irrasional funksiyalarni integrallash
Reja
1. Rasional kasr funksiyalarni integrallash:
1). To’g’ri va noto’g’ri kasr rasional funksiyalar haqida;
2). To’g’ri kasr rasional funsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida
ifodalash va ularni integrallash;
3). To’g’ri kasr rasional funsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida
ifodalash.
2. Ayrim irrasional funksiyalarni integrallash.

Tayanch ibora va tushunchalar
Kasr rasional funksiyalar, to’g’ri va noto’g’ri kasr rasional
funksiyalar, ko’p hadni ko’p hadga bo’lish, sodda kasrlar, rasional funksiya
yoyilmasi, noma’lum koeffisiyentlar usuli, irrasional funksiyalar.
1. Rasional kasr funksiyalarni integrallash. 1). To’g’ri va
noto’g’ri kasr rasional funksiyalar haqida. Yuqorida ko’rsatilgan
516

integrallash usullari yordamida hamma integrallarni hisoblash mumkin deb
bo’lmaydi .
Shunday funksiyalar sinflari borki, ular uchun muayyan usullardan
foydalanib ularni jadval integrallariga yoki integrallash usullaridan
foydalanish uchun qulay holga keltirish mumkin, shunday funksiya
sinflaridan ayrimlarini qaraymiz.
Ma’lumki , har qanday rasional funksiyani ushbu ko’rinishida ifodalash
mumkin , ya’ni
.
Curatdagi ko’phadning darajasi maxrajdagi ko’phad darajasidan kichik,
ya’ni bo’lsa, berilgan kasrga to’g’ri kasr rasional funksiya
deyiladi. Suratdagi ko’phadning darajasi bo’lsa, noto’g’ri kasr
rasional funksiya deyiladi. Kasr noto’g’ri kasr rasional funksiya bo’lsa,
suratni maxrajga, ko’phadni ko’phadga bo’lish qoidasiga asosan bo’lib,
uning butun qismini ajratib, uni butun va to’g’ri kasr rasional funksiyaga
keltirish mumkin. Masalan , noto’g’ri kasr rasional
funksiyani, k o’ p h adni k o’ p h adga bo’lib,

ko’rinishda yozish mumkin.
Umumiy holda, noto’g’ri kasr rasional funksiya bo’lsa, uni
= +
shaklda ifodalash mumkin, bu yerda butun rasional funksiya,
to’g’ri rasional kasr funksiyadan iborat. funksiyani osongina
integrallash mumkin.
517

Shunday qilib, noto’g’ri kasr rasional funksiyani integrallashni,
to’g’ri kasr rasional funksiyani integrallashga keltiriladi.
2). To’g’ri kasr rasional funsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida
ifodalash va ularni integrallash
ya’ni, kvadrat uch had haqiqiy ildizga ega emas);
butun son, rasional to’g’ri
kasrlarga sodda kasr rasional funksiyalar deyiladi. ( - haqiqiy
sonlar).
Birinchi ikki xildagi funksiyalarni osongina integrallash mumkin,
ya’ni,
b o’ la
di. Endi ushbu
integralni h isoblaymiz.
Oldin xususiy hol integralni qaraylik. dan to’la
kvadrat ajratib, almashtirishdan keyin quyidagini hosil qilamiz:

bu yerda . Oxirgi integralda 8) jadval integralidan foydalanib,
natijani hosil qilamiz.
518

Endi integralni hisoblaymiz.

shakl o’zgartirishdan foydalanib, integralni quyidagicha yozamiz.

Oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integral
bo’lib, ikkinchi integral (2) formulaga asosan,
.
Shunday qilib,

natijaga ega bo’lamiz.
Bir necha misollar qaraymiz.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Integral ostidagi funksiya noto’g’ri kasr rasional
funksiyadan iborat. Uning butun qismini ajratamiz:

Demak,
519

b o’ ladi.
Shunday qilib,
2-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Maxrajdagi kvadrat uch haddan to’la kvadrat ajratamiz:
hamda
almashtirish kiritib, quyidagini hosil qilamiz:
3. To’g’ri kasr rasional funsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida
ifodalash.
to’g’ri kasr rasional funksiyaning maxrajini
, ko’rinishda
ifodalash mumkin bo’lsa , bu funksiyani yagona
ko’rinishda yozish mumkin . Bunda musbat butun sonlar ,
, haqiqiy sonlar .
lar ayrim haqiqiy
sonlar . (1) tenglikka to’g’ri rasional funksiyaning sodda kasrlar orqali
yoyilmasi deyiladi .
(1) yoyilmadagi
koeffisiyentlarni topish uchun uni ga ko’paytiramiz . ko’phad
bilan (1) yoyilmaning o’ng tomonida hosil bo’lgan ko’phad o’zaro teng
520

bo’lishi uchun bir xil darajali lar koeffisiyentlari o’zaro teng bo’lishi
kerak. Bir xil darajali lar koeffisiyentlarini tenglashtirib
, noma’lum koeffisentlarga nisbatan
chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasini
yechib aniqmas koeffisiyentlarni topamiz.
Rasional funkiya yoyilmasidagi noma’lum koeffisiyentlarni bunday
usul bilan topishga noma’lum koeffisiyentlar usuli deyiladi.
Bu usulni bir necha misollarda qaraymiz.
1-misol. rasional funksiyani sodda kasrlar yoyilmasi
ko’rinishida yozing.
Yechish. Maxrajni chiziqli
ko’paytuvchilarga ajratib, (1) formulaga asosan, qo’yidagicha yozamiz:

Oxirgi tenglikni ga ko’paytirib
tenglikni hosil
qilamiz. Bir xil darajali lar koeffisiyentlarini tenglashtirib

va
noma’lumlarga nisbatan, chiziqli tenglamalar sistemasini hosil
qildik. Bundan bo’ladi. Shunday qilib,

hosil bo’ldi.
2-misol.
rasional kasrni, sodda kasrlar yig’indisi ko’rinishida
yozing.
Yechish. (1) formulaga asosan, quyidagicha ifodalash mumkin:

Oxirgi tenglikni
ga ko’paytirib quyidagini hosil qilamiz:
521

larning koeffisiyentlarini tenglashtirib

chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistemadan
bo’ladi. Shuning uchun yoyilma
quyidagicha

bo’ladi.
Endi bir necha integrallarni hisoblaymiz.
3-misol. integralni hisoblang.
Yechish. funksiyani ikkita sodda kasrning
ayirmasi ko’rinishda yozish mumkin. Shuning uchun,
bo’ladi.
4-misol. integralni hisoblang.
Yechish. integral ostidagi to’g’ri rasional funksiyani sodda
kasrlar yig’indisi shaklida yozamiz:

oxirgi tenglikni ga ko’paytirib,
tenglikka ega bo’lamiz.
522

Endi ning bir xil darajalilari koeffisiyentlarini tenglashtirsak, quyidagi
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi.
bundan
bo’ladi. Shunday qilib,

Natijada

bo’ladi.
2. Ayrim irrasional funksiyalarni integrallash. Irrasional
funksiyalarni integrallash ko’p hollarda o’zgaruvchini almashtirish bilan
rasional funksiyalarni integrallashga keltiriladi. Bunday irrasional
funksiyalarning ayrimlarini q araymiz.
k o’ rinishdagi integral ni h isoblash talab etilsin,
bunda rasional sonlar, va lar no’ldan farqli o’zgarmaslar.
1) butun son bo’lsa, Nyuton binomi bo’yicha yoyish bilan
integrallanadi;
2) butun bo’lsa, almashtirish orqali
rasionallashtiriladi, bunda kasrning maxraji;
3) butun bo’lsa, almashtirish olinib,
rasional funksiyaga keltiriladi.
1-misol. integralni hisoblang.
523

Yechish. Integralni ko’rinishida yozib,

bo’lganligi uchun
almashtirish olsak,

bo’ladi. Bularni berilgan integralga qo’ysak,

bo’ladi.
2-misol. integralni hisoblang.
Yechish.
(butun) bo’lganligi uchun almashtirish olsak,

bo’ladi.Demak ,
bo’lganligi uchun,
bo’ladi.
2. ko’rinishdagi integralni qaraymiz.
Bunday ko’rinishdagi ifodalarni integrallash kvadrat uch haddan
to’la kvadrat ajratish bilan yoki jadval
integrallaridan biriga keltiriladi .
524

3-misol. integralni hisoblang.
Yechish. to’la kvadrat ajratib,
desak,

bo’ladi.

3) ko’rinishdagi integral, almashtirish
orqali 2. ko’rinishdagi integralga keltiriladi.
4-misol. integralni hisoblang.
Yechish. bilan almashtirsak,

bo’lib,
bu jadval integraldir . ( Oxirgi integralni mustaqil bajarishni o’quvchiga
havola qilamiz ).
Mustahkamlash uchun savollar
1. Butun rasional funksiya nimadan iborat?
2. Kasr rasional funksiyalar qanday?
3. To’g’ri va noto’g’ri kasr rasional funksiyalr deb nimaga
aytiladi?
525

4. Noto’g’ri kasr rasional funksiyani integrallash, to’g’ri rasional
funksiyani integrallashga qanday qilib keltiriladi?
5. Sodda kasr rasional funksiyalar deb nimaga aytiladi?
6. Sodda kasr rasional funksiyalar qanday integrallanadi?
7. Aniqmas koeffisiyentlar usuli nima?
8. Qanday funksiyalar sinfiga irrasional funksiyalar deyiladi?
9. Irrasional funksiyalar qanday integrallanadi?

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Ushbu rasional funksiyalarni integrallang.

2. Ushbu irrasional funksiyalarni integrallang.
4) 5) .
526

Mavzu . Trigonometrik funksiyalarni integrallash
Reja
1. Harxil argumentli sinus va kosinuslar ko’paytmalari
shaklidagi funksiyalarni integrallash.
2. ko’rinishdagi integrallarni hisoblash.
3. Aniqmas integral haqida yakuniy mulohazalar .
Tayanch ibora va tushunchalar
Trigonometrik funksiyalarni integrallash, trigonometrik funksiyalar
ko’paytmasini yig’indiga keltirish formulalari, sinus va kosinus funksiyalar
ko’paytmasi darajalaridan birortasi toq, ikkalasi ham juft yoki toq,
aniqmas integral haqida yakuniy mulohazalar.
1. Harxil argumentli sinus va kosinuslar ko’paytmalari shaklidagi
funksiyalarni integrallash.
(1)
ko’rinishdagi integrallarni h isoblaymiz. Maktab kursidan ma’lum bo’lgan
trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini, yig’indiga keltirish
527

formulalardan foydalanib, (1) ko’rinishdagi integrallarni

integrallardan biriga keltirib itegrallanadi.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Yuqoridagi formulalarning birinchisidan

natijaga ega bo’lamiz.
2-misol.
integrallarni mustaqil hisoblang.
2. ko’rinishdagi integrallarni hisoblash. Bunda
lar butun sonlar. Xususiy hollarda yoki sonlardan birontasi 0
ga teng bo’lishi ham mumkin.
1) yoki sonlardan bittasi toq bo’lsin. Bu holda integral
rasional funksiyalarni integrallashga keltiriladi. Bunda integrallash
mohiyati quyidagi misollardan tushunarli bo’ladi.
3-misol. integralni hisoblang.
Yechish. va ekanligini hamda
almashtirish kiritib, quyidagini hosil qilamiz:

4-misol. integralni hisoblang.
528

Yechish. bo’lgani uchun, almashtirish olsak,
b o’ ladi.
Bu usuldan va sonlardan bittasi toq va musbat boshqasi ixtiyoriy
haqiqiy son bo’lganda ham foydalanish mumkin.
2). Endi va sonlar ikkalasi ham toq yoki juft va musbat bo’lsin.
Bunday hollarda
formulalardan foydalanib, darajalarni pasaytirib, integrallanadi.
6-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Bu integralni izo h larsiz h isoblaymiz:
.
7-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Trigonometrik funksiyalarning darajalarini pasaytirish
formulalaridan foydalanib, q uyidagi natijaga kelamiz:
3. Aniqmas integral haqida yakuniy mulohazalar . Biz yuqorida
elementar funksiyalarni o’z ichiga olgan muhim integrallash usullarini
ko’rdik. Lekin praktikada faqat shu usullardan aynan foydalanamiz degan
529

fikr bo’lmasligi kerak. Boshqacha qilib aytganda, integral ostidagi
funksiyaning berilishiga qarab unga mos mulohazalardan foydalanish
kerak. Masalan,
yoki
integrallashni bajarish mumkin .
Juda ko’p integrallarni hisoblashda ayrim xususiy usullardan
foydalanib oldingi hisoblangan integrallarga keltiriladi . Shuning uchun
praktikada integrallashda tayyor qo’llanmalardan foydalanish ham
mumkin. Masalan [Yu.A. Br ы chkov, O.I.Marichev, A.P.Prudnikov.
Tablis ы neopredelyonn ы x integralov. M.: Nauka 1986-192s].
Integrallashning bayon etilishidan ma’lumki integrallash texnikasi
differensiallashdan murakkabroqdir. Shuning uchun ham integrallashda
shunday ko’nikmalar kerakki, bunga ko’p sondagi misollarni yechish
natijasida erishish mumkin.
Ma’lumki differensial hisobda istalgan elementar funksiyaning
hosilasini topish mumkin edi va u yana elementar funksiyalar bilan
ifodalanar edi. Integral hisobda esa masala boshqacharoq bo’lib, ko’plab
misollar keltirish mumkinki, integral ostidagi
funksiyaning boshlang’ich funksiyalari mavjud bo’lishiga qaramasdan, ular
elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Bunday integrallar yaxshi
o’rganilgan va ulardan amaliyotda foydalanish uchun tayyor jadvallar,
grafiklar tuzilgan.
530

Mustahkamlash uchun savollar
1. Trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasini yig’indiga
keltiriladigan formulalarni yozing?
2. Qanday hollarda trigonometrik funksiyalar rasionallashadi?
3. Qanday hollarda trigonometrik funksiyalarning tartibini
pasaytirish bilan integrallanadi.

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
Ushbu integrallarni h isoblang.
.
10.

531

Aniqmas integral

Купить

Похожие документы
Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi