Aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash 26 - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	1.2MB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash 26

Купить

Mavzu: “Aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash ”

REJA
KIRISH …………………………………………………………………………3
I BOB . Aniqmas integral ………………………………………………………6
1.1 - §. Aniqmas integral tushunchasi ………………………………………….6
1.2 - § . Integrallash usullari ……………………………………………………12
II BOB.Ratsional funksiyalarni integrallash ……………………………….14
2.1 - § . Ratsional funksiyalarni sodda kasrlarga ajratish ……………………….14
2.2 - § .Sodda kasrlarni integrallash ……………………………………………...17
2.3 - § . Ba‘zi ratsional funksiyalarni integrallash …………………………….19
2.4-§.Ratsional funksiyalarni integrallashni Ostrogradskiy usuli ……..………26
XULOSA ……………………………………………………………………...29
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR …………………………………….31
KIRISH

“ Agar mendan Sizni nima qiynaydi?
deb so ‘ rasangiz, farzandlarimizning
ta ‘ lim va tarbiyasi deb javob
beraman”
Sh.M.Mirziyoyev
Fan – bu ta ‘ limning mazmuni va sifatini ta ‘ lim standartlari, o ‘ quv
dasturlari, darsliklar va o ‘ quv-uslubiy qo ‘ llanmalar tayyorlashda, ilmiy–uslubiy
ta ‘ minotni amalga oshirishda bevosita va bilvosita ishtirok etadi. Fan vatanning
eng kichik qiyofasi bo‘lmog‘i zarur, zotan barcha xalqlar ichida fikr va aqliy
faoliyat sohasida boshqalardan o‘zib ketgan xalqgina birinchi o‘rinni oladi.
Ishlab chiqarish milliy modelda malakali kadrlar tayyorlash tizimining huquqiy
me ‘ yorlarini tartibga soladi. Xulosa qilib shuni ta‘kidlash joizki, mustaqil
O‘zbekiston davlat hokimiyati ishlab chiqqan va hozirgi kunda hayotga tadbiq
etilayotgan kadrlar siyosatida erkinlik, ijodkorlik, tashabbuskorlik,
yaratuvchanlik muhitini vujudga keltirish ko‘zda tutilgan bo‘lib, unda barcha
mutahassis kadrlarni ijtimoiy, iqtisodiy-siyosiy, madaniy, ma‘naviy-axloqiy
muammolarning samarador yechimini izlab topishga, ro‘yi-rost fikrlashuvga
undaydigan demokratik shart-sharoitlar yaratib berish mo‘ljanlanganligi muhim
ahamiyat kasb etadi. Har bir tarixini o ‘ tish, o ‘ rganish ta ‘ lim nazariyasidagi,
tamoyillaridagi va jamiyat mafkurasida talab etiladigan mantiqiy talablardan
kelib chiqiladi. Bo‘lajak oliy ma‘lumotli mutahassisda ilmiy, ob‘ektiv tasavvur
va dunyoqarashning shakllanishida tarixiy materiallar shubhasiz alohida o‘rin
tutadi. Ta‘lim va tarbiyaning mohiyatini ochib beruvchi, pedagogika fani ham
bundan istisno emas. Turfa olam, turli davlatlar va turli millatlardagi ta‘lim-
tarbiyaga oid qimmatbaho tarixiy materiallarni qiyosiy tarzda o‘rganish
jarayonida bo‘lajak mutahassislarda nisbiylik tushunchasining shakllanishiga
hamda tabiat va jamiyatdagi barcha narsalarni qiyosiy tarzda o‘rganish
zarurligini talabalar o‘zlariga amaliy ko‘nikma va malakalar tarzida singdiradilar.
Hоzirgi zamоn talablariga javоb beradigan mutaxassislar tayyorlashda
ularning nazariy va amaliy masalalarni chuqur o ‘ zlashtirishiga yordam
4

beradigan o ‘ zbek tilida yozilgan darsliklar va o ‘ quv qo ‘ llanmalar bilan
ta ‘ minlash muhim masalalardan biridir. Ushbu kurs ishi matematik fizika
tenglamalari fanining amaliy mashg ‘ ulоtlari uchun mo ‘ ljallangan.
O ‘ zbekistonning kadrlar tayyorlash o ‘ yicha noyob milliy modeli jahon
hamjamiyati tomonidan keng e ‘ tirof etilmoqda. Mamlakatimizda qabul qilingan
Kadrlar tayyorlash milliy dasturining o ‘ ziga xos jihati shundan iboratki, u yaxlit
samarali tizimga asos bo ‘ lib davlat va jamiyat manfaatlariga xizmat qiladi.
Uzluksiz ta ‘ lim, ilm-fan va ishlab chiqarish bu yaxlit jarayonning uzviy tarkibiy
qismlaridir. Mustaqil O ‘ zbekistonimizda yuz berayotgan siyosiy, iqtisodiy,
ilmiy-texnikaviy va madaniy o ‘ zgarishlar Oliy ta‘lim tizimida o ‘ z aksini
topmoqda.
Kurs ishining dolzarbligi. Yoshlarga ta ‘ lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o ‘ qituvchining g ‘ oyaviy e ‘ tiqodi, kasb-
mahoratiga, san ‘ ati, iste ‘ dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog ‘ liqdir.
Ta ‘ lim-tarbiya jarayonini to ‘ g ‘ ri tashkil etish uchun barcha mavjud
imkoniyatlarini safarbar etish o ‘ qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan
biridir. Matematika fani o ‘ sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o ‘ quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o ‘ quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o ‘ quvchilarda maqsadga
yo ‘ naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu
bilan bir qatorda mulohazalarning to ‘ g ‘ ri, go ‘ zal tuzilganligi, o ‘ quvchilarni didli,
go ‘ zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Aniqmas integra va ularni integrallash usullari, ratsional funksiyalar haqida
tushuncha shu bilan bir qatorda, ratsional funksiyalarni integrallash mavzusini
chuqurroq o ‘ rganib, o ‘ sib kelayotgan yosh avlodga tushuntirishdan iborat.
Kurs ishining maqsadi . Aniqmas integral, ratsional funksiyalar va
ratsional funksiyalarni integrallash haqidagi tushunchalar berish hamda ularni
integrallash usullarini o ‘ rganish.
Kurs ishining obyekti . Oliy va o ‘ rta maxsus ta ‘ lim muassasalarida
matematik analiz fanini o ‘ qitish jarayoni.
5

Kurs ishining predmeti. Matematik analiz fanini o ‘ qitish metodlari va
vositalari.
Kurs ishining vazifalari. Aniqmas integrallar haqida tushuncha, ratsional
funksiyalarni integrallashdan iborat.
Kurs ishining hajmi va tuzilishi. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlardan iborat bo ‘ lib, 31 betni tashkil etadi.
I BOB. ANIQMAS INTEGRALLAR
1.1 - §. Aniqmas integral tushunchasi
6

Aniqmas integral ta‘rifi. funksiya biror (chekli yoki cheksiz)
intervalda aniqlangan bo‘lsin.
1-ta‘rif . Agar da funksiya shu intervalda differensiallanuvchi
funksiyaning hosilasiga teng ya‘ni
bo‘lsa, u holda funksiya intervalda funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi deyiladi.
Bu ta‘rifni funksiya differensiali orqali ham aytish mumkin.
2-ta‘rif . Agar da ifoda shu intervalda differensiallanuvchi
funksiyaning differensialiga teng, ya‘ni bo‘lsa, u holda
funksiya intervalda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deb
ataladi.
Endi funksiya segmentda berilgan bo‘lsin.
3-ta‘rif. Agar da funksiya shu oraliqda differensiallanuvchi
funksiyaning hosilasiga teng, ya‘ni

bo‘lib, va nuqtalarda esa ,
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya segmentda
funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deb ataladi.
Misollar 1. bo‘lsin.Bu funksiyaning intervalda
boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki da

2. funkiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasi
bo‘lishi ravshan.
Shuni takidlab, o‘tamizki intervalda uzluksiz bo‘lgan har qanday
7

funksiya shu intervalda boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘ladi.
va funksiyalarning har biri intervalda bitta
funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, bu va funksiyalar
intervalda bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi. Haqiqatan ham, boshlang‘ich
funksiyani ta‘rifiga ko‘ra da , bo‘ldi, Demak,
.
tenglik kelib chiqadi.
Modomiki, intervalda berilgan funksiyaning barcha
boshlang‘ich funksiyalari bir-biridan o‘zgarmas songa farq qilar ekan, bu
funksiyaning shu intervalda biror boshlang‘ich funksiyasi yordamida uning
istalgan boshlang‘ich funksiyasi ushbu ko‘rinishda ifodalanadi.

1-eslatma. Funksiyaning aniqlanish sohasi oraliq bo‘lishi muhim. Agar
funksiyaning aniqlanish sohasi oraliq bo‘lmasa, uning boshlang‘ich funksiyalari
farqi o‘zgarmas bo‘lmasdan qolishi mumkin. Masalan, funksiyani
to‘plamda qaraylik. Bu funksiya uchun

funksiyalarning har biri boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishi ravshan. Ushbu
ayirma uchun quyidagiga egamiz:

Shunday qilib, bu ayirma E to‘plamda consta emas.
4-ta‘rif. intervalda berilgan funksiya boshlang‘ich
8

funksiyalarining umumiy ifodasi , , shu funksiyaning
aniqmas integrali deb ataladi va kabi belgilanadi. Bunda integral
beligisi, integral ostidagi funksiya, esa integral ostidagi ifoda
deyiladi. Demak, (1)
Misol 1. Ushbu aniqmas integral (qisqacha, integral) ni toping.
Ta‘rifga ko‘ra integral shunday funksiyaki, uning hosilasi ( differensiali
) ga teng. Quyidagi

funksiya uchun

bo‘ladi. Demak,

2-eslatma. funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi
bo‘ladigan oraliq ko‘rsatilmagan holda bunday oraliq sifatida
funksiyaning aniqlanish oralig‘i tushuniladi.
2. Aniqmas integrallarning sodda xossalari. Aniqmas integralning
ta‘rifidan bevosita uning quyidagi sodda xossalari kelib chiqadi.
. funksiya aniqmas integrali ning differensiali
ga teng, ya‘ni

(2)
Haqiqatan ham, funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi
bo‘lsin: . U holda
9

bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
.
Bu xossa avval differensial belgisi , so‘ngra integral belgisi kelib,
ular yonma-yon turganda o‘zaro biri-birini yo‘qotishini ko‘rsatadi.
. Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan
o‘zgarmas son yig‘indisiga teng, ya‘ni

(3)
funksiya ning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin:
.
U holda

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan,

Oxirgi ikki tenglik -xossani isbot etadi.
Shunday qilib, (2) va (3) formulalar, differensiallash amali aniqmas
integralni topish amaliga nisbatan o‘zgarmas qo‘shiluvchi aniqligida o‘zaro
teskari ekanligini ko‘rsatadi.
3. Integrallashning sodda qoidalari.
. Agar va funksiyalar boshlang‘ich funksiyalarga ega
bo‘lsa, u holda ham boshlang‘ich funksiyalarga ega va

(4)
formula o‘rinli.
Isbot. funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi ,
10

funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. U holda ta‘rifga ko‘ra

bo‘lib,
,

bo‘ladi va demak,

(5)
Agar deb olsak, unda

bo‘ladi. Bu esa, funksiya funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi ekanligini bildiradi. Demak,

(6)
Endi (5) va (6) munosabatlardan integral
ko‘rinishida, integral esa
ko‘rinishida yozish mumkin ekanini ko‘ramiz. Bu
munosabatdagi o‘zgarmas sonlarning ixtiyoriyligidan esa
hamda ifodalarning biriga teng
bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, (4) formula isbotlandi. Odatda,
integralning bu (4) formula bilan ifodalangan xossasi uning additivlik
xossasi deb ataladi.
.Agar funksiya boshlang‘ich funksiyasiga ega bo‘lsa, u holda
xam boshlang‘ich funksiyaga ega va da

(7)
11

formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. U
holda va bo‘lib,

(8)
bo‘ladi, C-ixtiyoriy o‘zgarmas son.Ushbu

(9)
bunda, - ixtiyoriy o‘zgarmas son. Endi (8) va (9) munosabatlardan va
o‘zgarmas sonlarning ixtiyoriyligi hamda bo‘linishidan (7) formulaning
o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
3-eslatma. Yuqorida keltirilgan (4) va (7) tengliklarni hamda kelgusida
uchraydigan shunga o‘xshash tengliklarni o‘ng va chap tomonlaridagi
ifodalar orasidagi ayirma o‘zgarmas songa barobarligi ma‘nosida (o‘zgarmas
son aniqligida) tengliklar deb qaraladi.
4. Elementar funksiyalarning aniqmas integrallari. Boshlang‘ich
funksiya ta‘rifidan hamda elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan
foydalanib elementar funksiyalar aniqmas integrallari jadvalini keltiramiz (har
bir formula integral ostidagi funksiyaning aniqlanish sohasida qaraladi):
Bazi funksiyalarni boshlang‘ichlari .
12

Bu – -integrallar qisqacha jadval integrallari deb ham aytiladi.
Yuqoridagi -formulaning to‘riligini tekshirishda va bo‘lgan
hollarni alohida-alohida ko‘rish lozim. bo‘lganda bo‘lib,
bo‘ladi. bo‘lganda bo‘lib,
bo‘ladi. -formuladan esa bu ikki holni
birlashtiradi.
Keltirilgan
jadval va (4), (7) formulalar bilan ifodalangan qoidalar turli funksiyalarni
integrallash imkonini beradi.
1.2 - § . Integrallash usullari
1. O‘zgaruvchilarni almashtirib integrallash usullari
Funksiyalarning integrallashni hisoblashda o‘zgaruvchilarni almashtirib
integrallash usuli keng qo‘llaniladi.
13

Ushbu aniqmas integralni hisoblash talab etilgan bo‘lsin.
Bunda funksiya biror intervalda aniqlangan va

(10)
ko‘rinishida yozish mumkin deylik.
Agar funksiya intervalda boshlang‘ich funksiya
ga ega bo‘lib, funksiya intervalda (bunda,
)
differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda

(11)
formula o‘rinli.
Bu tasdiqni isbotlash uchun funksiya
funksiya uchun boshlang‘ich ekanligini ko‘rsatish yetarli. Haqiqatan,
. Tasdiq isbot bo‘ldi. Bu tasdiqdan
ko‘rinadiki, ni hisoblash almashtirish yordamida
ni hisoblashga keltiriladi.
Odatda integralni bunday usul bilan hisoblash o‘zgaruvchini almashtirish
usuli bilan integralllash deb ataladi.
O‘zgaruvchilarni almashtirish usulining muhim tomoni o‘zgaruvchilarni
juda ko‘p usul bilan almashtirish imkoni bo‘lgan holda ular ichidan integralni
sodda va hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olishdan iborat.
2. Bo‘laklab integrallash usuli. Ikki va funksiya
intervalda uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin.

Bu tenglikdan
14

(12)
Endi (12) tenglikni integralllab topamiz:
Shunday qilib, quyidagi

(13)
formulaga kelamiz. Bu (13) formula bo‘lakalab integrallash formulasi
deyiladi. U ni integrallashni ni integralllashga olib
keladi.
Bo‘laklab integrallash formulasidan foydalanish uchun integral ostidagi
ifodani hamda lar ko‘patmasi ko‘rinishida yozib olinadi, bunda
albatta hamda ifodalarning integrallarini oson hisoblana olishi
lozimligini e‘tiborda tutish kerak.

II BOB. RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
2.1 - § . Ratsional funksiyalarni soda kasrlarga ajratish.
1. Ko‘phad va uning ildizlari haqida.
Biror

(14)
15

Ko‘phad berilgan bo‘lsin, bunda - o‘zgarmas haqiqiy sonlar,
esa ko‘phadning darajasi.
Ma‘lumki, biror son uchun bo‘lsa, son
ko‘phadning ildizi deb ataladi. U holda Bezu teoremasiga ko‘ra
ko‘phad ga qoldiqsiz bo‘linib, u quyidagi

ko‘rinishda ifodalanadi, bunda – -darajali ko‘phad.
Agar (14) ko‘phad ga qoldiqsiz bo‘linsa, son (14)
ko‘phadning karrali ildizi bo‘ladi. Bu holda ko‘phadni ushbu

ko‘rinishida ifodalash mumkin, bunda – - darajali ko‘phad.
Agar kompleks son ko‘phadning ildizi bo‘lsa, u
holda kompleks son ham bu ko‘phadning ildizi bo‘ladi.
Shuningdek, son karrali ildizi bo‘lsa, son
ham bu ko‘phadning karrali ildizi bo‘ladi.
Demak, ko‘phad kompleks ildizga ega bo‘lganda
uning ifodasida ko‘paytuvchi ham qatnashadi. Bunday holda
ko‘phadning ifodasida quyidagi

kvadrat uchhad ko‘paytuvchi bo‘lib qoladi.
Faraz qilaylik,

ko‘phad berilgan bo‘lib, lar uning mos ravishda
karrali haqiqiy ildizlari,
lar esa ko‘phadning mos ravishda
16

karrali kompleks ildizlari bo‘lsin. Bu ko‘phadni uning ildizlariga ko‘ra
ko‘paytuvchilarga ajratish haqidagi ushbu teoremani isbotsiz keltiramiz.
1-teorema. Har qanday darajali

ko‘phad ( – o‘zgarmas haqiqiy sonlar, ), ushbu

ko‘rinishida ifodalanadi, bunda

bo‘lib, tenglamalar haqiqiy ildizga ega
emas.
2. Sodda kasrlar. To‘g‘ri kasrlarni sodda kasr orqali ifodalash.
Ushbu

(15)
ko‘rinishidagi kasrlar sodda kasr deb ataladi, bunda hamda
lar o‘zgarmas sonlar, kvadrat uchhad esa haqiqiy
ildizga ega emas.
Ma‘lumki, quyidagi

va

ko‘phadning ( –o‘zgarmas sonlar, )
nisbati

17

kasr ratsional funksiya deyiladi, bo‘lganda esa u to‘g‘ri kasr deb
ataladi.
Har qanday to‘g‘ri kasr (15) sodda kasr orqali ifodalanadi. Buni
isbotlashdan oldin ikkita lemmani keltiramiz.
1-lemma. Agar to‘g‘ri kasr maxrajidagi ko‘phad
ushbu

ko‘rinishida bo‘lib, ko‘phad esa ga bo‘linmasa, u holda
berilgan to‘g‘ri kasr quyidagi

ko‘rinishida ifodalaninshi mumkin, bunda – o‘zgarmas haqiqiy
sonlar, – ko‘phad.
2-lemma. Agar to‘g‘ri kasr maxrajidagi ko‘phad

ko‘rinishiga ega bo‘lib ( kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega
emas), ko‘phad ga bo‘linmasa, u holda berilgan to‘g‘ri
kasr quyidagi ko‘rinishda ifodalanishi mumkin:

bunda , –o‘zgarmas sonlar, –ko‘phad.
2-teorema. Har qanday to‘g‘ri kasr sodda kasrlar yig‘indisi orqali
ifodalanadi.
18

2.2 - §.Sodda kasrlarni integrallash.
Sodda kasrlarning aniqmas integrallarini hisoblaymiz.
. sodda kasrning aniqmas integrali:

. sodda kasrning aniqmas integrali ham tez
hisoblanadi:

. sodda kasrning integrali ni
hisoblash uchun avval kasrning maxrajida turgan kvadrat
uchhadni ushbu

ko‘rinishida yozib olamiz. U holda

bo‘ladi, bunda . Bu intervalda almashtirish
bajaramiz:
19

Demak,

bunda –ixtiyoriy o‘zgarmas.
. sodda kasrning integrali
ni hisoblash uchun – xossadagidek o‘zgaruvchini
almashtiramiz: .
Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:

Bu munosabatdagi integral rekkurent formula orqali
hisoblanadi.
20

2. Ratsional funksiyalarni integrallash. ratsional funksiya bo‘lib ,
uning integralini hisoblash talab etilsin.
Ma‘lumki, ratsional funksiya ikkita va – butun ratsional
funksiyalar nisbatidan iborat, ya‘ni
.
Agar noto‘g‘ri kasr (suratidagi ko‘phad darajasi maxrajidagi
ko‘phadning darajasidan kattta) bo‘lsa, uning butun qismini ajratib, butun
ratsional funksiya hamda to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishida quyidagicha
ifodalab olinadi:

U holda

(16)
bo‘ladi.
(16) munosabatdagi integral butun ratsional funksiya
(ko‘phad) ning integrali bo‘lib, u oson hisoblanadi.
Demak, noto‘g‘ri kasrni integrallash to‘g‘ri kasrni integrallashga
keladi. To‘g‘ri kasrni integrallash uchun avval bu kasrni yuqoridagi
isbotda aytilgan teoramadan foydalanib sodda kasrlar orqali ifodalab
olinadi.
2.3 - §. Ba‘zi ratsional funksiyalarni integrallash
Ikki va o‘garuvchilar berilgan bo‘lib, bu o‘zgaruvchilar yordamida

ko‘paytmani tuzamiz. Bu ko‘paytmalardan tuzilgan ushbu
21

funksiya va o zʻ garuvchilarning ko‘phadi deb ataladi, bunda
– o‘zgarmas haqiqiy sonlar (koeffitsientlar).
hamda lar va o‘zgaruvchilarning ko‘phadlari bo‘lsin.
Ushbu nisbat va o‘zgaruvchilarning ratsional
funksiyasi deb ataladi va u orqali belgilanadi:

Endi, va o‘zgaruvchilarning har biri o‘z navbatida bitta
o‘zgaruvchining

funksiyalar bo‘lsin. U holda funksiya va
funksiyalarning
ratsoinal funksiyasi bo‘ladi. Masalan, ushbu

funksiya , larning ratsional funksiyasidir, chunki,
.
Hususan, va larning har biri o‘zgaruvchining ratsional
funksiyalari bo‘lsa, u holda ushbu

Funksiysi shu o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘ladi.
Haqiqatan, o‘zgaruvchining ratsional funksiyalaridan iborat va
22

lar ustida qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish hamda bo‘lish amallari
bajarilsa, natijada ning yana ratsional funksiyasi hosil bo‘ladi.
1. ko‘rinishidagi ratsional funksiyalarni integrallash.
Ushbu,

(17)
integralni qaraylik, bunda funksiya va larning
ratsional funksiyasidir.
Agar funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘lsa, u
holda ham o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘ladi va
ushbu

integral ratsional funksiyalarning integrali bo‘ladi.
Agar funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi
bo‘lmasa, u holda ravshanki , ham o‘zgaruvchining ratsional
funksiyasi bo‘lmaydi. Bu holda o‘zgaruvchini almashtirish yordamida
ni ratsional funksiyaga keltirish masalasi kelib chiqadi. Agar
biz shunday almashtirish topsakki, natijada ,
lar ning ratsional funksiyalari bo‘lsa, (bunda
ham ratsional funksiya bo‘ladi), u holda

bo‘lib, integralni hisoblash ushbu

ratsional funksiyalarning integrallini hisoblashga keltiriladi.
23

Endi funksiyaning ba‘zi bir konkret ko‘rinishiga ega
bo‘lgan hollarini qaraymiz:
. (17) integralda

bo‘lsin, bunda –o‘zgarmas sonlar, . Bu holda (17) integral
quyidagi

(18)
ko‘rinishini oladi. Endi sonlardan tuzilgan determinant noldan
farqli, ya‘ni

deb qaraymiz. Agar

bo‘lsa, va sonlar, , sonlarga proporsional bo‘lib, nisbat
ga bog‘liq bo‘lmaydi va funksiya o‘zgaruvchining
ratsional funksiyasi bo‘lib qoladi. Shunday qilib, keyingi mulohazalarda
deymiz.
(18) integralda

almashtirish bajaramiz. Natijada
24

bo‘lib, (18) integral ushbu

ko‘rinishini oladi.
Demak, qaralayotgan

integralni hisoblash ushbu ratsional
funksiyaning integralini hisoblashga keladi.
Misol 1. Ushbu

integralni qaraylik. Bu integralni hisoblash uchun

deb olamiz. U holda

bo‘lib,

bo‘ladi. Natijada berilgan integral uchun topamiz:
25

. (17) integralda bo‘lsin, bunda –
o‘zgarmas sonlar bo‘lib, kvadrat uchhad teng ildizlarga ega
emas. (17) integralni quyidagi

(19)
ko‘rinishini oladi.
Quyida keltiriladigan uchta almashtirish yordamida (19) integral
ratsional funksiya integraliga keltiriladi.
a) bo‘lsin. Bu holda (19) integralda

(20)
( yoki )
almashtirish bajaramiz. (20) tenglikni kvadratga ko‘tarsak,

bo‘lib, undan
,
bo‘ladi. Agar

ekanini e‘tiborga olsak, u holda (19) integral ushbu
26

ko‘rinishini oladi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral ostida turgan
funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi ekanligi ravshandir.
Shunday qilib, (19) integralni hisoblash bo‘lganda (20)
almashtirish yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
b) bo‘lsin. U holda (19) integralda

(21)
( yoki )
almashtirish bajaramiz. (21) tenglikni kvadratga ko‘tarib,
,
undan
,
ni topamiz, shuningdek
.
Natijada (19) integral quyidagicha yoziladi:

Ravshanki,

27

funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasidir. Demak, bu holda ham

Integralni hisoblash (21) almashtirish natijasida ratsional funksiyani
integrallashga keltiriladi.
2. Binomial differensiallarni integrallash.
Ushbu

Differensial ifoda binomial differensial deb ataladi, bunda –
o‘zgarmas sonlar, –ratsional sonlar.
Binomial differensiallarning
(22)
integralni qaraymiz.
Ravshanki, bu integralni hisoblash –ratsional sonlarga
bog‘liq. Mashhur rus matematigi P.L.Chebishev ko‘rsatganki, (22)
integral quyidagi uchta
1) –butun son,
2) –butun son,
3) – butun son
holdagina ratsional funksiyalarning integrali orqali ifodalanadi.
1) – butun son bo‘lsin. Bu holda va ratsional sonlar (ya‘ni kasrlar)
maxrajining eng kichik umumiy bo‘luvchisini orqali belgilab, (22) integralda
almashtirish bajarilsa, integral ostidagi funksiya ratsional funksiyaga
28

aylanib, (22) integral ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.
2) – butun son bo‘lsin. Avval (22) integralda
almashtirish bajaramiz. Natijada (22) integral quyidagi
(23)
ko‘rinishini oladi. Qisqalik uchun

deb belgilaymiz. Bu holda –kasr sonning maxrajini bilan belgilab, (23)
integralda

almashtirish bajarilsa, natijada integral ostidagi ifoda ratsional funksiyaga aylanib,
yana (22) integral ratsional funksiya integralini hisoblashga keltiriladi.
3) –butun son bo‘lsin. Yuqoridagi (23) integralni quyidagicha yozib olamiz:

Agar keyingi integralda

Almashtirish bajarilsa, (22) integral ratsional funksiyalarning integraliga keladi.
2.4-§.Ratsional funksiyalarni integrallashning Ostrogradskiy usuli .
Biz yuqoridagi usullarga qo‘shimcha ravishda quyidagi ratsional funksiyani
integrallashni Ostrogradskiy usuli bilan tanishamiz.
(24)
Ostrogradskiy usuli:
29

(25)
formula Ostrogradskiy formulasi bo‘lib,bunda funksiya karrali ildizga ega
bo‘lib, -to‘g‘ri kasr ratsional funksiya, esa va larning eng
kata umumiy bo‘luvchisi, , va koeffitsiyentlar
noma‘lum darajalari esa mos xolda va darajalaridan bitta kam.
Noma‘lum koeffitsiyentlar (26) ayniyatdan noma‘lum
koeffitsiyentlar usuli yordamida topiladi.Ushbu usulda (25) integralni hisoblashni
ko‘raylik.U holda, (27)
formulaga asosan (28) deb yozib
olamiz.A,B,C,D,E,F noma‘lum koeffitsiyentlarni topish uchun,yuqoridagi (28)
tenglikni ikkala tomonini differensiallaymiz.
bundan
tenglikni
o‘ng tomonidagi qavslarni ochib, ko‘pxadlarning o‘zaro tengligi haqidagi xossadan
foydalanib, x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarini tenglashtiramiz:
30

bo‘lsa, ekanligini topamiz. No‘malum
koeffitsiyentlarni (28) tenglikka olib borib qo‘ysak
(29) (30) Ushbu
integralni hisoblab (29) tenglikka olib borib qo‘ysak yechimga ega bo‘lamiz:
Javob: Demak,
ratsional ko‘rinishdagi integralni hisoblashda qulayligi va integralning qisqa yo‘l
bilan hisoblash mumkinligini ko‘rsatish mumkin.
Xulosa
Hozirda respublikamizda ta‘lim sifatiga alohida e‘tibor berilmoqda, juda ko‘p
islohotlar olib borilmoqda. Ayniqsa aniq fanlarga alohida ahamiyat qaratilmoqda.
Matematika fani ham aniq fanlar qatoriga kirib, bugungi kunda bu yo‘nalish
bo‘yicha ko‘plab yutuqlarga erishilmoqda. Bu fanning asosi oliy ta‘lim
muassasalarida o‘qitiluvchi “Matematik analiz” fani bo‘lib, hozirda bu fanni o‘qib,
o‘rganish va o‘qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub
31

mohiyatini tushunib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib
tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Matematikada ko ‘ p misollar hosila va
integral orqali hisoblab topiladi. Bundan ko ‘ rinadiki, “Matematik analiz” kursida
integralni hisoblashda ham oson hisoblanadigan, qulay usullarni o ‘ rganib chiqish
talab etilmoqda. Bundan ko‘zlangan asosiy maqsad esa fan tarixidagi integralni
hisoblashga oid bajarilgan ishlar bilan yanada chuqurroq tanishib chiqish va ular
orasidan hisoblashda bizga qulaylik tug‘diradigan usullarni tanlab olib, integralni
hisoblashda ularni qo‘llash. Chunki integraldan geometrik masalalarni hisoblashda
ham foydalaniladi.
Ushbu kurs ishida aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash
va ularni hisoblash usullari chuqur o‘rganildi.
Birinchi bobim ikkita rejadan iborat. Birinchi rejam aniqmas integrallar
haqidagi ma‘lumotlarga bag‘ishlangan bo‘lib, unda elementar matematikaga oid
tushunchalardan foydalanildi. Bu tushunchalar yordamida aniqmas integral
atamasi yoritilib berildi.
Ikkinchi reja esa integrallash usullari haqida yozilgan. Bu usullarni har biriga
misollar keltirilib tushuntirilgan.
Ikkinchi bobim esa ratsional funksiyalarni integrallash haqida bo‘lib, bu bob
uchta rejadan iborat.
Birinchi rejada ratsional funksiyalarni integrallash haqida ma‘lumotlar
berilgan. Ularni hisoblashda foydalaniladigan formulalar keltirilgan.
Ikkinchi rejada ratsional funksiyalarning xossalari haqida tushunchalar
berilgan. Barcha xossalari keltirilgan.
Uchinchi rejada esa ba‘zi ratsional funksiyalarni integrallash usullari
berilgan va barcha kerakli ma‘lumotlar keltirilgan.
Kurs ishida mavzular yuzasidan ham nazariy ham amaliy ma‘lumotlar
berilgan. Bu ma‘lumotlardan akademik litsey va oliy ta‘lim muassasalarida
foydalanilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi deb o‘ylayman. Chunki talabalar o‘zlariga
kerakli ma‘lumotlarni oladilar.
32

Kurs ishida keltirilgan misollar eng oson va tushunarli usulda ishlangan. Bu
kurs ishini yozish davomida ko‘p bilimlar orttirdim. Bilmaganlarimni o‘rgandim.
Ushbu na‘munalar yordamida misollarni qiyinchiliksiz ishlash mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1.Азларов Т., Мансуров Х. Математик анализ асослари. Т. 1,2-
қимлар. 1980 yil .
2. A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik
analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil.
3.T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T:
“Universitet” 2007 yil.
33

4.G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil.
5.B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik
analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil.
Elektron ta’lim resurslari
1. http:// www.arki.ru /
2. http:// www.lib.ru /
3. http://www.edunet.uz/
4. http:// www.study.uz /
5. http:// www.ziyonet.uz /
34

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26