Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 436.1KB
Покупки 2
Дата загрузки 16 Март 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Aniqmas integrallar va ratsional funksiyalarni intgrallash

Купить
REJA: Kirish I BOB . Boshlang`ich funksiya haqida tushuncha 1-1-§. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral 1-2-§. Integrallash jadvallari II BOB . Integralni hisoblash usullari 2-1-§. Differentsialni belgi ostiga kiritish usuli 2-2-§. Bo`laklab integrallash usullari III BOB . Funksiyalarni integrallash 3-1-§. Ratsional funksiyalarni integrallash 3-2-§. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash 3- 3 -§. Irratsiional qatnashgan funksiyalarni integrallash Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar KIRISH Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog‘liq. Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi. Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men jahon tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar bu maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada hayotimizda ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim modelining kuchli samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim. Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan, hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab o‘quvchilar, katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi bo‘lmoqdamiz. Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga oshirgan, ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish, yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin yaratdi, desak, hech qanday xato bo‘lmaydi. Respublikamiz Prezidenti I.A.Karimovning 2001-yil Oliy Majlisning 5- sessiyasida so‘zlagan nutqida axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va OTMlariga jadallik bilan olib kirish g‘oyasi ilgari surilgan edi. Prezident I.Karimov tashabbusi bilan Vazirlar Mahkamasining 2001-yil 23-maydadagi 230-sonli «2001-2005-yillarda kompyuter va axborot texnologiyalarini rivojlantirish», shuningdek, «Internet»ning xalqaro axborot tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab chiqishni tashkil etish chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi Qarorlari qabul qilindi. 2002-yil 30-mayda O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining «Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish to‘g‘risida»gi Farmoni va uning ijrosini amalga oshirish yuzasidan Vazirlar Mahkamasining 2002- yil 6-iyundagi «2002-2010-yillarda kompyuterlashtirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini rivojlantirish dasturi» to‘g‘risidagi Qarori e’lon qilindi. Bulardan ko‘rinadiki, hozirgi paytda ta’limga axborot texnologiyalarini jadal tatbiq etish, ta’lim jarayonini kompyuterlashtirish asosiy masalaga aylangan. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to’g’ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o’qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik texnologiyalardan foydalanish–o’qitish samaradorligini oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. CHunki o’qitishning ilg’or, nostandart (interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga, o’quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv mashg’ulotlarini takomillashtirish yo’llaridan biri. Matematika fanini o’qitishda o’quvchilarning hayotiy tasavvurlari bilan amaliy faoliyatlarini umumlashtira borib, matematik tushuncha va munosabatlarni ular tomonidan ongli o’zlashtirilishiga hamda hayotga tatbiq eta olishga intilish maqsadida quyidagi to’rtlikni shior qilib olganman. Hisobli do’st ayrilmas, Hamyondan pul sovrilmas. Buning uchun do’stlar siz, Matematikani bilingiz. Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish, shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi. Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslatib o’tilgan masalalarga teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi. I BOB. BOSHLANG`ICH FUNKSIYA HAQIDA TUSHUNVHA 1- 1§ Boshlalang`ich funksiya va aniq integral Faraz qilaylik, funksiya intervalda (bu interval chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin) aniqlangan bo’lib, funksiya esa shu intervalda differensiallanuvchi bo’lsin. Ta’rif. Agar funksiya oraliqda hosilaga ega bo`lib, shu oraliqning ixtiyoriy nuqtasida uning hosilasi funksiyaga teng bo`lsa, ya`ni tenglik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya funksiya uchun boshlang’ich funksiya deyiladi. Eslatma. funksiyaning oraliqlardagi boshlang’ich funksiyasi yuqoridagi kabi ta`riflanadi. Misol. funksiya funksiya uchun raliqda boshlang’ich funksiyasi bo`ladi. Ya’ni tenglik bajariladi. Ravshanki, agar funksiya uchun funksiya oraliqda boshlang’ich funksiya bo`lsa, u holda funksiya ham funksiya uchun oraliqda boshlang’ich funksiya bo`ladi, bu erda -ixtiyoriy o`zgarmas son. Teorema. Agar va funksiyalar funksiyaning oraliqdagi ixtiyoriy boshlang’ich funksiyalari bo`lsa, u holda shu oraliqda bo`ladi, C -biror o`zgarmas son. funksiyaning barcha boshlang’ich funksiyalari bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi va istalgan boshlang’ich funksiyasi ushbu ko’rinishda ifodalanadi: Ta`rif. funksiya boshlang’ich funksiyalarining umumiy ifodasi shu funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va kabi belgilanadi. Agar funksiya funksiyaning oraliqdagi biror boshlang’ich funksiyasi bo`lsa, u holda Teorema. Biror oraliqda uzluksiz funksiya shu oraliqda borshlang’ich funksiyaga ega. Ta`rif. funksiya boshlang’ich funksiyasining umumiy ko`rinishi ni topish amaliga integrallash amali deyiladi. Ta`riflardan ko`rinadiki, funksiyaning integrallash amali shu funksiyadan hosila olish yoki differensiallash amaliga nisbatan teskari bo`lgan amal ekan. Integrallash amali quyidagi muhim xossalarga ega: 1-xossa. 2-xossa. 3-xossa. 4-xossa. 5-xossa. 1-2§. Integrallash jadvallari 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. ∫ dx sh 2x = − cthx +c,(x≠ 0). ∫ dx sh 2(kx +b) =− cth (kx +b)+c,(x≠ 0) 16. ∫ dx ch 2x = thx +c. ∫ dx ch 2(kx +b) = th (kx +b)+c. 29. 30. II BOB : INTEGRALNI HISOBLASH USULLARI 2-1 §: Differensial belgisi ostiga kiritish usuli Bu usulda integral ostidagi ifodalarni ko’rinishini o’zgartirish hisobiga jadval integraliga keltiriladi. ∫ f(x)dx =∫ dF (x)= F (x)+c Bu usul bilan aniq misollar yordamida chuqurroq tanishib chiqamiz. Misol . integralni hisoblang. Yechish.∫ √5+ln xdx x = ∫ √5+ln x⋅1 x ⋅dx = ∫ √5+ln x⋅(5+ln x)′dx = = ∫ (5+ln x) 1 2d (5+ln x)== (5+ln x) 1 2+1 1 2+1 +c= 2 3 (5+ln x) 3 2+c. 2-2 § .Bo’laklab integrallash usuli Faraz qilaylik, u(x), v(x) differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin. U holda d(u⋅v)= vdu +udv yoki udv = d(uv )− vdu bo’lishi ravshan. Oxirgi tenglikni ikkala qismini integrallab ∫ udv =∫ d(uv )−∫ vdu yoki ∫ udv = uv −∫ vdu (33.2) bo’laklab integrallash formulasi deb yuritiluvchi formulaga ega bo’lamiz. Bo’laklab integrallashning mohiyati shundan iboratki, berilgan integralni hisoblashda integral ostidagi f(x)dx ifodani udv ko’paytma shaklida tasvirlab va (33.2) formulani tadbiq qilinsa, berilgan ∫ udv integralni ∫ vdu jadval integrali yoki osongina topiladigan integral bilan almashtiriladi. Integrallarni bo’laklab integrallash usuli bilan hisoblashda muhim o’rinni u va dv ifodalarni qanday tanlanishi egallaydi. Qanday hollarda u,dv larni qanday tanlashni qaraylik. I. ∫ Pn(x)sin axdx ,∫ Pn(x)cos axdx ,∫ Pn(x)eaxdx turdagi integrallarni bo’laklab integrallash uchun Pn(x)= u deb olib qolgan ifodalarni dv orqali belgilash ma‘qul, bunda Pn(x) n - darajali ko’phad, а o’zgarmas son. II. ∫ Pn(x)ln xdx ,∫ Pn(x)arcsin axdx ,∫ Pn(x)arccos xdx ,∫ Pn(x)arctgaxdx , ∫ Pn(x)arcctgaxdx turdagi integrallarni bo’laklab integrallash uchun transendent ko’paytuvchini u va Pn(x)dx = dv deb olish maqsadga muvofiq. III. ∫ eaxsin bxdx ,∫ eaxcos bxdx , ( a,b- o’zgarmas sonlar) turdagi integrallar uchun esa eax= u va qolgan ko’paytuvchilarni dv deb olish ma‘qul. Bo’laklab integrallash jarayoniga tegishli belgilashlarni ham xuddi o’zgaruvchini almashtirish usulidagidek integraldan so’ng vertikal kesmalar orasiga yozamiz. Misol. ∫ x2ln xdx integral hisoblansin. Yechish. ln x= u,dx = x2dv desak (ln x)'dx = du ,dx x = du ,v= x3 3 bo’lib, (33.2) formulaga binoan ∫ ln хdx = x3 3 ⋅ln x− 1 3∫ x3⋅dx x = x3 3 ⋅ln x− 1 3∫ x2dx = x3 3 ln x− x3 9 +c kelib chiqadi. III BOB. FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH 3-1§. Ratsional funksiyalarni integrallash Ikki ko’phadning nisbati kasr-ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi: f(x)= Q m(x) Pn(x)= b0xm+b1xm−1+...+bm−1x+bm a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an . Agar m <n bo’lsa, u holda ratsional kasr to’g’ri, m ≥ n bo’lganda ratsional kasr noto’g’ri kasr deyiladi f(x) ratsional kasr noto’g’ri kasr bo’lganda kasrning Qm(x) suratini uning Pn(x) maxrajiga bo’lib kasrni Q m(x) Pn(x)= qk(x)+ r(x) Pn(x) ko’rinishga keltiriladi, bunda qk(x) -ko’phad, r(x) Pn(x) to’g’ri kasr. Ushbu f(x)= Q m(x) Pn(x)to’g’ri ratsional kasrni qaraymiz. Kasrning maxraji Pn(x)= a0(x− α1)k1...(x− αr)kr(x2+ p1x+q1) s1¿(x2+ p2x+q2) s2...(x2+ pex+qe) se ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratishdan foydalanib ratsional kasrni elementar kasrlar yig’indisi shaklida yoziladi. Qm(x) Pn(x)= A1 x− α + A2 (x− α )2+ A3 (x− α)3+...+ Aк (x− α)к+ + A1x+ B1 x2+ px +q + A2x+ B 2 (x2+ px + q)2+...+ Asx+ B s (x2+ px + q)s To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida A i , B i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud. Ulardan noma‘lum koeffitsientlar usuli bilan misollarda tanishamiz. Misol. ∫ x5+2x3+4x+4 x4+2x3+2x2 dx integralni hisoblang. Yechish . Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini ajratamiz: _ x5+2x3+4x+4 x5+2x4+2x3 |x4+2x3+2x2 x− 2 _ − 2x4+4х+4 − 2х4− 4х3− 4х 4 х3+4 х2+4х+4 x5+2 x3+ 4 x+ 4 x4+ 2 x3+ 2 х3 = x− 2+ 4 х3+ 4 x2+4 х+ 4 x2(x2+ 2 х+ 2) Endi 4х3+4x2+4х+4 x2(x2+2х+2) to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz: 4 х3+ 4 x2+ 4 х+ 4 x2(x2+2 х+ 2) = 4( х3+ х2+ х+1 х2(х2+ 2 х+ 2))= 4( A x + B x2+ Cx + D x2+2 x+ 2) (a) Ax (x2+ 2 x+2)+ B (x2+ 2 x+2)+(Cx + D )x2= x3+ x2+ x+1 Ax 3+ 2 Ax 2+ 2 Ax + Bx 2+ 2 Bx + 2 B +Cx 3+ Dx 2= x3+ x2+ x+1 Bu yerdagi bir xil darajali x lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib {A+C=1,¿{2A+B+D=1,¿{2A+2B=1,¿¿¿¿ sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib A= 0,B= C = D = 1 2 ekanini topamiz. Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (a) qo’yib quyidagini hosil qilamiz. 4 ( х3+ х2+ х+1 х2(х2+2 х+ 2)) = 4( 1 2 x2+ 1 2 x+ 1 2 x2+ 2 x+ 2)= 2( 1 х2+ х+ 1 х2+2 х+ 2) Demak, ∫ x5+2x3+4x+4 x4+2x3+2x2 dx = ∫ (x− 2)dx +2∫ 1 x2dx +2∫ x+1 x2+2x+2 dx = = x2 2 − 2x− 2 x+2∫ 1 2 d(x2+2x+2) x2+2x+2 = x2 2 − 2x− 2 x+ln (x2+2x+2)+C bo’ladi. 3-2§. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash ∫ R(sin x,cos x)dx ko`rinishdagi integrallarni tg x 2 = t almashtirish orqali ratsional funksiyalarning integrallariga keltiriladi. Bizga ma`lumki, sin x= 2tg x 2 1+tg 2x 2 = 2t 1+t2 ;cos x= 1− tg 2x 2 1+tg 2x 2 = 1− t2 1+t2;x= 2arctgt ; dx = 2 1+t2dt Bu belgilashlardan so’ng integralimiz ∫ R( 2t 1+t2,1− t2 1+t2) 2 1+t2dt ratsional kasrga keladi. Misol . ∫ dx 1+3cos x+sin x integral hisoblansin. Yechish. ∫ dx 3 + 3 cos x + 2 sin x = ¿ |tg x 2 = t dx = 2 dt 1 + t 2 ¿|¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ∫ R(sin x,cos x)dx ko‘rinishidagi integralni quyidagi o‘rnigа qo‘yishlаr orqali ham topish mumkin: a) R(sin x,cos x) ifoda sin x ga nisbatan toq bo‘lganda uning integrali cos x= t o‘rnigа qo‘yish orqali ratsionallаshtirаdi; b) R(sin x,cos x) ifoda cos x ga nisbatan toq bo‘lganda uning integrali sin x= t o‘rnigа qo‘yish orqali ratsionallаshtirаdi; c) Agar R(sin x,cos x) funksiya sin x va cos x ga nisbatan juft bo‘lganda uning integralini tgx = t o‘rnigа qo‘yish orqali rаtsiоnаllаshtirilаdi. Bunda quyidagi almashtirishlardan foydalaniladi: sin 2x= tg 2x 1+tg 2x = t2 1+t2,cos 2x= 1 1+tg 2x = 1 1+t2Misol. ∫ sin 3x cos 2+cos x dx integral hisoblansin. Yechish. Integral ostidagi funksiya sinx ga nisbatan toq funksiya. Shuning uchun ∫ sin 3x cos 2x+cos x dx =∫ sin 2x⋅sin xdx cos 2x+cos x = ∫ (1− cos 2x)⋅sin xdx cos 2x+cos x = ¿|cos x= t¿|¿ ¿ ¿ =− ∫ (1− t2)dt t2+t = ∫ (t− 1)(t+1) t(t+1) dt =∫ (1− 1 t)dt = t− ln t+C = cos x− lncos x+C ∫ sin nx⋅cos mxdx ko‘rinishidagi integrallar m vа n butun sоnlаrga bоg‘liq hоldа quyidagicha topiladi: а ) n>0 va toq son bo’lsin. U holda cosx=t , sinxdx=-dt almashtirish yordamida berilgan integral ratsionallashtiriladi. b) m>0 va toq son bo’lsin. U holda berilgan integral sinx=t, cosxdx=dt almashtirish yordamida ratsionallashtiriladi. d) n va m darajalar juft va nomanfiy bo’lsin. U holda sin 2x= 1− cos 2x 2 ,cos 2x= 1+cos 2x 2 darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib berilgan integralni со s2x ko’phadining integraliga ega bo’lamiz. со s2x ning toq darajalari ishtirok etgan integrallar b) bandga asosan topiladi. со s2x ning juft darajalari ishtirok etgan integrallarni topish uchun yana cos 22x= 1+cos 4x 2 darajani pasaytirish formulasidan foydalanamiz. Bu jarayonni davom ettirib oxiri ∫ cos kxdx = 1 k sin kx +С ga ega bo’lamiz. e) n va m juft sonlar bo’lib ulardan kamida bittasi manfiy bo’lsin. U holda tgx = t,x= arctgt ,dx = dt 1+t2,cos 2x= 1 1+tg 2x = 1 1+t2,sin 2x= tg 2x 1+tg 2x = t2 1+t2 almashtirish yordamida berilgan integral ratsionallashtiriladi. ∫ cos nx ⋅cos mxdx ,∫ sin nx ⋅cos mxdx ,∫ sin nx ⋅sin mxdx (n≠ m ) ko`rinishdagi integrallar trigonometrik funksiyalar ko`paytmasini yig’indi shaklga keltirish orqali oson hisoblanadi. 3-3§. Irratsional qatnashgan ifodalarni integrallash Irratsional funksiyadan olingan integral hamma vaqt ham elementar funksiyalar orqali ifodalanavermaydi. Irratsional funksiyalarni integrallashda o’zgaruvchilarni almashtirish yordamida ularni ratsional funksiyalarni integrallashga keltiramiz. ko'rinishdagi integralni qaraymiz. Aytaylik, soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin. almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Endi ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda soni soni kasrlarning umumiy mahraji. Ba’zi hollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. I. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa, almashtirish qilamiz. U holda bo’ladi. Bundan x ni t ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.x= t2− c b− 2√at Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib √ax 2+ bx +c= √a t2− c b− 2√at + t bo’lib u t ni ratsional funksiyasi bo’ladi. II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa, almashtirish qilamiz. Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak tenglik hosil bo’ladi. Bu ifodadan c oldida plyus ishorani olib х ni topamiz, dx va larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi. III. va kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lganda almashtirishni olamiz. U holda bo ’ lgani uchun tenglik hosil bo’ladi. Bu tenglikni kvadratga ko’tarib x o’zgaruvchini topamiz va bundan kelib chiqadi. dx va larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi. Misol. Ushbu integral hisoblansin. Yechish. Bu integralda almashtiramiz. Chunki . Binomial differensiallarni integrallash. Ushbu differensial ifoda binomial differensia deb ataladi. Uning integrali berilgan bo’lsin. Bunda o’zgarmas sonlar, ratsional sonlardir. Integralni hisoblash uchun quyidagi uchta 1) butun son; 2) butun son; 3) butun son; holdagina ratsional funksiyalarning integrali orqali ifodalanadi: 1) butun son bo'lsa, yuqorida ko’rilgan eng sodda irratsional funksiya integraliga ega bo’lamiz. 2) butun son bo’lsa, almashtirish bajaramiz. Bu yerda ratsional sonning maxraji. 3) butun son bo’lsa, almashtirish olsak integral ratsional funksiyaning integraliga keladi. Bunda ham ratsional sonning maxraji. Misol. integral hisoblansin. Yechish. Integralni quyidagi ko’rinishga keltiramiz. Bunda bo’lib, butun son. Shuning uchun ko’rinishdagi integrallar. ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida, ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida, ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida, ratsional funksiyaning integrallariga keltiriladi. Misol. integral hisoblansin. Yechish. Berilgan integra ko’rinishdagi integraldir. Bunda ko’rinishda almashtirish bajaramiz. Oxirgi integralda trigonometrik almashtirishlardan foydalanamiz. Misol. integral hisoblansin. Yechish . XULOSA Kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o`rgandim: 1. Boshllang`ich funksiya va aniq integral ta’riflari va ularga doir teoramalar. 2. Integrallash jadvalida o`zim bilmagan ba’zi bir formulalar. 3. Differnsialni belgi ostiga kiritish usulini mustahkamladim. 4. Bo`llaklab integrallash usullarini . 5. Ratsional funksiyalarni integralllashni. 6. Trigonometrik va irratsional funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallashni. 7. Ta’rif. Agar funksiya oraliqda hosilaga ega bo`lib, shu oraliqning ixtiyoriy nuqtasida uning hosilasi funksiyaga teng bo`lsa, ya`ni tenglik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya funksiya uchun boshlang’ich funksiya deyiladi. 8. Eslatma. funksiyaning oraliqlardagi boshlang’ich funksiyasi yuqoridagi kabi ta`riflanadi. 9. Misol. funksiya funksiya uchun raliqda 10. boshlang’ich funksiyasi bo`ladi. Ya’ni tenglik bajariladi. 11. Ravshanki, agar funksiya uchun funksiya oraliqda 12. boshlang’ich funksiya bo`lsa, u holda funksiya ham funksiya 13. uchun oraliqda boshlang’ich funksiya bo`ladi, bu erda -ixtiyoriy o`zgarmas son. Bundan tashqari har bir bobni yozish davomida undagi mavzularni misollar yordamida chuqurroq tushunib yetdim. Farg`ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo`nalishi 19.01 guruh talabasi Mirkomilov Javohirnning “ ANIQMAS INTEGRAL VA RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH ” mavzusida yozgan kurs ishiga T A Q R I Z Ushbu kurs ishi kirish, asosiy qism, foydalanilgan adabiyotlar ro`yhatidan iborat. Kurs ishida O`zbekistonda matematikaga qaratilgan e’tibor, nafaqat aniq fanlar, balki ijtimoiy fanlardagi o`zgarishlar to`g`risida fikr yuritilgan.Dastlab boshlang`ich tushunchalarga oydinlik kiritilgan, asta-sekin har bir ta’rif va teoremalar isboti bilan keltirilgan. Mavzudagi ma’lumotlar mavzu doirasidan chetlashmagan holda to`plangan va bayon etilgan. Kurs ishi 24 varaq hajmida yozilgan, ma’lumotlarning keng tahlili amalga oshirilgan, 5 nomdagi foydala nilgan adabiyotlar ro`yhati keltirilgan. U zamonaviy darsliklarni, o`quv qo`llanmalarini, ko`pchilik tomonidan foydalanilayotgan internet saytlarini o`z ichiga oladi. Kurs ishida quyidagi kamchiliklar mavjud: - mundarija yo`q - imloviy xatolarga yo`l qo`yilgan. Ushbu kamchiliklar kurs ishining mazmuniga ta’sir etmaydi. Kurs ishi talab darajasida yozilgan deb aytish mumkin(garchi berlgan mavzu yuzasian juda kam malumot topgan bo`lsamda qo`limdan kelgancha shu mavzuga yaqin mavzulardan yozishga harakat qildim). Talaba yuqorida ko`rsatilgan kamchiliklarni kelgusi tatqiqot ishlarida takrorlanishiga yo`l qo`ymaydi deb o`ylayman va ushbu kurs ishini himoyaga tavsiya etish mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar 1. T.A.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz, 2-qism Toshkent, “O‘qituvchi”,1989y. 2. Xolmurodov E., Yusupov A.I., Aliqulov T.A. Oliy matematika. 2 -qism.- Toshkent: “NEXT MEDIA GROUP”,2017. 3. G.N.Berman. С борник задач по математическому анализ . Moskva, “Nauka”, 1985 4. YO.U.Soatov. Oliy matematika, 2-jild. Toshkent, “O‘qituvchi” 1994. 5. YO.U.Soatov. Oliy matematika, 3 -jild. Toshkent, “O‘qituvchi” 1995.
Купить