Aniqmasliklar. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	835.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Aniqmasliklar. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi

Купить

Aniqmasliklar. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi
Farg‘ona 2026
MUNDARIJA
KIRISH ............................................................................................................................................................... 2
Kurs ishining dolzarbligi Matematik analiz kursida funksiya limiti va hosila tushunchalari fundamental
asos hisoblanadi. Amaliyotda, xususan, fizika, iqtisodiyot va muhandislik modellarini yaratishda ko‘pincha
argument ma’lum bir qiymatga intilganda funksiyaning o‘zi aniq bir qiymatga ega bo‘lmaydigan, ya’ni
yoki ko‘rinishidagi aniqmasliklar yuzaga keladi. Bunday funksiyalarning limit holatidagi xarakterini
o‘rganish o‘ta muhimdir. .............................................................................................................................. 3
Kurs ishining obyekti. Matematik analizdagi funksiya limiti tushunchasi va limitlarni hisoblash jarayonida
yuzaga keladigan turli ko‘rinishdagi aniqmasliklar (funksional munosabatlar). ............................................ 4
Kurs ishining predmeti. Ushbu ko‘rinishidagi aniqmasliklarni ochishda differensial hisob (hosila) va Lopital
qoidasini qo‘llash metodikasi, algoritmlari hamda cheklovlari. .................................................................... 4
ASOSIY QISIM .................................................................................................................................................... 5
Funksiya va uning limiti ..................................................................................................................................... 5
2. Aniqmas ifodalar .......................................................................................................................................... 7
3. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi ................................................................................................. 12
Xulosa ............................................................................................................................................................. 26
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .................................................................................................................... 28
1

KIRISH
O‘zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan tub islohotlar, jamiyatda
ijtimoiy-siyosiy va iqtisodiy rivojlanishning o‘ziga xos yo‘li, tanlov, shuningdek,
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” g‘oyasi va talablari asosida dunyo talablariga
javob beradigan uzluksiz ta’lim tizimning shakllanishi uchun qulay sharoitlar yaratdi.
Ta’lim yetakchi va aniq maqsadga yo‘naltirilgan davlat jamiyatning barqaror
rivojlanishini ta’minlaydigan ijtimoiy siyosat yo‘nalishlaridan biri sifatida tan olindi.
Ushbu yo‘nalishda amalga oshiriladigan muhim choralar qatorida yangi avlod
mutaxassislari ham boy shakllantirish, ma’naviy va axloqiy yetuklik, mustaqil
dunyoqarash, ijodiy mutafakkir, boy milliy meros, shuningdek umuminsoniy va
milliy qadriyatlarga sodiq bo‘lgan yetuk insonni tarbiyalash funksiyalari aniqlangan.
Jamiyatdagi islohotlar soha talablariga to‘liq mos keladi. Raqobatbardosh, keskin
o‘zgarishlarga moslashuvchan, shuningdek, mehnat bozoridagi mutaxassislarning
malakasiga qo‘yiladigan talablar ta’sirchan shaxsni shakllantirishda muammo
tug‘dirmoqda.
O‘qituvchi kasbi umrbod davom etadigan kasb hisoblanadi. Inson paydo
bo‘lgandan buyon u o‘z tajribasini o‘rgatishga xohish va extiyoj sezgan. Bu vazifani
bajarish, asosan katta tajribalilar zimmasiga tushgan.
O‘qituvchi kasbining xususiyatlaridan biri uning jamiyatda o‘rgatuvchi, ustoz
deb belgilanishidir. O‘qituvchi jamiyat o‘sib kelayotgan shaxs o‘rtasidagi
vositachisidir. Shuning uchun ham o‘qituvchi jamiyatda eng qiyin jarayonni
boshqaradi- bu shaxsni shakllanishi jarayonidir. Bu jarayonni qiyinligi
tarbiyalanuvchi shaxsning o‘zgaruvchanligidadir.
Mustaqillikka erishilgan kundan boshlab, maktablarga o‘qituvchi
murabbiylarga ularni moddiy ma’naviy rag‘batlantirish, yordam berish masalalariga
e’tibor kuchaytirildi. Chunki o‘qituvchi mehnatini hech narsaga tenglashtirib
bo‘lmaydi. Har kim ham bu kasbning egasi bo‘la olmaydi, o‘qituvchi bo‘lib faqat shu
kasbning fidoyisi bo‘lganlardagina ishlay olishi mumkin va shundaylarni hamma
e’zozlab hurmat bilan boshiga ko‘tarishi mumkin.
2

Respublikamiz birinchi Prezidenti I.A.Karimovning ushbu aytgan so‘zlari
o‘qituvchilarga bo‘lgan hurmatni yanada orttirib, bu kasbni qanchalik sharafli
ekanligini yana bir bor ta’kidlaydi: «O‘z-o‘zini el ishiga bag‘ishlagan, inson
tarbiyasiga jon tikkan oliyjanob o‘qituvchilarni, mo‘tabar muallimlarni bundan buyon
ham boshimizga ko‘taramiz», chunki muallim va ustoz shunday zotki, u har qanday
insonning ruhini tarbiyalaydi, ma’naviy boylik bilan to‘ldiradi. Har qanday ruhiy va
ma’naviy kamchilik va illatlardan poklaydi, jaholat degan buyuk aybdan holi va ozod
etadi. Muallim va ustoz shunday zotki u imkoniyatni ilm bezagi bilan ziynatlaydi,
ularga chiroyli va yoqimli fazilatlar bilan chiroy va oro beradi, tushuntirish bilan
foydasiz narsalardan odamni xalos etadi, insonni haqiqiy komil insonlik darajasiga
yetkazuvchi bilim xazinasini ularning qalbiga joylaydi.
Kurs ishining dolzarbligi Matematik analiz kursida funksiya limiti va hosila
tushunchalari fundamental asos hisoblanadi. Amaliyotda, xususan, fizika, iqtisodiyot
va muhandislik modellarini yaratishda ko‘pincha argument ma’lum bir qiymatga
intilganda funksiyaning o‘zi aniq bir qiymatga ega bo‘lmaydigan, ya’ni yoki
ko‘rinishidagi aniqmasliklar yuzaga keladi. Bunday funksiyalarning limit holatidagi
xarakterini o‘rganish o‘ta muhimdir.
Aniqmasliklarni an’anaviy algebraik usullar (ko‘paytuvchilarga ajratish, qo‘shmasiga
ko‘paytirish) bilan ochish har doim ham imkonli yoki qulay bo‘lavermaydi, ayniqsa
transsendent (ko‘rsatkichli, logarifmik, trigonometrik) funksiyalar qatnashgan
holatlarda. Lopital qoidasi esa hosila tushunchasiga tayanib, murakkab
aniqmasliklarni yechishning eng universal, samarali va algoritmlashgan usuli
hisoblanadi. Ushbu kurs ishida aniqmasliklarning turlari, ularni Lopital qoidasi
yordamida ochish mexanizmlari va qoidaning qo‘llanilish chegaralarini chuqur tadqiq
etish mavzuning dolzarbligini belgilaydi.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi —
matematik analizning muhim vositalaridan biri bo‘lgan Lopital qoidasini chuqur
o‘rganish, uning qo‘llanilish shartlarini aniqlash, har xil noaniqlik turlarini ochib
3

berish hamda u orqali limitlarni hisoblashda yuzaga keladigan aniqmaslik holatlarini
to‘g‘ri aniqlash va yechish yo‘llarini tushuntirishdan iborat.
1. Lopital qoidasining nazariy asoslarini o‘rganish va uning matematik isbotini ko‘rib
chiqish.
2. Noaniqlik tushunchasini aniqlashtirish va uni yuzaga keltiradigan matematik
holatlarni tasniflash.
3. Lopital qoidasining qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan holatlari (masalan, , turlari) va
mumkin bo‘lmagan holatlarini (masalan, , kabi) ko‘rsatish.
4. Turli aniqmaslik turlarini Lopital qoidasiga keltirish usullarini tahlil qilish va
amaliy misollar bilan ko‘rsatish.
5. Lopital qoidasiga muqobil yondashuvlarni (masalan, Taylor qatorlari, grafik analiz,
sondagi yaqinlashuv usullari) qisqacha tahlil qilish.
6. Mavzuga oid amaliy misollarni yechish va ularning natijalarini tahlil qilish orqali
qoida qo‘llanilishining samaradorligini ko‘rsatish.
7. Nazariy bilimlarni amaliy masalalarda qo‘llash malakasini rivojlantirish va limitlar
mavzusini o‘rganish.
Kurs ishining obyekti . Matematik analizdagi funksiya limiti tushunchasi va
limitlarni hisoblash jarayonida yuzaga keladigan turli ko‘rinishdagi aniqmasliklar
(funksional munosabatlar).
Kurs ishining predmeti . Ushbu ko‘rinishidagi
aniqmasliklarni ochishda differensial hisob (hosila) va Lopital qoidasini qo‘llash
metodikasi, algoritmlari hamda cheklovlari.
4

ASOSIY QISIM
Funksiya va uning limiti
Aytaylik, va ha qiqiy sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin.
1.1-ta’rif . Agar to‘plamning har bir elementiga to‘plamning
yagona elementi mos qo‘yilsa, u holda bu moslik funksiya deyiladi va uni
kabi yoziladi. Bu yerda − erkli o‘zgaruvchi (argument); −erksiz
o‘zgaruvchi
ni ga mos qo‘yuvchi qoida.
1.2-ta’rif . Argument ?????? ning berilgan funksiya ma’noga ega bo‘ladigan
qiymatlar to‘plamiga funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va uni bilan
belgilanadi.
1.3-ta’rif . ning o‘zgarishiga ko‘ra ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan
qiymatlar to‘plamiga funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi va uni bilan
belgilanadi.
Funksiyaning limiti berilgan funksiya nuqtaning shu nuqtani o‘zi
kirishi shart bo‘lmagan biror atrofida aniqlangan bo‘lib, biror haqiqiy son bo‘lsin.
Agar ixtiyoriy son uchun shunday son topilib,
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, u
holda sonini funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi.
kabi belgilanadi.
Umuman ?????? argument ?????? ga o‘ngdan yoki chapdan intilishi mumkin. Agar bu limitlar
mavjud bo‘lsa, ular mos ravishda ?????? ( ?????? ) funksiyaning o‘ng va chap limitlari deyiladi va
ularni va ko‘rinishda yozamiz.
Agar bo‘lsa, u holda funksiya
nuqtada limitga ega deyiladi.
Cheksiz katta va cheksiz kichik miqdorlar.
5

Agar ga intilganda yoki bo‘lsa, u holda
funksiyani cheksiz katta funksiya deymiz. Agar bo‘lsa
funksiyani cheksiz kichik funksiya deb ataymiz.
Funksiya limitining xossalari
Agar , bo‘lsa, u holda
1.
2.
3.
4.
Misol . hisoblang.
Yechish: 3-xossaga ko‘ra hisoblaymiz. Bundan esa 1/5 degan javobga kelamiz.
Mustaqil bajarish uchun misollar.
Eslatma. Bu misollar ham namunadagi misol kabi ishlanib, 4 ta xossadan
foydalanib ishlash kerak bo‘ladi.
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.
6

2. Aniqmas ifodalar
Aniqmasliklar, aniqmasliklarning turlari va ularni ochishni o‘rganish
matematik analiz fanida muhim ahamiyatga ega. Umuman olganda, aniqmasliklarga
olib keladigan hollar, ularga uzviy bog‘liq bo‘lgan tushunchalarni o‘rganish,
aniqmasliklarlarni turlarini va ularni bartaraf etishning qulay usullari izlab topish
matematiklarning e’tiborini tortishi kerak. Biz ularning ustida izlanishlar olib borar
ekanmiz, fan doirasida muhim, amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan ishlarni amalga
oshirishimiz mumkin. Biz funksiyalarning limitini o‘rganish jarayonida
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish bilan
shug‘ullangan edik. Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda, berilgan
aniqmasliklarni ochish masalasi yengillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib
aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarinng
bayoni bilan shug‘ullanamiz. Matematikada ko‘p hollarda ifodalar limitga ega bo‘ladi
– ya’ni biror son yoki qiymatga intiladi. Biroq bazi hollarda ifodaning limitini
aniqlash to‘g‘ridan - to‘g‘ri bo‘lmaydi, chunki u aniqmas shaklga kiradi.
Aniqmaslik - bu ifoda shaklan mavjud bo‘lsa ham, uning limitini aniqlash
uchun qo‘shimcha tahlil qiladigan holatdir.
Bizga va ketma - ketliklar berilgan bo‘lsin. Bu
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib, , , ham
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda va ketma – ketliklarning limitlariga
nisbatan quyidagi shartlar bajariladi.
1) va ketma – ketliklarning limitlari chekli;
2) ketma – ketliklarning limitiga oid mulohazada .
7

Endi bu shartlar bajarilmagan holda , , ketma –
ketliklarning limitini o‘rganamiz.
1. ko‘rinishidagi aniqmaslik. , bo‘lsin.
bo ‘ lganligi uchun ning limitiga tatbiq qilinmaydi .
va ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlikning xarakteri
va ketma – ketliklardan tuzilgan har birining nolga qanday intilishiga qarab
turlicha bo ‘ lishi mumkin . Buni quyidagi misollarda ham ko ‘ rish mumkin .
1. va ketma – ketliklarning limitlari 0 teng ekanligi ravshan.
Endi ketma – ketlikni tuzaylik. . Demak,
1. va ketma – ketliklarning har birining limiti 0 ga teng.
Bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlik limitga ega emas.
Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki, va ekanligini bilgan holda, bu
ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlikning limiti to‘g‘risida tayin
xulosaga kelib bo‘lmaydi. Shuning uchun , bo‘lganda, ketma –
ketlik ko‘rinishdagi aniqmas ifoda yoki aniqmaslik deyiladi.
8

va da xarakterini aniqlash aniqmaslikni ochish deyiladi.
Biz yuqorida ko‘rgan misollarda aslida tegishli aniqmasliklarni ochib berdik.
1. ko‘rinishdagi aniqmaslik. va ketma – ketliklardan har birining
limitlari cheksiz bo‘lsin. , . Bu holda ham ketma –
ketlikning xarakteri qanday bo‘lishini yuqoridagidek aytib bo‘lmaydi. Buni
misollarda ko‘raylik.
1. ketma – ketliklardan har birining limiti cheksiz bo‘ladi.
. Bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma –
ketlikning limiti ham cheksizdir. .
1. va ketma – ketliklardan har birining limiti cheksiz
bo‘lib, bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlik limitga ega
emas.
Bu misollardan ko‘rinadiki, va ketma – ketliklardan har birining limiti
cheksiz bo‘lgan holda, bu ketma – ketliklar nisbatidan tuzilgan ketma –
ketlikning limiti to‘g‘risida tayin xulosaga kelib bo‘lmaydi. Shuning uchun
da ketma – ketlik ko‘rinishdagi aniqmas ifoda yoki
aniqmaslik deyiladi. Bu holda ham da ning xarakterini
9

aniqlash aniqmasliklarni ochish deyiladi. Ko‘rilgan misollarda tegishli aniqmasliklar
ochib berildi.
1. ko‘rinishidagi aniqmaslik. va ketma – ketliklar berilgan
bo‘lib, bo‘lsin. Bu holda ham ketma – ketlikning
limitini xarakterlaydigan misollar ko‘raylik.
1. ketma – ketliklarning limiti mos ravishda va dir.
Bu ketma – ketliklar ko‘paytmasidan tuzilgan ketma – ketlikning
limiti bo‘ladi.
2. , bo‘lsin. Ularning limiti mos ravishda va
bo‘lib bu ketma – ketliklar ko‘paytmasidan tuzilgan ketma –
ketlik limitga ega emas.
Demak, bo‘lgan holda ketma – ketlikning
xarakteri turlicha bo‘ladi. Shuning uchun bo‘lishini bilgan
holda ning limiti haqida aniq xulosaga kelib bo‘lmaydi. Shu sababdan
da ketma – ketlik ko‘rinishidagi aniqmas
ifoda yoki aniqmaslik deyiladi.
4. ko‘rinishidagi aniqmaslik. va ketma – ketliklar berilgan
bo‘lib, ular turli ishorali cheksizga intilsin, masalan,
deylik. Bu ketma – ketliklar yig‘indisidan tuzilgan ketma – ketlikdan
xarakteri ham turlicha bo‘lishi mumkin. Buni misollarda qaraylik.
ketma – ketliklar uchun bo‘lib,
bo‘ladi.
10

va ketma – ketliklar uchun va
bo‘lib, bu ketma – ketliklar yig‘indisidan tuzilgan ketma –
ketlik limitga ega emas. Yuqoridagi kabi, bu holda ham , da
ketma – ketlik aniqmaslikni ifodalaydi. Bu aniqmaslik
ko‘rinishidagi aniqmas ifoda yoki aniqmaslik deyiladi.

Mavzuga doir mustahkamlash uchun misollar
1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.
9. 19.
11

10. 20.
3. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi
Hosilalardan foydalanib aniqmasliklarni ochish Lopital qoidasi deb ataladi.
Biz quyida aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi bilan shug‘ullanamiz.
1. ko‘rinishidagi aniqmaslik. Ma’lumki, da bo‘lsa,
nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha da
nisbatning limitini topishga qaraganda nisbatning limitini toppish
oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitining tengligini quyidagi teorema ko‘rsatadi.
3.1-teorema . intervalda aniqlangan, uzluksiz va
funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:
1) , ;
2) da chekli va hosilalar mavjud va ;
3) ( chekli yoki cheksiz )
U holda

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. hamda funksiyalarning nuqtadagi qiymatlari 0
ga teng ya’ni , deb olsak, natijada
, (1)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. nuqta olib, segmentda va
funksiyalarni qaraymiz. Bu segmentda va funksiyalar Koshi
12

teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. U holda Koshi teoremasiga ko‘ra bilan
orasida shunday nuqta topiladiki, ushbu
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan esa (1) ga ko‘ra
bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, da . Demak,
Ushbu
limitni hisoblang.
Bu holda
bo‘lib, ular uchun teoremaning barcha shartlari bajariladi.
Haqiqatan ham,
1)
2)
3)
bo‘ladi.
U holda teoremaga ko‘ra
13

Shu teoremadan, ya’ni Lopital qoidasidan foydalanib, muhim limitni osonlik bilan
isbotlash mumkin. Haqiqatan,
Eslatma . Yuqorida keltirilgan teoremaning 3-sharti bajarilmaganda, ya’ni
da va funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lib, da
nisbatning limiti mavjud bo‘lmaganda ham

mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan, bo‘lsin.
Bu funksiyalar uchun
bo‘lib, da nisbat
limitga ega emas.
3.2-teorema.
intervalda aniqlangan va funksiyalar
uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:
1) ,
2) da chekli va hosilalar mavjud va
3) ( chekli yoki cheksiz). U holda
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
14

Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi sonni musbat deb
olish mumkin. o‘zgaruvchini ushbu formula yordamida o‘zgaruvchiga
almashtiramiz. U holda da .
Natijada va funksiyalar o‘zgaruvchining
va
funksiyalari bo‘lib, ular
intervalda aniqlangan.
Teoremaning 1- sharti quyidagi
ko‘rinishni oladi.
intervalda va funksiyalar hosilalarga ega. Haqiqatan ham,
murakkab funksiya hosilasi haqidagi teoremaga ko‘ra topamiz:
Bu munosabatlardan hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi.
So‘ngra
15

bo‘lishidan esa ning mavjudligi va ekanini topamiz.
Shunday qilib, intervalda aniqlangan va funksiyalar
uchun quyidagiga egamiz:
1)
2) intervalda hosilalar mavjud va
3)
U holda yuqorida isbot etilgan teoremaga ko‘ra
bo‘ladi. Keyingi tenglikdan esa
bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Misol. Ushbu
limitni hisoblang.
Bu holda bo‘lib, ular uchun
teoremaning barcha shartlari bajariladi, jumladan
16

bo‘lib,
bo‘ladi. Teoremaga ko‘ra
2. ko‘rinishdagi aniqmaslik.
Ma’lumki, da bo‘lsa, nisbat
ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Bunday aniqmaslikni ochishda ham va
funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkin.
3.3-teorema .
intervalda va funksiyalar uchun ushbu
shartlar bajarilgan bo‘lsin:
1)
2) intervalda chekli va hosilalar mavjud va
3) ( chekli yoki cheksiz). U holda
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. ning chekli hamda cheksiz bo‘lgan hollarini alohida-alohida qarab
o‘tamiz.
17

a)
bo‘lib, - chekli bo‘lsin. Limit ta’rifiga ko‘ra, olinganda ham ga ko‘ra
shunday son topiladiki, tengsizliklar bajarilganda
tengsizlik ham bajariladi. Ushbu
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy va tayinlangan nuqtalarni olib, segmentda va
funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llaymiz. U holda
tenglik o‘rinli bo‘lib, bunda bo‘ladi. Ravshanki, bu nuqta ga
bog‘liqdir.
Teoremaning bo‘lishi shartiga asoslanib
deb olsak bo‘ladi.
Endi yuqoridagi tenglikning chap tomonida turgan
nisbatni quyidagicha yozib olamiz.
U holda yuqoridagi munosabat ushbu
18

ko‘rinishga keladi.
tenglikning o‘ng tomonidagi nisbat
da ga intiladi:
Endi
deb belgilaylik. Ravshanki,
miqdor ga va u orqali va
nuqtalarga bog‘liq bo‘lib, bo‘lganda munosabatga
ko‘ra

tengsizlikni qanoatlantiradi.
tenglikdagi
nisbat, nuqta tayinlangan holda, da ga intiladi, ya’ni
Endi
19

deb belgilasak, u holda
bo‘ladi. Demak, o‘sha olinganda ham ga ko‘ra shunday
son topiladiki, bo‘lganda
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Agar va sonlarning kichigini deb olsak, unda uchun
va tengsizliklar bir vaqtda o‘rinli bo‘lib,

tengsizlik bajariladi.
Demak, olinganda ham shunday son topiladiki,
bo‘lganda
bo‘ladi. Bu esa
bo‘lishini bildiradi.
20

b)
bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko‘ra olinganda ham shunday son
topiladiki, bo‘lganda
bo‘ladi.
Yuqoridagi a) holidagidek tengsizliklarni
qanoatlantiruvchi ixtiyori va tayin nuqtalarni olamiz. Bundan va demak,

tengsizlik kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan,
bo‘lganidan jumladan, uchun shunday son topiladiki,
bo‘lganda
bo‘ladi. Keyingi tengsizlikdan esa
21

bo‘lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi tenglikdan topamiz:
Endi deb olsak, u holda bo‘lganda
yuqoridagi tengsizliklar baravariga o‘rinli bo‘ladi. Natijada bo‘lganda
bo‘ladi. Bu esa
bo‘lishini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. intervalda va funksiyalar uchun
ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:
1)
2) intervalda chekli hosilalar mavjud va ;
3) ( chekli yoki cheksiz).
U holda
22

bo‘ladi.
Bu teorema yuqorida keltirilgan teoremaga o‘xshash isbotlanadi.
3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar.
Ma’lumki, bo‘lganda ifoda
ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib, uni quyidagicha
yozish orqali yoki ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shuningdek, bo‘lganda ifoda
ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidagicha
o‘zgartirish natijasida ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida hamda
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochishda, ularni yoki ko‘rinishdagi
aniqmaslikka keltirilib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.
Ma’lumki, da funksiya va ga, funksiya esa mos
ravishda va ga intilganda

darajali-ko‘rsatkichli ifoda ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu
ko‘rinishidagi aniqmasliklarni ochish uchun avval ni logarifmlanadi:
23

da ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslikni
ifodalaydi.
Faraz qilaylik, da aniqmas ifodani o‘zgartirib,
yuqoridagi teoremalardan birini (Lopital qoidasini) qo‘llanib
( chekli yoki cheksiz) bo‘lishini topdik, deylik. Unda
bo‘ladi.
Eslatma. Agar va funksiyalarning va hosilalari
ham va lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini
qanoatlantirsa, u holda
tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin
bo‘ladi.
Misol. Ushbu limitni hisoblang. Ravshanki, da
ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslik. Sodda hisoblashlar yordamida
topamiz:
24

Xulosa
Ushbu kurs ishida avvalo aniqmasliklar va ularni ochishni o‘rganish haqida
g‘oya va ma’lumotlar keltirdim. Unda quyidagilarga e’tibor qaratdim:
1.Funksiya limitini hisoblash
2. Aniqmasliklarning ta’rifini o‘rganish va turlarini farqlash.
3.Aniqmasliklarni ochishning qulay usullarini o‘zlashtirish.
Biz aniqmasliklar va ularni ochish mavzusini o‘rganar ekanmiz, kurs ishida
funksiyaning limiti hamda aniqmasliklarning ta’rifi, ularning ko‘rinishi, turlari,
aniqmasliklarni ochishning qulay usullari, jumladan, Lopital qoidasiga ko‘ra
aniqmasliklarni ochishni o‘z rejalarimda yoritishga harakat qildim. Mavzu doirasida
unga bevosita taaluqli bo‘lgan amaliy ma’noga ega bo‘lgan hosila, limit
tushunchalar, ajoyib limitlar va ularni ta’riflarini ko‘rib chiqdim. Shuningdek,
ta’kidlash joizki, aniqmasliklar va ularni Lopital qoidasi yordamida ochish
matematik analiz fani doirasida ham o‘z muhim ahamiyatiga ega hisoblanadi. Biz bu
mavzuni chuqur o‘zlashtirish orqali, o‘z ustimizda ishlab, soha taraqqiyotiga munosib
xissamizni qo‘shishimiz kerak. Ushbu kurs ishida matematik analizning muhim
mavzularidan biri — Lopital qoidasi va uning limitlar hisobidagi o‘rni chuqur tahlil
qildim. Ayniqsa, limitlarni hisoblashda uchraydigan aniqmasliklar (noaniqliklar)
turlari, ularni qanday aniqlash va Lopital qoidasini to‘g‘ri qo‘llash shartlari batafsil
yoritdim.
Lopital qoidasining asosiy maqsadi — yoki ko‘rinishidagi limitlarni
hisoblashni soddalashtirishdir. Bu qoida shunchaki formulani yodlash emas, balki u
mavjud bo‘lgan shartlarni chuqur tushunishni talab qiladi.
Har qanday aniqlanmagan ifoda uchun Lopital qoidasini to‘g‘ridan-to‘g‘ri qo‘llash
mumkin emas. Amaliy misollar yordamida qoida qanday ishlashi ko‘rsatildi va uni
noto‘g‘ri qo‘llash natijasida yuzaga keladigan xatoliklar muhokama qilindi.
Shuningdek, Lopital qoidasiga muqobil bo‘lgan ba’zi usullar (masalan, Taylor qatori
yoki grafik yondashuv) ham qisqacha ko‘rib chiqildi.Umuman olganda, Lopital
qoidasini puxta o‘zlashtirish — bu nafaqat limitlarni hisoblash malakasini oshiradi,
balki talabani aniqmaslik turlarini farqlash, matematik fikrlashni chuqurlashtirish,
26

hamda murakkab ifodalarni soddalashtirishga o‘rgatadi. Kurs ishining nazariy va
amaliy qismi bu maqsadlarga erishishda samarali asos bo‘lib xizmat qiladi deyish
mumkin.
27

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz. T., 1994.
2. Y.Y.Soatov. Oliy matematika asoslari. T.: O‘zbekiston nashriyoti, 1998.
3. Azlarov T. A., Mansurov X. T. Matematik analiz. I, II tom 1994, 1995.
4. G. Xudoyberganov, A. Vorisov, X. Mansurov . “Matematik analiz” . Nasaf
nashriyoti. 2003.
5. A.Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Varisov, R. G‘ulomov
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami I, II tom. O ` zbekiston , 1993,
1995.
6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
М. Наука 1977
7. Кудряцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. Сборник задач по
математическому анализу. М. Наука 1986.
8. Азларов Т. А., Мансуров Х. Математик анализ, I -қисм. — Т., Ўқитувчи,
1986.
9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
— М. Наука, 1977 ва бошқа йилларда нашрлари.
10. Кудрявцев Л. Д., Куташов А. Д., Чехлов В. Н., Шабунин М. И. Сборник
задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность.
Дифференцируемость. Л. Д. Кудрявцев таҳрири остида. — М.: Наука, 1984.
11. Кудрявцев Л. Д., Куташов А. Д., Чехлов В. Н., Шабунин М. И. Интеграл.
Ряд. Л. Д. Кудрявцев — М. Наука, 1986.
12. www . ziyoNET . uz
13. www . referat . uz
14. www.arxiv.uz

28

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26