• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 40000UZS
Размер 380.7KB
Покупки 0
Дата загрузки 13 Июнь 2025
Расширение docx
Категория Алгебра

Продавец

Rashidbek Qambaraliyev

Дата регистрации 11 Июнь 2025

0 Продаж

Arifmetik va geometrik progressiyaning o‘qitish metodikasi

XULOSA Ushbu kurs ishida matematikaning muhim mavzularidan biri — arifmetik va geometrik progressiyalar, ularning mazmuni, xossalari, qo‘llanilishi va ta’lim jarayonida o‘qitish metodikasi chuqur o‘rganildi. Mavzuni tanlashimiz bejiz emas, chunki ushbu progressiyalar real hayotdagi ko‘plab jarayonlarni matematik modellashtirishda, iqtisodiyotda, texnikada, demografik tahlillarda va boshqa ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi. Shuningdek, progressiya mavzusi o‘quvchilarda umumlashtirish, taqqoslash, tahlil qilish, mantiqiy xulosa chiqarish ko‘nikmalarini shakllantiradi. Tadqiqot jarayonida aniqlanishicha, o‘rta ta’lim muassasalarida progressiyalarni o‘qitish samaradorligini oshirish uchun o‘qituvchi faqatgina an’anaviy izoh va misollar bilan cheklanib qolmasligi kerak. Aksincha, u interaktiv metodlardan — aqliy hujum, guruhiy ish, klaster, multimedia resurslari, grafik tasvirlar, dinamika modellari kabi vositalardan keng foydalanishi zarur. Bunday yondashuvlar o‘quvchilarning mavzuga bo‘lgan qiziqishini oshiradi, ularni faol ishtirok etishga undaydi va individual yondashuvni amalga oshirishga imkon yaratadi. Shuningdek, arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rganish orqali o‘quvchilar algoritmik fikrlash, muammoni tahlil qilish va yechim izlash, natijalarni asoslab berish, o‘z fikrini matematik tilda ifoda qilish ko‘nikmalarini rivojlantiradilar. Bu esa ularning matematika faniga nisbatan ijobiy munosabatini shakllantiradi va umumiy o‘quv faoliyatiga ijobiy ta’sir ko‘rsatadi. O‘quvchilarga progressiyalarni o‘rgatishda real hayotiy misollar asosida tushuntirish, masalan, bank foizlari, aholining o‘sish sur’ati, fizikaviy harakatlar, texnik tizimlarning ishlash prinsiplari, tabiiy hodisalar va boshqa voqeliklarga asoslangan yondashuvlar ayniqsa samaralidir. Bu orqali o‘quvchi o‘z bilimlarini real hayotda qo‘llash yo‘llarini anglaydi, matematikaning amaliy ahamiyatini tushunadi. Progressiyalarni o‘rgatishda o‘quv dasturi, darslik, ishchi daftarlardan tashqari qo‘shimcha resurslar, ya’ni onlayn platformalar, simulyatsiyalar, mobil 30 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Mirziyoyev Sh. M., O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti 2023-yilgi Murojaatlari va Nutqlari. – Toshkent, 2023. 2. Abdullayev N., Algebra va analiz. – Toshkent: Universitet nashriyoti, 2019. 3. Axmedov R., Matematikaning nazariy asoslari. – Toshkent: Yangi asr avlodi, 2020. 4. Axmedova G., Interaktiv dars metodlari. – Toshkent: Yangi asr avlodi, 2021. 5. Ismoilov H., Matematikaning asosiy tushunchalari. – Toshkent: Barkamol Avlod, 2021. 6. Mavlonova R., Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: TDPU, 2020. 7. Mirzaqulov S., Pedagogik texnologiyalar. – Toshkent: Ilm Ziyo, 2019. 8. Mirzaqulov S., Pedagogika asoslari. – Toshkent: Ilm Ziyo, 2019. 9. Mirzayeva S., Ta’limda innovatsion metodlar. – Toshkent: Innovatsiya, 2020. 10. Normurodov A., O‘qituvchining darsni rejalashtirish ko‘nikmalari. – Samarqand: Ilm Ziyo, 2020. 11. Nurmatov J., Algebra va funksiyalar nazariyasi. – Toshkent: Universitet nashriyoti, 2018. 12. Qodirov S., Matematika nazariyasi. – Toshkent: Ilm Ziyo, 2022. 13. Qurbanova D., Matematika fanini o‘qitish metodikasi. – Toshkent: Universitet nashriyoti, 2022. 14. Rasulov M., Algebra asoslari. – Toshkent: Fan, 2020. 15. Rasulov N., Pedagogika va ta’lim nazariyasi. – Toshkent: Fan, 2019. 16. Sobirova Z., Ta’lim jarayonini tashkil etish. – Toshkent: Yangi asr avlodi, 2021. 17. To‘xtayeva M., Matematik tushunchalar. – Toshkent: Ilm Ziyo, 2021. 18. To‘xtayev O. T., Matematika: O‘rta maktab uchun darslik. – Toshkent: O‘qituvchi, 2018. 32 ishtirokchisiga aylantirishdir” 2 . Shundagina o‘quvchilar muhim hayotiy yutuq va muammolar, o‘tiladigan mavzularning amaliyotga tatbiqi bo‘yicha o‘z fikriga ega bo‘ladi, o‘z nuqtai nazarini asoslab bera oladi. Pedagogik texnologiya o‘z mohiyatiga ko‘ra sub’yektiv xususiyatga ega. Qanday shakl, metod va vositalar yordamida tashkil etilishidan qat’iy nazar texnologiyalar: pedagogik faoliyat samaradorligini oshirishi: o‘qituvchi o‘rtasida o‘zaro hamkorlikni qaror toptirish, o‘quvchilarda mustaqil, erkin va ijodiy fikrlash ko‘nikmalarini shakllantirish, o‘quvchilarning o‘z imkoniyatlarini ro‘yobga chiqara olishlari uchun zarur shart-sharoitlarni yaratishi, pedagogik jarayonda demokratik va insonparvarlik go‘yalarining erishishni kafolatlashi zarur. Hozirgi yangi metodlarni yoki innovatsiyalari ta’lim jarayoniga tatbiq etish haqida gap borganda interfaol usullarning o‘quv jarayoniga qo‘llanilishi tushuniladi. Interfaollik bu o‘zaro ikki kishi faolligi, ya’ni o‘quv-biluv jarayoni o‘zaro suhbat tariqasida dialog shaklida (kompyuter aloqasi) yoki o‘quvchi-o‘qituvchining o‘zaro muloqoti asosida kechadi. Interfaollik-o‘zaro faollik, harakat, ta’sirchanlik, u o‘quvchi va o‘qituvchi muloqotlarida sodir bo‘ladi. Interfaol usulning bosh maqsadi o‘quv jarayoni uchun eng qulay vaziyat yaratish orqali o‘quvchining faol, erkin fikr yurutishiga muhit yaratishdir. Ushbu maqolada umumtalim maktablarining Matematika kursida ma’lum bo‘lgan, “Sonli ketma-ketliklar” mavzusini o‘qitish bo‘yicha ayrim mulohazalar keltiriladi va uslubiy ko‘rsatmalar beriladi. Kundalik amaliyotda turli buyumlarning joylashish tartibini ko‘rsatish uchun nomerlashdan foydaniladi. Masalan, har bir ko‘chada joylashgan uylar nomerlanadi va ularni berilgan nomerlar tartibida maxsus kartotekalarga joylashtiriladi. Bankda omonatchining hisob raqami nomeri bo‘yicha undagi mablag‘ miqdorini ko‘rish mumkin. Deylik, №1 hisob raqamida so‘m, №2 hisob raqamida so‘m va hokazo bo‘lsin. Natijadan 2 Mamurov B.J., Jo’rayeva n.O. Kombinatorik munosabatlar va ularning geometrikisbotlari haqida. Pedagogik mahorat, maxsus son. 2021 yil, b. 22. 4 Teorema . Ta’rif. Agar b1, b2, b3,…., bn, … sonli ketma-ketlikda barcha natural son n uchun bn+1 = bn q tenglik bajarilsa, bunday ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi, bunda bn ≠0, q- nolga teng bo‘lmagan biror son. Ta’rif . Agar b1, b2, b3, …., bn, … sonli ketma-ketlikda barcha natural son n uchun bn+1 = bn q tenglik bajarilsa, bunday ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi, bunda bn ≠0, q- nolga teng bo‘lmagan biror son. Arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rganish metodik qo’llanmasi Mavzusini o‘qitishda o‘quvchilarda shakllantiriladigan ko‘nikma, malaka, kompentensiyalar Matematika mazmuniga oid umumiy kompetensiya: o‘rganilgan matematik tushunchalarni va qoidalarni tushuntirib bera oladi, tegishli misollar keltira oladi; Sodda ketma-ketlikning, jumladan arifmetik va geometrik progressiyalarni tuzilish qonuniyatlarini tushunganligini namoyon qila oladi; Real dunyodagi, boshqa fanlardagi sodda hodisalarning arifmetik va geometrik progressiyalar yordamida matematik modellarini tuza oladi va tahlil qila oladi. Real dunyodagi, boshqa fanlardagi sodda hodisalarning arifmetik va geometrik progressiyalar yordamida matematik modellarini tuza oladi va tahlil qila oladi.“Arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rganish metodikasi” Mavzuni o‘qitishda foydalaniladigan interfaol usullar Hozirgi kunda mashg‘ulotlarda foydalaniladigan juda ko‘plab metodlar bor. Bu metodlardan “ matematika ” fanida samarali foydalaniladiganlari: “ Kungaboqar ”, “Klaster ”, “, “BBB”, “Muloqat”, “Bumerang”, “Charxpalak”, “Tushunchalar tahlili”, “O‘z juftini top ”, “Z inama- zina ”, “Venn di a grammasi”, “Blits-so‘rov” va boshqalar. “Arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rganish metodikasi” Mavzuni o‘qitishda foydalaniladigan interfaol usullar Hozirgi kunda mashg‘ulotlarda foydalaniladigan juda ko‘plab metodlar bor. Bu metodlardan “ matematika ” fanida samarali foydalaniladiganlari: “ Kungaboqar ”, “K laster ”, “, “BBB”, “Muloqat”, “Bumerang”, “Charxpalak”, “Tushunchalar tahlili”, “O‘z juftini top ”, “Z inama-zina ”, “Venn di a grammasi”, “Blits-so‘rov” va boshqalar. 16 ko‘nikmalari rivojlanadi. Ayniqsa, arifmetik va geometrik progressiyalar orqali o‘quvchilar real hayotdagi hodisalarni matematik modellashtirishga yaqinlashadi. Zamonaviy darslarda faqatginanazariy bilim emas, balki amaliy mashg‘ulotlar, interaktiv metodlar, kreativ fikrlashga undovchi topshiriqlar orqali o‘qitish talab etiladi. Shu bois, ushbu kurs ishida mazkur mavzuni o‘rgatishda foydalaniladigan metodlar, vositalar va pedagogik yondashuvlar tahlil qilinadi. 1-rasm. Arifmetik progressiya teoremalar Geometrik progressiya - har bir hadining oldingi hadiganisbati o zgarmasʻ bo lgan sonlar ketma-ketligi. Bu nisbat geometrik progressiya mahraji deyiladi. ʻ Nomi quyidagi xossasidan kelib chiqqan: musbat sonlardan tashkil topgan geometrik progressiyaning har bir hadi ikki qo shnisining geometrik o rtasida" ʻ ʻ iborat. geometrik progressiyada har bir son oldingi sonni doimiy songa ko paytirib ʻ aniqlanadi (2, 8, 32, 128, ... q =4). 6 2. Arifmetik va geometrik progressiya haqida ma’lumotlar Matematikada progressiya tushunchasi sonlar ketma-ketligining o‘ziga xos tartib asosida tuzilgan ko‘rinishidir. Progressiyalar turli matematik modellarda, iqtisodiy, texnik, statistik va tabiiy jarayonlarni ifodalashda qo‘llaniladi. Ayniqsa, arifmetik va geometrik progressiyalar — bu o‘quvchilarga real hayotdagi o‘sish va kamayish qonuniyatlarini tushuntirishda eng ko‘p foydalaniladigan matematik vositalardan biridir 6 . Progressiya tushunchasi qadimiy davrlardan beri ma’lum bo‘lib, u qadimgi hind, yunon va arab matematiklarining ishlarida uchraydi. Yunon matematigi Evklid va arab olimi Al-Xorazmiy o‘z asarlarida bu tushunchalarni sodda ko‘rinishda qo‘llaganlar. Bugungi kunda esa progressiyalar zamonaviy ta'limda matematik fikrlash, analiz va amaliy muammolarni yechish vositasi sifatida o‘rganilmoqda. Arifmetik progressiya Arifmetik progressiya — bu sonlar ketma-ketligi bo‘lib, unda har bir keyingi had o‘zidan oldingi hadga doimiy son (ya’ni ayirma — d ) ni qo‘shish orqali hosil qilinadi. Bu sonlar ketma-ketligi quyidagicha ifodalanadi: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n – 1)d Bu yerda:  a — birinchi had,  d — arifmetik ayirma,  n — hadlar soni,  aₙ — n-had: a = a + (n – 1)d ₙ Yig‘indi formulasi: S = (n / 2) × (2a + (n – 1)d) ₙ Yoki: S = (n / 2) × (a + a ) ₙ ₁ ₙ Arifmetik progressiyaning amaliy qo‘llanilishi:  Doimiy oylik maoshlar o‘sishi yoki kamayishi. 6 Toxtasinov A., Matematika o‘qitish metodikasi . – Toshkent: O‘qituvchi, 2019. – B. 87–95. 12  real holatlarni matematik modelga aylantirish kabi muhim kompetensiyalar shakllanadi. Shuningdek, progressiyalarni o‘rgatish – bu o‘qituvchining o‘quvchilarga abstrakt tushunchalarni real hayot bilan bog‘lab tushuntirishi, o‘z fikrini asoslashga o‘rgatishi, zamonaviy o‘quvchilarning fikrlash jarayonini faollashtirishi uchun muhim vositadir. Psixologik jihatdan progressiyalar mavzusi:  o‘quvchining yod olish emas, tushunishga asoslangan tahliliy fikrini faollashtiradi,  oldingi bilimlarni yangi bilimlar bilan bog‘lashni o‘rgatadi,  ketma-ketliklar asosida bashorat qilish, taxmin qilish, tekshirish kabi ilmiy metodlarni amalda qo‘llash imkonini beradi. Pedagogik tajriba shuni ko‘rsatadiki, progressiya mavzusi o‘z vaqtida va metodik asosda o‘qitilsa, o‘quvchilarning matematikaga bo‘lgan qiziqishini oshiradi va ularning tanqidiy fikrlash salohiyatini rivojlantiradi. Xulosa qilib aytganda, progressiyalar nafaqat matematikani chuqur o‘rgatish vositasi, balki o‘quvchilarda turli ko‘nikmalarni shakllantirishga xizmat qiladigan kuchli pedagogik vositadir. Uni o‘qitish puxta tayyorlangan metodik yondashuvni, mavzuga mos interaktiv metodlarni va real hayotiy misollarni talab etadi. 11 a, a, a, a, ..., a 1 2 3 4 sonli ketma- ketlikni hosil qilamiz, bu yerdan -barcha hisob raqamlarining soni. Bunda 1 dan N gacha bo‘lgan har bir natural n soniga n a soni mos qo‘yilgan. Matematikada cheksiz sonli ketma-ketliklar o‘rganiladi. 588 .... 1 2 3 4, a a a a ... ... .... n a-soni ketma-ketlikning birinchi hadi, -soni ketma-ketlikning ikkinchi hadi, -soni ketma-ketlikning uchinchi hadi deyiladi va hokazo. n- hadi deb, natural n soni esa uning nomeri deb ataladi. Masalan, natural sonlar kvadratlaridan iborat, 1,4,9,16…, …. sonli ketma-ketlik. Sonli ketma-ketliklar ko‘pincha umumiy n-hadining formulasi yordamida beriladi. Ba’zida ketma-ketliklar shunday formula orqali beriladiki, bunda uning biror nomerdan boshlab istalgan hadini undan oldingi bitta yoki bir nechta hadlari yordamida hisoblash mumkin bo‘ladi. Ketma-ketlikning bunday berilish usuli rekurrent (lotincha recuro-qaytish) usuli deyiladi. Bizga maktab matematika kursidan yaxshi malumki, “Sonli ketma-ketliklar” mavzusi yangi bob bo‘lib, undan keyin progressiyalar mavzusi o‘tiladi. Shuning uchun o‘quvchilarga bu mavzuni yaxshi tushunishlari zarur. Yangi mavzu tushuntirilgandan so‘ng mavzuni mustahkamlash uchun o‘quvchilarga “ketma–ketlikni davom ettir” o‘yinini havola qilamiz. O‘quvchilar navbat bilan yuqoridagi ketma-ketliklarni davom ettirishadi. Bu jarayonda javoblar to‘g‘ri yoki noto‘g‘ri ekanligiga qarab tekshriladi. O‘tilgan mavzuni yana takrorlash uchun yana bitta metod qo‘llaymiz. Bu metodi berilgan savollarga mos to‘g‘ri javobni topish ya’ni “Mosini topish”. Bu hozirgi o‘yindan qisman farq qiladi ya’ni misollardan tashqari nazariy savollar ham beriladi. Bu esa o‘quvchilarga to‘g‘ri javoblarni eslashda yoki mantiqiy fikrlab topishda biroz imkoniyat yaratadi. Chunki ko‘p hollarda javoblarni taqqoslash orqali ham bilimlarni mustahkamlash hamda o‘tilgan tushunchalarni mustahkamlash yaxshi samara beradi. Maktab matematikasi kursida progressiyalar mavzusi muhim o‘rin egallaydi. O‘quvchilarga progressiyalarni o‘rgatish orqali ularning amaliy bilimlarni qo‘llay olish, formulalarni mustaqil tahlil qilish, grafik va sonli ifodalarni bog‘lash kabi 5 ilovalar va elektron darsliklardan ham foydalanish ta’lim samaradorligini yanada oshiradi. Xulosa qilib aytganda, arifmetik va geometrik progressiyalar nafaqat matematik tushunchalar tizimida, balki o‘quvchilar tafakkurini shakllantirish, ularning umumiy kompetensiyalarini rivojlantirishda muhim o‘rin tutadi. Mavzuni o‘qitishda zamonaviy metodlar, yangi texnologiyalar, hayot bilan bog‘liq yondashuvlar asosida tashkil etilgan ta’lim jarayoni o‘quvchilarning chuqur bilimga ega bo‘lishini, mustaqil fikrlash va izlanishga yo‘naltirilgan shaxs sifatida shakllanishini ta’minlaydi. Shunday ekan, har bir o‘qituvchi bu mavzuni chuqur, izchil va zamonaviy yondashuvlar asosida yetkazishi — zamonaviy ta’limning dolzarb talabi hisoblanadi. 31 hosil qilish uchun oldingi hadiga ko‘paytiriladigan q son geometrik progressiya maxraji deyiladi. Agar b1 > 0 va q > 1 bo‘lsa, progressiya o‘suvchi deyiladi. Agar | q|<1 bo‘lsa, progressiya kamayuvchi, q<0 bo‘lsa, progressiya ishorasi o‘zgaruvchi deyiladi, q=1 hol odatda qaralmaydi. Geometrik progressiya hadlarining xossalari. 1-xossa. Agar geometrik progressiyaning barcha hadlari musbat bo‘lsa, u holda uning ikkinchi hadidan boshlab istalgan hadi o‘ziga qo‘shnibo‘lgan ikki hadning o‘rta geometrik qiymatiga teng. 2-xossa. Chekli geometrik progressiyada boshidan va oxiridan teng uzoqlikda to‘rgan hadlar ko‘paytmasi chetki hadlar ko‘paytmasiga teng. 3-xossa. Geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig‘indisi 171 Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn bo‘lsin. Geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig‘indisi Sn uchun quyidagi formulalar o‘rinli. 4-xossa. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisi S uchun quyidagi formula o‘rinli. Quyida geometrik progressiyaning oshkor formulasi berilgan bo lib.ʻ Geometrik progressiya hadlari yig‘indisi. Arfimetik progressiya haqida formulalar: ax = an-2+ an 2, an+1 = an + d, an = ai + (n-1)d, d = an+1= an, a + an ₁ 2 n, 2a1+(n-1)d 2. Arifmetik progressiya — ikkinchisidan boshlab har bir son o zidan oldingi ʻ songa shu qator uchun o zgarmas bir son d (progressiya ayirmasi)ni qo shishdan ʻ ʻ hosil bo ladigan sonlar qatori.Arifmetik progressiyaning rekursiv formulasi ʻ Ta’rif . Agar a1, a2, a3, …., an, … sonli ketma-ketlikda barcha natural son n uchun an+1 = an + d (bunda d – biror son) tenglik bajarilsa, bunday ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. Teorema. Arifmetik progressiya dastlabki n ta hadining yig‘indisi quyidagiga teng: 17.10.18 Ta’rif . Agar a1, a2, a3, …., an, … sonli ketma-ketlikda barcha natural son n uchun an+1 = an + d (bunda d – biror son) tenglik bajarilsa, bunday ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. 15 Arifmetik progressiya - bu umumiy farqga ega bo‘lgan belgilangan qatorning ketma-ketligi, bu ketma-ket ikkita elementni ayirish yo‘li bilan izchil olinmoqda.Arifmetik ketma-ketlik - bu Arifmetik Progression seriyasining elementlari tomonidan olinadigan yig‘indidir.Arifmetik Progression bank ishlarida, moliya va pul ishlarida, shuningdek qurilish bilan bog‘liq ba'zi holatlarda qo‘llaniladi.Arifmetik ketma-ketlik qurilish va qurilish va asosan me'morchilik holatlarida qo‘llaniladi. Arifmetik progressiya - sonli va umumiy farqni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin, Arifmetik qatorlar Arifmetik Progression elementlarning yig‘indisini aniqlash uchun ishlatiladi. Aritmetik rivojlanish yoki arifmetik ketma-ketlik bo‘ladimi, har ikkalasi ham matematikaning muhim qismidir, bu bizning kundalik hayotimizda ko‘p jihatdan yordam beradi, xoh moliyaviy me'morchiligida bo‘lsin, xoh me'morda bo‘ladimi yoki har qanday bino yoki ob'ekt qurilishida batafsil uzunliklarni talab qiladigan vaziyatlarda. va diametrlar arifmetikasi bizga behisob yordam berishi mumkin, chunki dunyo bizning kundalik hayotimizda ishlatadigan raqamlarsiz hech narsa emas. O‘quv qo‘llanmada matematik ta’limning maqsadi, mazmuni, metodlari va uning vositalarini matematika darslariga tatbiq qilish qonuniyatlari psixologik, pedagogik va didaktik nuqtayi nazardan bayon qilingan. Chunki, matematika o‘qitish metodikasi kursi asosiy mutaxassislik fanlaridan biri hisoblanadi. Bu kursda matematikaning rivojlanish tarixi va matematika o‘qitishdagi umumiy va xususiy metodlari o‘rganiladi. Matematika o‘qitish metodikasi pedagogika, psixologiya, algebra, matematik tahlil, analitik geometriya va oddiy differensial tenglamalar fanlari bilan chambarchas bog‘liqdir. O‘quv qo‘llanma fan dasturi doirasida olingan nazariy bilimlar va ko‘nikmalar, oliy va o‘rta maxsus o‘quv yurtlarida (litsey, kollej), umumta’lim maktablarida matematika fanini zamonaviy pedagogik texnologiyalar asosida o‘qitishda va fan tarixini o‘rganishda keng qo‘llanilishi nazarda tutilgan 10 . 10 Qurbanova D., Matematika fanini o‘qitish metodikasi. – Toshkent: Universitet nashriyoti, 2022, 89-bet. 22 boriladigan jamg ‘ arma miqdorini aniqlash orqali , o ‘ quvchilar mavzuning hayotdagi qo ‘ llanilishini tushunadilar 14 . Darsda qo ‘ llaniladigan metodlar mavzuni chuqur o ‘ zlashtirishga xizmat qilishi , o ‘ quvchilarni faollikka undashi va bilimlarni mustahkamlashi kerak . Quyidagi metodlar aynan progressiyalarni o‘rgatishda o‘zini oqlagan:  Muammoli vaziyat yaratish metodi – dars boshida yoki mavzuni chuqurlashtirishda qo‘llanadi (masalan: “Farqi 5 ga teng bo‘lgan progressiyaning yig‘indisi qanday bo‘ladi?” kabi savollar bilan o‘quvchini o‘ylantirish).  Amaliy topshiriqlar orqali o‘qitish – formulalarni qo‘llash, real hayotiy masalalarni yechish orqali nazariyani amaliyotga tatbiq qilish.  Guruhli ish va rolli o‘yinlar – o‘quvchilarda jamoaviy ish ko‘nikmasini rivojlantirish bilan birga, mavzuni tez va chuqur o‘zlashtirishga xizmat qiladi.  “Aqliy hujum” (brainstorming) – progressiyalarni aniqlashga oid topshiriqlarni berish va javoblarni umumiy muhokama qilish orqali o‘quvchilarning mantiqiy fikrlashini faollashtirish.  Refleksiya metodi – dars yakunida o‘quvchilardan “Bugun nima o‘rganding?”, “Qanday formulalarni eslab qolding?”, “Senga qaysi topshiriq eng qiziq bo‘ldi?” kabi savollar orqali fikrini aytish. Darsni rejalashtirishda yana bir muhim jihat – bu darsning ichki tuzilmasini aniq bosqichlarga ajratish va har bir bosqichda o‘quvchining faolligini ta’minlovchi didaktik materiallar bilan boyitishdir. Dars kirish qismida mavzuga oid muammoli savol berilishi, o‘quvchilar e’tiborini jalb etuvchi qiziqarli holatlar keltirilishi, dars davomida esa nazariy bilimlar amaliy misollar bilan mustahkamlanishi, yakunda esa mavzuni umumlashtirish, baholash va refleksiya bosqichlari tashkil etilishi zarur 15 . Har bir bosqichda didaktik materiallarning, o‘qituvchi savollarining, mashq topshiriqlarining aniqligi darsni samarali olib borishda muhim o‘rin tutadi. Dars jarayonini bosqichma-bosqich rejalashtirish 14 Mirzayeva S., Ta’limda innovatsion metodlar. – Toshkent: Innovatsiya, 2020, 105-bet. 15 Rasulov N., Pedagogika va ta’lim nazariyasi. – Toshkent: Fan, 2019, 94-bet. 26 Matematik ta’limni isloh qilish, Kadrlar tayyorlash milliy dasturi va uzluksiz ta’limni amalga oshirish masalalarini ham bayon etilgan. Ma’lumki, matematika fani mavjud moddiy dunyodagi narsalarning fazoviy shakllari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlari o‘rganish jarayonida «ilmiy izlanish» metodlaridan foydalanadi. Shuning uchun ham ushbu o‘quv qo‘llanmada ilmiy izlanish metodlaridan kuzatish va tajriba va taqqoslash,analiz va sintez, umumlashtirish, abstraktlashtirish va konkretlashtirishlari matematika darslarida qo‘llanishi ilmiy- metodik jihatidan tushuntirishga harakat qilingan. Matematika o‘qitish jarayonida fikrlash shakllarini paydo qilish metodikasi ham yoritilgan, ya’ni hissiy bilish (sezgi, idrok, tasavvur) bilan mantiqiy bilish (tushuncha, hukm, xulosa) orasidagi mantiqiy bog‘lanishlar ochib berilgan 11 . Matematik tushuncha va uni o‘quvchilar ongida shakllantirish metodikasi, matematik hukm va uning turlari aksioma, postulat. Teoremalarni o‘quvchilarga o‘rgatish metodikalari yoritilgan. Arifmetik progresiya, ya'ni arifmetik jadval, birinchi a'zosi (a) va qo‘shish differentsial (d) ga ega bo‘lgan sonlar ketma-ketligidir. U holda har bir keyingi a'zo oldingisidan (oldingi son) d differentsial qo‘shib olingan holda paydo bo‘lgan son quyidagi formuladan aniqlanadi: a, a+d, a+2d, a+3d, va hokazo. Ular tasavvur qilayotgan oddiy sayt hisoblanadi. Arifmetik progresiyada har bir a'zo birinchi a'zoga (a) bir qo‘shish differentsial (d) qo‘shilgan holda topiladi. Masalan, agar birinchi a'zo 3 bo‘lsa, qo‘shish differentsiali 2 bo‘lsa, ikkinchi a'zo 5, uchunchi a'zo 7, to‘rtinchi a'zo 9, va hokazo bo‘ladi. Bu xil progresiyaning asosiy xususiyati, har bir alifbo birinchi harfiga qo‘shish differentsial (d) qo‘shilgan holda bir alifbo kelganish tartibi bilan bir xil bo‘ladi. Shuning uchun, arifmetik progresiyaning oddiy modeli a, b, c, d, e, va hokazo bo‘ladi. 11 Tursunov B., Zamonaviy pedagogik texnologiyalar. – Toshkent: Innovatsiya, 2021, 112-bet. 23 1. Tashkiliy qism – o‘quvchilarni ruhlantirish, darsga tayyorlash, mavzu nomini aytish. 2. O‘tilganlarni so‘rash – oldingi mavzular asosida qisqa savol-javob yoki test. 3. Yangi mavzuni tushuntirish – interaktiv taqdimot, misollar, formulalar, izohlar bilan. 4. Mustahkamlash – jamoa bilan, guruhlarda yoki yakka tartibda misollar ishlash. 5. Uyga vazifa – mavzuga doir mashqlar, kundalik hayotga oid masalalar. 6. Baholash – og‘zaki javoblar, yozma ishlar, kuzatuv asosida baholash. Shuningdek, o‘quvchilarning mustaqil ishlashini ta’minlash uchun uy vazifalari faqat mashqlarni yechish bilan cheklanmasdan, kichik tadqiqot xarakteridagi topshiriqlarni ham o‘z ichiga olishi kerak. Masalan, kundalik hayotda uchraydigan har qanday ketma-ketlikni arifmetik yoki geometrik progressiyaga moslashtirib, uning umumiy hadini yoki yig‘indisini topish kabi topshiriqlar berilishi o‘quvchining mustaqil fikrlashiga, izlanishiga sabab bo‘ladi. Darsni rejalashtirishda eng muhim jihatlardan biri – bu o‘quvchilarning kompetensiyalarini rivojlantirishdir. Aynan arifmetik va geometrik progressiyalar mavzusi orqali o‘quvchilarning mantiqiy, amaliy, kommunikativ, axborotli va refleksiv kompetensiyalarini shakllantirishga keng imkoniyat yaratiladi. Masalan, biror topshiriqni yechish jarayonida o‘z fikrini asoslash, boshqa o‘quvchilarning fikrini tinglash, grafik asosida tahlil qilish, o‘z yechimini mustaqil baholash – bularning barchasi zamonaviy ta’limda eng muhim ko‘nikmalardir. Xulosa qilib aytganda, darsni puxta rejalashtirish – bu faqat kunlik reja yozish emas, balki har bir o‘quvchining intellektual salohiyatini yoritishga xizmat qiluvchi puxta o‘ylangan, maqsadli, bosqichma-bosqich tashkil etilgan, mazmunan boy darsni tashkil etish san’atidir. 27 O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI ANDIJON DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI Aniq va tabiiy fanlar fakulteti “MATEMATIKA VA INFORMATIKA” kafedrasi “Matematika o‘qitish metodikasi” fanidan 3-bosqich 302-guruh talabasi KURS ISHI Mavzu: Arifmetik va geometrik progressiyaning o‘qitish metodikasi Bajardi: “Matematika va informatika” yo‘nalishi 3-bosqich 302-guruh talabasi Mavlonova Umida Zoirjonovna Ilmiy rahbar: _______________________________________ Andijon-2025 y. 5. Progressiyalarni tushuntirishda interaktiv usullar Bugungi kunda ta’lim tizimida interaktiv metodlar tobora keng qo‘llanilmoqda. Ayniqsa, mantiqiy tushunchalarga asoslangan mavzular — xususan, arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rgatishda interaktiv yondashuvlar o‘quvchilarning mavzuni chuqur tushunishlari, ilgari o‘rganilgan bilimlarni tahlil qilishlari va real hayot bilan bog‘lashlari uchun muhim vositaga aylanadi. Interaktiv metodlar, avvalo, o‘quvchini dars jarayonining faol ishtirokchisiga aylantiradi. Masalan, arifmetik progressiya mavzusini o‘rganishda “klaster” metodidan foydalanib, o‘quvchilarga progressiya haqida oldindan bilganlarini yozib chiqish, so‘ngra o‘qituvchi tomonidan yangi bilimlar bilan boyitish orqali mavzu mohiyatini mustahkamlash mumkin 16 . Bu orqali o‘quvchilar o‘z bilimlarini faollashtiradilar, yangi tushunchalarni mavjud bilimlar bilan bog‘laydilar. Boshqa bir samarali usul bu “aqliy hujum”dir. Bu usul orqali o‘quvchilarga biror ketma-ketlik berilib, uning nechanchi had arifmetik yoki geometrik progressiyaga mos kelishini topish, umumiy qonuniyatni aniqlash topshiriladi. O‘quvchilar har xil fikrlar bildiradilar, turli echimlar taklif qiladilar va yakuniy xulosa sinf bilan birgalikda chiqariladi. Bu jarayon o‘zaro fikr almashishga, mantiqiy asoslashga, dalillashga o‘rgatadi. Darsda o‘yinli usullardan foydalanish ham progressiyalar mavzusini qiziqarli va esda qolarli qiladi. Misol uchun, “Kim tezroq topadi?” nomli o‘yin orqali o‘quvchilar progressiyaning umumiy hadini yoki yig‘indisini topishga oid masalalarni vaqtga qarab yechadilar. Shuningdek, “To‘g‘ri yoki noto‘g‘ri” o‘yini orqali o‘quvchilarga progressiyaga oid gaplar taqdim etiladi va ular bu gaplarning qanchalik asosli yoki noto‘g‘riligini aniqlaydilar 17 . Bu metodlar o‘quvchilarning diqqatini jamlash, tez fikrlash va bilimlarni takrorlash uchun xizmat qiladi. Progressiyalarni tushuntirishda yana bir samarali metod — “fikrlar xaritasi” tuzishdir. O‘qituvchi doskada progressiyaning asosiy elementlarini yozadi (umumiy had, boshlang‘ich had, hadlar farqi, n-hadi formulasi, yig‘indi formulasi 16 Tursunov D., Darsda interfaol metodlar qo‘llanilishi. – Buxoro: Iqtisodiyot, 2021, 58-bet. 17 Yo‘ldoshev A., Zamonaviy pedagogik texnologiyalar. – Toshkent: Innovatsiya, 2020, 133-bet. 28 KIRISH “Bugungi kunda xalqimizning ertangi kuni, farzandlarimizning baxtli va munosib hayoti ta’lim-tarbiya bilan bevosita bog‘liqdir. Shuning uchun ham biz ta’lim sifatini oshirishni eng ustuvor vazifa deb bilamiz. 1 ” SH. M. Mirziyoyev. Bugungi tezkor taraqqiyot zamonida har bir sohada bilimli, tafakkur qiluvchi, yangilikka intiluvchi yoshlarni voyaga yetkazish eng asosiy maqsadlardandir. Ayniqsa, ta’lim sohasida zamonaviy yondashuvlarni tatbiq etish, o‘quvchilarga chuqur va tushunarli bilim berish orqali ularning mantiqiy fikrlashini shakllantirish dolzarb vazifa hisoblanadi. Matematika fani o‘quvchilarning fikrlash doirasini kengaytirish, tizimli mushohada yuritish va hayotiy masalalarni tahlil qilishda muhim ahamiyat kasb etadi. Ayniqsa, arifmetik va geometrik progressiyalar — ketma-ketliklar orqali bog‘lanishlar, umumlashmalar va qonuniyatlar bilan ishlash ko‘nikmalarini shakllantirishga xizmat qiladi. Kurs ishi mavzusining dolzarbligi. Zamonaviy ta’limni tashkil etishga qo‘yiladigan muhim talablardan biri ortiqcha ruhiy va jismoniy kuch sarf etmay, qisqa vaqt ichida yuksak natijalarga erishishdir. Qisqa vaqt orasida muayyan nazariy bilimlarni o‘quvchilarga yetkazib berish, ularda ma’lum faoliyat yuzasidan ko‘nikma va malakalarni hosil qilish, shuningdek, o‘quvchilar faoliyatini nazorat qilish, ular tomonidan egallangan bilim, ko‘nikma va malakala darajasini baholash o‘qituvchidan yuksak pedagogik mahorat hamda ta’lim jarayoniga yangicha yondashuvni talab etadi. “Ta’limda pedagogik texnologiyalarning asosiy maqsadi o‘qitish tizimida o‘quvchini dars jarayonining markaziga olib chiqish, o‘quvchilarni o‘quv materiallarini shunchaki yod olishlaridan, avtomatik tarzda takrorlashlaridan uzoqlashtirib, mustaqil va ijodiy faoliyatini rivojlantirish, darsning faol 1 Mirziyoyev Sh.M., O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti 2023-yilgi Murojaatlari va Nutqlari. – Toshkent, 2023, b . 15. 3 19. Tursunov B., Zamonaviy pedagogik texnologiyalar. – Toshkent: Innovatsiya, 2021. 20. Tursunov D., Darsda interfaol metodlar qo‘llanilishi. – Buxoro: Iqtisodiyot, 2021. 21. Xasanboyeva M., Pedagogik texnologiyalar asoslari. – Toshkent: O‘qituvchi, 2022. 22. Xasanov A., Algebra va analiz asoslari. – Toshkent: TDPU nashriyoti, 2019. 23. Yo‘ldoshev A., Zamonaviy pedagogik texnologiyalar. – Toshkent: Innovatsiya, 2020. INTERNET SAYTLAR 1. https://ziyonet.uz/uz/library/view/13328 2. https://pedagog.uz/matematika/ 3. https://eduportal.uz/mathematics/progression-methods/ 4. https://ustozlar.uz/matematika-darslari/progressiyalar-metodikasi/ 5. https://ikkilik.uz/arifmetik-va-geometrik-progressiyalar/ 6. 33  Masofalarni teng oraliqlarda bosib o‘tish (masalan, transport).  Yillik soliq yoki tarif o‘zgarishlari. Ta’limdagi roli: O‘quvchilar arifmetik progressiya orqali tizimli o‘sish yoki kamayish, funksiya grafiklari, formula asosida umumlashtirish, va matematik induksiya kabi tushunchalarni o‘zlashtiradilar 7 . Geometrik progressiya Geometrik progressiya — bu sonlar ketma-ketligi bo‘lib, unda har bir keyingi had o‘zidan oldingi hadga doimiy son (q) ga ko‘paytirilgan holda hosil qilinadi: a, aq, aq², aq³, ..., aqⁿ ¹⁻ Bu yerda:  a — birinchi had,  q — geometrik ko‘paytuvchi (foizli o‘sish yoki kamayish omili),  n — hadlar soni,  a ₙ = a × qⁿ ¹ ⁻ Yig‘indi formulasi: Agar q ≠ 1 bo‘lsa: S = a × (1 – qⁿ) / (1 – q) ₙ Agar |q| < 1 bo‘lsa va n → ∞, u holda: S = a / (1 – q) (cheksiz geometrik progressiya uchun) Amaliy qo‘llanilishi:  Bankdagi murakkab foiz hisob-kitoblari.  Populyatsiya o‘sishi.  Informatikadagi eksponentsial algoritmlar.  Optikada yorug‘lik kuchining kamayishi yoki kuchayishi. Ta’limdagi roli: 7 Xolboyev B. va boshq., Algebra. Akademik litseylar uchun darslik . – Toshkent: O‘zbekiston, 2020. – B. 41–48. 13 Darsda qo‘yilgan maqsadga erishish uchun zarur vositalar va uslublarni tanlash jarayoni ham rejalashtirishning ajralmas qismidir. An’anaviy vositalar qatorida darsliklar, qo‘shimcha metodik qo‘llanmalar, formulalar jadvallari, plakatlar, didaktik materiallar mavjud bo‘lsa, zamonaviy darslarda interaktiv doskalar, multimediali taqdimotlar, onlayn platformalar va raqamli animatsiyalar keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, progressiyalar mavzusi grafik ifodalarni, jadval tuzishni, formulalarning o‘zgarishini ko‘rsatishni talab qiladi 13 . Bu holatni osonlashtirish uchun GeoGebra dasturi, Desmos platformasi kabi interaktiv vositalar juda qo‘l keladi. Shu bilan birga, oddiy kartochkalar orqali o‘quvchilarni tenglamalar tuzish, umumiy hadni topish, ketma-ketlikni aniqlash kabi mashg‘ulotlarga jalb etish mumkin. Darsni sifatli tashkil etishda foydalaniladigan vositalar mavzuning mazmuniga, o‘quvchilarning yosh xususiyatlariga va zamonaviy texnologik imkoniyatlarga mos bo‘lishi lozim. Quyidagi vositalar samarali hisoblanadi:  Matematik formulalar jadvallari  Slayd va taqdimotlar (PowerPoint, Prezi va h.k.)  Grafik vositalar (grafik chizma, ko‘rgazmali vositalar, formulali kartochkalar)  Interaktiv doska yoki ekran  Online test platformalari (Quizizz, Kahoot, Wordwall)  Geogebra kabi dinamik matematika dasturlari Metod tanlashda esa faqatgina o ‘ qituvchi faol bo ‘ lib , o ‘ quvchi passiv ishtirokchiga aylanishining oldini olish kerak . Zamonaviy metodlardan foydalanish darsni qiziqarli , interaktiv va mazmunli qiladi . O ‘ quvchilarning e ’ tiborini dars davomida ushlab turish uchun muammoli vaziyatlar , rolli o ‘ yinlar , kichik guruhlarda ishlash , differensial topshiriqlar , “ aqliy hujum ”, “ fikrlar yomg ‘ iri ”, “ bir daqiqalik esse ”, “ kuzatuv asosida baholash ” kabi metodlar samarali natija beradi . Misol uchun , arifmetik progressiyaning umumiy hadini topishga oid topshiriqni real hayotiy vaziyat bilan bog ‘ lab , masalan , har oyda 500 000 so ‘ m orttirib 13 Normurodov A., O‘qituvchining darsni rejalashtirish ko‘nikmalari. – Samarqand: Ilm Ziyo, 2020, 70-bet. 25 Birinchi hadi noldan farqli bo‘lib, ikkinchi hadidan boshlab bir hadi o‘zidan oldingi hadni shu ketma-ketlik uchun o‘zgarmas va noldan farqli bo‘lgan biror q songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan sonlar ketma-ketligi geometric progressiya deyiladi. Masalan, 1) 1, 3, 9, … 2) 20, 10, 5, … ketma-ketliklar geometrik progressiya tashkil qiladi. Birinchi misolda q = 3, ikkinchisida q = 0,5. Geometrik progressiyani tashkil qiluvchi sonlar uning hadlari deyiladi va umumiy ko‘rinishda b1, b2, b3, …bn-1, bn,… (1) yoziladi. Geometrik progressiyaning keyingi hadini hosil qilish uchun oldingi hadiga ko‘paytiriladigan q son geometrik progressiya maxraji deyiladi. Agar b1 > 0 va q > 1 bo‘lsa, progressiya o‘suvchi deyiladi. Agar |q| <1 bo‘lsa, progressiya kamayuvchi, q < 0 bo‘lsa,progressiya ishorasi o‘zgaruvchi deyiladi, q=1 hol odatda qaralmaydi. Geometrik progressiyaning n1 hadi bn quyidagi formula yordamida topiladi: bn = b1 q(n-1). Geometrik progressiya hadlarining xossalari. Kurs ishi mavzusining maqsadi . O‘quvchilar o‘z javoblarini aytganlaridan, bir-birlaring javoblar to‘ldiriladi hamda o‘zini-o‘zi nazorat qiladilar. Shu bilan bir qatorda bu o‘rinda buyuk ajdodlarimizning mavzuga oid natijalaridan, tarixiy ma’lumotlardan keltirish orqali o‘quvchilargda ajdodlarimizganisbatan hurmat- izzatni shakllantirish mumkin. Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi — umumiy o‘rta ta’lim maktablarida matematika darslarida arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rgatish jarayonini samarali tashkil etish metodikasini tahlil qilish , ilg‘or pedagogik yondashuvlarni aniqlash va amaliy jihatdan qo‘llash yo‘llarini tavsiflashdan iborat. Kurs ishining konkret maqsadlari quyidagilardan iborat:  Arifmetik va geometrik progressiyalar haqidanazariy bilimlarni umumlashtirish;  Mavzuni maktab matematika kursida qanday o‘rgatilishini tahlil qilish;  O‘quvchilarda mavzuga oid kompetensiyalarni shakllantirish yo‘llarini ko‘rsatish;  Dars jarayonida foydalaniladigan metodik usul va vositalarni ochib berish; 7 Progressiyaning eng oddiy ko‘rinishi bu – har bir hadining oldingi had bilan aniq aloqaga ega bo‘lgan sonlar ketma-ketligidir. Eng ko‘p uchraydigan turlari bu arifmetik progressiya va geometrik progressiyadir . Ushbu ikki turdan tashqari yana armonik progressiya , kvadratik progressiya , fibonacci ketma-ketligi kabi boshqa murakkabroq shakllar ham mavjud. Arifmetik progressiya – bu ketma-ketlik bo‘lib, har bir had avvalgisiga bir xil son qo‘shish orqali hosil qilinadi. Bu son “farq” (differensiya) deb ataladi. Masalan: 3, 7, 11, 15, 19, ... bu yerda har bir hadga 4 qo‘shilgan. Geometrik progressiya esa har bir had oldingisiga biror doimiy songa ko‘paytirish orqali hosil qilinadi. Bu son “ko‘paytuvchi” (koeffitsiyent) deb ataladi. Masalan: 2, 4, 8, 16, 32, ... bu yerda har bir had 2 ga ko‘paytirilgan. Progressiyalar orqali o‘quvchilar matematik formulalarni tushunish, ularni amaliyotda qo‘llash, grafik tahlil qilish, algoritmik fikrlash kabi muhim kompetensiyalarni rivojlantiradi. Ayniqsa, dars jarayonida progressiyalar asosida hayotiy misollar tahlil qilinishi, o‘quvchining mavzuga nisbatan qiziqishini oshiradi va matematikani faqat nazariy emas, balki amaliy fan sifatida anglashga yordam beradi. Progressiya tushunchasi, ayniqsa, moliya, fizika, informatika, iqtisodiyot, biologiya fanlarida keng qo‘llaniladi. Masalan, foizli hisob-kitoblar, kredit qaytarish grafigi, omonat foizi, radioaktiv modda parchalanishi, populyatsiya o‘sishi kabi jarayonlar progressiya asosida tahlil qilinadi 5 . Bu esa fanlararo integratsiyalashgan darslar uchun keng imkoniyat yaratadi. Maktabda progressiyalarni o‘qitish orqali o‘quvchilarda:  mantiqiy-matematik fikrlash,  tahlil qilish va umumlashtirish,  algoritmik yondashuv,  formulalarni tushunib ishlatish,  grafik asosida xulosa chiqarish, 5 Qodirov S., Matematika nazariyasi. – Toshkent: Ilm Ziyo, 2022, 101-bet. 10 Geometrik progressiya orqali o‘quvchilar ko‘payish yoki kamayish tezligi, eksponentsial jarayonlar, matematik modellashtirish va real hayotiy muammolarni yechishni o‘rganadilar. Progressiyalar o‘rtasidagi farq va o‘xshashlik Belgilar Arifmetik progressiya Geometrik progressiya Ketma-ketlik asoschisi Ayirma (d) Ko‘paytuvchi (q) Ko‘rinishi a, a + d, a + 2d, ... a, aq, aq², aq³, ... O‘rtacha had Arifmetik o‘rtacha Geometrik o‘rtacha Grafik ko‘rinishi To‘g‘ri chiziq (chiziqli funksiya) Eksponentsial egri chiziq Yig‘indi formulasi S = (n/2)(2a + (n – 1)d)ₙ S = a(1 – qⁿ)/(1 – q), q ≠ 1 ₙ Hayotiy misollar Nafaqa o‘sishi, oylik ish haqi Bank foizi, inflyatsiya, populyatsiya o‘sishi Arifmetik va geometrik progressiyalar matematikada muhim mavzulardan biri bo‘lib, ularni o‘rganish o‘quvchilarda abstrakt tafakkur, analitik fikrlash, algoritmik yondashuv, va amaliy muammolarni hal qilish qobiliyatini rivojlantiradi. Ayniqsa, bu progressiyalar orqali o‘rgatiladigan mavzular matematika fanining fundamental asoslaridan biri bo‘lib xizmat qiladi. Geometrik progressiya - har bir hadining oldingi hadiga nisbati o zgarmas ʻ bo lgan sonlar ketma-ketligi. Bu nisbat G. p. mahraji deyiladi. Nomi quyidagi ʻ xossasidan kelib chiqqan: musbat sonlardan tashkil topgan G. p.ning har bir hadi ikki qo shnisining geometrik o rtasida iborat. G. p.da har bir son oldingi sonni ʻ ʻ doimiy songa ko paytirib aniqlanadi (2, 8, 32, 128,... q =4). Birinchi hadi noldan ʻ farqli bo‘lib, ikkinchi hadidan boshlab bir hadi o‘zidan oldingi hadni shu ketma- ketlik uchun o‘zgarmas va noldan farqli bo‘lgan biror q songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya deyiladi. Masalan,1) 1, 3, 9, … 2) 20, 10, 5, … ketma-ketliklar geometrik progressiya tashkil qiladi. Birinchi misolda q = 3, ikkinchisida q = 0,5. Geometrik progressiyani tashkil qiluvchi sonlar uning hadlari deyiladi va umumiy ko‘rinishda b1, b2, b3,…bn-1, bn,… (1) yoziladi. Geometrik progressiyaning keyingi hadini 14 4. Darsni rejalashtirish: maqsad, vositalar, metodlar Har bir mavzuni, ayniqsa arifmetik va geometrik progressiyalar kabi mantiqiy tafakkurni shakllantiruvchi, analitik fikrlashni rivojlantiruvchi matematik tushunchalarni o‘rgatishda darsni puxta rejalashtirish juda muhim hisoblanadi. Dars rejasining aniq, lo‘nda va o‘quvchilarning yosh, psixologik va intellektual darajasiga mos tuzilishi ta’lim sifati va samaradorligining kafolati bo‘lib xizmat qiladi. Zamonaviy pedagogika dars rejalashtirishda integratsiyalashgan yondashuvni, o‘quvchi shaxsiga yo‘naltirilgan metodlarni va raqamli texnologiyalardan foydalanishni ilgari surmoqda. Darsning maqsadini belgilashda avvalo umumiy didaktik tamoyillar, xususan, ta’limning uzluksizligi, izchilligi, tizimliligi va motivatsion yondashuvi asos qilib olinadi. Maqsad faqat bilim berish bilan cheklanmasdan, o‘quvchilarda mavzu bo‘yicha o‘z mustaqil fikrini shakllantirish, real hayotiy muammolarni hal qilishga intilish, mavzuga nisbatan ijobiy munosabat uyg‘otish kabi omillarni ham o‘z ichiga oladi 12 . Masalan, arifmetik progressiyani o‘rganish orqali o‘quvchilar nafaqat formulalarni yodlaydi, balki har qanday ketma-ketlikda qonuniyatni topish, izchillikni aniqlash, masalalarni umumlashtirish kabi tafakkur shakllarini amaliyotda qo‘llashni o‘rganadi. Dars maqsadi uch bosqichli tamoyil asosida belgilanadi:  Bilimiy maqsad – o‘quvchilarni arifmetik va geometrik progressiyalarning ta’rifi, umumiy hadlar formulasi, o‘zaro farqi, yig‘indi formulalari bilan tanishtirish, misollar yechish orqali bilimlarni mustahkamlash.  Tarbiyaviy maqsad – o‘quvchilarda mantiqiy fikrlash, izchillik, intizomlilik, mehnatsevarlik, mustaqil qaror qabul qilish qobiliyatlarini rivojlantirish.  Rivojlantiruvchi maqsad – o‘quvchilarning mustaqil fikrlashini, muammoli vaziyatlardan chiqish yo‘llarini izlash ko‘nikmalarini, tahlil qilish, umumlashtirish, farqlash qobiliyatlarini shakllantirish. 12 Xasanboyeva M., Pedagogik texnologiyalar asoslari. – Toshkent: O‘qituvchi, 2022, 88-bet. 24 3. Arifmetik va geometrik progressiyani o‘qitish metodikasi Arifmetik va geometrik progressiyalar – bu matematikaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ular ketma-ketliklar asosida quriladi va real hayotdagi ko‘plab jarayonlarni ifodalash imkonini beradi. Bu mavzular nafaqat nazariy bilimlarni egallash, balki o‘quvchilarning mantiqiy fikrlashini, matematik modellashtirish va analiz qilish ko‘nikmalarini shakllantirishda muhim rol o‘ynaydi. Maktab matematikasi kursida bu mavzular 9-sinf algebra fanining markaziy qismlaridan biri sifatida o‘qitiladi. Progressiyalarni o‘rgatishda pedagogdan puxta tayyorgarlik, zamonaviy metodikalardan foydalana olish, o‘quvchilarning yosh xususiyatlarini inobatga olgan holda didaktik yondashuv talab etiladi. Arifmetik progressiya bilan tanishtirishdan oldin o‘quvchilarga oddiy ketma- ketliklar haqida tushuncha beriladi, ularning hosil bo‘lish qonuniyatlari tahlil qilinadi. Bu orqali o‘quvchilar mantiqiy bog‘liqlikni aniqlash, sonlar orasidagi farqni topish orqali progressiya tushunchasiga tayyorlanadi 8 . Dastlab o‘quvchilar bilan arifmetik progressiyaning ta’rifiga e’tibor qaratiladi: ya’ni, har bir hadi o‘zidan oldingi hadga bir xil son qo‘shish orqali hosil bo‘ladigan ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. Shu orqali boshlang‘ich hadi, hadlar soni, farq (differensiya) va umumiy had formulalari kiritiladi. Bu formulalarni tushuntirishda real hayotdan olingan misollar, vizual vositalar, jadval va grafiklar yordamida tahlil qilinadi. Masalan, har kuni bir xil miqdorda pul yig‘ilsa, bir oyda qancha bo‘ladi degan hayotiy savol asosida progressiya elementlarini o‘rgatish mumkin. Bu yondashuv o‘quvchilarning darsga bo‘lgan qiziqishini oshiradi, mavzuni anglashni osonlashtiradi. Arifmetik progressiyaning umumiy hadi va yig‘indisi formulalari mantiqiy izchillikda keltirib chiqariladi, bu esa o‘quvchilarda mustaqil formulalarni chiqarish malakasini rivojlantiradi. Geometrik progressiya mavzusi esa arifmetik progressiyadan keyin o‘rgatiladi. Darslar o‘rtasida uzviylik saqlanadi. Geometrik progressiya – bu har 8 Mavlonova R., Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: TDPU, 2020, 54-bet. 20 Arifmetik progressiya formulalarini chiqarishni vizual isboti - xira bloklar arifmetik progressiyaning aylantirilgan nusxasi. Yilda matematika, an arifmetik progressiya (AP) yoki arifmetik ketma-ketlik a ketma-ketlik ning raqamlar shunday qilib ketma-ket shartlar orasidagi farq doimiy bo‘ladi. Masalan, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... umumiy farqi 2 ga teng bo‘lgan arifmetik progressiya. Agar arifmetik progressiyaning boshlang‘ich atamasi bo‘lsa a_{1} va ketma-ket a’zolarning umumiy farqi d, keyin n ketma-ketlikning uchinchi muddati (a_{n}) tomonidan berilgan: {displaystyle a_{n} = a_{1} + (n-1) d}, va umuman olganda,{ displaystyle a_{n} = a_{m} + (n-m) d}. Arifmetik progressiyaning cheklangan qismi a deb ataladi cheklangan arifmetik progressiya va ba'zan shunchaki arifmetik progressiya deb ataladi. 3-rasm Arifmetik Progressiya va Arifmetik ketma-ketlikning farqi shundaki, Arifmetik Progression n-chi muddatga qadar umumiy farqga ega bo‘lgan qatordir. Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik qator - bu Arifmetik Progression elementlarining yig‘indisi.Arifmetik Progression - bu umumiy farqni beradigan har qanday oraliqdagi istalgan qatorlar. Masalan, 1,2,3,4 dan har qanday raqamgacha bo‘lgan diapazonni oling, endi raqam va uning keyingi raqami orasidagi farq bu diapazondagi istalgan ikkita raqam uchun odatiy bo‘ladi. 17 va boshqalar), o‘quvchilar esa ularning o‘zaro aloqasini ifodalovchi grafik tuzadilar. Bu usul matematik tushunchalar o‘rtasidagi bog‘liqlikni ko‘rish, tahlil qilish va umumlashtirish ko‘nikmasini rivojlantiradi. Axborot-kommunikatsiya texnologiyalaridan foydalanish ham ayniqsa muhim ahamiyatga ega. Desmos, Quizizz, Kahoot kabi interaktiv onlayn platformalar yordamida darslar test, viktorina yoki vizual topshiriqlar shaklida tashkil etilishi mumkin 18 . Bu nafaqat darsga qiziqishni oshiradi, balki bilimlarni real vaqt rejimida tekshirish imkonini ham yaratadi. Shuningdek, guruhlarda ishlash metodi orqali har bir kichik guruhga progressiyaga oid turli topshiriqlar beriladi. Masalan, bir guruh umumiy hadni topadi, ikkinchisi yig‘indini hisoblaydi, uchinchisi ketma-ketlik grafigini chizadi. Bu esa hamkorlikda ishlash, fikr bildirish, o‘z fikrini dalillash, tanqidiy va ijodiy tafakkurni shakllantiradi. Bundan tashqari, hayotiy misollarga asoslangan topshiriqlar orqali o‘quvchilar mavzuni real holatlarga tadbiq etishni o‘rganadilar. Masalan, har oy jamg‘ariladigan mablag‘lar, o‘sib boruvchi narxlar yoki kamayib boruvchi resurslar misolida arifmetik yoki geometrik progressiyalarning hayotiy qo‘llanishi ko‘rsatiladi. Bu usul o‘quvchilarning mavzuga nisbatan ijobiy motivatsiyasini oshiradi va ta’lim hayot bilan bog‘liqligini ko‘rsatadi. Xulosa qilib aytganda, progressiyalar mavzusini interaktiv metodlar asosida o‘qitish nafaqat o‘quvchilarning bilim darajasini oshiradi, balki ularning mustaqil fikrlashini, jamoaviy ishlash ko‘nikmasini, analitik tafakkurini va eng asosiysi — matematikaga bo‘lgan qiziqishini yanada kuchaytiradi. Har bir o‘qituvchi mavzuni puxta o‘zlashtirish uchun dars metodikasini zamonaviy, o‘quvchi shaxsiga yo‘naltirilgan, amaliy va ijodiy yondashuv asosida tashkil etishi lozim. 18 Mirzaqulov S., Pedagogik texnologiyalar. – Toshkent: Ilm Ziyo, 2019, 87-bet. 29 MUNDARIJA KIRISH .......................................................................................................................................................... 3 1. Progressiyalar haqida umumiy tushuncha ........................................................................................... 9 2. Arifmetik va geometrik progressiya haqida ma’lumotlar ................................................................... 12 3. Arifmetik va geometrik progressiyani o‘qitish metodikasi ................................................................. 20 4. Darsni rejalashtirish: maqsad, vositalar, metodlar ............................................................................. 24 5. Progressiyalarni tushuntirishda interaktiv usullar .............................................................................. 28 XULOSA ...................................................................................................................................................... 30 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 32 34 Arifmetik ketma-ketlik - bu aniq ketma-ketlikdagi raqamlar yoki raqamlar diapazoni. Agar ushbu ketma-ketlikdagi raqam oldingi raqamidan chiqarilsa, biz ushbu oraliqdagi har qanday ikkita raqamning farqi bilan umumiy bo‘lgan farqni olamiz. Masalan, 5,10,15,20 dan ketma-ketlikni oling - endi bu ketma-ketlikning umumiy farqi 5 ga teng bo‘ladi. Arifmetik progressiya va arifmetik ketma-ketlikni taqqoslash jadvali (jadval shaklida)Taqqoslash parametri Arifmetik progressiya Arifmetik ketma-ketlik Kontseptsiya.Arifmetik Progression - bu umumiy farqni d bilan belgilaydigan oraliqdagi sonlar qatori. Ushbu seriya uchinchi davrga qadar davom etadi. Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik ketma-ketlik - d bilan belgilangan umumiy farqga ega bo‘lgan arifmetik progressiyaning elementlari yig‘indisi.Formula Arifmetik progresiya uchun ishlatiladigan formulalar:Ln Arifmetik Progression qatoridagi n-chi muddatni belgilasin, u quyidagicha hisoblanadi: · L1 + Ln = L2 + Ln-1 =… = Lk + Ln-k + 1 · Ln = ½ (Ln-1 + Ln + 1) · Ln = L1 + (n - 1) d, bu erdan 1, 2,… Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik qator uchun ishlatiladigan formulalar:M summani belgilasin · M = ½ (L1 + Ln) n · M = ½ (2L1 + d (n-1)) n Foydalanadi Arifmetik Progression Bank ishlarida, Buxgalteriya hisobida va balansni hisoblashda ishlatiladi va pul ishlarida qo‘llaniladi. Moliya bilan bog‘liq xizmatlarda foydalaniladi. Arxitektura va qurilishda ham qo‘llaniladi. Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik seriyalar me'morchilik, qurilish, mashinasozlik va boshqa moliya va bank sohasida ishlatiladigan aniq diametrli narsalarda qo‘llaniladi.Oraliq Arifmetik Progression n-davrgacha bo‘lgan har qanday diapazon qatoridan iborat. Ushbu ketma-ketlik avvalgi sonidan raqamni olib tashlash orqali chiqarilgan umumiy farqga ega. 18 MAVZU: ARIFMETIK VA GEOMETRIK PROGRESSIYANING O‘QITISH METODIKASI REJA: I. KIRISH. II. ASOSIY QISM: 1. Progressiyalar haqida umumiy tushuncha 2. Arifmetik va geometrik progressiya haqida ma’lumotlar 3. Arifmetik va geometrik progressiyani o‘qitish metodikasi 4. Darsni rejalashtirish: maqsad, vositalar, metodlar 5. Progressiyalarni tushuntirishda interaktiv usullar III. XULOSA IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI V. MUNDARIJA 2 bir hadi o‘zidan oldingi hadga biror doimiy sonni ko‘paytirish orqali hosil bo‘ladigan ketma-ketlikdir. Ushbu mavzuni tushuntirishda ham hayotiy misollar, masalan, foizlar, bank omonatlari, populyatsiya o‘sishi, virus tarqalishi kabi hodisalar tahlil qilinadi. Bu mavzularni o‘rgatishda didaktik materiallar, texnologik vositalar, shuningdek, matematik dasturlardan foydalanish samaradorlikni oshiradi 9 . Dars davomida progressiyalarning grafik ifodasi, kompyuter texnologiyalari orqali jadval tuzish, vizual tahlil qilish orqali o‘quvchilarda mavzuga nisbatan chuqurroq tushuncha shakllantiriladi. Misollar orqali har bir formulani mustahkamlash, topshiriqlarni darajali taqsimlash orqali differensial yondashuvga amal qilinadi. Shuningdek, mavzuni o‘zlashtirishda guruhlarda ishlash, muammoli savollar, kichik loyiha topshiriqlari ham o‘quvchilarni faollikka undaydi. O‘quvchilarga progressiyalarning grafikasi, Excel yoki GeoGebra dasturlari yordamida tasviriy yondashuv taklif qilinadi. Bu esa mavzuni ko‘rgazmali va tushunarli qilishda samarali usul hisoblanadi. Baholash jarayoni esa bosqichma-bosqich, o‘quvchilarning yutuqlari asosida amalga oshiriladi. Baholashda joriy, oraliq va yakuniy shakllardan foydalaniladi. Misol uchun, kundalik topshiriqlar, testlar, dars oxirida “Refleksiya” metodi orqali o‘quvchilar o‘zini baholash imkoniga ega bo‘ladi. Bunda “Bugun nimani o‘rgandim?”, “Nima tushunarsiz bo‘ldi?” kabi savollar asosida mavzuga bo‘lgan munosabati tahlil qilinadi. Xulosa qilib aytganda, arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘qitish metodikasi pedagogdan nafaqat mavzu bo‘yicha chuqur bilim, balki uni zamonaviy va didaktik jihatdan to‘g‘ri, qiziqarli, bosqichma-bosqich yoritish malakasini talab etadi. Bunday yondashuv o‘quvchining bilimini chuqurlashtiradi, matematik tafakkurini shakllantiradi va uning mustaqil o‘rganish, fikrlash ko‘nikmalarini rivojlantiradi. 9 Axmedova G., Interaktiv dars metodlari. – Toshkent: Yangi asr avlodi, 2021, 62-bet. 21  O‘quvchilarning mustaqil fikrlash va mantiqiy tahlil ko‘nikmalarini rivojlantirishga xizmat qiluvchi topshiriq va metodlarni ishlab chiqish. Mazkur kurs ishi kelajakdagi matematika o‘qituvchilari uchun metodik qo‘llanma bo‘lishi mumkin, shuningdek, o‘quvchilarda mavzu yuzasidan puxta bilim va amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishga xizmat qiladi. Kurs ishi mavzusining vazifasi . Darsni o‘rgatish vaqtida oldin, o‘quvchilarning mavzuni o‘zlashtirganlik darajasini aniqlash maqsadida quyidagi savollarni berish mumkin. 1. Sonli ketma-ketlik deb nimaga aytiladi. 2. Rekurrent so‘zining ma’nosi nima. 3. Rekurent formulaga misol yozing. Kurs ishining obyekti. Umumiy o‘rta ta’lim maktablarida matematika fanini o‘qitish jarayoni, xususan arifmetik va geometrik progressiyalarni o‘rgatish metodikasi hisoblanadi. Kurs ishining predmeti. A rifmetik va geometrik progressiyalar mavzusini o‘quvchilarga samarali o‘rgatishning metodik usullari va didaktik imkoniyatlari dir. 8 Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik ketma-ketlik cheksizgacha bo‘lgan qatordan iborat.Farqi Arifmetik Progression, ketma-ketlikdagi umumiy farqni topish orqali ushbu aniq qatorning yo‘qolgan atamasini yoki n-sonini aniqlash uchun ishlatiladi. Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik ketma-ketlik n-son, umumiy farq kabi Arifmetik progresiya elementlarini olish orqali yig‘indini aniqlash uchun ishlatiladi. Arifmetik progresiyanima?Arifmetik Progression - bu umumiy farq va n-chi davr kabi har xil atamalarni hisoblash uchun ishlatiladigan elementlarning ketma- ketligi yoki diapazoni. Umumiy farq, avvalgi elementi chiqarib tashlagan qatorning har bir elementi uchun Arifmetik Progression Series deb nomlanishi uchun umumiy bo‘lishi kerak. Masalan, 3,6,9,12-n-davr kabi qatorni oling, endi 6 dan 3ni chiqarganda yoki 9 dan 6 ni aytsangiz va shunga o‘xshash umumiy farq 3 paydo bo‘lsa, bu bizga bu qatorning Arifmetik Progression ekanligini bildiradi. chunki umumiy farq ketma- ket. Arifmetik ketma-ketlik yoki arifmetik ketma-ketlik - bu Aifmetik Progression umumiy farqi va n-chi muddatga ega bo‘lgan elementlarning yig‘indisi. Yig‘indini hisoblash uchun ketma-ketlikning birinchi davri va oxirgi a'zosi qo‘shiladi, bu hadlarning yig‘indisi ½ ga ko‘paytiriladi va natijada ketma- ketlik sonlari ko‘paytiriladi.Masalan, 4,8,12,16-n-chi qatorni oling, endi L1 birinchi had, n-chi hadni Ln bilan belgilash mumkin. L1 va Ln qo‘shing va bu atamalar yig‘indisi ½ ga ko‘paytiriladi va qatordagi atamalar soniga ko‘paytiriladi.Arifmetik progressiya va arifmetik ketma-ketlikning asosiy farqlari. 19 1. Progressiyalar haqida umumiy tushuncha Matematikada progressiyalar – bu sonlar ketma-ketligi bo‘lib, ularning har bir elementi ma’lum qonuniyat asosida oldingi element bilan bog‘langan bo‘ladi. Progressiya tushunchasi o‘quvchilarda nafaqat mantiqiy fikrlash, balki matematik model yaratish, tendensiyani aniqlash, kelgusi qiymatlarni bashorat qilish kabi ko‘nikmalarni shakllantiradi 3 . Shu sababli ham progressiyalar maktab algebra kursida muhim mavzulardan biri hisoblanadi. Tarixiy manbalarda progressiyalar qadimdan beri ilm-fan taraqqiyotida muhim o‘rin tutganini ko‘rish mumkin. Masalan, qadimgi Hindistonda matematik olim Aryabhata va Brahmagupta lar o‘z asarlarida arifmetik va geometrik progressiyalarni astronomik hisob-kitoblarda qo‘llaganliklari haqida yozib qoldirishgan. Yevropada esa bu tushuncha Leonardo Fibonacci nomi bilan bog‘liq bo‘lib, u o‘zining “Liber Abaci” asarida progressiyalarni real hayotdagi masalalarga tatbiq qilgan. Aynan Fibonacci ketma-ketligi keyinchalik biologiyada, san’atda va hatto moliyaviy modellashtirishda ham keng qo‘llanila boshlandi 4 . Bugungi kunda progressiyalar matematik tahlil, algebra, statistika, iqtisodiyot, axborot texnologiyalari, muhandislik va boshqa ko‘plab sohalarning ajralmas qismlaridan biridir. Masalan, dasturlashda algoritmlar optimalligi, iqtisodiyotda foiz hisob-kitoblari, biologiyada DNK zanjirlaridagi struktura ham aynan progressiya turlariga bog‘liq tarzda tahlil qilinadi. Didaktik nuqtai nazardan qaraganda, progressiyalar mavzusi o‘quvchilarda:  sabab-oqibat bog‘lanishlarini aniqlash,  umumlashtirish,  mantiqiy izchillikni tushunish,  matematik formulalar asosida mustaqil ishlash,  grafiklar bilan ishlash,  analogiyadan foydalanish,  muammoli vaziyatdan chiqish strategiyasini topish kabi muhim bilim, ko‘nikma va malakalarni shakllantiradi. 3 Toxtayev O. T., Matematika: O‘rta maktab uchun darslik. – Toshkent: O‘qituvchi, 2018, 45-bet. 4 Ismoilov H., Matematikaning asosiy tushunchalari. – Toshkent: Barkamol Avlod, 2021, 74-bet. 9
  1. Progressiyalar haqida umumiy tushuncha
  2. Arifmetik va geometrik progressiya haqida ma’lumotlar
  3. Arifmetik va geometrik progressiyani o‘qitish metodikasi
  4. Darsni rejalashtirish: maqsad, vositalar, metodlar
  5. Progressiyalarni tushuntirishda interaktiv usullar
    Matematikada progressiyalar – bu sonlar ketma-ketligi bo‘lib, ularning har bir elementi ma’lum qonuniyat asosida oldingi element bilan bog‘langan bo‘ladi. Progressiya tushunchasi o‘quvchilarda nafaqat mantiqiy fikrlash, balki matematik model yaratish, tendensiyani aniqlash, kelgusi qiymatlarni bashorat qilish kabi ko‘nikmalarni shakllantiradi[1]. Shu sababli ham progressiyalar maktab algebra kursida muhim mavzulardan biri hisoblanadi.


 

[1] Toxtayev O. T., Matematika: O‘rta maktab uchun darslik. – Toshkent: O‘qituvchi, 2018, 45-bet.
Arifmetik progressiya – bu ketma-ketlik bo‘lib, har bir had avvalgisiga bir xil son qo‘shish orqali hosil qilinadi. Bu son “farq” (differensiya) deb ataladi. Masalan: 3, 7, 11, 15, 19, ... bu yerda har bir hadga 4 qo‘shilgan.

Geometrik progressiya esa har bir had oldingisiga biror doimiy songa ko‘paytirish orqali hosil qilinadi. Bu son “ko‘paytuvchi” (koeffitsiyent) deb ataladi. Masalan: 2, 4, 8, 16, 32, ... bu yerda har bir had 2 ga ko‘paytirilgan.

Купить