Bernulli differensial tenglamasi - Алгебра - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	50000UZS
Размер	1.2MB
Покупки	0
Дата загрузки	28 Март 2026
Расширение	doc
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Rajabov Yorbek

Дата регистрации 19 Март 2026

0 Продаж

Bernulli differensial tenglamasi

Купить

Mundarij a.
Kirish.
Mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari---------------------------2-9
I-Bob. birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
§ 1.1.Eyler-Bernulli usuli-------------------------------------------------10-14
§1.2.Langranj usuli (o zgarmasni variatsiyalash usuli)--------15-20’
II-Bob.Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.
§2.1. Bernulli differensial tenglamasi-------------------------------21-28
§2.2.Darbu differensial tenglamasi----------------------------------28-32
§2.3.Yakobi differensial tenglamasi---------------------------------33-34
§2.4.Rikkati differensial tenglamasi---------------------------------34-40
§2.5.Argonning sirpanishi haqidagi masala-----------------------41-43
Xulosa----------------------------------------------------------------------44-45
Adabiyotlar------------------------------------------------------------------46-47
1

Kirish.
Mavzuning dolzarbligi maqsadi va vazifalari.
Fizikaning turli bo limlarida, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, tibbiyot va boshqa’
fanlarda uchraydigan ko plab jarayonlar, hayotiy, amaliy masalalar turli
’
differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. Ana shu sababdan ham
differensial tenglamalarning umumiy nazariyasi va amaliy masalalarni
yechishdagi tadbiqini o rganish muhim ahamiyat kasb etadi.
’
Differensial tenglamalarning nazariy va amaliy masalalarni yechishdagi
tadbiqlari haqida matematik olimlar tomonidan ko plab darsliklar,
’
monografiyalar, ilmiy maqolalar chop etilgandir. Ular ichida matematik olimlar
L.S.Pontryagin, V.V Stepanov, I G.Petrovskiylar tomonidan yaratilgan darsliklarni
alohida qayd etish lozim.O zbek tilida differensial tenglamalar fanidan ilk darslik
’
akademik T .N. Qori-Niyoziy tomonidan o tgan asrning 40-yillarida yozilgan
’
edi.O zbek tilida hozirgi zamon talablariga javob beradigan, amaldagi dasturlarga
’
mos keladigan darslik akademik M.Salohiddinov va professor G .Nasriddinovlar
’
tomonidan chop etilgan.
Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining umumiy asoslari, bu
nazariyaning amaliy xarakterdagi masalalarni yechishdagi turli tadbiqlari [ 1-14 ]
adabiyotlarda bayon etilgandir.
Bitiruv malakaviy ishining dolzarbligi , shundaki chiziqli tenglamaga keltirib
yechiladigan Bernulli differensial tenglamasini,unga keltiriladigan
tenglamalarni va bu tenglamalar bilan bog liq bo lgan masalalarni
’ ’
yechish muhim ahamiyatga egadir. Bernulli differensial tenglamasi bilan
bog liq tushunchalar, misol va masalalarni o rganish dolzarbdir.
’ ’
Bitiruv ishining asosiy maqsadi esa, birinchi tartibli oddiy differensial
tenglamalar nazariyasida muhim rol o ynaydigan Bernulli differensial
’
tenglamasi va uning turli tadbiqlari bilan bog liq bo lgan ilmiy va amaliy
’ ’
matematik tushunchalarni o rganish hamda ularni turli amaliy masalalarni
’
qo llay olishni o rganishdan iborat.
’ ’
2

Bitiruv malakaviy ishi kirish qismi ikki bobdan xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro yxatidan iboratdir.’
Kirish qismda o rganiladigan mavzu, maqsadi va vazifalari haqida
’
ma lumotlar beriladi. I-bob ikki paragrafdan iborat bo lib
’ ’ asosiy vazifa:
Bernulli differensial tenglamasini yechishda muhim rol o ynaydigan
’
birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularni yechish usullari
o rganiladi.
’
§1.1.da ushbu
(1)
1-tartibli chiziqli tenglamani yechishda Eyler Bernulli metodi bayon rtiladi,bu
yerda P(x),Q(x),
§1.1.paragrafning asosiy natijasi, (1) - tenglama yechimini y=u*v, (u=u(x),
v=v(x) - noma lum funksiyalar) ko rinishda izlab, (1) ni umumiy yechimi
’ ’
uchun ushbu formulani hosil qilishdan iboratdir:
C=const, (2)
§1.2.paragrafda esa (1) tenglamaning yechishning Lagranj usuli
(o zgarmasni variatsiyalash usuli bilan (2) formulani hosil qilish
’
isbotlanadi. Bu bobda tipik misollarni yechish ham ko rsatiladi.
’
II-bobning §2.1.paragrafida ushbu Bernulli differensial tenglamasi
o rganiladi:
’
(3)
Bu yerda,P(x), Q(x),
da berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o zgarmas haqiqiy son (
’
) Agar bo lsa, (3)dan (1), ya ni birinchi tartibli chiziqli tenglama
’ ’
hosil bo ladi, agar
’ bo lsa, (3)dan ’
3

yoki
o zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo ladi, shu ’ ’
sababdan ham deb faraz qilamiz.
§2.1. paragrafning asosiy natijasi ushbu teoremani isbotlashdan iborat:
Teorema: Agar P(x), Q(x) funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz
bo lib,
’ bo lsa, u holda ’ sohaning ixtiyoriy
olingan nuqtasidan (3) tenglamaning oraliqda aniqlangan bitta
integral chizig I o tadi. Ravshanki,
’ ’ bo lganda, (3) tenglama ’
yechimga ega. Bu yechim ham nuqtadan
o tadigan integral chiziqni ifodalaydi, bu yechim (3) tenglamaning umumiy
’
yechimdan hosil bo lmaydi va u maxsus yechim hisoblanadi.
’
§2.2 da ushbu Darbu tenglamasi:
(4) bunda,
M(x) va N(x) funksiyalar bir o lchovli va P(x) shu yoki boshqa o lchovli bir
’ ’
jinsli funksiyalar.
§2.3.da esa ushbu
(5)
Yakobi differensial tenglamasi bunda
berilgan o zgarmas sonlardan iborat.
’
O rganiladigan(4) va(5) tenglamalarni Bernulli differensial tenglamasiga
’
keltirib yechish usullari o rganiladi va konkret misollarni yechib
’
ko rsatiladi.
’
§2.4.da ushbu Rikkati differensial tenglamasi o rganiladi:
’
(6) bunda.
P(x), Q(x) va R(x), -berilgan funksiyalar. Ravshanki, agar R(x)=0
bo lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo ladi:
’ ’

Bu paragrafda ushbu teorema ham isbotlanadi:
4

Teorema: Agar (6) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma lum ’
bo lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
’
Shuningdek, bu paragraf oxirida Bernulli differensial tenglamasiga keltirilib
yechiladigan Rikkati tenglamasiga oid misollar ham yechib ko rsatilgan.
’
§ 2.5.da esa fizik masala-argonning sirpanishi haqidagi masala o rganiladi va bu
’
masalani yechishni Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechish
ko rsatiladi.
’
Bitiruv malakaviy ishi nihoyasida ishni bajarish jarayonida hosil bo lgan
’
xulosalar va ishga doir foydalanilgan adabiyotlar ro yxati ilova qilinadi.
’
I - Bob. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
1.1. Ta rif. ushbu
’
(1)
Ko rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi,
’
(1) tenglamada P(x), Q(x) funksiyalar biror oraliqda aniqlangan va
uzluksiz bo lsin. (1) ni
’ sohada qaraymiz, bu to plam ’
oraliqning qanday bo lishiga qarab tasma (kenglik), va tekisliklardan iborat
’
bo lishi mumkin.
’
Bir qator differensial tenglamalar, xususan Bernulli, Rikkati va boshqa
tenglamalarni integrallashga keltiriladi.
Ma lumki, (1) tenglamani integrallashda bir necha metodlar mavjuddir. Bu
’
metodlardan ikkitasini qarab chiqamiz.
§ 1.1. Eyler Bernulli metodi.
(1) tenglamani yechishda bu metodda erkin o zgaruvchi x ni o zicha
’ ’
qoldirib, y noma lum funksiyani esa
’
y=u*v, (1,2) shaklda izlash tavsiya etiladi, bu yerda u va v larning har
biri x ning no malum funksiyasi bo lib, ulardan biri hozircha ixtiyoriydir:
’ ’
u=u(x), v=v(x),

(1.2) dan hosilani hisoblaymiz
5

(1.3)
(1.2) va (1.3) ni (1.1) ga qo ysak’
(1.4)
Endi u=u(x) funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
(1,5)
Tenglik bajarilsin. (1.5) tenglama esa o zgaruvchilari ajraladigan tenglama
’
bo lgani uchun, o zgaruvchilarni ajratib
’ ’

Bundan esa, integrallash natijasida:
yoki
(1.6)
Biz bu yerda soddaliknuqtai nazaridan ixtiyoriy o zgarmas sonni kiitmadik.
’
Endi (1.5) ga asosan, (1,4) tenglama ko rinishi bunday bo ladi:
’ ’

(1.6) tenglik bilan aniqlangan u ning o rniga ifodasini qo ysak,
’ ’
yoki
bundan esa
(C=const), (1.7) (1.6) va (1.7) tengliklarni
e tiborga olib eski o zgaruvchi y ga (1.2) tenglik bo yicha qaytsak, natijada
’ ’ ’
(1.1) tenglamaning umumiy integralini quyidagi ko rinishda hosil qilamiz.
’
(1.8)
(1.8) umumiy yechimning tuzulishiga qaraganda u ikki kvadraturani talab qiladi.
Agarda (1.8) tenglikdagi kvadraturalarni bajarib, qavsni ochilsa, uning
umumy ko rinishi
’

6

bo ladi. Bundan ko rinadiki: birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy ’ ’
integrali-integrallash natijasida hosil bo lgan ixtiyoriy o zgarmasga nisbatan
’ ’
butun chiziqli funksiyadan iboratdir.
Misol. Ushbu chiziqli tenglama integrallansin:

Bu yerda
Eyler Bernulli metodiga muofiq
y=u*v, (1.10)
deb faraz qilsak bundan

Buni va (1.10) almashtirishi berilgan tenglamaga qo ysak:
’
yoki v ning oldidagi koeffisentni nolga tenglashtirilsa,
yoki
yoki u(x)=x. (1.12)
(1.12) ga asosan (1.11) ning ko rinishi
’

bo ladi.Bundan esa
’
(C=const), (1.13)
(1.12) va (1.13) larni (1.10) ga qo ysak, (1,9) tenglamaning ushbu
’
ko rinishdagi umumiy integralini hosil qilamiz:
’
(C=const), (1.14).
§ 1.2.Lagranj usuli (o zgarmasni variatsiyalash usuli)
’
7

Endi birinchi tartibli chiziqli tenglamani integrallash uchun Lagranj tomonidan
taqdim etilgan ixtiyoriy o zgarmasning variatsiyalash metodini qaraymiz.(1.1) ’
tenglamaga mos birinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani
qaraymiz.
(1.15)
Bu tenglamalani o zgaruvchilarini ajratsak,
’
bundan
yoki
(1.16)
Bu yerda C ixtiyoriy o zgarmasdir.
’
Lagranj metodini mohiyati shundaki, (1.1) tenglamaning umumiy yechimini
(1.16) ko rinishda izlab, bu yerda C o zgarmasni x ning biror no malum
’ ’ “ ” ’
funksiyasi deb: C=c(x) izlashni tavsiya qilinadi:
(1.17) u holda
(1.18)
(1.17) va ( 1.18) ni (1.1) ga qo ysak,
’
yoki
bundan esa
C
1 =const, (1.19) c(x) uchun topilgan bu ifodani
(1.17) ga qo ysak, Eyler-Bernulli usuli bilan topilgan (1.1) tenglamani umumiy
’
yechimi uchun hosil qilingan natijani hosil qilamiz:
(1.20)
Misol.
Ushbu,
tenglamani Lagranj metodi bilan yechishni qaraymiz.
Yechilishi:
8

Bir jinsli tenglamani qaraymiz.
Bundan,

Yoki,
Y=Cx;
Agar C=C(x)-no malum funksiya desak,’
Y=C(x)x
1
y va ning ifodalarini berilgan tenglamaga qo yamiz,
’
bu holda
Dc=2xdx
Demak, C=x 2
+C
1, (c
1 =const)
Natijada,berilgan tenglamaning umumiy yechimi uchun ushbuni hosil qilamiz
yoki
Endi chiziqli tenglamaning ba zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Chiziqli
’
tenglamani to liq integrallash uchun ikki kvadratura bajarilishi lozim edi. Lekin
’
agarda tenglamaning biror xususiy yechimi ma lum bo lsa, integrallash bitta
’ ’
kvadratura bilan bajariladi. Haqiqatda faraz qilaylik,
y=y
1
(1.1) tenglamaning xususiy yechimi bo lsin, ya ni
’ ’
(1.21)
Agarda
(1.22)
Deb faraz qilinsa, (1.1) tenglamaning ko rinishi
’
bo ladi, yoki (1.21) ga asosan
’
(1.23) bundan,
9

demak
(1.24),
Buni (1.22) ga qo yilsa, (1.1) tenglamaning umumiy integrali hosil bo ladi:’ ’
(1.25)
Va bu bitta kvadratura bajarishni talab qiladi.
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning birorta xususiy yechimi ma lum bo lgan
’ ’
holda uni integrallash bitta kvadratura bilan bajariladi.
Endi faraz qilaylik, (1.1) tenglamaning ikkita xususiy
yechimlari ma lum bo lsin. Integrallash bu holda kvadraturasiz bajariladi.
’ ’
Haqiqatda chiziqli tenglama umumiy integralining ko rinishi
’
(1.26)
Bo lgan edi, bunda
’ va
Ma lum funksiyalar. Faraz qilaylik, y
’
1 va y
2 xususiy yechimlar C ning C
1 va C
2
qiymatlariga mos kelsin, ya ni
’
(1.27)
(1.26) va (1.27) dan
bunda -ixtiyoriy o zgarmas son, yoki buni y ga
’
nisbatan yechilsa,
(1.28)
Demak, (1.1) chiziqli tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma lum bo lgan
’ ’
holda, uni integrallash kvadraturasiz bajariladi.
II-bob.
Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari .
§ 2.1.Bernulli tenglamasi
2.1-ta rif. Ushbu
’
(2.1)
Ko rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi,
’
P(x) va Q(x) lar biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror
10

o zgarmas haqiqiy son ’ Ravshanki agar bo lsa, (2.1) ’
tenglamadan
birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo ladi,bu tenglamani
’
I-bobda o rgangan edik.
’
Agar bo lsa, (2.1) tenglamadan
’
yoki
tenglamaga kelamiz. Bu esa o zgaruvchilari ajraladigan
’
differensial tenglamadan iboratdir.
Demak, (2.1) differensial tenglamasida bo lganda bizga ma lum
’ ’
differensial tenglamalar hosil bo ladi. Endi
’ 1 ,0     deb faraz qilamiz.
2.1-teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Ix oraliqda aniqlangan va uzluksiz
bo lib,
’ bo lsa u holda ’ sohaning ixtiyoriy
olingan (x
0 ;y
0 ) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Ix oraliqda aniqlangan bitta integral
chizig i o tadi.
’ ’
Isboti. (2.1) tenglamadan

va bo lgani uchun
’
bu funksiya D sohada uzluksiz bo ladi.
’
Demak, Koshi teoremasiga ko ra D sohaning ixtiyoriy (x
’
0 ;y
0 ) nuqtasidan (2.1)
differensial tenglamaning bitta integral chizig i o tadi.
’ ’
Agar bo lsa,
’ bo lganda Bernulli differensial tenglamasining yechimi ’
bo ladi.Bu xususiy yechimdir.Ammo
’ bo lganda ’
funksiya y=0 da uzilishga ega va nuqtada yechimning yagonaligi buzulishi
mumkin. Ammo bo lsa,
’ funksiya maxsus yechim bo ladi ’
ya ni,
’ ning har bir nuqtasida orqali kamida bitta (ko rilayotgan holda ’
birdan ortiq ) integral chiziq o tadi.Buni ko rsatish uchun avval (2.1) ni
’ ’
da birinchi tartibli chiziqli tenglamaga keltirib, kvadraturalarda integrallash
11

mumkinligini ko rsatamiz.’ deylik. (2.1) tenglamaning ikkala tomonini
ga bo lamiz.
’
(2.2)
va
, (2.3)
ko rinishda almashtirishni bajaramiz. (2.3) ni x ga nisbatan differensiallaymiz:
’
yoki
(2.4)
(2.3) va (2.4) ga asosan (2.2) ning ko rinishi quyidagicha bo ladi:
’ ’
, yoki
(2.5)
(2.5) tenglama esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan
iborat.
Shuning uchun buning umumiy yechimi (integrali) quyidagicha bo ladi.
’
(2.6)
Endi z dan y ga (2.3) tenglikdan foydalanib qaytsak, bu holda (2.1) Bernulli
differensial tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.
(2.7)
(2.6) tenglikni
z=CA(x)+B(x)
ko rinishda yozib olaylik, bu yerda A(x), B(x) lar Jx oraliqda uzluksiz
’
funksiyalar. U holda (2.1) ning umumiy yechimi:
agar x=x
0 , y=y
0 =0 va
12

bo lsa, bu formula yordamida ushbu ’ tenglamadan C ning
yagona qiymatini topa olamiz, ya ni
’
.
Shunday qilib, (x
0 ;0) nuqtadan
Integral chiziq o tadi.
’
ravshanki, bo lganda (2.1) tenglama
’
yechimga ega. Bu yechim ham (x
0 ;0) nuqtadan o tadigan integral chiziqni
’
ifodalaydi. Demak, Bernulli differensial tenglamasi kvadraturalarda integrallanadi;
2) Benulli differensial tenglamasi
bo lganda
’ maxsus yechimga ega.
Misol. Bernulli tenglamasini yechishni qaraymiz.
Yechilishi: Misoldan: P(x)=a=const, Q(x)=x, ekanligi ma lum. Berilgan
’
tenglamani har ikkala tomonini ga bo lamiz:
’
endi eb faraz qilamiz, bu holda , yoki
demak,
yoki bu esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli
differensial tenglamadan iboratdir, bu yerda
Chiziqli tenglaqmaning umumiy integrali uchun chiqarilgan formulaga ko ra (I-
’
bobdagi (1.8) formula ):
yoki
Qavs ichidagi integralni bo laklab integrallaymiz:
’
bunga asosan esa
13

bo ladi, yoki ’ bo lganligi uchun berilgan ’
tenglamaning umumiy integrali bunday bo ladi:
’
shuningdek, yechim, maxsus yechim ekanligini ham
eslatib o tamiz.
’
§ 2.2.Darbu tenglamasi va uni yechish .
Ushbu
M(x)dx+N(x)dy+P(x)(xdy-ydx)=0, (2.8) ko rinishdagi tenglamani ham
’
Bernulli differensial tenglamasiga keltirish mumkin, agarda M(x) va N(x)
funksiyalar bir o lchovli va P(x) shu yoki boshqa o lchovli bir jinsli funksiya
’ ’
bo lsa. (2.8) tenglamani ba zan Darbu tenglamasi deb ham aytiladi.
’ ’
Faraz qilaylik, M(x) va N(x) ning har biri m-darajali va P(x) esa n-darajali bir
jinsli funksiya bo lsin, ya ni:
’ ’

Agar desak, u holda y=xz, bo lib, berilgan (2.8)
’
tenglamaning ko inishi bunday bo ladi:
’ ’
yoki
yoki
bu esa, Bernulli differensial
tenglamasidan iborat bo lib, bu yerda
’

Bu tenglama esa, yuqorida (1 0
nunktda) ko rsatilgan metod bilan integrallanadi.
’
Albatta integrallashdan so ng, z ni
’ bilan almashtirish lozimdir.
Misol. Ushbu Darbu tenglamasini integrallang:
14

,
Yechilishi: Berilgan tenglamada m=3, n=1; shuning uchun deb faraz
qilamiz bundan,
demak,
yoki buni x 3
ga qisqartirsak, bunday yozish
mumkin:
yoki
Bu yerda esa x ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat
bo lib,’
bu yerda m=3, n=1 bo lgani uchun n-m+2=0, ya ni
’ ’
bo lib, Bernulli tenglamasi birinchi tartibli chiziqli tenglamadan iborat
’
bo lgan holdir, endi chiziqli tenglamaning umumiy integralining formulasi
’
bo yicha ushbuni topamiz:
’

Bu integralni e tiborga olib umumiy yechimni topamiz:
’
bo lgani uchun
’
;
natijada esa,
yoki
15

yoki qaytib z ni bilan almashtirilsa
C
2 =const
§ 2.3.Yakobi differensial tenglamasi va uni yechish.
yakobi differensial tenglamasi deb ushbu tenglamaga aytiladi:
(2.9)
Bu yerda a,a
1 ,a
2 ,b,b
1 ,b
2, c,c
1 ,c
2 -berilgan o zgarmas sonlardan iborat’
Bu tenglamani 2 0
-punktda o rganilgan Darbu tenglamasining ko rinishiga
’ ’
keltirish mumkin. Buning uchun:
, (2.10)
Deb faraz qilamiz, bu yerda noma lum o zgarmas sonlar. (2.10)
’ ’
ko rinishdagi almashtirish natijasida (2.9) tenglamaning ko rinishi bunday
’ ’
bo ladi:
’
(2.11)
bunda
,(2.12)
Endi (2.11) tenglamani bunday yozamiz:
(2.13)
Agar (2.14)
Tengliklar o rinli deb faraz qilsak, natijada (2.13) tenglama ushbu ko rinishga
’ ’
keladi:
(2.15)
Bu tenglama esa o tgan paragrafdagi holdan iboratdir.
’
§ 2.4.Rikkati differensial tenglamasi.
Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:
16

(2.16)
Bunda P, Q, R berilgan bo lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.’
P=0 bo lsa, (2.16) tenglamadan
’
Birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo ladi.
’
Agar R=0 bo lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo ladi:
’ ’
(2.16) ni quyidagicha yozib olaylik
(2,17)
(2.17) tenglamaning o ng tomoni
’
sohada aniqlangan va uzluksiz bo lib,y bo yicha
’ ’
uzluksiz differensiallanuvchi,chunki
O ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada
’
aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi
teoremasining shartlari o rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan
’ ,
nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig i o tadi.
’ ’
2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma lum
’
bo lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
’
Isboti. Faraz qilaylik funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy
yechimi bo lsin, ya ni:
’ ’
(2.18)
Ayniyat o rinli bo ladi.
’ ’
Endi y=y
1 +z ko rinishdagi almashtirish bajaramiz:
’
17

bo ladi.’
(2.18) tenglikka asosan z no malumni toppish uchun esa
’
Tenglamaga ega bo lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat
’
bo lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini
’
ga bo lib, so ngra
’ ’
(2.19)
almashtirish bajarsak:
(2.20)
bo ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
’
(2.21)
ko rinishda bo ladi. Endi eski o zgaruvchiga
’ ’ ’
tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi
quyidagicha bo ladi:
’
1. Misol. tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo lib,
’
uning xususiy yechimini ko rinishda izlash maqsadga muvofiqdir.
’
Bundan
18

Bundan ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki
Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo ladi.’
Agar ni olsak, u holda
Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi
ko rinishda bo ladi.
’ ’
Endi desak, tenglamaga kelamiz. Bu esa o zgaruvchilari
’
ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:
ko rinishda bo lib,
’ ’
Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi
ushbu ko rinishda bo ladi:
’ ’
(C=const)
2-misol. tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo lib,
’
bunda
da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko rish qiyin
’
emas. Shuning uchun,
19

Almashtirish bajarsak,bundan
Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil
qilamiz :

Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra

deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz ;

Bu tenglamaning umumiy yechimi esa

bo`ladi.

bo`lgani uchun

bundan
, (C=const)
Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy
o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.
§ 25: Arqonning sirpanishi haqidagi masala.
Masala. Arqon stol ustida yotibdi, uning uchlaridan biri stol ustidan a
masofada bo`lgan silliq bilok orqali o`tgazilgan. Boshlang`ich momentda 2a
uzunlikdagi arqon bo`lagi blokning narigi tomonida erkin osilib turibdi.
20

Arqonning bu uchining harakat tezligi v ni s yo`lga bog`liq ravishda toping,
bunday harakatda ishqalanish qarshiligi tezlik kvadratiga teng deb qabul
qilinadi.
Yechilishi: Agar blokni yo`lning sanoq boshi sifatida tanlab olsak va Os
o`qni pastga yo`naltirsak, Nyutonning ikkinchi qonuni m bizning holda
ushbu differinsial tenglamaga olib keladi :

Bu yerda g-og`irlik kuchi tezlanishi .

Bo lgani uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin : ’
Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir.
21

, ,
Almashtirishni bajarsak, oxirgi tenglama quyidagi ko`rinishdagi chiziqli
tenglamaga keladi;
.
Bu tenglamaning umumiy yechimi tenglama bo`yicha topamiz;
Z= =
=
S=2a da v=0 boshlang`ich shartdan C=-4g ni topamiz, natijada xususiy
integral ushbu ko`rinishda bo`ladi:
.
Qavis ichidagi ifodani ko`paytuvchilarga ajratish mumkin;
= .
Shunday qilib , v ni s ga bog`liq holda hosil qilamiz:
.
Harakat tekis tezlanuvchan ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun hosil
qilingan tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko`taramiz va t bo`yicha
diferensiallaymiz. Natijada
,
Biroq va
Shuning uchun
,
22

Shuni isbot qilish kerak edi.
Xulosa
1. Birinchi tartibli differensial tenglamalarning muhim sinflaridan biri
Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol
o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni
turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
2. Bitiruv malakaviy ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler-
Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret
misollarni yechishda tadbiq etiladi.
23

3. Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi
haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning
maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
4. Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan
tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial
tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish
ko`rsatiladi.
5. Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy
masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni
yechishi bayon etiladi.
Adabiyotlar .
1. Salahiddinov M. S. Nasriddinov G.N. Oddiy differinsial tenglamalar,
Toshkent, ,,O`zbekiston , 1994 y ’’
2. Qori Niyoziy T.N. Tanlangan asarlar, 4-tom, Differinsial tenglamalar,
–
Fan, Toshkent, 1968 y
3. Pontryachin L.S.Obknovenne differinsial uravneniya, M.1969 y
4. Stepanov V. V Kurs differinsial uravneniy, Giz.fiz.mat. literature, 1958
24

5. Yerugen N.P.i.dr. Kurs obknobennx differinsialnx uravneniy, Kiev, 1974
y
6. Trikomi F. Differinsialne uravneniya, Izd. I.L. M.1962 y

7. Samoylenko A. M. i.dr Differinsialne uravneniya; premir i zadachi, M
1989 y
8. Guter R.S. Yanpoliskiy A.R.Differinsial tenglamalar, T 1973 y
9. Petroviskiy I.G. Lektsin po teorin obkvonnex differinsialnx uravneniy
M.Nauka 1964 y
10. Xartman F.Obknovenne differinsialne uravneniya, izd. ,,Mir , M 1970 y ”
11. Koddinchton E.A.Lebisson G. Teoriya obknovenne differinsialnx
uravneniy, M. IL. 1958 y
12. Elischolis L.E. Differinsialnx uravneniya I variatsionnoe ischesliniya,
Nauka, Moskva, 1965 y
13. R.S.Gaute, A.R. Yanpoliskiy ,,Differinsial tenglamalar T 1978 y
“
14. Fediryuk M.V. Obknovenne differinsialne uravneniya, M.1980 y
25

Купить