Информация о документе

Цена 45000UZS
Размер 715.9KB
Покупки 0
Дата загрузки 28 Март 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Алгебра

Продавец

Rajabov Yorbek

Дата регистрации 19 Март 2026

0 Продаж

Bernulli sxemasi uchun limit teoremalar muqarrarlik prinsipi va katta sonlar qonuni

Купить
KIRISH Bitiruv malakaviy ishning dolzarbligi: Bernulli sxemasi uchun klassik limit teoremalar о ‘rgani sh va ishda Y.Bernullining katta sonlar qonuni va uning turli xil umumlashmalari, Muavr va Laplas tomonidan olingan klassik natijalar о ‘rgani sh . Bitiruv malakaviy ishning maqsadi: Bernulli sxemasi uchun limit teoremalarni va katta sonlar konuni, Muavr-Laplasning lokal limit va integral teoremalari о‘rganishdan iborat Bitiruv malakaviy ishning vazifasi: Bog‘liqsiz tajribalar seriyasini tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlari о‘rganish Bernulli sxemasi uchun limit teoremalar muqarrarlik prinsipi va katta sonlar konuni о‘rganish Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalarini о‘rnanish. Bitiruv malakaviy ishning ilmiyligi va ahamiyati: Tasodifiy hodisalar, о‘z navbatida shunday empirik fenomenlarki, ular berilgan muayyan shartlar kompleksida quyidagicha xarakterlanadi va ular uchun deterministik doimiylik y о ‘q, ya’ni ular ustida olib borilgan kuzatishlar har doim ham bir xil natijaga olib kelmaydi Ehtimolliklar nazariyasining predmeti tasodifiy hodisalarni matematik analiz qilishdan iborat va ayni vaqtda ular statistik doimiylik xossasiga ega (bu holat chastotalarning statistik turg‘unligida namoyon bо‘ladi). Ehtimolliklar nazariyasining fan sifatida paydo bо‘lishi XVII asrning о‘rtalariga borib taqaladi va bu jarayon Paskal (1623–1662), Ferma (1601–1665), Gyuygens (1629–1695) kabi olimlarning nomlari bilan bog‘liq. Biroq, qimor о‘yinlarida yutish imkoniyatlarini hisoblash bilan bog‘liq ayrim masalalar ilgariroq, XV–XVI asrlarda italyan matematiklari (Kardano, Pacholi, Tartalya va boshqalar) tomonidan qaralgan. Bu kabi masalalarni yechishning dastlabki 3 umumiy usullari Paskal va Fermaning 1654 yilda boshlangan mashhur yozishmalarida va Gyuygensning 1657 yilda nashr etilgan, ehtimolliklar nazariyasi bо‘yicha birinchi kitob bо‘lgan, «De Ratiociniis in Aleae Ludo» («Qimor о‘yinlari hisoblari haqida») nomli kitobida bayon qilingan. Zamonaviy ehtimolliklar nazariyasi shakllanishining haqiqiy tarixi Y.Bernulli (1654–1705) tomonidan 1713 yilda chop etilgan «Ars Conjectandi» («Tasavvur san’ati») nomli ishidan boshlanadi. Bu ishda Bernulli ehtimolliklar nazariyasining birinchi limit teoremasi bо‘lgan katta sonlar qonunini bayon qiladi va uning tо‘liq isbotini beradi. Biroz keyinroq, 1730 yilda Muavr (1667–1754) chop etgan «Miscellanea Analytica Supplementum» (taxminiy tarjimasi «Analitik usullar» yoki «Analitik qorishma») nomli ishida ehtimolliklar nazariyasining markaziy limit teoremasi ilk bor simmetrik Bernulli sxemasi uchun bayon qilingan va isbotlangan. Ta’kidlash о‘rinliki, Y.Bernulli birinchi bо‘lib takroriy tajribalarning cheksiz ketma-ketligini qarashning muhim jihatligini sezgan (Bernulli sxemasining asosiy g‘oyasi) va hodisaning ehtimolligi bilan uning chastotasi orasidagi farqni aniq asoslagan. Muavrning ehtimolliklar nazariyasi taraqqiyotidagi xizmatlari shundan iboratki, u hodisalar uchun bog‘liqsizlik, matematik kutilma, shartli ehtimollik kabi tushunchalarni ta’riflagan. 1812 yilda Laplasning (1749–1827) «Theorie Analytique des Probabilités» («Ehtimolliklarning analitik nazariyasi») nomli yirik traktati nashrdan chiqdi. Bu asarda u о ‘zining va о ‘zidan oldingi olimlarning ehtimolliklar nazariyasi sohasidagi natijalarini e’lon qilgan. U, xususan, Muavr teoremasini Bernulli sxemasining umumiy holi uchun umumlashtirgan. Bu bilan Laplas Muavr natijasining ahamiyatini t о ‘la ochib bergan. Laplasning ehtimoliy usullarning xatoliklar nazariyasiga tadbiqlari b о ‘yicha ishlari ehtimolliklar nazariyasi rivojiga muhim hissa b о ‘lib q о ‘shildi. Bitiruv malakaviy ish ikkita bobdan iborat. Har bir bob paragraflarga b о ‘lingan. Birinchi bobda bog‘liqsiz tajribalar seriyasi qaralgan. Bu bob ikkita paragrafdan iborat b о ‘lib. Birinchi paragraf tasodifiy miqdorlar va ularning 4 taqsimotlariga bag‘ishlanadi, ikkinchi paragrafda Bernulli sxemasi qaralgan va Bernulli formulasi keltirib chiqarilgan. Bu bobda ikkita teorema isbotlangan. Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi b о ‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar soni ning toq sonda b о ‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi. Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu formula о ‘rinli. Ikkinchi teoremada ma’lum shartlar bajarilganda Bernulli taqsimotining tajribalar soni cheksiz ortganda, ya’ni da ushbu Puasson qonuniga yaqinlashishi isbotlangan. Ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonuniga bag‘ishlangan. Bu bobda Chebishev, Bernulli va Xinchin tipidagi katta sonlar qonuni о ‘rganiladi. Bu qonunning kuchaytirilgan varianti b о ‘lgan kuchaytirilgan katta sonlar qonuni tahlil etiladi. Muavr va Laplasning lokal hamda integral teoremalari о ‘rganiladi. Bunday teoremalar Muavr-Laplas teoremalari deb ataladi. Ushbu bobning asosiy natijalarini keltiramiz. Deyarli ravshanki, . Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada . Bu mulohazaning t о ‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о ‘z aksini topadi. Teorema 3.1. Ushbu 5 belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , b о ‘lsin. U holda nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о‘zgarishi uchun munosabat о ‘rinli. Quyidagi belgilashni kiritib olaylik: , Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning r о ‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning r о ‘y berish ehtimolligi b о ‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о ‘rinli: . Bitiruv malakaviy ishning natijalarini isbotlashda ehtimoliy asimptotik analiz usullaridan foydalanilgan. 6 I BOB BOG‘LIQSIZ TAJRIBALAR SERIYASI . 1.1. TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOTLARI Tajriba natijasiga k о ‘ra biror qiymatlar t о ‘plamidan tasodifiy ravishda bitta qiymat qabul qiladigan о ‘zgaruvchi miqdorga tasodifiy miqdor deb ataladi. Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar chekli yoki cheksiz ketma- ketlik k о ‘rinishida yozish mumkin b о ‘lsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi. Biror chekli yoki cheksiz sonli oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin b о ‘lgan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor deb ataladi. Diskret tasodifiy miqdorlar . X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb uning qabul qilishi mumkin b о ‘lgan barcha qiymatlari va mos ehtimolliklari majmuiga aytiladi. Har qanday tasodifiy miqdor о ‘zinnig taqsimot qonuni bilan bir qiymatli aniqlanadi. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval, formula yoki grafik k о ‘rinishida berilishi mumkin. Taqsimot qonunining nugtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqdan iborat grafigi taqsimot poligoni deyiladi. Agar X tasodifiy miqdor qiymatlarni mos ravishda ehtimolliklar bilan qabul qiladigan deskret tasodifiy miqdor b о ‘lsa, u holda uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: Bu yerda xi ning x dan kichik bо‘lgan qiymatlarining ehtimolliklari yig‘indisi olinadi. 7 Quyida X=( x1 x2 x3 x4 x5 p1 p2 p3 p4 p5) diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi kо‘rinishi keltirilgan: F (x)= { 0 x≤ x1 p1 x1<x≤ x2 p1+p2 x2<x≤ x3 p1+ p2+p3 x3<x≤ x4 p1+ p2+ p3+ p4 x4<x≤ x5 1 x>x5 X diskret tasodifiy miqdorning [a;b] oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi P(a≤ X≤b)= ∑ a≤xi≤b pi bо‘ladi. Tasodifiy miqdor funksiyasining taqsimot qonuni . Diskret hol . Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: - haqiqiy argumentning monoton funksiyasi b о ‘lsin. U holda tasodifiy miqdorning funksiyasi b о ‘lgan η= g(η) diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni: Uzluksiz hol. – taqsimot funksiyasi va zichlik funksiyasi bilan berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor bо‘lsin. - monoton о‘suvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha topiladi: Oxirgi tenglikni bо‘yicha differensiallab, quiydagini hosil qilamiz: , 8 bu tenglikdan uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi uchun formula kelib chiqadi: - monoton kamayuvchi funksiya, - unga teskari funksiya b о ‘lsin. U holda yuqoridagi mulohazalardan s о ‘ng quyidagi formulani hosil qilamiz:Fη(y)=Fξ(g−1(y)) ; . Shunday qilib, agar uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan b о ‘lib, differensiallanuvchi, monoton о ‘suvchi yoki monoton kamayuvchi funksiya va unga teskari funksiya b о ‘lsa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi tenglikdan aniqlanadi: Amaliyotda asosan - monoton funksiya b о ‘lgan holda q о ‘llaniladi. Agar - funksiya aniqlanish sohasida monoton b о ‘lmasa, u holda bu sohani funksiya monotonik oraliqlariga b о ‘linib, har bir monotonik oralig‘i uchun zichlik funksiyasini aniqlash va yig‘indi shaklida tasvirlash kerak b о ‘ladi. Ikki tasodifiy argument funksiyasi. Kompozitsiya formulasi. Agar tasodifiy miqdorning har bir juftligida biron tasodifiy miqdorning bitta qiymati mos kelsa, u holda ikki tasodifiy argument funksiyasi deyiladi. 2 ta bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indasining zichlik funksiyasi q о ‘shiluvchilarning zichlik funksiyalari va yordamida kompazitsiya formulasidan aniqlanadi: 9 yoki fX+Y(z)=∫ −∞ ∞ fY(y)fX(z− y)dy . Agar argumentlarning qiymatlar t о ‘plami manfiy b о ‘lmasa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi formuladan topiladi: yoki fX+Y(z)=∫ 0 z fY(y)fX(z− y)dy . 2 ta о ‘zaro bog‘liq b о ‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisi ning taqsimot funksiyasi quyidagi formuladan topiladi: 2 ta о‘zaro bog‘liq bо‘lmagan deskret tasodifiy miqdorlar uchun ham kompazitsiya formulasi mavjud: P(X +Y= Z)=∑ i P{X = xi}⋅P{Y= Z= xi}, bunda . Ikki tasodifiy miqdor sistemasi. Ikki о ‘lchovli tasodifiy miqdor orqali belgilanadi. Bunda va tasodifiy miqdorlarning har biri “tashkil etuvchilar” yoki “kompanentalar” deb, ular birgalikda esa “ikki tasodifiy miqdor sistemasi” deb ataladi. Ikki о ‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi formulaga aytiladi: Taqsimot funksiyasining xossalari: 1. 2. ikkala argumenti b о ‘yicha kamaymaydigan funksiya: agar y2>y1 b о ‘lsa; agar b о ‘lsa; 3. . 4. ; 10 5. tasodifiy nuqtaning uchlari da b о ‘lgan D t о ‘rtburchakka tushish ehtimolligi quyidagi formuladan topiladi: bu yerda . Ikki о‘lchovli deskret tasodifiy miqdor deb tashkil etuvchilari diskret bо‘lgan tasodifiy miqdorlar sistemasiga aytiladi. Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor deb tashkil etuvchilari uzluksiz bо‘lgan tasodifiy miqdorlar sistemasiga aytiladi. Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni deb ularning qabul qiluvchi qiymatlarining barcha juftliklari va bu juftliklarning ehtimolliklari kо‘rsatilgan jadvalga aytiladi. Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasining zichlik funksiyasi deb sistemaning taqsimot funksiyasidan olingan 2-tartibli aralash hosilasiga aytiladi: Zichlik funksiyasi xossalari: 1. . 2. . 3. . 4. tasodifiy nuqtaning uchlari da bо‘lgan D tо‘rtburchakka tushish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi: va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deyiladi, agar ulardan ixtiyoriy birining taqsimot qonuni ikkinchi tasodifiy miqdorning qanday qiymat qabul qilganiga bog‘lig bо‘lmasa. Teorema (2 tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishining zarur va yetarli sharti): Ikki va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishi uchun - Ikki 11 о‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi tashkil etuvchilari taqsimot funksiyalarining kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli: Natija: Ikki va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishi uchun - Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi tashkil etuvchilari zichlik funksiyalarining kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli: . Ikki va tashkil etuychilarning matematik kutilmasi va dispersiyasi hamda tasodifiy nuqtaning sohaga tushush ehtimolini topish formulalari quyidagi jadvalda keltirilgan:X va Y deskret tasodifiy miqdorlar X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlar sonlar va tasodifiy miqdorlarning о‘rtacha kvadratik chetlashishi deyiladi. nuqta - 2 о ‘lchovli tasodifiy miqdorning sochilish markazi deyiladi. 12 Diskret tasodifiy miqdorlar sistemasi tashkil etuvchilarning shartli taqsimot qonunlari . - 2 о ‘lchovli diskret tasodifiy miqdorni k о ‘rib chiqamiz. Tashkil etuvchilarning mumkin b о ‘lgan qiymatlari ; b о ‘lsin. U holda X tashkil etuvchilarning Y= yji sharti ostidagi shartli taqsimoti quyidagicha aniqlanadi: X P(X|Y=yji) =( x1 x2 … xn p(x1|yj) p(x2|yj) … p(xn|yj)) . p(xi|yj)= p(xi;yj) p(yj) - shartli ehtimollik formulasi yordamida hisoblanadi. Y tashkil etuvchilarning sharti ostidagi shartli taqsimoti ham shu kabi aniqlanadi: p(yi|xj)= p(xi;yj) p(xi) Uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi tashkil etuvchilarining shartli taqsimot qonunlari . - ikki о ‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi b о ‘lsin. X tashkil etuvchining Y= yji qiymatidagi shartli zichligi deb sistemaning birgalikdagi zichlik funksiyasining Y tashkil etuvchining zichlik funksiyasiga nisbatiga aytiladi: ϕ(x|y)= f(x,y) fY(y) = f(x,y) ∫−∞ ∞ f(x,y)dx . Y tashkil etuvchining shartli zichligi ham xuddi shunday hisoblanadi: ϕ(y|x)= f(x,y) fX(y) = f(x,y) ∫−∞ ∞ f(x,y)dx Quyidagi xossalarga о‘rinli:: ϕ(x|y)≥ 0, ϕ(y|x)≥ 0, ∫ −∞ ∞ ϕ(x|y)=1, ∫ −∞ ∞ ϕ(y|x)=1 13 14 1.2. BERNULLI SXEMASI Bog‘liqsiz tajribalar. Bernulli taqsimoti Faraz qilaylik muayyan shatrlarda ta bog‘liqsiz tajribalar о ‘tkazilayapti. Bu tajribalarning har birida ikki xil natija kutiladi: ehtimollik bilan «muvaffaqiyat» va ehtimollik bilan «muvaffaqiyatsizlik». Bunday tajribalar seriyasi Bernulli sxemasi deb ataladi. (Tajribalar seriyasida ishlatilayotgan «muvaffaqiyat» va «muvaffaqiyatsizlik» terminlari an’anaviy atamalar b о ‘lib, biz uchun ularning nomlaridan k о ‘ra tajriba natijalari muhim.) Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar sonini deb belgilasak, bu kattalik diskret ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor b о ‘ladi. Darhaqiqat, agar tajriba muvaffaqiyat bilan tugasa, , aks holda deymiz va vektorni qaraymiz. Bu vektorni chekli ehtimollik fazosining nuqtasi sifatida qaraymiz: . Bu nuqtaning berilishi barcha ta tajribaning natijalarini aniqlaydi va aksincha. Shunday qilib, miqdor tasodifiy tajriba natijasining funksiyasidir va . Endi ehtimollik fazosida ehtimollikni aniqlaymiz. Barcha ta tajriba о ‘zaro bog‘liqsiz va muvaffaqiyat ehtimolligi har bir tajribada bir xil ekanligidan , (1.1) bu yerda son tajribada natijaning ehtimolligidir; . Shartga k о ‘ra . 15 Demak, (1.1) formulaning о ‘ng tomonida ga teng k о ‘paytuvchilarning soni larning orasidagi birlar lar sonicha, ga teng k о ‘paytuvchilarning soni esa larning orasidagi nollar lar sonicha. YA’ni . (1.2) Yuqoridagi mulohazalar asosida tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlaymiz: (1.3) (1.2) formulaga k о ‘ra (1.3) tenglikning о ‘ng tomonidagi har bir q о ‘shiluvchi uchun tenglikka ega b о ‘lamiz. Bu q о ‘shiluvchilar soni esa roppa-rosa ta. Haqiqatdan ham ta komponentasi lardan va ta komponentasi lardan iborat bо‘lgan о‘lchovli vektorlar soni ga teng. Chunki bunday vektorlarning soni ularning komponentalarida ta birlarni joylashtirish orqali aniqlanadi va ma’lumki, birlarning joylari sondagi turli xil usul bilan tanlanishi mumkin. Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni . (1.4) Nyuton binomi formulasidan foydalansak, (1.4) formulaga k о ‘ra fuyidagiga ega b о ‘lamiz: . 16 Oxirgi tenglikni hosil qilishda biz ehtimollikning shartidan foydalandik. Unga kо‘ra . Shunday qilib, . (1.5) Yuqoridagi munosabatdan ekanligi kelib chiqadi. Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar sonining toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi. Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu formula о ‘rinli. Isbot. ehtimollikning ta’rifiga k о ‘ra, deyarli ravshanki, . (1.6) Nyuton binomi formulasiga k о ‘ra (1.7) Ikkinchi tomondan (1.5) tenglikni ushbu 17 (1.8) shaklda yozib olish mumkin. Yuqorida hosil qilingan (1.7) tenglikni ga k о ‘paytirib, (1.8) tenglikka hadlab q о ‘shsak, . Oxirgi tenglikda (1.6) formulani hisobga olsak, ushbu formulani hosil qilamiz. Teorema isbot b о ‘ldi. Biz о ‘rganayotgan ushbu formula Bernulli formulasi deb nomlanadi. Bu formulani har bir tajribada ehtimolligi о ‘zgarmas b о ‘lgan biror hodisaning ta bog‘liqsiz tajribalardan roppa-rosa tasida r о ‘y berish ehtimolligi sifatida talqin qilish mumkin. Bernulli formulasining sodda k о ‘rinishiga qaramasdan yetarlicha katta larda undan foydalanish birmuncha noqulayliklarni vujudga keltiradi. Bunday holga, ayniqsa, tayinlangan yetarlicha katta va larda hisoblash jarayonida emas, balki aniq ekstremal masalalarda duch kelamiz. Shu munosabat bilan muayyan shartlar bajarilganda ni hisoblashda taqribiy hisoblash usullari keng q о ‘llaniladi. Shu munosabat bilan keyingi paragrafda isbotlanadigan teoremada tajribalar soni yetarlicha katta b о ‘lganda har bir tajribada r о ‘y berish ehtimolligi juda kichik b о ‘lgan hodisalarning ehtimolligini hisoblash formulasi keltiriladi. Ehtimollikning asimptotasi. Dastlab bitta lemma isbotlaymiz. Lemma 1.1. Agar , , b о ‘lsa, ushbu (1.9) tengsizlik о ‘rinli. 18 Isbot. Matematik induksiya usulidan foydalanamiz. uchun (1.9) ning t о ‘g‘riligi ravshan. Faraz qilaylik, (1.9) tengsizlik biror uchun t о ‘g‘ri. Bu tengsizlikni uchun t о ‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Farazimizdan foydalanib, quyidagilarga ega b о ‘lamiz: Oxirgi tengsizlikni hosil qilishda biz shartdan foydalandik. Lemma isbot b о ‘ldi. Quyidagi teoremani isbotlashda yuqoridagi lemmadan foydalanamiz. Teorema 1.2. Bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyat ehtimolligi b о ‘lsin. Agar da va , , b о ‘lsa, u holda barcha sonlar uchun . (1.10) Isbot. Dastlab koeffitsiyentni tahlil qilaylik. Ta’rifga kо‘ra va faqat b о ‘lgan holni qarash bilan kifoyalanish mumkin. Ikkinchi tomondan Bu yerdan esa 19 . (1.11) Agar ni tayinlasak, (1.11) tenglikdan ekanligini hosil qilamiz. YA’ni, . Oxirgi munosabat shuni bildiradiki, yetarlicha katta bо‘lganda son о‘rniga sonni qarash mumkin. Quyida bunday approksimatsiyaning xatoligini baholaymiz. (1.11) tenglikning о‘ng tomonidagi kо‘paytmaga (1.9) tengsizlikni qо‘llab, quyidagini topamiz: Ikkinchi tomondan ravshanki, (1.11) tenglikning о ‘ng tomonidagi k о ‘paytuvchilarning har biri birdan kichik miqdorlar. Demak, . Oxirgi tengsizlikni miqdorga k о ‘paytirib, ushbu (1.12) tengsizliklarga ega b о ‘lamiz. Deyarli ravshanki, har bir tayinlangan uchun: ; (1.13) teorema shartlariga k о ‘ra 20 ; (1.14) . (1.15) Nihoyat, (1.16) Hosil qilingan (1.13) – (1.16) munosabatlardan foydalanib, (1.12) tengsizliklardan topamizki, . Teorema isbot b о ‘ldi. Teorema 1.2. da hosil qilingan asimptotik miqdor ehtimollik taqsimoti tashkil etadi. Haqiqatan ham . Agar diskret tasodifiy miqdor uchun b о ‘lsa, u Puasson taqsimoti bilan taqsimlanagn tasodifiy miqdor deyiladi. Shunday qilib, Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar soni asimptotik Puasson taqsimoti bilan taqsimlangan miqdorga yaqinlashar ekan. Shuning uchun ibotlanagn Teorema 1.2 ehtimolliklar nazariyasida Puasson teoremasi deb nomlanadi. 21 II bob LIMIT TEOREMALAR 2.1. MUQRRARLIK PRINSIPI VA KATTA SONLAR QONUNI Muqarrarlik prinsipi va ommaviy tajribalar . Biror tasodifiy hodisani kuzatar ekanmiz, ehtimolligi aniq b о ‘lgan holda ham, uning bitta tajribada r о ‘y berish yoki bermasligi haqida aniq xulosa berish mumkin emas. (Bu holda va b о ‘lgan hollar istisno etiladi.) Ta’kidlash о ‘rinliki, agar ehtimollik birga yaqin b о ‘lsa, u holda teskari hodisaning ehtimolligi nolga yaqin b о ‘ladi; shunday qilib, bir hol boshqasiga keltirib olinishi mumkin. Agar ehtimollik juda kichik son b о ‘lsa, qaralayotgan yagona tajribada hodisaning r о ‘y bermasligini tasdiqlash mumkin. Shu nuqtai nazaridan muqarrar hodisalar amaliy muqarrar hodisalar deb hisoblanadi. Shunday qilib, amaliyotda quyidagi prinsipga asoslanish mumkin: agar hodisaning ehtimolligi birga yaqin b о ‘lsa, u holda amaliyotda yagona tajribada shunga ishonch bilan qarash mumkinki, hodisa albatta r о ‘y beradi. Demak, ehtimolliklar nazariyasining amaliy tadbiqlarida ehtimolligi nolga yoki birga yaqin b о ‘lgan hodisalar alohida va muhim ahamiyatga ega. Muvaffaqiyat ehtimolligi b о ‘lgan Bernulli tajribalarining cheksiz ketma- ketligini qaraylik. tasodifiy miqdor dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar 22 sonini bildirsin. U holda miqdor bu tajribalarda muvaffaqiyatlar chastotasini ifodalaydi. Klassik sxemaga k о ‘ra ning miqdori cheksiz oshganda bu chastota ehtimollikka yaqinlashadi: . (2.1) Bu taqribiy tenglikning chap tomoni tasodifiy miqdor, о ‘ng tomoni esa aniq son. Endi bu yaqinlashishning aniq ma’nosini topish masalasi paydo b о ‘ladi. Bu masalaning yechimini biroz keyinroqqa qoldirib shuni ayta olamizki, oshgan sari muvaffaqiyatlar chastotasi ning (qaysidir ma’noda) ehtimollikka yaqinlashib borish hodisasi amaliy muqarrar hodisadir. Yuqoridagi misolda biz ommaviy tajribalar bilan ish k о ‘rdik. Shunday qilib, muqarrarlik prinsipi alohida tajribalar bilan emas, ommaviy tajribalar bilan ish k о ‘rganda о ‘rinli b о ‘lar ekan. Nazariya esa hech qachon tajribalar natijalariga asoslanmaydi, balki u (2.1) tipidagi tasdiqlarning aniq mohiyatini ochib berish, bunday tasdiqlarning bajarilishini ta’minlovchi shartlarni о ‘rnatish, va oqibatda bu tasdiqlarni amaliyotga tadbiq etish imkoniyatlarini ta’minlashni maqsad qiladi. Ushbu bobda asosida muqarrarlik prinsipi yotuvchi bir muhim ehtimoliy qonuniyatni о ‘rganamiz. Bu qonuniyat ehtimolliklar nazariyasida katta sonlar qonuni deb nomlanadi. Chebishev tengsizligi. Bu paragrafda biz bitta yordamchi tengsizlikni о ‘rganamiz. Bu tengsizlik Chebishev tengsizligi deb nomlanadi. Teorema 2.1. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega b о ‘lsin. U holda miqdorni matematik kutilmasidan chetlashishi absolyut qiymatining oldindan berilgan har qanday musbat sondan katta b о ‘lish ehtimolligi miqdordan kichik, ya’ni 23 . (2.2) Isbot. Qaralayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini deb belgilaylik: . U holda tasodifiy miqdor dispersiyasining ta’rifiga k о ‘ra . Ixtiyoriy musbat soni olib, integrallash sohasini quyidagicha ikki qismga ajratamiz: . Aniq integralning xossasidan foydalansak, . Bu tengsizlikda integrallash sohasi va va . (2.3) (2.3) munosabatni hosil qilishda biz . ekanligidan foydalandik. Teorema isbot b о ‘ldi. Izoh. Agar (2.2) tengsizlikda desak, u holda va tengsizlik quyidagi k о ‘rinishga keladi: . (2.4) Yuqoridagi Teorema 2.1 ning isboti jarayoniga e’tibor qaratsak, shu narsaga ishonch qilamizki, (2.4) tengsizlik chekli dispersiyaga (va demak, kvadrati chekli 24 matematik kutilishga) ega b о ‘lgan har qanday tasodifiy miqdor uchun о ‘rinli. Bu holda miqdor , k о ‘rinishda b о ‘lishi shart emas. Shunday qilib, biz Chebishev tengsizligining quyidagi umumlashmasiga ega b о ‘lamiz. Teorema 2.2. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorning kvadrati chekli matematik kutilmaga ega, ya’ni b о ‘lsin. U holda miqdor absolyut qiymatining oldindan berilgan har qanday musbat sondan katta b о ‘lish ehtimolligi miqdordan kichik, ya’ni (2.4) tengsizlik о ‘rinli. Agar (2.4) tengsizlikda desak, b о ‘lganda (2.2) tengsizlikka kelamiz. Shuning uchun biz bundan keyin (2.4) munosabatni ham Chebishev tengsizligi deb ataymiz. Teorema 2.3 (Chebishevning katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida juft-jufti bilan bog‘liqsiz b о ‘lgan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan b о ‘lib, bu miqdorlarning dispersiyalari tekis chegaralangan, ya’ni biror о ‘zgarmas soni topilib, , b о ‘lsin. Ushbu tasodifiy miqdor uchun tuzilgan ketma-ketlik da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi: . (2.5) Isbot. Taqsimot b о ‘yicha yaqinlashishning ma’nosi shuki, har qanday soni uchun . Teorema shartiga k о ‘ra tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liqsiz va shunday о ‘zgarmas soni topiladiki, . U holda dispersiyaning xossalariga k о ‘ra quyidagi munosabatlarga ega b о ‘lamiz: 25 Demak, teorema shartlarida . Bu baho va (2.2) shakldagi Chebishev tengsizligini birgalikda qarasak, . Deyarli ravshanki, har qanday tayinlangan son uchun . Shuning uchun . Oxirgi yaqinlashish (2.5) tasdiqqa teng kuchli. Teorema isbot b о ‘ldi. Quyidagi tasdiqni Teorema 2.4. ning xususiy holi sifatida qaraymiz. Teorema 2.4. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, ular chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega b о ‘lsin. Ushbu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi, ya’ni . Darhaqiqat , Ushbu holda ham Teorema 2.3. ning barcha shartlari bajariladi va 26 . Shuning uchun . Oxirgi munosabat teorema tasdig‘iga teng kuchli. Teorema isbot b о ‘ldi. Teorema 2.5 (Bernullining katta sonlar qonuni). Muvaffaqiyat ehtimolligi b о ‘lgan Bernulli tajribalari seriyasida tasodifiy miqdor mqvaffaqiyatlar sonini ifodalasin. U holda tajribalar sonining cheksiz oshishi bilan muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi taqsimot b о ‘yicha ehtimollikka yaqinlashadi, ya’ni . Isbot. Ushbu tasodifiy miqdor tajribada muvaffaqiyatga erishilsa, bir qiymatni, aks holda nol qiymatni qabul qilsin. U holda deyarli ravshanki, , , va . Bu yig‘indidagi miqdorlar о ‘zaro bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega. U holda miqdor uchun . Shunday qilib, Teorema 2.4 ning barcha shartlari bajariladi. Va bu teoremaning tasdig‘iga k о ‘ra 27 . Teorema isbot b о ‘ldi. Shunday qilib, yuqorida isbotlangan Bernullining katta sonlar qonuni (Teorema 2.5) Teorema 2.4 ning va demak, Chebishev katta sonlar qonunining (Teorema 2.3) xususiy holi ekan. Quyida biz Xinchinning katta sonlar qonunini isbotsiz keltiramiz. Teorema 2.6 (Xinchinning katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, ular chekli matematik kutilmaga ega b о ‘lsin. U holda ushbu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi, ya’ni . Katta sonlar qonuni ehtimolliklar nazariyasining tadbiqlari bilan bog‘liq masalalarda muhim amaliy ahamiyatga ega. Bu qonun (2.1) k о ‘rinishidagi taqribiy formulalarga yanada aniqroq ma’no berish imkonini beradi. Bundan tashqari katta sonlar qonuni (2.6) arifmetik о ‘rta qiymatning ehtimoliy ma’nosini ochib beradi. Darhaqiqat, ushbu miqdorlar biror о ‘zgarmas fizik miqdorni marta bog‘liqsiz о ‘lchashlar natijalari b о ‘lsin. Bu miqdorlarning har biri soni va о ‘lchashlarning biror tasodifiy xatoliklari yig‘indisidan iborat. Shuning uchun ular tasodifiy miqdorlardir. Amaliy masalalarda miqdorning taqribiy qiymati sifatida har doim marta bog‘liqsiz о ‘lchashlar natijalarining (2.6) k о ‘rinishidagi о ‘rta arifmetik qiymati olinadi, ya’ni 28 . (2.7) Tabiiyki, qaralayotgan tasodifiy miqdorlar о ‘zaro bog‘liqsiz va bir xil taqsimlanagan. Faraz qilaylik (bu sistematik xatolar y о ‘qligi haqidagi gipoteza) va (yuqoridagi Teorema 2.6 da biz bu shartning ortiqcha ekanligini k о ‘ramiz) b о ‘lsin. U holda о ‘lchash natijalariga nisbatan Teorema 2.4 yoki Teorema 2.6 tasdiqlarini tadbiq etish mumkin. Bu teoremalar natijalariga kо‘ra har qanday tayinlangan son uchun yoki . Shunday qilib, tayinlangan soni qanday bо‘lmasin, nomer yetarlicha katta bо‘lganda tengsizlikning ehtimolligi birga istalgancha yaqin boradi, yoki ushbu hodisani tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda amaliy muqarrar hodisa deb hisoblash mumkin. Yuqoridagi (2.7) taqribiy tenglik aynan shu ma’noda talqin etilishi lozim. Xuddi shunga о‘xshash (2.1) kо‘rinishidagi taqribiy tenglikni ham tahlil etish mumkin. Bu tenglikka, Teorema 2.5 ga k о ‘ra, quyidagicha ma’no beramiz: har qanday tayinlangan son olinganda ham ushbu hodisa tajribalar soni yetarlicha katta b о ‘lganda amaliy muqarrar hodisadir. Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni haqida. Oldingi paragrafda о ‘rganganimiz Bernullining katta sonlar qonuniga k о ‘ra marta о ‘tkazilgan о ‘zaro bog‘liqsiz tajribalarda muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi tajribalar soni 29 yetarlicha katta b о ‘lganda ehtimollikka taqsimot b о ‘yicha yaqinlashadi, ya’ni . О ‘z navbatida ma’lumki, taqsimot b о ‘yicha yaqinlashishdan birga teng ehtimollik b о ‘yicha yaqinlashish kelib chiqmaydi. Shuning uchun Bernulli teoremasidan ekanligi kelib chiqmaydi. Boshqacha aytganda tenlik birga teng ehtimollik bilan bajarilmaydi. Umuman olganda, biror ketma-ketlikning miqdorga taqsimot b о ‘yicha yaqinlashishi hech bir uchun limitning mavjud b о ‘lmasligini istisno etmaydi. Biroq katta sonlar qonunida biz mutlaqo boshqacha holatni k о ‘ramiz. YA’ni, taqsimot b о ‘yicha yaqinlashish birga teng ehtimollik b о ‘yicha yaqinlashish bilan almashtirilsa, oxirgi uchta teorema tasdig‘i о ‘z kuchida qoladi. Shu tariqa hosil qilingan tasdiqlar Teorema 2.4, 2.5, 2.6 larning kuchaytirilgan variantlaridir. Haqiqatan, ma’lumki, deyarli yaqinlashishdan taqsimot b о ‘yicha yaqinlashish kelib chiqadi; teskari tasdiq о ‘rinli emas. Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni deganda umumiy nomdagi katta sonlar qonuni nomi bilan ataluvchi teoremalarning yuqorida keltirilgan ma’nodagi kuchaytirilishi orqali hosil qilingan teoremalar guruhini tushunamiz. Quyida bunday teoremalarning ayrimlarini isbotsiz keltiramiz. Teorema 2.7 (Kolmogorovning kuchaytirilgan katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, ular chekli matematik kutilmaga ega b о ‘lsin. U holda ushbu 30 tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da songa birga teng ehtimollik bо‘yicha yaqinlashadi, ya’ni . Keltirilgan teorema Xinchin katta sonlar qonunining kuchaytirilganidir. Demak Xinchin teoremasi Kolmogorov teoremasidan kelib chiqadi. Eslatib о ‘tamizki, yuqorida olingan barcha teoremalarda qaralayotgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan b о ‘lib, matematik kutilmaning chekli ekanligi talab qilindi. Oxirgi shartdan voz kechilgan boshqa holni qaraylik. tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan b о ‘lib, matematik kutilma cheksiz, ya’ni b о ‘lsin. Bu holda ham Kolmogorovnining kuchaytirilgan katta sonlar qonuni quyidagi k о ‘rinishda о ‘rinli. Teorema 2.8. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, ular cheksiz matematik kutilmaga ega b о ‘lsin, ya’ni . U holda ushbu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da ga birga teng ehtimollik bо‘yicha yaqinlashadi, ya’ni . Agar shartdan voz kechib, deb hisoblasak, bu hol uchun Teorema 2.8 ning natijasi sifatida Xinchinning kuchaytirilan katta sonlar qonuni kelib chiqadi. 31 32 2.2. MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL TEOREMALARI Lokal limit teorema . Biz Teorema 1.2 da Bernulli formulasining tayinlangan har bir uchun da asimptotik k о ‘rinishini hosil qilgan edik. Ushbu paragrafda b о ‘lgan holni qaraymiz va Bernulli formulasining asimptotik holatini о ‘rganamiz. Yuqorida ta’kidlab о ‘tilganidek, , va faqat b о ‘lgan holni qarash bilan kifoyalanish mumkin. Ushbu belgilashlarni kiritamiz va matematik analizdan ma’lum b о ‘lgan ushbu Stirling formulasidan foydalanamiz. Bu formulaga k о ‘ra Bu tenglikdan (3.1) Ravshanki, (3.1) formuladagi 33 ifodani nomer yetarlicha katta b о ‘lganda bir bilan almashtirish mumkin. Shuning uchun bu formuladan (3.2) munosabatni yoza olamiz. Bundan keyin (3.2) formulada va sonlarni tayinlangan deb hisoblaymiz. Bu formulada har doim , hamda faqat va b о ‘lganda . Haqiqatan ham bu ifodaning logarifmi . Uni b о ‘yicha differensiallasak, . (3.3) Oxirgi tenglikning о ‘ng tomoni musbat b о ‘lishi uchun tengsizlik bajarilishi zarur. Bu tengsizlikni shaklida yozib olamiz va uni soddalashtirgandan s о ‘ng munosabatni olamiz. Xuddi shu kabi (3.3) tenglikning о ‘ng tomoni manfiy b о ‘lishi uchun b о ‘lishini topamiz. Shunday qilib, nuqtada 34 va agar butun son deb faraz qilsak, (3.2) formuladan ekanligini kо‘ramiz. YA’ni dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni bо‘lish ehtimolligi tajribalar soni cheksiz ortganda tartibda nolga yaqinlashib boradi. Agarda miqdor tayinlangan va b о ‘lsa, yuqorida ta’kidlanganidek, . Bu holda (3.2) formula shuni bildiradiki, ehtimollik da geometrik progressiya tezligida nolga intiladi. Ravshanki, . Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada . Bu mulohazaning t о ‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о ‘z aksini topadi. Teorema 3.1. Ushbu belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , b о ‘lsin. U holda nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о ‘zgarishi uchun 35 (3.4) munosabat о ‘rinli. Isbot. Teorema shartiga k о ‘ra . U holda belgilashimizga kо‘ra va . Demak, (3.2) munosabatda nisbiy xatolik bо‘yicha da nolga tekis yaqinlashadi. О‘z navbatida (3.5) va . (3.6) Oxirgi ikkita tengliklardan va . Shunday qilib, (3.2) munosabatda k о ‘paytma nomer cheksiz ortishi bilan miqdorga yaqinlashib boradi, ya’ni 36 . (3.7) Endi (3.2) formuladagi ikkinchi k о ‘paytmani (3.8) shaklda yozib olamiz hamda dastlab va miqdorlarni tahlil qilamiz. Funksiyaning Teylor qatoriga yoyish haqidagi teoremaga k о ‘ra . Bu formuladan hamda (3.5) va (3.6) tengliklardan foydalanib, ushbu (3.9) va (3.10) tengliklarni hosil qilamiz. Yuqoridagi (3.8)–(3.10) munosabatlarni birgalikda qarasak, belgilashlarimizga k о ‘ra, 37 Elementar almashtirishlardan sung oxirgi formuladan quyidagi asmptotik formulaga kelamiz: . (3.11) (3.2), (3.7) va (3.11) munosabatlarni birgalikda qarasak, yaqinlashishga kelamiz. Bu esa (3.4) munosabatga teng kuchli. Teorema isbot b о ‘ldi . Laplasning integral teoremasi. Eslatib о ‘tamizki, Bernulli sxemasida dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni va bu sonning ga yetng b о ‘lish ehtimolligi . Yuqorida isbotlangan Teorema 3.1 bizga ehtimollikning nomer cheksiz oshgandagi holatini baholash imkonini beradi. Boshqacha aytganda, bu teorema ehtimollikning lokal xossalarini xarakterlaydi. Ushbu paragrafda biz miqdorning taqsimot funksiyasini о ‘rganamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritib olaylik: 38 , , . Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning r о ‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning r о ‘y berish ehtimolligi b о ‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о ‘rinli: . Isbot. Deyarli ravshanki, , (3.12) bu yerda xuddi yuqoridagi kabi . Agar deb belgilasak, va belgilashlarimizga k о ‘ra , bu yerda har qanday uchun . Oxirgi tenglikdan (3.12) formulada foydalansak, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi tayinlangan va sonlari uchun 39 (3.13) bu yerda , . Dastlab ifodani baholaylik. Ravshanki, b о ‘lganda va Rimanning integral yig‘indisi xossasiga k о ‘ra . (3.14) Endi hadni baholaymiz. Bizga ma’lumki, har qanday uchun . (3.15) (3.14) va (3.15) munosabatlardan foydalanib, topamiz: Oxirgi munosabatni (3.13) va (3.14) tasdiqlar bilan birgalikda qarasak, 40 (3.16) yaqinlashishning t о ‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Endi (3.16) natijaning uchun ham t о ‘g‘ri ekanligini k о ‘rsatib, teorema isbotini yakunlaymiz. (3.15) tengsizlikka k о ‘ra har qanday uchun chekli soni shunday katta tanlab olish mumkinki, tengsizlik bajariladi. U holda . (3.17) О‘z navbatida (3.16) yaqinlashishga kо‘ra о‘sha soni bо‘yicha nomerni shunday katta tanlab olish mumkinki, barcha va uchun . (3.18) Ravshanki, . Shuning uchun yana о ‘sha soniga k о ‘ra chekli sonini shunday katta tanlab olish mumkinki, tengsizlik bajariladi. Demak, . (3.19) Oxirgi tengsizlikda va 41 . Shunday qilib, uchun (3.17)–(3.19) baholardan foydalanib, quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz: Bu yerdan ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Teorema isbot b о ‘ldi. 42 XULOSA Bitiruv malakaviy ish ehtimolliklar nazariyasining klassik sxemasi b о ‘lgan Bernulli bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyatlar taqsimotining asimptotik xossalarini о ‘rganishga bag‘ishlangan. Ishning asosiy mazmuni referativ xarakterda b о ‘lsada, unda keltirilgan Teorema 1.1 yangi natijadir. Ishning mazmuni ikkita bobda bayon etilgan. Birinchi bobda Bernulli sxemasining asosiy g‘oyasi va bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligida hodisa r о ‘y berish ehtimolligi uchun formula keltirib chiqarilgan. Bu formulani biz Bernulli formulasi deb ataymiz. Bernulli formulasi ehtimolliklar nazariyasining klassik formulalaridan biri b о ‘lib, u nisbatan kichik sondagi tajribalar seriyasida hodisa ehtimolligini bevosita hisoblash imkonini beradi. Xususan, birinchi bobda isbotlanagn Teorema 1.1 da muvaffaqiyatlar sonining toq sonda b о ‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beruvchi formula keltirilgan. Biroq, tajribalar soni ortgan sari bu formulani q о ‘llashdagi hisob-kitoblar hajmi ortib boradi va buning natijasida mazkur formula uchun asimptotik k о ‘rinishni topish zaruriyati paydo b о ‘ladi. Birinchi bobda isbotlanagn Teorema 1.2 da bunday asimptotik k о ‘rinish olingan. Bu teoremaga k о ‘ra tajribalar soni cheksiz ortganda tayinlangan sondagi muvaffaqiyatlar ehtimolligining taqsimoti Puasson qonuniga b о ‘ysunishi isbotlangan. Puasson qonuni, о ‘z navbatida diskret taqsimot qonuni xisoblanib, bu qonun ehtimolliklar nazariyasining q о ‘llanilishlari bilan bog‘liq qator masalalarda muhim tadbiqlarga ega. Bernulli sxemasining g‘oyasiga k о ‘ra hodisa chastotasining statistik turg‘unligi xossasi tajribalar soni yetarlicha katta b о ‘lganda namoyon b о ‘ladi. Bunday qonuniyatni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni deb nomlanadi. Katta sonlar qonuni ehtimolliklar nazariyasi tarixida isbotlanagn birinchi 43 teoremadir. Bitiruv malakaviy ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonunining turli xil variantlarini о ‘rganishga bag‘ishlangan. Ishning asosiy mazmuni quyidagi natijalarda о ‘z aksini topgan. Teorema 1.1. Bernulli sxemasida ta tajribada muvaffaqiyatlar soni ning toq sonda b о ‘lishi ehtimolligi , uchun ushbu formula о‘rinli. Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning rо‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning rо‘y berish ehtimolligi bо‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о‘rinli: . Bitiruv malakaviy ishdan amaliy masalalarni yechishda va tasodifiy miqdorlar yig‘indilarining asimptotik xossalarini о‘rganishda foydalanish mumkin. 44 ADABIYOTLAR RО‘YXATI 1. A.A.Borovkov. Teoriya veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1986. 2. A.N.Shiryayev. Veroyatnost. Moskva, «Nauka», 1980. 3. B.V.Gnedenko. Kurs teorii veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1969. 4. V.Feller. Vvedeniye v teoriyu veroyatnostey i yeye prilojeniY. T. 1,2. Moskva, «Mir», 1984. 5. G.M.Fixtengols. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniY. T.1,2,3. Moskva, «Nauka», 1970. 6. A.A.Abdushukurov, T.A.Azlarov, A.A.Djamirzayev «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar t о‘ plami» Toshkent, «Universitet», 2003 y. 45
Купить