Bernulli sxemasi uchun limit teoremalar muqarrarlik prinsipi va katta sonlar qonuni - Алгебра - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	45000UZS
Размер	715.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	28 Март 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Rajabov Yorbek

Дата регистрации 19 Март 2026

0 Продаж

Bernulli sxemasi uchun limit teoremalar muqarrarlik prinsipi va katta sonlar qonuni

Купить

KIRISH
Bitiruv malakaviy ishning dolzarbligi: Bernulli sxemasi uchun klassik
limit teoremalar о ‘rgani sh va ishda Y.Bernullining katta sonlar qonuni va uning
turli xil umumlashmalari, Muavr va Laplas tomonidan olingan klassik natijalar
о ‘rgani sh .
Bitiruv malakaviy ishning maqsadi: Bernulli sxemasi uchun limit
teoremalarni va katta sonlar konuni, Muavr-Laplasning lokal limit va
integral teoremalari о‘rganishdan iborat
Bitiruv malakaviy ishning vazifasi:
Bog‘liqsiz tajribalar seriyasini tasodifiy miqdorlar va ularning
taqsimotlari о‘rganish
Bernulli sxemasi uchun limit teoremalar muqarrarlik prinsipi va
katta sonlar konuni о‘rganish
Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalarini о‘rnanish.
Bitiruv malakaviy ishning ilmiyligi va ahamiyati:
Tasodifiy hodisalar, о‘z navbatida shunday empirik fenomenlarki, ular
berilgan muayyan shartlar kompleksida quyidagicha xarakterlanadi va
ular uchun deterministik doimiylik y о ‘q, ya’ni ular ustida olib borilgan kuzatishlar
har doim ham bir xil natijaga olib kelmaydi
Ehtimolliklar nazariyasining predmeti tasodifiy hodisalarni matematik analiz
qilishdan iborat va ayni vaqtda ular statistik doimiylik xossasiga ega (bu holat
chastotalarning statistik turg‘unligida namoyon bо‘ladi).
Ehtimolliklar nazariyasining fan sifatida paydo bо‘lishi XVII asrning
о‘rtalariga borib taqaladi va bu jarayon Paskal (1623–1662), Ferma (1601–1665),
Gyuygens (1629–1695) kabi olimlarning nomlari bilan bog‘liq. Biroq, qimor
о‘yinlarida yutish imkoniyatlarini hisoblash bilan bog‘liq ayrim masalalar
ilgariroq, XV–XVI asrlarda italyan matematiklari (Kardano, Pacholi, Tartalya va
boshqalar) tomonidan qaralgan. Bu kabi masalalarni yechishning dastlabki
3

umumiy usullari Paskal va Fermaning 1654 yilda boshlangan mashhur
yozishmalarida va Gyuygensning 1657 yilda nashr etilgan, ehtimolliklar nazariyasi
bо‘yicha birinchi kitob bо‘lgan, «De Ratiociniis in Aleae Ludo» («Qimor о‘yinlari
hisoblari haqida») nomli kitobida bayon qilingan.
Zamonaviy ehtimolliklar nazariyasi shakllanishining haqiqiy tarixi
Y.Bernulli (1654–1705) tomonidan 1713 yilda chop etilgan «Ars Conjectandi»
(«Tasavvur san’ati») nomli ishidan boshlanadi. Bu ishda Bernulli ehtimolliklar
nazariyasining birinchi limit teoremasi bо‘lgan katta sonlar qonunini bayon qiladi
va uning tо‘liq isbotini beradi. Biroz keyinroq, 1730 yilda Muavr (1667–1754)
chop etgan «Miscellanea Analytica Supplementum» (taxminiy tarjimasi «Analitik
usullar» yoki «Analitik qorishma») nomli ishida ehtimolliklar nazariyasining
markaziy limit teoremasi ilk bor simmetrik Bernulli sxemasi uchun bayon qilingan
va isbotlangan.
Ta’kidlash о‘rinliki, Y.Bernulli birinchi bо‘lib takroriy tajribalarning cheksiz
ketma-ketligini qarashning muhim jihatligini sezgan (Bernulli sxemasining asosiy
g‘oyasi) va hodisaning ehtimolligi bilan uning chastotasi orasidagi farqni aniq
asoslagan. Muavrning ehtimolliklar nazariyasi taraqqiyotidagi xizmatlari shundan
iboratki, u hodisalar uchun bog‘liqsizlik, matematik kutilma, shartli ehtimollik kabi
tushunchalarni ta’riflagan.
1812 yilda Laplasning (1749–1827) «Theorie Analytique des Probabilités»
(«Ehtimolliklarning analitik nazariyasi») nomli yirik traktati nashrdan chiqdi. Bu
asarda u о ‘zining va о ‘zidan oldingi olimlarning ehtimolliklar nazariyasi
sohasidagi natijalarini e’lon qilgan. U, xususan, Muavr teoremasini Bernulli
sxemasining umumiy holi uchun umumlashtirgan. Bu bilan Laplas Muavr
natijasining ahamiyatini t о ‘la ochib bergan. Laplasning ehtimoliy usullarning
xatoliklar nazariyasiga tadbiqlari b о ‘yicha ishlari ehtimolliklar nazariyasi rivojiga
muhim hissa b о ‘lib q о ‘shildi.
Bitiruv malakaviy ish ikkita bobdan iborat. Har bir bob paragraflarga
b о ‘lingan. Birinchi bobda bog‘liqsiz tajribalar seriyasi qaralgan. Bu bob ikkita
paragrafdan iborat b о ‘lib. Birinchi paragraf tasodifiy miqdorlar va ularning
4

taqsimotlariga bag‘ishlanadi, ikkinchi paragrafda Bernulli sxemasi qaralgan va
Bernulli formulasi keltirib chiqarilgan. Bu bobda ikkita teorema
isbotlangan. Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi b о ‘yicha ta tajribada
muvaffaqiyatlar soni ning toq sonda b о ‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini
beradi.
Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu
formula о ‘rinli.
Ikkinchi teoremada ma’lum shartlar bajarilganda Bernulli taqsimotining
tajribalar soni cheksiz ortganda, ya’ni da ushbu
Puasson qonuniga yaqinlashishi isbotlangan.
Ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonuniga bag‘ishlangan. Bu bobda
Chebishev, Bernulli va Xinchin tipidagi katta sonlar qonuni о ‘rganiladi. Bu
qonunning kuchaytirilgan varianti b о ‘lgan kuchaytirilgan katta sonlar qonuni tahlil
etiladi.
Muavr va Laplasning lokal hamda integral teoremalari о ‘rganiladi. Bunday
teoremalar Muavr-Laplas teoremalari deb ataladi. Ushbu bobning asosiy
natijalarini keltiramiz. Deyarli ravshanki,
.
Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada
.
Bu mulohazaning t о ‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о ‘z aksini topadi.
Teorema 3.1. Ushbu
5

belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , b о ‘lsin. U holda
nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о‘zgarishi uchun
munosabat о ‘rinli.
Quyidagi belgilashni kiritib olaylik:
,
Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning
r о ‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning r о ‘y berish
ehtimolligi b о ‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о ‘rinli:
.
Bitiruv malakaviy ishning natijalarini isbotlashda ehtimoliy asimptotik
analiz usullaridan foydalanilgan.
6

I BOB
BOG‘LIQSIZ TAJRIBALAR SERIYASI
.
1.1. TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOTLARI

Tajriba natijasiga k о ‘ra biror qiymatlar t о ‘plamidan tasodifiy ravishda bitta
qiymat qabul qiladigan о ‘zgaruvchi miqdorga tasodifiy miqdor deb ataladi.
Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar chekli yoki cheksiz ketma-
ketlik k о ‘rinishida yozish mumkin b о ‘lsa, bunday tasodifiy miqdor diskret
tasodifiy miqdor deyiladi.
Biror chekli yoki cheksiz sonli oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi
mumkin b о ‘lgan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor deb ataladi.
Diskret tasodifiy miqdorlar . X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb
uning qabul qilishi mumkin b о ‘lgan barcha qiymatlari va mos
ehtimolliklari majmuiga aytiladi. Har qanday tasodifiy miqdor о ‘zinnig
taqsimot qonuni bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval, formula yoki grafik
k о ‘rinishida berilishi mumkin.
Taqsimot qonunining nugtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqdan
iborat grafigi taqsimot poligoni deyiladi.
Agar X tasodifiy miqdor qiymatlarni mos ravishda
ehtimolliklar bilan qabul qiladigan deskret tasodifiy miqdor b о ‘lsa, u holda uning
taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:
Bu yerda
xi ning x dan kichik bо‘lgan qiymatlarining ehtimolliklari
yig‘indisi olinadi.
7

Quyida X=(
x1 x2 x3 x4 x5
p1 p2 p3 p4 p5) diskret tasodifiy miqdorning taqsimot
funksiyasi kо‘rinishi keltirilgan:
F (x)=
{
0 x≤ x1
p1 x1<x≤ x2
p1+p2 x2<x≤ x3
p1+ p2+p3 x3<x≤ x4
p1+ p2+ p3+ p4 x4<x≤ x5
1 x>x5
X
diskret tasodifiy miqdorning [a;b] oraliqdan qiymat qabul qilish
ehtimolligi
P(a≤ X≤b)= ∑
a≤xi≤b
pi bо‘ladi.
Tasodifiy miqdor funksiyasining taqsimot qonuni . Diskret hol . Diskret
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:
- haqiqiy argumentning monoton funksiyasi b о ‘lsin. U holda
tasodifiy miqdorning funksiyasi b о ‘lgan
η= g(η) diskret tasodifiy miqdorning
taqsimot qonuni:
Uzluksiz hol. – taqsimot funksiyasi va zichlik funksiyasi
bilan berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor bо‘lsin. - monoton о‘suvchi
funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda uzluksiz
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha topiladi:
Oxirgi tenglikni bо‘yicha differensiallab, quiydagini hosil qilamiz:
,
8

bu tenglikdan uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi uchun
formula kelib chiqadi:
- monoton kamayuvchi funksiya, - unga teskari funksiya
b о ‘lsin. U holda yuqoridagi mulohazalardan s о ‘ng quyidagi formulani hosil
qilamiz:Fη(y)=Fξ(g−1(y))
; .
Shunday qilib, agar uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi
bilan berilgan b о ‘lib, differensiallanuvchi, monoton о ‘suvchi yoki
monoton kamayuvchi funksiya va unga teskari funksiya b о ‘lsa, u
holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi tenglikdan
aniqlanadi:
Amaliyotda asosan - monoton funksiya b о ‘lgan holda q о ‘llaniladi.
Agar - funksiya aniqlanish sohasida monoton b о ‘lmasa, u holda bu
sohani funksiya monotonik oraliqlariga b о ‘linib, har bir monotonik oralig‘i uchun
zichlik funksiyasini aniqlash va yig‘indi shaklida tasvirlash
kerak b о ‘ladi.
Ikki tasodifiy argument funksiyasi. Kompozitsiya formulasi. Agar
tasodifiy miqdorning har bir juftligida biron tasodifiy miqdorning bitta
qiymati mos kelsa, u holda ikki tasodifiy argument funksiyasi
deyiladi.
2 ta bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indasining zichlik
funksiyasi q о ‘shiluvchilarning zichlik funksiyalari va yordamida
kompazitsiya formulasidan aniqlanadi:
9

yoki fX+Y(z)=∫
−∞
∞
fY(y)fX(z− y)dy .
Agar argumentlarning qiymatlar t о ‘plami manfiy b о ‘lmasa, u holda
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi formuladan topiladi:
yoki
fX+Y(z)=∫
0
z
fY(y)fX(z− y)dy .
2 ta о ‘zaro bog‘liq b о ‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisi ning
taqsimot funksiyasi quyidagi formuladan topiladi:
2 ta о‘zaro bog‘liq bо‘lmagan deskret tasodifiy miqdorlar uchun ham
kompazitsiya formulasi mavjud:
P(X +Y= Z)=∑
i
P{X = xi}⋅P{Y= Z= xi},

bunda .
Ikki tasodifiy miqdor sistemasi. Ikki о ‘lchovli tasodifiy miqdor
orqali belgilanadi. Bunda va tasodifiy miqdorlarning har biri “tashkil
etuvchilar” yoki “kompanentalar” deb, ular birgalikda esa “ikki tasodifiy miqdor
sistemasi” deb ataladi.
Ikki о ‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi formulaga aytiladi:
Taqsimot funksiyasining xossalari:
1.
2. ikkala argumenti b о ‘yicha kamaymaydigan funksiya:
agar
y2>y1 b о ‘lsa;
agar b о ‘lsa;
3. .
4. ;
10

5. tasodifiy nuqtaning uchlari da
b о ‘lgan D t о ‘rtburchakka tushish ehtimolligi quyidagi formuladan topiladi:
bu yerda .
Ikki о‘lchovli deskret tasodifiy miqdor deb tashkil etuvchilari diskret
bо‘lgan tasodifiy miqdorlar sistemasiga aytiladi.
Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor deb tashkil etuvchilari uzluksiz
bо‘lgan tasodifiy miqdorlar sistemasiga aytiladi.
Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni deb ularning qabul
qiluvchi qiymatlarining barcha juftliklari va bu juftliklarning ehtimolliklari
kо‘rsatilgan jadvalga aytiladi.
Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasining zichlik funksiyasi deb
sistemaning taqsimot funksiyasidan olingan 2-tartibli aralash hosilasiga aytiladi:
Zichlik funksiyasi xossalari:
1. .
2. .
3. .
4. tasodifiy nuqtaning uchlari da
bо‘lgan
D tо‘rtburchakka tushish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi:
va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deyiladi, agar ulardan ixtiyoriy
birining taqsimot qonuni ikkinchi tasodifiy miqdorning qanday qiymat qabul
qilganiga bog‘lig bо‘lmasa.
Teorema (2 tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishining zarur va yetarli
sharti): Ikki va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishi uchun - Ikki
11

о‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi tashkil etuvchilari
taqsimot funksiyalarining kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli:
Natija: Ikki va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishi uchun -
Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi tashkil
etuvchilari zichlik funksiyalarining kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli:
.
Ikki va tashkil etuychilarning matematik kutilmasi va dispersiyasi
hamda tasodifiy nuqtaning sohaga tushush ehtimolini topish formulalari
quyidagi jadvalda keltirilgan:X
va Y deskret tasodifiy miqdorlar X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlar
sonlar va tasodifiy miqdorlarning о‘rtacha
kvadratik chetlashishi deyiladi.
nuqta - 2 о ‘lchovli tasodifiy miqdorning sochilish markazi
deyiladi.
12

Diskret tasodifiy miqdorlar sistemasi tashkil etuvchilarning shartli
taqsimot qonunlari . - 2 о ‘lchovli diskret tasodifiy miqdorni k о ‘rib
chiqamiz. Tashkil etuvchilarning mumkin b о ‘lgan qiymatlari ;
b о ‘lsin. U holda X tashkil etuvchilarning Y= yji sharti ostidagi shartli taqsimoti
quyidagicha aniqlanadi:
X
P(X|Y=yji)
=(
x1 x2 … xn
p(x1|yj) p(x2|yj) … p(xn|yj))
.
p(xi|yj)=
p(xi;yj)
p(yj)
- shartli ehtimollik formulasi yordamida
hisoblanadi.
Y
tashkil etuvchilarning sharti ostidagi shartli taqsimoti ham shu
kabi aniqlanadi:
p(yi|xj)=
p(xi;yj)
p(xi)

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi tashkil etuvchilarining shartli
taqsimot qonunlari . - ikki о ‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik
funksiyasi b о ‘lsin.
X tashkil etuvchining Y= yji qiymatidagi shartli
zichligi deb sistemaning birgalikdagi zichlik funksiyasining
Y
tashkil etuvchining zichlik funksiyasiga nisbatiga aytiladi:
ϕ(x|y)= f(x,y)
fY(y)
= f(x,y)
∫−∞
∞
f(x,y)dx
.
Y
tashkil etuvchining shartli zichligi ham xuddi shunday hisoblanadi:
ϕ(y|x)= f(x,y)
fX(y)
= f(x,y)
∫−∞
∞
f(x,y)dx
Quyidagi xossalarga о‘rinli::
ϕ(x|y)≥ 0, ϕ(y|x)≥ 0,
∫
−∞
∞
ϕ(x|y)=1, ∫
−∞
∞
ϕ(y|x)=1
13

1.2. BERNULLI SXEMASI
Bog‘liqsiz tajribalar. Bernulli taqsimoti Faraz qilaylik muayyan shatrlarda
ta bog‘liqsiz tajribalar о ‘tkazilayapti. Bu tajribalarning har birida ikki xil natija
kutiladi: ehtimollik bilan «muvaffaqiyat» va ehtimollik bilan
«muvaffaqiyatsizlik». Bunday tajribalar seriyasi Bernulli sxemasi deb ataladi.
(Tajribalar seriyasida ishlatilayotgan «muvaffaqiyat» va «muvaffaqiyatsizlik»
terminlari an’anaviy atamalar b о ‘lib, biz uchun ularning nomlaridan k о ‘ra tajriba
natijalari muhim.)
Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar sonini deb belgilasak, bu kattalik
diskret ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor b о ‘ladi. Darhaqiqat, agar
tajriba muvaffaqiyat bilan tugasa, , aks holda deymiz va
vektorni qaraymiz. Bu vektorni chekli ehtimollik fazosining
nuqtasi sifatida qaraymiz: . Bu nuqtaning berilishi barcha
ta tajribaning natijalarini aniqlaydi va aksincha. Shunday qilib, miqdor
tasodifiy tajriba natijasining funksiyasidir va
.
Endi ehtimollik fazosida ehtimollikni
aniqlaymiz. Barcha ta tajriba о ‘zaro bog‘liqsiz va muvaffaqiyat ehtimolligi har
bir tajribada bir xil ekanligidan
, (1.1)
bu yerda son tajribada natijaning ehtimolligidir; .
Shartga k о ‘ra
.
15

Demak, (1.1) formulaning о ‘ng tomonida ga teng k о ‘paytuvchilarning soni
larning orasidagi birlar lar sonicha, ga teng k о ‘paytuvchilarning soni esa
larning orasidagi nollar lar sonicha. YA’ni
. (1.2)
Yuqoridagi mulohazalar asosida tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini
aniqlaymiz:
(1.3)
(1.2) formulaga k о ‘ra (1.3) tenglikning о ‘ng tomonidagi har bir q о ‘shiluvchi uchun
tenglikka ega b о ‘lamiz. Bu q о ‘shiluvchilar soni esa roppa-rosa
ta. Haqiqatdan ham ta komponentasi lardan va ta komponentasi lardan
iborat bо‘lgan о‘lchovli vektorlar soni ga teng. Chunki
bunday vektorlarning soni ularning komponentalarida ta birlarni joylashtirish
orqali aniqlanadi va ma’lumki, birlarning joylari sondagi turli xil usul bilan
tanlanishi mumkin.
Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
. (1.4)
Nyuton binomi formulasidan foydalansak, (1.4) formulaga k о ‘ra fuyidagiga ega
b о ‘lamiz:
.
16

Oxirgi tenglikni hosil qilishda biz ehtimollikning shartidan foydalandik.
Unga kо‘ra
.
Shunday qilib,
. (1.5)
Yuqoridagi munosabatdan
ekanligi kelib chiqadi.
Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada
muvaffaqiyatlar sonining toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini
beradi.
Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu
formula о ‘rinli.
Isbot. ehtimollikning ta’rifiga k о ‘ra, deyarli ravshanki,
. (1.6)
Nyuton binomi formulasiga k о ‘ra
(1.7)
Ikkinchi tomondan (1.5) tenglikni ushbu
17

(1.8)
shaklda yozib olish mumkin. Yuqorida hosil qilingan (1.7) tenglikni ga
k о ‘paytirib, (1.8) tenglikka hadlab q о ‘shsak,
.
Oxirgi tenglikda (1.6) formulani hisobga olsak, ushbu
formulani hosil qilamiz.
Teorema isbot b о ‘ldi.
Biz о ‘rganayotgan ushbu formula Bernulli formulasi deb
nomlanadi. Bu formulani har bir tajribada ehtimolligi о ‘zgarmas b о ‘lgan biror
hodisaning ta bog‘liqsiz tajribalardan roppa-rosa tasida r о ‘y berish
ehtimolligi sifatida talqin qilish mumkin. Bernulli formulasining sodda
k о ‘rinishiga qaramasdan yetarlicha katta larda undan foydalanish birmuncha
noqulayliklarni vujudga keltiradi. Bunday holga, ayniqsa, tayinlangan yetarlicha
katta va larda hisoblash jarayonida emas, balki aniq ekstremal masalalarda
duch kelamiz. Shu munosabat bilan muayyan shartlar bajarilganda ni
hisoblashda taqribiy hisoblash usullari keng q о ‘llaniladi. Shu munosabat bilan
keyingi paragrafda isbotlanadigan teoremada tajribalar soni yetarlicha katta
b о ‘lganda har bir tajribada r о ‘y berish ehtimolligi juda kichik b о ‘lgan
hodisalarning ehtimolligini hisoblash formulasi keltiriladi.
Ehtimollikning asimptotasi. Dastlab bitta lemma isbotlaymiz.
Lemma 1.1. Agar , , b о ‘lsa, ushbu
(1.9)
tengsizlik о ‘rinli.
18

Isbot. Matematik induksiya usulidan foydalanamiz. uchun (1.9) ning
t о ‘g‘riligi ravshan. Faraz qilaylik, (1.9) tengsizlik biror uchun t о ‘g‘ri. Bu
tengsizlikni uchun t о ‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Farazimizdan foydalanib,
quyidagilarga ega b о ‘lamiz:
Oxirgi tengsizlikni hosil qilishda biz shartdan foydalandik.
Lemma isbot b о ‘ldi.
Quyidagi teoremani isbotlashda yuqoridagi lemmadan foydalanamiz.
Teorema 1.2. Bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyat ehtimolligi
b о ‘lsin. Agar da va , , b о ‘lsa, u
holda barcha sonlar uchun
. (1.10)
Isbot. Dastlab koeffitsiyentni tahlil qilaylik. Ta’rifga kо‘ra
va faqat b о ‘lgan holni qarash bilan kifoyalanish mumkin. Ikkinchi
tomondan
Bu yerdan esa
19

. (1.11)
Agar ni tayinlasak, (1.11) tenglikdan
ekanligini hosil qilamiz. YA’ni,
.
Oxirgi munosabat shuni bildiradiki, yetarlicha katta bо‘lganda son о‘rniga
sonni qarash mumkin. Quyida bunday approksimatsiyaning xatoligini
baholaymiz.
(1.11) tenglikning о‘ng tomonidagi kо‘paytmaga (1.9) tengsizlikni qо‘llab,
quyidagini topamiz:
Ikkinchi tomondan ravshanki, (1.11) tenglikning о ‘ng tomonidagi
k о ‘paytuvchilarning har biri birdan kichik miqdorlar. Demak,
.
Oxirgi tengsizlikni miqdorga k о ‘paytirib, ushbu
(1.12)
tengsizliklarga ega b о ‘lamiz. Deyarli ravshanki, har bir tayinlangan uchun:
; (1.13)
teorema shartlariga k о ‘ra
20

; (1.14)
. (1.15)
Nihoyat,
(1.16)
Hosil qilingan (1.13) – (1.16) munosabatlardan foydalanib, (1.12) tengsizliklardan
topamizki,
.
Teorema isbot b о ‘ldi.
Teorema 1.2. da hosil qilingan asimptotik miqdor
ehtimollik taqsimoti tashkil etadi. Haqiqatan ham
.
Agar diskret tasodifiy miqdor uchun
b о ‘lsa, u Puasson taqsimoti bilan taqsimlanagn tasodifiy miqdor deyiladi. Shunday
qilib, Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar soni asimptotik Puasson taqsimoti
bilan taqsimlangan miqdorga yaqinlashar ekan. Shuning uchun ibotlanagn
Teorema 1.2 ehtimolliklar nazariyasida Puasson teoremasi deb nomlanadi.
21

II bob
LIMIT TEOREMALAR
2.1. MUQRRARLIK PRINSIPI VA KATTA SONLAR QONUNI
Muqarrarlik prinsipi va ommaviy tajribalar . Biror tasodifiy hodisani
kuzatar ekanmiz, ehtimolligi aniq b о ‘lgan holda ham, uning bitta tajribada
r о ‘y berish yoki bermasligi haqida aniq xulosa berish mumkin emas. (Bu holda
va b о ‘lgan hollar istisno etiladi.) Ta’kidlash о ‘rinliki, agar
ehtimollik birga yaqin b о ‘lsa, u holda teskari hodisaning ehtimolligi
nolga yaqin b о ‘ladi; shunday qilib, bir hol boshqasiga keltirib
olinishi mumkin. Agar ehtimollik juda kichik son b о ‘lsa, qaralayotgan
yagona tajribada hodisaning r о ‘y bermasligini tasdiqlash mumkin. Shu nuqtai
nazaridan muqarrar hodisalar amaliy muqarrar hodisalar deb hisoblanadi.
Shunday qilib, amaliyotda quyidagi prinsipga asoslanish mumkin:
agar hodisaning ehtimolligi birga yaqin b о ‘lsa, u holda amaliyotda
yagona tajribada shunga ishonch bilan qarash mumkinki, hodisa albatta r о ‘y
beradi.
Demak, ehtimolliklar nazariyasining amaliy tadbiqlarida ehtimolligi nolga yoki
birga yaqin b о ‘lgan hodisalar alohida va muhim ahamiyatga ega.
Muvaffaqiyat ehtimolligi b о ‘lgan Bernulli tajribalarining cheksiz ketma-
ketligini qaraylik. tasodifiy miqdor dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar
22

sonini bildirsin. U holda miqdor bu tajribalarda muvaffaqiyatlar chastotasini
ifodalaydi. Klassik sxemaga k о ‘ra ning miqdori cheksiz oshganda bu chastota
ehtimollikka yaqinlashadi:
. (2.1)
Bu taqribiy tenglikning chap tomoni tasodifiy miqdor, о ‘ng tomoni esa aniq son.
Endi bu yaqinlashishning aniq ma’nosini topish masalasi paydo b о ‘ladi. Bu
masalaning yechimini biroz keyinroqqa qoldirib shuni ayta olamizki, oshgan sari
muvaffaqiyatlar chastotasi ning (qaysidir ma’noda) ehtimollikka
yaqinlashib borish hodisasi amaliy muqarrar hodisadir.
Yuqoridagi misolda biz ommaviy tajribalar bilan ish k о ‘rdik. Shunday qilib,
muqarrarlik prinsipi alohida tajribalar bilan emas, ommaviy tajribalar bilan ish
k о ‘rganda о ‘rinli b о ‘lar ekan. Nazariya esa hech qachon tajribalar natijalariga
asoslanmaydi, balki u (2.1) tipidagi tasdiqlarning aniq mohiyatini ochib berish,
bunday tasdiqlarning bajarilishini ta’minlovchi shartlarni о ‘rnatish, va oqibatda bu
tasdiqlarni amaliyotga tadbiq etish imkoniyatlarini ta’minlashni maqsad qiladi.
Ushbu bobda asosida muqarrarlik prinsipi yotuvchi bir muhim ehtimoliy
qonuniyatni о ‘rganamiz. Bu qonuniyat ehtimolliklar nazariyasida katta sonlar
qonuni deb nomlanadi.
Chebishev tengsizligi. Bu paragrafda biz bitta yordamchi tengsizlikni
о ‘rganamiz. Bu tengsizlik Chebishev tengsizligi deb nomlanadi.
Teorema 2.1. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor chekli
matematik kutilma va dispersiyaga ega b о ‘lsin. U holda miqdorni
matematik kutilmasidan chetlashishi absolyut qiymatining oldindan berilgan har
qanday musbat sondan katta b о ‘lish ehtimolligi miqdordan kichik, ya’ni
23

. (2.2)
Isbot. Qaralayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini deb
belgilaylik: . U holda tasodifiy miqdor dispersiyasining ta’rifiga
k о ‘ra
.
Ixtiyoriy musbat soni olib, integrallash sohasini quyidagicha ikki qismga
ajratamiz:
.
Aniq integralning xossasidan foydalansak,
.
Bu tengsizlikda integrallash sohasi va va
. (2.3)
(2.3) munosabatni hosil qilishda biz
.
ekanligidan foydalandik.
Teorema isbot b о ‘ldi.
Izoh. Agar (2.2) tengsizlikda desak, u holda va
tengsizlik quyidagi k о ‘rinishga keladi:
. (2.4)
Yuqoridagi Teorema 2.1 ning isboti jarayoniga e’tibor qaratsak, shu narsaga
ishonch qilamizki, (2.4) tengsizlik chekli dispersiyaga (va demak, kvadrati chekli
24

matematik kutilishga) ega b о ‘lgan har qanday tasodifiy miqdor uchun о ‘rinli. Bu
holda miqdor , k о ‘rinishda b о ‘lishi shart emas. Shunday
qilib, biz Chebishev tengsizligining quyidagi umumlashmasiga ega b о ‘lamiz.
Teorema 2.2. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorning kvadrati
chekli matematik kutilmaga ega, ya’ni b о ‘lsin. U holda miqdor
absolyut qiymatining oldindan berilgan har qanday musbat sondan katta b о ‘lish
ehtimolligi miqdordan kichik, ya’ni (2.4) tengsizlik о ‘rinli.
Agar (2.4) tengsizlikda desak, b о ‘lganda (2.2)
tengsizlikka kelamiz. Shuning uchun biz bundan keyin (2.4) munosabatni ham
Chebishev tengsizligi deb ataymiz.
Teorema 2.3 (Chebishevning katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida
juft-jufti bilan bog‘liqsiz b о ‘lgan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi
berilgan b о ‘lib, bu miqdorlarning dispersiyalari tekis chegaralangan, ya’ni biror
о ‘zgarmas soni topilib, , b о ‘lsin. Ushbu
tasodifiy miqdor uchun tuzilgan ketma-ketlik da
taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi:
. (2.5)
Isbot. Taqsimot b о ‘yicha yaqinlashishning ma’nosi
shuki, har qanday soni uchun
.
Teorema shartiga k о ‘ra tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog‘liqsiz
va shunday о ‘zgarmas soni topiladiki, . U holda
dispersiyaning xossalariga k о ‘ra quyidagi munosabatlarga ega b о ‘lamiz:
25

Demak, teorema shartlarida . Bu baho va (2.2) shakldagi Chebishev
tengsizligini birgalikda qarasak,
.
Deyarli ravshanki, har qanday tayinlangan son uchun .
Shuning uchun
.
Oxirgi yaqinlashish (2.5) tasdiqqa teng kuchli.
Teorema isbot b о ‘ldi.
Quyidagi tasdiqni Teorema 2.4. ning xususiy holi sifatida qaraymiz.
Teorema 2.4. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar
bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, ular chekli matematik kutilma
va dispersiyaga ega b о ‘lsin. Ushbu
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi,
ya’ni
.
Darhaqiqat , Ushbu holda ham Teorema 2.3. ning barcha shartlari bajariladi
va
26

.
Shuning uchun
.
Oxirgi munosabat teorema tasdig‘iga teng kuchli.
Teorema isbot b о ‘ldi.
Teorema 2.5 (Bernullining katta sonlar qonuni). Muvaffaqiyat ehtimolligi
b о ‘lgan Bernulli tajribalari seriyasida tasodifiy miqdor mqvaffaqiyatlar
sonini ifodalasin. U holda tajribalar sonining cheksiz oshishi bilan
muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi taqsimot b о ‘yicha ehtimollikka
yaqinlashadi, ya’ni
.
Isbot. Ushbu tasodifiy miqdor tajribada muvaffaqiyatga erishilsa, bir
qiymatni, aks holda nol qiymatni qabul qilsin. U holda deyarli ravshanki,
, ,
va
.
Bu yig‘indidagi miqdorlar о ‘zaro bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan
b о ‘lib, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega. U holda
miqdor uchun
.
Shunday qilib, Teorema 2.4 ning barcha shartlari bajariladi. Va bu teoremaning
tasdig‘iga k о ‘ra
27

.
Teorema isbot b о ‘ldi.
Shunday qilib, yuqorida isbotlangan Bernullining katta sonlar qonuni
(Teorema 2.5) Teorema 2.4 ning va demak, Chebishev katta sonlar qonunining
(Teorema 2.3) xususiy holi ekan.
Quyida biz Xinchinning katta sonlar qonunini isbotsiz keltiramiz.
Teorema 2.6 (Xinchinning katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida
berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib,
ular chekli matematik kutilmaga ega b о ‘lsin. U holda ushbu
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi,
ya’ni
.
Katta sonlar qonuni ehtimolliklar nazariyasining tadbiqlari bilan bog‘liq
masalalarda muhim amaliy ahamiyatga ega. Bu qonun (2.1) k о ‘rinishidagi taqribiy
formulalarga yanada aniqroq ma’no berish imkonini beradi. Bundan tashqari katta
sonlar qonuni
(2.6)
arifmetik о ‘rta qiymatning ehtimoliy ma’nosini ochib beradi. Darhaqiqat, ushbu
miqdorlar biror о ‘zgarmas fizik miqdorni marta bog‘liqsiz
о ‘lchashlar natijalari b о ‘lsin. Bu miqdorlarning har biri soni va о ‘lchashlarning
biror tasodifiy xatoliklari yig‘indisidan iborat. Shuning uchun ular tasodifiy
miqdorlardir. Amaliy masalalarda miqdorning taqribiy qiymati sifatida har doim
marta bog‘liqsiz о ‘lchashlar natijalarining (2.6) k о ‘rinishidagi о ‘rta arifmetik
qiymati olinadi, ya’ni
28

. (2.7)
Tabiiyki, qaralayotgan tasodifiy miqdorlar о ‘zaro bog‘liqsiz va bir
xil taqsimlanagan. Faraz qilaylik (bu sistematik xatolar y о ‘qligi haqidagi
gipoteza) va (yuqoridagi Teorema 2.6 da biz bu shartning ortiqcha
ekanligini k о ‘ramiz) b о ‘lsin. U holda о ‘lchash natijalariga nisbatan Teorema 2.4
yoki Teorema 2.6 tasdiqlarini tadbiq etish mumkin. Bu teoremalar natijalariga
kо‘ra har qanday tayinlangan son uchun
yoki
.
Shunday qilib, tayinlangan soni qanday bо‘lmasin, nomer yetarlicha katta
bо‘lganda tengsizlikning ehtimolligi birga istalgancha yaqin boradi,
yoki ushbu hodisani tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda
amaliy muqarrar hodisa deb hisoblash mumkin. Yuqoridagi (2.7) taqribiy tenglik
aynan shu ma’noda talqin etilishi lozim.
Xuddi shunga о‘xshash (2.1) kо‘rinishidagi taqribiy tenglikni ham tahlil
etish mumkin. Bu tenglikka, Teorema 2.5 ga k о ‘ra, quyidagicha ma’no beramiz:
har qanday tayinlangan son olinganda ham ushbu
hodisa tajribalar soni yetarlicha katta b о ‘lganda amaliy muqarrar hodisadir.
Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni haqida. Oldingi paragrafda
о ‘rganganimiz Bernullining katta sonlar qonuniga k о ‘ra marta о ‘tkazilgan
о ‘zaro bog‘liqsiz tajribalarda muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi tajribalar soni
29

yetarlicha katta b о ‘lganda ehtimollikka taqsimot b о ‘yicha yaqinlashadi,
ya’ni
.
О ‘z navbatida ma’lumki, taqsimot b о ‘yicha yaqinlashishdan birga teng ehtimollik
b о ‘yicha yaqinlashish kelib chiqmaydi. Shuning uchun Bernulli teoremasidan
ekanligi kelib chiqmaydi. Boshqacha aytganda
tenlik birga teng ehtimollik bilan bajarilmaydi. Umuman olganda, biror
ketma-ketlikning miqdorga taqsimot b о ‘yicha yaqinlashishi hech
bir uchun limitning mavjud b о ‘lmasligini istisno etmaydi. Biroq
katta sonlar qonunida biz mutlaqo boshqacha holatni k о ‘ramiz. YA’ni, taqsimot
b о ‘yicha yaqinlashish birga teng ehtimollik b о ‘yicha yaqinlashish bilan
almashtirilsa, oxirgi uchta teorema tasdig‘i о ‘z kuchida qoladi.
Shu tariqa hosil qilingan tasdiqlar Teorema 2.4, 2.5, 2.6 larning
kuchaytirilgan variantlaridir. Haqiqatan, ma’lumki, deyarli yaqinlashishdan
taqsimot b о ‘yicha yaqinlashish kelib chiqadi; teskari tasdiq о ‘rinli emas.
Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni deganda umumiy nomdagi katta sonlar
qonuni nomi bilan ataluvchi teoremalarning yuqorida keltirilgan ma’nodagi
kuchaytirilishi orqali hosil qilingan teoremalar guruhini tushunamiz.
Quyida bunday teoremalarning ayrimlarini isbotsiz keltiramiz.
Teorema 2.7 (Kolmogorovning kuchaytirilgan katta sonlar qonuni).
Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil
taqsimlangan b о ‘lib, ular chekli matematik kutilmaga ega b о ‘lsin. U
holda ushbu
30

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da songa birga teng ehtimollik
bо‘yicha yaqinlashadi, ya’ni
.
Keltirilgan teorema Xinchin katta sonlar qonunining kuchaytirilganidir.
Demak Xinchin teoremasi Kolmogorov teoremasidan kelib chiqadi.
Eslatib о ‘tamizki, yuqorida olingan barcha teoremalarda qaralayotgan
tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan b о ‘lib,
matematik kutilmaning chekli ekanligi talab qilindi. Oxirgi shartdan voz kechilgan
boshqa holni qaraylik. tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz, bir xil
taqsimlangan b о ‘lib, matematik kutilma cheksiz, ya’ni b о ‘lsin.
Bu holda ham Kolmogorovnining kuchaytirilgan katta sonlar qonuni quyidagi
k о ‘rinishda о ‘rinli.
Teorema 2.8. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar
bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan b о ‘lib, ular cheksiz matematik kutilmaga ega
b о ‘lsin, ya’ni . U holda ushbu
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da ga birga teng ehtimollik bо‘yicha
yaqinlashadi, ya’ni
.
Agar shartdan voz kechib, deb hisoblasak, bu hol
uchun Teorema 2.8 ning natijasi sifatida Xinchinning kuchaytirilan katta sonlar
qonuni kelib chiqadi.
31

2.2. MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA
INTEGRAL TEOREMALARI
Lokal limit teorema . Biz Teorema 1.2 da Bernulli
formulasining tayinlangan har bir uchun da asimptotik k о ‘rinishini
hosil qilgan edik. Ushbu paragrafda b о ‘lgan holni qaraymiz va Bernulli
formulasining asimptotik holatini о ‘rganamiz.
Yuqorida ta’kidlab о ‘tilganidek, , va faqat b о ‘lgan holni
qarash bilan kifoyalanish mumkin.
Ushbu
belgilashlarni kiritamiz va matematik analizdan ma’lum b о ‘lgan ushbu
Stirling formulasidan foydalanamiz. Bu formulaga k о ‘ra
Bu tenglikdan
(3.1)
Ravshanki, (3.1) formuladagi
33

ifodani nomer yetarlicha katta b о ‘lganda bir bilan almashtirish mumkin.
Shuning uchun bu formuladan
(3.2)
munosabatni yoza olamiz. Bundan keyin (3.2) formulada va sonlarni
tayinlangan deb hisoblaymiz. Bu formulada har doim
,
hamda faqat va b о ‘lganda
.
Haqiqatan ham bu ifodaning logarifmi
.
Uni b о ‘yicha differensiallasak,
. (3.3)
Oxirgi tenglikning о ‘ng tomoni musbat b о ‘lishi uchun
tengsizlik bajarilishi zarur. Bu tengsizlikni
shaklida yozib olamiz va uni soddalashtirgandan s о ‘ng munosabatni olamiz.
Xuddi shu kabi (3.3) tenglikning о ‘ng tomoni manfiy b о ‘lishi uchun
b о ‘lishini topamiz. Shunday qilib, nuqtada
34

va agar butun son deb faraz qilsak, (3.2) formuladan
ekanligini kо‘ramiz. YA’ni dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni
bо‘lish ehtimolligi tajribalar soni cheksiz ortganda tartibda nolga
yaqinlashib boradi.
Agarda miqdor tayinlangan va b о ‘lsa, yuqorida ta’kidlanganidek,
.
Bu holda (3.2) formula shuni bildiradiki, ehtimollik da geometrik
progressiya tezligida nolga intiladi.
Ravshanki,
.
Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada
.
Bu mulohazaning t о ‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о ‘z aksini topadi.
Teorema 3.1. Ushbu
belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , b о ‘lsin. U holda
nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о ‘zgarishi uchun
35

(3.4)
munosabat о ‘rinli.
Isbot. Teorema shartiga k о ‘ra . U holda belgilashimizga kо‘ra
va
.
Demak, (3.2) munosabatda nisbiy xatolik bо‘yicha da nolga tekis
yaqinlashadi. О‘z navbatida
(3.5)
va
. (3.6)
Oxirgi ikkita tengliklardan
va
.
Shunday qilib, (3.2) munosabatda k о ‘paytma nomer cheksiz ortishi
bilan miqdorga yaqinlashib boradi, ya’ni
36

. (3.7)
Endi (3.2) formuladagi ikkinchi k о ‘paytmani
(3.8)
shaklda yozib olamiz hamda dastlab va miqdorlarni tahlil qilamiz.
Funksiyaning Teylor qatoriga yoyish haqidagi teoremaga k о ‘ra
.
Bu formuladan hamda (3.5) va (3.6) tengliklardan foydalanib, ushbu
(3.9)
va
(3.10)
tengliklarni hosil qilamiz. Yuqoridagi (3.8)–(3.10) munosabatlarni birgalikda
qarasak, belgilashlarimizga k о ‘ra,
37

Elementar almashtirishlardan sung oxirgi formuladan quyidagi asmptotik
formulaga kelamiz:
. (3.11)
(3.2), (3.7) va (3.11) munosabatlarni birgalikda qarasak,
yaqinlashishga kelamiz. Bu esa (3.4) munosabatga teng kuchli.
Teorema isbot b о ‘ldi .
Laplasning integral teoremasi. Eslatib о ‘tamizki, Bernulli sxemasida
dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni va bu sonning ga yetng b о ‘lish
ehtimolligi
.
Yuqorida isbotlangan Teorema 3.1 bizga ehtimollikning nomer cheksiz
oshgandagi holatini baholash imkonini beradi. Boshqacha aytganda, bu teorema
ehtimollikning lokal xossalarini xarakterlaydi. Ushbu paragrafda biz
miqdorning taqsimot funksiyasini о ‘rganamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritib
olaylik:
38

,
,
.
Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning
r о ‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning r о ‘y berish
ehtimolligi b о ‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о ‘rinli:
.
Isbot. Deyarli ravshanki,
, (3.12)
bu yerda xuddi yuqoridagi kabi
.
Agar deb belgilasak, va belgilashlarimizga k о ‘ra
,
bu yerda har qanday uchun
.
Oxirgi tenglikdan (3.12) formulada foydalansak, tengsizliklarni
qanoatlantiruvchi tayinlangan va sonlari uchun
39

(3.13)
bu yerda
,
.
Dastlab ifodani baholaylik. Ravshanki, b о ‘lganda
va Rimanning integral yig‘indisi xossasiga k о ‘ra
. (3.14)
Endi hadni baholaymiz. Bizga ma’lumki, har qanday uchun
. (3.15)
(3.14) va (3.15) munosabatlardan foydalanib, topamiz:
Oxirgi munosabatni (3.13) va (3.14) tasdiqlar bilan birgalikda qarasak,
40

(3.16)
yaqinlashishning t о ‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Endi (3.16) natijaning uchun ham t о ‘g‘ri ekanligini k о ‘rsatib,
teorema isbotini yakunlaymiz. (3.15) tengsizlikka k о ‘ra har qanday uchun
chekli soni shunday katta tanlab olish mumkinki,
tengsizlik bajariladi. U holda
. (3.17)
О‘z navbatida (3.16) yaqinlashishga kо‘ra о‘sha soni bо‘yicha nomerni
shunday katta tanlab olish mumkinki, barcha va uchun
. (3.18)
Ravshanki,
.
Shuning uchun yana о ‘sha soniga k о ‘ra chekli sonini shunday
katta tanlab olish mumkinki,
tengsizlik bajariladi. Demak,
. (3.19)
Oxirgi tengsizlikda
va
41

.
Shunday qilib, uchun (3.17)–(3.19) baholardan
foydalanib, quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:
Bu yerdan
ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Teorema isbot b о ‘ldi.
42

XULOSA
Bitiruv malakaviy ish ehtimolliklar nazariyasining klassik sxemasi b о ‘lgan
Bernulli bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyatlar taqsimotining asimptotik
xossalarini о ‘rganishga bag‘ishlangan.
Ishning asosiy mazmuni referativ xarakterda b о ‘lsada, unda keltirilgan
Teorema 1.1 yangi natijadir.
Ishning mazmuni ikkita bobda bayon etilgan. Birinchi bobda Bernulli
sxemasining asosiy g‘oyasi va bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligida hodisa r о ‘y
berish ehtimolligi uchun formula keltirib chiqarilgan. Bu formulani biz Bernulli
formulasi deb ataymiz. Bernulli formulasi ehtimolliklar nazariyasining klassik
formulalaridan biri b о ‘lib, u nisbatan kichik sondagi tajribalar seriyasida hodisa
ehtimolligini bevosita hisoblash imkonini beradi. Xususan, birinchi bobda
isbotlanagn Teorema 1.1 da muvaffaqiyatlar sonining toq sonda b о ‘lishi
ehtimolligini hisoblash imkonini beruvchi formula keltirilgan.
Biroq, tajribalar soni ortgan sari bu formulani q о ‘llashdagi hisob-kitoblar
hajmi ortib boradi va buning natijasida mazkur formula uchun asimptotik
k о ‘rinishni topish zaruriyati paydo b о ‘ladi. Birinchi bobda isbotlanagn Teorema
1.2 da bunday asimptotik k о ‘rinish olingan. Bu teoremaga k о ‘ra tajribalar soni
cheksiz ortganda tayinlangan sondagi muvaffaqiyatlar ehtimolligining taqsimoti
Puasson qonuniga b о ‘ysunishi isbotlangan. Puasson qonuni, о ‘z navbatida diskret
taqsimot qonuni xisoblanib, bu qonun ehtimolliklar nazariyasining q о ‘llanilishlari
bilan bog‘liq qator masalalarda muhim tadbiqlarga ega.
Bernulli sxemasining g‘oyasiga k о ‘ra hodisa chastotasining statistik
turg‘unligi xossasi tajribalar soni yetarlicha katta b о ‘lganda namoyon b о ‘ladi.
Bunday qonuniyatni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni deb nomlanadi.
Katta sonlar qonuni ehtimolliklar nazariyasi tarixida isbotlanagn birinchi
43

teoremadir. Bitiruv malakaviy ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonunining turli
xil variantlarini о ‘rganishga bag‘ishlangan.
Ishning asosiy mazmuni quyidagi natijalarda о ‘z aksini topgan.
Teorema 1.1. Bernulli sxemasida ta tajribada muvaffaqiyatlar soni
ning toq sonda b о ‘lishi ehtimolligi
,
uchun ushbu
formula о‘rinli.

Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning
rо‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning rо‘y berish
ehtimolligi bо‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о‘rinli:
.
Bitiruv malakaviy ishdan amaliy masalalarni yechishda va tasodifiy
miqdorlar yig‘indilarining asimptotik xossalarini о‘rganishda foydalanish mumkin.
44

ADABIYOTLAR RО‘YXATI
1. A.A.Borovkov. Teoriya veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1986.
2. A.N.Shiryayev. Veroyatnost. Moskva, «Nauka», 1980.
3. B.V.Gnedenko. Kurs teorii veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1969.
4. V.Feller. Vvedeniye v teoriyu veroyatnostey i yeye prilojeniY. T. 1,2.
Moskva, «Mir», 1984.
5. G.M.Fixtengols. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniY. T.1,2,3.
Moskva, «Nauka», 1970.
6. A.A.Abdushukurov, T.A.Azlarov, A.A.Djamirzayev «Ehtimollar
nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar t о‘ plami»
Toshkent, «Universitet», 2003 y.
45

Купить