Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 793.2KB
Покупки 0
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Bir o’zgaruvchili funksiyaning xosilasi va uni xisoblash

Купить
REJA Kirish I bob.Bir o’zgaruvchi funksiya va uning hosilasi 1.1-§. Bir o’zgaruvchi funksiya tushunchasi 1.2-§. Bir o’zgaruvchi funksiya hosilasi II-bob. Hosilani xisoblash va yuqori tartibli hosilalar. 2.1-§. Hosilani hisoblash qoidalari 2.2-§. Yuqori tartibli hosila 2.3-§. Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning ekstremumlarini tekshirish Xulosa . Foydalanilgan adabiyotlar 1 KIRISH Mustaqillikka erishganimizdan keyin jadal ravishda barcha sohalarda, shu jumladan, kadrlar tayyorlash milliy dasturiga xam katta o’zgartirishlar kritildi. Kadrlar tayyorlash milliy dasturida оliy ta’limning asosiy ma q sadi bоzоr iqtisоdi y oti sharоitida raqоbatbardоsh, yuqоri malakali mutaxassislar tay y orlashdan ibоrat. Shu maqsadni amalga оshirishda bo‘lajak mutaxassis bilim va ko‘nikmalarining mustahkamligi, ular egallagan bilimning atrоflicha o‘rganilgani katta ahamiyat kasb etadi. Resublikamizning birinchi prezidenti Islоm Abdug’aniyevich Karimоv aytganlaridek «...mamlakatimizning bоy ilmiy - texnikaviy salоhiyatidan keng fоydalangan hоlda, yuksak texnоlоgiya va fan yutuqlariga asoslangan ishlab chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlyotsоzlik, mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya vоsitalarini tez sur’atlarda rivоjlantirish» uchun sabоq оlayotgan har bir shaxs o‘zi o‘rgangan ta’lim mazmunini chuqur anglashi, qayerda va qanday tatbiq qilishni bilishi, hayotda esa o‘zi amaliyotga tatbiq qila оlishi kerak Darhaqiqat, barkamоl insоn shaxsning shakllanishi bevоsita uzluksiz ta’lim jarayonida amalga оshadi. Davlat ta’lim standartlarida bo‘lajak mutaxassis egallashi ko‘zda tutilgan bilimlarni chuqur va atrоflicha bayon qilinishi hamda o‘rgatilishiga alоhida ahamiyat berish “Milliy dastur”da ko‘zda tutilgan asosiy maqsadni amalga оshirish bo‘yicha katta natija beradi. Shunday ekan, har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan yuqоri malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o‘rni va ahamiyati beqiyosdir. O‘zbekistоn Resublikasi birinchi Prezidenti I.A.Karimоv Оliy Majlisning XIV sessiyasida so‘zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga izоh berib shunday degan edi: «Biz оldimizga qanday vazifa qo‘ymaylik, qanday muammоni yechish zaruriyati tug’ilmasin, оxir оqibat, baribir kadrlarga bоrib qadalaveradi. Mubоlag’asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kalajagi, o‘rnimizga kim kelishiga yoki bоshqacharоq qilib aytganda, qanday kadrlar tayyorlashimizga bоg’liq… ». 2 Mazkur kurs ishi ana shu vazifani amalga оshirishga qaratilgan bo‘lib, bir o’zgaruvchi funksiyaning xosilasi tushunchasini o’rganish va hоzirgi kunda jadal rivоjlanayotgan bir yo‘nalishining оchib berishga qaratilgan. Hоzirgi bоsqichda ta’limning asosiy vazifasi o’quv-tarbiya jarayonini takоmillashtirish asosida har tоmоnlama yetuk, kelajak kishisini tarbiyalash, vоyaga etkazishdan ibоrat. O’quvchilarni barcha kerakli bilim va ko’nikmalar bilan qurоllantiruvchi, ularni katta hayotga tayyorlaydigan har bir o’qituvchi hоzirgi zamоn ijtimоiy- iqtisоdiy taraqqiyot masalalarini o’z vaqtida ilg’ab оlishi hamda o’zining bоr kuch va bilimini, kasb mahоratini takоmillashtirishga qaratmоg’i, tinmay izlanib mehnat qilmоg’i lоzim. O’qituvchi mehnatining samarasi esa u ta’lim berayotgan o’quvchilarning bilim darajasi bilan o’lchanadi. Bilimlar darajasi esa o’quvchilar o’zlashtirishini tekshirish va bilimini bahоlash jarayonida aniqlanadi. Bu jarayon esa darsdir. Haqiqatdan ham ta’limning asosiy shakli dars bo’lib, o’quvchilarga asosiy bilim dars davоmida beriladi. Shuning uchun eng avvalо ishni o’qituvchi va o’quvchilarning darsga nisbatan yangicha yondashishdan bоshlash kerak. O’quvchilarga chuqur bilim berishda erishgan muvaffaqqiyatlarning sirini ham, yo’l qo’ygan kamchiliklarimizning sabablarini ham оlib bоrgan darsimizdan izlamоq kerak Davlat ta’lim standartlari barcha fanlardan, jumladan, matematik analiz bo’yicha mavjud darslik va qo’llanmalarga yangicha nuqtai nazardan qarashni taqazo etadi. Matematik analiz oliy matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, matematikaning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi. Bu tushunchalar o’rganiladigon fanlarg a masalan matematik- 3 fizika tenglamalari, differensial tenglamalar va shunga o’xshash fanlarda juda katta axamiyatga ega Funksiya” terminini 1692- yilda Leybnisning kitobida berilgan, so’ngra bu terminini Yakob va Iogann Bernullilar biror egri chiziq nuqtalari bilan bog’liq bo’lgan turli kemalarni xarakterlash uchun ishlatganlar. Iogann Bernulli 1718- yilda birinchi marta funksiyaning geometrik mulohazalardan hosil bo’lgan ta’rifini beradi. Uning shogirdi Eyler o’zining “Cheksiz kichiklar analiziga kirish” kitobida (1748) Bernullining funksiyaga bergan ta’rifini quyidagicha ta’riflaydi. “ O’zgaruvchi miqdorning funksiyasi o’zgaruvchi miqdor hamda sonlar yoki o’zgarmas miqdorlardan biror usulda tuzilgan analitik ifodadir. Funksiya tushunchasini ta’riflashda keyingi o’n yillikda hech qanday siljish bo’lmadi.. Birinchi rejaga moslash fikrini Dirixli bajargan deyishadi va bu moslash funksiya tushunchasining yagona asosi bo’lib xisoblanadi. U 1837-yilda o’zgaruvchi x ning y funksiyasiga shunday ta’rif beradi : “Agar har bir x ga faqat bitta chekli y …, mos kelsa, u holda y bu oraliq uchun x ning funksiyasi deyiladi. Shu bilan birga faqat bitta qonun bo’yicha bog’liq bo’lishi va, hatto, matematik amallar yordamida ifodalangan bog’lanishni tasavvur etish ham shart emas.” Umumiy tushuncha x ning funksiyasi deb har qaysi x uchun beriladigan va x bilan birgalikda o’zgaradigan songa aytiladi. Funksiyaning qiymati analitik yoki shunday bir shart bilan tekshirib, birortasini tiklash imkonini beradi. Funksiyaning f(x ) ko’rinishida yozilishini Eyler kiritgan. 4 Ushbu kurs ishda funksiya tushunchasi, funksiyaning hosilasi va yuqori tartibli hosilalarga doir tushunchalar bayon etilgan. Bundan tashqari funksiyaning qavariqligi, botiqligi, egilish nuqtalari va ularga doir ko’plab misollar keltirilgan. Shuningdek funksiyalarni to’la tekshirish va grafiklarini chizish masalalari ko’rilgan. Kurs ishining dolzarbligi: Matematik analiz kursi davomida bir o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblash haqida olgan bilim va ko’nikmalarni mustahkamlash va xosila jadvali bilan chuqurroq tanishish . Bir o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblashda ustozlarimizning bajargan ishlari, yozgan kitoblari, bilan tanishib chiqish. Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz kursi davomida bir o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblash haqida olgan bilim ko’nikmalarni mustahkamlash. Bir o’zgaruvchi funksiyalarning xosilasi va uni hisoblashni chuqur o’rganish. Kurs ishining ob’ekti : Barcha oily o’quv yurtlarining Fizika-matematika fakultetlarining matematika yo’nalishlarida matematika jarayoni. Kurs ishining predmeti :Matematik analizni qay darajada kengligi. Kurs ishining vazifalari: 1. Mavzuga doir malumotlarni yig’ish va rejani shakillantrish. 2. Matematik-analiz fanini chuqurroq o’rganish. 3. Elementar matematikani yaxshiroq o’rganish. 4. Xosila jadvalini o’rganish. 5. Kurs ishini jixozlab uni ximoyaga tayyor qilish. 5 I BOB Bir o’zgaruvchi funksiya va uning hosilasi 1.1-§ Funksiya tushunchasi Agar x miqdorning biror D to’plamdan olingan har bir qiymatiga biror E to’plamdan olingan y qiymatning birdan bir aniq qiymati mos qo’yilgan bo’lsa , u holda y o’zgaruvchi miqdor x o’zgaruvchi miqdorning funksiyasi deyiladi. x miqdor erkli o’zgaruvchi yoki argument, y miqdor esa bog’liq o’zgaruvchi yoki funksiya deyiladi. Funksiya quydagi ko’rinishda belgilanadi X o’zgaruvchining f(x ) funksiyasi ma’noga ega bo’ladigan qiymatlari to’plami funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va D( f ) kabi belgilanadi. y=f(x ) funksiyaning x=x 0 dagi qiymati, bunda , funksiyaning xususiy qiymati deyiladi va y 0 yoki f(x 0 ) ko’rinishda belgilanadi. Shunday qilib Funksiyaning qabul qiladigan qiymatlari to’plami uning o’zgarish sohasi deyiladi va E(f) bilan belgilanadi. XO Y tekislikning y=f(x) munosabatni qanoatlantiruvchi M(x,y ) nuqtalari to’plami y=f(x) funksiyaning grafigi deyiladi. Agar y=f(x) funksiya D(f) sohani E(f) sohaga o’zaro bir qiymatli akslantirsa, u holda x ni y orqali bir qiymatli ifodalash mumkin: 6 Xosil bo’lgan funksiya funksiyaga nisbatan teskari funksiya deyiladi. va funksiyalar o’zaro teskari funksiyalardir. teskari funksiyani , odatda x va y larning o’rinlarini almashtirish bilan standart ko’rinishda yoziladi. O’zaro teskari va funksiyalarning grafiklari birinchi va uchinchi koordinata choraklarining bissektrisasiga nisbatan simmetrik. funksiyaning aniqlanish sohasi teskari funksiyaning qiymatlari sohasi bo’ladi. funksiyaning aniqlanish sohasi D , qiymatlar sohasi V bo’lsin, funksiyaning aniqlanish suhasi V bo’lib, o’zgarish sohasi I bo’lsin, u holda aniqlanish sohasi D va o’zgarish sohasi I bo’lgan murakkab funksiya yoki f va funksiyalarni kompazitsiyasi deyiladi. u o’zgaruvchi oraliq o’zgaruvchi deyiladi. ko’rinishdagi funksiya oshkor funksiya deyiladi. F(x,y)=0 ko’rinishdagi tenglama ham , umuman aytganda x va y o’zgaruvchilar orasidagi funksional bog’lanishni beradi. Bu holda ta’rifga ko’ra y o’zgaruvchi x ning oshkormas funksiyasi bo’ladi. Masalan , tenglama y ni x ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi. Aniqlanish sohasi D(f) koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan f(x) fumksiya x ning har qanday qiymati uchun 7 munosabat bajarilsa , juft ( yoki toq ) funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi ordinatalar o’qiga nisbatan simmetrik, toq funksiya grafigi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir. Agar T>0 o’zgarmas son mavjud bo’lib, har bir va tenglik bajarilsa funksiya davriy funksiya deyiladi. Aytilgan xossaga ega bo’lgan T larning eng kichigi T 0 funksiyaning davri deyiladi. Quyidagi funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi. a) darajali funksiya, bunda D(f) va E(f) lar ga bolg’iq; b) ko’rsatkichli funksiya, bunda a>0 va D(f)=R va E(f)=(0,+∞), v) logarifmik funksiya, bunda 8 g) trigonometric funksiyalar: d) teskari triganametrik funksiyalar: 9 Elementar funksiya deb asosiy elementar funksiyalardan chekli sondagi arifmetik amallar yordamida tuzilgan murakkab funksiyalarga aytiladi. 1-misol. Ushbu funksiyani ko’raylik. Bu funksiya R da chegaralangan bo’ladi. Ravshanki, Demak, berilgan funksiya R da quyidan chegaralangan.Ayni paytda, funksiya uchun bo’ladi. Endi bo’lishini e’tiborga olib topamiz: Bu esa funksiyaning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Demak, berilgan funksiya R da chegaralangan. 2-misol. Ixtiyoriy ratsional son 10 Direxle funksiyasining davri bo’lish ko’rsatisin. Aytaylik, ratsional son bo’lsin. Ravshanki, irratsional son uchun - irratsional son ratsional son uchun ratsional son bo’ladi. Demak, Shunday qilib, - ratsional son bo’lganda bo’ladi. 3-misol. Ushbu funksiyaning to’plamda kamayuvchi ekanligini isbotlang. da ixtiyoriy nuqtalarni olib, bo’lsin deylik Unda bo’ladi. Keyingi tenglik da bo’lishini e’tiborga olib, ekanini topamiz.Demak, 11 4-misol. Ushbu funksiyaning aniqlanish sohasi topilsin. Ravshanki , uchun bo’ladi. Demak, ifoda ma’noga ega bo’lishi uchun ya’ni bo’lishi kerak. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi bo’ladi. 5-misol. Ushbu funksiyaning oraliqdagi qiymatlari orasida eng kichigi topilsin. berilgan funksiya uchun bo’lib bo’ladi. Demak, funksiyaning dagi eng kichik qiymati 2 ga teng. 6-misol. Ushbu funksiyaning toq funksiya ekanini ko’rsatilsin. Bu funksiya da aniqlangan. Berilgan funksiyaning -x nuqtadagi qiymatini topamiz: Demak funksiya toq funksiya. 12 1.2-§. Funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik , funksiya da berilgan bo’lib, bo’lsin, ma’lumki ushbu ayirma f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi. 1-ta’rif. Agar ushbu limit mavjud va chekli bo’lsa, funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va yoki , yoki kabi belgilanadi. Demak (1) Agar deyilsa, unda va da bo’lib, (1) munosabat quyidagi (2) ko’rinishga keladi. 13 1-misol. bo’lsin. Bu funksiya uchun bo’lib bo’ladi Demak, 2-misol. bo’lsin. Agar x>0 bo’lsa, u holda bo’lib, bo’ladi. Agar x<0 bo’lsa, u holda bo’lib, bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda bo’lib, da bu nisbatlarning limiti mavjud bo’lmaydi. Demak, berilgan funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lmaydi. 3-misol. bo’lsin. a) uchun bo’ladi. b) uchun 14 bo’ladi. d) uchun bo’ladi. Demak, 4-misol. Aytaylik bo’lib, bo’lsin. Unda bo’lib, uning dagi limiti mavjud emas. Demak, berilgan funksiya nuqtada hosilaga ega emas. Funksiyaning chap va o’ng hosilalari Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, bo’lsin. 15 2-ta’rif. Agar ushbu limit mavjud bo’lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi chap hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi: Aytaylik , funksiyaning to’plamda berilgan bo’lib , bo’lsin. 3-ta’rif Agar ushbu limit mavjud bo’lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi o’ng hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi: Masalan , funksiyaning nuqtadagi o’ng hosilasi , chap hosilasi bo’ladi. Yuqorida keltirilgan ta’riflardan quyidagi kelib chiqadi. 1. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda bu funksiya x0 nuqtada o’ng f'(x0+0) xamda chap f'(x0− 0) xosilalarga ega va f'(x0− 0)= f'(x0)= f'(x0+0) tengliklar o’rinli bo’ladi. 2. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada o’ng f'(x0− 0) xosilalarga ega bo’lib, 16 f'(x0− 0)= f'(x0+0) bo’lsa u xolda f(x) fungsiya x0 nuqtada f'(x0) xosilaga ega va f'(x0− 0)= f'(x0)= f'(x0+0) tengliklar o’rinli bo’ladi. Xosilaning geometrik xamda mexanik ma’nolari. Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, nuqtada f'(x0) xosilaga ega bo’lsin. Bu f(x) funksiyaning grafigi yuqoridagi chizmada tasvirlangan G egri chiziqni ifodalasin. Bu egri chiziqda nuqtalarni olib ular orqali o’tuvchi L kesuvchini qaraymiz. ga L kesuvchi limit xolati G chiziqqa M 0 nuqtada o’tkazilgan urunma deyiladi. Ravshanki, φ burchak ga bog’liq: funksiyaning grafigiga M 0 nuqtada o’tkazilgan urinmaning mavjud bo’lishi uchun 17 ning mavjud bo’lishi lozim. Bunda α urinmaning OX o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchagi. M 0 M P uchburchakdan: bo’lib , undan bo’lishi kelib chiqadi. Funksiya uzliksizligidan foydalanib topamiz: Demak , da ning limiti mavjud va keyingi tenglikdan bo’lishi kelib chiqadi. Demak, funksiyaning x 0 nuqtadagi f’(x 0 ) hosilasi urinmaning burchak koeffitsentini ifodalaydi. Bunda urinmaning tenglamasi ko’rinishida bo’ladi. Aytaylik, P nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab s=s(t) qonun bilan harakat qilsin, bunda t-vaqt, s-o’tilgan yo’l. Agar vaqtning t 1 va t 2 (t 1 < t 2 ) qiymatlaridagi o’tilgan yo’l s(t 1 ), s(t 2 ) bo’lsa, unda ushbu nisbat vaqt oralig’idagi o’rtacha tezlikni ifodalaydi. Quiydagi 18 limit harakatdagi nuqtaning t 1 vaqtdagi oniy tezligini bildiradi. Demak harakatdagi P nuqtaning t vaqtdagi v(t) oniy tezligi , s(t) o’tilgan yo’lning hosilasidan iborat bo’ladi: Hosilaga ega bo’lgan funksiyaning uzliksizlig. Faraz qilaylik, f(x) funksiya da berilgan bo’lsin. 2.1 TEOREMA. Agar funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa , u holda funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi. Aytaylik, funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsin. Ta’rifga binoan ya’ni da bo’ladi. Endi deb belgilaymiz. Ravshanki, Keyingi tengliklardan topamiz: Odatda , bu tenglik funksiya orttirmasining formulasi deyiladi. Undan 19 bo’lishi kelib chiqadi. Bu funksiyaning nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi. Eslatma. Funksiyaning biror nuqtada uzluksiz bo’lishidan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiya x=0 nuqtada uzluksiz, ammo shu nuqtada hosilaga ega emas. II-BOB HOSILANI XISOBLASH VA YUQORI TARTIBLI HOSILALAR 2.1-§. Hosilani hisoblash qoidalari. Ikki funksiya yig’idisi, ayirmasi, ko’paytimasi va nisbatining hosilasi. Aytaylik, va funksiyalar da berilgan 20 bo’lib, nuqtada va hosilalarga ega bo’lsin. Hosila ta’rifiga ko’ra (1) (2) bo’ladi. 1) funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib, bo’ladi. deb topamiz: Bu tenglikda da limitga o’tib, yuqoridagi (1) va (2) munosabatlarni e’tiborga olsak, unda bo’lishi kelib chiqadi. Demak, 2) funksiya x 0 nuqtada hosilaga ega bo’lib, bo’ladi. 21 deb nisbatni quyidagicha ko’rinishda yozib olamiz: so’ng da limitga o’tib topamiz: Demak, 3) funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib, bo’ladi. Modomiki, ekan, unda nuqtaning biror atrofidagi x larda bo’ladi. Shuni e’tiborga olib topamiz: Bu tenglikda da limitga o’tib, ushbu 22 tenglikka kelamiz. 1-natija. Agar f(x) funksiya x 0 nuqtada f’(x 0 ) hosilaga ega bo’lsa, cf(x) funksiya (c=const) x 0 nuqtada hosilaga ega bo’lib, bo’ladi, y’ani o’zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin. 2-natija. Agar funksiyalar x 0 nuqtada hosilalarga ega bo’lib, o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda bo’ladi. Murakab funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik, funksiya to’plamda, g(y) funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqtada hosilaga, nuqtada hosilaga ega bo’lsin. u holda murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib, bo’ladi. g(y) funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo’lganligidan bo’lishi kelib chiqadi, bunda 23 keyingi tengliklarning har ikki tomonini ga bo’lib topamiz: Bundan da limitga o’tib, tenglikka kelamiz. Teskari funksiyaning hosilasi. Aytaylik, funksiya (a,b) da berilgan, uzluksiz va qatiy o’suvchi ( qatiy kamayuvchi) bo’lib, nuqtada hosilaga ega bo’lsin. U holda funksiya nuqtada hosilaga ega va bo’ladi. Ravshanki, bo’lib, da bo’ladi. Bu tenglikdan ifodaga kelamiz. Bundan esa bo’lishi kelib chiqadi. 24 Keyingi tenglikdan da limitga o’tib topamiz: Misollar. 1-misol. bo’ladi, Aytaylik, bo’lsin. Unda funksiya uchun bo’lib, da bo’ladi. 2-misol. bo’ladi, funksiya uchun bo’lib, da bo’ladi. 3-misol. bo’ladi, f(x) = sinx funksiya uchun bo’lib, bo’ladi. Huddi shunga o’xshash bo’lishi topiladi. 25 4-misol. bo’ladi, funksiya uchun bo’lib, da bo’ladi. Xususan, bo’ladi. 5-misol. bo’ladi. Teskari funksiya hosilasini hisoblash formulasiga asosan bo’ladi. Huddi shunga o’xshash bo’ladi. 6-misol. Faraz qilaylik bo’lib, lar mavjud bo’lsin. U holda 26 bo’ladi. Ushbu ni logarifmlab, ga ega bo’lamiz,so’ngra murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz: Bu tenglikdan funksiya hosilasini hisoblashning quyidagi qoidasi kelib chiqadi: funksiyaning hosilasi ikki qo’shiluvchidan iborat bo’lib, birinchi qo’shiluvchi ning ko’rsatkichli funksiya deb olingan hosilasiga ( bunda asos u(x) o’zgarmas deb qaraladi ), ikkinchi qo’shiluvchi esa ning darajali funksiya deb olingan hosilasiga ( bunda daraja ko’rsatkich v(x) deb qaraladi ) teng bo’ladi. 7-misol. Ushbu funksiyalarning hosilalari topilsin. formuladan foydalanib topamiz: 27 Hosilalar jadvali. Quyida eng sodda funksiyalarning hosilalarini ifodalovchi formulalarni keltiramiz: 28 2.2-§. Yuqori tartibli hosila. Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, da f’(x) hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiyani g(x) orqali belgilaymiz: . 1-ta’rif. Agar nuqtada g(x) funksiya hosilaga ega bo’lsa, bu hosila f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi. Huddi shunga o’xshash , f(x) ning 3-tartibli tartibli, tartibli va hakozo tartibli hosilalari ta’riflanadi. 1-misol. y=e x sinx funksiyaning 100-tartibli hosilasini hisoblang. 29 funksiyaning n- tartibli hosilasi bo’lgan ning hosilasi funksiyaning (n+1)- tartibli hoslasi deyiladi. funksiyaning hosilalari uning yuqori tartibli hoslalari deyiladi. Shuni takidlash lozimki funksiyaning da n-tartibli hosilasining mavjudligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida 1- , 2-, …, (n-1) - tartibli hosilalari mavjudligini taqozo etadi. Ammo bu hosilalarning mavjudligidan n-tartibli hosila mavjudligi umuman aytganda kelib chiqavermaydi. 30 Funksiyaning hosilasi bo’lib, bu funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas ya’ni berilgan funksiyaning x=0 da birinchi tartibli hosilasi mavjud, ikkinchi tartibli hosilasi mavjud emas. 2-misol. bo’lsin. bu funksiya uchun shunga o’xshash 3-misol. bo’lsin . Bu funksiya uchun bo’ladi. funksiya uchun bo’lib, undan bo’lishini topamiz. funksiyalar 31 (a,b) oraliqda berilgan bo’lib hosilalarga ega. N-tartibli xosilalarning xossalari 1) 2) 3) bo’ladi. Bu atsdiqlardan 3-sining isbotini keltiramiz. Ravshanki n=1 da (2) munosabat o’rinli bo’ladi. Aytaylik (2) munosabat n-1 da o’rinli bo’ladi. Aytaylik n-1 da o’rinli bo’lsin bo’lishini topamiz. 32 4-misol. funksiyani n-tartibli hosilasini toping. Leybnis formulasidan , deb olamiz. Unda bu formulaga ko’ra ayni paytda funksiya uchun k>2 bo’lganda 5-misol. Ushbu funksiyani quyidagicha yozib olamiz. So’ng formuladan foydalanamiz. 6-misol. Agar bo’lsa, y’’’ hosila topilsin. Dastlab y’ va y” larni topamiz. 33 7-misol. ushbu funksiyaning 20-tartibli hosilasi topilsin. Yechish: 8-misol . funksiyaning n- tartibli hosilasini toping. Yechish: n martta ketma-ket differensiallab, quyidagiga ega bo’lamiz: 9-misol. Oshkormas holda tenglama bilan berilgan y funksiyaning y’ va y” hosilalarini toping. Yechish: y o’zgaruvchi x ning funksiyasi deb hisoblab, berilgan tenglamaning ikkala qismini x bo’yicha diffirensiallaymiz: . 34 Bundan . Topilgan birinchi y’ hosilani yana x bo’yich differensiallaymiz: . Endi ekanini hisobga olib ni hosil qilamiz. Shunday qilib, , chunki shartga ko’ra 10-misol: Ushbu parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini toping. Yechish : Quyidagi formuladan topamiz: 35 11-misol. Ushbu funksiyaning n- tartibli hosilasi topilsin. Leybnis formulasiga asosan 2.3-§ Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyalarning ekstremumlarini tekshirish. Agar (a,b) oraliqning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ikkita ixtiyoriy nuqtalari uchun tengsizlik bajarilsa funksiya (a,b) oraliqda o’suvchi deyiladi. Agar (a,b) oraliqning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ikkita ixtiyoriy nuqtalari uchun tengsizlik bajarilsa funksiya (a,b) oraliqda kamayuvchi deyiladi. Oraliqda o’suvchi yoki kamayuvchi funksiyalar monoton funksiyalar deyiladi. 36 Monotonlikning zaruriy shartlari: 1. Agar (a,b) oraliqda differensiallanuvchi funksiya o’suvchi bo’lsa, u holda 2. Agar (a,b) oraliqda differensiallanuvchi funksiya kamayuvchi bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi. Monotonlikning yetarlilik shartlari. 1. Agar (a,b) oraliqda differensiallanuvchi funksiya monoton hosilaga ega bo’lsa, ya’ni , funksiya shu oraliqda kamayuvchi funksiya bo’ladi. Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi nolga teng yoki uzilishga ega bo’ladigan nuqtalari kritik nuqtalar deyiladi. Eng sodda hollarda funksiyaning aniqlanish sohasini chekli sondagi kritik nuqtalar bilan chegaralangan monotonlik oraliqlarga bo’lish mumkin. Agar nuqtaning shunday atr ofi mavjud bo’lsaki , bu atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda y=f(x) funksiya nuqtada maksimumga erishadi deyiladi. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki , bu atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda y=f(x) funksiya nuqtada minimumga erishadi deyiladi. 37 Funksiya maksimum yoki minimumga erishadigan nuqtalar uning ekstremum nuqtalari deyiladi. Funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlari funksiyaning ekstremum ( maksimal yoki minimal ) qiymatlari deyiladi. Ekstremumning zaruriy sharti. Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda nolga teng yoki mavjud bo’lmaydi. Ammo har qanday kritik nuqta ham ekstremum nuqta bo’lavermaydi. Ekstremumning yetarlilik sharti. 1. Agar nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bo’lsa funksiyaning hosilasi bu nuqtadagi o’tishda ishorasini o’zgartirsa u holda - bu funksiyaning ekstremum nuqtasi bo’ladi. 2. Agar nuqtadan chapdan o’ngga o’tishda o’z ishorasini manfiydan musbatga o’zgartirsa, u holda nuqtada funksiya minimumga erishadi. Shunday qilib monotonlik va ekstremumning yetarlilik shartlaridan foydalanib o’sish va kamayish oraliqlarini, maksimum va minimum niqtalarini, topish funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblash kerak. 1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumlarini topish. Yechish: Berifgan gunksiyaning aniqlanish sohasi – butun Ox o’qi bo’lib uning hosilasi hosilani nolga tenglashtirib kritik nuqtalarini topamiz: Ox o’qi bu nuqtalar bilan uchta oraliqqa bo’linadi: 38 Bu oraliqlarda hosilaning ishorasini tekshrib, natijalarni quyidagi jadvalga yozamiz: x 0 2 y’ + 0 - 0 + y max 0 Min -4 funksiya kesmada o’zining eng kichik yoki eng katta qiymatlariga (a,b) oraliqda yotuvchi kritik nuqtalarida yoki kesmaning oxirlarida erishadi. Xulosa Matematik analiz oily matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, matematika poydevori hisoblanadi. 39 Matematik analiz faninig asosiy vazifasi shu fanning tushuncha va tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtirishdangina iborat bo’lmasdan, balki talabalarni mantiqiy fikrlashga, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo’llashni o’rgatishni ham o’z ichiga oladi. Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o’qitishda muhim ahamyatga ega bo ’ lgan bir o’zgaruvchili funksiya va uning xosilasini o’rganish, o`rgatish masalasiga bag’ishlangan. Kurs ishi kirish, ikki bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta`lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning samarali natijasi va mavzu bo`yicha boshlang`ich ma`lumotlar berildi. Birinchi bobda funksiya ta`rifi, uning kelib chiqishi,funksiyaning berilish usullari, aniqlanish soxasi, turli elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli funksiya, kvadratik funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari trigonometrik funksiyalar,funksiya va uning grafini pedagogic texnalogiyalar orqali o`qitish haqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi va mavzuga doir misollar bilan boyitildi. Ikkinchi bobda funksiyani hosilasi hosila jadvali hosilani xisoblash qonun qoidalari va yuqori tartibli hosilalari ta’riflangan va ularga doir ko’plab misollar keltirilgan. Xulosa qiladigan bo`lsam matematikaning har bir bo`limiga o`tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma`lumotlarga duch kelamiz ularni o`quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o`qituvchining mahoratiga bog`liq. Mavzuni hayotga bog`lab tushuntirib berish undagi o`ziga xos xususiyatlarni o`quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O`qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo`lishi lozim va malakasini 40 tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O`qituvchining zamon bilan ham nafas bo`lishi ham bugungi kun talabi. Shunday ekan biz bo`lajak pedagoglar o`qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma`suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda vaqtimiz imkonimiz borida o`qib o`rganib olishimiz kerak. Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib, bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo`lib yetishishimiz va vatanimiz ravnaqiga o`z hissamizni qo`shishimiz kerak. Foydalanilgan adabiyotlar 1. I.A . Karimоv “ Yuksak malakali mutaxassislar-tar a qqiyot оmili ”. T . : 41 O‘zbekistоn, 1995 -y. 2. I.A.Karimоv “Vatan ravnaqi uchun har birimiz masulmiz”.T.: O‘zbekistоn, 2001-y. 3. I.A.Karimоv“Insоn, uning huquq va erkinliklari - оliy qadriyat”.T: “O‘zbekistоn nashriyot-matbaa ijоdiy uyi”, 2006-y. 4. T.Azlarov, X.Mansurov. Matematik analiz. 1,2-tom. Toshkent, «O‘qituvchi», 1986, 1989. 5. Ё.У.Соатов олий математика 3-том тошкент “узбекистон” 1996-й 6. Г . М . Ф ixtengols matematik analiz asoslari 1.2tom Toshkent 1970 7. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов. М.: ООО «Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст Internet saytlari Maktabda axborot texnologiyalari www.edunet.uz Talaba-yoshlar sayti www.study.uz Bilim portali www . ziyonet . uz 8. 42
Купить