Информация о документе

Цена 10000UZS
Размер 509.4KB
Покупки 2
Дата загрузки 23 Февраль 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Madinabonu

Дата регистрации 27 Апрель 2024

41 Продаж

Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.

Купить
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI ____________ DAVLAT UNIVERSITETI KURS ISHI MAVZU : Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit. BAJARDI: _______________________________________________ TEKSHIRDI: _____________________________________________ _______________ - 202 ___ 1 MUNDARIJA: Kirish ...................................................................................................................... 3 I bob Sonli ketma-ketlik ta’rifi va umumiy tushunchalar. .................................... 5 1.1 Chegaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar. ............................. 8 1.2 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar hamda ularning xossalari. .... 9 1.3 Sonli ketma-ketlikning limiti va uning xossalari ........................................... 12 II bob Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari ........................................... 18 2.1 Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar ................................................................ 19 2.2 Aniqmasliklar va ularni ochish ....................................................................... 21 2.3 Bir tomonlama limitlar va ular haqida tushuncha .......................................... 29 Xulosa ................................................................................................................... 37 2 KIRISH Matematik analizda limit tushunchasi muhim mavzulardan biri bo‘lib, funksiyaning berilgan nuqtadagi xatti-harakatini chuqurroq o‘rganishga yordam beradi. Limit tushunchasi differensial va integral hisob asoslaridan biri sifatida matematikada, fizika, iqtisod va boshqa ko‘plab fanlarda keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, bir tomonli limitlar va maxsus ajoyib limitlar matematik tahlil uchun muhim vositalardandir. Ushbu kurs ishida bir tomonli limitlar va ikkinchi ajoyib limit haqida batafsil tahlil qilinadi. Bir tomonli limitlar tushunchasi funksiyaning chapdan yoki o‘ngdan yaqinlashganda qanday qiymatga intilishini o‘rganish uchun ishlatiladi. Bu tushuncha uzluksizlik, differensiallik va asimptotalar kabi mavzularni o‘rganishda katta ahamiyatga ega. Bundan tashqari, ikkinchi ajoyib limit sifatida tanilgan quyidagi limitni tahlil qilamiz: $$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}.$$ Bu limit trigonometrik funksiyalarning limitlarini hisoblash va Taylor qatoridan foydalanishda muhim o‘rin tutadi. Tadqiqot usuli sifatida nazariy tahlil va matematik isbotlardan foydalanilgan. Ishda limitlar va hosilalar bilan bog‘liq asosiy formulalar va natijalar keltirilib, ularning amaliy qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi. Shunday qilib, ushbu ish matematik analizdagi muhim tushunchalarni yanada chuqurroq o‘rganish va ularni amaliy jihatdan qo‘llashga imkon beradi. Limit tushunchasi matematikada markaziy o rinlardan birini egallaydi vaʻ matematik tahlilning asosiy tushunchasi hisoblanadi. Limitning zamonaviy nazariyasi ushbu kontseptsiya haqidagi juda qadimiy va intuitiv g'oyalarni umumlashtirish va takomillashtirish natijasidir. Ildizlari qadim zamonlarga borib taqaladigan chegara tushunchasining kelib chiqishi egri chiziqli figuralarning 3 maydonlarini va egri sirtlar bilan chegaralangan jismlarning hajmlarini aniqlash bilan bog`liq. Cheklov g'oyasi Evklid (miloddan avvalgi 365), Aristotel (miloddan avvalgi 287-212) va boshqa antik davr matematiklari tomonidan ilgari surilgan. Keyinchalik chegara tushunchasini kiritishga urinish I. Nyuton tomonidan amalga oshirildi. U ohak (chegara) maxsus atamasini kiritdi. XVIII asr oxirida. chegaradan foydalanishni rus matematigi S.E.Guryev keng targ‘ib qilgan. Hosila, differensial va integral tushunchasi, barcha matematik tahlillar singari, hozirda 19-asrda ishlab chiqilgan kontseptsiyaga asoslanadi. chegaralar usuli yoki cheksiz kichiklar usuli, o'sha paytda chegara tushunchasi matematik tengsizliklar yordamida tasvirlanishi mumkin bo'lgan ilmiy ta'rifni oldi. Bu chegaralar nazariyasiga zaruriy qat'iylik berdi, uni amaliy qo'llashda keng qo'llash imkonini berdi va zamonaviy matematikani qurish uchun asos bo'ldi. Bunda fransuz matematigi O. Koshining alohida xizmatlari bor. Bo'lim: "ketma- ketlik chegarasi", matematik tahlil kursidagi eng muhimlaridan biridir. Bu erda butun kurs uchun poydevor qo'yilgan. Funksiya, limit, uzluksizlik kabi tushunchalarni chuqur o‘zlashtirmasdan, chegaralar va uzluksiz funksiyalar haqidagi asosiy teoremalarni bilmasdan, chegaralarni hisoblash qobiliyatisiz materialni keyingi o‘rganish mumkin emas. Kurs ishining tanlangan mavzusi: “Tartiblik chegarasi. Stolz teoremasi va uning qo'llanilishi juda muhim va dolzarbdir, chunki darsliklarda har doim ham chegara, uzluksizlik, chegaralar va uzluksiz funktsiyalarning xususiyatlarini isbotlash tushunchalariga aniq ta'riflar berilmaydi va bu ishda barcha materiallar tizimlashtirilgan va aniq taqdim etilgan. Kurs ishining ob'ekti . Matematik analiz kursida sonli ketma-ketlikning chegarasini o'rganish jarayoni. Kurs ishining mavzusi . Ketma-ketlik chegarasi nazariyasini o'rganish va ketma-ketlikning yaqinlashuvini isbotlash masalalarini yechishda qo'llash. Kurs ishining maqsadi . Ketma-ketlik chegarasining analitik mohiyatini o'rganish, ketma-ketlik chegarasi. 4 Kurs ishining vazifalar : a) ilmiy, o'quv va uslubiy adabiyotlarni o'rganish va tahlil qilish; b) ushbu mavzu bo'yicha materialni tizimlashtirish, c) ketma-ketlik chegarasining iqtisod, geometriya va fizikada amaliy qo'llanilishining xilma-xilligini ko'rsatish. 1 Kurs ishining hajmi: Kurs ishi uch bo‘limdan iborat bo‘lib, birinchi bo‘limda limit tushunchasi va uning asosiy xossalari bayon etiladi, ikkinchi bo‘limda bir tomonli limitlar tahlil qilinadi, uchinchi bo‘limda esa ikkinchi ajoyib limit va uning qo‘llanilishiga e’tibor qaratiladi. I BOB SONLI KETMA-KETLIK TA’RIFI VA UMUMIY TUSHUNCHALAR. 1-ta’rif. Natural sonlar qatoridagi 1,2,3, …, n , ... 1 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 5 har bir n songa haqiqiy xn son mos qo’yilgan bo’lsa, x1,x2,...,xn,... (1) (1) haqiqiy sonlar to’plamiga sonli ketma-ketlik yoki qisqacha ketma-ketlik deyiladi. x1,x2,...,xn,... sonlarga sonli ketma-ketlikning hadlari deyilib, xn ga ketma – ketlikning umumiy hadi yoki n – hadi deb ataladi, (1) sonli ketma- ketlikni qisqacha {xn} simvol bilan belgilanadi. Masalan, 1) { 1 n} sonlar ketma- ketligi 1 , 1 2 , 1 3 ,… ,1 n … . bo’ladi; 2) { n n+ 1} sonlar ketma-ketligi 1 2 ,2 3 ,3 4 ,… , n n+1 ,… . bo’ladi. Sonli ketma-ketlikning umumiy hadini olish usuli ko’rsatilgan bo’lsa, u berilgan deyiladi. Misol uchun, 1) xn= 2+(− 1)n bo’lsa, u 1, 3, 1, 3, 1, 3, ...., 1, 3, ... ; 3) 2 3 kasrni o’nli kasrga aylantirganda verguldan keyin bitta, ikkita, uchta va hokazo raqamlarni olib, x1=0,6,x2=0,66 , x3=0,666 ,... sonlar ketma-ketligini olish mumkin; 6 4) a1,a1+d,a1+2d,...,a1+(n− 1)d,... arifmetik progressiya ham sonli ketma-ketlikdir, bunda a1 birinchi had, d arifmetik progressiya ayirmasi; 4) b1,b1q,b1q2,… ,b1qn−1,… sonlar ketma-ketligi ham ketma-ketlikka misol bo’ladi, bu birinchi hadi b1 maxraji q bo’lgan geometrik progressiyadir. Sonli ketma-ketlikning ta’rifidan ma’lumki, u cheksiz sondagi elementlarga ega bo’lib, ular hech bo’lmaganda o’zlarining tartib raqami bilan farq qiladi. Sonlar ketma-ketligining geometrik tasviri sonlar o’qidagi nuqtalar bilan ifodalanadi. Sonli ketma-ketliklar ustida ushbu arifmetik amallarini bajarish mumkin: 1) {хn} sonlar ketma-ketligini songa ko’paytirish, m x1,m x2,m x3,...,mx n,.... ko’rinishda bo’ladi; 2) ikkita {хn} va {yn} sonlar ketma-ketligining yig’indisi x1+ y1, x2+ y2,...,xn+ yn,...; ko’rinishda aniqlanadi; 3) ikkita {хn} va {yn} sonlar ketma-ketiligini ayirmasi x1− y1,x2− y2,...,xn− yn,.... ko’rinishda bo’ladi; 7 4) ikkita {хn} va {yn} sonlar ketma-ketligi ko’paytmasi x1⋅y1, x2⋅y2,...,xn⋅yn,...; kabi aniqlanadi; 5) ikkita {хn} va {yn} sonlar ketma-ketligining nisbati, maxraj 0 dan farqli bo’lganda, x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn ,.... ko’rinishda bo’ladi hamda mos ravishda {mх n} , {xn+ yn}, {xn− yn}, {xn⋅yn}, { xn yn} simvollar bilan belgilanadi. 1.1 C h egaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar. 1-ta’rif. {хn} sonlar ketma – ketligi uchun shunday M ( m son) son mavjud bo’lib, ketma-ketlikning istalgan elementi uchun xn≤ M (xn≥ m ) tengsizlik bajarilsa {хn} ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. 2-ta’rif. {хn} sonlar ketma-ketligi quyidan va yuqoridan chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday m va M sonlar mavjud bo’lib, {хn} ketma-ketlikning istalgan elementi uchun m ≤ xn≤ M tengsizlik bajarilsa, {хn} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. 3-ta’rif. {хn} sonlar ketma-ketligi uchun shunday А musbat son mavjud bo’lib, xn element mavjud bo’lib, |xn|> A (ya’ni xn> A yoki xn<− A ) tengsizlik bajarilsa {хn} sonlar ketma-ketligi chegaralanmagan deyiladi. 8 Yuqoridagi ta’riflardan kelib chiqadiki, {хn} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari (−∞ , М ] oraliqqa tegishli, {хn} ketma-ketlik quyidan chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari [m ,+∞ ) oraliqqa tegishli, yuqoridan va quyidan chegaralangan bo’lsa, [m ,M ] oraliqqa tegishli bo’ladi. Misollar: 1) 1, 2, 3, ..., n , ... sonlar ketma-ketligi quyidan chegaralangan, lekin yuqoridan chegaralangan; 2) -1, -2, -3, ..., - n , ... sonlar ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan; 3) 1, 1 2 ,1 3 ,...,1 п ,... sonlar ketma-ketligi chegaralangan, chunki uning hamma elementlari uchun 0≤ xn≤ 1 tengsizlik bajariladi, bunda m = 0 M = 1 bo’ladi; 4) -1, 2, -3, 4, -5, ..., −(− 1)nn ,... sonlar ketma-ketligi chegaralanmagan, chunki qanday A son olmaylikki, bu ketma-ketlik ichida |xn|> A tengsizlikni qanoatlantiruvchi elementlari mavjud bo’ladi. 1.2 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar hamda ularning xossalari . 1-ta’rif. {хn} sonlar ketma-ketligi istalgan А son uchun, shunday N raqam mavjud bo’lib, hamma n> N lar uchun |xn|> A tengsizlik bajarilsa, {хn} sonlar ketma-ketligi cheksiz katta ketma-ketlik deyiladi. {хn} cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo’ladi. 2-ta’rif. Istalgan ε> 0 son uchun shunday N raqam mavjud bo’lib, 9 n> N lar uchun |xn|<ε tengsizlik bajarilsa {хn} ketma-ketlik cheksiz kichik sonlar ketma-ketligi deyiladi. 2 Misollar: 1) natural sonlar ketma-ketligi {n} cheksiz katta ketma-ketlikdir; 2) { 1 n} sonlar ketma -ketligi cheksiz kichikdir, haqiqatan ham, istalgan ε> 0 son olsak, |xn|= |1 n |<ε dan n> 1 ε bo’lib, N uchun N = [ 1 ε] ( 1 ε butun qismi) olib, hamma n> N lar uchun 1 n = |xn|< ε tengsizlik bajariladi. 2-ta’rifga asosan { 1 n} ketma-ketlik cheksiz kichik bo’ladi. CHeksiz kichik va cheksiz katta ketma- ketliklar orasida ushbu bog’liqlik bor. 1-teorema. {хn} cheksiz katta ketma-ketlik va uning hamma elementlari 0 dan farqli bo’lsa, { 1 xn} ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik va aksincha {αn} cheksiz kichik ketma-ketlik va αn≠ 0 bo’lsa, { 1 αn} ketma-ketlik cheksiz katta ketma-ketlik bo’ladi. Isbot. {хn} cheksiz katta ketma-ketlik bo’lsin. Istalgan ε> 0 son olib, A= 1 ε deylik. 1-ta’rifdan shu A son uchun shunday N raqam mavjudki, n> N lar uchun |xn|> A bo’ladi. Bundan hamma n> N uchun | 1 xn |< 1 A = ε kelib 2 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 10 chiqadi. Bu { 1 xn} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini bildiradi. (Teoremaning ikkinchi qismini isbot qilishni o’quvchiga havola etamiz). Cheksiz kichik ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega. 2-teorema. Ikkita cheksiz kichik ketma-ketliklarning algebraik yig’indisi yana cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi. Isbot. {αn} v a {βn} cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. Bu cheksiz kichik ketmk-ketliklar uchun, istalgan ε son uchun N1 raqam topiladiki, n> N 1 lar uchun, |αn|< ε 2 tengsizlik, N2 raqam topiladiki, n> N 2 lar uchun |βn|< ε 2 tengsizliklar bajariladi. N = max {N 1, N 2} desak, n> N lar uchun birdaniga |αn|< ε 2 , |βn|< ε 2 tengsizliklar bajariladi. S h unday qilib, |αn± βn|≤ |αn|+|βn|< ε 2 + ε 2 = ε b њ ladi. Bu {αn± βn} ketma-ketlikning cheksiz kichik ekanligini bildiradi. Natija. Istalgan chekli sondagi cheksiz kichiklarning algebraik yig’indisi yana cheksiz kichik ketma-ketlikdir. 3-teorema. Ikkita cheksiz kichik ketma-ketlikning ko’paytmasi, cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi. Isbot. {αn} v a {βn} lar cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. {αn⋅βn} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini isbotlash talab etiladi. {αn} cheksiz kichik bo’lganligi uchun, istalgan ε> 0 son uchun shunday N1 raqam topiladiki, n> N 1 11 lar uchun |αn|< ε, {βn} cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lganligi uchun ε= 1 uchun shunday N2 topiladiki n> N 2 lar uchun |βn|<1, bajariladi. N = max {N 1, N 2} deb olsak, n> N lar uchun ikkala tengsizlik ham bajarilib, |αn⋅βn|≤ |αn|⋅|βn|< ε⋅1= ε bo’ladi. Bu {αn⋅βn} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini bildiradi. Natija. Istalgan sondagi cheksiz kichiklarning ko’paytmasi yana cheksiz kichik bo’ladi. Eslatma. Ikkita cheksiz kichiklarning nisbati cheksiz kichik bo’lmasligi mumkin, masalan, αn= 1 n , βn= 1 n cheksiz kichiklarning nisbati hamma elementlari 1 lardan iborat chegaralanlan ketma-ketlikdir. αn= 1 n , βn= 1 n2 cheksiz kichik ketma-ketliklarning nisbati { αn βn}= {n} bo’lib, cheksiz katta ketma-ketlik hosil bo’ladi. αn= 1 n2, βn= 1 n bo’lsa, ularning nisbati { αn βn}= { 1 n } cheksiz kichik bo’ladi. 4-teorema . Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlikka ko’paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi. (Bu teoremaning isbotini o’quvchiga havola qilamiz). 1.3 Sonli ketma-ketlikning limiti va uning xossalari 1-ta’rif . Istalgan ε> 0 son uchun unga bog’liq bo’lgan N son topilsaki, barcha n> N lar uchun |xn− a|< ε tengsizlik bajarilsa, a songa {xn} ketma- ketlikning n→ ∞ dagi limiti deyiladi va 12 lim n→∞ xn= a ёки n → ∞ да xn→ a simvollar bilan belgilanadi. Chekli limitga ega sonli sonli ketma-ketlikka, yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi. Limitning ta’rifiga misol qaraymiz. Limitning ta’rifidan foydalanib, lim n→∞ n n+1 = 1 ekanligini ko’rsatamiz. Istalgan ε> 0 son olamiz. |xn− 1|=| n n+1 − 1|= |n− n− 1 n+1 |= 1 n+1 bo’lganligi uchun, |xn− 1|<ε tengsizlikni qanoatlantiruvchi n larning qiymatini topish, 1 n+1 < ε tengsizlik bilan bog’liq va 1<ε(n+1) ёки n> 1− ε ε bo’ladi. Shuning uchun N sifatida 1− ε ε sonning butun qismini olish mumkin, ya’ni N = [ 1− ε ε ] b њ ladi. Bu holda |xn− 1|<ε tengsizlik hamma n> N lar uchun bajariladi. Masalan, ε= 0,1 bo’lsin, bu holda N = [ 1− 0,1 0,1 ]= [ 0,9 0,1 ]= 9. n= 10 > N = 9 bo’lsin. Bunda x10= 10 10 +1 = 10 11 bo’lib, 13 |x10− 1|=|10 11 − 1|= 1 11 <ε= 0,1 . Shunday qilib n =10 dan boshlab, hamma n lar uchun |x10− 1|<0,1 tengsizlik bajariladi. Demak, lim n→∞ n n+1 = 1 tenglik o’rinli bo’ladi. Boshqa bir necha ε> 0 lar olib, qaysi raqamlardan boshlab, tengsizlikning bajarilishini ko’rsatishni o’quvchiga havola etamiz. Eslatma 1. {xn} sonlar ketma-ketligi biror a limitga ega bo’lsa, uni αn= xn− a cheksiz kichik miqdor ko’rinishida ifodalash mumkin, chunki ε> 0 son uchun shunday N topiladiki, n> N lar uchun |αn|= |xn− a|< ε tengsizlik bajariladi. SHuning uchun a limitga ega bo’lgan {xn} sonlar ketma- ketligini xn− a= αn ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda αn cheksiz kichik ketma-ketlik. 3 2-ta’rif . ε> 0 biror musbat son bo’lsin. |xn− a|< ε tengsizlik hamma n lar uchun bajarilsa, {xn} sonlar ketma-ketligi a nuqtaning ε atrofida deyiladi. 2-eslatma . Ma’lumki |xn− a|< ε tengsizligi − ε< xn− a< ε yoki a− ε< xn< a+ ε 3 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 14 tengsizlik bilan teng kuchli bo’lib, xn element a nuqtaning ε atrofida bo’ladi. Shuning uchun, {xn} ketma-ketlikning limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin:- a nuqtaning ε atrofi uchun shunday N raqamni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, hamma n> N lardan boshlab, hamma xn elementlar a nuqtaning ε atrofida bo’lsa, a songa {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi. 3-eslatma. Ma’lumki cheksiz katta ketma-ketlik limitga ega emas yoki uni cheksiz limitga ega deyiladi va lim n→∞ xn= ∞ bilan belgilanadi. Ketma-ketlikning limitini cheksiz limitdan farq qilishi uchun chekli limit ham deb yuritiladi. Eslatma. Tushunarliki, har bir cheksiz kichik ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti а= 0 ga teng. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega. 1.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagonadir. 2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan. Eslatma. Chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lmasligi mumkin. Masalan, −1,1,−1,...,(−1)n,... ketma-ketlik, chegaralangan, lekin limitga ega emas. 3. {xn} va {yn} soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b limitlarga ega bo’lsa, ularning algebraik yig’indisi ham yaqinlashuvchi bo’lib, a± b limitga ega bo’ladi. 15 4. {xn} va {yn} soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b limitlarga ega bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limiti a⋅b ga teng bo’ladi. 5. {xn} va {yn} soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda a va b limitlarga ega bo’lsa, ularning nisbati ham maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti a b ga teng bo’ladi. Bu xossalarni, ketma-ketlikning limiti va cheksiz kichik ketma-ketliklarning xossalaridan foydalanib isbotlash mumkin. Masalan, 4-xossani isbotlaylik. Ketma- ketliklar yaqilashuvchi bo’lganligi uchun xn= a+ αn, yn= b+ βn ko’rinishda ifodalanadi, bunda αn, βn lar cheksiz kichik ketma-ketliklar. Bu holda xn⋅yn− ab = aβ n+ bα n+ α n⋅βn bo’ladi. (aβ n+ bα n+ αn⋅βn) ifoda cheksiz kichik ketma-ketlikning xossalariga asosan cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Demak xnyn− ab ham cheksiz kichikdir, ya’ni lim n→∞ (xnyn− ab )= 0 ёки lim n→∞ xnyn= ab bo’ladi. 1-misol. Ushbu limitni hisoblang. lim n→∞ 3n2+2n− 1 4n2− 5 16 Yechish. n→ ∞ surat ham maxraj ham cheksiz katta bo’lib, nisbatning limiti haqidagi xossani qullash mumkin emas, chunki bu xossada surat va maxrajning limiti mavjud bo’lishi kerak edi. S h uning uchun, bu ketma-ketliklarni n2 ga bo’lib, shaklini o’zgartiramiz hamda limitlarning xossalarini qo’llab, ushbuni hosil qilamiz: lim n→∞ 3n2+ 2n− 1 4n2− 5 = lim n→∞ 3+ 2 n − 1 n2 4− 5 n2 = lim n→∞ (3+ 2 n +1 n2) lim n→∞ (4− 5 n2) = ¿ lim n→∞ 3+ lim n→∞ 2 n − lim n→∞ 1 n2 lim n→∞ 4− lim n→∞ 5 n2 = 3+ 0− 0 4− 0 = 3 4 . 17 II BOB FUNKSIYANING LIMITI VA UNING ASOSIY XOSSALARI 1. 1-ta’rif.y= f(x) funksiya x= a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, istalgan ε> 0 son uchun shunday δ> 0 son mavjud bo’lsaki, |x− a|<δ tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x≠ a nuqtalar uchun | f(x)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A chekli son y= f(x) funksiyaning x= a nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi lim x→a f (x)= A ёки x→ a да f (x)→ A (1) Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki x− a= α cheksiz kichik bo’lganda f(x)− A ham cheksiz kichik bo’ladi. 2-ta’rif. y= f(x) funksiya, x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 0  son uchun shunday, mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f(x)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas A son, y= f(x) funksiyaning x→ ∞ dagi limiti deyiladi, va lim x→∞ f(x)= A (2) 18 bilan belgilanadi. 4 1-ta’rifda faqat x<a yoki x>a bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va lim x→a−0 f(x) , lim x→a+0 f(x) (3) bilan begilanadi. 3-ta’rif. Limiti A= 0 bo’lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) deyiladi. 4-ta’rif. Limiti A =+ ∞ yoki A bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va lim f(x)=+ ∞ x→ a lim f(x)=+ ∞ x→ a (4) bilan belgilanadi. Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki y=C o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng. 2.1 Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar Funksiya limitining asosiy xossalari: 1) yig’indining limiti . CHekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti, qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni f1(x) va f2(x) funksiyalarning x→ a dagi limitlari mavjud bo’lsa, 4 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 19 lim x→a[f1(x)± f2(x)]= lim x→a f1(x)± lim x→a f2(x)(5) 2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni lim x→a[f1(x)⋅f2(x)]= lim x→a f1(x)⋅lim x→a f2(x) (6) Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni, lim x→a[cf 1(x)]= clim x→a f1(x) (7) 3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti n њ ldan farqli bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim x→a f2(x)≠ 0 bo’lsa, lim x→a f1(x) f2(x) = lim x→a f1(x) lim x→a f2(x) (8) bo’ladi. Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi: lim x→a sin x x = 1 ; (9) lim x→∞(1+ 1 x) x = lim x→0 (1+α)1/α= e , e= 2 ,71828 ... (10) Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi. 20 2.2 Aniqmasliklar va ularni ochish 1.Aniqmasliklar. lim x→a f(x) ϕ(x) limitni hisoblashda f(x), ϕ(x) funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa, f(x)/ϕ(x) nisbatga x→ a da (0/0) ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi . f(x), ϕ(x) funksiya lar ch.kat.f. lar bo’lsa, f(x)/ϕ(x) nisbatga x→ a da (∞ /∞ ) ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi . Xuddi shunga o’xshash ∞ − ∞ , 0⋅∞ , 00, ∞ 0 aniqmasliklar lim x→a [f1(x)− ϕ(x)], lim x→a [f(x)⋅ϕ(x)] ва lim x→a [f(x)] ϕ(x) limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi . (0/0) va ( ∞ /∞ ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: f(x) va ϕ(x) funksiyalar x= a nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning x→ a dagi limiti ham teng bo’ladi. Masalan, f(x)= x2− 9 2(x− 3) va ϕ(x)= x+3 2 funksiyalar x ning x= 3 dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki x2− 9 2(x− 3) = (x− 3)(x+3) 2(x− 3) = x+3 2 Yuqoridagi xossaga asosan, lim x→a f(x)= lim x→a ϕ(x) bo’ladi, ya’ni 21 lim x→3 x2− 9 2(x− 3) = lim x→3 x+ 3 2 = 6 2 = 3 natijaga ega bo’lamiz. Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz. 1-misol. lim x→∞ 5x+6 6x = 5 6 ekanligini funksiya limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang. Yyechish. Buni isbotlash uchun f(x)= (5x+6)/6x o’zgaruvchi miqdor va A= 5/6 o’zgarmas miqdor orasidagi farq x→ ∞ da cheksiz kichik funksiya ekanligini ko’rsatish kifoya. Demak, 5 x+6 6 x − 5 6 = 5 x+ 6− 5 x 6 x = 6 6 x = 1 x 1/x o’zgaruvchi miqdor x→ ∞ da cheksiz kichik funksiyadan iborat. SHunday qilib, lim x→∞ (5x+6)/6x= 5/6. . 2-misol. lim x→3 (2 x2− 5 x+4)= 7 ekanligini isbotlang hamda x va (2x2− 5x+4) larning qiymatlari jadvali bilan tushuntiring. 22 Yechish. x→ 3 bo’lganligi uchun x− 3= α cheksiz kichik miqdordir. x= 3+ α ni (2x2− 5x+4)− 7 ayirmaga qo’yib, 2(3+ α)2− 5(3+ α )+ 4− 7= 2(9+6α +α 2)− 15 − 5α+4− 7= ¿18 + 12 α+ 2α2− 15 − 5α + 4− 7= 2α2+ 7α natijaga ega bњlamiz. α cheksiz kichik funksiya bo’lganligi uchun 2α2+7α ham cheksiz kichik bo’ladi. SHunday qilib, lim x→3 (2x2− 5 x+4)= 7 isbot bo’ldi. Endi yuqoridagi holatni x argument, 2 x2− 5x+4 funksiya qiymatlari jadvali bilan ko’rsataylik. Ma’lumki x→ 3 intiladi. x 2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 → 3 2 x2− 5x+4 2 4 5,68 6,32 6,9302 6,993002 → 7 Bu jadvaldan ko ’ rinadiki , argumentning 3 ga yaqinlashib boruvchi qiymatlari uchun , funksiyaning mos qiymatlari 7 ga yaqinlashib boradi , ya ’ ni x− 3 cheksiz kichik miqdorga 2 x2− 5 x+ 4− 7 ayirmaning ham cheksiz kichik miqdori to ’ g ’ ri keladi . Yuqoridagi jadvalda x<3 bo ’ lib , x→ 3 holni qaradik . x>3 bo ’ lib , x→ 3 holni o ’ quvchiga mustaqil ko ’ rsatishni tavsiya qilamiz . 3-misol. lim x→2 (4x2− 6x+3) limitni hisoblang. 5 5 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 23 Yechish. Algebraik yig’indining limiti, (5) formula, o’zgarmas ko’paytuvchini limit ishorasidan chiqarish (7) formulalarga asosan: lim x→2 (4x2− 6x+3)= lim x→2 4x2− lim x→2 6 x+lim lim x→2 3= 4lim x→2 x2− 6lim x→2 x+lim x→2 3= ¿4(lim x→2 x)2− 6lim x→2 x+3= 4⋅22− 6⋅2+3= 7 hosil b њ ladi. Yuqoridagi misolda, limitlarning xossalariga asosan, argument x ning o’rniga uning limitik qiymatini qo’yishga olib keldi. 4-misol. lim x→1 (3x2− 4x+7)/(2x2− 5 x+6) limitni hisoblang. Yechish. Ikkita funksiya nisbatining limiti (8) formula hamda oldingi misolda foydalanilgan limitlarning xossalarini qo’llasak, lim x→1 3 x2− 4 x+7 2 x2− 5 x+ 6 = lim x→1 (3x2− 4 x+7) lim x→1 (2 x2− 5 x+ 6) = lim x→1 3 x2− lim x→1 4 x+ lim x→1 7 lim x→1 2 x2− lim x→1 5 x+lim x→1 6 = = 3(lim x→1 x) 2− 4(lim x→1 x)+ 7 2(lim x→1) 2− 5lim x→1 x+6 = 3⋅12− 4⋅1+ 7 2⋅12− 5⋅1+6 = 6 3 = 2 bo’ladi. Ratsional funksiyaing limitini hisoblash shu funksiyaning argument x ning limitik qiymatidagi, qiymatini hisoblashga keltirildi. Eslatma. f(x) elementar funksiyalarning x→ a intilgandagi limiti ( a aniqlanish sohasiga tegishli) funksiyaning x= a nuqtadagi qiymatiga teng bo’ladi. Masalan, 24 lim t→1 [lg (t+√ t2+80 )+√t2+8]= lg (1+√ t2+80 )+ √1+8= lg 10 + 3= 1+3= 4. 5-misol. lim x→1 3x2− x− 2 4 x2− 5x+2 limitni hisoblang. Yechish. x=1 da surat ham, maxraj ham nolga aylanib (0/0) ko’rinish- dagi aniqmaslik hosil bo’ladi. Surat va maxrajni ax 2+bx +c= a(x− x1)(x− x2) formula yordamida chiziqli ko’paytuvchilarga ajratamiz. Bunda x1 va x2 lar ax 2+ba + c= 0 kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak, lim x→1 3x2− x− 2 4x2− 5x+1 = lim x→1 3(x− 1)(x+2/3) 4(x− 1)(x− 1/4) = ¿ lim x→1 3(x+2/3) 4(x− 1/4) = 3(1+2/3) 4(1− 1/4) = 5/3 b њ ladi. 6-misol. lim x→1 6 x2+5 x+ 4 3 x2+7 x− 2 limitni hisoblang. Yechish. x→ ∞ da ) / (   ko’rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo’lamiz. Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini x ning eng yuqori darajalisiga, ya’ni ga bo’lamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak lim x←∞ 6 x2+5 x+ 4 3 x2+7 x− 2 = lim x→∞ 6+ 5/x+4/x2 3+ 7/x− 2/x2 = ¿ ¿ lim x→∞ (6+ 5/x+ 4/x2) lim x→∞ (3+7/x− 2/x2) = 6+ 0+0 3+ 0+0 = 2 ¿ 25 bo’ladi. Bunda 5/x, 4/x2 7/x , 2/x2 lar x→ ∞ da cheksiz kichik funksiyalardir. 7-misol. lim x→3 x2− 9 √x+1− 2 limitni hisoblang. Yechish. x= 3 da surat va maxraj 0 ga teng bo’ladi. Maxrajda √x+1 irratsional ifoda mavjud, uni suratga o’tkazamiz, buning uchun kasrning surat va maxrajini √ x+1+ 2 ga ko’paytiramiz. lim x→3 (x2− 9)(√ x+1+ 2) (√ x+ 1− 2)(√ x+ 1+ 2) = lim x→3 (x− 3)(x+ 3)(√ x+1+2) √(x+1)2− 22 = ¿ lim x→3 (x− 3)(x+3)(√x+1+ 2) x+ 1− 4 = lim x→3 (x− 3)(x+ 3)(√ x+1+2) (x− 3) = = lim x→3 (x+ 3)⋅(√ x+1+ 2)= (3+3)(√ x+1+ 2)= 6⋅4= 24 . 8-misol. lim x→π/4 sin x− cos x cos 2 x limitni hisoblang. Yechish. cos 2 x= cos 2x− sin 2x bo’lganligi uchun lim x→π/4 sin x− cos x cos 2 x = lim x→π/4 − (cos x− sin x) cos 2x− sin 2x = ¿− lim x→π/4 cos x− sin x (cos x− sin x)(cos x+sin x) = − lim x→π/4 1 cos x+sin x = ¿ − 1 cos π/4+sin π /4 = − 1 √2/2+ √2/2 = − 1 √2 natijani olamiz. 26 9-misol. lim x→0 sin 5x x limitni birinchi ajoyib limitdan foydalanib hisoblang. 6 Yechish. 5x= α , deb almashtirsak, bundan x= α/5 , x→ 0 α → 0 bo’ladi. SHuning uchun, lim x→0 sin 5 x x = lim α→0 sin α α/5 = 5lim α→0 sin α α = 5⋅1= 5 , chunki lim α→0 sin α α = 1 . 10-misol. lim x→∞ (1+3/x)x limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib hisoblang. Yechish. x→ ∞ da limitga o’tsak, 1∞ ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. 3/x= α bilan almashtirsak, bu yerdan x= 3/α hamda x→ ∞ da α → 0 bo’ladi..Demak, lim x→∞ (1+3/x)x= lim α→0 (1+α )3/α= [lim α→0 (1+ α )1/α ] 3 = e3 kelib chiqadi. SHundayqilib, lim x→∞ (1+3/x)x= e3 . 11-misol. lim x→1 ( 1 x− 1 − 2 x2− 1 ) limitni hisoblang. 6 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 27 Yechish: x→ 1 da 1/(x− 1)→ ∞ va 2/(x2− 1)→ ∞ bo’lib, ( ∞ − ∞ ) ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. 1 x− 1 − 2 x2− 1 = x+1− 2 x2− 1 = x− 1 x2− 1 . Oxirgi ifoda x→ 1 da (0/0) aniqmas ifoda bo’ladi. SHunday qilib, lim x→1 ( 1 x− 1 − 2 x2− 1 )= lim x→1 x− 1 x2− 1 = lim x→1 1 x+ 1 = 1 2 . 12-misol. lim x→+∞ (√ x2+3 x− x) limitni hisoblang. Yechish. x→ +∞ da ∞− ∞ ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. Quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz: √ x2+ 3x− x= (√ x2+3 x− x)(√ x2+ 3 x+ x) √x2+3 x+ x = (√ x2+ 3 x)2− x2 √ x2+3 x+ x = ¿ x2+ 3 x− x2 √ x2+ 3x+ x = 3 x √ x2+ 3 x+ x . Oxirgi ifoda x→ ∞ da (∞ /∞ ) ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, 11- misoldagidek x ning yuqori darajalisiga surat va maxrajini bo’lib, lim x→+∞ (√ x2+ 3 x− x)= lim x→+∞ 3 x √ x2+ 3 x+ x = lim x→+∞ 3 x/x √ x2/x2+ 3 х/x2+ x /x = ¿ lim x→+∞ 3 √1+ 3/x+ 1 = 3 1+1 = 3 2 = 1,5 bunda x→ +∞ da 3/x→ 0 bo’ladi. 28 2.3 Bir tomonlama limitlar va ular haqida tushuncha Ta’rif . Agar har bir son uchun shunday son topilsaki, bajarilganda (1) ham bajarilsa, x   argument a   ga intilganda funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va quyidagicha belgilanadi: funksiyaning limiti qaralayotganda a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga kirishi yoki kirmasligi ham mumkin. Funksiyaning a nuqtadagi limiti topilganda deb qaraladi. Quyidagi uch holni qarab o ` tamiz: 1-hol. A – chekli 2-hol. a – chekli, 3-hol. 1-hol. Avvaldan berilgan har qanday cheksiz kichik son uchun shunday son topilsinki, bo`lganda bo`lsin ; 2-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday topilsinki, bo`lganda bo`lsin: 3-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday son topilsinki, bo`lganda kelib chiqsin. . O ` zgarmas funksiyaning limiti shu o ` zgarmas songa teng. Isboti. berilgan bo`lsin. Unda har qanday uchun ni yoza olamiz. 29 Demak, ixtiyoriy a uchun Limitlar haqidagi teoremalar Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yig ` indi, ko`paytma, bo ` linma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga o ` xshash funksiyaning limitini hisoblashni ham osonlashtiradi. 1-teorema. Funksiyalar yig ` indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining yig ` indisiga(ayirmasiga) teng : 2-teorema. Funksiyalar ko`paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko`paytmasiga teng : Natija. O ` zgarmas ko`paytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin 3-teorema . Funksiyalar bo ` linmasining limiti shu funksiyalar limitlarining bo ` linmasiga teng, qachonki, bo ` luvchi funksiyaning limiti noldan farqli bo`lganda : , 4-teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror oralig ` ida tengsizliklar bajarilib, bo`lsa u holda bo`ladi . 30 1-misol. ni hisoblang. 7 Yechish.   Funksiyaning limitlari haqidagi teoremalardan foydalanib, quyidagilarni topamiz: 2-misol .   ni hisoblang. Ye chish .   Maxrajning limitini topamiz: S h uning uchun 3-teoremadan foydalanamiz: 2. Ajoyib limitlar Yoy sinusining shu yoyga nisbatining limiti: Bu tenglik birinchi ajoyib limit deb yuritiladi. Bunday tenglik yordamida trigonometrik funksiyalar qatnashgan ko`pchilik limitlar hisoblanadi. 1-teorema. o ` zgaruvchi miqdor da 2 bilan 3 orasida yotuvchi limitga ega. 7 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 31 Ta’rif. o ` zgaruvchi miqdorning dagi limiti e soni deyiladi. ;     e soni irratsional son: e =2, 7182818284... 2-teorema. x cheksizlikka intilganda funksiya e limitga intiladi, ya’ni . 3. Funksiyaning uzluksizligi Fаrаz qilаylik, bizgа Х sоhаdа аniqlаngаn y=f(x)   funksiya bеrilgаn bo`lsin. Аgаr y=f(x) funksiyaning аrgumеnti х=х 0 nuqtаdа аniqlаngаn bo`lib, ungа birоr Dх   оrttirmа bеrsаk, u hоldа shu nuqtаgа mоs kеlgаn funksiyaning оrttirmаsi hаm y+Dy=f(x 0 +Dx) bo`ladi. Bizgа bеrilgаn funksiyani x=x 0 nuqtаdаgi Dx оrttirmаsigа mоs kеlgаn Dy оrttirmаni tоpаdigаn bo`lsak, D y=f(x 0 + D x)-f(x) bo`ladi. Tа’rif.   y=f(x) funksiyaning аrgumеnti x ® x 0 dа funksiyaning o`zi shu nuqtаdаgi uning хususiy qiymаtigа intilsа, ya’ni f(x) ® f(x 0 ) bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiyasi Х to`plаmni x=x 0 nuqtаsidа uzluksiz dеyilаdi vа limit quyidagicha yozilаdi.   f(x)=f(x 0 ) 32 Tа’rifdаn ko`rinаdiki, y=f(x) funksiya birоr x=x 0 dа uzluksiz bo`lishi uchun quyidаgi shаrtlаr bаjаrilishi kеrаk: 1. y=f(x) funksiya x=x 0 nuqtаdа аniqlаngаn 2.   y=f(x) funksiyaning x=x 0 nuqtаdаgi limit qiymаti mаvjud f(x) 3. y=f(x) funksiyaning x=x 0 dаgi limit qiymаti uning shu nuqtаdаgi хususiy qiymаtigа tеng , ya’ni f(x)=f(x 0 ) Yuqоridа аytib o`tilgаn uchtа shаrt bаjаrilgаndа y=f(x)   funksiya x=x 0 nuqtаdа uzluksiz funksiya dеyilаdi, аks hоldа esа y=f(x)   funksiya x=x 0 nuqtаdа uzulishgа egа dеyilаdi.       Misоl .   y=2x+1 funksiyasini x=2   nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin Yechish .   (2x+1)=5;      f(2)=5 Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn. 1-ta’rif   (Koshi  ta’rifi).   " e > 0 son uchun shunday d   = d ( e )>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning | x - x 0 |< d tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | f ( x )- f ( x 0 )|< e tengsizlik bajarilsa, f (x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, f(x)=f(x 0 ). 1-misol . Ushbu f ( x )= funksiyaning x 0 =5 nuqtada uzluksiz ekanini ko ` rsating. Yechish. " e > 0 son olib, bu e songa ko`ra d   >0 soni d     = 4 e bo`lsin deb qaralsa, u holda | x -5|< d bo`lganda 33 bu esa qurilayotgan funksiyaning x 0 =5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi. 2-ta’rif   (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x 0 ga intiluvchi har qanday { x n } ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos { f ( x n )} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f ( x 0 ) ga intilsa, f ( x ) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deb ataladi. Agar munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu munosabat ham o`rinli bo`ladi. Odatda x - x 0 ayirma argument orttirmasi, f ( x )- f ( x 0 ) esa funksiyaning x 0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda D x va D y ( D f ( x 0 )) kabi belgilanadi, ya’ni: D x = x - x 0 , D y = D f ( x 0 )= f ( x )- f ( x 0 ). Demak, x = x 0 + D x , D y = f ( x 0 + D x )- f ( x ) natijada, munosabat ko`rinishga ega bo’ladi. 8 Shunday qilib, f ( x ) funksiyaning x 0 nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin. T а ’rif .   y=f(x) funksiyasining а rgum е nt о rttirm а si D x ® 0 d а ung а m о s k е luvchi funksiya о rttirm а si D y ® 0 bo`lsa, u h о ld а y=f(x) funksiya x=x 0 da uzluksiz d е yil а di v а D y=0 kabi yozil а di. x=x 0 + D x,       D x=x- x 0 ,         D y=f(x 0 + D x)-f(x 0 ),         D y=f(x)-f(x 0 ) D y= (f(x 0 + D x)-f(x 0 ))= (f(x 0 +x- х 0 )-f(x 0 ))= (f(x)-f(x 0 ))=0   Mis о llar 8 Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989. 34 1) y=2x+1   funksiyaning uzluksizligi ko`rs а tilsin. y+ D y=2(x+ D x)+1,    ayirmani  topamiz   D y=2x+2 D x+1-2x-1,   D y=2 D x D y= 2 D x  =0 2) y=x 3 y+ D y=(x+ D x) 3             D y=x 3 +3x 2 D x+3x( D x) 2 + D x 3                                 D y=x 3 +3x 2 D x+3x D x 2 + D x 3 -x 3 D y= D x(3x 2 +3x D x+ D x 2 ) D y=   (3x 2 +3x D x+ D x 2 ) D x=0. 3) f ( x )=cos x funksiyaning " x 0 Î R nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating. Yechish .   " x 0 Î R nuqtani olib unga D x orttirma beraylik. Natijada f ( x )=cos x ham ushbu D y =cos( x 0 + D x )-cos x 0 orttirmaga ega bo`lib,va - p < D x < p bo`lganda | D y | = |cos( x 0 + D x ) - cos x 0 |= munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa D x ® 0 da D y ® 0 bo`lishi kelib chiqadi. Aytaylik, y = f ( x ) funksiya x Ì R to`plamda aniqlangan bo`lib, x 0 ( x 0 Î X ) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x ® x 0 da f ( x ) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi: 1) chekli f ( x 0 -0), f ( x 0 +0) chap va o`ng limitlar mavjud va f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)= f ( x 0 ) tenglik o`rinli. Bu holda f ( x ) funksiya x = x 0 da uzluksiz bo`ladi; 2) f ( x 0 -0), f ( x 0 +0) lar mavjud, lekin f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)= f ( x 0 ) tengliklar bajarilmaydi, u holda f ( x ) ® x = x 0 nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi; 35 3) f ( x 0 -0), f ( x 0 +0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x 0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi; 4) f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0) ¹ f ( x 0 ) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi. Misol . Ushbu f ( x )=[ x ] funksiyaning x 0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating. Yechish . Demak, [ x ]=1, =2 Bundan esa berilgan funksiyaning x 0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.   36 XULOSA Kurs ishida sonli ketma-ketlik chegarasining ketma-ketligi, ta'riflari, turlari, asosiy ta'riflari, ketma-ketlik chegarasining asosiy tushunchalari haqida umumiy ma'lumotlar berilgan, ketma-ketlik chegaralarining asosiy xossalari aks ettirilgan, bularning amaliy qo'llanilishi. xossalari, va ketma-ketlikning chegarasi, shuningdek, ular bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar iqtisodiyot, fizika va geometriyada ancha keng amaliy qo'llanilishini ko'rsatadi. Chegara nazariyasini yaratishda I.Nyuton, G.Leybnits, J.Dalamber, L.Eyler qatnashdilar. Limitning zamonaviy nazariyasi chegaraning O. Koshi tomonidan berilgan qat’iy ta’rifiga asoslanadi va 19-asr matematiklari K.Veyershtras va B.Bolzanoning ishlari bilan sezilarli darajada ilgari surildi. 37 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Toshmetov O ., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M.ʻ Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b. 2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b. 3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b. 4. Turgunbayev R.M. Matematik analiz I-qism. T.: “Innovatsiya- ziyo”.2019-340 b. 5. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Qatorlar nazariyasi) .T.: “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b. 6. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensial va integral hisobi) . 2020. Farg ona. “Poligraf Super Servis ʻ . 7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 1 t: ʻ 1994 y.-416 b. 8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 2 t . ʻ 1995 y.-436 b. 9. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiba y ev M. “Matematik analizdan misol va masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y. 10. Toshmetov O , Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar ʻ to plami. 1-q. TDPU ʻ . 2006 y.-140 b. 11. Toshmetov O , Turgunbayev R. ʻ Matematik analizdan misol va masalalar t o ʻ plami , 2- q. TDPU. 2010 y.-48 b. 38 12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013ʻ y. – 56 b. 13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013 ʻ y. 14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр. 15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО «Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст. 16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр. 17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр. 18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot- konsalt”, 2014.-344b. (qozoq tilida) 19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot- konsalt”, 2015.-397 b. (qozoq tilida) Axborot manbaalari 1. www.tdpu.uz 2. www.pedagog.uz 3. www.edu.uz 5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK) ʻ 39

40-bet

Купить