Birhad va uning standart shakli. Ko‘phadlar. Algebraik ifoda. Natural ko‘rsatkichli daraja.Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlarni qoldiqli va qoldiqsiz bo‘lish - Алгебра - Презентации

Информация о документе

Цена	3000UZS
Размер	106.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Презентации
Предмет	Алгебра

Birhad va uning standart shakli. Ko‘phadlar. Algebraik ifoda. Natural ko‘rsatkichli daraja.Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlarni qoldiqli va qoldiqsiz bo‘lish

Купить

8 -Mavzu: Birhad va uning standart shakli. Ko’phadlar. Algebraik ifoda.
Natural ko’rsatkichli daraja. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlarni qoldiqli va
qoldiqsiz bo‘lish. Ko’phadning koeffitsiyentlar yig’indisi va ozod hadini
topish
Mavzuga oid tayanch tushunchalar: Birhad, ko’phad, ozod had.
Dars turi: Nazariy-Amaliy
Dars metodi: tushuntirish, aqliy hujum
Dars jihozlari: Darslik, tarqatma materiallar, rasmli ko`rgazma.
Dars maqsadi:
a) ta’limiy maqsad: o’quv materiali mazmunini bilish, mavzuga oid bilimlarni
o’zlashtirish va amaliyotga tatbiq etish malaka va ko’nikmalarini shakllantirish.
b) tarbiyaviy maqsad: mavzu mazmunidagi g’oyalar, dunyoqarashga ta’sir
etuvchi ilmiy tushunchalar, yangi axborotlar (bilimlar) ta’sirida o’zining ma’naviy-
axloqiy, umuminsoniy va kasbiy sifatlarini, e’tiqodi hamda madaniyatini
shakllantirish.
d) rivojlantiruvchi maqsad:
Tayanch kompetensiyalar:
O‘zini o‘zi rivojlantirish kompetentsiyasi ( V1+ )
– shaxs sifatida ma’naviy, ruhiy va intellektual kamolotga intilishni hayotiy-
ma’naviy ehtiyojga aylantirish;
– o‘z xatti-harakati, fikr-mulohazalariga tanqidiy yondasha olish, o‘zini nazorat
qila bilish, og‘zaki va yozma matnlar mazmuniga to‘g‘ri baho bera bilish.
Fanga oid kompetensiyalar:
Nutqiy kompetensiya (B1+). Tinglab tushunish: ilmiy manbalardagi o’rtacha
murakkablikdagi ma’lumotlarni tinglab tushunadi. Mavzuga oid zamonaviy
so`zlarni tinglab tushunadi.
So‘zlash : mavzuda keladigan kasbiy terminlarni to`g`ri talaffuz qiladi.
Darsning blok sxemasi
№ Darsning qismlari Ajratilgan vaqt
1. Tashkiliy qism 5 daqiqa
2. O’tilgan mavzuni takrorlash 15 daqiqa
3. Yangi mavzu bayoni 40 daqiqa
4. Yangi mavzuni mustahkamlash 10 daqiqa
5. O’quvchilar bilimini baholash 7 daqiqa
6. Uyga vazifa 3 daqiqa
I. Tashkiliy qism: Salomlashish, davomatni aniqlash, o’quvchilar formasini,
o’quvchilarning o’quv qurollari bilan ta’minlanganliklarini va sinf tozaligini
kuzatish.
II. O’tilgan mavzuni takrorlash:
O`tilgan mavzular bo`yicha savollar berib, o`quvchilarni baholash.

III. Yangi mavzu bayoni:
a) yangi mavzuning nomlanishi: Birhad va uning standart shakli. Ko’phadlar.
Algebraik ifoda. Natural ko’rsatkichli daraja. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlarni
qoldiqli va qoldiqsiz bo‘lish. Ko’phadning koeffitsiyentlar yig’indisi va ozod
hadini topish
b) yangi mavzu rejasi:
1. Birhad va uning standart shakli. Ko’phadlar
2. Algebraik ifoda. Natural ko’rsatkichli daraja
3. Ko’phadning koeffitsiyentlar yig’indisi va ozod hadini topish
4. Uyga vazifa.
Birhad va uning standart shakli. Ko’phadlar. Algebraik ifoda. Natural
ko’rsatkichli daraja. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlarni qoldiqli va qoldiqsiz
bo‘lish. Ko’phadning koeffitsiyentlar yig’indisi va ozod hadini topish
Agar sonli ifodadagi ayrim yoki barcha sonlar harflar bilan almashtirilsa, harfiy ifoda
hosil bo’ladi.
To’rt matematik amal, butun darajaga ko’tarish va butun ko’rsatkichli ildiz chiqarish
ishoralari orqali birlashtirilgan harflar va sonlardan iborat ifodalar algebraik ifoda
deyiladi. Agar algebraik ifodada sonlar va harflarning ildiz ishoralari qatnashmasa, u
ratsional algebraik ifoda, ildiz ishoralari qatnashsa, irratsional algebraik algebraik ifoda
deyiladi. Agar ratsional ifodada harfli ifodaga bo’lish amali qatnashsa, u butun algebraik
ifoda deyiladi.
1) 6b-3a+dc – butun algebraik ifoda; 2) bc +a
c - kasr algtbraik ifoda; 3) 5+√c irratsional
algebraik ifoda;
Har biri a ga teng bo’lgan n
(n≥2) ta ko’paytuvchining ko’paytmasi a soning n- darajasi
deyiladi va a n
deb belgilanadi.
an=a⋅a.....⋅a . Natural ko’rsatkichli darajaning xossalari:
1)
am⋅an= am+n;
2)
am:an= am−n ;
3)
(am)n= amn ;

4) (ab )n=anbn;
5)
(
a
b)
n
= an
bn;
a,b∈R,b≠0,n∈N
Raqamlar bilan yozilgan har qanday ayrim son, birgina harfdan iborat ifoda; shuningdek
ko’paytirish va darajaga ko’tarish amallaridangina iborat algebraik ifoda birhad deb
ataladi. Masalan 5; a; ab 2
; 12x 2
y birhad
Koeffitsientlari bilangina farq qiladigan birhadlar o’xshash birhadlar deyiladi. Masalan
3ab va -4,2ab;
Har qanday birhad turli ko’rinishda yozilishi mumkin. Masalan
7a6b5= 3,5 ⋅2a6⋅b5= 7a4⋅b3⋅a2⋅b2
.
Lekin
7a6b5 ko’rinishda yozilishi standart (kanonik) ko’rinishda yozilgan.
Birhadlarning barcha harflar darajalarining yig’indisi shu birhadning darajasi deyiladi.
Birhadlarning yig’indisi ko’phad deyiladi . Masalan3a 2
b+7b 2
c, 9x 2
y+xy 2
ifodalar
ko’phaddir.
P(x)=ax 2
+bx+c ko’phadning standart ko’rinishidagi yozuvidir.
Agar ko’p o’zgaruvchili ko’phadda har qaysi qo’shiluvchi o’zidan o’ngda turgan barcha
qoshiluvchilardan katta bo’lsa, qo’shiluvchilar lug’aviy (leksografik) tartibda
joylashtirilgan deyiladi.
Masalan P(x,y,z)= 8x 5
y 6
z 2
-5x 4
y 8
z+16x 4
y 5
z 4
ko’phadning qo’shiluvchilari lug’aviy
tartibda joylashtirilgan.
Agar ko’phadning barcha hadlarida x,y,....z o’zgaruvchilarining ko’rsatkichlari yig’indisi
m ga teng bo’lsa, uni m- darajali bir jinsli ko’phad deyiladi. Masalan 8x-5y+z – birinchi
darajali bir jinsli (m=1) , x 3
+y 3
+z 3
-7xy 2
-5xyz – uchinchi darajali (m=3) bir jinsli ko’phad.
Agar
axk1......zkn birhad m=k
1 +....+k
n darajali bo’lsa, ixtiyoriy umumiy λ ko’paytuvchi
uchun
a(λx ) ga ega bo’lamiz.
Agar ixtiyoriy
λ soni uchun f(λx .....λz )=λmf(x...z) tenglik bajarilsa, f(x,....z) ko’phad m-
darajali bir jinsli ko’phad bo’ladi.
Agar x 3
y+xy 3
ko’phadda x o’rniga y, y o’riniga x yozilsa oldingi ko’phad hosil bo’ladi.

Agar P(x,y,....z) ko’phad tarkibidagi harflarning har qanday o’rin almashtirishida unga
aynan teng ko’phad hosil bo’lsa, P ko’phad simmetrik ko’phad deyiladi.
Agar (λ+x)(λ+y)....(λ+z) ifodadagi qavslar ochilsa, λ darajalarning koeffitsientlari
sifatida x,y,...z o’zgaruvchilarning simmetrik ko’phadi turgan bo’ladi. Ular asosiy
simmetrik ko’phadlar deyiladi. Masalan n=2 bo’lsa,
(λ+x)(λ+y)= λ2+(x+y)λ+xy
bo’lib, asosiy simmetrik ko’phadlar x+y va xy bo’ladi.
Ularni
σ1= x+y , σ2= xy orqali ifodalaymiz.
Bulardan tashqari, quyidagi ko’rinishdagi
σ1= x+y+....+z ; σ2= x2+ y2+...+z2 ;
σk= xk+yk+...+zk
darajali yig’indilar ham simmetrik ko’phadlardir.
1-teorema. Ixtiyoriy
sk= xk+yk darajali yig’indini σ1= x+y va σ2= xy larning ko’phadi
ko’rinishida
tasvirlash mumkin.
Isbot. k=1 da
s1= x+y= σ1 , k=2 da s2= (x+y)2− 2xy = σ12− 2σ2
2- teorema. x,....z o’zgaruvchilari har qanday simmetrik P ko’phad yagona ravishda shu
o’zgarubchilardan
tuzilgan asosiy simmetrik ko’phadlardan iborat bo’ladi.
1- misol. P(x,y)=x 3
+y 3
+2x 2
y=2xy 2
simmetrik ko’phadni
σ1 va σ2 lar orqali ifodalaymiz.
P(x,y)=(x+y)(x2− xy +y2)+2xy (x+y)=(x+y)(x2− xy +y2+2xy )=(x+y)((x+y)2− xy )=
¿σ1(σ12− σ2)
P(x)= anxn+an−1xn−1+....+a1x+a0
; (an≠0) ko’rinishdagi butun ratsional ifoda bir
o’xgaruvchili n- darajali ko’phad deyiladi.
anxn qo’shiiluvchi ko’phadning bosh hadi, a0
esa uning ozod hadi deyiladi.
1- teorema. O’zgaruvchi x bo’yicha tuzilgan har qanday butun ratsional ifoda
anxn+an−1xn−1+....+a1x+a0
(1) ko’rinishdagi ifodaga aynan tengdir, bunda an.....a0
haqiqiy sonlar
an≠0

2- teorema. Agar P(x) ko’phadning hech bo’lmaganda bitta koeffitsyienti noldan farqli
bo’lsa, shunday x0∈R soni topiladiki, unda ko’phad nolga aylanmaydi, ya’ni P(x) ¿0
bo’ladi.
1- xulosa. Agar x ning har qanday qiymatida P(x) ko’phad nolga teng bo’lsa, u holda
uning barcha koeffitsientlari nolga tebg bo’ladi.
2- xulosa. Aynan teng P(x) va Q(x) ko’phadlarda x ning bir xil darajali oldidagi
koeffitsiyentlari teng bo’ladi.
2-misol. Agar P(x)
= (x2+2)3− 6(x2− 2)2− 4x3− 36 x2+20 va Q(x)= x6− 4x3+4 bo’lsa
P(x)≡Q(x)
bo’ladi.
3- misol.
P(x)=(3x−1)99⋅(2x−1)100 +x2 ko’phad koeffitsiyentlarining yig’indisini va ozod
hadini toping.
P(x) ko’phad koeffitsiyentlarinig yig’indisi P(1)=
(3⋅1− 1)99⋅(2⋅1− 1)100 +12= 299+1 ga, ozod
hadi esa
P(0)=
(3⋅0− 1)99⋅(2⋅0− 1)100 +02=− 1 ga teng.
Ko’phadning bir-biridan faqat koeffirsiyentlati bilan farq qilgan yoki butunlay bir xil
bo’lgan hadlari o’xshash hadlar deyiladi.
Ko’phadni ko’phadga qo’shish uchun ularni ketma-ket o’z ishoralari bilan yozib, o’xshash
hadlari ixchamlanadi.
(4a2+2b− c)+(− 3b+2a2− b2)= 6a2− b− b2− c
Ko’phaddan ko’phadni ayirish uchun ayriluvchi ko’phadni qarama-qarshi ishoralar bilan
yozib, kamayuvchi ko’phadga qo’shiladi.
(15 x2−5xy +3y2)− (4x2− 3xy +y2)= 11 x2−2xy +2y2
Ko’phadni ko’phadga ko’paytirish uchun ko’phadlardan bittasining har bir hadini ikkinchi
ko’phadning har bir hadiga ko’paytirib, hosil bo’lgan ko’phadning o’xshash hadlari
ixchamlanadi.
(3x2+2y)⋅(x−4y)=3x3−12 x2y+2xy −8y2
;
Bir o’zgaruvchili A(x) va B(x) ko’phadlar uchun A(x)=B(x)Q(x) (1) tenglik o’rinli
bo’ladigan Q(x) ko’phad mavjud bo’lsa A(x) ko’phad B(x) ko’phadga bo’linadi deyiladi.

Bunda A(x) ko’phad bo’linuvchi, B(x) ko’phad bo’luvchi, Q(x) ko’phad esa bo’linma
deyiladi.
x 3
-1=(x 2
+x+1)(x-1) ayniyatdan A(x)=x 3
-1, B(x)= x 2
+x+1, Q(x)=x-1;
A(x) ko’phadni B(x) ko’phadga qoldiqli bo’lish deb A(x)=B(x)¿Q(x)+R(x) (2) ga
aytiladi.
(2) tenglikdagi Q(x) va R(x) lar bir o’zgaruvchili ko’phadlar bo’lib, R(x) ko’phadning
darajasi B(x) ko’phadning darajasidan kichik yoki R(x)=0
Teorema. A(x) va B(x) ko’phadlar haqiqiy kosffitsiyentli va B(x)
¿0 bo’lsin. U holda
shunday Q(x) va R(x) ko’phadlar topiladiki, ular uchun
A(x)=B(x)⋅Q(x)+R(x) tenglik
o’rinli bo’ladi va bunda R(x) ning darajasi B(x) nikidan kichik yoki R(x)=0 bo’ladi
hamda Q(x), R(x) ko’phadlar bir qiymatli aniqlanadi
Bu teorema ko’phadni ko’phadga bo’lishning amaliy usulini bermaydi. Ko’phadni
ko’phadga bo’lishning amaliy usuli-“aniqmas koeffitsiyentlar usuli” va “burchakli
bo’lish” usularidir.
1-misol. A(x)=x 3
+x+1 ko’phadni B(x)=x 2
+x+1 ko’phadga aniqmas koeffitsiyentlar usuli
bilan bo’lamiz.Q(x) ni Q(x)=ax+b ko’rinishda, R(x) ni R(x)=px+q ko’rinishda izlaymiz.
Bu yerda a,b,p,q lar topilishi kerak bo’lgan aniqmas koeffitsiyentlardir.
A(x)=B(x)⋅Q(x)+R(x)
tenglikni x3+x+1=(x2+x+1)⋅(ax +b)+(px +q) ko’rinishda yozib,
uning o’ng tomonidagi amallarni bajaramiz. Ixchamlashtirganimizdan so’ng
x3+x+1= ax 3+(a+b)x2+(a+b+p)x+(p+q)
tenglikni hosil qilamiz. Ko’phadlarning
tengligidan
{a=1¿{a+b=0¿{a+b+p=1¿¿¿¿
sistemadan a=1, b=-1, p=1, q=2 ekanligi aniqlanadi. Demak Q(x)=x-1,
R(x)=x+2

2-misol. Ushbu A(x)= 3x4−10 ax 3+22 a2x2−24 a3x−10 a4
x2+22 ax − 3a2 ifodadan butun qism ajratamiz.
Buning uchun surratdagi ko’phadni maxrajdagi ko’phadga bo’lish lozim. Bo’lishni
burchakli bo’lish usulida bajaramiz va quyidagini hosil qilamiz.
A(x)= 3x2− 4ax +5a2+ −2a3x−5a4
x2− 2ax +3a2

n- darajali A(x) va m-darajali B(x) ikkita ko’phad berilgan bo’lib, ularning eng katta
umumiy bo’luvchisini topish talab qilinsin. Uni topishda Yevklid algotitmidan
foydalanamiz.
A(x)=B(x)⋅q1(x)+r1(x)
, B(x)=r1(x)⋅q2(x)+r2(x) , r1(x)=r2(x)⋅q3(x)+r3(x) ....
rn−1(x)=rn(x)⋅qn+1(x)
. Agar A(x) va B(x) lar umumiy bo’luvchiga ega bo’lmasa ( ya’ni
eng katta umumiy bo’luvchisi doimiy son bo’lsa), ular o’zaro tub ko’phadlar deyiladi.
3-misol. A(x)=x 3
-3x 2
+3x-1 va B(x)=x 2
-x kophadlani EKUB ni topamiz.
EKUB(A(x);B(x))=x-1 bo’ladi.
4-misol. A(x)=x 3
-3x 2
+3x-1 va B(x)=x 2
-x-1 kophadlani EKUB ni topamiz.
Ketma-ket bo’lishlar natijasida quyidagi oraliq natijalarni topamiz:
r1(x)=2x−3,
r2(x)=−0,25 ≠0
Demak A(x) va B(x) ko’phadlar umumiy bo’luvchiga ega emas, ya’ni ular o’zaro tubdir.

Birhad va uning standart shakli. Ko‘phadlar. Algebraik ifoda. Natural ko‘rsatkichli daraja.Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlarni qoldiqli va qoldiqsiz bo‘lish

Купить