Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 689.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Birinchi tartibli chiziqli bo’lmagan tenglamalar

Купить
REJA KIRISH I BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR HAQIDA YORDAMCHI MA’LUMOTLAR 1.1-§. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar 1.2-§. Chiziqli differensial tenglamalar va ularni yechish usullari II BOB. CHIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR 2.1-§. Bernulli tenglamasi 2.2-§. Rikkati tenglamasi 2.3-§. To’la differensial tenglama XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR KIRISH “Bizning eng katta boyligimiz – bu xalqimizning ulkan intellektual va ma’naviy salohiyati” Shavkat Mirziyoyev Bugungi o’ta tezkor rivojlanish va taraqqiyot sharoitida mustaqil O’zbekiston o’zining buyuk kelajagini bilimli, aqlli, mehnatsevar, jasur, ma’naviyati yuksak, jismonan kuchli bo’lgan yosh avlod timsolida ko’radi. Bunday har tomonlama barkamol avlodni o’stirib, voyaga yetkazish davlatimizning ustuvor vazifalaridan sanaladi. Buning isboti sifatida O’zbekiston Respublikasining Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning quyidagi fikrlarini keltirishimiz mumkin: “Yurtimiz yoshlari o’rtasida ilm-fan, ta’lim-tarbiya, tibbiyot, madaniyat, adabiyot va san’at, sport, ishlab chiqarish, harbiy xizmat sohalarida, umuman, barcha jabhalarda jonbozlik ko’rsatib kelayotgan azamat yoshlarimiz juda ko’p. Ular o’zining jismoniy va ma’naviy salohiyati, iste’dod va mahoratini namoyon etishi uchun zarur sharoitlarni yaratib berish borasida mamlakatimizda ko’p ishlar qilinyapti va kelgusida ham albatta davom ettiramiz”. Davlatimizda yoshlarimizni barkamol qilib voyaga yetkazish, ularga bilim, ta’lim-tarbiya berish masalasi konstitutsiyaviy maqomga ega bo’ldi. Ma’naviyatimiz asosini tashkil etgan, hayotimizning ajralmas qismiga aylangan, davlatimizning doimiy diqqat-e’tiborida turgan ta’lim masalasi Asosiy Qonunimizdan mustahkam o’rin oldi. O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti mustaqillikdan oldin – 1990-yilning 24-martida, respublikamizda Prezidentlik lavozimi ta’sis etilgan kuni so’zlagan tarixiy nutqida yosh avlodning ma’naviy tarbiyasi masalasiga alohida e’tibor qaratgan edi: 2 “Yana bir dolzarb vazifa – o’sib kelayotgan avlodga, uning ma’naviy tarbiyasiga nihoyatda katta javobgarlik hissi bilan yondashish masalasi. Axir, yoshlar xalq ma’naviyatining – ham mahsuli, ham kelajagi... O’zimizning ma’naviy burchimizni oqlashni istasak, ularga otalarcha g’amxo’rlik qilishimiz kerak”. O’zbekistonda, ko’plab sohalarda bo’lgani singari, ta’lim-tarbiya tizimida ham sobiq sho’ro davrida qaror topgan o’ta salbiy holatlarga mustaqillikning dastlabki yillaridan boshlab barham berishga kirishildi. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi hamda 2004-2009-yilarda Maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy davlat dasturining hayotga muvaffaqiyatli joriy etilishi natijasida yurtimizda mutlaqo yangi mazmun-mohiyatdagi ta’lim-tarbiya tizimi vujudga keldi. Insoniyat o’z rivoji davrida yosh avlodga bilimlar berar ekan, asosiy e’tiborini o’z faoliyati va taraqqiyot talablarini hisobga olib, turli fanlar asoslarini o’rgatishga harakat qiladi. Shu sababli o’quvchilarga barcha fanlar qatori matematikadan chuqur bilimlar berish vazifasi va uni ilmiy amalga oshirish asosiy masalalardan hisoblanadi. Bunda matematika o’qitish uslubiyoti asosiy o’rinlardan birida turadi. O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.Karimov alohida ta’kidlaganlaridek, "...biz mamlakatimizning istiqboli yosh avlodimiz qanday tarbiya topishiga, qanday ma’naviy fazilatlar egasi bo’lib voyaga yetishiga, farzandlarimizning hayotga nechog’li faol munosabatda bo’lishiga, qanday oliy maqsadlarga xizmat qilishiga bog’liq ekanini hamisha yodda tutishimiz kerak". Ta’lim tizimida yakuniy natija, bevosita ta’lim-tarbiya jarayonini amalga oshiradigan o’qituvchi mehnatining qanday tashkil etilishiga borib taqalaveradi. Ta’lim zimmasiga qo’yilayotgan ulkan vazifalar esa ta’lim berishga munosabatni, yondashuvni o’zgartirishni taqozo etmoqda. Sh u munosabat va yondashuvni o’zida mujassam etishi lozim bo’lgan yangi pedagogik texnologiya xususida bir qancha maqsadlar e’lon qilindi . Biroq hozirdagi islohotlar jadalligi mavjud nazariyani tezroq amaliyotga tadbiq etishni talab etadi. Shu sababli ham birinchi navbatda ta’lim mazmuni va uning tarkibini kengaytirish va 3 chuqurlashtirish, xususan, bu mazmunga nafaqat bilim, ko’nikma va malaka, balki umuminsoniy madaniyatni tashkil qiluvchi – ijodiy faoliyat tajribasi, tevarak- atrofga munosabatlarni ham kiritish g’oyasi kun tartibiga ko’ndalang qilib qo’yildi. Tashqaridan qaraganda matematikani oliy o’quv yurtlarida o’qitish juda sodda va asosan quyidagi ikki muammodan iboratdek ko’rinadi: birinchidan, o’quv rejasiga ko’ra ajratilgan soatlarda bayon etish mumkin bo’lgan materialni ajratish va ikkinchidan, uni o’quvchilarga mantiqiy bayon etish va buning natijasida oliy o’quv yurti pedagogikasi mazkur masalalar bilangina chegaralanadi degan tasavvur paydo bo’ladi. Lekin aslini olganda tanlab olingan o’quv materialini o’qitish muammolari bir muncha murakkabdir. Tavsiya etilgan o’quv adabiyotlaridan foydalanib o’quv materialini og’zaki bayon etish jarayonini umumiy nuqtai nazardan baholash uning quyidagi asoslarga ko’ra shakllanganligini ko’rsatadi: matematik nazariyalar boshlang’ich tushunchalar asosida formal mantiq qoidalariga ko’ra qurilganligiga asosan, ta’lim berish jarayoni ham asosan matematik nazariyaning formal-mantiqiy tomonlarini talabalarga bayon etishdan iborat bo’lishi kerak va bu jarayon qisqa vaqt ichida, ketma-ketlik bilan, ortiqcha so’zlarsiz, talabalar bilim darajasiga javob berishi zarur. O’zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan islohotlarning ijobiy natijalaridan eng muhimi sifatida davlat tomonidan yosh avlodga ta’lim berish va tarbiyalash borasida qilinayotgan ishlarni alohida ta’kidlash lozim. Albatta har tomonlama kamol topgan yosh avlodni tarbiyalash, ularga zamonaviy bilimlarni berish, buning uchun esa o’qitishning ilg’or pedagogik texnologiyalaridan qay darajada unumli foydalanishga bog’liq. O’zbekiston Respublikasining Birinchi Prezidenti I.A.Karimov Oliy Majlisning XIV sessiyasida so’zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga izoh berib shunday degan edi: “Biz oldimizga qanday vazifa qo’ymaylik, qanday muammoni yechish zaruriyati tug’ilmasin, gap oxir oqibat, baribir kadrlarga borib qadalaveradi. Mubolag’asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kelajagi, 4 o’rnimizga kim kelishiga yoki boshqacharoq qilib aytganda, qanday kadrlar tayyorlashimizga bog’liq. …Mamlakatimiz kelajagi uchun Oliy Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan “Kadrlar tayyorlash bo’yicha milliy dasturi”ning amalga oshirilishi juda ham muhim ahamiyatga ega. …Yuqori malakali pedagog kadrlar tayyorlash va qayta tayyorlashga alohida e’tibor berish lozim. Kadrlar tayyorlashning sifati, erkin fikrlovchi shaxs – fuqaroni kamol toptirishga ertaga sinf xonalar va auditoriyalarda kimlar dars va saboq berishiga bog’liq”. Darhaqiqat, barkamol inson shaxsining shakllanishi bevosita uzluksiz ta’lim jarayonida amalga oshadi. Shunday ekan har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan, yuqori malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o’rni va ahamiyati beqiyosdir. Kurs ishining dolzarbligi: Fizika, biologiya, kimyo, tibbiyot, iqtisod va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. S h u tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqidagi biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. Ana shu differensial tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal bo’lsa, differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi. Shuning uchun chiziqli differensial tenglamalarni o’rganish muhim hisoblanadi. Chunki ko’plab differensial tenglamalarni yechish aynan chiziqli differensial tenglamalarni yechishga keltiradi. Kurs ishining maqsadi: Oliy o’quv yurtlari talabalariga chiziqli differensial tenglamalar, ularni yechish usullari va chiziqli bo’lmagan tenglamalarni chiziqli tenglamaga keltirib yechish misollar orqali tushuntirishdan iborat. 5 Kurs ishining obyekti: Barcha oliy o’quv yurtlarining fizika-matematika fakultetlarini matematika, oddiy differensial tenglamalar fanini takomillashtirish. Kurs ishining vazifalari: Ushbu kurs ishining vazifalari quyidagilardan iborat: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish; 2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini ta’minlash yo’llarini aniqlash; 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni o’rganish; 4.Matematika ta’limida axborot texnologiyalaridan foydalanish metodikasining ahamiyatini bilish; 5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish. Kurs ishi asosan oliy o’quv yurti talabalariga matematik bilimlar dunyosi, differensial tenglamalar, ularning rang-barangligi hamda hayotiy ahamiyatini, uning zarurligini o’rgatishdan iborat. 6 I BOB CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR HAQIDA YORDAMCHI MA’LUMOTLAR 1.1-§. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar Matematikadan fizika, mexanika, astronomiya sohasida unumli foydalanib kelinayotganligi hammaga ma’lum. Hozirda matematika iqtisodga, biologiyaga, tibbiyotga, texnikaga va boshqa sohalarga chuqur kirib boryapti. Aytilgan sohalarda ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Shuning uchun bunday tenglamalarni o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi. Noma’lum funksiyaning hosilasi (yoki differensiali) albatta qatnashadigan tenglama differensial tenglama deyiladi. Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, tegishli tenglama oddiy differensial tenglama , ko’p argumentli bo’lsa, xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Misol sifatida quyidagi differensial tenglamalarni keltirish mumkin: 1. (radiaktiv parchalanish tenglamasi), 2. (Puasson tenglamasi), 3. (chiziqli ossillyator tenglamasi), 4. (issiqlikning tarqalishi tenglamasi). Differensial tenglamada qatnashayotgan noma’lum funksiya hosilalarining (differensiallarining) eng yuqori tartibi shu differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan tenglamalardan birinchisi 1-tartibli, 7 uchinchisi 2-tartibli oddiy differensial tenglama bo’lsa, ikkinchi va to’rtinchilari 2- tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardir. Ta’rif: Ushbu (1) tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. Ba’zi hollarda (1) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’ladi. Ta’rif: Ushbu (2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. Endi (1) va (2) tenglamalar uchun yechim tushunchasini kiritaylik. Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun ; ; shartlar bajarilsa, funksiya (2) tenglamaning intervalda aniqlangan yechimi deyiladi. Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun ; ; 8 shartlar bajarilsa, funksiya (1) tenglamaning intervalda aniqlangan yechimi deyiladi. Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish uni integrallash deb ham yuritiladi. 1.2-§. Chiziqli differensial tenglamalar va ularni yechish usullari    y f x y g x  ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu tenglamani yechish uchun avval unga mos bir jinsli (ya’ni   0 g x  bo’lgan) tenglamani yechib olinadi:   0 y f x y  (3) Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, uni integrallab quyidagini olamiz:          1 1 1 1, 0; , ; ln ln , 0; , 0. f x dxdy dy dy f x y y f x dx f x dx dx y y y f x dx C C y C e C               , f x dx y Ce C R    larda (3) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Endi biz     y f x y g x  (4) tenglamaning yyechimini    f x dx y C x e    ko’rinishda qidirib ko’ramiz, bu yerda   C x – hozircha noma’lum bo’lgan funksiya.   C x noma’lum funksiyani topib olish uchun y hosilani hisoblaylik:            .f x dx f x dx f x dx d y C x e C x e C x f x e dx                  Endi y ni (4) ga qo ’ ysak quyidagiga ega bo ’ lamiz : 9                    , .f x dx f x dx f x dx f x dxC x e C x f x e C x f x e g x C x g x e             Oxirgi tenglikni integrallab      1 f x dx C x g x e dx C     ifodani olamiz . Topilgan   C x ni o ’ rniga olib borib qo ’ ysak , (4) ning umumiy yechimi uchun     1f x dx f x dx y e g x e dx C             (5) formulaga ega bo ’ lamiz . Agar biz (4) tenglamaning   0 0, x y nuqtadan o ’ tuvchi integral chizig ’ ini topmoqchi bo ’ lsak , (5) dan foydalanib , uning ko ’ rinishi     0 0 0 0x x x x f x dx f x dx x x y e g x e dx y                (6) ekanligiga qiyinchiliksiz ishonch hosil qilishimiz mumkin. Demak, (4) tenglamaning   0 0, x y nuqtadan o’tuvchi integral chizig’i (6) ko’rinishda va umumiy yechimi (5) ko’rinishda ekan. Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yyechimini bunday usul bilan topishga, o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi. (4) tenglamaning umumiy yyechimini Eyler-Bernulli usuli dan foydalanib topish ham mumkin. (4) tenglamada (7) almashtirish qilamiz. Bunda va lar ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. 10 (8) funksiya ixtiyoriy bo’lgani uchun, uni shunday tanlab olamizki, shart bajarilsin. Bundan , (9) (9) ni (8) ga olib borib qo’ysak, , , (10) ga ega bo’lamiz (7), (9), (10) ga asosan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi: . 1-misol. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yyechimini toping: Yechish : Berilgan differensial tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: , bu tenglama x funksiyaning hosilasiga nisbatan yechilgan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimini topish uchun     1f x dx f x dx y e g x e dx C             11 formuladan foydalanamiz. Berilgan tenglamamizda funksiya o’rnida funksiya, o’rnida , o’rnida funksiyalar kelgan, bularni formulaga qo’yib umumiy yechimni topamiz. Demak berilgan differensial tenglamamizning umumiy yechimi ga teng ekan. 2-misol. Ushbu tenglamaning umumiy yyechimini toping. Yechish : Tenglamani ga bo’lib, ushbu ko’rinishga keltiramiz: . , o’rniga qo’yish natijasida berilgan tenglama quyidagi ko’rinishga keladi: ning oldidagi ko’paytuvchini nolga tenglab 12 tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Dastlab birinchi tenglamaning istalgan xususiy yechimini topamiz: yoki . Bundan yoki . Topilgan funksiyani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yamiz: . Bu yerdan . Berilgan tenglamaning umumiy yechimi: . 3-misol. 2 sin y y ctg x x x  tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish : Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topib olaylik 1 1 cos cos 0, , , sin sin ln ln sin ln , 0, sin , . dy dy x dy x y ctg x dx dx dx y x y x y x C C y C x C R            Endi o’zgarmasni variatsiyalaymiz, ya’ni berilgan tenglamaning yechimini  sin y C x x  ko’rinishida izlaymiz, bu erda   C x hozircha noma’lum funksiya.       sin sin cosy C x x y C x x C x x       tenglamani qo’yib quyidagini olamiz 13             2 2 2 2 sin cos cos 2 sin , 2 , , sin . C x x C x x C x x x x C x x C x x C y x C x          Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi 2 2 sin sin y x x C x   ko’rinishda ekan. Albatta, oxirgi ifodani (3) formulani qo’llab ham olish mumkin edi. Lekin juda ko’p misolllarda bizga o’xshab (3) formulani olish uchun qilingan barcha ishni bajarib chiqqan ma’qulroq. 4-misol. Berilgan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yyechimini toping: Yechish : bu differensial tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz. bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo’lib uning umumiy yyechimini     1f x dx f x dx y e g x e dx C             formula yordamida topamiz: Demak, tenglamaning umumiy yechimi ga teng ekan. 14 II BOB CHIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR 2.1-§. Bernulli tenglamasi Bunday differensial tenglama ko ’ rinishda bo ’ ladi . Bu tenglamada yoki bo ’ lsa , chiziqli tenglama hosil bo ’ ladi . Demak bo’lgan o’zgarmas. Bernulli tenglamasini ga bo’lib, almashtirish bajarsak, ekanligini hisobga olsak, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi. 1-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Ye chish. Berilgan tenglamani bo’lib, tenglamani hosil qilamiz. almashtirish olsak bo’ladi. Bularni tenglamaga qo’yib, chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini (5) formulaga asosan topish mumkin: 15 Shunday qilib , bo’ladi, ning o’rniga ni qo’yib, yechimni olamiz. Bu berilgan Bernulli tenglamasining umumiy yechimi bo’ladi. 2.2-§. Rikkati tenglamasi Ushbu (11) ko’rinishdagi differensial tenglamaga Rikkati tenglamasi deyiladi. Bunda funksiyalar biror intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar. (11) tenglamada bo’lsa, chiziqli tenglama ; bo’lsa, Bernulli tenglamasi kelib chiqadi. Umuman olganda Rikkati tenglamasi yechimini elementar funksiya va ularning integrallari yordamida echib (kvadraturada integrallab) bo’lmaydi. Ushbu xususiy holni qaraymiz: Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama yechimi kvadraturalarda integrallanadi. Rikkati tenglamasining biror xususiy y echimi bo’lsin. almashtirish bajaramiz, bu holda 16 bo’lib, ( 1 1) tenglama ko’rinishda bo’ladi. Oxirgi tenglikdan, (11) tenglama yechimi, ya’ni ekanligini hisobga olsak, tenglama hosil bo’lib, bu Bernulli tenglamasidir. Bunday differensial tenglamaning umumiy yechimini qanday topishni yuqorida o’rgandik. 2-misol. Ushbu Rikkati tenglamasining umumiy echimini toping. Yechish. Bu tenglamaning xususiy echimini ko’rinishda izlash maqsadga muvofiq, bu holda bo’lib, bir xil darajali lar koeffitsientlarini tenglashtirsak kelib chiqadi. Demak, xususiy yechimlar bo’ladi. xususiy yechim uchun Bernulli tenglamasi bo’lib, uning umumiy yechimi bo’ladi. 17 2.3-§. To’la differensial tenglama Quyidagi tenglama berilgan bo‘lsin: . (1 2 ) Agar (1 2 ) tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lsa, ya’ni munosabat o‘rinli bo‘lsa , (12) tenglama to‘liq differensialli tenglama deyiladi . (12) tenglamaning to‘liq differensialli bo‘lishi uchun (13) tenglikning bajarilishi zarur va etarli . Agar yuqoridagi xossaga ega bo‘lgan funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda (12) tenglamaning umumiy integrali ko‘rinishda yoziladi . funksiyani topish uchun ( 14) tengliklardan foydalanamiz . SHu tengliklardan birinchisini o‘zgaruvchi bo‘yicha integrallab funksiyani ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya aniqligida topamiz : , (15) bu erda - ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya , esa funksiyaning o‘zgaruvchi bo‘yicha boshlang‘ich funksiyasi . 18 Endi (15) tenglikni bo‘yicha differensiallab , (14) tengliklardan ikkinchisini e’tiborga olsak , funksiyani aniqlash uchun ushbu tenglamani hosil qilamiz : . Bu erdan funksiyani topib , uni (4) munosabatga qo‘yamiz va funksiyaning ifodasini topamiz . Y u qorida aytilganlarni quyidagi formulalar ko‘rinishida ifodalash ham mumkin: (16) yoki . ( 17 ) Integrallovchi ko‘paytuvchi Agar ( 18 ) tenglama uchun ( 19 ) munosabat o‘rinli bo‘lmasa, u holda ( 18 ) tenglama to‘liq differensialli bo‘lmaydi. Agar shunday funksiya topilsaki, shu funksiyani (18) tenglamaning ikkala tomoniga ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan tenglama to‘liq differensialli bo‘lsa, bunday funksiya (18) teng-lamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi deyiladi. va funksiyalar ikkalasi bir vaqtda nolga teng bo‘lmagan funk-siyalar, ya’ni bo‘lsin. Agar va - uzluksiz funksiyalar bo‘lib, uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud bo‘ladi (etarli shart). 19 Agar funksiya ( 18 ) tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi bo‘lib, esa ( 18 ) tenglamaning shu integrallovchi ko‘paytuvchiga mos integrali, ya’ni tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda ixtiyoriy differensiallanuvchi funk-siya uchun funksiya ham berilgan tenglamaning integral-lovchi ko‘paytuvchisi bo‘ladi. Integrallovchi ko‘paytuvchining bu xossasi ko‘p hollarda berilgan tenglamani ikki qismga ajratish usuli bilan integrallovchi ko‘paytuv-chini topish imkonini beradi. Usulning mohiyatini bayon qilamiz. Ushbu ikkita va tenglamalarning umumiy integrallari va integrallov-chi ko‘paytuvchilari, mos ravishda, , va , ko‘rinishda bo‘lsin. U holda, yuqoridagi xossaga ko‘ra, va funksiyalar, mos ravishda, birinchi va ikkinchi tenglamalarning integrallovchi ko‘paytuvchilari bo‘ladi. Endi va funksiyalarni shunday tanlaymizki, munosabat o‘rinli bo‘lsin. U holda funksiya tenglama uchun integrallovchi ko‘paytuvchi bo‘ladi. Amalda va funk- siyalarni 1 ga teng qilib olish mumkin. Integrallovchi ko‘paytuvchining ta’rifidan ko‘rinadiki, agar funksiya ( 18 ) tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi bo‘lsa, u holda tenglama to‘liq differensialli bo‘ladi va ( 8 ) shartga ko‘ra 20 munosabat o‘rinli bo‘ladi. S h unday qilib, integrallovchi ko‘paytuvchini (20) ko‘rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning echimi sifatida aniqlash mumkin . Agar ekanligi ma’lum bo‘lsa (bu erda - biror ma’lum differensiallanuvchi funksiya), u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ushbu differensial tenglamani qanoatlantiradi: . ( 21 ) Integrallovchi ko‘paytuvchini ( 20 ) yoki ( 21 ) differensial tenglamalar yordamida topishning ba’zi xususiy hollariga to‘xtalamiz. Bunday hol-larda ifodaning ko‘rinishi muhimdir. Kelgusida yozuvda qulay bo‘lishi uchun belgilash kiritamiz. SHubhasiz, va bo‘lishi kerak. 1-hol. Agar ifoda o‘zgarmas son yoki faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya bo‘lsa, u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ko‘rinishda, ya’ni faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya bo‘ladi va u ushbu tenglamadan , formula bo‘yicha topiladi . 21 2- hol . Agar ifoda o‘zgarmas son yoki faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya bo‘lsa, u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ko‘rinishda , ya’ni faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya bo‘ladi va u ushbu tenglamadan , formula bo‘yicha topiladi . 3- hol . Agar tenglikni qanoatlantiruvchi qandaydir va funksiyalar topilsa , u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ko‘paytma ko‘rinishida bo‘ladi . va funksiyalar, mos ravishda, va formulalar yordamida topiladi . 4- hol . Agar va funksiyalar bir xil tartibli bir jinsli funksiyalar bo‘lsa , u holda integrallovchi ko‘paytuvchi ko‘rinishda topiladi . Integrallovchi ko‘paytuvchi yoki ko‘rinishda ekanligini bilgan holda quyidagi tenglamalarni eching. tenglamalarning ba’zilari uchun integrallovchi ko‘paytuvchini topish 22 J A D V A L I № va funksiyalarga shartlar Integrallovchi ko‘paytuvchi 1 , 2 3 4 5 6 , 7 , 8 9 10 Izoh. Jadvalda , -ixtiyoriy funksiyalar, esa ikki o‘zgaruvchili ixtiyoriy funksiya 23 XULOSA Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda. Barcha kurslardagi singari “Matematik analiz” kursini o’qib, o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, matematik analiz kursida funksiya va uning limitini hisoblashda ham imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan maqsad esa funksiya va uning limitini hisolashda fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib funksiya va uning limitini hisoblashda ularni qo’llashdan iborat. Kurs ishida chiziqli bo’lmagan tenglamalar tadbiqi o’rganil di . Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, chiziqli differensial tenglama deb noma’lum funksiya va uning hosilasi birinchi darajada bo’lgan, umumiy ko’rinishi bo’lgan birinchi tartibli differensial tenglamaga aytilar ekan. Bunday tenglamani ko’rinishida ham yozish mumkin. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun formuladan foydalanamiz. Chiziqli differensial tenglamalarni o’rganish muhim hisoblanadi. Chunki ko’plab differensial tenglamalarni yechish aynan chiziqli differensial tenglamalarni yechishga keltiradi. Bunday differensial tenglamalarga Bernulli va Rikkati tenglamalarini va boshqalarni misol qilib olishimiz mumkin. 24 Darhaqiqat, fizika, biologiya, kimyo, tibbiyot, iqtisod va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. S h u tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqidagi biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. Ana shu differensial tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal bo’lsa, differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi. Shunisi qiziqki tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin. Bu esa biror bir matematik model to’la o’rganilsa, tegishli natijadan turli jarayonlarni tushuntirishda foydalansa bo’ladi. Aytilgan fikrlar differensial tenglamalarning umumiy nazariyasi va amaliy masalalarni yechishga tatbig’i muhim ahamiyat kasb etishini anglatadi. Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan differentsial tenglamalar va matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanish mumkin. 25 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. O’zbekiston Respublikasi “Ta’lim to’g’risidagi qonuni”. T.: “Sharq” nashriyoti-1997 yil. 2. Karimov I.A. “Barkamol avlod – O’zbekiston taraqqiyotining poydevori”. T.: “Ma’naviyat” nash. 1998 y. 3. Karimov I.A. Yuksak ma’naviyat engilmas kuch T.: “Ma’naviyat”, 2008 yil. 4. O’zbekiston Respublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”. T.: “Sharq” nashriyot -1997 y. 5. Mirziyoyev Sh.M. “2017-2021 xarakatlar strategiyasi”. 6. Ўринов А.Қ. Махсус функциялар ва махсус операторлар. – Фарғона: Фарғона нашриёти, 2012. 112 бет. 7. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий масалалар. – Тошкент: МУМТОЗ СЎЗ, 2014. 164 бет. 8. Salohiddinov M.S. Integral tenglamalar. – Toshkent: Yangiul polygraph service, 2007. 256 bet. 9. Boyqo’ziyev Q.B. Differensial tenglamalar. – Toshkent: O’qituvchi, 1983 yil. Internet ma ’ lumotlari 10. https :// www . schooI 307. uz / non / publications / 79_ abdullaeva _ tadjigul _ radjapovn 11. https :// www . referat . arxiv . uz / files /53589_ matematika - o ’ qitish - vositalarining ... 12. https :// www . ziyonet . uz / uzl / library / libid /40900 26
Купить