• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 482.4KB
Покупки 0
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение docx
Категория Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

105 Продаж

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi. Pikar teoremasi

kelib chiqadi uchun ham mulohazalar shunga o‘xshashdir. Yagonaligi isbot etiladi. Pikar teoremasi isbotlanadi. 25 KIRISH Matematika fani o ‘ sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o ‘ quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go ‘ zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Differensial tenglamalar sistemasi nazariyasi hozirgi zamon matematikasining muhim va murakkab tarmoqlaridan biri hisoblanadi. Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (avtomobil harakati, sayyoraning uchishi, fizik va ximik va biologik jarayonlar va h.k) o‘z harakat qonunlariga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo‘yicha sodir bo‘lishi mumkin, bu hol esa ularni ishini o‘rganish ishini yengillashtiradi. Bunday jarayonlarni o‘rganishda differensial tenglamalar fanining o‘rni katta. Differensial tenglamalar sistemasi yordamida bir qator nazariy va amaliy masalalar hal qilinadi. Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O‘zbekiston, balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o‘rganadi. Shu o‘rinda aytish lozimki, differensial tenglamalarga bag‘ishlangan kitoblar rus, ingliz va boshqa tillarda ko‘plab chop etilgan. Ular ichida matematik olimlar Pontryagin, Stepanov, Petrovskiylar tomonidan yaratilgan darsliklarni alohida qayd qilib o‘tish lozim. O‘zbek tilida ilk darslik akademik T. N. Qori-Niyoziy tomonidan 40-yillarda yozilgan. Bu fanni olimlar necha asrlardan beri o‘rganib kelishadi. Ushbu soha faqat hozirgi davrdagina mavjud bo‘lib qolmay, balki uning tarixi necha necha asrlar ortga borib taqaladi. Ilm endi endi rivojlanayotgan paytda shu sohaning ilk ildizlari endi quloch yoyishni boshlagan desak mubolag‘a bo‘lmas. O‘sha paytlarda ilm hali uncha ham rivojlanmagan bo‘lsada, lekin insonlar, olimlar o‘zlari uchun muhim bo‘lgan muammolarni yecha olishgan. Differensial tenglamalar juda ko‘p fanlar bilan uzviy bog‘liq hisoblanadi. Masalan fizika, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, tibbiyot va boshqa fanlarda uchraydigan ko‘plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida 2 ko’rinishdagi tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda va funksiyalar uzluksiz funksiyalar. (1.2.4) ko’rinishdagi tenglama turli usullarda yechiladi. Masalan: o ‘ zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usuli, Bernulli usuli va integrallovchi ko ‘ paytuvchi kiritish usuli. 1.O ‘ zgarmasni variatsiyalash usuli. Bu usul yordamida (1.2.4) tenglamaning umumiy yechmini topish uchun avval quyidagi teoremani keltiramiz: 2.1-teorema. (1.2.4) tenglamaning umumiy yechimi, bu tenglamaga mos bir jinsli, ya’ni (1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi va (1.2.4) tenglamaning xususiy yechimi yig’indisidan iborat. Demak, teoremaga ko ‘ ra (1.2.4) tenglamaning umumiy yechimi, ushbu formula orqali topiladi, bu yerda funksiya (1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi, funksiya esa (1.2.4) tenglamaning biror xususiy yechimi. Ma’lumki, (1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. (1.2.4) ning xususiy yechimini esa (1.2.6) ko ‘ rinishda izlaymiz. Ya’ni (1.2.6) dan ni topib, (1.2.5) ga qo ‘ yib, undan (1.2.7) ni topamiz. (1.2.6) xususiy yechim bo ‘ lgani uchun, (1.2.7) da deb tanlab, (1.2.7) ni (1.2.6) ga qo ‘ yib, (1.2.8) 8 2.2 Pikar teoremasi Pikar teoremasining isboti. Mavjudligi. Ekvivalentlik lemmasiga ko‘ra Koshi masalasi ushbu (2.2.1) integral tenglamani yechish masalasini ko‘ramiz. Bu tenglamaning yechimini Pikarning ketma-ket yaqinlashish metodi bilan izlaymiz. intervalda yaqinlashgan funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha ko‘ramiz: Shu funksiyalarning grafigi, intervalda to ‘ g ‘ ri to’rtburchakdan chiqib ketmaydi, ya ‘ ni haqiqatdan. 20 XULOSA Ushbu kurs ishini tayyorlash davomida matematik fizik tenglamalardan ba’zilari bilan tanishib chiqildi. Differensial tenglamalar kursida oddiy tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, differensial tenglamalarni yechish usullari birinchi tartibli hususiy hosilalali tenglamalar bilimiga oid tushunchalar qisqacha bayon etilgan. Tenglamalarni turlarga ajratib, ularni yechish usullari misollar yordamida ko‘rsatib o‘tilgan. Kurs ishini tayyorlash davomida birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi, Pikar teoremasi haqida ma’lumotlar to‘planildi. O‘zim uchun ko‘plab bilimlarga ega bo‘lish bilan bir qatorda hali tanishib chiqib ulgurmagan adabiyotlar bilan ham tanishdim va ko‘nikmalarga ega bo‘ldim. Xulosa qiladigan bo‘lsam oddiy differensial tenglamalar har bir bo‘limiga o‘tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz ularni o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish undagi o‘ziga xos xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim va malakasini tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O‘qituvchining zamon bilan ham nafas bo‘lishi ham bugungi kun talabi. 26 Induksiya usuli bilan: (2.2.3) Tengliksiz o‘rinli bo‘lsa, shu qonun n dan n+1 ga o‘tganda ham o‘rinli ekanligini isbotlash mumkin: Shunday qilib, tengsizlik ixtiyoriy natural n lar uchun to‘g‘ri. Haqiqatdan ga ko‘ra va sonli qator yaqinlashuvchi, shunki Dalamber alomatiga ko‘ra 22 Haqiqatan ham, ixtiyoriy ikki , nuqtalar uchun Lagranj teoremasiga asosan quyidagi munosabat bajariladi: bu yerda . Oxirgi munosabatdan va xususiy hosilaning chegaralanganligidan (2.1.3) tengsizlik kelib chiqadi. Ammo, ba’zi hollarda hosilaga ega bo‘lmagan funksiyalar ham (2.1.3) Lipshits shartini qanoatlantiradi. Masalan. Ushbu funksiya , ya’ni nuqtada hosilaga ega emas, lekin o‘rinli. Bunda Lipshits o‘zgarmasi bo‘ladi. Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi misolni qaraylik 1-misol. Ushbu Koshi masalasining yechimini toping. Yechish. Berilgan differensial tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratib quyidagi yechimni topamiz. Boshlang‘ich shartdan foydalanib, berilgan Koshi masalasining yechimini topamiz . Bundan tashqari , qaralayotgan Koshi masalasi yechimga ham ega . Demak, berilgan Koshi masalasi ikkita 14 tasdiqlab o‘tamizki, ketma-ketlikning hadlari ko‘rilayotgan intervalda uzluksiz, hatto differensiallanuvchidir. Endi qurilgan ketma-ketlik intervalda tekist yaqinlashuvchi ekanligini intervalda tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Ushbu (2.2.2) Funksional qatorni ko‘ramiz. Uning n - xususiy yig‘indisi bundan Shuning uchun (2.2.2) qatorning tekis yaqinlashuvchi ekanligi isbot qilish yetarli, (2.2.2) qatorning har bir hadini baholaymiz, tengsizlikni hisobga olgan holda 21 MUNDARIJA KIRISH .......................................................................................................................... 2 I BOB. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR ......................... 4 1.1 Birinchi tartibli differensial tenglamalar ........................................................... 4 1.2 Bir jinsli, chiziqli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar .................... 6 1.3 Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Xususiy va umumiy yechim. ............................................................................................... 10 bu tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi. (1.3.1)tenglama (1.3.2) tenglamani y’ ga nisbatan yechish natijasida hosil bo‘lgan deb qaramasdan, balki (1.3.1) ga f(x,y) funksiya G sohada berilgan deb qaraymiz. ............................................................................................................................... 11 Izoh 1. Soha deyilganda faqat yopiq yoki faqat ochiq bog‘langan to‘plamni olamiz. Agar berilgan G to‘plamning ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi va shu to‘plamga tegishli biror chiziq mavjud bo‘lsa, u holda G to‘plam bog‘langan bo‘ladi. ................................................................................................................... 11 2.1. Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi ................................................ 13 2.2 Pikar teoremasi ................................................................................................ 20 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ..................................................................... 27 Demak, topilgan va funksiyalarni ga qo ‘ ysak (1.2.8) yechimni olamiz. 2-misol. tenglamani yeching. Yechish: Berilgan tenglamani ko ‘ rinishda yozamiz. Demak, berilgan tenglama chiziqli differensial tenglama. Bu tenglamani Bernulli usuli bilan yechamiz, ya’ni almashtirish bajaramiz; (1.2.9) larni hosil qilamiz. Bundan tenglamaning biror bir yechimini topamiz. . Topilgan funksiyani (1.2.9) ga qo ‘ yib, ya’ni ni olamiz. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi. 1.3 Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Xususiy va umumiy yechim. Biz birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial tenglamalarni qaraymiz: (1.3.1) 10 deyiladi. (1.3.1) tenglamaning yechimi ba’zi hollarda oshkormas F(x,y)=0 ko ‘ rinishda bo ‘ lsa , ba’zi hollarda parametrik ko‘rinishda bo‘lishi mumkin. 12 1) c ning har qanday qiymatida funksiya (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamalarni qanoatlantiradi; 2) boshlang ‘ ich shart har qanday bo‘lmasin c o‘zgarmasning shunday c 1 qiymatini tanlash mumkinki funksiya berilgan boshlang ‘ ich shartni va tenglamani qanoatlantiradi. (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamaning boshlang ‘ ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi , boshlang ‘ ich shartga esa Koshi sharti deyiladi . 1.1-teorema. Agar funksiya D sohada y bo ‘ yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo ‘ lsa, u holda (1.1.2) tenglamaning nuqtani o‘z ichiga oluvchi biror intervalda aniqlangan va har bir berilgan nuqta uchun boshlang ‘ ich shartni qanoatlantiruvchi yechim mavjud va yagonadir. Natija. Koshi masalasi yechimi mavjud va yagona. 4-misol. tenglamaning yagona yechimga ega bo ‘ ladigan sohani toping. Yechish . funksiya uchun teorema shartiga ko ‘ ra funksiya uzluksiz bo ‘ ladigan sohani topamiz, bu soha esa XOY tekisligidir, ya’ni funksiya XOY tekisligining ixtiyoriy nuqtasida uzluksiz. Demak berilgan tenglama XOY tekisligida yagona yechimga ega. 1.2 Bir jinsli, chiziqli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar 2.1-ta`rif. Ushbu 6 ko ‘ rinishdagi (1.2.5) tenglamaning xususiy yechimini topamiz. Shunday qilib (1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi. 1-misol. tenglamani yeching. Yechish: Tenglamani ko ‘ rinishda yozsak, bu tenglama (1.2.5) ko ‘ rinishdagi chiziqli differensial tenglamaga keladi. Bu tenglamani Logranj (o ‘ zgarmasni variatsiyalash) usuli bilan yechamiz. Buning uchun tenglamaning yechimi ekanini e’tiborga olib, berilgan tenglamaning yechimini ko ‘ rinishda izlaymiz va ni berilgan tenglamaga qo ‘ yib, bundan ni topamiz. Demak berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko ‘ rinishda bo ‘ ladi. 2.Bernulli usuli. Bu usulda yechim ko ‘ rinishda izlanadi. va ni (1.2.5) ga qo`yib, ga ega bo ‘ lamiz. tenglamaning biror bir yechimini olsak, u holda oxirgi tenglikdan ya`ni olamiz. 9 Endi topilgan shu limit funksiya , masalasining yechimi ekanligini isbot qilamiz, Buning uchun da tenglikdan (2.2.4) tenglik kelib chiqishini isbotlash lozim, haqiqatdan ravshanki ketma –ketlikning funksiyaga tekis yaqinlashuvidan uchun shunday N nomer topiladiki, n>N bo‘lganda tengsizlik o ‘ rinli bo’ladi shuning uchun bo‘ladi. Bunda 23 tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o‘rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo‘lamiz. O‘sha hosil qilingan differensial tenglamalar o‘rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo‘ladi. Bu model qancha mukammal bo‘lsa, differensial tenglamalarni o‘rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to‘la tavsiflaydi. Shunisi qiziqki, tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin. Kurs ishining dolzarbligi: Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasining ahamiyati shundan iboratki, ular yordamida birinchi tartibli differensial tenglamalar yechiladi. Bundan tashqari tenglamalarning aniq va taqribiy yechimlari orasidagi farqni baholashda ham integral tengsizliklardan foydalanish mumkin. Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishi birinchi tartibli differensial tenglamalarni Koshi masalasi bilan yechishning oson usuliga olib keladi. Kurs ishida masalalar qisqacha bayon etilib, turli usullar bilan yechishga e’tibor qaratilgan. Kurs ishining obyekti va predmeti : Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi yagonaligi va mavjudligi, Pikar teoremasi o ‘ rganiladi. Usullar bir qancha misollarda ko ‘ rsatiladi va misollarni yechish algoritmi ko ‘ rsatiladi. Ushbu kurs ishida birinchi tartibli differensial tenglamalrni Koshi usulida yechish masalasi qaraladi. Kurs ishining tarkibi va hajmi: Kurs ishi kirish qismi, 2 ta bob, xulosa va adabiyotlar ro ‘ yxatidan iborat bo ‘ lib, 26 betda bayon qilingan. 3 mumkin. Haqiqatan ham, uzluksiz funksiya (2.1.5) integral tenglamani qanoatlantirsin. U holda funksiya - sohada uzluksiz bo‘lgani uchun munosabatning o‘rinli bo‘lishi “Matematik analiz” fanidan ma’lum. Yuqoridagi (2. 1. 5) tenglikning ikki tomonini differensiallab ekanligini topamiz. (2.1.2) boshlang‘ich shartning bajarilishi (2.1.5) tenglikdan ko‘rinib turibdi: Shunday qilib, (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasi (2.1.5) integral tenglamaga ekvivalent ekan. Shuning ushun (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasi yechimini mavjudligini ko‘rsatish o‘rniga, unga ekvivalent bo‘lgan (2.1.5) integral tenglama yechimini mavjudligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ketma-ket yaqinlashishlar (Pikar) usulidan foydalanamiz. Quyidagi , , ……………………………. (2.1.6) ……………………………. 16 I BOB. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR 1.1 Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ushbu bobda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar haqida tushunchalar beramiz hamda ularni yechilish usullari haqida ma’lumot beramiz. 1.1-ta’rif. Quyidagi (1.1.1) ko ‘ rinishdagi tenglamalar birinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi. Bu yerda x - erkli o ‘ zgaruvchi, - noma’lum funksiya esa o ‘ zgaruvchilarning funksiyasi bo ‘ lib, berilgan funksiyadir. Masalan ushbu ko ‘ rinishdagi tenglamalar a ) b ) 1-tartibli oddiy differensial tenglamalarga misol bo’ladi. 1.2-ta’rif. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama deb (1.1.2) yoki (1.1.3) ko ‘ rinishdagi tenglamalarga aytiladi, bu yerda -berilgan funksiyalardir. Masalan: 4 shunday qilib dan (2.2.1) ning o‘rinli ekanligini kelib chiqadi. Yagonaligi tenglamaning shartni qanoatlantiradigan yana bitta yechim bo‘lsin. Uning aniqlanish intervali bo’lib va funksiyalarning aniqlanish intervallarining umumiy qismi dan iborat bo‘lsin. U holda da ekanligini isbotlaymiz. Shartga ko‘ra ayniyatlarga egamiz. Bundan uchun ya’ni ga egamiz. Bu yerdan Gronuall lemmasining natijasiga ko‘ra 24 II BOB. KOSHI MASALASINING MAVJUDLIGI VA YAGONALIGI 2.1. Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi Hosilaga nisbatan yechilgan ushbu (2.1.1) differensial tenglamaning (2.1.2) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi asalasi deyiladi. 1.1-teorema. (Koshi) Agar funksiya to‘g‘ri to‘rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, -o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshits shartini, ya’ni nuqtalar uchun shunday soni topilib (2.1.3) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda shunday (2.1)-(2.2) Koshi masalasining oraliqda aniqlangan va (2.1.2) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo‘ladi. Bu yerda (2.1.4) 1-izoh. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida xususiy hosilaga ega bo‘lib shartni qanoatlantirsa, u holda bu funksiya to‘g‘ri to‘rtburchakda -o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi. 13 yechimga ega ekan. Bundan ko‘rinadiki, berilgan differensial tenglamaning o‘ng tomonidagi funksiya (2.1.3) - Lipshits shartini qanoatlantirmaydi. Chunki Shuning uchun ham berilgan Koshi masalasining yechimi yagona emas. Demak, Koshi teoremasidagi shartlar Koshi masalasi yechimi mavjud va yagona bo‘lishi uchun yetarli shartlardir. Koshi masalasi yechimining yagonaligidan funksiyaning uzluksizligi va o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantirishi kelib chiqmaydi. Teoremaning isboti (Yechimning mavjudligi). Berilgan differensial tenglamani ushbu ko‘rinishda yozib, uni interval bo‘yicha integrallaymiz: Hosil bo‘lgan bu tenglikda (2.1.2) boshlang‘ich shartdan foydalanib, (2.1.5) munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat funksiyaga nisbatan integral tenglamadir. Shunday qilib, agar funksiya (2.1.1)-(2.12) Koshi masalasining yechimi bo‘lsa, u holda y ( x ) (2.1.5) integral tenglaman qanoatlantirar ekan. Aksincha, agar uzluksiz funksiya (2.1.5) integral tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda berilgan (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasining ham yechimi bo‘lishini ko‘rsatish 15 (1.2.1) shartni qanoatlantiruvchi funksiya x va y argumentlariga nisbatan n o ‘ lchovli (tartibli) bir jinsli funksiya deyiladi. 1-misol. funksiyalar mos ravishda 0, 1 va 2 – tartibli bir jinsli funksiyalar ekanini ko ‘ rsating. Yechish: a) 0-tartibli bir jinsli funksiya; b) 1-tartibli bir jinsli funksiya; 2.2-ta’rif. Agar nolinchi tartibli bir jinsli funksiya bo‘lsa, u holda (1.2.2) differensial tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi va bu tenglama ko’rinishda yoziladi. 2.3-ta`rif. Agar va funksiyalar bir xil tartibdagi bir jinsli funksiyalar bo ‘ lsa, u holda (1.2.3) tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi. 2.4-ta`rif. Ushbu (1.2.4) 7 Bunda x-erkli o’zgaruvchi , y-uning no’malum funksiyasi esa no’malum funksiyasining hosilasi. (1.3.1) tenglamaning muhim xususiy holiga to‘xtalamiz. (1.3.2) bu tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi. (1.3.1)tenglama (1.3.2) tenglamani y’ ga nisbatan yechish natijasida hosil bo ‘ lgan deb qaramasdan, balki (1.3.1) ga f(x,y) funksiya G sohada berilgan deb qaraymiz. Izoh 1. Soha deyilganda faqat yopiq yoki faqat ochiq bog ‘ langan to ‘ plamni olamiz. Agar berilgan G to ‘ plamning ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi va shu to ‘ plamga tegishli biror chiziq mavjud bo ‘ lsa, u holda G to ‘ plam bog ‘ langan bo ‘ ladi. Izoh 2. Agar I intervalda yopiq bo ‘ lsa, u holda uning chap uchiga o ‘ ng hosila, o ‘ ng uchiga esa chap hosila nazarda tutiladi. 3.1-tarif. (1.3.2) chi tenglama berilgan bo ‘ lib, unda f(x,y) funksiya R 2 tekislikning G sohasida aniqlangan bo ‘ lsin. Agar I (ochiq,yopiq yoki yarim ochiq ) intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uch shart (1.3.3) bajarilsa, u holda bu funksiya I intervalda (1.3.2) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. (1.3.2) differensial tenglamaning har bir yechimga mos kelgan egri chiziq ( ya’ni funksiyaning grafigi ) shu tenglamaning integral egri chizig ‘ i 11 (2.1.9) orqali belgilaymiz. Shu maqsadda, matematik induksiya usulini qo‘llab (2.1.10) bahoning o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. Bu baho n  1 da o‘rinli: . Yechimning yagonaligi. Aytaylik, y 1 ( x ) , y 2 ( x ) funksiyalar (2.1.1) differensial tenglamani va (2.1.2) boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin. Bundan tashqari ularning grafiklari P to‘g‘ri to‘rtburchakda joylashsin, ammo bo‘lsin. U holda ushbu tengliklardan, avvalo so‘ngra munosabatni olamiz. Bu tenglikning ikki tomonini integrallab ifodani olamiz. Lipshits shartidan foydalanib, oxirgi munosabatni baholaymiz: 18 formulalar yordamida funksional ketma-ketlikni tuzib olamiz. Bu yerdagi funksiyalarning har biri (2.1.2) boshlang‘ich shartni, ya’ni qanoatlantiradi Endi, ushbu ayirmalarni baholaymiz: (2.1.7) Bundan ko‘rinadiki, agar x lar ushbu tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (2.1.7) bahodan (2.1.8) tengsizliklar kelib chiqadi. Bu esa funksiyalarning grafiklari larda P to‘g‘ri to‘rtburchakdan chiqib ketmasligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, tengsizlik bajarilsa, funksiyalarning grafiklari P to‘g‘ri to‘rtburchakda joylashar ekan. Endi, har bir tayinlangan larda ushbu sonli ketma-ketlikning n  da chekli limiti mavjudligini ko‘rsatamiz va uni 17 ya`ni bahoni olamiz. Ushbu belgilashlarni olib, Gronuolla tengsizligidan foydalansak, ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Teorema to‘la isbot bo‘ldi. Ko‘pchilik hollarda (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasining y ( x ) yechimi bilan (2.1.6) tengliklar orqali aniqlangan , n- yaqinlashish orasidagi farqni hisoblashga to‘g‘ri keladi. Buning uchun ushbu ayirmani baholashga to‘g‘ri keladi. Avvalo biz y n ( x ) funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra bu tenglikning ikki tomonida n   da limitga o‘tib munosabatni hosil qilamiz. Bundan va (2.1.10) tengsizlikdan foydalanib, quyidagi ayirmani baholaymiz: Bu yerda , N-Lipshits o‘zgarmasi. 19 1.3-ta`rif. funksiyani berilgan differensial tenglamaga qo ‘ yganda uni ayniyatga aylantirsa, u holda funksiyaga berilgan differensial tenglamaning yechimi deyiladi. 1-misol. yechimdan foydalanib, larini topamiz va berilgan tenglamaga qo ‘ yamiz: demak, berilgan funksiya berilgan tenglamani yechimi bo ‘ ladi. 1.4-tarif. (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamalarning biror bir intervaldagi yechimi deb, shu intervaldagi uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaga aytiladiki , bu funksiya (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamalarni I intervalda ayniyatga aylantiradi, ya’ni: yoki 2-misol. tenglamning (-1;1) intervaldagi yechimi va funksiyalarning da uzluksiz ekanligini e`tborga olib berilgan tenglamaga qo ‘ yamiz : Demak ayniyat hosil bo`ldi, ya`ni funksiya (-1,1) intervalda berilgan tenglamani yechimi bo`ladi. 1.5-ta’rif. (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamaning umumiy yechimi deb, shunday funksiyaga aytiladiki: 5 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz. Toshkent:. “O‘qituvchi”, 1989 . 2. Salohiddinov M.S., Nasritdinov G’.N. Oddiy differensial tenglamalar. - Т .:O ‘ qituvchi, 1982. 198-264 b. 3. Филиппов A. Ф . Сборник задач по дифференциальнымуравнениям .- M.: Наука , 1992 . 74-87 c т p. 4. Краснов M. Л ., Киселев A. И ., МакаренкоГ . И . Сборникзадач по обыкновенным дифференциалным уравнениям.-M.:Высшая школа, 1978. 78-79 c тр. 5. Матвеев Н.M. Сборник задач и упражнения по обыкновенным, дифференциальным уравнениям. – Минск: Высшая школа, 1987. 69-70 стр. 6. Hasanov A . B Oddiy differensial tenglanmalar nazariyasiga kirish.Samarqand. 2019 Internet saytlari 1. www.ziyonet.uz 2. www.arxiv.uz 3. www.google.ru 27
Купить