Информация о документе

Цена 250000UZS
Размер 617.5KB
Покупки 0
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun kata sonlar qonuni

Купить
REJA KIRISH I.BOB Tasodifiy miqdorlar 1.1 Tasodofiy miqdor 1.2 Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi II.BOB Katta sonlar qonuni 2.1 Dastlabki izohlar 2.1 Chebishev teoremasi. Kata sonlar qonuni XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR KIRISH Kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytgan- da, xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog‘liq. Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi. Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men jahon tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar bu maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada hayotimizda ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim modelining kuchli samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim. Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan, hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab o‘quvchilar, katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi bo‘lmoqdamiz. Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga oshirgan, ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish, yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin yaratdi, desak, hech qanday xato bo‘lmaydi. Respublikamizning 1-prezidenti I.A.Karimovning 2001-yil Oliy Majlisning 5-sessiyasida so‘zlagan nutqida axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va OTMlariga jadallik bilan olib kirish g‘oyasi ilgari surilgan edi. Muhtaram prezidentimiz I.A.Karimov tashabbusi bilan Vazirlar Mahkamasining 2001-yil 23-maydagi 230-sonli «2001-2005-yillarda kompyuter va axborot texnologiyalarini rivojlantirish», shuningdek, «Internet»ning xalqaro axborot tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab chiqishni tashkil etish chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi Qarorlari qabul qilindi. 2002- yil 30-mayda O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining «Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish to‘g‘risida»gi Farmoni va uning ijrosini amalga oshirish yuzasidan Vazirlar Mahkamasining 2002-yil 6-iyundagi «2002-2010-yillarda kompyuterlashtirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini rivojlantirish dasturi» to‘g‘risidagi Qarori e’lon qilindi. Bulardan ko‘rinadiki, hozirgi paytda ta’limga axborot texnologiyalarini jadal tatbiq etish, ta’lim jarayonini kompyuterlashtirish asosiy masalaga aylangan. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Kurs ishining obyekti va predmeti. Kurs ishining obyekti va predmeti bu tasodifiy miqdorlar, disret tasodiy miqdorlarning matematik kutilmasi, kata sonlar qonuni, Chebishev teoremalari haqida ma’lumotlar. Ulardan foydalanish jarayonida turli xil ta’rif, tushuncha va misollardan foydalaniladi. Kurs ishini tayyorlash jarayonida limit teoremalari va uning tadbiqlari o’rganilib, ularga doir misollar tahlil qilinadi. Kurs ishining maqsad va vazifalari. 1. Tasodofiy miqdorlarni o’rganish; 2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini o’rganish; 3. Dastlabki izohlarni o’rganish; 4. Chebishev teoremasi. Kata sonlar qonunini o’rganish. Kurs ishining yangiligi va amaliy ahamiyati. Kurs ishi referativ-uslubiy xarakterga ega bo’lgani uchun ilmiy yangilik qilinmagan. Mavzuga oid bir nechta adabiyotlardan ma’lumotlarni to’plash tahlil qilish va misollarga tatbiq qilishdan iborat. Kurs ishining uslubiyati. Kurs ishi nazariy xarakterga ega bo’lib, olingan natijalar boshqa adabiyotlar bilan taqqoslanib mavzuga oid misollarni yechishda sodda usullar keltirilgan. I.BOB TASODIFIY MIQDORLAR 1.1 Tasodifiy miqdor Tasodifiy miqdor deb dastlab ma’lum bo’lmagan, oldindan hisobga olinishi mumkin bo’lmagan tasodifiy sabablarga bog’liq bo’lgan bitta va faqat bitta mumkin bo’lgan qiymatni tajriba natijasida qabul qiladigan kattalikka aytiladi. 1-misol. Zambarakdan otilgan snaryadning uchib o’tgan masofasi tasodifiy miqdordir. Bu miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari biror oraliqqa tegishlidir. Tajribalar natijasida elementar hodisalar ro’y bergani uchun tasodifiy miqdor va elementar hodisa tushunchalarini bog’lab, tasodifiy miqdorning boshqa ta’rifini berish mumkin. Tasodifiy miqdor deb elementar hodisalar fazosida aniqlangan ( ) funksiyaga aytiladi. 2-misol. Ikkita tanga tashlanganda chiqqan gerblar soni X 0, 1 va 2 qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan tasodifiy miqdordir. Elementar hodisalar fazosi quyidagi elementar hodisalardan iborat: , , , . U holda X quyidagi qiymatlarni qabul qiladi: , , , . Tasodifiy miqdorlar bosh lotin harflari, ularning mumkin bo’lgan qiymatlari esa mos kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan, X tasodifiy miqdor uchta qiymatga ega bo’lishi mumkin bo’lsa, ular orqali belgilanadi. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni Diskret (uzlukli) tasodifiy miqdor deb ayrim, ajralgan mumkin bo’lgan qiymatlarni ma’lum ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi tasodifiy miqdorga aytiladi. Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin. Uzluksiz tasodifiy miqdor deb biror chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan tasodifiy miqdorga aytiladi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni cheksizdir. Bunday tasodifiy miqdorga misol sifatida 1-misoldagi tasodifiy miqdorni olish mumkin. Diskret tasodifiy miqdorning berilishi uchun uning mumkin bo’lgan qiymatlarini sanab chiqish etarli emas, yana ularning ehtimolliklarini ham ko’rsatish lozim. Ikkinchi tomondan, ko’p masalalarda tasodifiy miqdorlarni elementar hodisalarning funksiyalari sifatida qarashning zarurati yo’q, faqat tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining ehtimolliklarini, ya’ni tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini bilish etarli. Diskret tasodifiy miqdor ehtimolliklarining taqsimot qonuni yoki soddagina taqsimot qonuni deb mumkin bo’lgan qiymatlar bilan ularning ehtimolliklari orasidagi moslikka aytiladi; uni jadval, grafik va formula ko’rinishda berish mum- kin. Ehtimolliklar taqsimot qonunining turli usullarda berilishini misollarda ko’rib chiqaylik. Diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunining jadval orqali berilishida jadvalning birinchi satri mumkin bo’lgan qiymatlardan, ikkinchi satri esa ularning ehtimolliklaridan tuziladi. Jadvalning ikkinchi satridagi ehtimolliklarning yig’indisi 1 ga teng bo’lishi kerak. 1.1-jadvalda 2-misoldagi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan. 1.1 – j a d v a l 0 1 2 1 / 4 1 / 2 1 / 4 3 -misol . Pul lotereyasida 100 ta bilet chiqarilgan. Bitta 5000 so’mlik, beshta 1000 so’mlik va o’nta 500 so’mlik yutuq o’ynalmoqda. Bitta lotereya bileti egasining mumkin bo’lgan yutug’idan iborat bo’lgan X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni topilsin. Yechish . X ning mumkin bo’lgan qiymatlarini yozamiz: , , , . Bu mumkin bo’lgan qiymat-larning ehtimolliklari quyidagicha: , , , . U holda izlanayotgan taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishda 1 .2 – j a d v a l 0 500 100 0 500 0 0,84 0,1 0,05 0,01 Yaqqollik uchun diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini grafik ko’rinishda ham tasvirlash mumkin, buning uchun to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida nuqtalar belgilanadi, so’ngra ular kesmalar bilan birlashtiriladi. Hosil bo’lgan shakl taqsimot ko’pburchagi deb ataladi. 1.1- rasmda 2-misoldagi X tasodifiy miqdorning taqsimot ko’pburchagi keltirilgan. Endi formulalar orqali berilgan ayrim diskret taqsimotlar — binomial, geometrik va Puasson taqsimotlarini ko’rib chiqaylik. 1.1 - rasm. n ta bog’liqmas tajriba o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolligi doimiy va p ga teng bo’lsin (demak, ro’y bermaslik (muvaffaqiyatsizlik)ning ehtimolligi q= 1 –p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sifatida A hodisaning shu tajribalarda ro’y berishlarining soni-ni ko’rib chiqaylik. X ning mumkin bo’lgan qiymatlari bunday: 0, 1, 2, ..., n . Bu mumkin bo’lgan qiymatlarning ehtimolliklari (1.1) Bernulli formulasi bo’yicha topiladi: , bu erda k= 0, 1, 2, ..., n . 1.2 Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, uning barcha mumkin bo lgan qiymatlarini mos ehtimollarga ko paytmalari yig indisiga aytiladi.ʻ ʻ ʻ X tasodifiy miqdor faqat qiymatlarni mos ravishda ehtimollar bilan qabul qilsin.Bu holda X tasodifiy miqdorning M (X) matematik kutilishi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: Eslatma. Ta rifga ko ra diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ʼ ʻ tasodifiy bo lmagan (o zgarmas) miqdordir. Bu tasdiqni eslab qolishni tavsiya ʻ ʻ qilamiz, chunki keyinchalik bu ko p marta ishlatiladi. Keyinchalik o quvchi ʻ ʻ uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ham o zgarmas miqdor ʻ ekanligini bilib oladi. 1-misol. X tasodifiy mikdorning taqsimot qonunini bilgan holda uning matematik kutilishini toping: X 3 5 2 P 0,1 0,6 0,3. Yechilishi. Izlanayotgan matematik kutilish tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo lgan qiymatlarini ularning ehtimollariga ko paytmalari yig ingisiga ʻ ʻ ʻ teng: M(X)= 2-misol. A hodisaning ehtimoli p ga teng bo lsa, bitta sinashda A ʻ hodisaning ro y berish sonining matematik kutilishini toping. ʻ Yechilishi. X tasodifiy miqdor A hodisaning bitta sinashda ro y berish soni ʻ faqat ikkita qiymat qabul qilishi mumkin: =1 (A hodisa ro y berdi) p ehtimol ʻ bilan va =0 (A hodisa ro y bermadi) q=1-p ehtimol bilan izlanayotgan ʻ matematik kutilish quyidagiga teng: Shunday qilib, bitta sinashda hodisa ro y berish sonining matematik kutilishiʻ shu hodisaning ehtimoliga teng. Bu natijadan quyida foydalaniladi. Matematik kutilishning ehtimoliy ma nosi ʼ Faraz qilaylikki, n ta sinash o tkazilgan bo lib, ularda X tasodifiy miqdor ʻ ʻ marta qiymat, marta qiymat, ..., marta qiymat qabul qilgan, shu bilan birga bo lsin. U xolda X qabul qilgan barcha qiymatlar ʻ yig indisi quyidagiga teng: ʻ Tasodifiy miqdor qabul qilgan barcha qiymatlarning arifmetik o rtacha ʻ qiymati ni topaylik, buning uchun topilgan yig indini sinashlarning jami soniga ʻ bo lamiz: ʻ yoki (1.2.1) nisbat qiymatning nisbiy chastotasi, nisbat qiymatning , nisbiy chastotasi va h.k. ekanligini inobatga olib, (1.2.1) munosabatni quyidagicha yozib olamiz; (1.2.2) Sinashlar soni yetarlicha katta deb faraz kilaylik. U holda nisbiy chastota taqriban hodisaning ro y berish ehtimoliga teng. ʻ , , … , (1.2.2) munosabatda nisbiy chastotalarni mos ehtimollar bilan almashtirib quyidagini hosil qilamiz: Bu taqriban tenglikning o’ng tomoni M(X) dir. Shunday qilib, Hosil qilingan natijaning ehtimoliy ma nosi kuyidagicha: matematik kutilishʼ tasodifiy miqdorning kuzatilayotgan qiymatlarining arifmetik o rtacha qiymatiga ʻ taqriban teng (sinashlar soni kancha ko p bo lsa, aniqlik shuncha ko p). ʻ ʻ ʻ 1-eslatma. Ko rinib turibdiki, matematik kutulish mumkin bo lgan ʻ ʻ qiymatlarning eng kichigidan katta, eng kattasidan esa kichik. Boshkacha kilib aytganda, mumkin bo lgan qiymatlar son o qida matematik kutilishning o ng va ʻ ʻ ʻ chap tomonlarida joylashgan. Shu ma noda matematik kutilish taqsimotning ʼ joylanishni xarakterlaydi, shuning uchun uni ko pincha ʻ taqsimot markazi deb ataladi. Bu termin mehanikadan olingan: agar p, p, ... p massalar abssissalari x, x, ....x bo lgan nuqtalarda joylashgan bo lib, bo lsa, u holda og irlik markazining ʻ ʻ ʻ ʻ abssissasi bo ladi ʻ va ekanligini nazarga olib, tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, matematik kutilish abssissalari tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlarga, massalari ularning extimollariga teng bo lgan moddiy ʻ nuqtalar og irlik markazining abssissasidir. ʻ 2-eslatma. Matematik kutilish terminining kelib chiqishi ehtimollar nazariyasi paydo bo lishining boshlang ich davri bilan bog liq bo lib (XVI-XVII ), ʻ ʻ ʻ ʻ u davrda uning tatbiq sohasi qimor o yinlar bilan cheklangan edi. O yinchini ʻ ʻ kutilayotgan yutuqning o rtacha qiymati yoki, boshqacha qilib aytganda, yutuqning ʻ matematik kutilishi qiziqtirgan. Matematik kutilishning xossalari 1-xossa. O zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o zgarmasningʻ ʻ o ziga teng: ʻ Isboti. C o zgarmasni mumkin bo lgan bitta C qiymat ga ega bo lgan va uni ʻ ʻ ʻ p=1 ehtimol bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor sifatida qaraymiz. Demak, 1- eslatma. C o zgarmas miqdorini X diskret tasodifiy miqdorga ko paytmasi ʻ ʻ deb, shunday CX diskret tasodifiy miqdorini olamizki, uning mumkin bo lgan ʻ qiymatlari X ning mumkin bo lgan qiymatlarini C o zgarmasga ko paytmalariga ʻ ʻ ʻ teng; CX ning mumkin bo lgan qiymatlarining ehtimollari X ning mumkin bo lgan ʻ ʻ tegishli qiymatlarining ehtimollariga teng. Masalan, mumkin bo lgan x qiymatning ʻ ehtimoli p ga teng bo lsa, u holda ʻ CX miqdorning Cx qiymatni qabul qilish ehtimoli ham p ga teng bo ladi. ʻ 2-xossa. O zgarmas ko paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga ʻ ʻ chiqarshi mumkin: Isboti. X tasodifiy miqdor quyidagicha ehtimollarning taqsimot qonuni bilan berilgan bo lsin: ʻ 1-eslatmani inobatga olib, CX tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozamiz: CX tasodifiy miqdorning matematik kutalishi: Shunday qilib, 2-eslatma. Keyingi xossaga o tishdan avval quyidagi tushunchani aytibʻ o taylik: ikkita tasodifiy miqdordan birining taqsimot qonuni ikkinchisining ʻ qanday qiymat qabul qilganligiga bog lik bo lmasa, bu tasodifiy miqdorlar erkli ʻ ʻ deyiladi. Agar bir nechta tasodifiy miqdorlardan ixtiyoriy sondagisining taqsimot qonunlari qolganlarining qanday qiymat qabul qilganligiga bog liy bo lmasa, ular ʻ ʻ o zaro erkli tasodifiy miqdorlar deyiladi. ʻ 3-eslatma. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlarning ko paytmasi deb, shunday ʻ XY tasodifiy miqdorga aytamizki, uning mumkin bo lgan qiymatlari X ning ʻ mumkin bo lgan har bir qiymatini Y ning mumkin bo lgan har bir qiymatiga ʻ ʻ ko paytirilganiga teng; XY ko’paytmaning mumkin bo lgan qiymatlarining ʻ ʻ extimollari ko paytuvchilarning mumkin bo lgan qiymatlarining ehtimollari ʻ ʻ ko paytmasiga teng. Masalan, mumkin bo lgan ʻ ʻ qiymatning ehtimoli ga, mumkin bo lgan ʻ qiymatning ehtimoli ga teng bo lsa, u holda mumkin ʻ bo lgan ʻ qiymatning ehtimoli ga teng bo ladi. ʻ 3-xossa. Ikkita erkli X va Y tasodifiy miqdorlar ko paytmasining matematik ʻ kutilishi ularning matemamik kutilishlari ko paytmasiga teng: ʻ Isboti. X va Y erkli tasodifiy miqdorlar o zlarining taqsimot qonunlari bilan ʻ berilgan bo lsin: ʻ XY tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin bo lgan barcha qiymatlarni tuzib ʻ chiqaylik, buning uchun X ning mumkin bo lgan barcha qiymatlarini Y ning ʻ mumkin bo lgan har bir qiymatiga ko paytirib chiqamiz: natijada x ʻ ʻ 1 y 1 , x 2 y 1 , x 1 y 2 va x 2 y 2 ni xosil qilamiz. 3- eslatmani inobatga olib, XY ko paytmaning taqsimot qonunini tuzamiz: ʻ Matematik kutilish mumkin bo lgan barcha qiymatlarini ularningʻ ehtimollariga ko paytmalari yig indisiga teng; ʻ ʻ yoki Shunday qilib, Natija. Bir nechta o zaro erkli masodifiy miqdorlar ko paytmasining ʻ ʻ matematik kutilishi ularning matematik kutishlari ko paytmasiga teng. ʻ Masalan, uchta tasodifiy miqdor uchun: Ixtiyoriy sondagi tasodifiy miqdorlar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi. 3-misol. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari orqali berilgan: X 5 2 4 Y 7 9 p 0,6 0,1 0,3 g 0,8 0,2. XY tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping. Yechilishi. Berilgan miqdorlarning har birining matematik kutilishini topamiz: M(X) =5·0,6+2·0,1 +4·0,3=4,4; M(Y) =7·0,8 + 9·0,2 = 7,4. X va Y tasodifiy miqdorlar erkli bo lganligi uchun izlanayotgan matematik ʻ kutilish quyidagiga teng: = 4,4·7,4=32,56. 4-eslatma. X va Y tasodifiy miqdorlarning yig indisi deb shunday X+Y ʻ tasodifiy miqdorga aytiladiki, uning mumkin bo lgan qiymatlari X ning mumkin ʻ bo lgan har bir qiymati bilan uning mumkin bo lgan har bir qiymati yig indilariga ʻ ʻ ʻ teng; X +Y ning mumkin bo lgan qiymatlarining ehtimollari erkli X va Yʻ miqdorlar uchun qo shiluvchilarni ehtimollari kupaytmasiga teng; bog lik tasodifiy ʻ ʻ miqdorlar uchun bir qo shiluvchining extimolini ikkinchisining shartli ehtimoliga ʻ ko paytmasiga teng. ʻ Quyidagi xossa erkli tasodifiy miqdorlar uchun ham, bog lik tasodifiy ʻ miqdorlar uchun ham o rinlidir. ʻ 4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdor yig indisining matematik kutilishi ʻ qo shluvchilarning matematik kutilishlar yig’indisiga teng: ʻ Isboti. X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlar orqali berilgan bo lsin: ʻ X + Y ning barcha mumkin bo lgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ʻ ning mumkin bo lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo lgan har bir qiymatini ʻ ʻ qo shamiz: ʻ ni hosil qilamiz. Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda orqali belgilaymiz. X+Y miqdorning matematik kutilishi mumkin bo lgan qiymatlarni ularning ʻ ehtimollariga ko paytmalari yig indisiga teng: ʻ ʻ yoki ekanligini isbotlaymiz. X tasodifiy miqdor x 1 qiymatni qabul qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli p 1 ga teng) X+Y tasodifiy miqdor yoki qiymatni qabul qilish hodisasini (bu hodisaning ehtimoli qo shish ʻ teoremasiga ko ra ʻ ga teng) ergashtiradi va aksincha. Bundan tenglik kelib chiqadi. Ushbu tengliklar xam shunga o xshash isbotlanadi. Bu ʻ tengliklarning o ng tomonlarini (1.2.1) munosabatga qo yib quyidagini hosilʻ ʻ qilamiz: yoki uzil-kesil . Natija. Bir nechta tasodifiy miqdorlar yig indisining matematik kutilishi ʻ qo shiluvchilar matematik kutilishlarining yig indisiga teng. ʻ ʻ Masalan, uchta qo shiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz. ʻ Ixtiyoriy sondagi qo shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi ʻ bilan olib boriladi. 4-misol. Nishonga qarata uchta o q uzildi. Ularning nishonga tegish ʻ ehtimollari: Nishonga tegish jami sonining matematik kutilishini toping. Yechilishi. Birinchi otishda nishonga tegish soni X 1 tasodifiy miqdor bo lib, ʻ u faqat ikkita qiymat qabul qilishi mumkin: 1 ni (nishonga tekkan holda) ehtimol bilan va 0 ni (nishonga tegmagan holda) ehtimol bilan. Birinchi o q uzishda nishonga tegish sonining matematik kutilishi nishonga ʻ tegish ehtimoliga, ya ni ʼ = 0,4 ga teng. Ikkinchi va uchinchi o q uzishda nishonga tegish sonining matematik ʻ kutilishlarini shunga o xshash topamiz: ʻ =0,3, =0,6. Nishonga tegishning jami soni ham tasodifiy miqdor bo lib, u uchta o q ʻ ʻ uzishning har birida nishonga tegishlar yig indisidan iborat: ʻ Izlanayotgan matematik kutilishni yig indining matematik kutilishi haqidagi ʻ teoremaga asosan topamiz: =0,4+0,3+0,6=1,3 (ta nishonga tegish). 5-misol. Ikkita o yin soqqasi tashlanganda tushishi mumkin bo lganʻ ʻ ochkolar yig indisining matematik kutilishini toping. ʻ Yechilishi. Birinchi soqqada tushishi mumkin bo lgan ochkolar sonini X ʻ orqali, ikkinchisinikini Y orqali belgilaymiz. Bu miqdorlarning mumkin bo lgan ʻ qiymatlari bir xil bo lib, ular 1, 2, 3, 4, 5 va 6 ga teng, shu bilan birga bu ʻ qiymatlardan har birining extimoli ga teng. Birinchi soqqada tushishi mumkin bo lgan ochkolar sonining matematik ʻ kutilishini topamiz: ekanligi ham ravshan. Izlanayotgan matematik kutilish: = = 7 II.BOB KATTA SONLAR QONUNI 2.1 Dastlabki izohlar Ma’lumki, tasodifiy miqdor sinash yakunida mumkin bo’lgan qiymatlardan qaysi birini qabul qilishini avvaldan ishonch bilan aytib bo’lmaydi, chunki u hisobga olib bo’lmaydigan bir kancha tasodifiy sabablarga bogliq bo’lib, biz ularni hisobga ololmaymiz. Har bir tasodifiy mik dor xaqida ana shu ma’noda juda kam ma’lumotga ega bo’lganimiz uchun yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi to’g’risida ham biror narsa ayta olishimiz qiyindek ko’rinadi. Aslida esa bu unday emas. Biror nisbatan keng shartlar ostida yetarlicha katta sondagi ta- sodifiy miqdorlar yig’indisining tasodifiylik xarakteri deyarli yo’qolar va u qonuniyatga aylanib qolar ekan. Praktika uchun juda ko’p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog’liq bo’lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda katta ahamiyatga ega, chunki bu hodisalarning qanday rivojlanishini ko’ra bilishga imkon beradi. Bu shartlar umumiy nom bilan katta sonlar qonuni deb yuritiladigan teoremalarda ko’rsatiladi. Bular jumlasiga Chebishev va Bernulli teoremalari (boshqa teoremalar ham bor, lekin ular bu erda qaralmaydi) mansub, Chebishev teoremasi katta sonlar qonunining eng umumiysi, Bernulli teoremasi esa eng soddasidir. Bu teoremalarni isbotlashda Chebishev tengsizligidan foydalanamiz. Chebishev tengsizligi Chebishev tengsizligi diskret va uzluksuz tasodifiy miqdorlar uchun o’rinli. Soddalashtirish maqsadida biz bu tengsizlikni diskret miqdorlar uchun isbotlaymiz. Taqsimot jadvali orkali berilgan diskret tasodifiy miqdorni q araylik: … … Tasodifiy miqdorni o ’zining matematik kutilishidan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha musbat sondan ortmaslik extimolini baholashni ma q sad qilib q o’yaylik. Agar yetarlicha kichik bo’lsa, biz bu bilan tasodifiy miqdor o’zining matematik kutilishiga yaqin qiymat qabul q ilish extimolini baholagan bo’lamiz. P. L. Chebishev, bizni qiziqtirayotgan bahoni beruvchi tengsizlikni isbotlagan. Chebishev tengsizligi. tasodifiy miqdorning o’z matematik kutilishidan chetla ishi i absolyut qiymat bo’yicha musbat sondan kichik bo’lishi ehtimoli dan kichik emas: Isboti. va tengsizliklarning bajarilishidan iborat bo’lgan hodisalar qarama-qarshi bo’lgani uchun ularning extimollari yig’indisi birga teng, ya’ni Bundan bizni qiziqtirayotgan ehtimol: ( 2.1.1 ) Ko’rib turibmizki, masala ehtimolni hisoblashga keltirildi. tasodifiy miqdor dispersiyasining ifodasini yozaylik: Bu yig’indining har bir qo’shiluvchisi manfiy emas. Tarkibida bo’lgan qo’shiluvchilarni tashlab yuboramiz (qolgan qo’shiluvchilar uchun bo’ladi), natijada yig’indi fakat kamayishi mumkin. Anik lik uchun birinchi ta qo’shiluvchi tashlab yuborilgan deb hisoblaymiz (umumiylikka ziyon keltirmasdan, taksimot jadvalida mumkin bo’lgan qiymatlar shu tartibda belgi lab chikilgan deyish mumkin). Shunday qilib, tengsizlikning ikkala tomoni ham musbat, shuning uchun ularni kvadratga oshirib, teng kuchli   2 2 jx М Х    tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan foydalanib va qolgan yig’indidagi har bir 2 j x М Х ko’paytuvchini 2 bilan almashtirib (bundan tengsizlik fakat kucha- yishi mumkin), quyidagini hosil qilamiz:   2 1 2 ... . ( ) k k n D Х p p p       (2.1.2) Qo’shish teoremasiga ko’ra 1 2 ... k k np p p     ehtimollar yig’indisi X tasodifiy miqdor 1 2, , , k k nx x х    qiymatlarning, qaysinisi bo’lsa, birini qabul qilish ehtimoli bo’lib, ularning har birida xam chetlanish   jx М Х    tengsizlikni qanoatlantiradi. Bundan 1 2 ... k k np p p     yig’indi     j P x М Х    extimolni ifodalashi kelib chikadi. Bu mulohaza (2.1.2) tengsizlikni bunday yozishga imkon beradi:       2 j xD X ХP М     yoki       2 . D Х P X М Х     (2.1.3) (2.1.3) ni (2.1.1) ga qo’yib, uzil-kesil kuyidagini hosil qilamiz:       2 1 . D Х P X М Х      Mana shuni isbotlash talab qilingan edi. Eslatma. Praktika uchun Chebishev tengsizligining ahamiyati cheklangan, chunki ko’p hollarda u qupol, ba’zan esa trivial (ahamiyati bo’lmagan) baho beradi. Masalan, agar   2 D Х  va demak   2 1 D Х   bo’lsa, u holda   2 1 0 D Х   shunday qilib, bu holda Chebishev tengsizligi chetlanishning extimoli manfiy emasligini bildi radi, bu esa shundoq ham ravshan, chunki har qanday ehtimol manfiy bo’lmagan son bilan ifodalanadi. Chebishev tengsizligini nazariy ahamiyati esa juda kattadir. Quyida Chebishev teoremasini keltirib chiqarish uchun shu tengsizlikdan foydalanamiz. 2.2 Chebishev teoremasi Chebishev teoremasi. Agar 1 2 , , , nX X X  juft juft erkli tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning dispersiyalari tekis chegaralangan (o’zgarmas С sondan katta emas) bo’lsa, u holda musbat e son har qancha kichik bo’lganda xam, tasodifiy miqdorlar soni yetarlicha katta bo’lsa, 1 2 1 2 ( ) ( ... ... ) ( ) n n X X X М X М X М X n n          tengsizlikning extimoli birga istalgancha yakin bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda, teorema shartlari bajarilganda 1 2 1 2 ( ) ( ... ) ( ... l ) im 1 n n n X X X М X М X М X P n n                   Shunday qilib, Chebishev teoremasi bunday da’vo q iladi: agar dispersiyalari chegaralangan tasodifiy miqdorlaring yetarlicha ko’p sondagisi q aralayotgan bo’lsa, u holda bu tasodifiy miqdorlar arifmetik o’rtacha qiymatining ularning matematik kutilishlari arifmetik o’rtacha q iymatidan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha istalgancha kichik bo’lishidan iborat hodisani deyarli mu q arrar deb hisoblash mumkin. Isboti. Yangi tasodifiy miqdorlarning 1 2 ... n X X X X n     arifmetik o’rtacha qiymatini tekshiramiz. X ning matematik kutilishini topamiz. Matematik kutilishning xossalaridan foydalanib (o’zgarmas ko’paytuv chini matematik kutilish belgisidan tashkariga chikarish mumkin; yig’indining matematik kutilishi ko’shiluvchilar ning matematik kutilishlari yig’indisiga teng), kuyidagi ni hosil qilamiz: 1 2 1 2 ( ) ( ) ... .. ( ) . . n n X X X М X М X М X n n             (2.2.1) X tasodifiy miqdorga Chebishev tengsizligini qo’llaymiz: 1 2 1 2... ... n nX X X X X X P M n n                      1 2 2 1 . ... nX X X nD             yoki (2. 2 .1) munosabatni qo’llasak: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ... ... ) n n X X X М X М X М X P n n                1 2 2 1 . ... nX X X nD             (2.2.2) Dispersiyaning xossalaridan foydalanib (o’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga oshirib dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin; erkli tasodifiy miqdorlar yig’in disining dispersiyasi q o’shiluvchilar dispersiyalari yig’indisiga teng), quyidagini hosil qilamiz:       1 2 1 2 2 ... ... n n D D X D X D X X X X n n              Shartga ko’ra hamma tasodifiy miqdorlarning dispersiyalari C o’zgarmas son bilan chegaralangan, ya’ni       1 2 ; ; ...; n D X C D X C D X C    tengsizliklar o’rinli, shuning uchun       1 2 2 2 2 ... ... nD X D X D X C C C nC С n n n n         Shunday qilib, 1 2 ... n X X X n C D n           (2.2.3) (2.2.3) ning o’ng tomonini (2.2.2) qo’yib (bundan (2.2.2) teng sizlik fakat kuchayishi mumkin), quyidagini hosil qilamiz: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ... ... ) n n X X X М X М X М X P n n                2 1 С n  Bundan n  da limitga o’tib, quyidagiga ega bo’lamiz: 1 2 1 2 ... ... lim 1. ( ) ( ) ( ) n n n X X X М X М X М X P n n                  Nihoyat, ehtimol birdan katta bo’la olmasligini hisob ga olib, uzil-kesil bunday yozishimiz mumkin: 1 2 1 2 ... ... lim 1. ( ) ( ) ( ) n n n X X X М X М X М X P n n                  Teorema isbotlandi. Yuqorida, Chebishev teoremasini ta’riflashda, biz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari har xil deb faraz kilganedik. Praktikada esa ko’pincha tasodifiy mik dorlar bir xil matematik kutilishga ega bo’ladi. Agar shunga ko’shimcha qilib, bu tasodifiy miqdorlarning disper siyalari tekis chegaralangan deyiladigan bo’lsa, u holda bu miqdorlarga Chebishev teoremasini qo’llash mumkinligi rav shan. Har bir tasodifiy miqdorning matematik kutilishini a orqali belgilaymiz; qaralayotgan holda matematik kutilishlarning arifmetik o’rtacha qiymati ham a ga teng bo’lishini ko’rish qiyin emas. Biz endi qaralayotgan xususni xol uchun Chebishev teoremasini ta’riflashimiz mumkin. Agar 1 2 , , , nX X X  tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli va bir xil matematik kupilishga ega bo’lib, ular ning dispersiyalari tekis chegaralangan bo’lsa, u holda 0  musbat son xar qancha kichik bo’lganda xam tasodifiy miqdorlar soni yetarlicha ko’p bo’lsa, 1 2 ... n X X X a n       tengsizlikning extimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi. Boshqacha so’z bilan aytganda, teoremaning shartlari bajarilganda 1 2 ... lim 1 n n X X X a n              tenglik o’rinli bo’ladi. Chebishev teoremasining mohiyati Isbotlangan teoremaning mohiyati bunday: ayrim erkli tasodifiy miqdorlar o’z matematik kutilishlaridan ancha farq qiladigan qiymatlar qabul qilsada yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlarning arifmetik o’rtacha qiymati katta ehtimollik bilan tayin o’zgarmas songa, chunonchi 1 2 ( ) ( ) ... ( ) n М X М X М X n    songa (yoki, xususiy holda a songa) yaqin qiymatlarni katta extimol bilan qabul qiladi. Boshqacha so’z bilan aytganda, ayrim tasodifiy miqdorlar anchagina sochilgan bo’lishi mumkin, lekin ularning arifmetik o’rtacha qiymati kam tarqoq bo’ladi. Shunday qilib, har bir tasodifiy miqdor mumkin bo’lgan qiymatlardan qaysinisini qabul qilishini avvaldan aytib bo’lmaydi, ammo ularning arifmetik o’rtacha qiymati qanday qiymat qabul qilishini oldindan ko’ra bilish mumkin. Shunday qilib, yetarlicha katta sondagi erkli tasodifiy miqdorlarning (dispersiyalari tekis chegaralangan) arifmetik o’rtacha qiymati tasodifiylik xarakterini yo’qotadi. Bu bunday izohlanadi: har bir miqdorning o’z matematik kutilishidan chetlanishi musbat ham, manfiy ham bo’lishi mumkin, ammo arifmetik o’rtacha qiymatda ular o’zaro yo’qolib ketadi. Chebishev teoremasi faqat diskret tasodifiy miqdorlar uchun emas balki uzluksiz miqdorlar uchun ham o’rinli; u dialektik materializmning tasodifiylik va zaruriyat orasidagi bog’lanish haqidagi ta’limotini tasdiqlovchi yorqin misoldir. Chebishev teoremasining praktika uchun ahamiyati Chebishev teoremasining amaliy masalalarni hal etishda qo’llanishiga doir misollar keltiramiz. Odatda biror fizikaviy kattalikni o’lchash uchun bir nechta o’lchashlar o’tkaziladi va ularning arifmetik o’rtacha qiymati izlanayotgan o’lcham sifatida qabul qilinadi. Qanday shartlarda bunday o’lchash usulini to’g’ri deb hi soblash mumkin? Bu savolga Chebishev teoremasi (uning xususiy holi) javob beradi. Haqiqatan ham, har bir o’lchash natijalarini 1 2 , , , nX X X  tasodifiy miqdorlar sifatida karaymiz. Bu tasodifiy miqdorlar uchun Chebishev teoremasini ko’llamokchi bo’lsak, kuyidagilar bajarilishi kerak: 1) ular juft-juft erkli, 2) bir xil matematik kutilishga ega, 3) ularning disper siyalari tekis chegaralangan. Agar har bir o’lchash natijasi qolganlarining natija lariga bog’liq bo’lmasa, birinchi talab bajariladi. Agar o’lchashlar sistematik (bir xil ishorali) xatolar siz bajarilsa, ikkinchi talab bajariladi. Bu holda hamma tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari bir xil bo’lib, u haqiqiy o’lcham a ga teng bo’ladi. Agar o’lchash asbobi tayni aniklikni ta’minlay olsa, uchinchi talab bajariladi. Bunda ayrim o’lchashlarning natijalari har xil bo’lsa-da, ularni tarqoqligi chegaralangan bo’ladi. Agar yuqorida ko’rsatilgan hamma talablar bajarilgan bo’lsa, u holda o’lchash natijalariga Chebishev teoremasini qo’llashga haqlimiz: p yetarlicha katta bo’lganda 1 2 ... n X X X a n       tengsizlikning extimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda, yetarlicha ko’p sonda o’lchashlar o’t kazilsa, u holda ularning arifmetik o’rtacha qiymati o’lchanayotgan kattalikning haqiqiy qiymatidan istalgancha kam farq qiladi. Shunday qilib, Chebishev teoremasi ko’rsatilgan o’lchash usulini qo’llash mumkin bo’ladigan shartlarni bajarilishi kerakligini ko’rsatadi. Biroq o’lchashlar sonini ko’paytirish bilan istalgancha katta aniklikka erishish mumkin deb o’ylash noto’g’ri bo’lar edi. Gap shundaki, asbobning o’zi  aniqlikda ko’rsatadi; shuning uchun har bir o’lchash natijasi, va demak, ularning arifmetik o’rtacha qiymati ham asbobning aniqligidan ort maydigan aniklikda hosil kilinadi. Statistikada qo’llanadigan tanlanma usul Chebishev teoremasiga asoslangan, bu usulni moxiyati shundan iboratki, unda uncha katta bo’lmagan tasodifiy tanlanmaga asoslanib, barcha tekshirilayotgan ob’ektlar to’plami (bosh to’plam) to’g’risida mulohaza kilinadi. Masalan, bir toy paxtaning sifati haqida har yer - har yeridan olingan paxta tolalaridan iborat tutamning sifatiga qarab xulosa chikariladi. Tutamdagi paxta tolalarini soni toydagidan ancha kam bo’lsa ham, tutam yetarlicha ko’p sondagi yuzlab tolalardan iboratdir. Boshqa misol sifatida donning sifatini undan ozgi nasini tatib ko’rishga asoslanib uni sifatini bilishni olish mumkin. Bu holda ham tavakkaliga olingan donlar soni hamma don sonidan ancha kichik bo’lsa-da, lekin o’z-o’zi uchun yetarlicha ko’p. Mana shu keltirilgan misollarning o’zidan, Chebishev teoremasi praktika uchun bebaho ahamiyatga ega deb xulosa chiqarish mumkin. Bernulli teoremasin ta erkli sinash o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har bi rida A hodisaning ro’y berish ehtimoli p ga teng bo’lsin. Hodisa ro’y berishining nisbiy chastotasi taxminan qanday bo’lishini avvaldan ko’ra bilish mumkinmi? Bu savolga Yakov Bernulli tomonidan isbotlangan teorema (1713 yil da nashr etilgan) ijobiy javob beradi, bu teorema “katta sonlar qonuni” nomi bilan yuritiladi; u ehtimollar nazariyasining fan sifatida shakllanishiga asos soldi. Bernullining isboti murakkab edi. Teoremaning sodda isbotini P. L. Chebishev 1846 yilda bayon etgan. Bernulli teoremasi. Agar l ta erkli sinashning har birida A hodisaning ro’y bershi ehtimoli p o’zgarmas va sinashilar soni yetarlicha katta bo’lsa, u xolda nisbiy chastotaning p extimoldan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha istalgancha kichik bo’lish ehtimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda, agar  istalgancha kichik musbat son bo’lsa, u holda teorema shartlari bajarilganda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi: lim 1n m P p n           Isboti. 1X orqali (diskret tasodifiy miqdor) birin chi sinashda, 2X orqali ikkinchi sinashda, …, nX orqali p sinashda hodisaning ro’y berish sonini belgilaymiz. Ravshanki, bu miqdorlarning har biri faqat ikkita qiymat: 1 ni ( A hodisa ro’y berdi) p extimol bilan, va 0 ni (hodisa ro’y bermadi) 1 p q   ehtimol bilan qabul qilishi mumkin. Qaralayotgen miqdorlarga Chebishev teoremasini qo’llash mumkinmi? Agar tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli va ularning dispersiyalari chegaralangan bo’lsa, mumkin. Ikkala shart ham bajariladi. Haqiqatan ham 1 2, , , n X X X  miqdorlarning juft-juft erkligi tajribalarning erkliligidan kelib chikadi. Ixtiyoriy   1, 2, ..., iX i n  miqdorning dispersiyasi ko’paytmaga teng. 1p q   bo’lgani uchun pq ko’paytma dan ortmaydi. Demak, bu miqdorlarning dispersiyalari chegaralangan, masalan. 1 4 С  soni bilan. 1 n deb qabul qilinganda kelib chiqadi. ( Ma’lumki, yig’indisi o’zgarmas bo’gan ikki sonning ko’paytmasi o’zining eng katta qiymatiga ko’paytuvchilar o’zaro teng bo’lgan holda erishadi. Bu yerda 1, i ip q   ya’ni o’zgarmas, shuning uchun 1 2 i ip q   da i ip q eng katta qiymatiga ega bo’ladi, bu qiymat 1 4 ga teng.) Ko’rilayotgan miqdorlarga Chebishev teoremasini (xususiy holini) qo’llanib, kuyidagini xosil qilamiz: 1 2 ... lim 1 n n X X X a n               Har bir i X miqdorning a matematik kutilishi ( ya ’ ni bitta sinashda hodisaning ro ’ y berish sonining matematik kutilishi ) hodisaning ruy berish ehtimoli p ga teng ekanligini e ’ tiborga olib quyidagiga ega bo ’ lamiz : 1 2 ... lim 1 n n X X X a p n             Endi 1 2 ... n X X X n    kasr n ta sinashda A hodisa ro’y berishining nisbiy chastotasi m n ga tengligini ko’rsatish qoldi, xolos. Haqiqatan, 1 2 , , , nX X X  miqdorlarning har biri hodisa mos sinashda ro’y berganida birni qabul kiladi; demak 1 2 ... n X X X    yigindi n ta sinashda hodisaning ro’y berish soni m ga teng, demak, 1 2 ... .nX X X m n n    Bu tenglikni hisobga olib, uzil-kesil lim 1n m P p n            tenglikni hosil qilamiz. Eslatma. Bernulli teoremasiga asoslanib, sinashlar soni ortishi bilan nisbiy chastota albatta p ehtimolga intiladi, deb xulosa chikarish noto’g`ri bo’lar edi; boshqacha qilib aytganda, Bernulli teoremasidan limn m p n    tenglik kelib chikmaydn. Teoremada fakat tajribalar soni yetarlicha katta bo’lganda nisbiy chastotaning har bir sinashda hodisa ro’y berishining o’zgarmas ehtimolidan istalgancha kam faqk qilishi extimoli to’g`risida so’z boradi. Shunday qilib, m n nisbiy chastotaning p extimolga intilishi matematik analizdagi ma’noda intilishdan farq qiladi. Bu farqimi ta’kidlash maqsadida “ehtimol bo’yicha” yaqinlashish tushunchasi kiritaladi. Aniqrog’i, ko’rsatilgan intilish turlari orasidagi farq quyidagidan iborat: agar m n nisbat n   da matematik analizdagi intilish ma’nosida p ga intilsa, u holda n N uchun va undan keyingi barcha n lar uchun albatta m p n    tengsizlik bajariladi; agarda m n nisbat n  da p ga ehtimol bo’yicha intilsa, u holda n ning ayrim qiymatlarida tengsizlik bajarilmay qolishi mumkin. Shunday qilib, Bernulli teoremasiga ko’ra n  da nisbiy chastota p ga ehtimol bo’yicha intiladi. Berkulli teoremasi qisqacha kuyidagicha yoziladi: m eht p n n    Ko’rinib turibdiki, Bernulli teoremasi sinashlar soni yetarlicha ko’p bo’lganda nisbiy chastota nima uchun turg’unlik xossasiga ega bo’lishini tushuntiradi va extimolning statistik ta’rifini asoslayd i. Xulosa Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazari- yasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Markaziy limit teoremalari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi. Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim: 1. Tasodofiy miqdorlarni o’rganish; 2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini o’rganish; 3. Dastlabki izohlarni o’rganish; 4. Chebishev teoremasi. Kata sonlar qonunini o’rganish. Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida tasodifiy hodisalar va tasodifiy miqdorlar haqidagi tushunchani, Bernulli teoremalarini hayotiy masalalarga bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdim. Hamda chebishev tengziligining hayot uchun tadbiqlari ya’ni praktikada qo’llanilishi bilan ham tanishdim Foydalanilgan adabiyotlar 1. А bdushukurov А . А . Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi,O’zMU,2006. 2. А bdushukurov А . А . , Azlarov T . A ., Djamirzayev A . A . Ehtimollarnazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to’plami. Toshkent «Universitet», 2003. 3. Azlarov T .A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematikstatistikadan Inglizcha-ruscha-o’zbekcha lug’at. Toshkent: «Universitet», 2005. 4. Abdushukurov A. A. Ehtimollar nazariyasi. Ma‘ruzalar matni. Toshkent: «Universitet», 2000. 5. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 6. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003. 7.Gmurman V.E. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statis-tika. Izdanie shestoe. M.: «V ыsshaya shkola», 1998 g. 8. Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Ruscha to’ldirilgan 4-nashridan tarj. Inj.-ekon. institutla-ri studentlari uchun o’quv qo’llanma. T.: O’qituvchi, 1977 y. 9. V.E.Gmurman. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii veroyat- nostey i matematicheskoy statistike: ucheb. posobie dlya vtu-zov. 3-e izd., pererab. i dop. M.: «Vыsshaya shkola», 1979 g.
Купить