Bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni
![17limn→∞ϕn(t)= e
−t2
2bo`lishligini ko`rsatish yetarli.
Bizga ma`lumki
α>0 uchun
|eiα− ∑
k=0
l (iα )k
k! |≤ αk+1
(l+1)!
(5)
l=0,1,2 ,...
va ixtiyoriy β (|β|≤ 1
2) uchun
ln (1+ β)= β+ Rn, |Rn|≤ β2
(6)
tengsizligi o`rinli.
Ixtiyoriy
ε>0 va n da
Dξ k,n= ∫
|x|≤ε
x2dF kn(x)+ ∫
|x|>ε
x2dF k,n(x)≤ε2+ ∫
|x|>ε
x2dF k,n(x)
(3) shartga asosan
n→ ∞ da
Dξ k,n→ 0
(7)
(5) va (7) ga asosan barcha
k va yetarlicha katta n lar uchun |t|≤ T <+ ∞ shartni
qanoatlantiruvchi
t larda
|ϕk,n(t)− 1|=|M (eitξk,n− 1− itξk,n)|¿t2
2 Mξ k,n2 = t2
2 Dξ k,n→ 0
shuning uchun (6) dan
ln ϕn(t)= ∑k=1
n
ln ϕk,n(t)= ∑k=1
n
ln [1+(ϕk,n(t)− 1)]= ∑k=1
n
(ϕk,n(t)− 1)+Rn
(8)
kelib chiqadi.
(6) ni e `tiborga olsak, (7), (8) ga asosan,
n→ ∞ da
|Rn|≤ ∑k=1
n
|ϕk,n(t)−1|2≤ max1≤k≤n|ϕk,n(t)− 1|∑k=1
n
|ϕk,n(t)−1|≤
max
1≤k≤n
|ϕk,n(t)−1|∑
k=1
n Mt 2ξk,n2
2 = t2
2 max
1≤k≤n
|ϕk,n(t)−1|→ 0
(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:
∑
k=1
n
(ϕk,n(t)− 1)=− t2
2+ρn,](https://docx.uz/documents/acff5d6a-7e99-4d91-89d2-6ed56ddc8d25/page_16.png?v=1)
![19Ln(τ)= 1
Bn2∑k=1
n
∫
|x−ak|>τB
(x−ak)2dF k(x)¿ 1
Bn2∑k=1
n 1
(τB n)2 ∫
|x−ak|>τBn
|x−ak|2+δdF k(x)¿ Cn
τδBn2+δ→ 0n→0 .
Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.
2.2. Teorema Levi
O`lchovli
E to`plamda aniqlangan o`lchovli va chegaralangan ) (x fn
funksiyalarning ketma-ketligi berilgan bo`lib , bu ketma-ketlik o`lchovli
) (x F
funksiyaga
E to`plamning har bir nuqtasida yo deyarli yoki o`lchov bo`yicha
yaqinlashuvchi bo`lsin. U holda
dxx F dxx f
E E n n ∫ ∫ ) ( ) ( lim
(1)
munosabat doimo o`rinlimi, degan savol tug`iladi. Bu munosabatning , umuman
aytganda , doimo o`rinli emasligini quyidagi misoldan ko`rish mumkin.
Masalan ,
) (x fn funksiya [0,1] segmentda quyidagicha aniqlangan bo`lsin:
n x n
n x
x fn 1,0 ,
1,0 ,0
) (
U holda har qanday
1,0 x uchun ushbu
0 ) ( lim x fn n
tenglik o`rinlidir, lekin
∫
1
0 1)( dxxf n
ya`ni (1) munosabat bajarilmas ekan.
Endi,
) (x fn funksiyalar ketma ketligi qanday shartlarni qanotlantirganda (1)
munosabat o`rinli bo`ladi, degan savol tug`iladi. Bu savolga A.Lebegning quyidagi
teoremasi javob beradi.
1-Teorema (A.Lebeg). O`lchovli E to`plamda o`lchovli va chegaralangan
) (x fn
funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lib , bu ketma-ketlik o`lchovli ) (x F](https://docx.uz/documents/acff5d6a-7e99-4d91-89d2-6ed56ddc8d25/page_18.png?v=1)
![21 ) ( )) ( ( . ) ( ) (
)(
E B dx x F x f n
b
n
n
∫
(3), (4) va ohirgi munosabatlardan
) ( ) ( ( 2 ) ( ) ( E A K dxx F dxx f n E E n ∫ ∫ (5)
Ihtiyoriy kichik
0 son uchun 0 sonni
) ( 2 E
(6)
tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. Teoremaning shartiga muvofiq, har
qanday
0 uchun n da
0 )) ( ( nA
Demak, shunday
0n mavjudki, ushbu
) (
2
)) ( ( 2 0n n A K n
(7)
munosabat o`rinli. Endi (5) tengsizlikdan (6), (7) larga muvofiq quyidagi tengsizlikni
olamiz:
) ( ) ( ) ( 0n n dx x F dx x f
E E
n ∫ ∫
Bu munosabat esa teoremani isbotlaydi.
Izoh. Agar teoremaning shartida
) (x f n ketma-ketlik ) (x F ga deyarli yaqinlashsa va
,...)2,1 ( ) ( n K x fn
tengsizlik E to`plamda deyarli bajarilsa u holda teorema o`z kuchini saqlaydi.
O`lchovli
) (x f funksiya E to`plamda aniqlangan bo`lsin. Avval ) (x f ni E to`plamda
manfiy emas, ya`ni
0 ) ( x f deb faraz qilamiz va ushbu
lsa bo n x f agar n
lsa bo n x f agar x f
x f n ' ) ( ,
' ) ( ), (
)] ( [
funksiyani tuzamiz. Bu funksiya
E to`plamda chegaralangan va demak uning Lebeg](https://docx.uz/documents/acff5d6a-7e99-4d91-89d2-6ed56ddc8d25/page_20.png?v=1)
![22integrali mavjud.
1-ta`rif. Agar ∫ E n n dx x f )1( )] ( [ lim
mavjud bo`lsa, bu limit
) (x f funksiyaning E to`plamdagi Lebeg integrali deyiladi va
u
dxx f
E∫ ) ( orqali belgilanadi.
E
to`plamda o`lchovli va musbat ) (x f funksiya Lebeg integraliga ega bo`lishi uchun
∫E ndx x f )] ( [
integrallarning chegaralangan bo`lishi zarur va kifoyadir, chunki
dx x f dx x f
E n E n ∫ ∫ 1 )] ( [ )] ( [
tengsizlik
n ning hamma qiymatlari uchun bajariladi.
Manfiy funksiyalarning Lebeg integrali ham xuddi shunga o`xshash aniqlanadi.
Endi umumiy holni, ya`ni o`lchovli
) (x f funksiya E to`plamda har xil ishorali
qiymatlarni qabul qiladigan holni ko`ramiz. Bu holda
E to`plamni quyidagicha ikki
o`zaro kesishmaydigan
1E va 2E qismlarga ajratamiz:
)2( ,0 ) (
,0 ) (
21
x f E E
x f E E
ya`ni
1E ning har bir nuqtasida ) (x f funksiya manfiy emas, 2E ning har bir nuqtasida
esa
) (x f funksiya manfiy.
2-ta`rif . Agar
) (x f funksiya uchun ushbu
dxx f dxx f
E E ∫ ∫
2 1
) ( , ) (
integrallarning har biri mavjud bo`lsa, u holda
) (x f funksiyani E to`plamda
jamlanuvchi deyiladi va
E to`plam bo`yicha integrali ushbu
dx x f dx x f dx x f
E E E ∫ ∫ ∫
2 1
) ( ) ( ) (
(3)
tenglik bilan aniqlanadi . Jamlanuvchi funksiyalarning ba`zi xossalari bilan
tanishamiz](https://docx.uz/documents/acff5d6a-7e99-4d91-89d2-6ed56ddc8d25/page_21.png?v=1)
![24∫ ∫
E n n E
dx x kf dxx kf )] ( [ lim ) (14 –ma`ruzadagi 5-natijaga asosan
∫ ∫
E n E n dx x f k dx x kf )] ( [ )] ( [
Bundan
dxx f k dx x f k dx x kf dxx kf
E E n n E n n E ∫ ∫ ∫ ∫ ) ( )] ( [ lim )] ( [ lim ) (
3-teorema . Agar
g~f bo`lib, bulardan biri jamlanuvchi bo`lsa, u holda
ikkinchisi ham jamlanuvchi bo`ladi va
dxx g dxx f
E E ∫ ∫ ) ( ) (
Isbot.
g~f bo`lgani uchun E to`plamda n n x g x f )] ( [~ )] ( [ vunosabat ham o`rinli. Faraz
qilaylik
) (x f funksiyaning integrali mavjud bo`lsin. U holda ∫ ∫
E n n E
dx x f dxx f )] ( [ lim ) (
bo`lib, 14 – maruzadagi 8-natijaga asosan
dx x g dx x f
E n E n ∫ ∫ )] ( [ )] ( [
Bundan
0 )] ( [ )] ( [ lim )] ( ) ( [ ∫ ∫ dx x g x f dx x g x f
E n n n E
tenglik kelib chiqadi.
4-teorema . Agar
0 ) ( x f va 0 ) ( ∫ dxx f
E bo`lsa, u holda ) (x f funksiya E
to`plamda deyarli nolga teng .
Isbot.
0 ) ( : x f E x E bo`lsin. Ushbu ,...2,1 , 1 ) ( :
n n x f E x En
to`plamlarni tuzamiz. Ravshanki,
1n nE E . Endi
∫ ∫ ∫
n n n E E E
n dxx f n dxx f n dx E 0 ) ( ) ( ) (](https://docx.uz/documents/acff5d6a-7e99-4d91-89d2-6ed56ddc8d25/page_23.png?v=1)
![25Demak, 0 ) ( nE . Bundan va
1
) ( ) (
n nE E tengsizlikdan 0 ) ( E kelib chiqadi.
5-teorema . Agar
) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bolsa, u holda ) (x f
funksiya
E ning har qanday o`lchovli 0E qismida ham jamlanuvchi bo`ladi.
Isbot.
) (x f funksiya E to`plamda jamlanuvchi bo`lganligi uchun 1-teoremaga
asosan
) (x f funksiya ham E to`plamda jamlanuvchi. Agar 0E to`plam E
to`plamning ihtiyoriy o`lchovli qismi bo`lsa, u holda
dx x f dx x f
E E ∫ ∫ ) ( ) (
0
tengsizlikdan
) (x f funksiyaning 0E to`plamda jamlanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Demak, 1-teoremaga asosan
) (x f funksiya ham 0E da jamlanuvchi.
6-teorema .
E to`plamdagi o`lchovli ) (x f va ) (x F funksiyalar uchun
) ( ) ( ) ( E x x F x f
tengsizlik o`rinli bo`lib, ) (x F jamlanuvchi bo`lsin. U holda ) (x f
ham jamlanuvchi va
dxx F dx x f
E E ∫ ∫ ) ( ) (
Isbot. Har qanday
n natural son uchun
) ( )] ( [ x F x f n
tengsizlik o`rinli bo`lganligi tufayli, 14 – maruzadagi 9-teoremaga asosan
dxx F dx x f
E E n ∫ ∫ ) ( ]) ( [
Bundan
n da
dxx F dx x f
E E n n ∫ ∫ ) ( ]) ( [ lim
tengsizlik kelib chiqadi. Demak, 1-ta`rifga asosan
) (x f funksiya E to`plamda
jamlanuvchi. Yuqoridagi tengsizlikdan
dxx F dx x f
E E ∫ ∫ ) ( ) (
Endi
) (x f funksiyaning jamlanuvchi ekanligi 1-teoremadan kelib chiqadi.](https://docx.uz/documents/acff5d6a-7e99-4d91-89d2-6ed56ddc8d25/page_24.png?v=1)
KURS ISHI TALABALAR UCHUN
-
Похожие документы
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq