C (a,b) fazodagi to’plamning kompaktligi - Алгебра - Презентации

Информация о документе

Цена	3000UZS
Размер	274.3KB
Покупки	0
Дата загрузки	12 Февраль 2025
Расширение	pptx
Раздел	Презентации
Предмет	Алгебра

C (a,b) fazodagi to’plamning kompaktligi

Купить

MAVZU: C (a,b) fazodagi to’plamning kompaktligi

Funksional analiz matematikaning alohida bo`limi sifatida XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida shakllana boshlangandir. Funksional analizga oid dastlabki ilmiy ishlar italyan matemagi Volterra, fransuz matematigi Puankare va nemis matematigi Hilbertga taalluqlidir. Metrik fazo tushunchasi fanga fransuz matematigi Freshe tomonidan XX asr boshlarida kiritilgan, normalangan fazo tushunchasi 1922 yilda polyak matematigi Banax va unga bog`liq bo`lmagan holda amerikalik matematik Viner tomonidan kiritilgan. Funksional analiz matematikaning alohida bo`limi sifatida XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida shakllana boshlangandir. Funksional analizga oid dastlabki ilmiy ishlar italyan matemagi Volterra, fransuz matematigi Puankare va nemis matematigi Hilbertga taalluqlidir. Metrik fazo tushu

Amaldagi "Funksional analiz" kursi fan dasturida I qism "To`plamlar nazariyasi va metrik fazolar" va "Lebeg integrali" bo`limlarini o`z ichiga oladi. II qism esa, "Normalangan fazolar", "Operatorlar nazariyasi" va "Integral tenglamalar" bo`limlarini o`z ichiga oladi. Universitetlarning matematika mutaxassisligida ta'lim oluvchi talabalar uchun "Funksional analiz" kursidan o`zbek alifbosida, birinchi marotaba akademik T.A. Sarimsoqov tomonidan darslik nashr etilgan (T.A. Sarimsoqov. Haqiqiy o`zgaruvchining funksiyalari nazariyasi; T.A. Sarimsoqov. Funksional analiz kursi). Oliy ta'lim tizimida ikki bosqichli tizimga (bakalavriatura va magistratura) o`tish munosabati bilan OTMlari barcha fan dasturlarida jiddiy o`zgarishlar yuza

Birinchi bo`lim chiziqli fazolar nazariyasiga bag`ishlangan bo`lib, qo`llanmada chiziqli fazolar, normalangan fazolar, Hilbert fazolariga oid mavzular bayon qilinadi. Qo`llanmaning bu bo`limi chiziqli fazolar, chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazolari, normalangan chiziqli fazolar, Banax fazolari, Yevklid va Hilbert fazolari kabi mavzularni o`z ichiga oladi. Ikkinchi bo`lim chiziqli operatorlar nazariyasiga bag`ishlangan. Qo`llanmaning bu bo`limida, chiziqli uzluksiz operatorlar, teskari operatorlar, qo`shma operatorlar va chiziqli operatorning spektrlariga oid mavzular bayon qilingan. Har bir mavzuga oid asosiy tushunchalar ta'ri, asosiy teoremalar va xossalar keltirilgan. I.. Uchinchi bo`lim kompakt operatorlar va integral tenglamalar nazariyasiga bag`ishlangan. Qo`llanmaning

• 1 − § da chiziqli fazo va ularga doir misollar jamlangan. Chiziqli fazo o`lchami ta'rianib, chekli va cheksiz o`lchamli chiziqli fazolarga misollar keltirilgan. Bu yerda chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazosiga doir misollar ham bor Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan hisoblanadi. Kelishuvimizga ko`ra C kompleks sonlar, R esa haqiqiy sonlar to`plamini bildiradi. K orqali C yoki R ni belgilaymiz. 1.1-ta'rif. Agar elementlari x, y, z, . . . bo`lgan L to`plamda quyidagi ikki amal aniqlangan bo`lsa: 7 I. Ixtiyoriy ikkita x, y L elementlarga ularning yig`indisi deb ataluvchi aniq bir x ∈ + y L element mos qo`yilgan bo`lib, ixtiyoriy x, y, z L elementlar uchun ∈ ∈

1 ) x + y = y + x (kommutativlik), 2) x + (y + z) = (x + y) + z (assotsiativlik), 3)L da shunday θ element mavjud bo`lib, x + θ = x (nolning mavjudligi), 4) shunday −x L element mavjud ∈ bo`lib, x + ( − x) = θ (qarama-qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa; II. ixtiyoriy x L element va ixtiyoriy α ∈ K uchun x elementning α songa ko`paytmasi deb ataluvchi ∈ aniq bir αx L element mos qo`yilgan bo`lib, ixtiyoriy x, y ∈ ∈ L va barcha α, β K sonlar uchun 5) α(β x) = (α β)x, 6) 1 · x = ∈ x, 7) (α + β) x = α x + β x, 8) α (x + y) = α x +α y aksiomalar bajarilsa, u holda L to`plam K maydon ustidagi chiziqli fazo deyiladi.

Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig`indi va songa ko`paytirish amallari deyiladi. Agar L ning elementlarini haqiqiy sonlarga (kompleks sonlarga) ko`paytirish aniqlangan bo`lsa, u holda L ga haqiqiy (kompleks) chiziqli fazo deyiladi .

1.2-ta'rif. Agar L va L chiziqli fazolar o`rtasida biyektiv moslik ∗ o`rnatish mumkin bo`lib, x ↔ x va y ↔ y (x, y L, x , y L ∗ ∗ ∈ ∗ ∗ ∈ ) ekanligidan x + y ↔ x + y va α x ↔ α x (α − ixtiyoriy son) ∗ ∗ ∗ ∗ ekanligi kelib chiqsa, u holda L va L chiziqli fazolar o`zaro izomorf ∗ fazolar deyiladi. L chiziqli fazo, x1, x2, . . . , xn uning elementlari bo`lsin. 1.3-ta'rif. Agar L chiziqli fazoning x1, x2, . . . , xn elementlar sistemasi uchun hech bo`lmaganda birortasi noldan farqli bo`lgan a1, a2, . . . , an sonlar 8 mavjud bo`lib, a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0 (1.1) tenglik bajarilsa, u holda x1, x2, . . . , xn elementlar sistemasi chiziqli bog`langan deyiladi. Aks holda, ya'ni (1.1) tenglikdan a1 = a2 = · · · = an = 0 ekanligi kelib chiqsa, x1, x2, . . . , xn elementlar sistema

1.4-ta'rif. Agar x1, x2, . . . , xn, . . . cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo`lsa, u holda {xn} ∞ n=1 sistema chiziqli erkli deyiladi. 1.5- ta'rif. Agar L chiziqli fazoda n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo`lib, bu fazoning ixtiyoriy n + 1 ta elementdan iborat sistemasi chiziqli bog`langan bo`lsa, u holda L ga n o`lchamli chiziqli fazo deyiladi va dim L = n kabi yoziladi. 1.6-ta'rif. n o`lchamli L chiziqli fazoning ixtiyoriy n ta elementdan iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi. 1.7-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda ixtiyoriy n ∈ N uchun n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo`lsa, u holda L cheksiz o`lchamli chiziqli fazo deyiladi va dim L = ∞ ko`rinishda yoziladi.v

Yevklid va Hilbert fazolari Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko`paytma kiritishdir. L haqiqiy chiziqli fazo bo`lsin. 3.1- ta'rif. Agar L×L dekart ko`paytmada aniqlangan p funksional quyidagi to`rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko`paytma deyiladi: 1) p(x, x) ≥ 0, x L; p(x, x) = 0 ∀ ∈ x = θ, 2) p(x, y) = p(y, x), x, y L, simmetriklik, 3) p(αx, ⇔ ∀ ∈ y) = αp(x, y), α R, x, y L, bir jinslilik, 4) p(x1 + x2, y) = ∀ ∈ ∈ p(x1, y) + p(x2, y), x1, x2, y L, additivlik. Agar L ∀ ∈ kompleks chiziqli fazo bo`lsa, u holda 2) shart p(x, y) = p(y, x) bilan almashtiriladi va 3) tenglik barcha kompleks α da bajarilishi talab qilinadi

- ta'rif. Skalyar ko`paytma kiritilgan chiziqli fazo Yevklid fazosi deyiladi. x va y elementlarning skalyar ko`paytmasi (x, y) orqali belgilanadi. Yevklid fazosida x elementning normasi kxk = p (x, x) (3.1) formula orqali aniqlanadi. Demak, har qanday Yevklid fazosini normalangan fazo sifatida qarash mumkin. Normalangan fazolarda isbotlangan barcha tasdiqlar Yevklid fazosida ham o`rinli bo`ladi. Teskari masalani qaraymiz. E−normalangan fazo bo`lsin. E da aniqlangan norma qanday qo`shimcha shartlarni qanoatlantirsa, E Yevklid fazosi ham bo`ladi? Boshqacha aytganda, qanday shartlarda norma orqali unga mos skalyar ko`paytma aniqlash mumkin ?

Agar (x, y) = 0 bo`lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal deyiladi va x ⊥ y kabi belgilanadi. 3.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy α 6= β da (xα, xβ) = 0 bo`lsa, u holda nolmas {xα} vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir elementning normasi birga teng bo`lsa, {xα} ortogonal normalangan sistema, qisqacha ortonormal sistema deyiladi. 3.5-ta'rif. Agar {xα} sistemani o`zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo E fazoning o`ziga teng bo`lsa, u holda {xα} sistema to`la deyiladi. 3.6- ta'rif. Agar {xα} ortonormal sistema to`la bo`lsa, u holda bu sistema E fazodagi ortonormal bazis deyiladi. 3.7-ta'rif. Bizga E Yevklid fazosi va {φk} ortonormal sistema berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy f E uchun X ∈ ∞ k=1 |ck| 2 = kfk 2 , ck = (f, φk) (3.3) tenglik o`rinli bo`ls

Ixtiyoriy f E element uchun uning Furye ∈ koetsiyentlari X ∞ k=1 |ck| 2 ≤ kfk 2 (3.4) tengsizlikni qanoatlantiradi. (3.4) tengsizlik Bessel tengsizligi deyiladi. 3.8-ta'rif. E Yevklid fazosi (3.1) normaga nisbatan to`la bo`lsa, u to`la Yevklid fazosi deyiladi. 35 3.9-ta'rif. Cheksiz o`lchamli to`la Yevklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi. 3.10-ta'rif. Agar E Yevklid fazosining hamma yerida zich bo`lgan sanoqli to`plam mavjud bo`lsa, E separabel Yevklid fazosi deyiladi .

. C[a,b] fazodagi to‘plamning kompaktligi C[a,b] da uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan cheksiz to‘plamlar mavjud bo‘lib, ulardan yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Masalan, C[0,1] da 2 3 x, , ,.. x x . funksiyalar ketma-ketligi qaraylik. Bu funksiyalar ketma- ketligi [0;1] da chegaralangan, uning limit funksiyasi 0, agar 0 1, 1, agar 1 x y х ≤ < = = (1) bo‘lib, u uzluksiz ⎧ ⎨ ⎩ funksiya emas, ya’ni C[0,1] ga tegishli emas. Yuqoridagi ketmaketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham (1) funksiyaga yaqinlashadi, ya’ni C[0,1] da yaqinlashmaydi

C[0,1] da kompaktlik shartini keltiramiz. Avval quyidagi tushunchalarni kiritamiz. 1-ta’rif. Aytaylik M to‘plam [a,b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalarning biror to‘plami bo‘lsin. Agar barcha x [,] a b va M to‘plamdan ∈ oligan barcha f(x) funksiyalar uchun f ( ) x k < tengsizlikni qanoatlantiruvchi k son mavjud bo‘lsa, M funksiyalar to‘plami tekis chegaralangan deyiladi. 2-ta’rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday δ > 0 son topilib, 1 2 x x − < δ tengsizlik bajarilganda, M to‘plamga tegishli ixtiyoriy f(x) funksiya uchun 1 2 fx fx () () − < ε bo‘lsa, M to‘plam tekis darajada uzluksiz deyiladi.

(Arsel teoremasi). [a,b] segmentda aniqlangan uzluksiz funksiyalardan iborat M to‘plam C[a,b] fazoda kompakt bo‘lishi uchun M to‘plamning tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli. Isboti. Zaruriyligi. Aytaylik, M kompakt to‘plam bo‘lsin. M to‘plam tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz ekanligini isbotlaymiz.

Avval M ning tekis chegaralanganligini ko‘rsatamiz. To‘la metrik fazoda to‘plamning kompakt bo‘lishining zaruriy va yetarli shartiga ko‘ra ixtiyoriy ε > 0 son uchun 3 ε to‘rni tashkil qiluvchi 1 2 ( ), ( ),..., ( ) k f xfx fx (1) funksiyalar mavjud bo‘ladi. Bu funksiyalarning har biri [a,b] da uzluksiz bo‘lganligi uchun chegaralangan bo‘ladi, ya’ni ( ) , 1,2,..., i i f x ki < = k bo‘ladi. Chekli 3 ε to‘rning ta’rifiga ko‘ra M dan olingan ixtiyoriy f(x) uchun (1) dagi soni chekli funksiyalar orasida ( ) i f x funksiya topilib, uning uchun ( , ) max ( ) ( ) 3 i i axb ff fx fx ε ρ ≤ ≤ = − < tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Natijada 1 , max 3 3 i i i i k k kk k 3 ε ε ε ϕ ϕ ≤ ≤ ≤ +≤+≤ = + , ya’ni M tekis chegaralangan bo‘ladi .

Endi M to‘plamning tekis darajada uzluksiz ekanligini ko‘rsatamiz. (1) funksiyaning har biri uzluksiz, [a,b] da tekis uzluksiz va ularning soni chekli. Demak, 3 ε uchun shunday i δ son mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozish mumkin: agar 1 2 i x x − < δ bo‘lsa, u holda 2 1 ( ) ( ) . min 3 ii i i i k fx fx ε δ δ ≤ ≤ − <= belgilash kiritamiz. Agar 1 2 i x x − < δ bo‘lsa, u holda ixtiyoriy f M uchun i f ning ∈ (1) funksiyalar orasidan (, ) 3 i f f ε ρ < tengsizlikni qanoatlantiradiganini olib, quyidagi munosabatni yoza olamiz: 1 2 1 1 12 2 1 1 12 22 () () () () ( () () () () () () () () 333 ii i i ii i fx fx fx fx fx fx fx fx fx fx fx fx fx εε ε

Bu esa M ning tekis darajada uzluksizligini isbotlaydi. Yetarligi. M tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo‘lsin. Agar ixtiyoriy ε>0 uchun unga nisbatan C[a,b] da chekli ε to‘r mavjud bo‘lsa, bu M to‘plamning C[a,b] da kompaktligini ko‘rsatgan bo‘lamiz. Ixtiyoriy ε>0 son uchun δ ni shunday tanlab olamizki, 1 2 x −< x fx δ , () M uchun 1 2 () () 4 fx fx ε − < ∈ bo‘lsin.

Ya’ni, uni bo‘linish nuqtalari yordamida o‘zaro teng to‘g‘ri burchakli to‘rtburchaklarga ajratamiz (3- rasm). Kichik to‘g‘ri to‘rtburchaklar diagonallaridan tuzilgan barcha ϕ(x) uzluksiz siniq chiziqlardan iborat funksiyalarni qaraymiz. Bunday funksiyalar chekli to‘plam tashkil qiladi. Bu to‘plamning M uchun ε to‘r tashkil qilishini ko‘rsatamiz. M to‘plamdan ixtiyoriy f(x) funksiya olamiz. Ravshanki, ϕ(x) funksiya f(x) funksiyadan eng kam uzoqlashgan aniq funksiya bo‘ladi. 012 0 1 ... , ... n n ax x x x b ky y y k < < < < < = −= < < < = U holda () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) () k kkk k kk k f x x fx fx fx x x x fx fx fx x x x ϕ ϕ ϕ ϕϕ −=− + − + − ≤− + − + − ϕ ϕ ≤ (2) bo‘lib, bu yerda xk nuqta x nuqtaga chap tomondan eng yaqin bo‘lgan bo‘linish nuqtasi. Shuning uchun ( )- (

Shuningdek, k x x − < δ va ( )- ( ) , ( ) ( ) 2 4 kk k fx x x x ε ε ϕ ϕϕ < − < bo‘lganligi sababli (2) dan fx x () () − < ϕ ε kelib chiqadi. Demak, siniq chiziqlardan iborat funksiyalar M da ε to‘r tashkil qiladi. Teorema isbot bo‘ldi .

Normalangan fazolar Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo‘yuvchi || ||:X→ akslantirish ⋅ berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish R 1. Har doim ||x|| ≥0. Shuningdek, x=θ uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x|| =0 bo‘lsa, u holda x=θ; 2. Ixtiyoriy λ son uchun ||λx||=|λ| || ⋅ x||; 3. Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||≤||x||+|| y|| shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi. Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart uchburchak aksiomasi deyiladi .

Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son x elementning normasi deyiladi. Agar ρ(x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda ρ(x,y) metpika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi. Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin. Ta’rif. Nol, θ elementning ε>0 atrofi deb, U={x: ||x||

Shuningdek, x X elementning ε atrofi deb x+U to‘plamga ∈ aytiladi. Eslatib o‘tish lozim, V={x: ||x||≤ε} to‘plam markazi θ nuqtada, radiusi ε bo‘lgan yopiq shar deyiladi. Kelgusida, X1={x: ||x||≤1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari deyiladi. Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun, normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin. Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi: Aytaylik X normalangan fazoda {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin

Agar biror x element uchun {||xn-x||} sonli ketma- ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va xn→x kabi belgilanadi. Shuningdek, agar {||xn-xn+m||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik fundamental deyiladi. Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi. To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi.

Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda 1 R chiziqli fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi. 2) n o‘lchamli n R haqiqiy fazoda x=(x , x , . . . , x ) element uchun normani quyidagicha kiritamiz: 1 2 n 2 1 п k k х x = = Σ (1) Bunda normaning 1, 3 shartlari bajarilishi ravshan, 2 shart esa Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Shu n R fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin: 1 1 n k k x x = = ∑ (2) 1 || || max | |

C[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: || || max | ( ) | atb f f t ≤ ≤ = . Ravshanki, bu norma uchun ham 1, 3 shartlar bevosita bajariladi. 2 shartining bajarilishini ko‘rsatamiz. Har qanday t ab [ , ] ∈ nuqta va f, g funksiyalari uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max ( ) max ( ) atb atb f g t f t gt f t gt f t gt f g ≤ ≤ ≤ ≤ + = + ≤ + ≤ + =+ . Bu yerda t ixtiyoriy bo‘lgani uchun bundan max ( ) ( ) atb f g f gt f ≤ ≤ + = + ≤+ g kelib chiqadi .

Foydalanillgan adabiyotlar 1. Саримсоқов Т.А. Функционал анализ курси, Т.:Ўқитувчи,-1986. 400б. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.-624с. 3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. Наука, 1977. 622 с. 4. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М. ИЛ. 1962. 5. Саримсоқов Т.А., Аюпов Ш.А., Хожиев Ж.Х., Чилин В.И. Упорядоченные алгебры. Тошкент, Фан,1983. 6. Диксмье Ж. С* - алгебры и их представления. М. Наука. 1974. 7. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М. Мир.1982. 8. Аюпов Ш.А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр. Ташкент. Фан. 1986. 9. Жевлаков К.А. и др. Кольца близкие к ассоциативным. М. Наука. 1978. 10. Саримсоқов Т.А.

ETIBORINGIZ UCHUN RAXMAT

Купить