Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 430.9KB
Покупки 1
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Chegarada buziladigan 2-tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Купить
REJA Kirish Asosiy qism: I BOB. Chegaraviy masalalar 1.1-§. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha 1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala 1.3-§. Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi II BOB. Chegarada buziladigan differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 2.1-§. Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1 KIRISH Bugungi kunda farzandlarimizning ma’naviy olamini yuksaltirish, ularni milliy va umuminsoniy qadriyatlar ruhida tarbiyalash masalasi biz uchun eng dolzarb vazifa bo’lib qolmoqda. Mamlakatimizda sog’lom va barkamol avlodni voyaga yetkazishning eng muhim sharti bo’lgan ta’lim-tarbiya masalasi haqida so’z borganda, biz ko’pincha sohaning moddiy texnik bazasini mustahkamlash, yangi maktablar, litsey va kollejlar, oliy o’quv yurtlari barpo etish, ularni zamonaviy jihozlash haqida ko’proq gapiramiz. Holbuki, ayni shu ishlarimiz bilan birga, ta’limning mazmuni, sifati ham tubdan o’zgarmoqda. Eng muhimi, zamonaviy bilim va tafakkurga, sog’lom dunyoqarashga ega, rivojlangan davlatlardagi tengdoshlari bilan bellashishga tayyor bo’lgan, ko’zi yonib turadigan navqiron avlodimiz katta ishonch bilan hayotga dadil kirib kelayotgani barchamizni quvontiradi. Barchamiz bugun chuqur anglab oldik – faqatgina zamonaviy asosda ta’lim tarbiya olgan, jahonning manaman degan mamlakatlaridagi tengdoshlari bilan bellasha oladigan, jismoniy va ma’naviy jihatdan barkamol yoshlar biz boshlagan ishlarni munosib davom ettirish va yangi bosqichga ko’tarishga bog’liq bo’ladi. Shu sababli yurtimizda yangi-yangi maktablar, litsey va kollejlarni, madaniyat, san’at va sport obyektlarini qurish, rekonstruksiya qilish, zamonaviy talablar asosida jihozlash ishlariga bundan buyon ham ustuvor e’tibor qaratiladi. Ta’lim-tarbiya va tibbiyot muassasalarini yanada rivojlantirish, ularning moddiy- texnik bazasini mustahkamlash va bugungi kun talablari asosida jihozlash darajasini oshirish, ijtimoiy infratuzilma obyektlarini jadal rivojlantirish biz uchun ustuvor yo’nalish hisoblanadi. Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq. Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun 2 mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o’rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi. Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik texnologiyalardan foydalanisho’qitish samaradorligini oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. Chunki o’qitishning ilg’or, nostandart (interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli 3 yechishga, o’quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv mashg’ulotlarini takomillashtirish yo’llaridan biri. Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni seleksiya qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim muassasalariga qamrab olish ishlarini to’g’ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi. Bolalar uchun mazkur fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik va o’quv qo’llanmalari yaratish, matematik ongni, kerak bo’lsa, bog’chadan boshlab shakllantirish vazifasi qo’yildi. Kurs ishi mavzusining dolzarbligi. Bunday chegaraviy masalalarni yechish talabaga oson emas. Shu sababli ushbu kurs ishida chegaraviy masalalar soddaroq xollar uchun: Birinchi va ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun o’rganilgan va to’liq tahlil etilgan Shu sababdan bu masalaning qo‘yilishi dolzarb hisoblanadi. Tadbiqot obyekti va predmeti: Chegaraviy masalalar, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. Ishning maqsadi va vazifalari. Ushbu kurs ishda differensial tenglamalarda chegaraviy masalalarni yechishda Grin funksiyasidan foydalanilgan va Shturm Liuvill masalasi tahlil etilgan hamda misollar bilan tushuntirilgan. Tadqiqot usuli va uslubiyoti. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar va ularga qo‘yilgan chegaraviy masalalarni yechish. 4 I BOB. Chegaraviy masalalar 1.1-§. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha Chegaraviy masalalar berilgan sohada aniqlangan funksiyalarning biror˗ sinfidan bu sohaning chegarasida berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish uchun mo’ljallangan masalalar. Aniq hodisalarni ifodalovchi funksiyalar, odatda, matematik fizika tenglamalarining yechimlaridan iborat bo’ladi. Matematik fizika tenglamalari (differensial, integral, integrodifferensial,funksional tenglamalar) cheksiz ko’p yechimlarga ega. Shuning uchun ham kerakli birdan bir yrchimni aniqlash uchun qo’shimcha chegaraviy shatlar beriladi. Chegaraviy masalalarni tekshirishda integral tenglamalar, oldindan baholashlar, chekli ayirmalar usuli va boshqa usullar keng qo’llaniladi. Differensial tenglamalar uchun qo’yilgan Koshi (boshlang’ich) masalasini eslab o’taylik. Sodda qilib aytganda, Koshi masalasi berilgan differensial tenglamaning berilgan nuqtadan o’tadigan integral chizig’ini izlashdan iborat edi. Agar differensial tenglamaning biror bir integral chizig’ini berilgan ikki nuqtadan o’tishi talab etilsa, bu masala Koshi masalasidan farq qilib, berilgan ikki nuqtaning har biri uchun alohida olingan Koshi masalasi yechimga ega bo’lsa ham, bu masala yechimga ega bo’lmasligi mumkin. Birinchi tartibli differensial tenglama uchun bu masala quyidagicha , kabi yoziladi, bu yerda – berilgan sonlar bo’lib, . Bu masalani o’rganishda, qaralayotgan differensial tenglamaning shartni qanoatlantiradigan yechimi mavjud bo’lsa, u yechim shartni ham qanoatlantiradimi yoki yo’qmi? degan savolga javob berish lozim bo’ladi. Bu holda bevosita savolga tekshirish bilan javob berish mumkin. Masalan, masala yechimga ega emas. Haqiqatdan ham berilgan 5 tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishga ega bo’lib, undan shartga ko’ra , ya’ni kelib chiqadi. Demak, yechim shartni qanoatlantiradi. Ammo bu funksiya shartni qanoatlantirmaydi, chunki . Demak, bu funksiyaga mos integral chiziq (1;1) nuqtadan o’tmaydi. Shuning uchun o’rganilayotgan maala yechimga ega emas. Ammo yuqoridagi mulohazalardan ko’rinib turibdiki, ushbu masala yagona yechimga ega. Ma’lumki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi (boshlang’ich) masalasi shartlar bilan qo’yiladi. Bu maala geometrik nuqtai nazardan, berilgan differensial tenglamaning nuqtadan y 1 burchak koeffitsiyent bilan o’tuvchi integral chizig’ini topishdan iborat. Qaralayotgan tenglama uchun chegaraviy shartli masala qo’yilishi ham mumkin. Bu masalada tenglamaning integral chizig’i va nuqtalardan o’tishi talab qilinayotgan bo’lib, bu nuqtalardan bu integral chiziq qanday burchak koeffitsiyent bilan o’tishi avvaldan berilgan emas. Misol sifatida ushbu masalani tekshiraylik. Berilgan differensial tenglamaning yechimi dan iborat, bu yerda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bundan shartni qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar ( k – berilgan ixtiyoriy butun son) bo’lsa, bo’ladi. Demak, bunda funksiya – ixtiyoriy son bo’lganda ham qaralayotgan masalaning yechimi bo’ladi, ya’ni bunda masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. bo’lib, tenglikdan kelib chiqadi. Bu holda 6 qaralayotgan masala ko’rinishdagi yagona yechimga ega bo’ladi. Xususiy holda, shartni qanoatlantiradigan yechim faqatgina mavjud bo’lib, u funksiyadan iborat bo’ladi. Yuqorida differensial tenglamalar uchun qo’yilgan masala Koshi masalasidan farq qiladigan masala bo’lib, uni ikki nuqtali chegaraviy masala yoki, to’g’ridan-to’g’ri, chegaraviy masala deb yuritiladi. 1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala Ushbu (1.2.1) differensial tenglamaning (1.2.2) shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi (1.1) tenglama uchun ikki nuqtali chegaraviy masala deb ataladi. Bunda (1.2) – chegaraviy shartlar deb yuritiladi.(1.1) Va (1.2) tengliklarda – berilgan sonlar, lar esa berilgan funksiyalar bo’lib, va . {(1.1), (2.1)} masalani noma’lum funksiyani almashtirish bilan soddalashtirish mumkin. Haqiqatdan ham, noma’lum funksiyani tenglik bilan yangi noma’lum funksiyaga almashtirsak, (1.1.1) tenglama yana ikkinchi tartibli quyidagi ko’rinishdagi chiziqli differensial tenglamaga, (1.2.2) chegaraviy shartlar esa ko’rinishga keladi, bu yerda 7 Ko’pincha (1.2.1) tenglamani tekshirishga qulay bo’lganm boshqa ko’rinishda yoziladi. Agar (1.2.1) tenglamaning ikki tomonini exp∫p 1 (x)dx funksiyaga ko’paytirib, ba’zi shakl almashtirishlarni bajarsak, (1.2.3) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. Bu yerda Yuqoridagi mulohazalarni e’tiborga olib, umumiylikni chegaralamagan holda {(1.2.1), (1.2.2)} masala o’rniga (1.2.3) tenglamaning , (1.2.4) shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish haqidagi chegaraviy masalasini o’rganish yetarli degan hulosaga kelamiz. Agar bo’lsa, {(1.2.3), (1.2.4)} masala bir jinsli bo’lmagan masala , bo’lganda esa bir jinsli masala deb yuritiladi. Yuqorida bayon qilingan masala (1.2.3) tenglamaning ushbu (1.2.5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi masalaning xususiy holidir, bu yerda - berilgan o’zgarmaslar bo’lib, va . Agar bo’lsa, {(1.2.3), (1.2.5)} masala bir jinsli chegaraviy shartli masala deyiladi, bo’lganda esa tegishli masala bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartli masala deyiladi. Demak, ikki nuqtali chegaraviy masalada berilgan differensial tenglama qaralayotgan kesma chegarasida nafaqat noma’lum funksiyaning qiymati, balki uning hosilasining qiymati yoki o’zi va hosilasining biror chiziqli kombinatsiyasining qiymati berilishi mumkin ekan. Odatda, (1.2.3) tenglama uchun (1.2.4) shartlar bilan qo’yilgan masala birinchi chegaraviy masala, 8 shartlar bilan qo’yilgan masala ikkinchi chegaraviy masala, qolgan hollarda esa aralash chegaraviy masala deb ataladi. 1.3-§. Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi 1. Quyidagi ikki nuqtali chegaraviy masalani qaraylik: (1.3.1) Bu masalaning yechimi quyidagi teorema asosida topiladi. Gilbert t eoremasi. Agar {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning Grin funksiyasi ma’lum va bo’lsa, bu masalaning yechimi (1.3.2) formula bilan aniqlanadi, aksincha, agar funksiya {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi bo’lsa, uni (1.3.2) ko’rinishda ifodalash mumkin. Isbot. Haqiqatan ham, (1.3.2) formula bilan aniqlangan funksiya (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, chunki Grin funksiyansining ta’rfiga ko’ra bo’lgani uchun Endi (1.3.2) formula bilan aniqlangan funksiya (1.3.0) tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun avval (1.3.2) ni quyidagicha yozib olamiz: Bundan hosilalarni hisoblaymiz: 9 = ; larning qiymati (1.3.0) ga qo’yamiz. Unda . Integral ostidagi ifodalar nolga tengligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan (1.3.0) tenglik kelib chiqadi. Teoremaning birinchi qismi isboti kelib chiqdi. Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz, ya’ni {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi mavjud bo’lsa, uni (1.3.2) formula bilan yozilishini isbotlaymiz. funksiya qo’yilgan {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi bo’lsin. Bu masalaning Grin funksiyasini bilan belgilaylik. (1.3.0) tenglamani ga, tenglamani ga ko’paytirib, birinchisidan ikkkinchisini ayirsak, 10 tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikni oraliqda integrallaymiz: va funksiyalar (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini va funksiyalar esa oraliqda uzluksizligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni funksiyaning bo’lgandagi xossasiga asosan, ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda s va x o’zgaruvchilar o’rinlarini almashtirsak, formula hosil bo’ladi. Qo’yilgan masalaning Grin funksiyasi uchun tenglik o’rinli ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan (1.12) tenglik kelib chiqadi. Gilbert teoremasi to’lig’icha isbotlandi. 11 2. Endi ikki nuqtali chegaraviy masala uchun oddiy Grin funksiyasining yagonaligini isbotlash mumkin. Haqiqatdan ham, {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning ikkita oddiy Grin funksiyalari mavjud deb faraz qilsak, (1.3.2) formulaga asosan, qo’yilgan masalaning bu Grin funksiyalariga mos yechimlarini quyidagicha yozish mumkin: Bularning ayirmasidan iborat bo’lgan ushbu funksiya bir jinsli tenglamani va (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Ma’lumki bunday funksiya aynan nolga teng, ya’ni Bu ayniyat ixtiyoriy funksiya uchun bajarilganligi uchun, undan , ya’ni, ekanligi kelib chiqadi. Demak, {(1.3.0),(1.3.1)} masalaning oddiy Grin funksiyasi yagona ekan. 12 II BOB. Chegarada buziladigan differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 2.1-§. Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 1. Umumiy tushunchalar. Yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalani yechishda yangi qiyinchiliklar deyarli kelib chiqmaydi. Shuning uchun bir tipik misolni tekshirish bilan chegaralanamiz. Quyidagi (2.1.1) differensial tenglama berilgan bo’lsin. 13 differensial ifodaning (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasi quyidagicha ta’riflanadi: Ta’rif. Ikki argumentli funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1˚. funksiyalar s ning oraliqdagi barcha qiymatlarida x argumenti bo’yicha uzluksiz; 2˚. funksiya (2.1.2) chegaraviy shartlarni bajaradi; 3˚. hosila x ning oraliqdagi barcha qiymatlarida uzluksiz, lekin nuqtada birinchi tur uzilishga ega bo’lib, uning sakrashi 1 ga teng, ya’ni yoki . 4 ˚ . funksiya oraliqlarda differensial operatorning (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasi deyiladi. Grin funksiyasining eng harakterli xususiyatlaridan biri uning uchun Gilbert teoremasining o’rinligidir, ya’ni agar funksiya (2.1.1) tenglamani va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, uni (2.1.3) ko’rinishda ifodalash mumkin va, aksincha, (2.1.3) formula bilan berilgan y(x) funksiya (2.1.1) tenglama va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. 2. To’rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Grin funksiyasini tuzishga doir misollar. 14 1) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing. Yechish. Eng avval tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Ravshanki, u quyidagi ko’rinishga ega: Bundan foydalanib ko’rsatish mumkinki, bir jinsli tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim bo’ladi. Shuning uchun oddiy Grin funksiyasini tuzamiz. Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz: Chegaraviy shartlardan ushbu algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemadan larni topamiz. Demak, Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega: Grin funksiyasi uchun birinchi va uchinchi shartlarga ko’ra ushbu algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: Bu sistemani yechib, quyidagilarga ega bo’lamiz: 15 Topilganlarni o’rniga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning Grin funksiyasi to’la aniqlanadi: 2) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlamtiruvchi Grin funksiyasini tuzing. Yechish. Ma’lumki, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda yoziladi. U holda bo’ladi. Bularni va chegaraviy shartlarni e’tiborga olib, tengliklarga ega bo’lamiz. Demak, u holda tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. Agar bo’lsa, trivial yechimga ega, bo’lsa, trivial bo’lmagan bo’lmagan yechimga ega bo’lamiz. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzish lozim bo’ladi. yechimni normallashtirsak, kelib chiqadi. Endi , ya’ni tenglamaning umumiy yechimini topamiz: Demak, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani chegaraviy shartlarga bo’ysundirsak, tengliklar va 16 tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Oxirgi sistemani yechib, larni topamiz: Shunga ko’ra, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga keladi: Buni umumlashgan Grin funksiyasi ta’rifining birinchi shartlariga bo’ysundirib algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistemani yechib, quyidagilarni topamiz: . Bularni o’rniga qo’ysak, umumlashgan Grin funksiyasi ko’rinishga keladi. noma’lumni topish uchun umumlashgan Grin funksiyasining normallangan yechim bilan ortoganal bo’lim shartidan foydalanamiz, ya’ni tenglikdan foydalanamiz. ni bu shartga qo’yib, 17 ni topamiz. ning bu qiymatini funksiyaning oxirgi formulasiga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi hosil bo’ladi. 2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, ushbu (2.2.1) tenglama chegarada buziladigan ikkinchi tartinbli differensial tenglama deyiladi. Bunda ko’pincha funksiya uchun tengsizlik bajariladi deb qaraladi. (2.2.1) differensial tenglama uchun quyidagicha chegaraviy shartlar bilan qo’yilgan masalalar qaraladi: Agar bo’lsa, (2.2.2) Agar bo’lsa, (2.2.3) {(2.2.1), (2.2.2)} masalani qaraylik. Agar {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning yechimini ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu formuladagi funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning Grin funksiyasi deyiladi. 18 funksiyani tuzishga kirishamiz. Buning uchun (2.2.1) ternglamaning umumiy yechimini topamiz. (2.2.1) ni integrallab, tenglikka yoki bu yerda Dirixle formulasidan foydalanib, (2.2.4) tenglikka ega bo’lamiz. Bundan chegaraviy shartga asosan chegaraviy shartga asosan esa tenglik kelib chiqadi, bu yerda . Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yamiz: Bu yerdagin oraliq bo’yicha integralni va oraliqlar bo’yicha integrallarga ajratsak va , tengliklarni e’tiborga olsak, (*) tenglik 19 Ko’rinishda yoziladi. Bu yerda belgilash kiritsak, oxirgi tenglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. U holda yuroqidagi ta’rifga asosan funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masala uchun Grin funksiyasi bo’ladi. Bu yerda tengliKlarni e’tiborga olsak, Grin funksiyasining quyidagicha ko’rinishiga ega bo’lamiz: (2.2.5) Bu Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega ekanligi osongina isbotlanadi: 1) Grin funksioyasi kvadratda uzluksiz; 2) bo’lganda tenglik bajariladi; 3) Grin funksiyasi (2.2.2) shartlarni qanoatlantiradi; 4) . Endi {(2.2.1),(2.2.2)} masalaning yechimini topamiz. (2.2.1) tenglamaning umumiy yechimi (2.2.5) formula bilan aniqlaanadi. Undan chegaraviy shartga asosan esa tenglik kelib chiqadi. Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yib, 20 tenglikka ega bo’lishimiz, bu yerdagi funksiya ko’rinishga ega bo’lib, u {(2.2.2), (2.2.3)} masalaning Grin funksiyasi bo’ladi.Bu funksiyaning xossalariga to’xtalamiz: 1) Grin funksiyasi to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz (bu yerda ); 2) tengsizlik o’rinli. Bu tengsizlikni isbotlaymiz: Bu yerda ikkinchi qo’shiluvchida integrallash tartibini o’zgartirib,so’ngra x ni t bilan, t ni esa x bilan almashtirsak va tenglikni e’tiborga olsak, tenglik kelib chiqadi. U holda 21 3) bo’lganda tenglikni bajariladi; 4) Grin funksiyasi (2.2.2) chegaraviy shartlarni bajaradi; 5) Oxirgi 3), 4) va 5) xossalar ham Grin funksiyasining formulasidan foydalanib qiyinchiliksiz isbotlandi. XULOSA Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda. Barcha kurslardagi singari “Oddiy differensial tenglamalar” kursini o’qib, o’rganish va o’qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Bundan ko’rinib turibdiki, Oddiy differensial tenglamalar kursida Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli 22 tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusini o’rganishda imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson bo’ladigan, usullarini o’rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko’zlangan Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ni hisoblash uchun fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo’ladigan usullarini tanlab olib hisoblashda ularni qo’llashdan iborat. Oddiy differensial tenglamalar matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, uning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi. Kurs ishining birinchi bob birinchi paragrafida Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha yoritib berilgan . Ikkinchi paragrafda Ikki nuqtali chegaraviy masala ko’rsatib o’tilgan . Uch i nchi paragrafda Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi mavzulari tushuntirib berilgan . Ikkinchi bob birinchi paragrafda Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusi ko’rsatib berilgan. Ikkinchi paragrafda Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ishlab yo’nalishlar berilgan. Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan Oddiy differensial tenglamalarg a qo’yilgan masalalarni yechishda fоydalanish mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar 1. O‘zbekiston Respublikasi ning “K adrlar tayyorlash milliy dasturi ” Toshkent – 1997 yil . 2. O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risidagi qonuni”, Toshkent – 1997 yil. 3. A. I. Shirinov, X. N. Nosirov, I. S. G’oziyev. Differensial tenglamalar 23 fanidan uslubiy ko’rsatma. Farg’ona – 2002. 4. Salohitdinov M. Matematik fizika tenglamalari T. “O’zbekiston”, 2002, 444b. 5. Salohitdinov M. S., Nasriddinov G. N. Oddiy differensial tenglamalar. T. “O’zbekiston”, 1994, 167-198- betlar. 6. Vladimirov V. S., Mixaylov V.P., Vasharin A.A., Karimova X.X., Sidorov Y., Shabunin M.I “Сборник задач по уравнениям математической физики” “Наука” 1982, 272 ст. 7. Teshaboyeva N. X. Matematik fizika usullari. T. 1966, 160b. 8. Jurayev T. Abdinazarov S. Matematik fizika tenglamalari. T. 2003, 332b. Internet saytlari: 1. Elektron jurnal www.arki.ru 2. T o’ li q matnli kutubxona www.lib.ru 24
Купить