Информация о документе

Цена 24000UZS
Размер 913.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 11 Май 2025
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Физика

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

173 Продаж

Chegaraviy masalalar

Купить
“ Chegaraviy masalalar ” KIRISH I-bob. Ish uchun zarur tushunchalar 1 § Diffrencial tenglamalar.Laplas tenglamasi. 2 § .Matematik fizika tenglamalari 3 § .SHturm-Luivil masalasi II-bob. CHEGARAVIY MASALAR VA ULARNING ECHIMI 1 § . Issiqlik tarqalishi masalsi………………………………. 2 § . Diffuziya tenglamasi masalasi…………………... 3 § . Matematik fizika tenglamalari chegaraviy masalalariga misoiiar……………………………………………………… Xulosa………………………………………………………. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati………………… KIRISH Ish matematik tahlil, maydon nazariyasi va matematik fizika tenglamalarining ayrim qismlariga bag‘ishlangan bo‘lib, undan pedagogika institutlari talabalari matematik fizika tenglamalari fanidan mustaqil ish yozishda, nazorat ishlarini bajarishda foydalanishlariga mo‘ljallangan. Ishda rejada ko‘rsatilgan mavzularning qisqacha nazariy qismi unga mos misollar ishlab ko‘rsatilgan va ishlash lozim bo‘lgan misollar namunalari berilgan. Ishda mualliflarning ko‘p yillik mehnat natijalari va qator adabiyotlardan foydalanilgan. Ish ikki bob/- maydonlar nazariyasi va matematik fizika tenglamalaridan iborat bo‘lib, unda skalyar va vektor maydonlar, skalyar maydon gradiyenti, skalyar va vektor maydon sath chizig‘i va sath sirti, yo‘nalish bo‘yicha hosila vektor oqimi, maydon divergensiyasi, maydon ratori uyurmasi, 2-tartibli xususiy hosilali diffirensial tenglamalar 2- tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani sodda ( kanonik ) ko‘rinishga keltirish, tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish, bir jinsli tor tebranishi tenglamasi uchun koshi masalasining yechish, cheksiz tor uchun dalamber formulasi, bir jinsli to‘lqin tenglamasi uchun koshi masalasini dalamber usuli bilan yechish, issiqlik o‘tkazish tenglamasini fur| ye almashtirishlari usuli bilan yechish, chegaralangan sterjenda issiqlikni tarqalishi qaralgan. Matematik fizika tenglamasiga biror masala qo’yilgan bo’lsa, bu masalaning yechimi albatta boshlang’ich va chegaraviy shartlardagi funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar odatda tajriba yo’li bilan aniqlanadi va shuning uchun ular juda aniq topilishi mumkin emas, chunki fizik kattaliklarni o’lchashda ba’zi xatolikka yo’l qo’yiladi. Boshlang’ich va chegarviy shartlarni Hosil qilishda yo’l qo’yilgan xatolik qanchalik ta’sir qilishini aniqlash Ham muHim aHamiyatga ega. Boshlang’ich, 2 chegarviy shartlarning ozgina o’zgarishiga yechimning juda katta o’zgarishi mumkin. Bunday Hollarda bu yechimlardan amalda foydalanish yaxshi natija bermaydi. Agarmasalada boshlang’ich, chegaraviy shartlarning va tenglama ozod Hadining ozgina o’zgarishiga yechimning Ham ozgina o’zgarishimos kelsa, bunday masala yechimi turg’un deyiladi. Agar matematik fizika masalasining yechimi mavjud, yagona va turg’un bo’lsa, u Holda bunday masala korrekt (to’g’ri) qo’yilgan deyiladi. Agar matematik fizika masalasining yechimi bu shartlarning istalgan biri (birortasi) bajarilmasa bunday masala korrekt qo’yilmagan masala deyiladi. Matematik fizika tenglamalariga yuqorida qo’yilgan masalarning Hammasi korrekt qo’yilgandir. Korrekt qo’yilmagan masalalar Ham ko’p uchraydi, masalan Ademar masalasini ko’raylik. 0 y u x u 22 22       (1) tenglamada   0y,x  chegaraviy shartlar   0 y u ,0y,xu 0y0y      (2) shartlarni qanoatlantiruvchi   y,xu yechimi topilsin. Bu masalaning yechimi 0 u  bo’lib, u yagonadir; ya’ni korrektlik shartlarining ikkitasi bajariladi. Uchinchisi to’g’riligini tekshiramiz. Buning uchun boshlang’ich shartlarning birini ozgina o’zgartirib, yechimning qanday o’zgarishini aniqlash kerak. (1) ning   0 y u , n nxcos y,xu 0y0y      (2’) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak. 3 (2’) dagi birinchi shart (2) shartdagi birinchi shartdan (yetarli katta n lar uchun) ozgina farq qiladi. Haqiqatan, .0 n1 n nxcos u n 0y     Tekshirib ko’rish mumkinki, (1), (2’) masalaning yechimi  nnxchnycos y,xu  dan iborat bo’ladi. Bu esa   1k2 2nx   lar uchun chegaralanmagan funksiyadan iborat   ,...3,2,1 k  . Bundan ko’rinadiki, keyingi masalaning yechimi oldingi masalaning yechimidan absolyut qiymat bo’yicha juda katta farq qiladi, ya’ni boshlang’ich shartni ozgina o’zgartirishimiz bilan yechim juda katta o’zgarib ketayapti. Masala yechimi turg’un emas, bu esa (1),(2) masala korrekt qo’yilmagandir. 4 1- bob. Ish uchun zarur tushunchalar 1 § Diffrencial tenglamalar.Laplas tenglamasi. Ma ’ lumki, umumiy k o’ rinishi 0 ) , , , , ( 2 22 12 11     y x yy xy xx u u uy x F u a u a u a Bo’lgan ikki o’zgaruvchili ikkinchi tartibli ‘ususiy ‘osilali differensial tenglamalarni, undagi koeffisiyentlar yordamida tuzilgan 22 11 212 a a a D   ifodaning ishorasiga ы arab tiplarga ajiratilar edi . Agar D >0 b щ lsa, u ‘olda yu ы oridagi tenglama giperbolik tipdagi tenglama, D =0 b щ lganda esa parabolik tipdagi tenglama deb atalar edi. Agar D <0 b щ lsa, u ‘olda yu ы oridagi tenglama elliptik tipdagi teglama b щ lib, bu tenglamaning ы uyidagi 0 ) ( 2 ) ( 2 22 12 2 11    dx a dxdy a dy a xarakteristik tenglamasi ikkita щzaro ыщshma kompleks yechimlarga ega bщlar edi. Bu ‘arakteristik tenglamaning integrallari yordamida x , y щzgaruvchilardan  , щzgaruvchilarga щtib elliptik tipdagi tenglamalarnig kanonik kщrinishini ‘osil kilamiz. ),,,,(       uuuФuu  Kщpgina fizik xodisalar (elektr va magnit maydonidagi xodisalar, tebranish, issiklik щtkazuvchanlik, diffuziya xodisalari) odatda elliptik tipdagi tenglamalarga keltirib щrganiladi. Bu tipdagi eng k щ p tar ы algan tenglama ы uyidagi 0    yy xx u u u Laplas t englamasi ‘isoblanadi. Ma o lumki,                                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; z u y u x u a x u x u x u a t u x u a ut 5 Tenglamalar mos ravishda bir, ikki, uch щ lchovli issiklik tar ы alish jarayonini tavsiflaydi. Agar bu jarayon va ы tga bolik b щ lmasa uni stosionar jarayon deyilib 0  tu b щ ladi va yu ы oridagi tenglamalar mos ravishda0 ;0 ;0 22 22 22 22 22 22                   z u y u x u y u x u x u kщrinishl arni oladi. Bu tenglamalar elliptik tipga tegishli bщlib, ularni mos ravishda 0;0;0 321  uuu kщrinishda yoki umumiy ‘olda )1( 0 u kщrinishda belgilanadi.  - Laplas operat ori deb ataladi . Xar ы anday ‘ususiy ‘osilali differensial tenglamalarning yechimlari umuman olganda bir nechta ixtiyoriy funksiyalarga boli ы b щ ladi. Masalan, 0 xyu tenglamaning umumiy yechimi u ( x , y )= f ( x )+ g ( y ) k щ rinishga ega b щ lib, bu yerdagi f ( x ) va g ( y ) funksiyalar ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalar. Shuning uchun, biror bir ani ы bir fizik xodisani ifodalovchi yechimni ajratib olish uchun ыщ shimcha shartlar berishga t щ ri keladi. Bunday ыщ shimcha shartlar chegaraviy shartlar deyilib, bularga mos masalalarni chegaraviy masalalar deb ataladi. Shu щ rinda elliptik tipdagi tenglamalar uchun kanday chegaraviy masalalar ыщ yilishi mumkin degan savol tuilishi tabiiy. Ы uyida biz ana shu savolga javob beramiz. Ani ы lik uchun, Laplas tenglamasini ы araymiz. Aytaylik, fizik jarayon sodir b щ ladigan soxa nR   , S -uning chegarasi b щ lib, buni b щ lakli silli ы sirt deb ‘isoblaymiz. Umuman olganda, Agar n =1 b щ lsa, u xolda  soxa ( a , b ) kesmadan iborat b щ ladi; Agar n =2 b щ lsa, u xolda  soxa ni tekislikdagi birorta b щ lakli silli ы yopi ы chizi ы bilan chegaralangan soxa deb ‘isoblash mumkin; 6 Agar n =3 b щ lsa,  soxani fazodagi birorta b щ lakli silli ы sirt bilan chegaralangan soxa deb olishimiz mumkin. Bu  soxada berilgan (1) elliptik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masala ы uyidagicha ыщ yiladi.  soxada (1) elliptik tipdagi tenglamaning           s n u u   v (2) chegaraviy shartni ы anoatlantiruvchi ) ( ) ( 1 2    C C u  yechimi topilsin. Bu yerda v ва  , -oldindan berilgan va S da uzluksiz funksiyalar b щ lib, 0 , 0 , 0         b щ ladi. (2) chegaraviy shartda ыщ yidagi 3 ta tipdagi chegaraviy shartlar kelib chi ы adi. I -tur chegaraviy shart )0 ; 1 (     )1.2( 0uu s  II -tur chegaraviy shart )1 ; 0 (     )2.2( 1u n u s    III -tur chegaraviy shart )1 ; 0 (      3.2 2u u n u s          Bu yerda 2 1 0 , , u u u - berilgan funksiyalar. Bu shartlarga mos masalalar ы uyidagicha ыщ yiladi. I) Birinchi chegaraviy masala. (1) tenglamaning,  soxada aniklangan, uzluksiz xamda 0uu s  shartni kanoatlantiruvchi yechimi topilsin. n =3 b щ lganda bu masala berilgan soxa sirtidagi temperatura b щ yicha uning ichidagi (yoki tashidagi) nu ы talardagi temperaturasini ani ы lash xa ы idagi masala b щ ladi va uni Direxle masalasi deb ataladi. II) Ikkinchi chegaravy masala . (1) tenglamaning ) ( ) ( 1 2    C C u  sinfga tegishli va 1u nu s   shartni ы anoatlantiruvchi yechimi 7 topilsin. Bu yerda n -soxa chegarasiga щ tkazilgan tash ы i normal. Bu masala n =3 bulganda soxa chegarasidan щtayotgan issiыlak okimini miыdoriga asosan uning ichidagi (yoki tashidagi) nuыtadagi temperaturani aniыlab beradi. Bu masala Ney man masalasi deb ataladi. III) Uchinchi chegaraviy masala. (1) tenglamaning ) ( ) ( 1 2    C C u  sinfiga tegishli va 2 ) ( u n u u s     shartni ы anoatlantiruvchi yechimini topilsin. Bu yerda - 2 , 0 u   -berilgan funksiyalar. Bu masala n =3 b щ lginda soxa chegarasida sodir b щ layotgan issi ы lik almashishining mi ы dorini bilgan xolda soxaning ichidagi (yoki tashidagi) nu ы tadagi temperaturasini ani ы lab beradi. Buni odatda St ok s masalasi deyiladi. Agar yechim S sirtga nisbatan ichki  soxada ы idirilayotgan b щ lsa, u xolda bunga mos masalalarni ichki chegaraviy masala deyiladi. Agar yechim S sirtga nisbatan tash ы aridagi  soxada ы idirilayotgan b щ lsa, u xolda bunga mos masalalarni tash ы i chegaraviy masala deyiladi. Tash ы i chegaraviy masalalarni ‘am ‘uddi yu ы oridagi masalalar kabi ыщ yiladi. Fa ы at bunda S da berilgan chegaraviy shartdan tash ы ari, cheksizlikda ‘am shart beriladi. 0u ва S larga nisbatan baozi bir umumiyro ы talablar asosida Dirixle masalasi xar doim ‘am yechimga ega ekanligini fizik muloxozalar yordamida ani ы aytish mumkin. ‘a ы i ы atan ‘am, agar soxa chegarasidagi xar bir nu ы ta ani ы bir temperatura ostida taosir etilsa (‘ar xil nu ы talarda ‘ar xil temperaturada b щ lishi mumkin) u ‘olda soxadagi ‘ar bir nu ы ta uchun щ zining temperaturasi ani ы lanadi. Bu esa berilgan chegaraviy ы iymatlarda Dirixle masalasining yechimini beradi. 8 Bundan tash ы ari, ani ы ki, ‘uddi shunday muloxazalar yordamida bu masala yechimining yagonaligi kelib chi ы adi. Agar  soxa ichiga (yoki tashiga ) biror issi ы lik manbai ыщ yilgan b щ lsa, bu jarayon bir jinsli b щ lmagan f u  tenglamaga keltiriladi va bu tenglamani Puasson t englamasi deyilib, bunday tenglama uchun ‘am yu ы oridagi chegaraviy masalalar ыщ yiladi. Slindrik va sferik koordinatalarda gradiyent, divergensiya, laplasian. Bizga ma’lumki,       u gradu x i y j z k ,                                            ) , (, z u y u x u z u z y u y x u x k z u j y u i x u ,kz j y ix divgradu u) , ( ) u , ( 2 2 2 2 2 2                               deb belgilaymiz va Laplas operatori deyiladi.                  ( , ) , ( , )             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 x y z u u u u x u y u z (7) Laplas tenglamasi deyiladi. Laplas tenglamasi slindrik va sferik koordinitilarda mos ravishda quyidagi ko’rinishda bo’ladi. 0 z u u 1 u 2 2 2 2                    (8) 0 u sin 1 u sin sin 1 r u r r 2 2 2 2                       (9) 9 slindrik koordinatalar sistemasida (8) ning yechimi Bessel funksiyalarini (9) tenglamani sferik koordinatalar sistemasidagi yechimi sferik funksiyalarni Hosil qilamiz. Ma’lumki, Dekart koordinatalar sistemasidagradu u x i u y j u z k          ko’rinishda bo’ladi. Slindrik koordinatalarda gradu u r i r u j u z k          1 sferik koordinatalarda esa k u sin 1 j u 1 i u gradu             ko’rinishda bo’ladi. Dekart koordinatalar sistemasida a = a x i + a u j + a z k vektor maydon divergensiyasi z a y a x a a div z y x          ko’rinishda bo’ladi. Slindrik va sferik koordinatalarda a vektor maydon divergensiyasi mos ravishda quyidagi          z a r a r ) ra( r 1 a div z x                            a sin 1 a sin sin 1 a 1 a div 2 2    ko’rinishda bo’ladi. ma’lumki, 1-tartibli oddiy differensial tenglama y`=f(x,y) (F(x,y,y`)=0) ning umumiy yechimi bitta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq bo’lgan y=  (x,c) 10 cheksiz ko’p yechimga ega. Xuddi 2-tartibli y``=f(x,y,y`) (F(x,y,y`,y``)=0) tenglamaning umumiy yechimi ikkita ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq bo’lgan y= (x,c,c 2 ) cheksiz ko’p yechimga ega. Xususiy yechimni y x y y x y x x x x ( ) , `( ) `     0 0 0 0 boshlang’ich shartlardan foydalanib topamiz. Agar differensial tenglamada qatnashgan noma’lum funksiya bir argumentli bo’lmasdan ko’p argumentli fsunksiya bo’lsa, bunday tenglama xususiy Hosilali differensial tenglama deyiladi. Misollar:                   u x u y y u x x u y u x u y u z u u x y z         0 0 0 2 2 2 2 2 2 , , , , Biz bu kursda xususiy Hosilali differensial tenglamalarni yechish usullari bilan shug’ullanmaymiz. Biz fizika, texnikaga, mexanikaga taaluqli bo’lgan xususiy Hosilali differensial tenglamalar bilan shug’ullanamiz. Xuddi shunday tenglamalar matamatik fizika tenglamalari deyiladi. Xuddi yuqoridagiday xususiy Hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimi Haqida fikr yuritaylik. 1)     u x y x ,  0 (1). Bu tenglamadan ko’rinadiki, u(x,y) funksiya x ga bog’liq emas, u(x,y)=  (y) (2),  (y) ixtiyoriy funksiya, (1) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Bu sodda misoldan ko’rinadiki, tenglamalarning umumiy yechimi bitta ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lyapti (1- tartibli oddiy differensial tenglama umumiy yechimi bitta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq bo’ladi). 2)     u y f y  (3),   f y - berilgan funksiya. 11       u x y f y dy x ,     (4),    x -ixtiyoriy funksiya 3) x u x y u y       0, umumiy yechim   u x y y x,       -ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya 4) y u x x u y       0, umumiy yechim     u x y x y ,    2 2 -ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya 5)   2 0 u ox y  (5)   u y V  deb belgilasak,           2 0 0 u ox y x u y V x V x         , dan V=f(y) -ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya          2u y f y u f y dy x     , ,    x -ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya f(y)- ixtiyoriy funksiya bo’lgani uchun     f y dy x    , Ham ixtiyoriy funksiya bo’adi, demak      x y y,x u     (6) (6) (5) ning umumiy yechimi bo’ladi va bu umumiy yechim ikkita ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lad i’. 2 . Matematik fizika tenglamalari Matematik fizika masalalarining qo’yilishi ma’lum sinfdagi fizik Hodisalarning asosiy qonuniyatlarini Hisobga olgan Holda ularning matematik modellarini yozishdan boshlanadi (Matematik model deb, tashqidunyodagi uchraydigan biror- bir Hodisalar sinfining matematik simvollar yordamida yozilishiga aytiladi). 12 Bunday modellar ko’p Hollarda xususiy Hosilali differensial tenglamalardan iborat bo’ladi. O’o`yidagi tenglamani qaraylik 22 2 x u au     (1) tenglamani     xf,xu 0     (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi                    dexcosfdx 2 1 ,xu 2 x (3) Ko`. (3) ni o`ng tomonini integrallasak uning chap tomoni quyidagi ko`rinishni oladi.Bunda ichki integral qiymati funksiya ko`rinishida ifodalanib, quyidagiga teng bo`ladi.                   def 2 1 ,xu 4ч 2 (4) tа 2   belgilash olsak                  def ta2 1 ,xu ta4ч 2 2 (5) U ko`rinishni oladi. (5) da     ta4ч 2 2 e ta2 1 ,t,x       (6) Belgilash olsak,o`ng tom0ndagi integral qiymati yuqoridagi funksiya bilan ifodalangan bo`ladi. Navbatda funksiya  t,x o`zgaruvchilarga bogliq bo`lib,  ga bogliq bo`lmasin. 13 22 2 x u a tu     (7) Tenglamani qaraylik. (6) dab u qiymat quyidagicha o`zgarsin,yani unda 0x nuqta ning     00 x,x atrofida qaralsin.  x f funksiya     00 x,x oraliqda 0 u va qiymatlarni quyidagicha qabul qilsin.            0 00 xx,0 xx,u xf Bu holda u quyidagi ko`rinishdagi grafikka ega bo`ladi. Bu Holda                 0 0 2 2 x x ta4ч 0 de ta2 u ,xu (8) bo’ladi. (8) ga o’rta qiymat Haqidagi teoremani tadbiq qilsak, bunda Q - berilgan issiqlik miqdori S - sterjen ko’ndalang kesim yuzi  - sterjen zichligi 14 s - solishtirma issiqlik sig’imi Agar bo’lsa, (9) ko’rinishga keladi. Endi  ni nolga intiltirib fizik issiqlik impulsidan issiqlik impulsiga o’tamiz ya’ni oraliqda 0x nuqtaning qiymatlarida funksiu qiymati. gat eng bo`lib, da va, da bo`ladi. Bu xolda (9) ifoda       0ta4x 0 x,t,xe ta2 u ,xu 2 2        (10) ko’rinishga keladi. Endi nuqtaviy issiqlik impulsidan keyin stejenda issiqlikning qanday tarqalishini qaraymiz. Buning uchun (10) yechimni 0 t  ning HarHil qiymatlari uchun grafigini chizamiz. Bu egri chiziqlar Gauss egri chiziqlari deyiladi. Ko’rinib turibdiki,   0x,t,x  funksiyaning grafigi   0xx0t  to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladi. Bu funksiya 0xx  nuqtada ta2 1  dan iborat maksimumga ega. Bu esa impuls qo’yilgan 0 x nuqtada maksimum temperatura bo’ladi demakdir. 15 Gauss egri chiziqlari bilan chegaralangan figuralarning Har birining yuzi 1 ga teng. Haqiqatan, yuzning t ning HarHil momentlari uchun            dxe ta2 u dxx,t,x ta4x 0 0 2 2   integral yordamida Hisoblanadi. Oxirgi integralda dsta2dx, a2 xx S 0    almashtirishni bajarsak, u Holda 1dse1 2 s       (Puasson integrali) Hosil bo’ladi. Matematik fizika tenglamasiga biror masala qo’yilgan bo’lsa, bu masalaning yechimi albatta boshlang’ich va chegaraviy shartlardagi funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar odatda tajriba yo’li bilan aniqlanadi va shuning uchun ular juda aniq topilishi mumkin emas, chunki fizik kattaliklarni o’lchashda ba’zi xatolikka yo’l qo’yiladi. Boshlang’ich va chegarviy shartlarni Hosil qilishda yo’l qo’yilgan xatolik qanchalik ta’sir qilishini aniqlash Ham muHim aHamiyatga ega. Boshlang’ich, chegarviy shartlarning ozgina o’zgarishiga yechimning juda katta o’zgarishi mumkin. Bunday Hollarda bu yechimlardan amalda foydalanish yaxshi natija bermaydi. Agarmasalada boshlang’ich, chegaraviy shartlarning va tenglama ozod Hadining ozgina o’zgarishiga yechimning Ham ozgina o’zgarishimos kelsa, bunday masala yechimi turg’un deyiladi. Agar matematik fizika masalasining 16 yechimi mavjud, yagona va turg’un bo’lsa, u Holda bunday masala korrekt (to’g’ri) qo’yilgan deyiladi. Agar matematik fizika masalasining yechimi bu shartlarning istalgan biri (birortasi) bajarilmasa bunday masala korrekt qo’yilmagan masala deyiladi. Matematik fizika tenglamalariga yuqorida qo’yilgan masalarning Hammasi korrekt qo’yilgandir. Korrekt qo’yilmagan masalalar Ham ko’p uchraydi . (5) ni 0 d an х gacha integrallasak,                     xxxx 0 dx)x(F0xa0xa 0 dx)x(Fdxx 0adxx 0a           c 0 dx)x(F a1 xx x     (6)     00c    (4) ва (6) дан :                                xx x 0 dx)x(F a2 1 xf 21 x 0 dx)x(F a2 1 xf 21 x 0 dx)x(F a1 xx xfxx       BIR JINSLI TOR TEBRANISHI TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASINING YECHIMI. CHEKSIZ TOR UCHUN DALAMBER FORMULASI 17 Ikki uchi mahkamlangan yoki bir uchi mahkamlangan tor tebranish haqidagi masalani yechishdan oldin osonroq bo’lgan masalani ya’ni cheksiz тор tebranishi haqidagi masalani ko’raylik. Quyidagi 22 2 22 x u a t u     (1) Birjinsli tor tebranish tenglamasining              xF tu xft,xu 0t 0t   (2) Boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak . Bundagi f(x), F(x) lar (-  ,  ) oraliqda berilgan funksiyalardir . Noma’lum u(x,t) funktsiyaga hech qanday chegaraviy shart qo’yilmagan . (1) tenglamaning (2) boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yrchimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi . Bu masalani yechish usuli Dalamber usuli deyiladi . (1) ning umumiy yechimi       atxatxt,xu    (3) Bo’lishligini ko’rsatamiz . Bunda  ,  funksiyalar ikki marta differensialanuvchi funksiyalardir . Haqiqatan ham                   xx2 tt xx2222 tt 22 ttt xxx uau uaaaau atxaatxau,atxaatxau atxatxu,atxatxu                                 Tenglik o’rinli bo’ladi . Demak , (3) (1) ning umumiy yechimi bo’ladi . 18 Endi (2) boshlang’ich shartlardan foydalanib , noma’lum  ,  funksiyalarni topamiz . (2), (3) dan : t=0 bo’lganda  (x)+  (x)=f(x) (4) hosil bo’ladi .     atxaatxau t            xFatxaatxau 0tt       (5) (7) (7) dagi х o’rniga x-at va x+at qo'ysak,             atx atx 0 dx)x(F a2 1 atxf 21 atx 0 dx)x(F a2 1 atxf 21 atx   (3) ga asosan          atxatx 0 dx)x(F a2 1 atxf 21 0 dx)x(F a2 1 atxf 21 t,xu Ma’lumki ,      atxatx0atxatx atx dx)x(F 0 dx)x(F atx dx)x(F 0 dx)x(F 0 dx)x(F u holda       . atx dx)x(F a2 1 2 atxfatxf t,xu atx    (8) (8) formula tor tebranishi tenglamasi uchun Koshi masalasining Dalamber yechimi deyiladi . Misollar : 1) xxtt uu   tenglamaning 0u,xu 0tt2 0t    boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping . 19          2222222 txt,xu,tx 2 txtx t,xu .0)x(F,xxf,1a    2) xxtt u9u   x 0tt 0t eu,0u          t3t3xt3x t3xxt3x t3x x x2 ee 6e e 6 1 dze 6 1 t,xu e)x(F,xxf,3a       3) xx2 tt uau   tenglamaning xcosu,xsinu 0tt 0t    boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.   .atsinxcos a1 atcosxsint,xu  Endi (3) yechimning fizik ma’nosini aniqlashga to’xtalamiz .       .atxatxt,xu    Umumiy ifodadagi funksiyalarni alohida qaraymiz . Avval    x at  funksiyani olib , uni t ning o’suvchi t=t 0 , t=t 1 , t=t 2 ,... qiymatlari uchun grafiklarni chizamiz . 20 Ikkinchi grafik birinchi grafikka nisbatan at 1 miqdorga o’ng tomonga qarab siljigan , uchinchisi esa at 2 miqdorga o’ng tomonga qarab siljigan va H.K. Agar bu chizmalarni ketma - ket qo’zg’almas ekranga proyeksiyalasak , birinchi grafik o’ng tomonga qarab yugurayotganini ko’ramiz . Endi (3) dagi ikkinchi qo’shiluvchi  (x+at) ni qaraylik. Huddi yuqoridagiday mulohaza yurgizsak , bu funksiya ham tezlik bilan chap tomonga qarab tarqaladi .  (x-at),  (x+at) funksiyalar bilan tavsiflanuvchi to’lqinlar yuguruvchi to’lqinlar deyiladi . Shunday qilib (1) tenglamaning umumiy yechimi  (x-at) va  (x+at) to’lqinlarning yig’indisidan ( superpozitsiyasidan ) iborat ekan . (8) yechimni tekshiraylik . F(x)=0 bo’lsn . Bu holda tor uqtalarning boshlangich tezligi nolga teng bo’lib , tor faqatgina boshlangich siljitish natijasida tebranma harakat qiladi . Bu holda       atxf a2 1 atxf a2 1 t,xu  ga ega bo’lamiz . f(x) funksiya aniq bo’lgani uchun u(x,t) ning qiymatini har qanday x va t lar uchun hisoblash mumkin . Huddi yuqorida ko’rganimiz kabi bu yerda ham u(x,t) funksiya ikkita   atxf 21  ва   atxf 21  to’lqinlarning superpozitsiyasidan iborat . Birinchi to’lqin а tezlik bilan o’ng tomonga qarab tarqaladi va u to’g’ri to’lqin deyiladi . t=0 da esa ikkala to’lqinlarning profili ustma - ust tushadi . Agar f(x)=0 bo’lib , F(x)  0 bo’lsa      atx atx dz)z(F a2 1 t,xu bo’ladi . 21     atx atx dz)z(F a2 1 t,xu deb faraz qilsak , u holda       atxf a2 1 atxf a2 1 t,xu  bo’ladi . Bu holda ham tor bo’ylab to’g’ri       at x at x t,x u       va teskari   at x u1     to’lqinlar tarqaladi . Tor harakatni tasavvur qilish uchun         l,lx,VxF l,lx,0xF 0   Deb olamiz . Bu holda             ,lx, 2 h a2 lVl 0 dxV a2 1 x l,lx, a2 xVx 0 dxV a2 1 x 0 0 0 0       aV h,l,x, 2 h a2 lVl 0 dxV a2 1 x 00 0     Bundan ko’rinadiki ,  x  toq funksiyadir . 3.Shturm-liuvill masalasi Adamar masalasini ko’raylik. 0 y u x u 22 22       (1) 22 Tenglama   0y,x  quyidagi boshlang’ich   0 y u ,0y,xu 0y0y      (2) shartlarni qanoatlantiruvchi   y,xu yechimi topilsin. Bu masalaning yechimi 0 u  bo’lib, u yagonadir; ya’ni korrektlik shartlarining ikkitasi bajariladi. Uchinchisi to’g’riligini tekshiramiz. Buning uchun boshlang’ich shartlarning birini ozgina o’zgartirib, yechimning qanday o’zgarishini aniqlash kerak. ( Matematika fizika tenglamalarini yechishda ko’p qo’llaniladigan metodlardan biri o’zgaruvchilarni ajratish metodi yoki Fere metodir. Bu metod yordamida ikki uchi biriktirilgan torning erkin tebranish tenglamasini yechishni ko’raylik. Bizga 22 2 22 x u a t u      (1) tenglamaning              xF tu xft,xu 0t 0t   (2) boshlangich shartlarni va     0t,lut,0u  chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak . (1) ning yechimini biri faqat t ning funksiyasi 2- si faqat х ning funksiyasi bo’lgan ikkita funksiya ko’paytmasi shaklida izlaymiz , ya’ni      tTxXt,xu  (4) ni (1) ga qo’ysak , 23      xX xX tTa tT 2   ga ega bo’lamiz. Bu tenglamaning chap tomoni faqat t ga , o’ng tomoni faqat х ga bog’liq bo’lgani uchun, bu nisbatlar o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak, ya’ni          xX xX tTa tT 2 Bundan   0tTatT 2   (5)     0xXxX   (6) Bir jiinsli oddiy 2- tartibli differensial tenglamaga ega bo’lamiz . (1) tenglamaning (3) chegaraviy shartlarini qanoatlanituvchi hususiy yechimi t ning ixtiyoriy qiymatida                 0lXtTt,xu 00XtTt,xu lx 0x bo’ladi . Bundan T(t)=0 desak , u(x,t)=0 ya’ni (1) tenglama trival yechimga (u=0) ega bo’lamiz . Bizga trival bo’lmagan yechim kerak , bu holda        0lX 00X Deb olamiz . Demak , X(x) funksiyani topish uchun quyidagi masalani yechishga kelib qoldik .     0xXxX   tenglamaning     0lX0X  shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak . Yechimni   rx exX  ko’rinishda izlaymiz va 0 r2    xarakteristik tenglamaga ega bo’lamiz . 24 ,r   (    деб белгиладик ) Bu yerda bir necha hollar bor . 1) 0   bo’lsin , bu holda yechim   x 2x 1 ececxX     bo’ladi .     0lХ0X  shartga asosan     0ecec 0cc x 2x 1 21     0eec,0ecec cc xx 1x 2x 1 12       0 e e xx      shuning uchun 0c,0c 21  Bu holda     0t,xu,0xX  nol yechimga ega bo’ldik . 2) 0   bo’lsin . Bu holda yechim   xccxX 21  Bo’ladi .   0l0c,0lc,0c 221  Bu holda ham     0t,xu,0xX  travial yechimga ega bo’ldik . 3) 0 2      bo’lsin . Bu holda yechim   xsincxcoscxX 21    bo’ladi . Chegaraviy shartlarga asosan :   0c0X 1    0c,0lsinclX 22   bo’lishi kerak , aks holda yana travial yechimga ega bo’lamiz . Shuning uchun 0 l sin   bo’lishi kerak . ,...2,1k, lk ,kl      k=0 da yana travial yechim hosil bo’ladi .   x l k sin c x X k k   c ck 2  deb belgilanadi . 25 k - xarakteristik sonlar , X k (x) xarakteristik funksiyalar deyiladi . l k k    xarakteristik songa   T t k funksiya mos keladi . Bu holda (5) tenglama quyidagi   0 t T l ak t T k 2 k           Ko’rinishga keladi . O’tgan darslarga asosan uning umumiy yechimi  t lak sinDt lak cosBtT kkk    (8) B D k k , lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar . (7),(8) ni (4) ga qo’ysak   x lk sint lak sinbt lak cosat,xu kkk         (9) Hosil bo’ladi , bunda kkkkkk cDb,cBa  . (1) tenglama chiziqli , bir jinsli bo’lgani uchun (9) ning yigindisi           1k x lk sint lak sinbt lak cosat,xu kkk    (10) ham (1) ning yechimi bo’ladi . Bunda (10) qator yaqinlashuvchi hamda qatorning hadlari ikki marta differensiallanuvchi deb faraz qilamiz .   t,xu k hususiy yechimlar (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirgani uchun ularning yig’indisi  t,x u ham (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi . Endi ixtiyoriy k a va k b ixtiyoriy o’zgarmaslarni shunday topish kerakki , (10),(2) boshlangich shartlarni qanoatlantirsin .          1k xfx lk sinat,xu k 0t  (11) 26                  1k xFx lk sinb lak 1k x lk sint lak cosbt lak sina lak t t,xu k 0tkk 0t         (12) (11),(12) lardan ko’rinadiki , (11),(12) lar  x f ,  x F funksiyaning (0, l ) oraliqdagi differensiallar qiymati bo’ladi. (13)     xdx lk sinxF ak 2 b,xdx lk sinxF l2 b lak l 0kl 0k       (14) (13),(14) larni (10) ga qo’yib (1) lenglamaning (2), (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz : 1) ning   0 y u , n nxcos y,xu 0y0y      (2’) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak. (2’) dagi birinchi shart (2) shartdagi birinchi shartdan (yetarli katta n lar uchun) ozgina farq qiladi. Haqiqatan, .0 n1 n nxcos u n 0y     Tekshirib ko’rish mumkinki, (1), (2’) masalaning yechimi   nnxchnycos y,xu  dan iborat bo’ladi. Bu esa   1k2 2nx   lar uchun chegaralanmagan funksiyadan iborat   ,...3,2,1 k  . Bundan ko’rinadiki, keyingi masalaning 27 yechimi oldingi masalaning yechimidan absolyut qiymat bo’yicha juda katta farq qiladi, ya’ni boshlang’ich shartni ozgina o’zgartirishimiz bilan yechim juda katta o’zgarib ketayapti. Masala yechimi turg’un emas, bu esa (1),(2) masala korrekt qo’yilmagandir. 2-bob.Chegaraviy masalalar va ularning echimlari 1 Issiqlik tarqalishini kuzatish masalasi. Masalaning qo’yilishi. Brussda issiqlik tarqalishini kuzataylik. (metalbrussda) Agar bruss bir jinsli bo’lsa, issiqlikni tarqalishini ko’ndalang kesim yuzida kuzatish mumkun. Issiqlik tarqalishiniT(M,t)funksiya aniqlansin. Bunda M=M(x,y) Demak T(M,t) va T(M,t) Tenglamani qanoatlantiradi .Agar bruss chap tomondan issiqlik o’tkazmaydigan bo’lsa . Brussni qizdirish o’ngtomondan M(1,y,t) yuzadan bo’lsa , u xolda (3) Tenglik o’rinli bo’lsin (1)-(3) chegaraviy masala yechimga yagona qiymat bo’lishi uchun Koshi sharti bajarilishi lozim, Ya’ni T(M,t) ning boshlang’ichi T(M,0) yoki biror vaqtdagi t= qiymati T(M, malum bo’lishi lozim. Ammo funksiyaning bu qiymatlari bizga noma’lum va chegaraviy masala (1)-(3) yechim yagona emas. Ammo T(M,t) funksiyaning M= nuqtadagi issiqlik o’zgarishini kuzatish imkoni bor. Ya’ni brussni M= nuqtasiga issiqlikni o’lchash asbobinio’rnatishmumkun. Unio’lchabqiymatlari 28 T( Bo’lsin. Unda xususiy xolni qaraylik. Demak biz (1)-(4)masalaniyechib T(M, 1-Masala (1)-(4) shartlarva lar yordamida T(x,y, Proeksiyani aniqlash masalasi. u basis bo’lsin. Demak T(x,y, lar va noma’lum koiffsentlar Yordamida Furie qatoriga yoyish mumkun. 2- masala 1-masala shartlari va Ifoda aniqlansin. Bunda Furye qator koifsenti Dastlab 2- maslani yechaylik. (5) ifodani xozirgi noma’lum Ko’rinishda axtaramiz. (1)-(3) masala yechimga ega (1) yagona bo’lmagan umumiy yechim).ga ega deb faraz qilib, - T(x,y,t)dt-a (8) (8) da (2) va (3) ni xisobga olsak, u 29 a (8’). (5) ni (6) ga tenglab, unga (8’) ni qo’shamiz. Natijada - (9)da T(M,t) hadidagi mos koifsentlarni tenglaymiz. Guruxlaymiz. (10): Q(x,y)= K(y,t)= (13) (14) (15) (16) Natijada Bunda Tenglik hosil bo’ladi. Natijada yagona yechimga ega qo’shma masala hosil bo’ladi. Teorema . (5) ni (6) ga teng bo’lishi uchun (10),(12)-(17) chegaraviy masalani yechimga ega bo’lishi zarur. 30 Demak, (10),(12)-(17) masala yechimlarida q(x,y) va larni ifodalsh mumkun. (9’)da T(M,t) funksiyalar hadidagi koifsentlarni tenglasak. hisoblash aspekti. (1)-(3) ni yechimi T(M,t) bo’lsin yechim qarashli bo’lsin. Bu yerda L=L, Chiziqli to’plamva U(y,t)-ma’lumfunksiyabo’lsin. Navbatda (10), (12)-(16) taqribiy yechimi K(y,t)- ; Farqlarga ega bo’lamiz. Bu farqlarga ko’ra (5) formula (9) ga ko’ra quyidagi xatoga ega bo’ladi. 31 R( Bu xatoga baholasak. T Demak, (5)ni xatosini kamaytirish uchun ( tanlash orqali. Amalga bu bahoni minnimallashtirish L va ni tanlash orqali bajariladi. Masalan L=L 3 ( Bu xolda R( Umumlashgan ko’phad demak, R( minimum bahosi n+m o’zgaruvchili funksiyalar ekstremumini axtarishga keltiriladi. Unda o’zgaruvchilar lar. Ekstremumni hisoblashda Riman usulidan foydalanish tavsiya etiladi. Ilova. Agar baxolasi ko’rinishda olinsa 1-2-masalalarda T(M,t)=T o’rta ko’rinishda olinishi mumkun Navbatda (10),(12)-(17) chegaraviy masalani yechishga qarashamiz (10) tenglama yechimini (22). 2- DIFFUZIYA PROSSESIDA KUZATISH MASALASI . Cheksiz uzunlikka ega bo’lgan plastinkalar orasida diffuziya prossesini qaraylik . Plastinkalar orasidagi masofa S=1 ga teng bo’lsin . Faraz qilaylik boshlangich kontrensatsiya va diffuziya prossesi bir xil bo’lsin . (S qalinlik bo’yicha ). U holda prossesni sterjenda qarash yetarli . U plastinkalarga artogona jaylashgan bo’lsin . S bo’yicha konsentatsiyani t vaqt bo’yicha Т ( Х ,t) funksiya aniq . Bunda (01 х ; 0  t  ) fiksirlangan nuqta . Bu holatda [0,1] да t 0 holatda Т ( х ,t) quyidagi tenglamaga bo’ysinadi. . 32 1. (1) 2. П=((0,1) х (о, )). Bu yerda а - diffuziya koeffitsienti . Sterjenda quyidagi shartlar belgilangan bo’lsin . 3. М =L[И(t) T(I,t): t 4. M (2) 5. М- bug’lanish koeffitsienti . L- tashqi muhit va bug’lanish konsentratsiyasi proporsiyasi koeffitsienti . (1)-(2) masala yagona yechimga ega bo’lishi uchun diffuziyani boshlangich holati Т ( х , 0) ma’lum bo’lishi lozim . /см Т(х,t)- biror fiksirlangan vaqtdagi holati ma’lum bo’lishi lozim . Bevosita priborlar yardamida bu holatlarni hamma vaqt ham aniqlab bo’lmaydi . 6. Faraz qilaylik diffuziya prossesida ba’zi nuqtalarda diffuziyani o’rganish holatini o’lchash imkoni bo’lsin .( sterjenda х (1)) vaqtda ma’lum diffuziya o’zgarishi ( ) va (1)-(2) qonuniyat yordamida х х nuqtada diffuziya holatini aniqlash masalani qo’yilishi bo’ladi. 7. У(t)= T(x, t), t [o, (3) 8. Funksiyani diffuziya prossesi o’lchanuvchi kattaligi deb ataymiz . 9. 1- MASALA . У (t), t [o, funksiya a, L, м - konstantalar va (1)-(3) munosabatlar yordamda Т ( х , ), х [0,1] – funksiya aniqlansin . 10. Q(x) - (0,1) dan berilgan funksiya bo’lsin . 11. 2- MASALA . 1- masala shartlarida 12. tq = (4) 13. Kattalik aniqlansin . 33 14. Ko’rinib turibdiki , 2- masalaning yechimini q(x) ni turli qiymatlarida q(х) q:(х):( ) agar ular 15. Место для формулы. Fazani bazisi bo’lishsa , (4) orqali ni topish imkonini beradi . Shu sabab navbatda faqat 2- masalani qaraymiz . Bunda ni elementi sifatida qaraladi . x=1 holatni qaraylik . 16. (4) kattalikni ifodalash uchun quyidagi formulani kiritamiz 17. Tq = 18. Bunda k(t), (0,t) ga qarashli noma’lum funksiya 19. Chiziqli masalalarda kuzatish masalasini ma’lum texnikasi [2,3] dan foydalanib к ni shunday tanlaymizki (1) – (3) dan foydalanib quyidagi tenglik bajarilsin . 20. 21. (1) ni yechimlari yordamida quyidagi ayniyatni hosil qilamiz . 22. (7) 23. Bu yerda (х, t)- ixtiyoriy funksiya . t(x, t) 24. П= 25. Gepotetik ayniyat (6) ni (7) ga qo’shamiz va bo’laklab integrallab , (2), (3) ni hisobga olib (7) ni quyidagi ko’rinishga keltiramiz . 34 26. T(o,t)dt+ + (1,t)) dt+ (8) 27. Navbatda (8) ni Т (x,t) ni oldidagi koeffitsientlarni o’ng va chap tomonlarda tenglaymiz . 28. 29. (9) 30. (х, 0) 0; (10) 31. (11) 32. t (12) 33. (x, ) x [0, 1] (13) 34. Shunday qilib ( х ,t) funksiya uchun (9)-(13) chegaraviy masala hosil bo’ladi . Bu masala yechimga ega bo’lsin deb faraz qilaylik . U holda (8) ifodada 35 35. 36. Ifoda qoladi . Bu yerdan esa (6) ifodani bajarish uchun 37. (14) 38. Bo’lishi yetarli . 39. Teorema ; (6) ifoda bajarilishi uchun (1)-(3) munosabatda (9)-(14) masalani yechimi mavjudligi yetarli . 40. Ilova . Agar k(t) ва (L,t) lar (9)-(14) ni umumlashgan yechimi deb qaralsa , teorma sharti zarurat shart ham bo’ladi . 3 . Matematik fizika tenglamalari chegaraviy masalalariga misollar Bir jinsli to`lqin tenglamasi uchun Koshi masalasini Dalamber usuli bilan yechish Misol-1. Quyidagi 2 22 22 x dx Ud dt Ud  to`lqin tenglamasining x dtdU xU tt   00 ;sin boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini Dyumel prinsiplaridan foydalanib toping. Yechish. a= 1 va xxxxxtxf  )(;sin)(;),( funksiyalar uchun Dyumel prinsipidan foydalanamiz. ),(),(),( 21 21 2 )sin()sin( ),( 3211 0 txUtxUtxUdxdxxdxtxtx txU tx txtx tx                Har bir qo`shiluvchini alohida-alohida hisoblaymiz. txtxtx txU cossin 2 )sin()sin( ),( 1   xttxtxx xdxtxU tx txtx tx        22 )()( 221 21 ),( 222 2 |                                    t t t tx tx dt x xt t x t x xt t x d t x t x d xdx tx U 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ) ( ) ( 2 1 2 1 ),(             36 222)( 22 2 02 0 0 || xtxt xtxxtdxxt ttt      Demak, masala yechimi 2cossin),( 2 xt xtxxtxU  ga teng ekan. Issiqlik tarqalishi     x dx U d a dt dU ,2 2 2 tenglamasining )( 0 xU t    boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini Furye usuli bilan      de tatxU ta x      2 2 4 )( )( 2 1 ),( Puasson integralini hisoblashga to`g`ri keladi. Misol. Ushbu     x dx U d a dt U d ,2 2 2 2 issiqlik tarqalishi tenglamasining xxU )0,( boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Yechish. Puasson formulasiga ko`ra yechim.     d e t a t x U ta x       2 2 4 ) ( 2 1 ), ( integralni hisoblash uchun    ta x 2 yangi o`zgaruvchi kiritamiz. U holda   21 21 21 ),( 2           ta detaxtxU bo`lib,      dede        22 21 ; I 1 va 2 x ex   toq funksiya ekanidan   1 va 0 2  . Demak, yechim U ( x,t )= x ekan. Bir tomoni chegaralangan sterjenda issiqlik tarqalishi    x dx U d a dt dU 0,2 2 2 tenglamaning )()0,( xxU   boshlang`ich shart hamda )(),0( ttU   chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi Furye usulida topilsin. Yechim quyidagi                     1 0 ) ( 2 3 0 4 ) ( 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 ) )(( 2 ) ( 2 1 ),(             d e t a x d e e t a tx U t x ta x ta x integral yordamida hisoblanadi. 37 1.    x dx U d dt dU 0,2 2 tenglamani a) 2 )0,( x exU   yoki b)      0,0 1,1 )0,( x x xU shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.               de ttxU tx x 4 2 2 1 ),(    0 2 cossin2 ),( dwewx w w txU tw  3 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y d dU x y d U d x yx d dU x y d d U d x y d U d x y d dU dx d dx U d                        xddU x y dd Ud x y d Ud dxdy Ud 1 22 3222      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1            d U d x d d U d x d z d d U d x d d U d x d dU d d U d x d U d dy U d              Bularni berilgan tenglamaga qo`yib,                         2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 2 2           d U d x d d U d x d U d y x d dU x y d d U d x y d U d xy x y d dU x y d U d x 0 2          ddU dxdU y xd dUy x Soddalashtirishlardan so`ng 01 22     ddU d Ud ni hosil qilamiz. 22 2 22 dx Ud a dt Ud  bir jinsli to`lqin tenglamasining )();()0,( 0 x dtdU xUxU t    boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishda Dalamber formulasidan Bir jinsli to`lqin tenglamasi uchun Koshi masalasini Dalamber usuli bilan foydalaniladi va u quyidagiga teng:    atx atx dxx aatxatx txU )( 2 1 2 )()( ),(    (1) 38 1-misol. 22 22 dx Ud dt Ud  tenglamaning 0,)0,( 02  tdtdU xxU shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini toping. Yechish. 0)(,)(,1 2  xxxa  larni (1) ga qo`ysak,       22222222 22 2 22 2 22 0 21 21 ),( txtxtxtxtxx dxtxtxtxU tx tx       2-misol. 2 2 2 2 9 dx U d dt U d   tenglamaning x dt dU x x U t cos , 2 sin )0,( 0    shartlarini qanoatlantiruvchi yechimining 2 t vaqtdagi qiymatini toping. Yechish.   xxxa cos,2sin,3    larni (1) ga qo`ysak,                   )3 sin( )3 sin( 1 2 6 cos 2 sin2 cos 3 2 1 2 )3 ( sin )3 (2 sin ),( 3 3 2 t x t x b t x dx x t x t x tx U t x t x xxxxxttx 2cos 31 2sin2cos 23sin 31 26cos2sin2cos3sin 31 6cos2sin    1. 0 2 2 2 2   dy U d dx U d Laplas teoremasining AU ayx   222 shartni qanoatlantiruvchi 222 ayx  doiradagi yechimini toping. Yechish. AU  chunki Chegaralangan torning erkin va majburiy tebranish tenglamalarini o`zgaruvchilarni almashtirish usuli bilan yechish 2 2 2 2 2 dx U d a dt U d  ni )();( 00 x dtdU xU tt     boshlang`ich va 0;0 0   exx UU 39 chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. Yechish. x e t e an t e an C t x U n n n    sin sin cos ) , ( 1           ko`rinishda bo`ladi. Bu yerda  e n xdx en x eC 0 sin)(2   va  e n xdx en x anD 0 sin)(2    . Misol. 2 2 2 2 2 dx U d a dt U d  ning x dtdU xU tt cos2;cos 00   boshlang`ich va 0;0 0    xx UU chegara shartlarini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. Yechish. C n va D n larni hisoblash uchun dastlab quyidagi integrallarni hisoblaymiz.                         e e dxx nx dxx nx dx x nx x nx nxdx x xdx e n x 0 0 0 0 0 ) sin( 2 1 ) sin( 2 1 sin sin 2 1 sin cos sin cos                                              1 cos 1 ) cos( 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ) ( cos 1 ) cos( 2 1 1 cos 1 ) cos( 2 1 2 0 | n n n n n n n n n n n n n x nx n x nx          Demak,         juftn n toqn n n ; 11 ; 11 Buni e`tiborga olsak,          juftn n toqn n nxdxxC n ; )1( 2 ; )1( 2 sincos2 0              juftn nan toqn nan annxdxx anD nn ; )1( 4 ; )1( 4 4 sincos22 0      Demak,                  x k t k a k an t k a k t x U n )1 2 sin( )1 2( sin)1 ( 2 )1 2( cos)1 ( 1 ), ( 1   40          1 2sin2sin )12( 4 2cos )12( 2 n kxakt kanak k  Navbatda torning majburiy tenranish tenglamasi ), ( 2 2 2 2 2 tx f dx U d a dt U d   ni ushbu )();( 00 x dtdU xU tt    boshlang`ich va 0;0 0   txx UU chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topamiz. Yechimni ),(),(),( txWtxVtxU  ko`rinishda axtaramiz. Bunda 2 2 2 2 2 ),, ( dx V d a dt V d tx V  tenglamani )();( 00 x dtdV xV tt     boshlang`ich va 0;0 0   exx VV chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim va ),( txW – funksiya esa ), ( 2 2 2 2 2 tx f dx W d a dt W d   tenglamani 0;0 00   tt dtdW W boshlang`ich va 0;0 0   exx WW chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Uni e xk tVtxW n k  sin)(),( 1     yig`indi ko`rinishga axtaramiz. Bunda dt e rtak tg aktV t kk )( sin)(1 )( 0      va dx e xk txf etg e k    0 sin),(2 )( Issiqlik o`tkazish tenglamasini Furye almashtirishlari usuli bilan yechish Chegaralangan sterjenda issiqlikni tarqalishi Issiqlik tarqalishi     x dx U d a dt dU ,2 2 2 tenglamasining )( 0 xU t    boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini Furye usuli bilan      de tatxU ta x      2 2 4 )( )( 2 1 ),( Puasson integralini hisoblashga to`g`ri keladi. Misol. Ushbu     x dx U d a dt U d ,2 2 2 2 issiqlik tarqalishi tenglamasining xxU )0,( boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. 41 Yechish. Puasson formulasiga ko`ra yechim.     d e t a t x U ta x       2 2 4 ) ( 2 1 ), ( integralni hisoblash uchun    ta x 2 yangi o`zgaruvchi kiritamiz. U holda   21 21 21 ),( 2           ta detaxtxU bo`lib,      dede        22 21 ; I 1 va 2 x ex   toq funksiya ekanidan   1 va 0 2  . Demak, yechim U ( x,t )= x ekan. Bir tomoni chegaralangan sterjenda issiqlik tarqalishi    x dx U d a dt dU 0,2 2 2 tenglamaning )()0,( xxU   boshlang`ich shart hamda )(),0( ttU   chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi Furye usulida topilsin. Yechim quyidagi                     1 0 ) ( 2 3 0 4 ) ( 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 ) )(( 2 ) ( 2 1 ),(             d e t a x d e e t a tx U t x ta x ta x integral yordamida hisoblanadi. Misol-1. Quyidagi to`plamlar maydon bo`ladimi? 1. Qba , bo`lganda   2ba  to`plam maydon bo`ladimi? Yechish. Buning uchun 0,0  dc da    222 1 nmdcba   ekanini ko`rsatish lozim. Chunki   2ba  to`plam komutativ halqa bo`ladi. Demak,          2 2 1 2 2 ) ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 d c ad bc bd ac d c d c d c b a d c b a d c b a                 Agar , 2 2 22 m dc bdac    n dc adbc    22 2 desak, oxirgi ifoda 2nm  ko`rinishni oladi. Demak, qaralgan to`plam maydon bo`lar ekan. 2. Qba , bo`lganda 3ba  ko`rinishdagi sonlar to`plami 3. p tub son va Zba , bo`lganda barcha pba  ko`rinishdagi sonlar to`plami. Misol-2. Quyidagi funksiyalar sath chiziqlarini ko`ring. 1. x 2 +y 2 =Z 2 42 Yechim. Z=1, 2, … qiymatlar berib, x 2 +y 2 =1, x 2 +y 2 =2, x 2 +y 2 =3, … markazi koordinata boshida va radiusi ,...3,2,1 aylanalarni hosil qilamiz. 2. Z=x–y 3. x y Z  4. Z=x 2 –y 2 Misol-3. Sath sirtini quyidagi funksiyalar uchun quring. 1. U=(x+y+z)! 2. U=y 2 +z z Misol-4. dxdU ni quyidagi funksiyalar uchun toping. 1. yx U 2  ni M(1,1) nuqtada yo`nalish bo`yicha yo`naltiruvchi kosinuslarda burchaklar                  2 , 4 7 , 2 3 , 2 5 , , 4 3 ,2 ,4 ,0          Yechish. 0  bo`lsin.   coscos dxdU dxdU dxdU M      0 sin cos 2 ;1 cos 0              22           ydxdU M Misol-1. 22 )( zxyMF  skalyar maydonda M(2,1,-1) nuqtada gradiyentini toping. ;12  M M y dxdF ;42  Mxy dydF 22  M M z dzdF Gradiyent formulasiga ko`ra k dzdF j dydF i dxdF gradF  yoki kjigradF 24  Misol-2. M(-2,3,4) nuqtada U=x-y . z skalyar maydon gradiyentini toping. Formulaga ko`ra     k j i xy xz yz M dz dU M dy dU M dx dU M gradU M 6 8 12 6 ,8 , 12 , , ) ( ), ( ) ( ) (            43 Asosiy adabiyotlar. 1. N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. II tom. O`qituvchi. 1974 y. (257-260-betlar) 2. T.N.Nurimov. Matematik fizika metodlari. O`qituvchi. 1988 y . (10-17- betlar ) 3. G . N . Berman . Сборник задач по курсу математического анализа. Moskva. 1921 y. (286-287-betlar) 4. Yo.U.Soatov. Oliy matematika. O`qituvchi. 1998 y. (87-168-betlar) Qo`shimcha adabiyotlar. 1. В.Ф.Бутузов, Н.Ч.Крутицкая, Г.Н.Медведев, А.А.Шишкин. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. Москва. Высшая школа. 1988 г. (198-223-страницах) 2. Л.А.Канницкий, Д.А.Добротен, В.Ф.Жевержеев. Специальный курс высшей математики для втузов. Москва. Высшая школа. 1976 г. (8-26- страницах) 3. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва. Высшая школа. 1986 г. (262-265-страницах) 4. В.С.Владимиров, П.А.Михайлов, А.А.Вашарин, Х.Х.Каримова, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. Сборник задач по уравнениям математической физике. Москва. Наука. 1974 г. (29-32-страницах) 1. В.Ф.Бутузов, Н.Ч.Крутицкая, Г.Н.Медведев, А.А.Шишкин. Математический анализ в вопросах и задачах. (Функ. несколь. пер.) Москва. Высшая школа. 1988-г. (198-285-стр.) 2. Л.А.Кальницкий, Д.А.Добротин, В.Ф.Жевержеев. Срециальный курс высшей математики для ВТУЗов. Москва. Высшая школа. 1976-г. (5-173-стр.) 3. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уровнения математической физике. Москва. 1966-г. 44 4. Е.У.Соатов. Олий математика. 5 том. Тошкент. Укитувчи. 1998-й. (4- 119-бетлар) 5. Н.С.Пискунов. Дифференциал ва интеграл хисоб. 2-том. Укитувчи. 1974-й. (257-260-бетлар) 6. Г.Н.Нуримов. Математик физика методлари. Укитувчи. 1988-й. (10-17- бетлар) 7. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва. 1971-г. (286-287-стр.) 8. П.Е.Данко, А.Г.Попов, К.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва. Высшая школа. 1976-г. (8-26-стр.) 9. В.С.Владимиров, П.А.Михайлов, А.А.Вашарин, Х.Х.Каримова, Ю.В.Сидиров, М.И.Шабунин. Сборник задач по уравнениям математической физики. Москва. Наука. 1974-г. (29-32-стр.) 10. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демедович. Краткий курс высшей мате атики. Москва. Гл. ред. физ. мат. литератур. 1989-г. (377-398-стр.) 11. А.К.Власов. Курс высшей математики. Москва. 1938-г. (113-136-стр.) XULOSA Ish kirish, ikki bob, xulosa va adabiyotlar royxatidan iborat bolib,ishning k irish qismida ishning dolzarbligi,obzori va uning tuzilishi haqida gap boradi.Xuddi shunday ishning uslubiyligi va tadbiqi haqida yozilgan.Ishning birinchi bobi ishda qaraladigan asosiy tushunchalarga baqishlanib,uc h paragrafdan iborat va ular differensial tenglamalar,koshi masalasi,laplas operatori,matematik fizika tenglamalari hamda shturm-liuvill macalalariga bagishlangan,Unda ikkinchi tartibli xsusiy xosilali differensial tenglamalar,shu tenglamalar uchun koshi masalasi,matematik fizika tenglamalar va shturm-liuvill masalalari qaralgan. Ikkinchi bobda uchta paragraph bolib,ular-issiqlik tarqalish tenglamasi masalasi,diffuziya masalasi va matematik fizika tenglamalari chegaraviy masalalariga misollar qaralgan. .Birinchi paragrafda issiqlik tarqalish tenglamasi keltirilib chiqarilgan..Ikkinci paragrafda diffuziya tenglmasi keltirilib chiqarilqan.Uchinchi paragrafda matematik fizika tenglamalari chegaraviy 45 masalariga misollar keltirilgan. Huddi shunday misollar tenglama va chegaraviy masalalar hamda echish usullariga kora turlarga ajratilgan..Ishda quyidagi natijalar olingan. 1.Issiqlik tarqalishi tenglamasti formulasi keltirilib chiqarilgan hamda ular yordamida chegaraviy masalalarni hisoblanishi analitik hamda misollarda acoclangan. 2.Diffuziya tenglamasti formulasi keltirilib chiqarilgan hamda ular yordamida chegaraviy masalalarni hisoblanishi analitik hamda misollarda acoclangan. nazariy hamda ama liy misollar yordamida asoslangan. 3. matematik fizika tenglamalari chegaraviy masalariga misollar keltirilgan. 4. Misollar tenglama va chegaraviy masalalar hamda echish usullariga kora turlarga ajratilgan..Ishda quyidagi natijalar olingan. 46

 

“Chegaraviy masalalar”

KIRISH

I-bob. Ish uchun zarur tushunchalar

1§Diffrencial tenglamalar.Laplas tenglamasi.

2§.Matematik fizika tenglamalari

3§.SHturm-Luivil masalasi

II-bob. CHEGARAVIY MASALAR VA ULARNING ECHIMI

1§. Issiqlik tarqalishi masalsi……………………………….

2§. Diffuziya tenglamasi masalasi…………………...

3§. Matematik fizika tenglamalari chegaraviy masalalariga misoiiar………………………………………………………

Xulosa……………………………………………………….

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati…………………

 

 

 

 

 


 

KIRISH

Ish matematik tahlil, maydon nazariyasi va matematik fizika tenglamalarining ayrim qismlariga bag‘ishlangan bo‘lib, undan pedagogika institutlari talabalari matematik fizika tenglamalari fanidan mustaqil ish yozishda, nazorat ishlarini bajarishda foydalanishlariga mo‘ljallangan. 

Ishda rejada ko‘rsatilgan mavzularning qisqacha nazariy qismi unga mos misollar ishlab ko‘rsatilgan va ishlash lozim bo‘lgan misollar namunalari berilgan. Ishda mualliflarning ko‘p yillik mehnat natijalari va qator adabiyotlardan foydalanilgan. Ish ikki bob/- maydonlar nazariyasi va matematik fizika tenglamalaridan iborat bo‘lib, unda skalyar va vektor maydonlar, skalyar maydon gradiyenti, skalyar va vektor maydon sath chizig‘i va sath sirti, yo‘nalish bo‘yicha hosila vektor oqimi, maydon divergensiyasi, maydon ratori uyurmasi, 2-tartibli xususiy hosilali diffirensial tenglamalar 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani sodda (kanonik) ko‘rinishga keltirish, tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish, bir jinsli tor tebranishi tenglamasi uchun koshi masalasining yechish, cheksiz tor uchun dalamber formulasi, bir jinsli to‘lqin tenglamasi uchun koshi masalasini dalamber usuli bilan yechish,  issiqlik o‘tkazish tenglamasini fur|ye almashtirishlari usuli bilan yechish, chegaralangan sterjenda issiqlikni tarqalishi qaralgan.

Matematik fizika tenglamasiga biror masala qo’yilgan bo’lsa, bu masalaning yechimi albatta boshlang’ich va chegaraviy shartlardagi funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar odatda tajriba yo’li bilan aniqlanadi va shuning uchun ular juda aniq topilishi mumkin emas, chunki fizik kattaliklarni o’lchashda ba’zi xatolikka yo’l qo’yiladi.

         Boshlang’ich va chegarviy shartlarni Hosil qilishda yo’l qo’yilgan xatolik qanchalik ta’sir qilishini aniqlash Ham muHim aHamiyatga ega. Boshlang’ich, chegarviy shartlarning ozgina o’zgarishiga yechimning juda katta o’zgarishi mumkin. Bunday Hollarda bu yechimlardan amalda foydalanish yaxshi natija bermaydi. Agarmasalada boshlang’ich, chegaraviy shartlarning va tenglama ozod Hadining ozgina o’zgarishiga yechimning Ham ozgina o’zgarishimos kelsa, bunday masala yechimi turg’un deyiladi. Agar matematik fizika masalasining yechimi mavjud, yagona va turg’un bo’lsa, u Holda bunday masala korrekt (to’g’ri) qo’yilgan deyiladi.

         Agar matematik fizika masalasining yechimi bu shartlarning istalgan biri (birortasi) bajarilmasa bunday masala korrekt  qo’yilmagan masala deyiladi. Matematik fizika tenglamalariga yuqorida qo’yilgan masalarning Hammasi korrekt qo’yilgandir. Korrekt qo’yilmagan masalalar Ham ko’p uchraydi, masalan Ademar masalasini ko’raylik.

                                                                                      (1)

tenglamada chegaraviy shartlar

                                                                      (2)

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Bu masalaning yechimi bo’lib, u yagonadir; ya’ni korrektlik shartlarining ikkitasi bajariladi. Uchinchisi to’g’riligini tekshiramiz. Buning uchun boshlang’ich shartlarning birini ozgina o’zgartirib, yechimning qanday o’zgarishini aniqlash kerak. 

(1) ning 

                                                             (2’)

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak.

         (2’) dagi birinchi shart (2) shartdagi birinchi shartdan (yetarli katta lar uchun) ozgina farq qiladi.

         Haqiqatan,

                                     

Tekshirib ko’rish mumkinki, (1), (2’) masalaning yechimi

                                              

dan iborat bo’ladi. Bu esa lar uchun chegaralanmagan funksiyadan iborat . Bundan ko’rinadiki, keyingi masalaning yechimi oldingi masalaning yechimidan absolyut qiymat bo’yicha juda katta farq qiladi, ya’ni boshlang’ich shartni ozgina o’zgartirishimiz bilan yechim juda katta o’zgarib ketayapti. Masala yechimi turg’un emas, bu esa (1),(2) masala korrekt qo’yilmagandir.

 


 

Купить