Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 836.5KB
Покупки 0
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Chegaraviy masalalarni yechishda variatsion

Купить
MUNDARIJA KIRISH .......................................................................................................... 3 I.BOB CHEGARAVIY MASALA VA UNING YECHISH USULLARI. 5 1.1 Chegaraviy masala tushunchasi ................................................................ 5 1.2 Differensial progonka usuli ...................................................................... 8 1.3 Variatsion masalalar bilan chegaraviy masalalarning o’zaro aloqasi . . . . . 12 1.4 Proyeksion usullar bilan chegaraviy masalalarning o’zaro bog’liqligi . . 18 II.BOB VARIANTSION VA PROYEKSION USULLAR .................... 21 2.1 Rits metodi .............................................................................................. 21 2.2 Galyorkin metodi ................................................................................... 25 XULOSA ...................................................................................................... 29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................... 30 KIRISH Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko’plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi. Boshlang’ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng ma’noda bo’lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir. Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz. Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish imkonini beradi. Xususan, bu usullar o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng qo’llaniladi. Bunday tenglamalar ko’plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o’xshash. Taqribiy usullar kompyuterlar paydo bo’lmasidan ancha avval ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda ham ularning ko’pchiligi amaliyotda o’z mazmunini yo’qotgani yo’q. Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga bo’linadi: taqribiy-analitik usullar (boshlang’ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini biror funksiya ko’rinishida izlash); sonli yoki to’r usullar (boshlang’ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish). Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig’ilgan hisoblash tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo’l qo’yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va 2 yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir. Hozirgi kunda ko’plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega. Buning uchun esa oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim bo’ladi. Umuman olganda, oddiy differensial tenglama bilan berilgan chegaraviy masala: yagona yechimga ega; yechimga ega emas; bir nechta yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’lisi mumkin. Chegaraviy masalani boshlang’ich masalaga keltirib yechish usullarining asosiy g’oyasi – bu berilgan chegaraviy masala parametrlarining cheklangan qiymatlarida unga mos qilib tuzib olingan bir yoki bir nechta har xil qiyinlikdagi Koshi masalalarini yechishdan iborat. Mazkur ishda ana shunday usullardan variatsion va proyeksion usullari o’rganilgan. Kurs ishining maqsadi : Chegaraviy masalalalarni yechishda variatsion va proyeksion usullardan foydalanishni hamda masalarni yechishda ushbu usullarni qo’llashni o‘rganish. Kurs ishining dolzarbligi: Talaba larni “Hisoblash usullari” fanidan tayyorgarligini rivojlantirishda chegaraviy masalalarni yechishda variatsion va proyeksion usullarni o‘rgatish muhim ahamiyatga ega. B unday masalalar talaba larda chegaraviy masalalarni yechish usullarini shakllan ishida yordam beradi . 3 I. BOB CHEGARAVIY MASALA VA UNING YECHISH USULLARI 1.1 Chegaraviy masala tushunchasi Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchini, izlanayotgan funksiyani va uning hosilalarini o’z ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglama (1.1) kabi belgilanadi, bu yerda – eng yuqori tartibli hosila bo’lib, u differensial tenglamaning tartibi deb ataladi. Agar izlanayotgan funksiya faqat bitta erkli o’zgaruvchidan bog’liq bo’lsa, u oddiy differensial tenglama deb ataladi. Bu differensial tenglamaning aniq yechimini topish uchun qo’shimcha shartlar zarur bo’ladi. Bu shartlar ikki turda bo’lishi mumkin:  Boshlang’ich shartli Koshi masalasi, bunda qo’shimcha shart erkli o‘zgaruvchining bitta qiymatida berilgan bo‘ladi, masalan, nuqtada funksiyaning qiymati, balki va hokazo qiymatlari ham berilgan bo‘lishi mumkin;  chegaraviy masala – chegaraviy shartlar bilan berilgan masala, bunda qo’shimcha shartlar erkli o’zgaruvchining ikki yoki undan ortiq nuqtalarda beriladi, masalan, nuqtada funksiyaning qiymati va nuqtada funksiyaning qiymati. Chegaraviy masalaning qo’yilishi uchun kamida ikkita birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi yoki tartibi ikkidan kam bo’lmagan bitta differensial tenglama berilgan bo’lishi lozim. Chegaraviy masalanig qo’shimcha shartlari kesmaning chetlarida yoki uning ichki nuqtalarida (bunday shartlar ichki chegaraviy shartlar deb ataladi) berilishi mumkin. 4 Chegaraviy shartlar bir necha funksiyalarning, ularning hosilalarining yoki funksiya va uning hosilalari kombinasiyalarining yechim izlanayotgan kesmaning bitta yoki bir nechta nuqtalaridagi qiymatlarini o’zaro bog’lashi mumkin. Endi chegaraviy masalaning umumiy qo’yilishini keltiraylik. Faraz qilaylik, ushbu oddiy differensial tenglama quyidagi chegaraviy shartlar bilan berilgan bo’lsin: (1.2) Bu yerda , – ularning o’zgarish sohasida berilgan va ko’rsatilgan argumentlarning funksiyalari bo’lsin. va kesmaning o’ng va chap chegaralarida berilgan mos shartlar soni. Bu shartlarning umumiy soni berilgan differensial tenglamaning tartibiga teng. Berilgan kesmada yuqoridagi differensial tenglamani va uning mos chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi funksiyani topish talab etiladi. Agar bu tenglama va uning chegaraviy shartlari izlanayotgan funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda bunday chegaraviy masala chiziqli chegaraviy masala deb ataladi. Xususiy holda, soddalik uchun, hisoblash amaliyotida ko’p uchraydigon ikkilik tartibli differensial tenglama uchun quyidagi ko’rinishda yoziladigan chiziqli chegaraviy masala holini qaraylik: 5 (1.3) (1.4) bu yerda – berilgan funksiyalar; – berilgan sonlar, Bu berilgan tenglama va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish talab qilinadi. Chegaraviy shartlarda bajarilganda kesmaning oxirlarida izlanayotgan funksiya va uning hosilasi qiymatlarini o’zaro bog’lovchi chiziqli bog’lanish beriladi. Sodda holda, agar bo’lsa, u holda kesmaning oxirlarida funksiyaning faqat qiymatlarigina beriladi. Bunday funksional shartlar birinchi tur chegaraviy shartlar va bunga mos masala esa birinchi chegaraviy masala deb ataladi. Agar bo’lib, kesmaning oxirlarida faqat funksiya hosilasining qiymatlari berilgan bo’lsa, u holda bunday shartlar differensial shartlar, chegaraviy shartlar esa ikkinchi tur yoki “yumshoq” chegaraviy shartlar deb ataladi. Bu chegaraviy shartlarning “yumshoq” deb atalishining sababi bunday shartlar kesmaning oxirlarida funksiyaning qiymatini emas, balki integral egri chiziqlarning og’ishini ifodalaydi. Bunga mos chegaraviy masala ikkinchi chegaraviy masala deb ataladi. Umuman olganda, va (yoki) ; va (yoki) nolga teng bo’lmasa, u holda chegaraviy shartlar funksional-differensial xarakterga 6 ega yoki uchinchi tur chegaraviy shartlar, chegaraviy masalaning o’zi esa uchinchi chegaraviy masala deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechish, umuman olganda, quyidagi guruhlarga bo’linadi: 1. Koshi masalasiga (ya’ni boshlang’ich masalaga) keltirib yechiladigan usullar (o’q otish usuli, reduksiya usuli, differensial progonka usuli va hokazo); 2. chekli ayirmalar usuli; 3. balanslar usuli yoki integro-interpolyatsion usul; 4. kollokatsiyalar usuli; 5. proyeksion usullar (momentlar usuli, Galyorkin usuli); 6. variatsion usullar (kichik kvadratlar usuli, Rits usuli); 7. proyeksion-ayirmali usullar (chekli elementlar usuli); 8. Fredgolm integral tenglamalariga keltiriladigan usullar va hokazo. Yuqorida sanab o’tilgan 4)-6) usullar taqribiy yechimni berilgan biror funksiyalar oilasiga (masalan, o’zaro chiziqli bog’lanmagan biror funksiyalar sistemasining chiziqli kombinatsiyasiga) keltiradi; 1)-3), 7) usullar taqribiy yechimning sonli qiymatlari jadvalini tuzadi; 8) usulda esa har xil variantlar bo’lishi mumkin. Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sof to’r usullar ancha sodda, oldindan berilgan aniqlikda berilgan to’rda yechimni qurish texnikasi juda sodda bo’lib, uni nazorat qilish ham oson, masalan, Runge qoidasi bilan. Ammo, taqribiy-analitik usullar ancha ustunlikka ega, buni yechimning funksional ifodasi aniqligida va ba’zi chegaraviy masalalar klassik ma’noda yagona yechimga ega bo’lmaganda chegaraviy masalaning umumlashgan yechimiga juda yaxshi yaqinlashishga erishish mumkinligida ko’ramiz. 1.2 Differensial progonka usuli Ikkinchi tartibli oddiy diffrensial tenglama berilgan bo`lsin: 7 (1.5) (1.6) Berilgan tenglamani yechishda differensial progonka usulini bayon qilishdan oldin (1.5) tenglamani yechish masalasi, 2 ta Koshi masalasini yechishga kelish usulini chiqaramiz. Faraz qilaylik, (1.6) chegaraviy shartlarni parametrlar va shartlarni qanoatlantirsin. U holda (1.5) tenglamani quyidagi ko`rinishda izlaymiz: (1.7) Bu yerda, -noma’lum doimiy koeffitsiyent, funksiya (1.5) tenglamaga mos bo`lgan (1.8) bir jinsli tenglamani yechimidan iborat bo`lib, funksiya esa (1.5) tenglamaga mos bo`lgan bir jinslimas (1.9) tenglamaning yechimidir. Hosil bo`lgan (1.8) va (1.9) tenglamalar uchun boshlang`ich shartlar (1.7) yechimni nuqtada (1.8) shartni qanoatlantirishdan kelib chiqariladi, ya’ni (1.10) Bu yerda, ixtiyoriy doimiy son. Agar (1.6) chegaraviy shartda bo`lsa, u holda 8 (1.11) deb olish mumkin, bo`lsa, (1.12) Shunday qilib, (1.5) va (1.6) chegaraviy masala (1.8), (1.10) va (1.9), (1.11) yoki (1.12) Koshi masalalarini yechishga keltiriladi. Yuqoridagi (1.7) yechimda soni yechimni (1.6) shartning nuqtadagi ko`rinishidan topiladi, ya`ni (1.13) Bundan ko`rinadiki, parametr mavjud bo`lishi uchun shart bajarilishi zarur ekan. Bu holda chegaraviy masala yagona yechimga ega bo`ladi. Agarda bo`lsa, chegaraviy masala yoki yechimga ega emas yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Bu usul nazariy jihatdan soddaligi uchun juda qulay bo`lib, ko`pgina hollarda katta xatoliklarga ham olib kelishi mumkin. Chunki, (1.8) tenglamaning yechimi ning o`sishi bilan absolyut qiymati bo`yicha o`sa boshlaydi, ayniqsa bu o`sish funksiyaning oraliqda qiymati katta bo`lgan holda juda tez bo`ladi. Shuning uchun sonli usullar yordamida tez o`suvchi yechimni qidirganda kesmaning oxirgi nuqtasida katta xatolikka olib keladi. Bu esa (1.3) formuladan o`zgarmas sonni qo`pollik bilan topishga olib keladi. Bunday qiyinchiliklardan qutulish yo`llaridan biri sifatida differensial progonka usuli tavsiya qilinadi. Bu usulning g`oyasi asosida chegaraviy ikkinchi tartibli differensial tenglamaning yechish masalasi, uchta birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarga Koshi masalalarini 9 yechishga keltiriladi. Faraz qilaylik, (1.3) tenglamaning yechimi va uning birinchi differensiali quyidagicha bog`langan bo`lsin: (1.14) Bu yerda, va funksiyalar keyinchalik aniqlanadigan noma’lum funksiyalardir. (1.14) tenglamani yana bir marta differensiallaymiz, ya`ni va larni (1.3) ga qo`ysak, quyidagi differensial tenglamani hosil qilamiz: yoki Bu yerda yechim noldan farqli bo`lganligi uchun quyidagicha yozish mumkin: (1.15) (1.16) Bu tenglamalar uchun boshlang`ich shartni nuqtada (1.6) ifodalarning birinchi tenglamasidan foydalanib topamiz: yoki Bu yerdan quyidagilarni yozib olamiz: (1.17) Demak, 10 (1.18) Shunday qilib, (1.5), (1.6) masala (1.15), (1.16) birinchi tartibli differensial tenglamalarning va (1.17), (1.18) boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalarni topishga keltirildi. funksiyalarni oraliqda topilgandan so`ng bo`ladigan (1.14) dan (1.19) ifodani hosil qilamiz. Shu bilan (1.6) chegaraviy shartdan foydalanib (1.17) boshlang`ich shart yordamida (1.15) va (1.16) tenglamalarni yechib, kesmaning chap qismidan o`ng qismiga haydab o`tib, to`g`ri haydashni (progonka) amalga oshirdik. Endi (1.19) ifoda va nuqtada (1.6) chegaraviy shartdan foydalanib, funksiyaning kesmaning o`ng tomonidagi, ya’ni nuqtadagi qiymatini topamiz (1.20) demak, (1.14) differensial tenglama uchun (1.20) ifoda boshlang`ich shart bo`ladi va yana Koshi masalasi hosil bo`ladi. (1.14) tenglamani o`ngdan chapga qarab integrallab, (1.5-1.6) chegaraviy masalaning yechimini topamiz. Bu jarayonga teskari haydash deyiladi. (1.14), (1.20), (1.15), (1.17), (1.16), (1.18) Koshi masalalariga o`xshash masalalar uchun, yechish jarayonida tez o`suvchi yechim uchramasligi va bu masalalarni yechishda sonli usullarning qo`llanilishi katta xatolar yig`ilishiga olib kelmasligi, ya`ni haydash(progonka) usuli turg`un ekanligi nazariy tomondan isbot qilingan. 1.3 Variatsion masalalar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro aloqasi Variatsion hisobning dastlabki masalalari XVII asrda yuzaga kelgan bo`lib, 11 o`sha vaqtdan boshlab variatsion hisob matematikaning muhim tarmog`i sifatida rivojlanib kelmoqda. Variatsion hisob funksionallarning ekstremumini topish bilan shug`ullanadi. Variatsion masalalarga braxistoxrona (Ya.Bernulli), nurning bir jinsli bo`lmagan muhitda tarqalish yo`lini topish (P.Ferma) va o`q bo`ylab aylanma harakat qilib siljiyotgan jism eng oz qarshilikka uchrashi uchun uning shakli qanday bo`lishi kerakligi (I.Nyuton) haqidagi masalalar kiradi. Variatsion hisob masalalarini yechishga L.Eyler katta xissa qo`shgan. Variatsion hisob metodlari mexanika, boshqaruv nazariyasi, matematik-fizika va shu kabi sohalarda keng qo`llaniladi. Bu sohalarda masalalarni yechish uchun uni yo differensial tenglama yoki biror funksionalning minimumini topishga keltiriladi. Bu bobda qaraladigan metodlar ham kollokatsiya metodi kabi taqribiy yechimni analitik shaklda ifodalaydi. Masalaning mohiyatini tushunish uchun eng sodda (1.21) funksionalni qaraymiz, bunda berilgan funksiya bo`lib, uch o`lchovli Evklid sohasining biror sohasida o`zgarmaslarga nisbatan ikkinchi tartibli hosilalargacha uzluksizdir. Faraz qilaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo`lib, da uzluksiz hosilaga ega va ning chekka nuqtalarida (1.22) shartlarni qanoatlantirsin. funksiyaning -atrofida deb funksiyalarning shunday oilasiga aytiladiki, ular ning barcha nuqtalarida 12 tengsizlikni qanoatlantirsin, da uzluksiz hosilaga ega va (1.22) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bunday oilaga kiradigan funksiyalar taqqoslashga joiz yoki sodda qilib joiz funksiyalar deyiladi. Variatsion hisoblashning asosiy masalasiga ko`ra joiz funksiyalar orasida shunday funksiyani topish kerakki, u (1.1) funksionalga absolyut minimum bo`lsin: endi oilada funksionalga minimumni ta’minlaydigan uchun zaruriy shartni topamiz. Shu maqsadda (1.23) shartlarni qanoatlantiradigan uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funksiyani olamiz. Keyin ushbu funksiyani qaraymiz. Bunda - kichik parametr, shuning uchun ham oilada yotadi, deb faraz qilishimiz mumkin. Bu funksiyani funksionalga qo`yamiz, u holda (1.24) ifoda kelib chiqadi. Bu ifodani ning funksiyasi deb qaraymiz: . Bu funksiya hosilasininng nuqtadagi qiymatini funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va kabi belgilanadi: xuddi shunga o`xshash 13 qiymat funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi. (1.24) ifodadan va variatsiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz: (1.25) (1.26) Endi (1.3) chegaraviy shartlarni hisobga olib, (1.5) ni bo`laklab integrallaymiz: (1.27) Ma’lumki, ning nuqtada ekstrimumga ega bo`lishining sharti ya’ni uchun ham (1.27) tenglikda funksiyaning ixtiyoriyligidan (1.22) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan va (1.21) integralni minimumini ta`minlaydigan funksiya (1.28) differensial tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu tenglama Eyler tenglamasi deyiladi. Shuni ham ta’kidlash kerakki, funksionalga minimumni ta’minlasa, u holda bo`lishi kerak. Misol sifatida, (1.29) 14 funksionalni olamiz. Bu yerda da uzluksiz hosilaga ega bo`lib, shartni qanoatlantiradi, va funksiyalar esa uzluksiz bo`lib, deb faraz qilamiz. Ravshanki, shuning uchun ham (1.9) integral uchun Eyler tenglamasi ga yoki (1.30) chegaraviy masalaga keladi; bu yerda chegaraviy shartlarning bajarilishi funksiyaning D oilaga kirishidan kelib chiqadi. Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbot qildik: 1-teorema . Agar funksiya joiz funksiyalar orasida (1.29) funksionalning minimumini ta’minlasa, u holda u (1.10) chegaraviy masalaning yechimi bo`ladi. Endi teskari teoremani ko`rib chiqamiz. 2-teorema. Agar funksiya (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lsa, u holda u joiz funksiyalar orasida funksionalning minumimini ta`minlaydi. 15 Isboti. Faraz qilaylik (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lsin. Ixtiyoriy joiz funksiyani olib, belgilash kiritamiz, va funksiyalar oraliqning chegaralarida bir xil qiymatlarni qabul qilganligi uchun funksiya uzluksiz hosilaga ega bo`lib, shartlarni qanoatlantiradi. Endi ni (1.29) integralga qo`yamiz: (1.31) O`rtadagi integralning birinchi hadini bo`laklab integrallaymiz, natijada kelib chiqadi. Chunki yechim (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lib, . Shuning uchun ham (1.31) tenglik quyidagi (1.32) ko`rinishga ega bo`ladi. Boshida qo`yilgan shartga ko`ra va . Shuning uchun ham (1.12) dagi oxirgi had manfiy emas har qanday joiz funksiya uchun 16 tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bundan tashqari, tenglikdan manfiy bo`lmagan uzluksiz funksiya bo`lganligi uchun da ekanligi kelib chiqadi. Ma`lumki, . Shuning uchun ham va bo`lishi kerak. Ammo oraliqning chegaralarida nol bo`lganligi uchun da aynan nol bo`lishi kerak. Demak, faqat bo`lgandagina bajariladi. Teorema isbotlandi. 1.4 Proyeksion usullar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro bog`liqligi Biz oldingi boblarda chegaraviy masalalarni chekli ayirmali metodlar va variatsion metodlar bilan taqribiy yechish masalasini ko`rib chiqgan edik. Bu metodlarning har birining ustunliklari va kamchiliklari bor. Agar differensial operator musbat aniqlangan va simmetrik bo`lsa, variatsion metodni qo`llash natijasida hosil bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi ham musbat aniqlangan va simmetrik bo`ladi. Ammo bu matritsa to`la, ya`ni noldan farqli elementlari juda ko`p bo`ladi. Shuning uchun ham matritsaning tartibi katta bo`lsa, bunday masalani yechish uchun juda katta mehnat talab qilinadi. Ikkinchi tomondan, chekli-ayirmali metodda matritsa uch diagonalli bo`lib, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi siyrak bo`ladi. Ammo differensial operator musbat aniqlangan holda sistemaning matritsasi musbat aniqlanmagan bo`lishi mumkin. Keyingi yillarda shunday metodlar yaratila boshladiki, ular variatsion va ayirmali metodlarning ijobiy tomonlarini o`zida mujassamlashtirgan. Bu metodlar variatsion ayirmali metodlar deyiladi. Bunday metodlarni ko`rish uchun variatsion 17 metodlarda bazis funksiyalar sifatida chekli bardoshli funksiyalardir. Bunday funksiyalar yechim mavjud bo`lgan sohaning faqat kichik qismidagina noldan farqlidir. Biz bilamizki, agar (1.33) funksional aniqlangan sohada yechimi bo`ladi. Aksincha, agar yechim (1.33) funksionalning aniqlanish sohasida uning uchun minimumini ta`minlaydi. Variatsion-ayirmali metodning mohiyati tushunchasi uchun to`rda (1.34) finit funksiyalarni olib, ularni bazis funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Finit funksiyaning orqali belgilanadi, bu holda . Taqribiy yechimini ko`rinishida qidiramiz, bu yerda koeffitsiyentlarni variatsion algoritm bo`yicha aniqlaymiz. Bu holda (1.1) funksional uchun minimum ta`minlash shartida (1.35) tenglamalar sistemasini kelib chiqadi. (1.6), (1.7) formulaga ko`ra 18 (1.36) Uncha nurakkab bo`lmagan hisoblashlardan , lar uchun quyidagilarni hosil qilamiz: (1.37) Shunday qilib, variatsion algoritm (1.3) finit funksiyaga qo`llash natijasi bilan (1.19) tenglamalar sistemasiga keltiriladi. Bu qandaydir ayirmali tenglama bo`lib, ayrimlari metodlarda hosil bo`ladigan tenglamalarga o`xshashdir. Bu sistemaning matritsasi uch diagonalli bo`ladi. 19 II.BOB VARIANTSION VA PROYEKSION USULLAR 2.1. Rits metodi Rits metodi variatsion masalaning taqribiy yechishga mo`ljallangan. Soddalik uchun biror chiziqli funksiyalar to`plamida aniqlangan ushbu (2.1) funksiyalarni qaraymiz, bu yerda -musbat simmetrik chiziqli operator, - berilgan uzluksiz funksiya. Faraz qilaylik, sinfning funksiyalari quyidagicha chekli chegaraviy shartni qanoatlantirsin: (2.2) Bu yerda -ma`lum chiziqli funksional, - berilgan funksiya. Endi yetarlicha chiziqli erkli funksiyalar ketma- ketligini shunday tanlaymizki, bir jinsli bo`lmagan chegaraviy shartni qanoatlantirib, qolganlari bir jinsli shartlarni qanoatlantirsin: Chegaraviy ushbu (2.3) chiziqli kombinatsiyani olamiz, bo`lganligi sababli ixtiyoriy uchun . Endi (2.1), (2.2) variatsion masalaning yechimini (2.1) ko`rinishda izlaymiz. Buning uchun ifodani (1.2) funksionalga qo`yib, quyidagiga ega bo`lamiz: 20 (2.4) Bunda ta o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan ma’lum funksiya. Biz larni shunday tanlashimiz kerakki, minimalga erishsin. Buning uchun sonlar quyidagi (2.5) tenglamalar sistemasini yechimi bo`lishi kerak. Bu sistemani yechib, ga minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (2.3) ga qo`yib, kerakli taqribiy yechimlarni hosil qilamiz: (2.6) Shuni ta’kidlash kerakki, muayyan holda bu taqribiy yechimni topish jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim hollarda funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda lar nisbatan ikkinchi darajali ko`phad bo`lib, (2.5) sistema larni nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo`ladi. Amaliyotda yetarlicha aniqlikka erishish uchun xatto ayrim hollarda deb olsak ham yetarli bo`ladi. Rits metodi bilan eng sodda chegaraviy masalani yechish Faraz qilaylik, bizga o`z-o`ziga qo`shma differensial tenglama (2.7) Va eng sodda chegaraviy shartlar (2.8) 21 berilgan bo`lsin, bunda funksiyalar da uzluksiz bo`lib, . (2.7), (2.8) chegaraviy masala (1.6) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar to`plamida quyidagi (2.9) funksiya uchun variatsion masala teng kuchlidir. Rits metodini qo`llash uchun shunday chiziqli erkli funksiyalar sistemasi (bazis funksiyalar) ni olamizki, bo`lib, qolganlari bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin: . Variatsion masalaning yechimini quyidagi chiziqli kombinatsiya (2.10) Shaklda ifodalaymiz, bunda -o`zgarmas sonlar. Ko`rinib turibdiki, chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi: Endi (2.8) va (2.9) funksionalga qaraymiz: (2.11) Bu ifodadan ga nisbatan xususiy hosila olib, quyidagi sistemani hosil qilamiz: 22 Ko`rinib turibdiki, (2.12) matritsa simmetrik matritsadir. Endi (2.11) sistemani yechib, ga minimum beradigan funksiyani (2.10) ko`rinishida yozamiz. Shuni ta’kidlash kerakki, yechimning aniqligi ko`pincha bazis funksiyaning tanlanganiga bog`liq. MISOL Quyidagi (1) chegaraviy masala Rits metodi bilan yechilsin. Yechish: Chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lganligi uchun deb olsak, deb olib, ni olamiz. (1) chegaraviy masaladan . Shuning uchun ham Hisoblashlar ko’rsatadiki, 23 Bu yerdan larni topamiz. . Demak, . 2.2. Galyorkin metodi Rits metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va musbat bo`lgan tenglamalarda qo`llaniladi. Akademik B.G.Galyorkin 1915 yilda shunday metod taklif qildiki, u Rits metodiga nisbatan umumiydir. Bu metod hech qanday variatsion masala bilan bog`liq emas, shuning uchun ham u batamom universal metod hisoblanadi. Bu metodni elliptik, parabolik va gipperbolik tenglamalarga, hatto ularga ular variatsion masala bilan bog`liq bo`lmasa ham, katta muvaffaqiyat bilan qo`llash mumkin. Agar tenglamaning operatori simmetrik va musbat bo`lsa, Galyorkin metodi osonroq yo`l bilan Rits metodi beradigan taqribiy yechimni beradi. Taqribiy yechimning koeffitsiyentlarini aniqlaydigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir xil bo`ladi. Galyorkin metodining yaqinlashishini akademik M.B.Keldish ko`rsatgan. Endi Galyorkin metodining asosiy g`oyasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik (2.6) tenglama berilgan bo`lib, A-qandaydir ikki o`zgaruvchili differensial operator bo`lsin va (1.1) tenglamaning yechimi bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu masalaning yechimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz: 24 (2.7) Ushbu sistemaning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, bo`lganligi sababli ixtiyoriy uchun . Endi (2.6), (2.7) variatsion masalaning yechimini ko`rinishda izlaymiz. Buning uchun ifodani (1.1) funksionalga qo`yib, quyidagiga ega bo`lamiz: (2.8) Bunda ta o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan ma`lum funksiya. Biz larni shunday tanlashimiz kerakki, minimalga erishsin. Buning uchun sonlar quyidagi (2.9) tenglamalar sistemasini yechimi bo`lishi kerak. Bu sistemani yechib, ga minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (2.9) ga qo`yib, kerakli taqribiy yechimlarni hosil qilamiz: (2.10) Shuni ta’kidlash kerakki, muayyan holda bu taqribiy yechimni topish jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim hollarda funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda lar nisbatan ikkinchi darajali ko`phad bo`lib, (2.5) sistema larni nisbatan 25 chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo`ladi. Amaliyotda yetarlicha aniqlikka erishishish uchun xatto ayrim hollarda deb olsak ham yetarli bo’ladi. MISOL Quyidagi (1) chegaraviy masalaning yechimi topilsin. Aniq yechimi . Yechish: (1) masalani Rits metodi bilan yechib bo’lmaydi, sababi . Masalaning yechimini ko’rinishda qidiramiz. deb olsak, u holda bo’lib, bo’ladi. , Yoki 26 Tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Integralni hisoblasak, kelib chiqadi. Bundan, va ga ega bo’amiz. 27 XULOSA Men ushbu kurs ishimda chegaraviy masalalarning qo`yilishi, chegaraviy masalalarning variatsion va proyeksion usullarga bog`liqligi, Rits metodi, Galyorkin metodi, differensial progonka metodlari haqidagi ma`lumotlarni keng bayon etishga harakat qildim. Biz bulardan xulosa qilib aytishimiz mumkinki, differensial matematika bobida berilgan misol va masalalarning yechimlarini taqribiy yechishning hisoblash usullari fani yordamida keng yoritishimiz mumkin. Chegaraviy masalani boshlang’ich masalaga keltirib yechish usullarining asosiy g’oyasi – bu berilgan chegaraviy masala parametrlarining cheklangan qiymatlarida unga mos qilib tuzib olingan bir yoki bir nechta har xil qiyinlikdagi Koshi masalalarini yechishdan iborat. Mazkur ishda ana shunday usullardan variatsion va proyeksion usullarini o’rgandim. Variatsion usulga rits metodi misol bo’lsa, proyeksion usulga galyorkin metodini misol keltirishimiz mumkin bo’ladi. Ikkala metodda qadamlar sonini kattaroq olsak, yechimning xatoligi kamayib boradi. Har ikkala metodning ham o’ziga yarasha qulaylik tomonlari bor. Ushbu kurs ishida bizga ma`lum hisoblash matematikasi bo`limining differensial matematika va matematik fizika tenglamalari fani bilan uzviy bog`liqligini ko`ramiz. Differensial tenglamalar kursida “chegaraviy masalalarni yechishda variatsion va proyeksion usullar” mavzusini hisoblash usullari faniga tadbig`i bayon etilgan. 28 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003. 2. Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari», T ., "O`zbekiston", 1997 3. Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv Qo’llanma. Toshkent 2000. 4. Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent. "O`qituvchi" 1989. 5. Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel`noy matematike» M. VSh. 1990. 6. Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va laboratoriya ishlari», T.1995. 7. Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma. T.2001. 8. Maxmudov J. «Hisoblash usullari» fanidan o’quv–uslubiy majmua 9. Salahiddinov M. S. Nasriddinov G.N. Oddiy differinsial tenglamalar, Toshkent, ,,O`zbekiston’’, 1994 y 10. Qori – Niyoziy T.N. Tanlangan asarlar, 4-tom, Differinsial tenglamalar, Fan, Toshkent, 1968 y 11. Koddinchton E.A.Lebisson G. Teoriya obknovenne differinsialnx uravneniy, M. IL. 1958 y 12. Internet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar: www.exponenta.ru www.lochelp.ru www.math.msu.su www.colibri.ru 29
Купить