Информация о документе

Цена 35000UZS
Размер 460.8KB
Покупки 0
Дата загрузки 13 Июнь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar 26

Купить
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar 1 MUNDARIJA KIRISH ................................................................................................................. 3 I BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA .................................................................................................... 10 1.1- § . To‘plamning va funksiyaning limiti tushunchalari ................................... 10 II BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALARNING ASOSIY XOSSALARI ...................................................................................................... 17 2.1- § . Tengsizlik belgisi bilan ifodalaniladigan xossalar .................................... 17 2.2- § . Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar .............. 19 2.3- § . Aniqmas ifodalar ....................................................................................... 20 III BOB. CHEKLI LIMITGA EGA BO‘LGAN KO‘P O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR ................................................................................................ 22 3.1- § . Ko‘p o‘zgaruvchilik funksiya limiti .......................................................... 22 3.2- § . Chekli limitga ega bo‘lgan ko‘p o‘zgaruvchilik funksiyalarning asosiy teoremalari va xossalari ....................................................................................... 22 XULOSA ............................................................................................................ 25 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ..................................... 28 2 KIRISH “ Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi” SH.M.Mirziyoyev Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda ham jismonan ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati darajasiga ko‘tarilgan. Prezidentimiz Sh. Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda. Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat. “2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida ta’kidlab, o‘tamiz. “Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir. Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini 3 ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy etishda natijaviylikka e’tiborni qaratamiz. Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim- tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi. Fan taraqqiyoti ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi. Ma’lumki, har bir davlat va jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan- texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek, “Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi, jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi shubhasizdir”. XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika, ijtimoiy-siyosiy innovatsiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik, balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar, ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir. Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi. Ta’lim texnologiyasi insoniylik 4 tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning o‘ziga xosligi talabaning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon bo‘ladi. Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi. Kurs ishining dolzarblig i. Matematik analiz oliy matematikaning fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko‘pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog‘liq. Ma m l a k a t i m i z n i n g b arc h a j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g k o‘l a m l i i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i q u r i s h z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i y u z a g a c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t - sh a r o i t v az i fa l ari m u j a ss a m . Bu bo r a d a b a r k a m o l a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y v a o‘ r t a m a x s u s t a ’ li m s o h a s i d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n , t a ’ li m h a m d a i s h l a b c h i q ar is h o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a r i v o j l a n t i r i sh g a a l o h i d a e’ t i b o r q ar a t i l m oqd a. Kurs ishining maqsad va vazifalari . O‘quv jarayonida interfaol xorijiy usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan. Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg‘ulotlarga oid fan materiallari bilan birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng dolzarb muammolardan biri hisoblanadi. Kurs ishining ob’yekti . O‘zbekistondagi barcha ta’lim muassasalarida matematikani o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti . Innovatsion ta’lim muhiti mazmuni, metodlari va innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar. 5 Kurs ishining tuzilishi va tarkibi . Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon etilgan. 6 I BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA 1.1- § . To‘plamning va funksiyaning limiti tushunchalari Aytaylik, biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin. 1.1.1-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida to‘plamning x 0 nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni , , bo‘lsa, nuqta to‘plamning limit nuqtasi deyiladi. 1-misol. to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi. 2-misol. to‘plamning har bir nuqtasi va , nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi. 3-misol . to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi. 4-misol. to‘plam limit nuqtaga ega emas. 1.1.2-ta’rif. Agar x0 nuqtaning ixtiyoriy o‘ng atrofida (chap atrofida) to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, nuqta to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi   deyiladi. 1.1.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “ ” to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi. Agar ixtiyoriy uchun 7 to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “−∞ X to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi. Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan. 1.1.1-teorema. Agar nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda nuqtaning har qanday atrofida to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi. Aytaylik, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema tasdig‘ining teskarisini faraz qilaylik: nuqtaning biror atrofida to‘plamning chekli sondagi nuqtalarigina bo‘lsin. U holda deb olinsa, nuqtaning atrofida to‘plamning dan farqli bitta ham nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir. 1.1.2-teorema. Agar nuqta to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda shunday sonlar ketma-ketligi {xn} topiladiki, 1) da , 2) da bo‘ladi. Faraz qilaylik, funksiya to‘plam da berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy { xn } : ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat { f ( xn )} : ketma-ketlikni hosil qilamiz. 8 1.1.4-ta’rif. (Geyne). Agar da xn → x0 bo‘ladigan ixtiyoriy {xn} ketma-ketlik uchun n → ∞ da bo‘lsa, b ga funksiyaning x 0 nuqtadagi limiti deyiladi va x → x 0 da f(x) → b yoki kabi belgilanadi. Eslatma. Agar n → ∞ da bo‘ladigan turli { x n } , { y n } ketma-ketliklar uchun n → ∞ da → b 1 , f( y n ¿ → b 2 bo‘lib, b1≠b2 bo‘lsa funksiya x → x0 da limitga ega emas deyiladi. 5 - misol . Ushbu unksiyaning x0=4 nuqtadagi limiti topilsin. Quyidagi { x n } : ketma-ketlikni olaylik. Unda f( x n ¿ = x n2 − 16 x n2 − 4 x n = x n + 4 x n bo‘lib, n → ∞ da bo‘ladi. Demak, . 1.1.5-ta’rif. (Koshi). Agar ∀ ε>0 son olinganda ham topilsaki, ∀ x ∈ X ∩ ( U δ ( x 0 ) ¿ { x 0 ¿ } ) uchun tengsizlik bajarilsa, b soni funksiyaning x0 nuqtadagi limiti deyiladi: 9 . Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:∀ ε>0 , ∃ δ = δ ( ε) > 0 , ∀ x ∈ X ∩ ( U δ ( x 0 ) ¿ { x 0 ¿ } ) : | f ( x ) − b | < ε bo‘lsa, . 1.1.6-ta’rif. Agar ∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ>0 son topilsaki, ∀ x ∈ X ∩ ( U δ ( x 0 ) ¿ { x 0 ¿ } ) uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning x0 nuqtadagi limiti + ∞ deb ataladi va kabi belgilanadi. 6-misol. , funksiya uchun limx→0 1 x2= ¿¿ + ∞ bo‘ladi. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, xo=+∞ nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 1.1.7-ta’rif. Agar ∀ ε > 0 son olinganda ham shunday δ>0 topilsaki, ∀ x ∈ X , x > δ uchun tengsizlik bajarilsa, b soni funksiyaning x0=+∞ dagi limiti   deyiladi va kabi belgilanadi. 7-misol. Aytaylik, , x o = + ∞ , bo‘lsin. U holda 10 bo‘ladi. Haqiqatan ham, ∀ ε>0 sonnni olaylik. Ravshanki, ∀ x>0 uchun Demak, δ = 1 ε deyilsa, unda ∀ x>δ uchun bo‘ladi. 1.1.8-ta’rif. Agar bo‘lsa, b son funksiyaning x 0 nuqtadagi chap limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, x 0 nuqta ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib, bo‘lsin. 1.1.9-ta’rif. Agar bo‘lsa, b son funksiyaning x0 nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va kabi belgilanadi. 8-misol. 11 = funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi. II BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALARNING ASOSIY XOSSALARI 2.1 - § . Tengsizlik belgisi bilan ifodalaniladigan xossalar Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega. Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin. 1-xossa . Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi. Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi. 2-xossa . Agar , (b – chekli son) bo‘lsa, u holda x0 nuqtaning shunday U δ(x0) ( δ>0¿ atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan ∀ ε>0 , ∃ δ = δ ( ε) > 0 , ∀ x∈X ∩(U δ(x0)¿{x0¿}) da | f ( x ) − b | < ε 12 ya’ni, bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning x 0 nuqtaning U δ( x 0 ) atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. Isbot. bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko‘ra son uchun shunday son topiladiki, uchun bo‘ladi. Demak, argument ning barcha qiymatlarida funksiyaning mos qiymatlari oraliqda bo‘ladi. Bu esa funksiyaning nuqtadagi atrofida chegaralanganligini ko‘rsatadi. Eslatma. Funksiya chegaralanganligidan uning chekli limitga ega bo‘lishi har doim ham chiqavermaydi. Masalan, funksiya chegaralan-gan, ammo da bu funksiya limitga ega emas. to‘plamda va funksiyalar aniqlangan bo‘lib, esa ning limit nuqtasi bo‘lsin. 3-xossa. Agar argument ning nuqtaning biror atrofidan olin-gan barcha qiymatlarida tengsizlik o‘rinli bo‘lib, , limitlar mavjud bo‘lsa u holda tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 4-xossa . Agar 13 bo‘lib, b < p bo‘lsa, u holda x 0 nuqtaning shunday U δ( x 0 ) atrofi topiladiki, bu atrofda bo‘ladi. Shartga ko‘ra . Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, ∀ x ∈ X , | x − x 0 | < δ , x≠x0 uchun bo‘ladi. Bu esa ∀ x ∈ U δ ( x 0 ) da bo‘lishini bildiradi. Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan, bo‘lib, x0∈R nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 2.1.5-xossa . Agar bo‘lib, ∀ x ∈ X da tengsizlik bajarilsa, u holda b 1 ≤ b 2 , ya’ni bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin. Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra x 0 ga intiluvchi ixtiyoriy xn→ x0 (xn∈X ,xn≠x0) ketma-ketlik uchun da , (1 ) bo‘ladi. Ravshanki, ∀ n∈N da 14 f( xn¿≤g(xn). (2 ) Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan ya’ni b1≤b2 bo‘lishini topamiz. 1-misol. Ushbu limitni toping. Ravshanki, bir tomondan funksiya uchun tengsiz- liklar bajariladi, ikkinchi tomondan, Demak, yuqoridagi xossaga ko‘ra . 2.2- § . Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar. to‘plam berilgan bo‘lib, uning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu to‘plamda va funksiyalar aniqlangan. 1-xossa. Agar da va funksiyalar limitga ega bo‘lsa, funksiya ham limitga ega va tenglik o‘rinli. 2-xossa. Agar da va funksiyalar limitga ega bo‘lsa, funksiya ham limitga ega va tenglik o‘rinli. 15 Natija. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, unda funksiya ham limitga ega va tenglik o‘rinli. 3-xossa. Agar da va funksiyalar limitga ega bo‘lib, bo‘lsa, funksiya ham limitga ega va tenglik o‘rinli. Eslatma. 1) Yuqorida kelritilgan 1- chi va 2- chi xossalar qo‘shiluvchilar, ko‘paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo‘lgan holda ham o‘rinli. 2) da va funksiyalarning yeg’indisi, ko‘paytmasi va nis- batidan iborat bo‘lgan funksiyalarning limitga ega bo‘lishidan bu funksiyalarning har birining limitga ega bo‘lishi doim kelib chiqavermaydi. Masalan, , funksiyalar yeg’indisi 1 ga teng bo‘ladi. Ammo da va funksiyalar har biri limitga ega emas. 1-misol. Ushbu limit hisoblansin. Ma’lumki, 1 − cosx = 2 sin 2 x 2 . Shuni hisobga olib topamiz: lim x → 0 1 − cosx x 2 = limx→0 2sin 2x 2 x2 =limx→0 1 2∙ [ sin x 2 x 2 ] 2 = 1 2∙ [ limx→0 sin x 2 x 2 ] = 1 2 . 16 2.3- § . Aniqmas ifodalar Biz yuqorida chekli lmitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallarni ko‘rib o‘tdik. Agar da va funksiyalaring har birining limiti cheksiz yoki funksiya limiti qaralganda bo‘lib qolsa, bu holda turli aniqmas ifodalarga kelamiz. to‘plam berilgan bo‘lib, ning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu to‘plamda va funksiyalar aniqlangan. Agar da 1) , bo‘lsa, ularning nisbati ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi; 2) , bo‘lsa, ularning nisbati ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘ladi; 3) , bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi; 4) , bo‘lsa, ya’ni hamda funksiyalar turli ishorali cheksizga intilsa, ifoda ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘ladi. Bu hollarda da va funksiyalrning o‘z limitlariga intilish xususiyatiga qarab, (1 , 2- chi hollarda), (3-holda) , (4-holda) ifodalarning xarakterini aniqlash aniqlamaslikni ochish deb yuritiladi. 17 III BOB. CHEKLI LIMITGA EGA BO‘LGAN KO‘P O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR 3.1- § . Ko‘p o‘zgaruvchilik funksiya limiti Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksizligi bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning δ− atrofiga tushunchasiga asoslanadi. P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb √(x− x0) 2+(y− y0) 2< δ (yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0 nuqtada bo‘lgan va radiusi δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha P nuqtalardan tashkil topadi.   3.1.1-ta’rif . Agar ∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun |f(P)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A songa funksiyaning nuqtadagi yoki P→ P0 dagi limiti deyiladi va lim ¿x→x0¿ y→y0¿ ¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y)= A yoki limP→P0 f(P)= A kabi belgilanadi. 18 3.2 -§ .Chekli limitga ega bo‘lgan ko‘p o‘zgaruvchilik funksiyalarning asosiy teoremalari va xossalari Quyida bu teoremalarni keltiramiz. 3.2.1-teorema .   Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)± g(P))= limP→P0 f(P)± limP→P0 g(P) . 3.2.2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)⋅g(P))= limP→P0 f(P)⋅limP→P0 g(P) . 1-natija . Funksiya P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi. 2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni limP→P0 f(C )=C . 3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni limP→P0 (k⋅f(P))= k⋅limP→P0 f(P ),k∈R. 4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)n)=(limP→P0 f(P))n , n∈N . 3.2.3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim P→P0 f(P) g(P) = lim P→P0 f(P) limP→P0 g(P ) , limP→P0 g(P)≠ 0 . 3.2.4-teorema . Agar P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va lim P→P0 f(P )= lim P→P0 g(P)= A bo‘lsa, u holda lim P→P0 ϕ(P)= A bo‘ladi. 19 1-misol. lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz: lim (x,y)→(2,−1) x=2 va lim (x,y)→(2,−1) y=−1 . U holda lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy = lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2) lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )= lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2 lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2 22+3⋅2⋅(− 1)=− 2. 2-misol. lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y = lim x→0 √kx 2+9− 3 (1− k)x = lim x→0 kx 2 (1− k)x(√kx 2+9+3) = = lim x→0 kx (1− k)(√kx 2+3+3) = 0 6(1− k) = 0. Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi limx→x0 (limy→y0 f(x,y)) va limy→y0 (limx→x0 f(x,y)) limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y) karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish imkonini beruvchi teoremani keltiramiz. 20 XULOSA Bizga ma’lumki funksiyaning limiti matematik analiz asoslari fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Limitga ega bo‘lgan funksiyalar– matematik analiz asoslari fanini yaxshi o‘zlashtirish, unga tegishli bo‘lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi. Ushbu kurs ishida matematik tahlilning eng asosiy va dolzarb tushunchalaridan biri bo‘lgan limit tushunchasi keng qamrovda o‘rganildi. Ayniqsa, funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishi holatlari va bu limitga ega funksiyalarning asosiy xossalari nazariy va amaliy jihatdan yoritildi. Kurs ishining har bir bo‘limi mazkur mavzuni ketma-ket chuqurlashtirib, nazariy bilimlarni mustahkamlovchi isbotlar va misollar bilan boyitilgan.Avvalo, to‘plamning limit nuqtasi tushunchasi tahlil qilindi. Bu tushuncha matematik analizda muhim o‘rin tutadi, chunki har qanday limit yoki uzluksizlik haqida fikr yuritishda, avvalo, to‘plamdagi nuqtalarning qanday yaqinlashishi, ya’ni limit nuqtalar mavjudligi muhim ahamiyatga ega. Kurs ishining birinchi bo‘limida limit nuqtasining formal ta’rifi, uning mavjud bo‘lish shartlari, misollar orqali tasdiqlangan holda bayon etildi. Limit nuqtasi tushunchasi orqali biz funksiyalar va ketma-ketliklar limitining mavjudligi haqida umumiy tasavvurga ega bo‘lamiz.Ikkinchi bo‘limda 21 esa funksiyaning limiti tushunchasi hamda bu limit uchun mavjud bo‘lgan har xil ta’riflar o‘rganildi. Xususan, Epsilon-Delta ta’rifi, Chexov ta’rifi va boshqa ta’riflar ko‘rib chiqildi. Ular o‘zaro ekvivalentligi isbotlar yordamida asoslab berildi. Bu bo‘limda ta’riflar orasidagi farq va ularning mohiyat jihatdan bir xil natijaga olib kelishi batafsil tahlil qilindi. Bu esa talabalarga turli ta’riflar orqali bir xil limit holatini aniqlash imkonini beradi. Limit tushunchasining turli ifodalanishi, ayniqsa, murakkab funksiyalarni o‘rganishda qulaylik yaratadi. Uchinchi bo‘limda esa chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari yoritildi. Bu xossalar funksiyalar ustida turli algebraik amallar bajarilganda limitlarning qanday o‘zini tutishini aniqlaydi. Jumladan, limitning chiziqlilik xossasi, ya’ni ikki funksiyaning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi yoki nisbatining limitlarini topish qoidalari ko‘rib chiqildi. Bu qoidalar nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy hisob-kitoblardagi soddalashtirishlar uchun ham muhim ahamiyatga ega. Shuningdek, ushbu bo‘limda uzluksizlik va limit tushunchalari o‘rtasidagi uzviy bog‘liqlik tahlil qilindi. Funksiya berilgan nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun, u yerda chekli limit mavjud bo‘lishi va bu limit funksiyaning o‘sha nuqtadagi qiymatiga teng bo‘lishi kerakligi isbotlandi. Bu esa real funksiyalarni o‘rganishda, grafik tahlillar olib borishda, hosila va integral kabi tushunchalarni aniqlashda zarur bo‘lgan nazariy asosni tashkil etadi.Kurs ishining nazariy asoslari matematik tahlil fanining poydevorini tashkil qiluvchi fundamental tushunchalarga tayangan holda yozilgan. Har bir ta’rif, xossa va teorema aniq isbotlar bilan mustahkamlangan. Misollar orqali mavzuga oid nazariy bilimlar amaliy nuqtai nazardan tasdiqlangan. Bu esa o‘z navbatida, talabaga mavzuni chuqurroq o‘zlashtirish imkonini beradi. Xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishi orqali talabalar limit tushunchasini chuqur o‘rganishlari, turli limit holatlarini tahlil qilishlari, funksiyalarning limitga ega bo‘lish shartlarini aniqlashlari va amaliy masalalarda bu bilimlarni qo‘llay olish ko‘nikmalarini shakllantirishlari mumkin. Shuningdek, bu bilimlar keyingi matematik tushunchalar — hosila, uzluksizlik, integral kabi mavzularni 22 o‘rganishda mustahkam nazariy zamin bo‘lib xizmat qiladi. Kurs ishining muhim jihatlaridan biri bu mavzuning ta’lim jarayonidagi rolini yoritish bo‘ldi. Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari mavzusi o‘quvchilarga abstrakt fikrlash, mantiqiy xulosalar chiqarish, formulalar bilan ishlash va real muammolarni matematik modellashtirish ko‘nikmasini shakllantirishga xizmat qiladi. Shu bois, bu mavzuni chuqur o‘zlashtirish matematikaning boshqa bo‘limlarini, ayniqsa funksiyalar nazariyasi, differensial va integral hisob, ehtimollar nazariyasi kabi sohalarni o‘rganishda mustahkam poydevor bo‘ladi. Kelgusida bu mavzuni yanada chuqurlashtirish uchun limit tushunchasining bir tomonlama limitlar, cheksiz limitlar, yo‘nalishli limitlar va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun limit kabi kengaytirilgan shakllari o‘rganilishi maqsadga muvofiqdir. Zero, limit tushunchasi nafaqat matematik analizda, balki fizika, iqtisod, informatika va muhandislik kabi sohalarda ham muhim va keng qo‘llaniladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020-yil 23-sentabr, O‘RQ-637-son. 2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2-martdagi “Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida”gi 36-son Qarori. 3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27-martdagi “Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab chiqish hamda joriy etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” 157-son Qarori. 4. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi Matematikaʺ sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risida gi PQ-4708-sonli Qarori. ʺ 5. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent, O‘qituvchi , 1994. ʺ ʺ 6. Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, «Voris-nashriyot», 2010. 23 7. A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent, “O‘qituvchi” 2008. 8. Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть "Лань" 2015. 9. Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Санкт-Петербург. "Лань" 2021. 10. Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 1-часть Масква. "Наука" 2003 11. A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil; 12.T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T: “Universitet” 2007 yil Elektron ta’lim resurslari 1. Elektron jurnal : www.arki.ru 2. To‘liq matnli kutubxona : www.lib.ru 3. Maktabda axborot texnologiyalari: www.edunet.uz 4. Talaba yoshlar sayti: www.study.uz 5. Bilim portal: www.ziyonet.uz 24
Купить