Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 307.9KB
Покупки 0
Дата загрузки 20 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 23.01-guruh talabasi Azimjonova Odinaxon Dilshodbek qizining Matematik analiz fanidan “ Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari ” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: A.Abduqodirov FARG‘ONA– 2025 1 REJA KIRISH 1. To‘plamning limit nuqtasi. 2. Funksiyaning limiti ta’riflari va ekvivalentligi. 3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari. XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 2 KIRISH Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati darajasiga ko‘tarilgan. Prezidentimiz SH. Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda. Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat. “2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida ta’kidlab, o‘tamiz. “Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir. Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz. 3 Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim- tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.Fan taraqqiyoti ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi.Ma’lumki, har bir davlat va jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan- texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek, “Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi, jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi shubhasizdir” .XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika, ijtimoiy-siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik, balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar, ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir. Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi.Ta’lim texnologiyasi insoniylik tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning o‘ziga xosligi talabaning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon bo‘ladi. Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika 4 fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi. Kurs ishining dolzarbligi : Matematik analiz oliy matematikaning fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori hisoblanadi. Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko‘pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog‘liq. Ma m l a k a t i m i z n i n g b arc h a j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g k o‘l a m l i i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i q u r i s h z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i y u z a g a c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t - sh a r o i t v az i fa l ari m u j a ss a m . Bu bo r a d a b a r k a m o l a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y v a o‘ r t a m a x s u s t a ’ li m s o h a s i d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n , t a ’ li m h a m d a i s h l a b c h i q ar is h o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a r i v o j l a n t i r i sh g a a l o h i d a e’ t i b o r q ar a t i l m oqd a. O‘ qu v j ara y o n i d a s a m ara do r l ik k a e r i s his h u c hu n za m on a vi y i lg‘o r p e d a g og i k t e xn o lo gi y a l ar, n o a n ’ a n vi y d a r s us u l l a r i v a o‘ zaro f a o l o‘q u v j a r a y oni n i t a d bi q qi l is h lo z i m . O‘ zaro f a o l u s u l l a r n i o‘ qu v j ara y o n ig a q o‘l l a s h u c h u n e s a o‘ t il a d ig a n m a v z un i t a l a b a l ar, o‘ q u v c h i l ar o‘ z l a r i m us t a q i l t a y y o r l ab k e l is hl a ri t a l a b e t i l a di . J a ra y on nin g s a m ara do r l ig i n i o s h i r i s h m a qs a d i d a i nn o v a t s io n us u l l a r n i q o‘ll a s h d a e nd i b i z – p e d a go g l ar “ O‘quv c h il a r n i o‘ q it m a y m i z, b a l k i k i t ob n i o‘q is h g a o‘ r g a t a m i z” s h io r i n i a m a lg a o s h i ra m i z. B u n i n g s a b a b i s h u n d a ki , a g a r d a t a l a b a v a o‘q u v c h i l ar d a r sg a t a y y o r ho l d a k e l m a s a l ar, h e ch q a n a q a f a o l us u l d a n s a m ara l i f o y d a l a n i b b o‘l m a y d i . N a ti j a d ao‘ qitu vchi y a n a o‘ z - o‘ z i d an a n ’ a n a vi y s h a k l d a d a r s o‘ tishga to‘ g‘ r i k e l a d i . O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev raisligida 19-mart kuni yoshlarga e’tiborni kuchaytirish, ularni madaniyat, san’at, jismoniy tarbiya va sportga keng jalb etish, ularga axborot texnologiyalaridan foydalanish 5 ko‘nikmalarini singdirish, yoshlar o‘rtasida kitobxonlikni targ‘ib qilish, xotin- qizlar bandligini oshirish masalalariga bag‘ishlangan videoselektor yig‘ilishi o‘tkazildi. Mamlakat aholisining 30 foizini 14 yoshdan 30 yoshgacha bo‘lgan yigit-qizlar tashkil etadi. Ularning ta’lim olishi, kasb-hunar egallashi uchun keng sharoit yaratilgan. Shu bilan birga, yoshlarning bo‘sh vaqtlarini mazmunli o‘tkazishni tashkil etish dolzarb masala hisoblanadi. Yoshlar qanchalik ma’naviy barkamol bo‘lsa, turli yot illatlarga qarshi immuniteti ham shunchalik kuchli bo‘ladi.Ma’lumki, O‘zbekiston rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi ishlarni yangi tizim asosida yo‘lga qo‘yish bo‘yicha 5 ta muhim tashabbusni ilgari surgan edi. Birinchi tashabbus – yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va san’atning boshqa turlariga qiziqishlarini oshirishga, iste’dodini yuzaga chiqarishga xizmat qiladi. Ikkinchi tashabbus – yoshlarni jismoniy chiniqtirish, sport . Uchinchi tashabbus – aholi va yoshlar o‘rtasida kompyuter texnologiyalari va internetdan samarali foydalanishni tashkil etishga qaratilgan. To‘rtinchi tashabbus – yoshlar ma’naviyatini yuksaltirish, ular o‘rtasida kitobxonlikni keng targ‘ib qilish bo‘yicha tizimli ishlarni tashkil etishga yo‘naltirilgan. Beshinchi tashabbus – xotin-qizlarni ish bilan ta’minlash masalalarini nazarda tutadi. Ana shu ezgu g‘oya Prezidentning Sirdaryo viloyatiga tashrifi chog‘ida boshlanib, qisqa vaqtda ulkan ishlar amalga oshirildi. Sirdaryo viloyatidagi tuman va shaharlar kutubxonalariga 300 ming nusxada badiiy adabiyotlar yetkazib berildi. Musiqa va san’at maktablari cholg‘u asboblari, sport ob’ektlari jihozlar bilan ta’minlandi. Bu ishlar Namangan viloyatida ham davom ettirilib, “Ma’rifat karvoni” tashkil etildi. Yoshlar uchun 25 ming dona kitob, 80 turdagi sport jihozlari va musiqa asboblari yetkazib berildi. Bir so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta qiziqish bilan kutib olindi.Bir so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta qiziqish bilan kutib olindi. Yig‘ilishda bu tajribani mamlakatning barcha hududlarida keng joriy qilish masalalari muhokama qilindi. Bugungi kunda mamlakatdagi 800 dan ortiq madaniyat markazlari, 312 ta musiqa va san’at maktablariga atigi 130 ming nafar o‘g‘il-qiz qamrab olingani, mazkur 6 muassasalarning aksariyati o‘quv qo‘llanmalari, notalar to‘plami, musiqa asboblari, mebel va jihozlar bilan yetarli darajada ta’minlanmagani ko‘rsatib o‘tildi.Davlat rahbari joylardagi madaniyat markazlari, musiqa va san’at maktablarining moddiy-texnik bazasi va ulardan foydalanish holatini o‘rganib, ularning faoliyatini yaxshilash bo‘yicha O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2012-yil 28-maydagi ―``Malakali kadrlar tayyorlash hamda oily ta’lim muaasalarini shunday kadrlar bilan ta’minlash yanada takomillashtirishga oid chora tadbirlar to‘g‘risida”gi qarori ta’lim mazmunini uning samaradorligini yanada yaxshilashga qaratilgan. Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan o‘rta maxsus kasb-hunar kollejlari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta’lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish va tayyorlanayotgan o‘rta bo‘gin mutaxasislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Ushbu vazifalarning samarali bajarilishining asosiy omili o‘quv vositalaridir. Ta’lim vositalari svilizatsiyaning ajralmas qismi umuminsoniy madaniyatning muhum elementi hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir. Shiddatli axboratlashuv jarayoni amalga oshib borayotgan hozirgi davrda har bir soha kishisi zamon bilan hamnafas ravishda innovatsion tehnalogiyalarga, innovatsion vositalarga murojaat qilishiga to‘g‘ri kelmoqda shu jumladan matematika fani ham bunday oqimdan chetda qolayotgani yo‘q. Mahsuldor ta’lim har qanday ta’limning zaruriy tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg‘argan tajribani aniq o‘quv fani doirasida o‘zlashtirish bilan bog‘liq. Ta’lim oluvchilarda bilim va ko‘nikmalarning ma’lum poydevori hosil qilingandan keyingina ta’limning natijali vaijodiy yondashish usullariga ko‘chish mumkin.Pedagogik texnalogiya oqimi 70-80 yillarda AQSh da yuzaga keldi va YUNESCO kabi nufuzli tashkilot tomonidan tan olindi va qo‘llab – quvvatlandi va hozirgi kunda ko‘pgina mamlakatlarda muvaffaqiyatli o‘zlashtirilmoqda. Ma’lumki, tubdan farq qiluvchi uchta talim turlarini ajratish mumkin. Bular: og‘zaki- ko‘rgazmali, texnologik va izlanuvchan-ijodiy ta’lim 7 turlari hisoblanadi. 1. Og‘zaki – ko‘rgazmali an’anaviy bo‘lib, o‘qituvchining axborot berishi, talabalarning bilimlarni qabul qilishi, to‘plashi va xotirasida saqlashi bilan belgilanadi. Ta’limda ogzaki-ko‘rgazmali yondashuv juda katta tajribaga ega bo‘lib, qismlarga ajratib ishlab chiqilgan vata’lim tizimida ulkan xizmat ko‘rsatdi.Jadal suratlar bilan o‘sib borayot-gan fan va texnika talablari, ta’lim tizimidagi istlohatlar, raqobotbardosh kadrlar tayyorlash, shaxsni rivojlantirish, uning ma’lumot olish istaklarini to‘laroq qondirishga bo‘lgan jamiyat ehtiyojlari o‘qitish usullariga yangicha yondashishni talab qilmoqda. Ta’limga texnologik yondashuvning umumiy tavsifnomasi qismlarga ajratilmagan holda, ta’limning juda oddiy mahsuldor darajasi sifati misolida qaraladi. O‘quv ishlari yuqori natijalarga erishishga qaratilgan bo‘lib, yo‘naltirilganlik, mashg‘ul bo‘lish, musobaqalashish va o‘zaro yordamlashish tushunchalari mavjud bo‘ladi. 3. Izlanuvchan yondashuvdagi maqsad, talabalarda muammoni hal etish, yangi, oxirigacha tugallanmagan tajribani o‘zlashtirish, ta’sir etishning yangi yo‘llarini yaratish qobiliyatlarini, shaxsiy idrokni rivojlantirishdan iboratdir. Bu tushuncha orqali sanoatda tayyor mahsulotni olish uchun bajariladigan ishlarning ketma – ketligi haqidagi hujjat, ta’limda esa fan bo‘yicha uslubiy tadbirlar majmuasi tushuniladi. Pedagogik texnologiyada asosiy yo‘l aniq belgilan-gan maqsadlargaqaratilganlik, ta’lim oluvchi bilan muntazam o‘zaro aloqani o‘rnatish, pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi hisoblangan ta’lim oluvchining xatti – harakati orqali o‘qitishdir. O‘zaro aloqa pedagogik texnologiya asosini tashkil qilib, o‘quv jarayonini to‘liq qamrab olish kerak. Pedagogik texnologiyada nazarda tutiladigan maqsadlarni qo‘yish usuli,o‘qitish maqsadlari o‘quvchilar harakatida ifodalanadigan va aniq ko‘rinadigan hamda o‘lchanadigan natijalar orqali belgilanadi. Maqsadlar o‘qituvchining faoliyatidan kelib chiqqan holda o‘rgatish, tushuntirish, ko‘rsatish, aytib berish va hokazo atamalar orqali qo‘yiladi. O‘quvchining harakatlarida ifodalanadigan vazifalar esa ta’limining natijalarda ifodalanadi. Natija, talabaning tugallangan xatti –harakatini ifodalovchi keltirib chiqaring, sanab o‘ting, so‘zlab bering tanlang, ko‘rsatib bering, hisoblang kabi atamalar bilan ifodalanishi kerak.Shunday qilib, an’anaviy o‘quv jarayonlarida 8 asosiy 6 omil – bu pedagog va uning faoliyati hisoblansa, pedagogik texnologiyada birinchi o‘ringa o‘qish jarayonidagi o‘quvchilarning faoliyati qo‘yiladi. Ma’lumki, ilg‘or texnologiyalarni qo‘llashda asosiy e’tibor loyihalash bosqichiga qaratiladi, bunday tizimli yondoshuv asosida o‘quv jarayonini loyihalash, kutilayotgan natija shaklidagi o‘quv maqsadlarini mumkin qadar aniqlashtirish, rejalashtirilgan o‘quv maqsadlariga kafolatli erishishga undaydi. Biz ushbu mavzuda matematika sohasi uchun innovatsion vositalar bilan tanishib chiqamiz. Kurs ishining maqsad va vazifalari: O‘quv jarayonida interfaol xorijiy usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan. Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg‘ulotlarga oid fan materiallari bilan birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng dolzarb muammolardan biri hisoblanadi. Kurs ishining ob’yekti: O‘zbekistondagi barcha ta’lim muassasalarida matematikani o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti: Innovatsion ta’lim muhiti mazmuni, metodlari va innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar. Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon etilgan. 9 1. To‘plamning limit nuqtasi. Aytaylik, biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida to‘plamning x 0 nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, x0 nuqta to‘plamning limit nuqtasi deyiladi. Misollar. 1. to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi. 2. to‘plamning har bir nuqtasi va x=0, x=1 nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi. 3. to‘plamning limit nuqtasi x0=1 bo‘ladi. 4. to‘plam limit nuqtaga ega emas. 2-ta’rif. Agar x 0 nuqtaning ixtiyoriy o‘ng atrofida (chap atrofida) X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, x0 nuqta X to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi. 3-ta’rif. Agar ixtiyoriy c ∈R uchun 10 to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “+∞ X to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi. Agar ixtiyoriy c ∈R uchun to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “ − ∞ X to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi. Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan. 1-teorema. Agar x0∈R nuqta X R to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda x0 nuqtaning har qanday atrofida X to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi. Aytaylik, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema tasdig‘ining teskarisini faraz qilaylik: nuqtaning biror atrofida to‘plamning chekli sondagi nuqtalarigina bo‘lsin. U holda deb olinsa, nuqtaning U σ ( x 0 ) atrofida X to‘plamning x 0 dan farqli bitta ham nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa x 0 nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir. 2-teorema. Agar x0 nuqta X R to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda shunday sonlar ketma-ketligi {xn} topiladiki, 1) 2) bo‘ladi. 11 2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X to‘plam X R da berilgan bo‘lib, nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. x0 nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy { xn } : ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat { f ( xn )} : ketma-ketlikni hosil qilamiz. 3-ta’rif. (Geyne). Agar da xn → x0 ( xn∈X ,Xn≠X0 bo‘ladigan ixtiyoriy {xn} ketma-ketlik uchun n → ∞ da f( xn )b bo‘lsa, b ga f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi limiti deyiladi va x → x0 da f(x) → b yoki kabi belgilanadi. Eslatma. Agar n → ∞ da bo‘ladigan turli {xn} , { y n } ketma-ketliklar uchun n → ∞ da f( x n ¿ → b 1 , f( y n ¿ → b 2 bo‘lib, b 1 ≠ b 2 bo‘lsa f(x) funksiya x → x 0 da limitga ega emas deyiladi. 1-misol . Ushbu unksiyaning x0=4 nuqtadagi limiti topilsin. Quyidagi { x n } : 12 ketma-ketlikni olaylik. Unda f(xn¿= xn2−16 xn2− 4xn = xn+4 xn bo‘lib, n → ∞ da f( xn¿→ 2 bo‘ladi. Demak, 4-ta’rif. (Koshi). Agar ∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ = δ ( ε) 0 topilsaki, ∀ x∈X ∩(U δ(x0)¿{x0¿}) uchun tengsizlik bajarilsa, b soni f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi limiti deyiladi: . Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin: ∀ ε > 0 , ∃δ= δ(ε)>0 , ∀ x ∈ X ∩ ( U δ ( x 0 ) ¿ { x 0 ¿ } ) : | f ( x ) − b | < ε bo‘lsa, 5-ta’rif. Agar ∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ > 0 son topilsaki, ∀ x ∈ X ∩ ( U δ ( x 0 ) ¿ { x 0 ¿ } ) uchun f(x)> ε tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi limiti + ∞ deb ataladi va kabi belgilanadi. 13 Masalan, funksiya uchunlimx→0 1 x2= ¿¿ + ∞ bo‘ladi. Aytaylik, f(x) funksiya X R to‘plamda berilgan bo‘lib, xo=+∞ nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 6-ta’rif. Agar ∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ>0 topilsaki, ∀ x∈X , x > δ uchun tengsizlik bajarilsa, b soni f(x) funksiyaning x 0 = + ∞ dagi limiti deyiladi va kabi belgilanadi. 7-misol. Aytaylik, X = (0, +∞¿ , xo=+∞ , f(x) = 1 x bo‘lsin. U holda bo‘ladi. Haqiqatan ham, ∀ ε>0 sonnni olaylik. Ravshanki, ∀ x>0 uchun 14 Demak, δ = 1 ε deyilsa, unda ∀ x>δ uchun bo‘ladi. 7-ta’rif. Agar bo‘lsa, b son f ( x ) funksiyaning x 0 nuqtadagi chap limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Faraz qilaylik, f ( x ) funksiya X R to‘plamda berilgan, x 0 nuqta X ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib, bo‘lsin. 8-ta’rif. Agar bo‘lsa, b son f( x ) funksiyaning x0 nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va kabi belgilanadi. 15 Masalan, f( x ) = funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi. 3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari. Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X R to‘plamda berilgan bo‘lib, x0∈R nuqta X ning limit nuqtasi bo‘lsin. 1-xossa . Agar x → x 0 da f( x ) funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi. Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi. 2-xossa . Agar , (b – chekli son) bo‘lsa, u holda x0 nuqtaning shunday U δ(x0) ( δ>0¿ atrofi topiladiki, bu atrofda f( x ) funksiya chegaralangan bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan ∀ ε>0 , ∃ δ = δ ( ε) > 0 , ∀ x ∈ X ∩ ( U δ ( x 0 ) ¿ { x 0 ¿ } ) da | f ( x ) − b | < ε ya’ni 16 bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan f( x ) funksiyaning x0 nuqtaning U δ(x0) atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. 3-xossa . Agar bo‘lib, b < p bo‘lsa, u holda x0 nuqtaning shunday U δ(x0) atrofi topiladiki, bu atrofda bo‘ladi. Shartga ko‘ra Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, ∀ x ∈ X , | x − x 0 | < δ , x≠x0 uchun bo‘ladi. Bu esa ∀ x∈U δ(x0) da f( x ) bo‘lishini bildiradi. Faraz qilaylik, f( x ) va g( x ) funksiyalar X R to‘plamda berilgan bo‘lib, x0∈R nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 4-xossa . Agar bo‘lib, ∀ x ∈ X da f( x ) ≤g(x) tengsizlik bajarilsa, u holda b 1 ≤ b 2 , ya’ni 17 bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin. Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra x0 ga intiluvchi ixtiyoriy xn→ x0 (xn∈X ,xn≠x0) ketma-ketlik uchun ( 1 ) bo‘ladi. Ravshanki, ∀ n∈N da f( xn¿≤g(xn) ( 2 ) Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan ya’ni b1≤b2 bo‘lishini topamiz. 5-xossa . Faraz qilaylik, , ( b 1 , b 2 ∈ R ¿ limitlar mavjud bo‘lsin. U holda a) ∀ c ∈ R da limx→x0(c∙f(x))= c∙limx→x0 f(x) ; 18 b) lim x → x 0( f ( x ) + g ( x )) = lim x → x 0 f ( x ) + lim x → x 0 g ( x ) ; v) lim x → x 0 ( f ( x ) ∙ g ( x )) = lim x → x 0 f ( x ) ∙ lim x → x 0 g ( x ) ; g) Agar b2≠0 bo‘lsa, lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) lim x → x 0 g ( x ) ; bo‘ladi. Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi. 2-misol. Ushbu limit hisoblansin. Ma’lumki, 1 − cosx = 2 sin 2 x 2 . Shuni hisobga olib topamiz: lim x → 0 1 − cosx x 2 = limx→0 2sin 2x 2 x2 =limx→0 1 2∙ [ sin x 2 x 2 ] 2 = 1 2∙ [ limx→0 sin x 2 x 2 ] = 1 2 . Funksiyaning limiti Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksizligi bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning δ− atrofiga tushunchasiga asoslanadi. P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb √(x− x0) 2+(y− y0) 2< δ (yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0 nuqtada bo‘lgan va radiusi δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha P nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm). 19 3-ta’rif . Agar ∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun |f(P)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A songa z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi yoki P→ P0 dagi limiti deyiladi va lim ¿x→x0¿ y→y0¿ ¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y)= A yoki limP→P0 f(P)= A kabi belgilanadi. Quyida bu teoremalarni keltiramiz. 1-teorema . Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni limP→P0 (f(P)± g(P))= limP→P0 f(P)± limP→P0 g(P) . 2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)⋅g(P))= limP→P0 f(P)⋅limP→P0 g(P) . 1-natija . Funksiya P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi. 2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni limP→P0 f(C )=C . 3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni limP→P0 (k⋅f(P))= k⋅limP→P0 f(P ),k∈R. 20 4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)n)=(limP→P0 f(P))n , n∈N . 3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim P→P0 f(P) g(P)= limP→P0 f(P) limP→P0 g(P ) , limP→P0 g(P)≠ 0 . 4-teorema . Agar P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va lim P→P0 f(P )= lim P→P0 g(P)= A bo‘lsa, u holda lim P→P0 ϕ(P)= A bo‘ladi. Misollar . 1. lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz: lim (x,y)→(2,−1) x=2 va lim (x,y)→(2,−1) y=−1 . U holda lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy = lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2) lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )= lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2 lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2 22+3⋅2⋅(− 1)=− 2. 2. lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y = lim x→0 √kx 2+9− 3 (1− k)x = lim x→0 kx 2 (1− k)x(√kx 2+9+3) = 21 = lim x→0 kx (1− k)(√kx 2+3+3) = 0 6(1− k) = 0.Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi limx→x0 (limy→y0 f(x,y)) va limy→y0 (limx→x0 f(x,y)) limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y) karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz. MISOLLAR 1-misol: Funksiya: f(x) = 3x + 2 Limit: x → 2 Yechim: f(2) = 3·2 + 2 = 6 + 2 = 8 Demak, lim x→2 f(x) = 8 Bu yerda funksiya to‘g‘ri chiziq, har qanday nuqtada aniqlangan va uzluksiz, shuning uchun limit mavjud va 8 ga teng. 2-misol: Funksiya: f(x) = (x² - 4)/(x - 2) Limit: x → 2 Yechim: (x² - 4) = (x - 2)(x + 2), shuning uchun: f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2 (x ≠ 2) Endi x → 2 da: f(x) → 2 + 2 = 4 22 Demak, lim x→2 f(x) = 4 Bu yerda x = 2 nuqtada funksiya aniqlanmagan, lekin limit mavjud. 3-misol: Funksiya: f(x) = sin(x)/x Limit: x → 0 Yechim: Bu limit matematikada mashhur limitlardan biridir va sin(x)/x → 1 bo‘ladi. Demak, lim x→0 sin(x)/x = 1 Bu limit trigonometrik limitlardan biri hisoblanadi. 4-misol: Funksiya: f(x) = (x² + x - 6)/(x - 2) Limit: x → 2 Yechim: f(x) = [(x - 2)(x + 3)] / (x - 2) = x + 3 (x ≠ 2) x → 2 da: f(x) → 2 + 3 = 5 Demak, lim x→2 f(x) = 5 Bu yerda ham funksiya x = 2 nuqtada aniqlanmagan bo‘lsa-da, limit mavjud. 23 XULOSA Bizga ma’lumki funksiyaning limiti matematik analiz asoslari fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridaan biri bo‘lib hisoblanadi.Limitga ega bo‘lgan funksiyalar– matematik analiz asoslari fanini yaxshi o‘zlashtirish, unga tegishli bo‘lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi. Ushbu kurs ishida matematik tahlilning eng asosiy va dolzarb tushunchalaridan biri bo‘lgan limit tushunchasi keng qamrovda o‘rganildi. Ayniqsa, funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishi holatlari va bu limitga ega funksiyalarning asosiy xossalari nazariy va amaliy jihatdan yoritildi. Kurs ishining har bir bo‘limi mazkur mavzuni ketma-ket chuqurlashtirib, nazariy bilimlarni mustahkamlovchi isbotlar va misollar bilan boyitilgan. Avvalo, to‘plamning limit nuqtasi tushunchasi tahlil qilindi. Bu tushuncha matematik analizda muhim o‘rin tutadi, chunki har qanday limit yoki uzluksizlik haqida fikr yuritishda, avvalo, to‘plamdagi nuqtalarning qanday yaqinlashishi, ya’ni limit nuqtalar mavjudligi muhim ahamiyatga ega. Kurs ishining birinchi bo‘limida limit nuqtasining formal ta’rifi, uning mavjud bo‘lish shartlari, misollar orqali tasdiqlangan holda bayon etildi. Limit nuqtasi tushunchasi orqali biz funksiyalar va ketma-ketliklar limitining mavjudligi haqida umumiy tasavvurga ega bo‘lamiz.Ikkinchi bo‘limda esa funksiyaning limiti tushunchasi hamda bu limit uchun mavjud bo‘lgan har xil ta’riflar o‘rganildi. Xususan, Epsilon-Delta ta’rifi, Chexov ta’rifi va boshqa ta’riflar ko‘rib chiqildi. Ular o‘zaro ekvivalentligi isbotlar yordamida asoslab berildi. Bu bo‘limda ta’riflar orasidagi farq va ularning mohiyat jihatdan bir xil natijaga olib kelishi batafsil tahlil qilindi. Bu esa talabalarga turli ta’riflar orqali bir xil limit holatini aniqlash imkonini beradi. Limit tushunchasining turli ifodalanishi, ayniqsa, murakkab funksiyalarni o‘rganishda qulaylik yaratadi. Uchinchi bo‘limda esa chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari 24 yoritildi. Bu xossalar funksiyalar ustida turli algebraik amallar bajarilganda limitlarning qanday o‘zini tutishini aniqlaydi. Jumladan, limitning chiziqlilik xossasi, ya’ni ikki funksiyaning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi yoki nisbatining limitlarini topish qoidalari ko‘rib chiqildi. Bu qoidalar nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy hisob-kitoblardagi soddalashtirishlar uchun ham muhim ahamiyatga ega. Shuningdek, ushbu bo‘limda uzluksizlik va limit tushunchalari o‘rtasidagi uzviy bog‘liqlik tahlil qilindi. Funksiya berilgan nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun, u yerda chekli limit mavjud bo‘lishi va bu limit funksiyaning o‘sha nuqtadagi qiymatiga teng bo‘lishi kerakligi isbotlandi. Bu esa real funksiyalarni o‘rganishda, grafik tahlillar olib borishda, hosila va integral kabi tushunchalarni aniqlashda zarur bo‘lgan nazariy asosni tashkil etadi. Kurs ishining nazariy asoslari matematik tahlil fanining poydevorini tashkil qiluvchi fundamental tushunchalarga tayangan holda yozilgan. Har bir ta’rif, xossa va teorema aniq isbotlar bilan mustahkamlangan. Misollar orqali mavzuga oid nazariy bilimlar amaliy nuqtai nazardan tasdiqlangan. Bu esa o‘z navbatida, talabaga mavzuni chuqurroq o‘zlashtirish imkonini beradi. Xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishi orqali talabalar limit tushunchasini chuqur o‘rganishlari, turli limit holatlarini tahlil qilishlari, funksiyalarning limitga ega bo‘lish shartlarini aniqlashlari va amaliy masalalarda bu bilimlarni qo‘llay olish ko‘nikmalarini shakllantirishlari mumkin. Shuningdek, bu bilimlar keyingi matematik tushunchalar — hosila, uzluksizlik, integral kabi mavzularni o‘rganishda mustahkam nazariy zamin bo‘lib xizmat qiladi.Kurs ishining muhim jihatlaridan biri bu mavzuning ta’lim jarayonidagi rolini yoritish bo‘ldi. Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari mavzusi o‘quvchilarga abstrakt fikrlash, mantiqiy xulosalar chiqarish, formulalar bilan ishlash va real muammolarni matematik modellashtirish ko‘nikmasini shakllantirishga xizmat qiladi. Shu bois, bu mavzuni chuqur o‘zlashtirish matematikaning boshqa bo‘limlarini, ayniqsa funksiyalar nazariyasi, differensial va integral hisob, ehtimollar nazariyasi kabi sohalarni o‘rganishda mustahkam poydevor bo‘ladi. 25 Kelgusida bu mavzuni yanada chuqurlashtirish uchun limit tushunchasining bir tomonlama limitlar, cheksiz limitlar, yo‘nalishli limitlar va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun limit kabi kengaytirilgan shakllari o‘rganilishi maqsadga muvofiqdir. Zero, limit tushunchasi nafaqat matematik analizda, balki fizika, iqtisod, informatika va muhandislik kabi sohalarda ham muhim va keng qo‘llaniladi. 26 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1) O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi Matematikaʺ sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risida gi PQ-4708-sonli Qarori. ʺ 2) Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent, O‘qituvchi , 1994. ʺ ʺ 3) Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, «Voris-nashriyot», 2010. 4) A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent, “O‘qituvchi” 2008. 5) Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть "Лань" 2015. 6) Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Санкт-Петербург. "Лань" 2021. 27 7) Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 1-часть Масква. "Наука" 200 3 8) A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil; 9) T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T: “Universitet” 2007 yil 10) G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil 11) B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil. 28 Internet saytlari: 1.Elektron jurnal : www.arki.ru 2. To‘liq matnli kutubxona : www.lib.ru 3. Maktabda axborot texnologiyalari: www.edunet.uz 4. Talaba yoshlar sayti: www.study.uz 5. Bilim portal: www.ziyonet.uz 29

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari

Купить