Cheksiz oraliq bo‘yicha olingan xosmas integrallar - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	51.2KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Cheksiz oraliq bo‘yicha olingan xosmas integrallar

Купить

Cheksiz oraliq bo’yicha olingan xosmas integrallar.
MUNDARIJA
Kirish:
I: Bob. Xosmas integrallar.
1.1. Chegarasi cheksiz xosmas integral haqida
tushuncha…
II: Bob. Chegaralari cheksiz xosmas integrallarning
yaqinlashishi.
2.1. Manfiy bo’lmagan funksiya xosmas integralining
yaqinlashishi…
2.2. Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining
yaqinlashuvchanligi …
Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Sh.Alimov, R.Ashurov. Matematik analiz. 2-qism.
Toshkent:”MUmtoz so’z”, 2018
2. T.Azlarov, X.Mansurov. Matematik analiz. 2-
qism. Toshkent “O’qituvchi” 1989.

1

Kirish.
Bizga “Matematik analiz” kursidan [a,b] oraliqda berilgan f(x)
funksiyaning Riman integrali tushunchasi yaxshi tanish. Riman
integralida integral oralig’ining chekliligi va funksiyaning
chegaralanganligini ko’rdik.
O’z-o’zidan
[ a , + ∞ ) ¿
yoki (− ∞ ,a], yoki (− ∞ ,+∞)¿ oraliqda berilgan f(x)
funksiyaning integrali yoki
[a,b] da berilgan, ammo chegaralanmagan
f(x)
funksiyaning integrali tushunchasini ham kiritib bo’ladimi degan
savol paydo bo’lishi tabiiy. Albatta, umumlashtirish shunday bo’lish
kerakki, natijada Riman integraliniing xossalari o’z kuchini saqlab
qolsin.
Biz ushbu kurs ishimizda ana shunday savollarga javob izlaymiz.

2

I: Bob. Xosmas integrallar.
1.1 Chegarasi cheksiz xosmas integral haqida
tushuncha
Biror f(x) funksiya ¿
oraliqda berilgan bo’lib, bu oraliqning istalgan
[a,t](a<t<+∞)
qismida integrallanuvchi, ya’ni ixtiyoriy t ( t > a )
uchun
ushbu:
∫a
t
f(x)dx

integral mavjud bo’lsin. Bu integral qaralayotgan funksiya, hamda
olingan
t ga bog’liq bo’lib, tayin f(x) uchun u faqat t o’zgaruvchining
funksiyasi bo’ladi:
∫
a t
f ( x ) dx = F ( t )
(1.1)
Natijada (1.1) munosabat bilan aniqlangan F ( t )

(t∈(a,+∞)) funksiyaga
ega bo’lamiz
1.1 Ta’rif: Agar t → + ∞
da
F(t) funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, bu
limit f ( x )
funksiyaning
¿ oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi
va u:
∫a
+∞
f(x)dx
kabi belgilanadi. Demak,
3

∫a
+∞
f(x)dx = limt→+∞F(t)= limt→+∞∫a
t
f(x)dx . (1.2)
1.2 Ta’rif: Agar
t→ +∞ da F ( t )
funksiyaning limiti mavjud bo’lib, u
chekli bo’lsa, (1.2) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi, f ( x )
esa
cheksiz ¿
oraliqda integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
Agar
t→ +∞ da F ( t )
funksiyaning limiti cheksiz bo’lsa, (1.2) integral
uzoqlashuvchi deb ataladi.
Funksiyaning ¿
va ( − ∞ , + ∞ )
oraliqlar bo’yicha xosmas integrallari ham
yuqoridagi kabi ta’riflandi.
Biz funksiyaning ( − ∞ , + ∞ )
oraliqdagi xosmas integralining ta’rifini
ketiramiz.
f(x)
funksiya ( − ∞ , + ∞ )
oraliqda berilgan bo’lb, bu oraliqning istalgan
[
τ , t ] ( − ∞ < τ < t < + ∞ )
qismida integrallanuvchi, ya’ni
∫
τt
f ( x ) dx = ψ ( τ , t )

integral mavjud bo’lsin,
1.3 Ta’rif: τ → − ∞ , t → + ∞
da
ψ(τ,t) funksiyaning limiti
lim
τ → − ∞
t → + ∞ ψ ( τ , t )

mavjud bo’lsa, bu limit
f(x) funksiyaning cheksiz ( − ∞ , + ∞ )

oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u
∫−∞
+∞
f(x)dx

kabi belgilanadi. Demak,
∫−∞
+∞
f(x)dx = limτ→−∞ t→+∞
ψ(τ,t)= limτ→−∞ t→+∞
∫τ
t
f(x)dx
(1.3)
1.4 Ta’rif: Agar τ → − ∞ , t → + ∞
da
ψ(τ,t) funksiyaning limiti
mavjud bo’lib, u chekli bo’lsa, (1.3) integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
4

f ( x )
esa cheksiz ( − ∞ , + ∞ )
oraliqda integrallanuvchi funksiya deb
ataladi.
Agar τ → − ∞ , t → + ∞
da ψ(τ,t) funksiyaning limiti cheksiz bo’lsa,
(1.3) integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Aniq integral xossasiga ko’ra, ∀ a ∈ R
uchun
∫τ
t
f(x)dx =∫τ
a
f(x)dx +∫a
t
f(x)dx
bo’lishini e’tiborga olsak, u holda
∫−∞
+∞
f(x)dx ning mavjud bo’lishi
∫
− ∞a
f ( x ) dx
va
∫
a+ ∞
f ( x ) dx
integrallarning har birining alohida-alohida
mavjud bo’lishidan kelib chiqadi. Demak, uni quyidagicha ham
aniqlash mumkin bo’ladi:

∫−∞
+∞
f(x)dx = ∫−∞
a
f(x)dx +∫a
+∞
f(x)dx ( ∀ a∈R¿
Shunday qilib, xosmas integral tushunchasi avval o’rgangan Riman
integrali tushunchasidan yana bir marta limitga o’tish amali orqali
yuzaga kelar ekan. Endi misollarda bilimimizni mustahkamlaymiz.
1-misol: ∫
0+ ∞
e − x
dx
ta’rifga ko’ra integralni hisoblang.
Yechish: Ta’rifga ko’ra

∫0
+∞
e−xdx = limt→+∞∫0
t
e−xdx
F(t)=∫0
t
e−xdx =− e−t+1
5

Endi F(t) funksiyaning limitini hisoblaymiz:
lim
t → + ∞ F
( t) = lim
t → + ∞ − e − t
+ 1 = 1
Limit mavjud ekan demak berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi
ekan va uning qiymati
∫0
+∞
e−xdx =1
ga teng bo’ladi.
2-misol:
∫−∞
0 dx
1+x2
Yechish:
xosmas integral ta’rifiga ko’ra
∫−∞
0 dx
1+x2=¿limt→−∞∫t
0 dx
1+x2= ¿limt→−∞(− arctgt )= π
2¿¿
bo’ladi. Demak integral yaqinlashuvchi va
∫−∞
0 dx
1+x2= π
2
6

II: Bob. Chegaralari cheksiz xosmas integrallarning
yaqinlashishi.
2.1. Manfiy bo’lmagan funksiya xosmas
integralining yaqinlashishi…
Endi [a,+∞) oraliqda berilgan f ( x )
funksiyaning ∫a
+∞
f(x)dx xosmas
integrallarning yaqinlashuvchili shartini toppish bilan shug’ullanamiz.
Ma’lumki ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
integralning yaqinlashuvchiligi t → + ∞
da
F(t)=∫a
t
f(x)dx (t>a)
funksiyaning chekli limitga ega bo’lishi bilan ta’riflanar edi. Demak
∫
a+ ∞
f
( x ) dx
integralning yaqinlshuvchilik sharti, t → + ∞
da F ( t )
funksiyaning chekli limitga ega bo’ish shartidan iborat.
f(x)
funksiya ¿ oraliqda berilgan bo’lib, ∀ x∈¿ da f ( x ) ≥ 0
bo’lsin. Bu
f(x)
funksiyani ¿
oraliqning istalgan [a,t] ( a < t < + ∞ )
qismida
integrallanuvchi deb qaraylik. Unda
a<t1<t2<+∞ lar uchun
F(t2)=∫a
t2
f(x)dx =∫a
t1
f(x)dx +∫t1
t2
f(x)dx = F (t1)+∫t1
t2
f(x)dx ≥F(t1)
7

bo’ladi. Demak, f ( x ) ≥ 0
bo’lganda F ( t )
funksiya o’suvchi bo’lar ekan.
Bundan ko’rinadki, t → + ∞
da F(t) funksiya hamma vaqtlimitga (chekli
yoki cheksiz) ega bo’ladi.
2.1 Teorema: f ( x )
( f ( x ) ≥ 0 )
funksiya xosmas integrali
∫a
+∞
f(x)dx ning
yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, { F
( t) }
ning yuqoridan chegaralangan,
ya’ni,
∀ t∈(a,+∞) uchun
F
( t) =
∫
a t
f ( x ) dx ≤ C
( C = const )
bo’lishi zarur va yetarli.
2.1 Natija: Agar
{F (t)}={∫a
t
f(x)dx } to’plam yuqoridan chegaralangan
bo’lsa, u holda ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi
2.2 Teorema (Taqqoslash teoramasi):
f(x) va g ( x )
funksiyalar ¿
oraliqda berilgan bo’lib,
∀ x∈[a,+∞] da

0≤ f(x)≤g(x) (2.1)
bo’lsin. U holda
∫a
+∞
g(x)dx yaqinlashuvchi bo’lsa, ∫a
+∞
f(x)dx ham
yaqinlashuvchi bo’ladi. ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
uzoqlashuvchi bo’lsa, ∫
a+ ∞
g ( x ) dx
ham
uzoqlashuvchi bo’ladi.
2.3 Teorema:
¿ da f(x) va g(x) manfiy bo’lmagan funksiyalar berilgan
bo’lsin.
x→ +∞ da f(x)
g(x) nisbating limiti k
bo’lsin:
lim
x → + ∞ f
( x )
g
( x ) = k
.
8

Agar k<+∞ va ∫a
+∞
g(x)dx integral yaqinlashuvchi bo’lsa, ∫a
+∞
f(x)dx integral
ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Agar k > 0
va ∫
a+ ∞
g
( x ) dx
integral
uzoqlashuvchi bo’lsa,
∫a
+∞
f(x)dx integral ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
2.2 Natija: 2.3 teorema shartlarida agar
0<k<+∞ bo’lsa, u holda
∫
a+ ∞
f
( x ) dx
va
∫
a+ ∞
g ( x ) dx
integrallar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi, yoki
uzoqlashuvchi bo’ladi.
Odatda, biror (murakkabroq) xosmas integralning yaqinashuvchiligi
haqida avvaldan yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligi ma’lum
bo’lgan xosmas integral bilan solishtirib xulosa chiqariladi. Xususan
tekshirilayotgan
∫a
+∞
f(x)dx
( f ( x ) ≥ 0 )
integralni ∫a
+∞dx
xα ( a > 0 , α > 0 )
integral bn solishtirib
quyidagi alomatlarni hosil qilamiz.
10
. Agar x
ning yetarlicha katta qiymatida ¿
)
f(x)= φ(x)
xα
bo’lsa, u holda
∀ x>x0 uchun φ ( x ) ≤ c < + ∞
va α>1 bo’lganda ∫a
+∞
f(x)dx
integral yaqinlashuvchi, φ
( x ) ≥ c > 0
va α≤1 bo’lganda ∫
a+ ∞
f ( x ) dx
integral
uzoqlashuvchi bo’ladi.
20.
Agar x→ +∞ da f(x) funksiyani 1
x ga nisbatan α ( α > 0 )
tartibli cheksiz
kichik bo’lsa, u holda
∫a
+∞
f(x)dx integral α>1 da yaqinlashuvchi, α≤1 da
esa uzoqlashuvchi bo’ladi.
9

Misollar:
1) Yaqinlashuvchanlikka tekshiring: ∫0
+∞
e−x2dx
Yechish:
Ko’rinib turibdiki
∀ x≥1 uchun
e − x 2
≤ 1
x 2
bo’ladi. Agar
∫0
+∞
e−x2dx =∫0
1
e−x2dx +∫1
+∞
e−x2dx hamda ∫0
+∞dx
x2 integralning
yaqinlashuvchi ekanligini hisobga olsak, unda 1 0
-alomatga ko’ra
berilgan integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
2) Integralni yaqinlashuvchanlikka tekshiring:
∫1
+∞ dx
x3√x2+x
Yechish:
Quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:

1
x3√x2+x
= 1
x
533
√1+1
x
≤ 1
x
53
,x≥1
bu tengsizlik o’rinli ekanligidan va yuqoridagi a’lomatga ko’ra bu
integral yaqinlashuvchi.
3) ∫
1+ ∞
cos 2
3 x
3
√
x 5
+ 1 dx
integralni yaqinlashuvchanlikka tekshring.
Yechish:
[1;+
∞ ¿ da quyidagi tengsizlik o’rini
0≤ cos 23x
3√x5+1
< 1
3√x5,
va ∫
1+ ∞
1
3 √
x 5 dx = x − 5
3 + 1
− 5
3 + 1 |
1 ∞
= − 3
2 x 2
3 |
1 ∞
= 3
2
u holda yuqoridagi alomatga ko’ra berilgan integral yaqinlashuvchi
bo’ladi.
10

2.2 Ixtiyoriy funksiya xosmas integralining
yaqinlashuvchanligi
Biz [ a , + ∞ )
0raqliqda berilgan f ( x )
funksiyaning shu oraliq bo’yicha
olingan ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
xosmas integralni
F(t)=∫a
t
f(x)dx
Funksiya
t→ +∞ da chekli limitga ega bo’lgan holda yaqinlashuvchi
deb atadik. Demak ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
xosmas integralning yaqinlashuvchanligi
tushunchasi, biz avval o’rgangan tushuncha funksiyaning chekli limiti
orqali ifodalanadi. Binobarin, bu integralning yaqinlashuvchanlik
sharti
F(t) funksiyaning t → + ∞
dagi chekli limiti mavjud bo’lishi
shartidan iborat bo’ladi.
Bu bolimimizda biz faqat musbat fuksiyalar uchun emas ixtiyoriy
funksiya uchun cheksiz oraliq bo’yicha olingan xosmas integralning
yaqinlashish masalasini korib chiqamiz.
1-Teorema: (Koshi teoremasi).
Quyidagi
∫a
+∞
f(x)dx xosmas integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun ,
∀ ε>0
son olganda ham, shunday t0(t0>a) soni topilib , t'>t0,t''>t0 bo’lgan
ixtiyoriy
t',t'' lar uchun
11

|F ( t ' ' )
− F ( t ' )|
= |
∫
t 't ' '
f ( x ) dx | < ε
tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
2-Teorema: Agar
∫a
+∞
|f(x)|dx integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda
∫a
+∞
f(x)dx
integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Eslatma: ∫
a+ ∞
|
f ( x )| dx
integralning uzoqashuvchi bo’lishidan ∫
a+ ∞
f ( x ) dx
integralning uzoqlashuvchi bo’lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi, ya’ni ba’zi funksiyalar uchun
∫a
+∞
|f(x)|dx uzoqlashuvchi,
ammo ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
integral esa uzoqlashuvchi.
Misol uchun ∫
1+ ∞
(
− 1 )[ x]
[ x ] dx
integral yaqinashuvchi, ammo ∫
1+ ∞
|
(
− 1 )[ x]
[
x ] | dx
esa
uzoqlashuvchi.
1-Ta’rif: Agar ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
integral yaqinlashuvchi bo’lib, ∫
a+ ∞ |
f ( x )| dx
integral uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda
∫a
+∞
f(x)dx integral shartli
yaqinlashuvchi deyiladi.
Yuqordagi mulohazakarimizdan quyidagilarni xulosa qilishimiz
mumkin.
∀ x∈¿ da f ( x ) ≥ 0
bo’lsin. Bu holda ∫
a+ ∞
f ( x ) dx
integralning
yaqinlashuvchi (uzolashuvchi) ligini bundan avvalgi mavzuda
gaplashdik. Boshqa hollarda esa
f(x) funksiyaning | f ( x )|
absolyut
qiymatining
¿ oraliq bo’yicha ∫a
+∞
|f(x)|dx integralini qaraymiz. Agar
∫
a+ ∞
|
f ( x )| dx
integral yaqinlashuvchi bo’lsa, undan
∫
a+ ∞
f ( x ) dx
integralning
12

ham yaqinlashuvchanligi ( hattoki absolyut yaqinlashuvchanligi) kelib
chiqadi.
Agar birorta alomatga ko’ra ∫a
+∞
|f(x)|dx integralning
uzoqlashuvchanligini aniqlasak, aytish mumkinki ∫
a+ ∞
f
( x ) dx
integral
ham uzoqlashuvchi bo’ladi, yoki shartli yaqinlashuvchi bo’lar ekan.
3-Teorema (Dirixle a’lomati)
f(x) va g(x) funksiyalar ¿
oraliqda
berilgan bo’lib ular quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
f(x) funksiya ¿
oraliqda uzluksiz va uning shu oraliqdagi
boshlang’ich F
( x )( F ' (
x ) = f ( x ))
funksiyasi chegaralangan.
2) g ( x )
funksiya
¿ oraliqda g '
( x )
hosilaga ega va u uzluksiz funksiya,
3) g ( x )
funksiya
¿ oraliqda kamayuvchi,
4)
limx→+∞g(x)=0
U holda
∫a
+∞
f(x)g(x)dx
integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
Misol:
1)
∫a
+∞cosx
x2 dx xosmas integralning absolyut yaqinlashuvchiligini
isbotlang.
Yechish. Ushbu
∫1
+∞
|
cosx
x2|dx integralni qaraymiz. Ravshanki, | cosx
x 2 | ≤ 1
x 2 ,
∀ x∈¿
va ∫1
+∞ 1
x2dx =(
−1
x )|1+∞=1 ekanligidan taqqoslash teoremasiga
13

ko’ra, ∫1
+∞
|
cosx
x2|dx integral yaqinlashuvchi bo’ladi. Demal berilgan
integralimiz absolyut yaqinlashuvchi.

14

Cheksiz oraliq bo‘yicha olingan xosmas integrallar

Купить

Похожие документы
Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi