Информация о документе

Цена 21000UZS
Размер 411.2KB
Покупки 1
Дата загрузки 25 Ноябрь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Sherzod Sultonov

Дата регистрации 10 Июнь 2025

1 Продаж

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli

Купить
Andijon davlat pedagogika instituti Aniq fanlar fakulteti Matematika va informatika yo’nalishi Algebra va sonlar nazariyasi fanidan Kurs ishi Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli Bajardi: 303-guruh talabasi Jalolova Shaxnozabonu Reja: Kirish 1.BOB.Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar 1.2. C h iziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish 2.BOB. Kroneker-Kapelli teoremasi 2.1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. 2.2. CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish: Kurs ishining maqsadi: Iqtisodiy masalalarni (rejalastirish, 1 boshqarish va boshqa masalalarni) yechishda ko‘p noma‘lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi qo‘llaniladi. m ta tenglamalardan tuzilgan n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagicha yozish mumkin: Determinantning birinchi, ikkinchi va uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar almashtirib uchda determinantlarni hosil qilamiz hamda ularni ham A A Ak vektorlar sistemasining rangi 1 ( ,..., ) k r A A vektorlar soni k dan kichik bo lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liqʻ bo ladi. Agar r k = bo lsa, u holda 1 2 , ,..., A A Ak vektorlar sistemasi chiziqli erkli ʻ ʻ bo ladi. ʻ Kurs ishining ahamiyati: Xususan, bu tasdiqdan, bir xil o lchovli vektorlar ʻ sistemasidagi vektorlar soni bu vektorlarning o lchovidan, ya’ni rangidan katta ʻ bo lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bo gliq bo lishi kelib chiqadi. ʻ ʻ ʻ Haqiqatan ham 1 2 , ,..., A A Ak vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan, 2. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi. 2-ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi. 2-teorema. AX =  tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat. Kurs ishining vazifasi: Isbot. 1 2 , ,..., X X Xk vektorlar sistemasi AX =  tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi bo lsin. X0 vektor esa ʻ tenglamalar sistemasining boshqa ixtiyoriy yechimi bo lsin. U holda, ta’rifga asosan, ʻ 0 1 2 , , ,..., X X X Xk vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Ya’ni shunday kamida bittasi noldan farqli 0 1 , ,...,    k sonlar mavjudki, 0 0 1 1 ... .  Kurs ishining tuzilishi: Kirish qismi, 2 bob ,4 bo’li, , xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tuzilgan 1 Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное пособие . 2014. – 52 с . 1.BOB.Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar. 1.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeshishning ahamiyati va qoidalari Lemma: Chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matrisaning ranglar teng yoki bittaga ortiq. Isbot. Haqiqatan ham ning noldan 2 farqli eng katta minori da ham noldan farqli minor bo’ladi. Agar bu minor da ham noldan farqli eng katta minor bo’lsa, uning ranglari teng bo’ladi. Keyingi tartibli minor ozod usutuni o’z ichiga oluqchi tartibli minor bo’lib, bu noldan farqli bo’lsa, bo’ladi. Lemma isbot bo’ldi. Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish masalasi quyidagi Kroneker –Kapelli deb nomlanuvchi teorema orqali to’la hal qilinadi: Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi) Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi. Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin. U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak va vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni . 2 Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. – 433 p . Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda lemmaga asosan martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak lar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda. Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz: Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi. Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi. Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak. Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi. Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan t akomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlari ni topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish bi lan shugulanamiz. Endi bu o’tgan ma’ruazalardagi ma’lumotlarni eslaymiz: Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar almashtirishlari deb nimaga aytiladi? Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasizlar? Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi? Matrisaning rangi haqidagi teorema qanday ifodalanadi? Matrisaning rangi qanday yo’llar bilan topiladi? A va B matrisalarning ranglari haqida nima deyish mumkin, ya’ni ular tengmi yoki qaysi birining rangi katta? Qanday o’ylasizlar, A va B matrisalarning ranglari bilan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi orasida bog’lanish bormi yoki yo’qmi? Oxirgi savolga javobni quyidagi Kroneker –Kapelli teoremasi beradi: Teorema - 1(Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarlidir, ya’ni Teoremani isbot qilamiz. Zarurligi . Aytaylik (1) birgalikda bo’lsin, ya’ni shunday Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning 1-nchi ustunini ga, 2-nchi ustunini ga va hakoza, - nchi ustunini ga ko’paytirib, ularning hammasini -nchi ustunga qo’shib yuboramiz. Natijada quyidagi matrisani hosil qilamiz: Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi. Shunday qilib , . Yetarliligi. Endi (1) sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lsin. . Umumiylikka zarar keltirmasdan va qulayligi uchun A matrisaning rangini aniqlaydigan r -tartibli minor matrisaning yuqori chap burchagida joylashgan bo’lsin deb olamiz, yani U holda B matrisaning dastlabki - satri chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki bu matrisaning rangi ga teng, B matrisaning qolgan ta satrlari dastlabki -ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bu esa (1) sistemaning dastlabki –ta tenglamasi chiziqli bog’lanmaganligini, qolgan ta tenglamalari esa ularning chiziqli kombinasiyalaridan iborat ekanligini anglatadi. Demak, ChTSlarning elementar almashtirishlari yordamida keyingi ta tenglamalar nolga aylantirilishi mumkin. Bu holda (1) sistemada ta tenglama qoladi. Bizga shu –ta tenglamadan iborat bo’lgan sistemani yechish yetarli. Topilgan yechimlar qolgan ta tenglamalarni ham qanoatlantiradi. Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin. sistemaning asosiy determinanti bo’lib, bu sistemani Kramer formulalari bilan yechish mumkin. Bu holda (1) sistema birgalikda bo’lib, yagona yechimga ega bo’ladi. 2) . Bu holda (1) sistemaning ta tenglamasini qoldiramiz. Bu tenglamalarda dastlabki ta noma’lumni tenglikning chap tomonida qoldirib qolganlarini o’ng tomonga o’tkazamiz: sistemadagi noma’lumlarni ozod noma’lumlar deb e’lon qilamiz va ularga ixtiyoriy qiymatlar beramiz. Natijada (4) sistemadan asosiy noma’lumlar larning mos qiymatlarini hosil qilamiz. Bu holda (1) sistema birgalikda bo’lib, u cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi, ya’ni aniqmas sistemadan iborat bo’ladi. (4) sistemaning asosiy noma’lumlarini ozod noma’lumlar orqali ifodalangan yechimiga (1) sistemaning umumiy yechim deyiladi. Shunday qilib, agar bo’lsa, (1) sistema birgalikda (aniq yoki aniqmas), bo’lsa, (1) sistema birgalikda bo’lmaydi. Teorema isbot bo’ldi. 1) sistemaning o’ng tomonidagi ozod hadlari nolga teng bo’lsa, unga bir jinsli deyiladi: 1) . Bu holda (1) sistemaning dastlabki ta tenglamasidan iborat bo’lgan U holda B matrisaning dastlabki - satri chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki bu matrisaning rangi ga teng, B matrisaning qolgan ta satrlari dastlabki -ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bu esa (1) sistemaning dastlabki –ta tenglamasi chiziqli bog’lanmaganligini, qolgan ta tenglamalari esa ularning chiziqli kombinasiyalaridan iborat ekanligini anglatadi. Demak, ChTSlarning elementar almashtirishlari yordamida keyingi ta tenglamalar nolga aylantirilishi mumkin. Bu holda (1) sistemada ta tenglama qoladi. Bizga shu –ta tenglamadan iborat bo’lgan sistemani yechish yetarli. Topilgan yechimlar qolgan ta tenglamalarni ham qanoatlantiradi. Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin. 1) . Bu holda (1) sistemaning dastlabki ta tenglamasidan iborat bo’lgan Faraz kilaylik sistema birgalikda bulib, aniklovchi minor ( bu minorlar bir nechta bulishi mumkin) bulsin. Koeffisiyentlari shu minorni beruvchi ta noma’lumlar tenglamani chap tomoniga koldirib, koeffisiyentlari bu minorga kir ishgan tenglamalrni tashlab yuboramiz. Bundan tashkari kolgan noma’lumla rini tenglamaning ung tomoniga utkazib, ularni ozod uzgaruvchilar sifatida kabul kil amiz. Natijada biz (1) sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bulgan ta noma’lumni ta tenglamalr sistemasi xosil kilib, bu tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farkli minordan iborat buladi. Xosil bulgan tenglamalar sistemasiga Kra mer koidasini kullab, noma’lumlarni topamiz va natijada ozod uzgaruvchining xar bi r kiymatlarida ta noma’lumlar topiladi va ular birgalikda (1) sistemaning yechimi buladi. Tabiiyki, agar biz bulsa, (1) tenglamalar sistemasif. Ta noma’lumli ta tenglamalr sistemasini beradi va dem ak Kramer koidasiga asosan bu tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega buladi. Misol. Ushbu tenglamalar sistemasini birgalikda bo`lishga tekshiramiz: Bizga ma’lumki bo`lib, minor rangni aniqlovchi minordir. Endi matritsaning rangini topamiz. Buning uchun shu minorni o`z ichig a oluvchi xarakteristik minorlarini xisoblaymiz: va demak bo`lib, sistema birgalikda bo`ladi. Endi koeffisiyentlari mi norni beruvchi minorlar tenglamaning chap tomoniga koldirib, t a noma’lumlar tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazib, ozod uzgaruvchila r sifatida qabul qilamiz va sistemadagi uchinchi tenglamani tashlab yuboramiz. Natij ada sistemaga teng kuchli bo’lgan sistemani hosil qilamiz. Endi umumiy yechimga masalan qiymatlar bersak umumiy yechimi bulib, ixtiyoriy qiymatlar berib, larni topamiz. ikkii noma’lumli ikiita tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Kramer qoidasini qo’llab, hosil qilamiz va demak va buni (1, 15, 5, 1, 1) vektor kurinishda yozamiz. Sonlar sistemanig yechimi bo’ladi (tekshiringlar). Huddi shunday sistemaning umumiy yechimidagi noma’lumlarga ixtiyoriy kiymatlar berib, larni topib, sistemaning yechimlarini hosil qilamiz. Tabiyki Kramer – Kapelli teorema nazariy nuqtai nazardan takomillashgan bo’lib, amaliy nuqtai naza rdan murakkab bo’lib unga qaraganda Gauss usuli ancha qulaydir, lekin shunga qaral ganda amalda biz bu usllarni birgalikda tatbiq qilib sistemalarni ishlasak, uni yanada roq oson va tez yechimlari masalasini baholab, yechishimiz mumkin. Algebrada, matematikada va umuman boshqa sohadagi fanlarda ma’lum bir sohani (obyektni) o’rganish uncha ahamiyat kasb yetmasahamki, ulardan kelib chiqadigan yangi yo’nalishlarning ahamiyati katta ahamiyatga ega bo’lishi mumkin. Birinchi misolimizda chiziqli tenglamalar va ularning yechilishi masalasi davomida biz algebraning yangi tarmoqlari: determinantlar nazariyasi, o’rniga qo’yishlar gruppasi (chekli gruppalar nazariyada juda katta ahmiyatga ega), matrisalar haqida tushunchalar (keyinchalik bu yo’nalishni davom ettiramiz), arifmetik fazolar (keyinchalik bu chiziqli fazolar va ularni o’rganishga olib keladi) va bu yerda yaratilgan usullar kelajakda biz o’rganayotgan algebra va sonlar nazariyasi kursida, matematikaning boshqa tarmoqlarida va boshqa fanlarda (masalan biz fizikada ayrim tadbiqlarini misolda keltirib o’tdik) juda katta ahamiyat kasb etadi. Bundan tashqari biz algebraik nuqtai nazardan qaraganimizda tenglamani yechish masalasida butun sonlar to’plami (haqiqiy) vujudga kelishini (masalan, tenglama da yechimga ega emas, ammo ni tenglamani yechimlari yordamida kengaytirilgan butun solar halqasida yechimga ega) va , tenglamani da ham yechimga ega bo’lmasligi turli uning yechimlarini (rasional sonlar) halqa bilan birlashtirgan, rasional sonlar to’plamini (maydonini) hosil bo’lishligini bilamiz. Bundan tashqari tenglama rasional sonlar maydonida yechimga ega bo’lmasligi va uning yechimlarini to’plamga biriktirib, haqiqiy sonlar to’plamini, , tenglamani da yechilmasligidan, uni mavhum yechimi bor deb, bu mavhum yechimlar bilan birgalikda, ya’ni ni mavhum son bilan kengaytirib, kompleks sonlar to’plami (maydoni) hosil bo’lishligi bizga tenglamalar, tenglamalar sistemasi va umuman tenglamalarni o’rganish katta ahamiyat kasb etadi (keyinchalik biz ko’phadlar halqasida bu kabi misolar bilan shug’ullanamiz). Bizga maydonda tartibli bir jinsli chiziqli tenglamar si stemasi (1)yoki (2) berilgan bo’lsin. Berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasi hamma vaqt birgalikda, chunki nollar sistemasining yechimi bo’ladi. Bundan tashqari Kroniker – Kapilli teoremasi bu sistemani birgalikda bo’lishligini tasdiqlaydi, chunki va bu teoremaga asosan, agar bo’lsa, sistemani Kramer qoidasiga asosan bo’lganligi uchun aynan yerl yechimlarga ega bo’ladi. Agar bo’lsa, (1) sistemani nol bilan birgalikda nolmas yechimlarga ham ega bo’ladi. Biz yechimlarni Kroniker – Kapelli teoremasidan kelib chiqqan usul yordamida quyidagicha topa olamiz, ya’ni agar (1) sistemaning rangini aniqlovchi matrisaning bo’lsa koeffisiyentlari shu miqdorni beruvchi noma’lumlar (1) sistemaning chap tomoniga qoldirib qolgan noma’lumlar sistemasining o’ng tomoniga o’tkazilib, ozod o’zgaruvchilar sifatida qoldiriladi va koeffisiyentlar minorga kirgan tengliklar tashlab yuboriladi. Hosil bo’lgan sistemani (1) sisitemaga ekvivalent (tengkuchli) bo’ladi. Agarda biz minorni bosh minor deb olsak, u holda aytilganlarni quyidagicha yozishimiz mumkin: Berilgan bir jinsli sistema umumiy yechimini vektor shaklda quring:  4 x 1  7 x 2  2 x 3  3 x 4  0  x  3 x  x  2 x  0  1 2 3 4  2 x  x  4 x  x  0  1 2 3 4 Yechish:           0 х  47 2 3 0   0  5 6 5 0   0 1  1 , 2 1 0   1 3  1 2 0    1 3  1 2 0    1 0 2 , 6 1 0   2 1 4 1 0   0  5 6 5 0   0 0 0 0  m  4, r  2 bo‘lgani uchun m  r  2 ta chiziqli erkli e1(1;0 ) va e 2 (0;1) sistemani tanlaymiz. e1(1;0 ) vektor koordinatalarini umumiy yechimning mos erkli noma’lumlari o‘rniga qo‘yib, bazis noma’lumlarni aniqlaymiz va F 1 (  2,6;1, 2;1;0) fundamental yechimni quramiz. e 2 (0;1) vektor yordamida F2 (1; 1;0;1) fundamental yechimni quramiz. Boshqacha qilib aytganda kengaytirilgan matritsadagi koeffitsiyentlarni sistemaga qo‘yamiz:  х 1   2,6 х 3  х 4  х 2  х  1,2 х 3 2,6 х  х 4  0  х  0   2  х  1,2 х 3 х  х 4  1 3 4  3 3   х 4  х 4 Fundamental yechimlar F1(2,6;1, 2;1;0) va F2 (1; 1;0;1) quriladi. Sistema umumiy yechimi vektor shaklini yozamiz:   2 , 6   1   1 , 2    1  X    F        1 1 2 2 1  1  2  0   0   1  bu yerda  1 va  2     lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar.         3.1. Berilgan bir jinsli bo lmaganʻ sistema umumiy yechimini vektor shaklda  4 x 1  7 x 2  2 x 3  3 x 4  8 quring:  x  3 x  x  2 x  3  1 2 3 4  2 x  x  4 x  x  2  1 2 3 4 Yechish:  4 7 2 3 8   0  5 6  5  4   0 1  1 , 2 1 0 , 8   1 3  1 2 3    1 3  1 2    3    1 0 2 , 6 1 0 , 6   2 1 4  1 2   0  5 6  5  4   0 0 0 0 0  F0  0,6; 0,8; 0; 0 sistemaning xususiy yechimlaridan birini qurdik. Sistema umumiy yechimi vektor shaklini yozamiz:  0 , 6    2 , 6   1   0 , 8   1 , 2    1  X  F   F   F            0 1 1 2 2  0  1  1  2  0   0   0   1  bu yerda  1 va  2       lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini toping va umumiy yechimini yozing: 3.2.  x 1  x 2  x 3  x 4  0  x  x  2 x  x  0  1 2 3 4 Chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini toping va umumiy yechimini yozing:  x 1  x 2  x 3  x 4  x 5  0 3.4.  x  x  2 x  2 x  x  0  1 2 3 4 5  x  x  3 x  4 x  3 x  0  1 2 3 4 5  x 1  x 2  x 3  2 x 4  0 3.5.  x  x  2 x  x  0  1 2 3 4  2 x  2 x  4 x  3 x  0  1 2 3 4 Ma’lumki bir necha tenglamalar 3 birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Tenglamalar sistemasidagi hamma tenglamalar chiziqli (1-darajali) bo’lsa, bunday tenglamalar sistemasiga chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o’rniga ma’lum sonlar majmuini qo’yganda, sistemaning hamma tenglamalari ayniyatga aylansa, bunday sonlar majmuiga tenglamalar sistemasining yechimi (ildizi) deyiladi. Bunday sonlar majmui bitta bo’lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lib, bu sistema aniqlangan (tayin, muayyan) deb ataladi va bu tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Birgalikda bo’lgan sistema bittadan ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday sistema aniq bo’lmagan sistema deyiladi. Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega bo’lsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi. 1.2. C h iziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish . Tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo’lmasa, bunday sistemaga birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini 0dan farqli songa ko’paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo’shish bilan hosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo’ladi (bu xossadan kelgusida ko’p foydalaniladi). Fan va texnikaning ko’p sohalarida bo’lganidek, iqtisodiyotning ham ko’p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Chiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga iqtisodiyotdan misol qaraymiz. 1-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan. 1-jadval. Xom - ashyo xillari Mahsulot turlari bo’yicha xom-ashyo sarflari Xom - ashyo zahirasi 1 2 3 1 5 12 7 2000 2 10 6 8 1660 3 9 11 4 2070 Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo’yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. 3 Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 200. – 432 c. Echish: Ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1,x2,x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik bo’lganligi uchun 5 x1 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12 x2 , 7 x3 bo’lib, uning uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 x1 + 12 x2 + 7 x3 =2000. Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun 10 x1+6x2+8x3= 1660 , 9 x1+11 x2+ 4 x3= 2070 tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch nomag’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 5 x1 + 12 x2 + 7 x3 =2000 , {5x 1 +12x 2 +7x 3 =2000 ,¿{10x 1 +6x 2 +8x 3 =1660 ,¿¿¿¿ 9 x1+11 x2+ 4 x3= 2070 . Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni umumiy holda qaraymiz. 2 . C h iziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish Endi matritsalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz. a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1 ¿} a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 ¿} ………………………………¿}¿¿¿ ( 7 ) n noma’lumli , n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. A=¿ (a 11 a 12 ⋯ a 1n¿)(a 21 a 22 ⋯ a 2n¿)(−−−−−−−− ¿)¿ ¿ ¿¿ belgilashlarni kiritamiz. Endi (7) sistemani matritsalarni ko’paytirish qoidasidan foydalanib, AX = B (8) ko’rinishda yozish mumkin. det A≠ 0 bo’lsa, teskari matritsa A−1 mavjud va A−1AX = A−1B hosil bo’ladi. SHunday qilib, noma’lum X matritsa A−1B matritsaga teng bo’ladi, yahni X = A−1B . Bu (7) tenglamalar sistemasini yechishning matritsaviy yozuvini bildiradi. 1-misol. Matritsalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching: {x 1 +x 2 +x 3 =4,¿{x 1 +2x 2 +4x 3 =4,¿¿¿¿ ¿ ¿ . Echish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: A = ¿ (1 1 1 ¿)(1 2 4 ¿)¿ ¿ ¿ ¿ Bu matritsalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini AX = B (9) ko’rinishda yozamiz. Endi A matritsaning determinantini hisoblaymiz. Δ = ¿ | 1 1 1 ¿ || 1 2 4 ¿ | ¿ ¿ ¿ ¿ . A matritsaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona A−1 matritsa mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi A−1 teskari matritsani topish uchun Δ determinant ele m entlarining hamma algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz: A 11 = ¿ | 2 4 ¿ | ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Teskari A−1 matritsani topish formulasiga asosan, A −1 = 1 2 ¿(6 − 6 2 ¿)(− 5 8 − 3¿)¿ ¿ ¿ (9) tenglikning ikki tomonini chapdan A−1 ga ko’paytirsak, A−1AX = A−1B yoki X = A−1B bo’lib, yahni X = ¿ ( 3 − 3 1 ¿ )(− 2,5 4 − 1,5 ¿ )¿ ¿ ¿ ¿ tenglik hosil bo’ladi. SHunday kilib, X=¿(x1¿)(x2¿)¿ ¿ ¿¿ yoki х1= 2 ,х2= 3 ,х3= − 1 . (Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib, yechimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin). 3 .Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1 ¿} a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 ¿} ………………………………¿}¿¿¿ (1) umumiy ko’rinishdagi, yag’ni n ta nomag’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Berilgan sistema noma’lumlari koeffitsientlaridan A matritsani hamda bu matritsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matritsani tuzamiz, yahni bular ushbu ko’rinishshda bo’ladi. A=¿ (a 11 a 12 ⋯a 1n¿)(a 21 a 22 ⋯a 2n¿)(−−−−−−−−¿)¿ ¿ ¿¿ va B=¿ (a 11 a 12 ⋯a 1n b 1¿)(a 21 a 22 ⋯a 2n b 2¿)(−−−−−−−−−−−¿)¿ ¿ ¿¿ А matritsaga (1) sistemaning matritsasi, B matritsaga sistemaning kengaytirilgan matritsasi deyiladi. Quyidagi teorema o’rinli. 1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). CHiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lishi uchun sistema matritsasi А ning rangi sistema kengaytirilgan B matritsasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo’lsin. k1,k2,… ,ks uning yechimlaridan biri bo’lsin. Bu sonlarni sistemadagi noma’lumlar o’rniga qo’yib, s ta ayniyat hosil qilamiz. Bu ayniyatlar B matritsaning oxirgi ustuni qolgan barcha ustunlarining mos ravishda koeffitsietlar bilan ko’paytmasidan olingan yig’indisi ekanligini ko’rsatadi. B matritsaning har qanday boshqa ustuni A matritsaga ham kiradi va shuning uchun u matritsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Aksincha, A matritsaning har qanday ustuni B matritsani ham ustuni bo’ladi, yahni bu matritsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan A va B matritsalarning ustunlari sistemasi o’zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun bu matritsalarning rangi bir xil bo’ladi, yahni r(A)= r(B ) kelib chiqadi. Etarliligi. A va B matritsalar bir xil rangga ega bo’lsin. Bundan A matritsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi B matritsada ham maksimal chiziqli erkli sistema bo’lib qolishligi kelib chiqadi. SHunda qilib A matritsa ustunlari sistemasi orqali B matritsaning oxirgi ustuni chiziqli ifodalanadi. Demak, shunday k1,k2,… ,ks sonlar majmui mavjud bo’ladiki, A matritsaning bu sonlar bilan ko’paytirishdan olingan ustunlari yig’indisi ozod hadlardan iborat ustunga teng, yahni k1,k2,… ,ks sonlar (1) sistemaning yechimi bo’ladi, shunday qilib, A va B matritsalar ranglarining bir xilda bo’lishidan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi. Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz. A matritsaning rangi B matritsaning rangiga teng bo’lib, r(A )= r(B )= k bo’lsin. Bunda k son A matritsaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga teng bo’lib, k noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema tenglamalari soni noma’lumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo’ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo’lib uni Kramer qoidasi bo’yicha topish mumkin bo’ladi. Endi matritsalarning rangi k noma’lumlar sonidan kichik, yahni k <n bo’lsin. Bu holda k - tartibli minor noldan farqli bo’ladi. Sistema tenglamalarining har qaysisida xk+1,xk+2,… ,xn noma’lumli hadlarini tenglamalarning o’ng tomoniga o’tkazamiz va bu noma’lumlar uchun biror ck+1,ck+2,… ,cn qiymatlari majmuini tanlab olib k noma’lumli k ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil bo’lgan sistemaga Kramer qoidasini qo’llash mumkin va yagona c1,c2,… ,ck yechim majmui mavjud bo’ladi. Sistema tenglamalarining o’ng tomoniga o’tkazilgan noma’lumlarni ozod noma’lumlar deb ataymiz. CHap tomondagi nomag’lumlar bosh(bazis) o’zgaruvchilar, Ozod noma’lumlar uchun ck+1,ck+2,… ,cn sonlarni ixtiyoriy tanlab olishig’iz mumkin bo’lganligi uchun hosil bo’lgan sistemaning cheksiz ko’p turlicha yechimlari shu yo’l bilan hosil qilinadi. SHunday qilib, bu holda cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz. x1,x2,… ,xk noma’lumlarning xk+1,xk+2,… ,xn ozod noma’lumlar qatnashgan yechimiga umumiy yechim deb ataladi, chunki boshqa cheksiz ko’p yechimlar xk+1,xk+2,… ,xn ozod noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar majmuini berish bilan olinadi. Tenglamalar sistemasini yechishga bir necha misollar qaraymiz. 1-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching. { 10 x1− x2+2 x3+ x4= 6 , 4 x1+ x2+ 4 x3− 2 x4= 2, 2 x1− 3 x2− 6 x3+5 x4= 1. Echish. Sistema koeffitsientlaridan matritsa tuzamiz. A=¿ (10 −12 1¿)(4 14−2¿)¿ ¿ ¿¿ Bu matritsaning rangi 2 ga teng, chunki |10 − 1 4 1 |= 10 +4= 14 ≠ 0 bo’lib, | 10 − 1 2 4 1 4 2 − 3 − 6 |= 0, | 10 − 1 1 4 1 − 2 2 − 3 5 |= 0 bo’ladi. Kengaytirilgan matritsa B=¿ (10−12112¿)(414−22¿)¿ ¿ ¿¿ ning rangi 3 ga teng, chunki | 10 − 1 6 4 1 2 2 − 3 1 |= − 14 ≠ 0 r(A )= 2 , r(B )= 3 bo’lib, r(A)≠ r(B ) bo’ladi, demak isbotlangan teoremaga asosan sistema birgalikda emas. 2-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching. { 3x1+2x2= 4, x1− 4x2= − 1, 7x1+10 x2= 12 . Echish. Sistema koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa A=¿ (3 2¿)(1−4¿)¿ ¿ ¿¿ bo’lib, r(A)= 2 , chunki |3 2 1 − 4 |= − 14 ≠ 0 , lekin 3-tartibli minori yo’q. Kengaytirilgan matritsaning rangi ham 2 ga teng, chunki | 3 2 4 1 − 4 − 1 7 10 12 |= − 144 +40 − 14 +112 − 24 + 30 = 0 . Birinchi ikkita tenglamaning chap qismlari chiziqli erkli, bu ikkita tenglamalar sistemasini yechib, noma’lumlar uchun ushbu qiymatlarni hosil qilamiz: { 3x1+2x2= 4, x1− 4x2= − 1. Δ=|3 2 1 − 4 |= − 14 ≠ 0, Δ1=|4 2 − 1 − 4 |= − 14 , Δ2=|3 4 1 − 1 |= − 7 x1= 1, x2= 1 2 Bu yechim 3-tenglamani ham qanoatlantiradi. 3-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching. { x1+5 x2+ 4 x3+ 3 x4= 1, 2 x1− x2+ 2 x3− x4, 5 x1+3 x2+8 x3+ x4= 1. Echish. Sistema matritsasining rangi r(A)=2 , chunki | 1 5 4 2 − 1 2 5 3 8 |=| 1 5 3 2 − 1 − 1 5 3 1 |= 0 | 1 5 1 2 − 1 0 5 3 1 |=| 1 4 1 2 2 0 5 8 1 |=| 1 3 1 2 − 1 0 5 1 1 |=| 4 3 1 2 − 1 0 8 1 1 |= 0bo’lganligini, yahni kengaytirilgan matritsaning barcha 3-tartibli minorlari 0 ga teng bo’lganligi uchun, uning ham rangi r(B )= 2 . SHunday qilib, sistema birgalikda va r(A )= r(B )= k= 2< 4 noma’lumlar sonidan kichik, bu holda birinchi va uchinchi tenglamalar sistemasini olaylik, chunki |1 5 5 3 |= 3− 10 = − 7≠ 0; { x1+5x2+4x3+3x4= 1, 5x1+3x2+8x3+ x4= 1 bundan { x1+5x2= 1− 4x3− 3x4, 5x1+3x2= 1− 8x3− x4 bo’lib, tenglamalar sistemasini х1,х2 asosiy noma’lumlarga nisbatan yechsak: x1= |1− 4 x3− 3x45 1− 8x3− x43 | − 7 = 2 7− 4 x3+ 4 7 x4, x2= |1 1− 4x3− 3x4 5 1− 8x3− x4 | − 7 = 4 7− 12 7 x3− 2x4 bo’ladi. Ozod noma’lumlarni x3= С 1,x4= C 2 deb x1= 2 7 − 4C 1+4 7 C 2, x2= 4 7 − 12 7 C 1+2C 2 umumiy yechimni olamiz. C1 va C2 larga xar xil qiymatlar berib, masalan, C 1= 2, C 2= 3 bo’lganda x1= − 6, x2= 22 7 , x3= 2, x4= 3, yahni (− 6,22 7 ,2,3 ) yechimni, С 1= 0,С 2= − 3 bo’lganda х1= − 10 7 ,х2= − 38 7 , х3= 0, х4= − 3, yahni (− 10 7 ,− 38 7 ,0,− 3) va hokazo cheksiz ko’p yechimlarni olish mumkin. 4 . Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. (1) tenglamalar sistemasida ozod hadlar 0 lardan iborat bo’lsa, bunday sistemaga bir jinsli sistema deyiladi, yag’ni a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =0,¿} a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =0,¿} ………………………………¿}¿¿¿ bo’lib, birjinsli sistema doimo birgalikda. 2.BOB. Kroneker-Kapelli teoremasi. 2.1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. Bir jinsli sistema 0 dan farqli yechimga egaligini aniqlash muhimdir. 2-teorema. Bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun sistema matritsasining rangi noma’lumlar sonidan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir. 1-natija. Bir jinsli sistemada noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta bo’lsa, sistema 0 dan farqli yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin. 2-natija. n noma’lumli n ta bir jinsli tenglamalar sistemasi 0 dan farqli yechimlarga ega bo’lishi uchun sistemaning determinanti 0 ga teng bo’lishi zarur va yetarlidir. 4-misol. Ushbu {x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1,¿{x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 =0,¿¿¿¿ tenglamalar sistemasini yeching. Echish. Sistema matritsasini va uning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz: A=¿ (1111¿)(1121¿)¿ ¿ ¿¿ va B=¿ (11111¿)(11210¿)¿ ¿ ¿¿ B matritsada oxirgi ustunni saqlab elementar almashtirishlar bajaramiz: B = ¿ (1 1 1 1 1 ¿ )(1 1 2 1 0 ¿ )¿ ¿ ¿ ¿ 0 lardan iborat satrni tashlab B1= ¿(1 1 1 1 1¿)¿ ¿ ¿¿ matritsani hosil qilamiz. Bunday almashtirishlarda B matritsa rangini aniqlash bilan A matritsaning ham rangini aniqlash imkoniyati tug’iladi. SHunday qilib, B matritsaning rangi 2 ga teng, A matritsaning rangi ham 2 ga teng. Demak, berilgan sistema birgalikda bo’ladi. Ma’lum bo’ldiki, uchinchi tenglama birinchi ikkita tenglamalarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat. SHuning uchun uchinchi tenglamani chiqarib {x1+x2+x3+x4= 1,¿¿¿¿ to’rt noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Ikkita noma’lumni qolganlari orqali ifodalaymiz. Ma’lumki, x1,x2 noma’lumlarga nisbatan yechish mumkin emas, chunki ularning koeffitsientlaridan tuzilgan determinant 0 ga teng. Sistemani x2,x3 larga nisbatan yechish mumkin, yahni {x2+x3=1− x1− x4,¿¿¿¿ x2,x3 larni bosh (bazis) o’zgaruvchilar , x1,x4 lar esa ozod( erkin) o’zgaruvchilar bo’ladi. Bu sistemani yechib x3= − 1, x2= 2− x1− x4 ni aniqlaymiz. x1,x4 o’zgaruvchilarga ketma-ket qiymatlar berib, cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz. Masalan, x1= 0, x4= 1 bo’lganda x1= 0, x2= 1, x3= − 1, x4= 1 yechim hosil bo’ladi va hokazo . Tekshirib ko’rish mumkinki, bu yechim berilgan sistemani qanoatlantiradi. 5-misol. Ushbu { 2x 1 −x 2 −3x 3 +x 4 =0,¿{ x 1 +3x 2 +2x 3 −2x 4 =0,¿{ 3x 1 +2x 2 +2x 3 +3x 4 =0,¿¿¿¿ bir jinsli tenglamalar sistemasini yeching. Echish. Sistema matritsasining rangini topamiz. A=¿ (2−1−31¿)(132−2¿)(3223¿)¿ ¿ ¿¿ . Birinchi uchta satrini qo’shib, to’rtinchi satridan ayiramiz: (2−1−31¿)(132−2¿)(3223¿)¿ ¿ ¿¿ . hosil bo’lgan matritsaning ranggi 3 ga teng, chunki |2−1−3 ¿||1 3 2 ¿|¿ ¿ ¿¿ . SHunday kilib, A matritsaning rangi 3 ga teng, noma’lumlar soni to’rtta, 2- teoremaga asosan sistema 0 dan farqli yechimga ega. Berilgan sistema {2x 1 −x 2 −3x 3 +x 4 =0,¿{x 1 +3x 2 +2x 3 −2x 4 =0,¿¿¿¿ sistemaga teng kuchli. x1,x2,x3 noma’lumlar koeffitsientidan tuzilgan determinant 0 dan farqli bo’lgani uchun x4 ni o’ng tomonga o’tkazib tenglamalar sistemasini yechamiz. Δ = 21 , Δx 1 = ¿ |− x 4 − 1 − 3 ¿||2 x 4 3 2 ¿|¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿Kramer formulalariga asosan: x1= − 31 21 x4,x2= 43 21 x4,x3= − 28 21 x4= − 4 3 x4. Bu yechimni berilgan sistemaga bevosita qo’yib yechimning to’g’riligiga ishonish mumkin . 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. CHiziqli tenglamalar sistemasini yechishning eng ko’p ishlatiladigan usullaridan biri Gauss usulidir. Uning mohiyatini uch noma’lumli uchta chiziqli tenglama uchun ko’rsatamiz. {a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 ,¿{a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 ,¿¿¿¿ (1) Bunda a11≠ 0 bo’lsin. Birinchi tenglamaning hamma hadlarini a11 ga bo’lamiz va uni − a21 , − a31 ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz. Bu holda quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi: { x 1 + a12 a 11 x 2 + a13 a 11 x 3 = b1 a 11 ,¿{α 22 x 2 +α 23 x 3 =β 2 ,¿¿¿¿ bu yerda α22 = a22 − a21 a12 11 , α23 = a23 − a21 a13 a21 va h.k. a11= 0 bo’lib, boshqa tenglamalarda nomag’lumlar oldidagi koeffitsientlari orasida no’ldan farqlilari bo’lsa, u holda bu tenglamalardan birini birinchi tenglamaning o’rni bilan almashtiramiz, keyin yuqoridagi amallarni bajaramiz. Bu birinchi qadam bo’ladi. Demak, birinchi qadamda birinchi tenglamada x1 - noma’lum qolib, qolgan tenglamalardan ketma-ket x1 - noma’lumni yo’qotamiz . Ikkinchi qadamda birinchi tenglama o’z o’rnida qolib, ikkinchi va uchinchi tenglama uchun yuqoridagi amallarni bajaramiz, yahni ikkinchi tenglamada x2 noma’lumni qoldirib, uchinchi tenglamadan uni yo’qotamiz. SHunday qilib, bu amallar natijasida (1) tenglamalar sistemasi {x 1 +α 12 ' x 2 +α 13 ' x 3 =β 1 ' ,¿{α 22 ' x 2 +α 23 ' x 3 =β '2 ' ,¿¿¿¿ (2) ko’rinishga keladi. Endi hamma noma’lumlarni so’nggi tenglamadan boshlab teskari qadam bilan topish qoldi. 6-misol. {x 1 +2x 2 +3x 3 =6,¿{4x 1 +x 2 +4x 3 =9,¿¿¿¿ tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching. Yechish. Birinchi tenglamani (-4) va (-3) ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz: {x1+2x2+3x3=6,¿{(4−4)x1+(1−8)x2+(4−12)x3=9−4⋅6,¿¿¿¿ yahni x 1 +2x 2 +3x 3 =6,¿}7x 2 −8x 3 =−15 ,¿}¿¿¿ bo’ladi. SHu bilan birinchi qadam tugadi. Ikkinchi qadamda, birinchi tenglamani o’z o’rnida qoldirib, ikkinchi tenglamani (- 7) ga bo’lib yozamiz: {x 1 +2x 2 +3x 3 =6,¿ { x 2 + 8 7 x 3 = 15 7 ,¿¿¿¿ Uchinchi tenglamadan x2 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun ikkinchi tenglamani (-1) ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz: {x 1 +2x 2 +3x 3 =6,¿ { x 2 + 8 7 x 3 = 15 7 ,¿¿¿¿ Oxirgi tenglamadan x3= 1 ni topamiz. x3= 1 ni ikkinchi tenglamaga qo’ysak, x2+ 8 7 = 15 7 yoki x2= 15 7 − 8 7 = 1 , x2= 1 bo’ladi. x2= 1 , x3= 1 larni birinchi tenglamaga quysak х1 =1 bo’ladi. SHunday qilib, x1= 1, x2= 1 , x3= 1 . 2.2. CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. Gauss usulining xususiyati shundan iboratki, unda sistemaning birgalikda masalasini oldindan aniqlab olish talab etilmaydi va: 1) sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul yagona yechimga olib keladi; 2) sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa , bu holda biror qadamda ikkita aynan teng tenglama hosil bo’ladi va shunday qilib, tenglamalar soni noma’lumlar sonidan bitta kam bo’lib qoladi; 3) sistema birgalikda bo’lmasa , u holda biror qadamda chiqarilayotgan (yo’qotilayotgan) noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham yo’qotiladi, o’ng tomonda esa noldan farqli ozod had qoladi. Jardono-Gauss modifikatsiyalashgan usuli. Ma’lumki, Gauss usuli bilan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda tenglamalar sistemasi uchburchak ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi. Noma’lumlarning qiymati bevosita topiladigan, yahni teskari qadam bilan noma’lumlar qiymatini ketma-ket topishga hojat qolmaydigan usulni qaraymiz. Bu usulni ushbu chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan ifodalaymiz. 7-misol. { x1+2 x2+ x3= 8 , x2+ 3x3+ x4= 15 , 4 x1+ x3+ x4= 11 , x1+ x2+5 x4= 23 tenglamalar sistemasi yechimini toping. Echish. 1-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib sistemaning qolgan tenglamalaridan x1 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 1- tenglamani ketma-ket (-4), (-1) ga ko’paytirib mos ravishda 3,4-tenglamalarga hadma-had qo’shib ushbu sistemani hosil qilamiz: { x1+ 2x2+ x3= 8 , 0+ x2+3 x3+ x4= 15 , 0− 8x2− 3 x3+ x4= 21 , 0− x2− x3+5x4= 15 . Endi 2–tenglamani o’zgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan х2 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), 8,1 larga ketma-ket ko’paytirib, mos ravishda 1,3,4 – tenglamalarga hadma –had qo’shamiz va ushbuni hosil qilamiz: { x1+0− 5x2− 2х3= − 22 , 0+ x2+3x3+ x4= 15 , 0+0+21 x3+9х4= 99 , 0+0+2 х3+6x4= 30 . Endigi qadamda 3-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan х3 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 3- tenglamani ketma-ket (5/21), (-3/21) (- 2/21) larga ko’paytirib mos ravishda 1,2,4 – tenglamalarga hadma-had qo’shsak, ushbu tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi: { x1+0+0+ 3 21 х4= 33 21 , 0+ x2+0− 6 21 x4= 18 21 , 0+0+ 21 x3+9 х4= 99 , 0+0+ 0+ х4= 4. Oxirgi qadamda 4-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, x 4 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 4 – tenglamani ketma-ket (−21 3 ),(21 6 ),(−9) larga ko’paytirib, mos ravishda 1,2,3- tenglamalarga hadma-had qo’shamiz natijada, ushbuga ega bo’lamiz: { x1+0− 0+0= 1, 0+ x2+ 0+0= 2 , 0+0+ 21 x3+0= 63 , 0+ 0+0+ x4= 4. Oxirgi sistemadan =1 , x 2 =2, x 3 =3, x 4 =4 yagona yechimni olamiz. Yuqoridagi tenglamalar sistemasini yechishda x 1 , x 2 ,x 3 , x 4 noma’lumlarni ketma-ket 1х yo’qotdik, hisoblashlarni ixchamlashtirish uchun har safar koeffitsienti 1 ga teng bo’lgan noma’lumni chiqarish ham mumkin edi. U usulda ham Gauss usulining xususiyatlari o’z kuchida qoladi, yahni tenglamalar sistemasi aniq bo’lsa, bu usul yagona yechimga, tenglamalar sistemasi birgilikda lekin aniq bo’lmasa biror qadamda 0=0 tenglik hosil bo’lib cheksiz ko’p yechimga olib keladi. Tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmasa, biror qadamda tengliklarning birining chap tomonida 0 o’ng tomonida 0 dan farqli son bo’lib, sistema yechimga ega bo’lmaydi. Xulosa Tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o’rniga ma’lum sonlar majmuini qo’yganda, sistemaning hamma tenglamalari ayniyatga aylansa, bunday sonlar majmuiga tenglamalar sistemasining yechimi (ildizi) deyiladi. Bunday sonlar majmui bitta bo’lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lib, bu sistema aniqlangan (tayin, muayyan) deb ataladi va bu tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Birgalikda bo’lgan sistema bittadan ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday sistema aniq bo’lmagan sistema deyiladi. Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega bo’lsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi. Tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo’lmasa, bunday sistemaga birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini 0dan farqli songa ko’paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo’shish bilan hosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo’ladi (bu xossadan kelgusida ko’p foydalaniladi). Fan va texnikaning ko’p sohalarida bo’lganidek, iqtisodiyotning ham ko’p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo’yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Echish: Ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda 1 2 3 x , x , x lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik bo’lganligi uchun 5 1 x 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12 2 x , 7 3 x bo’lib, uning uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 1 x + 12 2 x + 7 3 x =2000. Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun 10 6 8 1660, x1  x2  x3  9x1  11x2  4x3  2070 tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch nomag’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 12 7 2000, 10 6 8 1660, 9 11 4 2070 x x x x x x x x x               Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni umumiy holda qaraymiz. Ikki noma‘lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi  , 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 а х а у b а х а у b     (1) ni qaraymiz. Bu yerdagi x va y noma‘lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma‘lum. a11, a12, a21, a22, lar sistema koeffitsientlari, b1 va b2 sonlar esa ozod had (son)lar deb ataladi. (1) sistema bizga o’rta maktab kursidan ma‘lum . Uni yechishning o’riniga qo’yish, qo’shish va grafik usullari bilan tanishmiz. Bu yerda (3.1) sistemani yechishning yana bir usuli ya‘ni uni determinantlardan foydalanib yechish usuli bilan tanishamiz. Sistemaning birinchi tenglamasini a22 ga, ikkinchisini -a12 ga ko’paytirib hadlab qo’shamiz: ( а 11 а 22- а 21 а 12) х =b1 а 22-b2 а 12. (2) Shuningdek sistemaning birinchi tenglamasini -a21 ga, ikkinchi sini a11 ga ko’paytirib hadlab qo’shsak ( а 11 а 22- а 21 а 12) у =b2 а 22-b1 а 12 (3) hosil bo’ladi. Δ= , 21 22 11 12 а а а а  x = , 1 22 1 12 b а b а  y = , 21 2 11 1 а b а b (4) belgilashlarni kiritamiz. Sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan Δ determinant sistemaning asosiy determinanti deb ataladi.  x determinant Δ dagi birinchi ustun elementlarini ozod sonlar bilan almashtirish natijasida,  y esa Δ dagi ikkinchi ustun elementlarini ozod sonlar bilan almashtirish natijasida hosil bo’ladi. (4) dan foydalanib (2) va (3) formulalarni            у х у х , (5) ko’rinishida yozish mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar 1. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Algeba and Number theory. 2010. – 523 p. 2.Everest G., Ward T. An Introduction to Number Theory. 2006. – 297 p. 3.James J.T. Elementry number thory in nine chapters. 1999. – 417 p. 4. Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. – 433 p. 5. Strang G. Introduction to Linear algebra. 2016. – 584 p. 6. Бухштаб А.А. Теория чисел. 1966. – 386 с. 7.Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное пособие. 2014. – 52 с. .Виноградов И.М. Основы теории чисел. 194. – 178 c. 9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 199. – 320 с. 10. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2000. – 272 с. 11. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. 2000. – 368 с. 12. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва. 1979. –559 с. 13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 200. – 432 c. 14. Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 2010. – 480 с. 15. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2007. – 416 с. 16. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, Санкт- Петербург, 1999. – 304 с. 17. Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент, «Ўзбекистон», 2001 й. Mundarija: 1.BOB.Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar. ........................................................................ 4 1.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeshishning ahamiyati va qoidalari ................................................................. 4 1.2. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish. ...................................................................... 17 2.BOB. Kroneker-Kapelli teoremasi. ........................................................................................................................ 25 2.1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. ............................................................................................................ 25 2.2. CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. ............................................................................ 30 Xulosa ....................................................................................................................................................................... 32 Foydalanilgan adabiyotlar ......................................................................................................................................... 33

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli

Купить