Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	21000UZS
Hajmi	411.2KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	25 Noyabr 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Sherzod Sultonov

Ro'yxatga olish sanasi 10 Iyun 2025

1 Sotish

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli

Sotib olish

Andijon davlat pedagogika instituti
Aniq fanlar fakulteti
Matematika va informatika yo’nalishi
Algebra va sonlar nazariyasi fanidan
Kurs ishi
Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini
yechishning teskari matritsa usuli
Bajardi: 303-guruh talabasi Jalolova Shaxnozabonu

Reja:
Kirish
1.BOB.Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar
1.2. C h iziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish
2.BOB. Kroneker-Kapelli teoremasi
2.1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
2.2. CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish:
Kurs ishining maqsadi: Iqtisodiy masalalarni (rejalastirish, 1
boshqarish va boshqa
masalalarni) yechishda ko‘p noma‘lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
qo‘llaniladi. m ta tenglamalardan tuzilgan n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar
sistemasini quyidagicha yozish mumkin: Determinantning birinchi, ikkinchi va
uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar almashtirib uchda determinantlarni
hosil qilamiz hamda ularni ham A A Ak vektorlar sistemasining rangi 1 ( ,..., ) k r A
A vektorlar soni k dan kichik bo lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liqʻ
bo ladi. Agar r k = bo lsa, u holda 1 2 , ,..., A A Ak vektorlar sistemasi chiziqli erkli
ʻ ʻ
bo ladi.
ʻ
Kurs ishining ahamiyati: Xususan, bu tasdiqdan, bir xil o lchovli vektorlar
ʻ
sistemasidagi vektorlar soni bu vektorlarning o lchovidan, ya’ni rangidan katta
ʻ
bo lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bo gliq bo lishi kelib chiqadi.
ʻ ʻ ʻ
Haqiqatan ham 1 2 , ,..., A A Ak vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan, 2. Bir
jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.
2-ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday
maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental
yechimlar sistemasi deb ataladi. 2-teorema. AX =  tenglamalar sistemasining har
qanday yechimi fundamental yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan
iborat.
Kurs ishining vazifasi: Isbot. 1 2 , ,..., X X Xk vektorlar sistemasi AX = 
tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi bo lsin. X0 vektor esa
ʻ
tenglamalar sistemasining boshqa ixtiyoriy yechimi bo lsin. U holda, ta’rifga asosan,
ʻ
0 1 2 , , ,..., X X X Xk vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Ya’ni shunday kamida
bittasi noldan farqli 0 1 , ,...,    k sonlar mavjudki, 0 0 1 1 ... . 
Kurs ishining tuzilishi: Kirish qismi, 2 bob ,4 bo’li, , xulosa va foydalanilgan
adabiyotlardan tuzilgan
1
Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное пособие . 2014. – 52 с .

1.BOB.Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar.
1.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeshishning ahamiyati va qoidalari
Lemma: Chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matrisaning
ranglar teng yoki bittaga ortiq.
Isbot. Haqiqatan ham ning noldan 2
farqli eng katta minori da ham noldan
farqli minor bo’ladi.
Agar bu minor da ham noldan farqli eng katta minor bo’lsa, uning ranglari
teng bo’ladi. Keyingi tartibli minor ozod usutuni o’z ichiga oluqchi
tartibli minor bo’lib, bu noldan farqli bo’lsa, bo’ladi.
Lemma isbot bo’ldi.
Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish masalasi quyidagi
Kroneker –Kapelli deb nomlanuvchi teorema orqali to’la hal qilinadi:
Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi)
Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy
matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda
bo’ladi.
Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin.
U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor
matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir
ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak
va vektorlar sistemalarining
ranglari teng, ya’ni .
2
Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. – 433 p .

Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda lemmaga asosan
martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan,
ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida
ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak lar (2) sistemaning yechimi
bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.
Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz:
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda
aniq bo’ladi.
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda
bo’lmaydi.
Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani
rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli
tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi
chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha
minorlarini hisoblash kerak.
Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda
va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.
Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan t
akomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlari
ni topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish bi
lan shugulanamiz.

Endi bu o’tgan ma’ruazalardagi ma’lumotlarni eslaymiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar almashtirishlari deb nimaga aytiladi?
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasizlar?
Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?
Matrisaning rangi haqidagi teorema qanday ifodalanadi?
Matrisaning rangi qanday yo’llar bilan topiladi?
A va B matrisalarning ranglari haqida nima deyish mumkin, ya’ni ular tengmi yoki
qaysi birining rangi katta?
Qanday o’ylasizlar, A va B matrisalarning ranglari bilan (1) sistemaning birgalikda
bo’lishi orasida bog’lanish bormi yoki yo’qmi?
Oxirgi savolga javobni quyidagi Kroneker –Kapelli teoremasi beradi:
Teorema - 1(Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo’lishi uchun uning asosiy
va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarlidir, ya’ni
Teoremani isbot qilamiz.
Zarurligi . Aytaylik (1) birgalikda bo’lsin, ya’ni shunday
Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning
1-nchi ustunini ga,
2-nchi ustunini ga
va hakoza,
- nchi ustunini ga
ko’paytirib, ularning hammasini -nchi ustunga qo’shib yuboramiz. Natijada
quyidagi matrisani hosil qilamiz:
Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C
matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A
matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A
matrisaning rangini o’zgartirmaydi.
Shunday qilib , .
Yetarliligi. Endi (1) sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari
teng bo’lsin. .
Umumiylikka zarar keltirmasdan va qulayligi uchun A matrisaning rangini
aniqlaydigan r -tartibli minor matrisaning yuqori chap burchagida joylashgan bo’lsin
deb olamiz, yani
U holda B matrisaning dastlabki - satri chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki bu
matrisaning rangi ga teng, B matrisaning qolgan ta satrlari dastlabki -ta
satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bu esa (1) sistemaning dastlabki –ta

tenglamasi chiziqli bog’lanmaganligini, qolgan ta tenglamalari esa ularning
chiziqli kombinasiyalaridan iborat ekanligini anglatadi. Demak, ChTSlarning
elementar almashtirishlari yordamida keyingi ta tenglamalar nolga aylantirilishi
mumkin. Bu holda (1) sistemada ta tenglama qoladi. Bizga shu –ta
tenglamadan iborat bo’lgan sistemani yechish yetarli. Topilgan yechimlar qolgan
ta tenglamalarni ham qanoatlantiradi.
Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
sistemaning asosiy determinanti bo’lib, bu sistemani Kramer formulalari
bilan yechish mumkin. Bu holda (1) sistema birgalikda bo’lib, yagona yechimga ega
bo’ladi.
2) . Bu holda (1) sistemaning ta tenglamasini qoldiramiz. Bu
tenglamalarda dastlabki ta noma’lumni tenglikning chap tomonida qoldirib
qolganlarini o’ng tomonga o’tkazamiz:
sistemadagi noma’lumlarni ozod noma’lumlar deb e’lon qilamiz va ularga ixtiyoriy
qiymatlar beramiz. Natijada (4) sistemadan asosiy noma’lumlar
larning mos qiymatlarini hosil qilamiz. Bu holda (1) sistema birgalikda bo’lib, u
cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi, ya’ni aniqmas sistemadan iborat bo’ladi.
(4) sistemaning asosiy noma’lumlarini ozod noma’lumlar orqali ifodalangan
yechimiga (1) sistemaning umumiy yechim deyiladi.
Shunday qilib, agar bo’lsa, (1) sistema birgalikda (aniq yoki
aniqmas), bo’lsa, (1) sistema birgalikda bo’lmaydi.
Teorema isbot bo’ldi.
1) sistemaning o’ng tomonidagi ozod hadlari nolga teng bo’lsa, unga bir jinsli
deyiladi:
1) . Bu holda (1) sistemaning dastlabki ta tenglamasidan iborat bo’lgan
U holda B matrisaning dastlabki - satri chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki bu
matrisaning rangi ga teng, B matrisaning qolgan ta satrlari dastlabki -ta
satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bu esa (1) sistemaning dastlabki –ta
tenglamasi chiziqli bog’lanmaganligini, qolgan ta tenglamalari esa ularning
chiziqli kombinasiyalaridan iborat ekanligini anglatadi. Demak, ChTSlarning
elementar almashtirishlari yordamida keyingi ta tenglamalar nolga aylantirilishi
mumkin. Bu holda (1) sistemada ta tenglama qoladi. Bizga shu –ta
tenglamadan iborat bo’lgan sistemani yechish yetarli. Topilgan yechimlar qolgan
ta tenglamalarni ham qanoatlantiradi.
Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
1) . Bu holda (1) sistemaning dastlabki ta tenglamasidan iborat bo’lgan

Faraz kilaylik sistema birgalikda bulib, aniklovchi minor (
bu minorlar bir nechta bulishi mumkin) bulsin. Koeffisiyentlari shu minorni beruvchi
ta noma’lumlar tenglamani chap tomoniga koldirib, koeffisiyentlari bu minorga kir
ishgan tenglamalrni tashlab yuboramiz. Bundan tashkari kolgan noma’lumla
rini tenglamaning ung tomoniga utkazib, ularni ozod uzgaruvchilar sifatida kabul kil
amiz. Natijada biz (1) sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bulgan ta noma’lumni
ta tenglamalr sistemasi xosil kilib, bu tenglamalar sistemasining asosiy determinanti
noldan farkli minordan iborat buladi. Xosil bulgan tenglamalar sistemasiga Kra
mer koidasini kullab, noma’lumlarni topamiz va natijada ozod uzgaruvchining xar bi
r kiymatlarida ta noma’lumlar topiladi va ular birgalikda (1) sistemaning yechimi
buladi.
Tabiiyki, agar biz bulsa,
(1) tenglamalar sistemasif. Ta noma’lumli ta tenglamalr sistemasini beradi va dem
ak Kramer koidasiga asosan bu tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega buladi.
Misol. Ushbu
tenglamalar sistemasini birgalikda bo`lishga tekshiramiz:
Bizga ma’lumki bo`lib, minor rangni aniqlovchi
minordir. Endi matritsaning rangini topamiz. Buning uchun shu minorni o`z ichig
a oluvchi xarakteristik minorlarini xisoblaymiz:

va demak bo`lib, sistema birgalikda bo`ladi. Endi koeffisiyentlari mi
norni beruvchi minorlar tenglamaning chap tomoniga koldirib, t
a noma’lumlar tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazib, ozod uzgaruvchila
r sifatida qabul qilamiz va sistemadagi uchinchi tenglamani tashlab yuboramiz. Natij
ada sistemaga teng kuchli bo’lgan
sistemani hosil qilamiz. Endi umumiy yechimga masalan
qiymatlar bersak umumiy yechimi
bulib, ixtiyoriy
qiymatlar berib, larni topamiz.
ikkii noma’lumli ikiita tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Kramer qoidasini qo’llab,
hosil qilamiz va demak va buni (1, 15, 5,
1, 1) vektor kurinishda yozamiz. Sonlar sistemanig yechimi bo’ladi (tekshiringlar).
Huddi shunday sistemaning umumiy yechimidagi noma’lumlarga
ixtiyoriy kiymatlar berib, larni topib, sistemaning yechimlarini hosil
qilamiz.
Tabiyki Kramer
– Kapelli teorema nazariy nuqtai nazardan takomillashgan bo’lib, amaliy nuqtai naza
rdan murakkab bo’lib unga qaraganda Gauss usuli ancha qulaydir, lekin shunga qaral
ganda amalda biz bu usllarni birgalikda tatbiq qilib sistemalarni ishlasak, uni yanada
roq oson va tez yechimlari masalasini baholab, yechishimiz mumkin.

Algebrada, matematikada va umuman boshqa sohadagi fanlarda ma’lum bir
sohani (obyektni) o’rganish uncha ahamiyat kasb yetmasahamki, ulardan kelib
chiqadigan yangi yo’nalishlarning ahamiyati katta ahamiyatga ega bo’lishi mumkin.
Birinchi misolimizda chiziqli tenglamalar va ularning yechilishi masalasi davomida
biz algebraning yangi tarmoqlari: determinantlar nazariyasi, o’rniga qo’yishlar
gruppasi (chekli gruppalar nazariyada juda katta ahmiyatga ega), matrisalar haqida
tushunchalar (keyinchalik bu yo’nalishni davom ettiramiz), arifmetik fazolar
(keyinchalik bu chiziqli fazolar va ularni o’rganishga olib keladi) va bu yerda
yaratilgan usullar kelajakda biz o’rganayotgan algebra va sonlar nazariyasi kursida,
matematikaning boshqa tarmoqlarida va boshqa fanlarda (masalan biz fizikada ayrim
tadbiqlarini misolda keltirib o’tdik) juda katta ahamiyat kasb etadi.
Bundan tashqari biz algebraik nuqtai nazardan qaraganimizda
tenglamani yechish masalasida butun sonlar to’plami (haqiqiy) vujudga
kelishini (masalan, tenglama da yechimga ega emas, ammo
ni tenglamani yechimlari yordamida kengaytirilgan butun solar
halqasida yechimga ega) va , tenglamani da ham yechimga ega
bo’lmasligi turli uning yechimlarini (rasional sonlar) halqa bilan birlashtirgan,
rasional sonlar to’plamini (maydonini) hosil bo’lishligini bilamiz. Bundan
tashqari tenglama rasional sonlar maydonida yechimga ega bo’lmasligi va
uning yechimlarini to’plamga biriktirib, haqiqiy sonlar
to’plamini, , tenglamani da yechilmasligidan, uni
mavhum yechimi bor deb, bu mavhum yechimlar bilan birgalikda, ya’ni
ni mavhum son bilan kengaytirib, kompleks sonlar to’plami (maydoni)
hosil bo’lishligi bizga tenglamalar, tenglamalar sistemasi va umuman tenglamalarni
o’rganish katta ahamiyat kasb etadi (keyinchalik biz ko’phadlar halqasida bu kabi
misolar bilan shug’ullanamiz).
Bizga maydonda tartibli bir jinsli chiziqli tenglamar si
stemasi

(1)yoki
(2)
berilgan bo’lsin.
Berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasi hamma vaqt birgalikda,
chunki nollar sistemasining yechimi bo’ladi. Bundan
tashqari Kroniker – Kapilli teoremasi bu sistemani birgalikda bo’lishligini
tasdiqlaydi, chunki va bu teoremaga asosan, agar bo’lsa,
sistemani Kramer qoidasiga asosan bo’lganligi uchun aynan yerl
yechimlarga ega bo’ladi. Agar
bo’lsa, (1) sistemani nol bilan birgalikda nolmas yechimlarga ham ega bo’ladi. Biz
yechimlarni Kroniker – Kapelli teoremasidan kelib chiqqan usul yordamida
quyidagicha topa olamiz, ya’ni agar (1) sistemaning rangini aniqlovchi
matrisaning bo’lsa koeffisiyentlari shu miqdorni beruvchi noma’lumlar (1)
sistemaning chap tomoniga qoldirib qolgan noma’lumlar sistemasining
o’ng tomoniga o’tkazilib, ozod o’zgaruvchilar sifatida qoldiriladi va
koeffisiyentlar minorga kirgan tengliklar tashlab yuboriladi. Hosil bo’lgan
sistemani (1) sisitemaga ekvivalent (tengkuchli) bo’ladi. Agarda biz minorni
bosh minor deb olsak, u holda aytilganlarni quyidagicha yozishimiz mumkin:
Berilgan bir jinsli sistema umumiy yechimini vektor shaklda quring:
 4 x
1  7 x
2  2 x
3  3 x
4  0

x  3 x  x  2 x  0

1 2 3 4

2 x  x  4 x  x  0
 1 2 3 4
Yechish:

    

   
0
х
 47 2
3 0   0  5
6 5 0   0 1  1 , 2 1 0 

1
3  1
2 0 
 
1
3  1 2 0 
 
1 0
2 , 6 1 0 
 2
1
4 1 0  
0  5
6
5 0   0 0 0 0 
m 
4, r 
2 bo‘lgani
uchun
m  r 
2 ta chiziqli
erkli
e1(1;0
) va e
2 (0;1)
sistemani
tanlaymiz.
e1(1;0
) vektor koordinatalarini umumiy
yechimning mos
erkli noma’lumlari o‘rniga qo‘yib, bazis
noma’lumlarni aniqlaymiz va
F
1 (  2,6;1, 2;1;0)
fundamental yechimni
quramiz. e
2
(0;1) vektor
yordamida
F2
(1; 1;0;1)
fundamental yechimni quramiz. Boshqacha
qilib aytganda
kengaytirilgan matritsadagi koeffitsiyentlarni sistemaga qo‘yamiz:
 х 1
  2,6 х 3
 х 4

х 2

х  1,2 х
3
2,6 х  х
4 
0
 х  0 

2

х
 1,2 х
3
х  х
4
 1 3 4

3 3

 х
4  х
4
Fundamental
yechimlar
F1(2,6;1,
2;1;0)
va F2
(1; 1;0;1) quriladi.
Sistema umumiy yechimi vektor shaklini yozamiz:

 2 , 6
 
1


1 , 2  
 1 
X 

  F


    
1 1 2 2 1

1 
2  0 

0  
1 
bu yerda

1 va 
2    
lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar.

     
  3.1. Berilgan bir jinsli bo lmaganʻ sistema umumiy yechimini vektor shaklda
 4 x
1  7 x
2  2 x
3  3 x
4  8
quring: 
x  3 x  x  2 x  3

1 2 3 4

2 x  x  4 x  x  2
 1 2 3 4
Yechish:
 4 7 2
3 8  
0  5
6  5  4   0
1  1 , 2 1 0 , 8 

1 3  1
2 3 
 
1
3  1
2    3    1
0 2 , 6 1 0 , 6


2 1
4  1 2  
0  5
6  5  4  
0 0 0 0 0

F0  0,6; 0,8; 0;
0
sistemaning xususiy yechimlaridan birini
qurdik.
Sistema umumiy yechimi vektor shaklini yozamiz:

0 , 6
 
 2 , 6
 
1


0 , 8  
1 , 2  
 1 
X  F
 
F  
F   

  


 
0 1 1 2 2

0 
1 
1  2

0 

0  
0  
1 
bu yerda

1 va 
2      
lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini
toping va umumiy yechimini yozing:
3.2.  x
1  x
2  x
3  x
4  0

x  x  2 x  x  0
 1 2 3 4
Chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini
toping va

umumiy yechimini yozing:
 x
1  x
2  x
3  x
4  x
5  0
3.4. 
x  x  2 x  2 x  x  0

1 2 3 4 5

x  x  3 x  4 x  3 x  0
 1 2 3 4 5


x
1 
x
2  x
3  2 x
4  0

3.5. 
x  x  2 x  x  0

1 2 3 4

2 x  2 x  4 x  3 x  0
 1 2 3 4
Ma’lumki bir necha tenglamalar 3
birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar
sistemasi deyiladi.
Tenglamalar sistemasidagi hamma tenglamalar chiziqli (1-darajali) bo’lsa,
bunday tenglamalar sistemasiga chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi.
Tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o’rniga ma’lum sonlar majmuini
qo’yganda, sistemaning hamma tenglamalari ayniyatga aylansa, bunday sonlar
majmuiga tenglamalar sistemasining yechimi (ildizi) deyiladi. Bunday sonlar
majmui bitta bo’lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lib, bu
sistema aniqlangan (tayin, muayyan) deb ataladi va bu tenglamalar sistemasi
birgalikda deyiladi. Birgalikda bo’lgan sistema bittadan ko’p yechimga ega bo’lsa,
bunday sistema aniq bo’lmagan sistema deyiladi.
Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega
bo’lsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi.
1.2. C h iziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish .
Tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo’lmasa, bunday
sistemaga birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini 0dan farqli songa
ko’paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo’shish bilan hosil bo’lgan sistema
berilgan sistemaga ekvivalent bo’ladi (bu xossadan kelgusida ko’p foydalaniladi).
Fan va texnikaning ko’p sohalarida bo’lganidek, iqtisodiyotning ham ko’p
masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali
ifodalanadi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga iqtisodiyotdan misol qaraymiz.
1-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot
ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan.
1-jadval.
Xom - ashyo
xillari Mahsulot turlari bo’yicha xom-ashyo
sarflari Xom - ashyo
zahirasi
1 2 3
1 5 12 7 2000
2 10 6 8 1660
3 9 11 4 2070
Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo’yicha ishlab
chiqarish hajmini aniqlang.
3
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 200. – 432 c.

Echish: Ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos
ravishda x1,x2,x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo,
bittasi uchun sarfi 5 birlik bo’lganligi uchun 5
x1 1-tur mahsulot ishlab chiqarish
uchun ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur
mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda
12
x2 , 7 x3 bo’lib, uning uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 x1 + 12 x2 + 7
x3
=2000. Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun

10 x1+6x2+8x3= 1660 ,

9 x1+11 x2+ 4 x3= 2070
tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch nomag’lumli
uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
5
x1 + 12 x2 + 7 x3 =2000 ,
{5x
1
+12x
2
+7x
3
=2000 ,¿{10x
1
+6x
2
+8x
3
=1660 ,¿¿¿¿

9 x1+11 x2+ 4 x3= 2070 .
Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta chiziqli
tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining
yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni
umumiy holda qaraymiz.
2 . C h iziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish Endi
matritsalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz.

a
11
x
1
+a
12
x
2
+…+a
1n
x
n
=b
1
¿}
a
21
x
1
+a
22
x
2
+…+a
2n
x
n
=b
2
¿}
………………………………¿}¿¿¿ ( 7 )
n
noma’lumli , n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
A=¿
(a
11
a
12
⋯ a
1n¿)(a
21
a
22
⋯ a
2n¿)(−−−−−−−− ¿)¿
¿
¿¿
belgilashlarni kiritamiz. Endi (7) sistemani matritsalarni ko’paytirish qoidasidan
foydalanib,

AX = B (8)

ko’rinishda yozish mumkin. det A≠ 0 bo’lsa, teskari matritsa A−1 mavjud va
A−1AX = A−1B
hosil bo’ladi. SHunday qilib, noma’lum X matritsa A−1B
matritsaga teng bo’ladi, yahni

X = A−1B .
Bu (7) tenglamalar sistemasini yechishning matritsaviy yozuvini bildiradi.
1-misol. Matritsalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching:
{x
1
+x
2
+x
3
=4,¿{x
1
+2x
2
+4x
3
=4,¿¿¿¿
¿
¿
.
Echish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

A = ¿
(1 1 1 ¿)(1 2 4 ¿)¿
¿
¿ ¿
Bu matritsalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini

AX = B (9)
ko’rinishda yozamiz. Endi
A matritsaning determinantini hisoblaymiz.

Δ = ¿
| 1 1 1 ¿ || 1 2 4 ¿ | ¿
¿
¿ ¿ .
A
matritsaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona
A−1
matritsa mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi
A−1
teskari matritsani topish uchun Δ determinant ele m entlarining hamma
algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz:

A
11
= ¿
| 2 4 ¿ | ¿
¿
¿ ¿
¿
¿
Teskari
A−1 matritsani topish formulasiga asosan,

A
−1
=
1
2
¿(6 − 6 2 ¿)(− 5 8 − 3¿)¿
¿
¿
(9) tenglikning ikki tomonini chapdan
A−1 ga ko’paytirsak, A−1AX = A−1B
yoki
X = A−1B bo’lib, yahni
X = ¿
( 3 − 3 1 ¿ )(− 2,5 4 − 1,5 ¿ )¿
¿
¿ ¿
tenglik hosil bo’ladi.
SHunday kilib,
X=¿(x1¿)(x2¿)¿
¿
¿¿ yoki
х1= 2 ,х2= 3 ,х3= − 1 .
(Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib, yechimning
to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin).

3 .Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu

a
11
x
1
+a
12
x
2
+…+a
1n
x
n
=b
1
¿}
a
21
x
1
+a
22
x
2
+…+a
2n
x
n
=b
2
¿}
………………………………¿}¿¿¿ (1)
umumiy ko’rinishdagi, yag’ni
n ta nomag’lumli m ta chiziqli tenglamalar
sistemasi berilgan bo’lsin.
Berilgan sistema noma’lumlari koeffitsientlaridan A matritsani hamda bu
matritsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matritsani
tuzamiz, yahni bular ushbu ko’rinishshda bo’ladi.

A=¿
(a
11
a
12
⋯a
1n¿)(a
21
a
22
⋯a
2n¿)(−−−−−−−−¿)¿
¿
¿¿ va B=¿
(a
11
a
12
⋯a
1n
b
1¿)(a
21
a
22
⋯a
2n
b
2¿)(−−−−−−−−−−−¿)¿
¿
¿¿
А
matritsaga (1) sistemaning matritsasi, B matritsaga sistemaning
kengaytirilgan matritsasi deyiladi. Quyidagi teorema o’rinli.

1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). CHiziqli tenglamalar
sistemasining birgalikda bo’lishi uchun sistema matritsasi А ning rangi sistema
kengaytirilgan
B matritsasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo’lsin.
k1,k2,… ,ks uning
yechimlaridan biri bo’lsin. Bu sonlarni sistemadagi noma’lumlar o’rniga qo’yib,
s
ta ayniyat hosil qilamiz. Bu ayniyatlar
B matritsaning oxirgi ustuni qolgan barcha
ustunlarining mos ravishda koeffitsietlar bilan ko’paytmasidan olingan yig’indisi
ekanligini ko’rsatadi.
B matritsaning har qanday boshqa ustuni A matritsaga ham
kiradi va shuning uchun u matritsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi.
Aksincha,
A matritsaning har qanday ustuni B matritsani ham ustuni bo’ladi,
yahni bu matritsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan
A va B
matritsalarning ustunlari sistemasi o’zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi,
shuning uchun bu matritsalarning rangi bir xil bo’ladi, yahni
r(A)= r(B ) kelib
chiqadi.
Etarliligi.
A va B matritsalar bir xil rangga ega bo’lsin. Bundan A
matritsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi
B matritsada
ham maksimal chiziqli erkli sistema bo’lib qolishligi kelib chiqadi. SHunda qilib
A
matritsa ustunlari sistemasi orqali B matritsaning oxirgi ustuni chiziqli
ifodalanadi. Demak, shunday
k1,k2,… ,ks sonlar majmui mavjud bo’ladiki, A
matritsaning bu sonlar bilan ko’paytirishdan olingan ustunlari yig’indisi ozod
hadlardan iborat ustunga teng, yahni
k1,k2,… ,ks sonlar (1) sistemaning yechimi
bo’ladi, shunday qilib,
A va B matritsalar ranglarining bir xilda bo’lishidan (1)
sistemaning birgalikda bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi.
Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin
bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi,
ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini
keltiramiz.
A
matritsaning rangi B matritsaning rangiga teng bo’lib,
r(A )= r(B )= k
bo’lsin. Bunda k son A matritsaning chiziqli erkli satrlarining
maksimal soniga teng bo’lib,
k noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema
tenglamalari soni noma’lumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli
bo’ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo’lib uni Kramer qoidasi bo’yicha
topish mumkin bo’ladi.
Endi matritsalarning rangi
k noma’lumlar sonidan kichik, yahni k <n
bo’lsin. Bu holda
k - tartibli minor noldan farqli bo’ladi. Sistema tenglamalarining
har qaysisida
xk+1,xk+2,… ,xn noma’lumli hadlarini tenglamalarning o’ng
tomoniga o’tkazamiz va bu noma’lumlar uchun biror
ck+1,ck+2,… ,cn
qiymatlari majmuini tanlab olib
k noma’lumli k ta tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz. Hosil bo’lgan sistemaga Kramer qoidasini qo’llash mumkin va yagona

c1,c2,… ,ck yechim majmui mavjud bo’ladi. Sistema tenglamalarining o’ng
tomoniga o’tkazilgan noma’lumlarni ozod noma’lumlar deb ataymiz. CHap
tomondagi nomag’lumlar bosh(bazis) o’zgaruvchilar, Ozod noma’lumlar uchun
ck+1,ck+2,… ,cn
sonlarni ixtiyoriy tanlab olishig’iz mumkin bo’lganligi uchun
hosil bo’lgan sistemaning cheksiz ko’p turlicha yechimlari shu yo’l bilan hosil
qilinadi. SHunday qilib, bu holda cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega
bo’lamiz.
x1,x2,… ,xk
noma’lumlarning xk+1,xk+2,… ,xn ozod noma’lumlar
qatnashgan yechimiga umumiy yechim deb ataladi, chunki boshqa cheksiz ko’p
yechimlar
xk+1,xk+2,… ,xn ozod noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar majmuini
berish bilan olinadi.
Tenglamalar sistemasini yechishga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

{
10 x1− x2+2 x3+ x4= 6 ,
4 x1+ x2+ 4 x3− 2 x4= 2,
2 x1− 3 x2− 6 x3+5 x4= 1.
Echish. Sistema koeffitsientlaridan matritsa tuzamiz.

A=¿
(10 −12 1¿)(4 14−2¿)¿
¿
¿¿
Bu matritsaning rangi 2 ga teng, chunki
|10 − 1
4 1
|= 10 +4= 14 ≠ 0
bo’lib,
|
10 − 1 2
4 1 4
2 − 3 − 6
|= 0, |
10 − 1 1
4 1 − 2
2 − 3 5
|= 0
bo’ladi. Kengaytirilgan matritsa

B=¿
(10−12112¿)(414−22¿)¿
¿
¿¿
ning rangi 3 ga teng, chunki

|
10 − 1 6
4 1 2
2 − 3 1
|= − 14 ≠ 0
r(A )= 2 , r(B )= 3
bo’lib, r(A)≠ r(B ) bo’ladi, demak isbotlangan teoremaga
asosan sistema birgalikda emas.
2-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

{
3x1+2x2= 4,
x1− 4x2= − 1,
7x1+10 x2= 12 .
Echish. Sistema koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa

A=¿
(3 2¿)(1−4¿)¿
¿
¿¿
bo’lib,
r(A)= 2 , chunki
|3 2
1 − 4
|= − 14 ≠ 0 , lekin
3-tartibli minori yo’q. Kengaytirilgan matritsaning rangi ham 2 ga teng, chunki

|
3 2 4
1 − 4 − 1
7 10 12
|= − 144 +40 − 14 +112 − 24 + 30 = 0 .
Birinchi ikkita tenglamaning chap qismlari chiziqli erkli, bu ikkita
tenglamalar sistemasini yechib, noma’lumlar uchun ushbu qiymatlarni hosil
qilamiz:

{
3x1+2x2= 4,
x1− 4x2= − 1.
Δ=|3 2
1 − 4
|= − 14 ≠ 0, Δ1=|4 2
− 1 − 4
|= − 14 , Δ2=|3 4
1 − 1
|= − 7
x1= 1, x2=
1
2
Bu yechim 3-tenglamani ham qanoatlantiradi.
3-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

{
x1+5 x2+ 4 x3+ 3 x4= 1,
2 x1− x2+ 2 x3− x4,
5 x1+3 x2+8 x3+ x4= 1.
Echish. Sistema matritsasining rangi
r(A)=2 , chunki

|
1 5 4
2 − 1 2
5 3 8
|=|
1 5 3
2 − 1 − 1
5 3 1
|= 0
|
1 5 1
2 − 1 0
5 3 1
|=|
1 4 1
2 2 0
5 8 1
|=|
1 3 1
2 − 1 0
5 1 1
|=|
4 3 1
2 − 1 0
8 1 1
|= 0bo’lganligini, yahni kengaytirilgan matritsaning barcha 3-tartibli minorlari 0 ga
teng bo’lganligi uchun, uning ham rangi
r(B )= 2 . SHunday qilib, sistema
birgalikda va
r(A )= r(B )= k= 2< 4 noma’lumlar sonidan kichik, bu holda
birinchi va uchinchi tenglamalar sistemasini olaylik, chunki

|1 5
5 3
|= 3− 10 = − 7≠ 0;
{
x1+5x2+4x3+3x4= 1,
5x1+3x2+8x3+ x4= 1
bundan

{
x1+5x2= 1− 4x3− 3x4,
5x1+3x2= 1− 8x3− x4
bo’lib, tenglamalar sistemasini
х1,х2 asosiy noma’lumlarga nisbatan yechsak:

x1=
|1− 4 x3− 3x45
1− 8x3− x43
|
− 7 = 2
7− 4 x3+ 4
7 x4,

x2=
|1 1− 4x3− 3x4
5 1− 8x3− x4
|
− 7 = 4
7− 12
7 x3− 2x4
bo’ladi. Ozod noma’lumlarni
x3= С 1,x4= C 2 deb

x1= 2
7
− 4C 1+4
7
C 2,
x2= 4
7
− 12
7
C 1+2C 2

umumiy yechimni olamiz. C1 va C2 larga xar xil qiymatlar berib, masalan,
C 1= 2, C 2= 3
bo’lganda x1= − 6, x2= 22
7
, x3= 2, x4= 3, yahni
(− 6,22
7
,2,3 )
yechimni, С 1= 0,С 2= − 3 bo’lganda
х1= − 10
7
,х2= − 38
7
, х3= 0, х4= − 3,
yahni (− 10
7
,− 38
7
,0,− 3) va hokazo
cheksiz ko’p yechimlarni olish mumkin.
4 . Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. (1) tenglamalar sistemasida
ozod hadlar 0 lardan iborat bo’lsa, bunday sistemaga bir jinsli sistema deyiladi,
yag’ni

a
11
x
1
+a
12
x
2
+…+a
1n
x
n
=0,¿}
a
21
x
1
+a
22
x
2
+…+a
2n
x
n
=0,¿}
………………………………¿}¿¿¿
bo’lib, birjinsli sistema doimo birgalikda.
2.BOB. Kroneker-Kapelli teoremasi.
2.1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
Bir jinsli sistema 0 dan farqli yechimga egaligini aniqlash muhimdir.
2-teorema. Bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun
sistema matritsasining rangi noma’lumlar sonidan kichik bo’lishi zarur va
yetarlidir.
1-natija. Bir jinsli sistemada noma’lumlar soni tenglamalar sonidan
katta bo’lsa, sistema 0 dan farqli yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin.
2-natija.
n noma’lumli n ta bir jinsli tenglamalar sistemasi 0 dan farqli
yechimlarga ega bo’lishi uchun sistemaning determinanti 0 ga teng bo’lishi zarur
va yetarlidir.
4-misol. Ushbu

{x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=1,¿{x
1
+x
2
+2x
3
+x
4
=0,¿¿¿¿
tenglamalar sistemasini yeching.
Echish. Sistema matritsasini va uning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz:

A=¿
(1111¿)(1121¿)¿
¿
¿¿ va B=¿
(11111¿)(11210¿)¿
¿
¿¿

B matritsada oxirgi ustunni saqlab elementar almashtirishlar bajaramiz:

B = ¿
(1 1 1 1 1 ¿ )(1 1 2 1 0 ¿ )¿
¿
¿ ¿
0 lardan iborat satrni tashlab
B1= ¿(1 1 1 1 1¿)¿
¿
¿¿
matritsani hosil qilamiz. Bunday almashtirishlarda
B
matritsa rangini aniqlash bilan
A matritsaning ham rangini aniqlash imkoniyati
tug’iladi. SHunday qilib,
B matritsaning rangi 2 ga teng, A matritsaning rangi
ham 2 ga teng. Demak, berilgan sistema birgalikda bo’ladi. Ma’lum bo’ldiki,
uchinchi tenglama birinchi ikkita tenglamalarning chiziqli kombinatsiyasidan
iborat. SHuning uchun uchinchi tenglamani chiqarib

{x1+x2+x3+x4= 1,¿¿¿¿
to’rt noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Ikkita noma’lumni
qolganlari orqali ifodalaymiz. Ma’lumki,
x1,x2 noma’lumlarga nisbatan yechish
mumkin emas, chunki ularning koeffitsientlaridan tuzilgan determinant 0 ga teng.
Sistemani
x2,x3 larga nisbatan yechish mumkin, yahni

{x2+x3=1− x1− x4,¿¿¿¿

x2,x3 larni bosh (bazis) o’zgaruvchilar , x1,x4 lar esa ozod( erkin)
o’zgaruvchilar bo’ladi. Bu sistemani yechib
x3= − 1, x2= 2− x1− x4 ni
aniqlaymiz.
x1,x4 o’zgaruvchilarga ketma-ket qiymatlar berib, cheksiz ko’p
yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz. Masalan,
x1= 0, x4= 1 bo’lganda
x1= 0, x2= 1, x3= − 1, x4= 1
yechim hosil bo’ladi va hokazo . Tekshirib
ko’rish mumkinki, bu yechim berilgan sistemani qanoatlantiradi.
5-misol. Ushbu

{
2x
1
−x
2
−3x
3
+x
4
=0,¿{
x
1
+3x
2
+2x
3
−2x
4
=0,¿{
3x
1
+2x
2
+2x
3
+3x
4
=0,¿¿¿¿
bir jinsli tenglamalar sistemasini yeching.
Echish. Sistema matritsasining rangini topamiz.

A=¿
(2−1−31¿)(132−2¿)(3223¿)¿
¿
¿¿ .
Birinchi uchta satrini qo’shib, to’rtinchi satridan ayiramiz:

(2−1−31¿)(132−2¿)(3223¿)¿
¿
¿¿ .
hosil bo’lgan matritsaning ranggi 3 ga teng, chunki

|2−1−3 ¿||1 3 2 ¿|¿
¿
¿¿ .
SHunday kilib,
A matritsaning rangi 3 ga teng, noma’lumlar soni to’rtta, 2-
teoremaga asosan sistema 0 dan farqli yechimga ega. Berilgan sistema

{2x
1
−x
2
−3x
3
+x
4
=0,¿{x
1
+3x
2
+2x
3
−2x
4
=0,¿¿¿¿
sistemaga teng kuchli.
x1,x2,x3 noma’lumlar koeffitsientidan tuzilgan
determinant 0 dan farqli bo’lgani uchun
x4 ni o’ng tomonga o’tkazib tenglamalar
sistemasini yechamiz.

Δ = 21 , Δx
1
= ¿
|− x
4
− 1 − 3 ¿||2 x
4
3 2 ¿|¿
¿
¿¿
¿
¿Kramer formulalariga asosan:
x1= − 31
21
x4,x2= 43
21
x4,x3= − 28
21
x4= − 4
3
x4.
Bu yechimni berilgan sistemaga bevosita qo’yib yechimning to’g’riligiga ishonish
mumkin .
5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. CHiziqli
tenglamalar sistemasini yechishning eng ko’p ishlatiladigan usullaridan biri
Gauss usulidir. Uning mohiyatini uch noma’lumli uchta chiziqli tenglama uchun
ko’rsatamiz.

{a
11
x
1
+a
12
x
2
+a
13
x
3
=b
1
,¿{a
21
x
1
+a
22
x
2
+a
23
x
3
=b
2
,¿¿¿¿ (1)
Bunda
a11≠ 0 bo’lsin. Birinchi tenglamaning hamma hadlarini a11 ga bo’lamiz
va uni
− a21 , − a31 ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi
tenglamalarga qo’shamiz. Bu holda quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

{
x
1
+
a12
a
11
x
2
+
a13
a
11
x
3
=
b1
a
11
,¿{α
22
x
2
+α
23
x
3
=β
2
,¿¿¿¿
bu yerda
α22 = a22 − a21
a12
11
, α23 = a23 − a21
a13
a21 va h.k.
a11= 0
bo’lib, boshqa tenglamalarda nomag’lumlar oldidagi koeffitsientlari
orasida no’ldan farqlilari bo’lsa, u holda bu tenglamalardan birini birinchi
tenglamaning o’rni bilan almashtiramiz, keyin yuqoridagi amallarni bajaramiz. Bu
birinchi qadam bo’ladi. Demak, birinchi qadamda birinchi tenglamada
x1 -
noma’lum qolib, qolgan tenglamalardan ketma-ket
x1 - noma’lumni yo’qotamiz .
Ikkinchi qadamda birinchi tenglama o’z o’rnida qolib, ikkinchi va uchinchi

tenglama uchun yuqoridagi amallarni bajaramiz, yahni ikkinchi tenglamada x2
noma’lumni qoldirib, uchinchi tenglamadan uni yo’qotamiz. SHunday qilib, bu
amallar natijasida (1) tenglamalar sistemasi

{x
1
+α
12
'
x
2
+α
13
'
x
3
=β
1
'
,¿{α
22
'
x
2
+α
23
'
x
3
=β
'2
'
,¿¿¿¿ (2)
ko’rinishga keladi. Endi hamma noma’lumlarni so’nggi tenglamadan boshlab
teskari qadam bilan topish qoldi.
6-misol.

{x
1
+2x
2
+3x
3
=6,¿{4x
1
+x
2
+4x
3
=9,¿¿¿¿
tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.
Yechish. Birinchi tenglamani (-4) va (-3) ga ko’paytirib mos ravishda
ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz:

{x1+2x2+3x3=6,¿{(4−4)x1+(1−8)x2+(4−12)x3=9−4⋅6,¿¿¿¿
yahni

x
1
+2x
2
+3x
3
=6,¿}7x
2
−8x
3
=−15 ,¿}¿¿¿
bo’ladi.
SHu bilan birinchi qadam tugadi.
Ikkinchi qadamda, birinchi tenglamani o’z o’rnida qoldirib, ikkinchi tenglamani (-
7) ga bo’lib yozamiz:

{x
1
+2x
2
+3x
3
=6,¿
{
x
2
+
8
7
x
3
=
15
7
,¿¿¿¿
Uchinchi tenglamadan
x2 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun ikkinchi
tenglamani (-1) ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz:

{x
1
+2x
2
+3x
3
=6,¿
{
x
2
+
8
7
x
3
=
15
7
,¿¿¿¿
Oxirgi tenglamadan
x3= 1 ni topamiz. x3= 1 ni ikkinchi tenglamaga qo’ysak,
x2+ 8
7
= 15
7
yoki
x2= 15
7
− 8
7
= 1 , x2= 1 bo’ladi. x2= 1 , x3= 1 larni
birinchi tenglamaga quysak
х1 =1 bo’ladi. SHunday qilib,
x1= 1, x2= 1 , x3= 1
.
2.2. CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.
Gauss usulining xususiyati shundan iboratki, unda sistemaning
birgalikda masalasini oldindan aniqlab olish talab etilmaydi va:
1) sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul yagona yechimga olib
keladi;
2) sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa , bu holda biror qadamda ikkita
aynan teng tenglama hosil bo’ladi va shunday qilib, tenglamalar soni
noma’lumlar sonidan bitta kam bo’lib qoladi;
3) sistema birgalikda bo’lmasa , u holda biror qadamda chiqarilayotgan
(yo’qotilayotgan) noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham
yo’qotiladi, o’ng tomonda esa noldan farqli ozod had qoladi.
Jardono-Gauss modifikatsiyalashgan usuli. Ma’lumki, Gauss usuli bilan
chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda tenglamalar sistemasi uchburchak
ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi. Noma’lumlarning qiymati bevosita
topiladigan, yahni teskari qadam bilan noma’lumlar qiymatini ketma-ket topishga
hojat qolmaydigan usulni qaraymiz. Bu usulni ushbu chiziqli tenglamalar
sistemasining yechimini topish bilan ifodalaymiz.
7-misol.

{
x1+2 x2+ x3= 8 ,
x2+ 3x3+ x4= 15 ,
4 x1+ x3+ x4= 11 ,
x1+ x2+5 x4= 23
tenglamalar sistemasi yechimini toping.
Echish. 1-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib sistemaning qolgan tenglamalaridan
x1
noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 1- tenglamani ketma-ket (-4), (-1) ga
ko’paytirib mos ravishda 3,4-tenglamalarga hadma-had qo’shib ushbu sistemani
hosil qilamiz:

{
x1+ 2x2+ x3= 8 ,
0+ x2+3 x3+ x4= 15 ,
0− 8x2− 3 x3+ x4= 21 ,
0− x2− x3+5x4= 15 .
Endi 2–tenglamani o’zgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan
х2 noma’lumni
yo’qotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), 8,1 larga ketma-ket ko’paytirib, mos
ravishda 1,3,4 – tenglamalarga hadma –had qo’shamiz va ushbuni hosil qilamiz:

{
x1+0− 5x2− 2х3= − 22 ,
0+ x2+3x3+ x4= 15 ,
0+0+21 x3+9х4= 99 ,
0+0+2 х3+6x4= 30 .
Endigi qadamda 3-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan
х3
noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 3- tenglamani ketma-ket (5/21), (-3/21) (-
2/21) larga ko’paytirib mos ravishda 1,2,4 – tenglamalarga hadma-had qo’shsak,
ushbu tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

{
x1+0+0+ 3
21 х4= 33
21 ,
0+ x2+0− 6
21 x4= 18
21 ,
0+0+ 21 x3+9 х4= 99 ,
0+0+ 0+ х4= 4.
Oxirgi qadamda 4-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, x
4
noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 4 – tenglamani ketma-ket
(−21
3
),(21
6
),(−9)
larga ko’paytirib, mos ravishda 1,2,3- tenglamalarga hadma-had
qo’shamiz natijada, ushbuga ega bo’lamiz:

{
x1+0− 0+0= 1,
0+ x2+ 0+0= 2 ,
0+0+ 21 x3+0= 63 ,
0+ 0+0+ x4= 4.
Oxirgi sistemadan =1 , x
2 =2, x
3 =3, x
4 =4 yagona yechimni olamiz. Yuqoridagi
tenglamalar sistemasini yechishda x
1 , x
2 ,x
3 , x
4 noma’lumlarni ketma-ket
1х

yo’qotdik, hisoblashlarni ixchamlashtirish uchun har safar koeffitsienti 1 ga teng
bo’lgan noma’lumni chiqarish ham mumkin edi.
U usulda ham Gauss usulining xususiyatlari o’z kuchida qoladi, yahni
tenglamalar sistemasi aniq bo’lsa, bu usul yagona yechimga, tenglamalar sistemasi
birgilikda lekin aniq bo’lmasa biror qadamda 0=0 tenglik hosil bo’lib cheksiz ko’p
yechimga olib keladi. Tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmasa, biror qadamda
tengliklarning birining chap tomonida 0 o’ng tomonida 0 dan farqli son bo’lib,
sistema yechimga ega bo’lmaydi.
Xulosa
Tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o’rniga ma’lum sonlar majmuini
qo’yganda, sistemaning hamma tenglamalari ayniyatga aylansa, bunday sonlar
majmuiga tenglamalar sistemasining yechimi (ildizi) deyiladi. Bunday sonlar
majmui bitta bo’lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lib, bu sistema
aniqlangan (tayin, muayyan) deb ataladi va bu tenglamalar sistemasi birgalikda
deyiladi. Birgalikda bo’lgan sistema bittadan ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday
sistema aniq bo’lmagan sistema deyiladi. Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi
bir xil yechimlar majmuiga ega bo’lsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi.
Tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo’lmasa, bunday sistemaga
birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta
tenglamasini 0dan farqli songa ko’paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had
qo’shish bilan hosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo’ladi (bu
xossadan kelgusida ko’p foydalaniladi). Fan va texnikaning ko’p sohalarida
bo’lganidek, iqtisodiyotning ham ko’p masalalarining matematik modellari chiziqli
tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib,
mahsulot turlari bo’yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Echish: Ishlab
chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda 1 2 3 x , x , x lar bilan
belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik
bo’lganligi uchun 5 1 x 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil xom
ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish
uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12 2 x , 7 3 x bo’lib, uning
uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 1 x + 12 2 x + 7 3 x =2000.
Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun 10 6 8 1660, x1  x2  x3 
9x1  11x2  4x3  2070 tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida
quyidagi uch nomag’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 1 2
3 1 2 3 1 2 3 5 12 7 2000, 10 6 8 1660, 9 11 4 2070 x x x x x x x x x       
       Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta chiziqli
tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining
yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni
umumiy holda qaraymiz. Ikki noma‘lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi  , 1
1 1 2 1 2 1 2 2 2 а х а у b а х а у b     (1) ni qaraymiz. Bu yerdagi x va y
noma‘lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma‘lum. a11, a12, a21, a22, lar sistema
koeffitsientlari, b1 va b2 sonlar esa ozod had (son)lar deb ataladi. (1) sistema bizga
o’rta maktab kursidan ma‘lum . Uni yechishning o’riniga qo’yish, qo’shish va

grafik usullari bilan tanishmiz. Bu yerda (3.1) sistemani yechishning yana bir usuli
ya‘ni uni determinantlardan foydalanib yechish usuli bilan tanishamiz.
Sistemaning birinchi tenglamasini a22 ga, ikkinchisini -a12 ga ko’paytirib hadlab
qo’shamiz: ( а 11 а 22- а 21 а 12) х =b1 а 22-b2 а 12. (2) Shuningdek sistemaning birinchi
tenglamasini -a21 ga, ikkinchi sini a11 ga ko’paytirib hadlab qo’shsak ( а 11 а 22-
а 21 а 12) у =b2 а 22-b1 а 12 (3) hosil bo’ladi. Δ= , 21 22 11 12 а а а а  x = , 1 22 1 12
b а b а  y = , 21 2 11 1 а b а b (4) belgilashlarni kiritamiz. Sistemaning
koeffitsientlaridan tuzilgan Δ determinant sistemaning asosiy determinanti deb
ataladi.  x determinant Δ dagi birinchi ustun elementlarini ozod sonlar bilan
almashtirish natijasida,  y esa Δ dagi ikkinchi ustun elementlarini ozod sonlar
bilan almashtirish natijasida hosil bo’ladi. (4) dan foydalanib (2) va (3)
formulalarni            у х у х , (5) ko’rinishida yozish mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Algeba and Number theory.
2010. – 523 p.
2.Everest G., Ward T. An Introduction to Number Theory. 2006. – 297 p.
3.James J.T. Elementry number thory in nine chapters. 1999. – 417 p.
4. Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. – 433 p.
5. Strang G. Introduction to Linear algebra. 2016. – 584 p.
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. 1966. – 386 с.
7.Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное
пособие. 2014. – 52 с.
.Виноградов И.М. Основы теории чисел. 194. – 178 c.
9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 199. – 320 с.
10. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2000. – 272
с.
11. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. 2000. –
368 с.
12. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва. 1979. –559 с.
13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 200. – 432 c.
14. Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 2010. –
480 с.
15. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2007. – 416 с.

16. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, Санкт-
Петербург, 1999. – 304 с.
17. Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси,
Тошкент, «Ўзбекистон», 2001 й.
Mundarija:
1.BOB.Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar. ........................................................................ 4
1.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeshishning ahamiyati va qoidalari ................................................................. 4
1.2. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yechish. ...................................................................... 17
2.BOB. Kroneker-Kapelli teoremasi. ........................................................................................................................ 25
2.1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. ............................................................................................................ 25
2.2. CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. ............................................................................ 30
Xulosa ....................................................................................................................................................................... 32
Foydalanilgan adabiyotlar ......................................................................................................................................... 33

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli

Sotib olish