Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 468.4KB
Покупки 9
Дата загрузки 15 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Darajali qator. Teylor qatori

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Darajali qator. Teylor qatori 1 Mundarija Kirish………………………………………………………………………………3 I-bob. Darajali qatorlar av uning xossalari 1.1-§. Darajali qatorlar……………………………………………………………..5 1.2-§. Darajali qatorlarning xossalari………………………………………………9 II-bob. Teylor qatori 2.1-§. Teylor formulasi............................................................................................12 2.2-§. Ba`zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi……………….16 2.3-§. Teylor va Makleron qatorlari tadbiqlari……………………………………23 Xulosa…………………………………………………………………………….27 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati…………………………………………….28 2 Kirish Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Mazkur kurs ishida differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish masalalariga bag‘ishlangan. Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursida differensial tenglamalarni yechish usullari о‘rgatiladi. Lekin tenglamalarning aksariyat qismi kvadraturalarda yechilmasligi boisidan bu fani о‘rganish davomida kvadraturalarda yechilmaydigan differensial tenglamalarni darajali darajali qatorlar yordamida ham yechish mumkinligi haqida qisqacha ma’lumot berib о‘tiladi. Buning natijasi о‘laroq, izlanuvchilar differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullaridan batafsil xabardor bо‘la olmaydilar. Oddiy differensial tenglamalrni darajali qatorlar va Teylor qatori yordamida yechish masalasini maxsus funksiyalar yordamida yoritilishi misollarning kо‘rib chiqilishi differensial tenglamalarni yechish sohasidagi dolzarb masala bо‘lib hisoblanadi. Kurs ishi mavzusining amaliy ahamiyati: Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursida differensial tenglamalarni yechish usullari o’rganiladi. Lekin tenglamalarning aksariyat qismi kvadraturalarda yechilmasligi sababli bu fanni o’rganish davomida kvadraturalarda yechilmaydigan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish mumkinligi xaqida ma’lumotlar berib o’tiladi, lekin bu ma’lumotlar qisqa va yetarlicha emasdir. Buning natijasida izlanuvchilar differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullaridan batafsil xabardor bo’la olmaydilar. Oddiy differensial tenglamalrni darajali qatorlar yordamida yechish masalasini maxsus funksiyalar yordamida yoritish, misollarni ko’rib chiqish differensial tenglamalarni yechish soxasidagi dolzarb masala bo’lib xisoblanadi. Bu kurs ishini tayyorlash uchun avvalo oddiy differensial tenglamalar kursidan 3 chiziqli oddiy differensial tenglamalar, maxsus funksiyalar mavzularini, shuningdek matematik analiz kursidan darajali qatorlar keng ma’noda puxta o’rganib chiqishga harakat qildim. O’rgangan materiallar asosida chiziqli differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullarini o’rganishni asosiy maqsad qilib qo’ydim. 4 I-bob. Darajali qatorlar av uning xossalari 1.1-§. Darajali qatorlar. 1. Bizga ma’lumki funksional qatorlar orasida, ularning xususiy holi bо‘lgan ushbu ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1.1.1) yoki, umumiyroq, ∑ n=0 ∞ an(x− x0)n=a0+a1(x− x0)+...+an(x− x0)n+... (1.1.2) qatorlar (bunda a0,a1,a2,...,an,...,x0 - о‘zgarmas haqiqiy sonlar) matematikada va uning tatbiqlarida muhim rol о‘ynaydi. Bu yerda, un(x) sifatida un(x)=anxn (yoki un(x)= an(x−x0)n) , ya’ni x (yoki x− x0 ) о‘zgaruvchining darajalari qaralyapti. Shu sababli (1.1.1) va (1.1.2) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi [1,b 45]. Agar (1.1.2) qatorda x− x0=t deb olinsa, u holda bu qator t о‘zgaruvchiga nisbatan (1.1.1) qator kо‘rinishiga keladi. Demak, (1.1.1) qatorlarni о‘rganish kifoyadir. (1.1.1) ifodadagi a0,a1,a2,...,an,... haqiqiy sonlar (1.1.1) darajali qatorning koeffitsiyentlari deb ataladi. Darajali qatoring tuzilishidan, darajali qatorlar bir – biridan faqat koeffitsiyentlari bilangina farq qilishini kо‘ramiz. Demak, darajali qator berilgan deganda uning koeffitsiyentlari berilgan deganini tushunamiz. Misollar. Ushbu 1. ∑ т=0 ∞ x2 n!=1+ x 1!+x2 2!+...+xn n!+...(0!=1) 2. ∑ т=0 ∞ xn=1+x+x2+...+xn+... 5 qatorlar darajali qatorlardir. Shunday qilib, darajali qatorlarning har bir hadi (−∞,+∞ ) da berilgan funksiyadir. Binobarin, darajali qatorni, normal nuqtai nazardan, ( −∞,+∞ ) da qarash mumkin. Ammo, tabiiyki, ularni ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bо‘ladi deya olmaymiz. Albatta, ixtiyoriy darajali qator x=0 nuqtada yaqinlashuvchi bо‘ladi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi albatta x=0 nuqtani о‘z ichiga oladi. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi (tо‘plami) strukturasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasiga asoslanadi. 1-teorema (Abel teoremasi). Agar ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1.1.1) darajali qator x ning x= x0(x0≠0) qiymatida yaqnlashuvchi bо‘lsa, x ning |x|<|x0| (1.1.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1.1.1) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bо‘ladi [1, b 56]. 2. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. Endi darajali qatorning yaqinlashish sohasi strukturasini aniqlaylik. 2- teorema. Agar ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... ( 1.1.1 ) darajali qator x ning ba’zi ( x≠0 ) qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba’zi qiymatlarida uzoqlashuvchi bо‘lsa, u holda shunday yagona r>0 haqiqiy son topiladiki (1.1.1) darajali qator x ning |x|<r tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, |x|>r tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bо‘ladi [1, b 67]. Isbot. Berilgan (1.1.1) darajali qator x= x0≠ 0 da yaqinlashuvchi, x= x1 da 6 esa uzoqlashuvchi bо‘lsin. Ravshanki, |x0|<|x1| bо‘ladi. Unda 1-teorema hamda 1-natijaga muvofiq (1.1.1) darajali qator x ning |x|<|x0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, x ning |x|>|x1| tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bо‘ladi. Jumladan (1.1.1) darajali qator a(a<|x0|) nuqtada yaqinlashuvchi, b(b>|x 1 |) nuqtada esa uzoqlashuvchi bо‘ladi (1-chizma). Demak, (1.1.1) qator [a,b] segmentning chap chekkasida yaqinlashuvchi, о‘ng chekkasida esa uzoqlashuvchi. [a,b] segmentning о‘rtasi a+b 2 nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) qatorni qaraylik. Agar (1.1.1) qator a+b 2 nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, unda [ a+b 2 ,b] segmentni, a+b 2 nuqtada uzoqlashuvchi bо‘lsa, [a,a+b 2 ] segmentni olib, uni [a1,b1] orqali belgilaylik. Demak, (1.1.1) qator a1 nuqtada yaqinlashuvchi, b1 nuqtada esa uzoqlashuvchi 1-chizma b о ‘lib , [a1,b1] segmentning uzunligi b1− a1= b− a 2 ga tengdir. S о ‘ng [a1,b1] segmentnipg о ‘rtasi a1+b1 2 nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) qatorni qaraymiz. Agar 7 u a1+b1 2 nuqtada yaqinlashuvchi b о ‘lsa, unda [ a1+b1 2 ,b1] segmentni, uzoqlashuvchi b о ‘lsa, [a1,a1+b1 2 ] segmentni olib, uni [a2,b2] orqali belgilaymiz. Demak, (1.1.1) qator a2 nuqtada yaqinlashuvchi, b2 nuqtada esa uzoqlashuvchi b о ‘lib, [a2,b2] segmentning uzunligi b2−a2= b− a 22 ga tengdir. 3.Koshi - Adamar teoremasi. Yuqorida kо‘rdikki, darajali qatorlarnipg yaqinlashish sohasi sodda strukturaga ega bо‘lar ekan: yoki interval, yoki yarim interval, yoki segment. Hamma hollarda ham bu soha yaqi n lashish radiusi r orqali ifodalanadi. Ma’lumki, har qanday darajali qator ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1.1.1) о ‘zi n ing koeffitsiyeptlari ketma-ketligi {an} bilan apiqlanadi. Binobari n , uni n g yaqinlashish radiusi ham shu koeffitsiyentlar ketma- ketligi orqali qa n daydir topilishi kerak . Berilgan (1.1.1) darajali qator koeffitsiyentlari yordamida {n√|an|} : |a0|,|a1|,√|a2|,...,n √|an|,... . . . (1.1.6) sonlar ketma-ketligini tuzamiz. Ma’lumki, har qanday sonlar ketma- ketligining yuqori limiti mavjud. Demak, (1.1.6) ketma-ketlik ham yuqori limitga ega [6, b 33]. Uni b bilan belgilaylik: b= limn→∞ n√|an| (0≤b≤ +∞) 3 - teorema: (Koshi - Adamar teoremasi). Berilgan ∑ n=0 ∞ anxn darajali q atorning yaqinlashish radiusi r= 1 b= 1 limn→∞ n√|an| (1.1.7) 8 b о‘ ladi [6, b 34]. 2- eslatma. Yuqoridagi (1.1.7) formulada b=0 b о ‘lganda r=+ ∞ ,b=+ ∞ b о ‘lganda esa r=0 deb olinadi. Isbot. (1.1.7) formulanipg t о ‘g‘riligini k о ‘rsatishda quyidagi 1) b=+ ∞ (r=0) , 2) b=0(r=+ ∞ ) , 3) 0<b<+ ∞ (r= 1 b) hollarni alohida-alohida qaraymiz. 1) b=∞ b о ‘lsin. Bu holda n √|an| ketma-ketlik chegaralanmagandir. Ixtiyoriy x0(x0≠0) nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) darajali qatornipg uzoqlashuvchi ekanini k о ‘rsatamiz. 2) b=0 bо‘lsin. Bu holda ixtiyoriy x0(x0≠0) nuqtada (14.27) darajali qatorning yaqinlashuvchi bо‘lishini kо‘rsatamiz. M odomiki, {n√|an|} ketma- ketlikning yuqori limiti nolga teng ekan, bundan uning limiti ham mavjud va nolga tepgligi ke l ib chiqadi. Ta’rifga asosan ∀ ε>0 son olinganda ham, jumladan ε= 1 2|x0| ga k о ‘ra shunday n0∈N topiladiki, barcha n>n0 uchun n√|an|< 1 2|x0| bо‘ladi. Keyingi tengsizlikdan esa |anx0n|< 1 2n b о ‘lishi kelib chiqadi. 3) 0<b<+ ∞ bо‘lsin. Bu holda (1.1.1) darajali qator ixtiyoriy x0(|x0|<1 b) nuqtada yaqinlashuvchi, ixtiyoriy x1(|x1|>1 b) nuqtada uzoqlashuvchi bо‘lishini kо‘rsatamiz. 9 1.2-§. Darajali qatorlarning xossalari Biror∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+...+anxn+... (1.1.1) darajali qator be r ilgan b о ‘lsin. 4- teorema. Agar ∑ n=0 ∞ anxn darajali q atorning yaqinlashshi radiusi r(r>0) b о ‘lsa, u xolda bu qator [−c,c](0<c<r) segmentda tekis yaqinlashuvchi b о ‘ladi. Isbot. Shartga k о ‘ra r - (1.1.1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi. Demak, berilgan qator (−r,r) intervalda yaqinlashuvchi. Jumladan, c<r b о ‘lganligidan, (14.27) darajali qator c nuqtada ham yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi) b о ‘ladi. Demak, ∑ n=0 ∞ |an|cn=|a0|+|a1|c+|a2|c2+...+|an|cn+... (1.1.11) qator yaqinlashuvchi. ∀ x∈[−c,c] uchun har doim |anxn|≤|an|cn b о ‘ladi. Natijada, ushbu ∑ n=0 ∞ |anxn|=|a0|+|a1x|+|a2x2|+...+|anxn|+... qatorning har bir hadi (1.1.11) qatorning mos hadidan katta emasligini topamiz. U holda Veyershtrass alomatiga k о ‘ra ∑ n=0 ∞ anxn darajali qator [−c,c] segmentda tekis yaqinlashuvchi b о ‘ladi. Teorema isbot b о ‘ldi. 3-eslatma. Bu xossadagi c(c>0) sonni (1.1.1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi r ga har qancha yaqin qilib olish mumkin. Ammo, umuman aytganda, (1.1.1) darajali qator (−r,r) da tekis yaqinlashuvchi b о ‘lavermaydi. Masalan, ushbu ∑ n=0 ∞ xn=1+x+x2+...+xn+... darajali qator (−1;+1) oraliqda yaqinlashuvchi (r=1) , ammo u (−1;+1) da tekis 10 yaqinlashuvchi emas [9, b 112]. 5-teorema. Agar ∑ n=0 ∞ anxn darajali qatorning yakinlashish radiusi r>0 bо‘lsa, u holda bu qatorning S(x)=∑ n=0 ∞ anxn yig‘indisi (−r,r) oraliqda uzluksiz funksiya bо‘ladi. 6- teorema : ( Abel teoremasi ). Agar ∑ n=0 ∞ anxn darajali q atorning yaqinlashish radiusi r>0 b о‘ lib , bu q ator x=r(x=− r) nuqtada yaqinlashuvchi b о‘ lsa , u xolda (1.1.1) qatorning yig ‘ indisi S(x)∑ n=0 ∞ anxn funksiya , shu x=r(x=−r) nuq tada chapdan (о‘ ngdan ) uzluksiz b о‘ ladi . 7-teorema: Agar ∑ n=0 ∞ anxn darajali qatorning yaq in l a shish radiusi r(r>0) b о ‘lsa, bu q atorni [a,b]([a,b]⊂(−r,r)) oraliqda hadlab integrallash mumkin. 11 II-bob. Teylor qatori 2.1-§. Teylor formulasi T eylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo`lib, ko`plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi. Teylor ko`phadi. Peano ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi . Ma`lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma`nosida ko`phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x 0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko`phad bilan almashtirish muammosi paydo bo`ladi. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta`rifiga ko`ra agar y=f(x) funksiya x 0 nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini f(x 0 )=f`(x 0 )  x+o(  x), ya`ni f(x)=f(x 0 )+f`(x 0 )(x-x 0 )+o(x-x 0 ) ko`rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytganda x 0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali P 1 (x)=f(x 0 )+b 1 (x-x 0 ) ( 2 .1) ko`phad mavjud bo`lib, x  x 0 da f(x)=P 1 (x)+o(x-x 0 ) bo`ladi. Shuningdek, bu ko`phad P 1 (x 0 )=f(x 0 ), P 1 `(x 0 )=b=f`(x 0 ) shartlarni ham qanoatlantiradi. Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x 0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f`(x), f``(x), ..., f (n) (x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda f(x)=P n (x)+o(x-x 0 ) (2.2) shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo`lmagan P n (x) ko`phad mavjudmi? Bunday ko`phadni P n (x)=b 0 +b 1 (x-x 0 )+b 2 (x-x 0 ) 2 + ... +b n (x-x 0 ) n , (2.3) ko`rinishda izlaymiz. Noma`lum bo`lgan b 0 , b 1 , b 2 , ..., b n koeffitsientlarni topishda P n (x 0 )=f(x 0 ), P n `(x 0 )=f`(x 0 ), P n ``(x 0 )=f``(x 0 ), ..., P n (n) (x 0 )=f (n) (x 0 ) (2.4) shartlardan foydalanamiz. Avval P n (x) ko`phadning hosilalarini topamiz: 12 P n `(x)=b 1 +2b 2 (x-x 0 )+3b 3 (x-x 0 ) 2 + ... +nb n (x-x 0 ) n-1 , P n ``(x)=2 1b 2 +3  2b 3 (x-x 0 )+ ... +n  (n-1)b n (x-x 0 ) n-2 , P n ```(x)=3  2  1b 3 + ... +n  (n-1)  (n-2)b n (x-x 0 ) n-3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , P n (n) (x)=n  (n-1)  (n-2)  ...  2  1b n . Yuqorida olingan tengliklar va (3.3) tenglikning har ikkala tomoniga x o`rniga x 0 ni qo`yib barcha b 0 , b 1 , b 2 , ..., b n koeffitsientlar qiymatlarini topamiz: P n (x 0 )=f(x 0 )=b 0 , P n `(x 0 )=f`(x 0 )=b 1 , P n ``(x 0 )=f``(x 0 )=2  1b 2 =2!b 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P n (n) (x 0 )=f (n) (x 0 )=n  (n-1)  ...  2  1b n =n!b n Bulardan b 0 =f(x 0 ), b 1 =f`(x 0 ), b 2 = lim x→−2+0 f``(x 0 ), . . ., b n = f (n) (x 0 ) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3.3) qo`yamiz va P n (x)= f(x 0 )+ f`(x 0 )(x-x 0 )+ f``(x 0 )(x-x 0 ) 2 + ... + f (n) (x 0 )(x-x 0 ) n , (2.5) ko`rinishda ko`phadni hosil qilamiz. Bu ko`phad Teylor ko`phadi deb ataladi. Teylor ko`phadi (3.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko`phadi ayirmasini R n (x) orqali belgilaymiz: R n (x)=f(x)-P n (x). (2.4) shartlardan R n (x 0 )=R n `(x 0 )=...= R n (n) (x 0 )=0 bo`lishi kelib chiqadi. Endi R n (x)=o((x-x 0 ) n ), ya`ni =0 ekanligini ko`rsatamiz. Agar x  x 0 bo`lsa, ifodaning 0/0 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko`rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda lim x→ ∞ = =…= = = = =0, demak x  x 0 da R n (x)=o((x-x 0 ) n ) o`rinli ekan. 13 Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: Teorema . Agar y=f(x) funksiya x 0 nuqtaning biror atrofida n marta differensiallanuvchi bo`lsa, u holda x x 0 da quyidagi formula f(x)= f(x 0 )+ f`(x 0 )(x-x 0 )+ f``(x 0 )(x-x 0 ) 2 + ... + f (n) (x 0 )(x-x 0 ) n +o((x-x 0 ) n ) (2.6) o`rinli bo`ladi, bu yerda R n (x)=o((x-x 0 ) n ) Peano ko`rinishidagi qoldiq had. Agar (2.6) formulada x 0 =0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo`ladi: f(x)=f(0)+ f`(0)x+ lim x→∞ f``(0)x 2 + ... + f (n) (0)x n +o(x n ). (2.7) Bu formula Makloren formulasi deb ataladi. Teylor formulasining Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadi. Teylor formulasi R n (x) qoldiq hadi yozilishining turli ko`rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko`rinishi bilan tanishamiz. Qaralayotgan f(x) funksiya x 0 nuqta atrofida n+1 –tartibli hosilaga ega bo`lsin deb talab qilamiz va yangi g(x)=(x-x 0 ) n+1 funksiyani kiritamiz. Ravshanki, g(x 0 )=g`(x 0 )=...= g (n) (x 0 )=0; g (n+1) (x 0 )=(n+1)!  0. Ushbu R n (x)=f(x)-P n (x) va g(x)=(x-x 0 ) n+1 funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda R n (x 0 )= R n `(x 0 )=...= R n (n) (x 0 )=0 e`tiborga olib, quyidagini topamiz: , bu yerda c 1  (x 0 ;x); c 2  (x 0 ;c 1 ); ... ; c n  (x 0 ;c n-1 );  (x 0 ;c n )  (x 0 ;x). Shunday qilib, biz ekanligini ko`rsatdik, bu yerda  ( x 0 ;x ). Endi g(x)=(x-x 0 ) n+1 , g (n+1) (  )=(n+1)!, R n (n+1) (  )=f (n+1) (  ) ekanligini e`tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo`lamiz: 14 R n (x)= ,  (x 0 ;x). ( 2.8 ) Bu ( 2.8 ) formulani Teylor formulasining Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadi deb ataladi. Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadni R n (x)= lim x → ∞ (2 .9 ) ko`rinishda ham yozish mumkin, bu yerda  birdan kichik bo`lgan musbat son, ya`ni 0<  <1. Shunday qilib, f(x) funksiyaning Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi kuyidagi shaklda yoziladi: f(x)=f(x 0 ) + f`(x 0 )(x-x 0 ) + f``(x 0 )(x-x 0 ) 2 + ... + f (n) (x 0 )(x-x 0 ) n + , bu yerda  (x 0 ;x). Agar x 0 =0 bo`lsa, u holda  =x 0 +  (x-x 0 )=  x , bu yerda 0<  <1, bo`lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko`rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi f(x)=f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x 2 + ... + f (n) (0)x n + (2.10) shaklida yoziladi. Teylor formulasining Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadi. Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko`rinishlariga misol tariqasida Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun yordamchi funksiyani tuzib olamiz va [ x 0 ;x ] segmentda uzluksiz, ( x 0 ;x ) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo`lgan biror  ( t ) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo`llasak, 15 ( 2. 1 1 ) ko`rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin. Agar ( 3. 1 1 ) formulada  (t) funksiya sifatida  (t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz: 2.2-§. Ba`zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi e x funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=e x funksiyaning (-  ;+  ) orali q da barcha tartibli hosilalari mavjud: f (k) (x)=e x , k=1, 2, ..., n+1. Bundan x =0 da f (k) (0)=1, k=1, 2, ..., n ; f (n+1) (  x)=e  x va f(0)= 1 hosil bo`ladi . Olingan natijalarni (3.10) formulaga q o`yib (3 .1 ) bu yerda 0<  <1, formula ga ega bo`lamiz. 1 -rasmda funksiya va P 3 (x) ko`phad funksiyaning grafiklari keltirilgan. Agar x =1 bo`lsa, (3.2) formulaga ega bo`lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin. 16 1 -rasm Haqiqatan ham, faraz qilaylik, - ratsional son bo`lsin. Bunda e>1 bo`lganligi uchun p>q bo`ladi. ( 4.2 ) da desak, Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko`paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz: ( 3.3 ) Bu yerda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda  <1, p>q bo`lganligi uchun ( 3.4 ) bo`ladi. Shuningdek, n>p>q bo`lganligi uchun n! - butun son, chunki n! da q ga teng bo`lgan ko`paytuvchi uchraydi. Ravshanki, 17 ko`rinishdagi yi g` indi ham butun son bo`ladi. Demak, n>p uchun (3 .3 ) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o`ng tomoni esa ( 3.4 ) ga ko`ra birdan kichik musbat son bo`ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto` g` ri ekanligini ko`rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo`ladi. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n -tartibli hosila uchun quyidagi formula o`rinli edi (I.8-§): . x =0 da f (0)=0 va Shuning uchun (2.10) formulaga ko`ra (3.5) ko`rinishdagi yoyilmaga ega bo`lamiz. 2 -rasm 2-rasmda f(x)=sinx, P 3 (x), P 5 (x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan. Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi . Ma`lumki, f(x)=cosx funksiyaning n -tartibli hosilasi uchun formulaga egamiz. 18 x =0 da f (0)=1 va Demak, c osx funksiya uchun quyidagi formula o`rinli: ( 2.6 ) 3 -rasm 3 -rasmda f(x)=cosx, P 2 (x), P 4 (x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan. f(x)=(1+x)  (  R ) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya (-1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x) funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz: , , . (3.7) Ravshanki, f(0)=1, f (n) (0)=  (  -1)...(  -n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)  funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi: (3.8) 0<  <1. f(x)=ln(1+x) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiyaning 19 (-1;  ) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, funksiyasiga (3.7) formulani qo`llab, unda  =- 1 deb n ni n- 1 bilan almashtirsak, formulani hosil qilamiz. Ravshanki, f(0)=0, f (n) (0)=(-1) n-1 (n-1)! Shuni e`tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz: 2 х − 3 (3.9) Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko`ramiz. Misol. Ushbu f(x)=e -3x funksiya uchun Makloren formulasini yozing. Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f`(0),...,f (n) (0) larni topib, (3.10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=e x funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (3.1) formuladagi x ni -3 x ga almashtiramiz, natijada , 0<  <1, formulaga ega bo`lamiz. Misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x 0 = 1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing. Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (4.9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va lnx= , 0<  <1 formulaga ega bo`lamiz. Bu formula x -1>-1 bo`lganda, ya`ni x >0 larda o`rinli. Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash . 20 Makloren formulasi Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik. Faraz qilaylik, shunday o`zgarmas M son mavjud bo`lsinki, argument x ning x 0 =0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f (n) (x)| M tengsizlik o`rinli bo`lsin. U holda |R n (x)|=| |  M  tengsizlik o`rinli bo`ladi. Argument x ning tayin qiymatida =0 tenglik o`rinli, demak n ning yetarlicha katta qiymatlarida R n (x) yetarlicha kichik bo`lar ekan. Shunday qilib, x 0 = 0 nuqta atrofida f(x) funksiyani f(0)+ f`(0)x+ √3 f``(0)x 2 + ... + f (n) (0)x n ko`phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning x nuqtadagi qiymati uchun f(x)  f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x 2 + ... + f (n) (0)x n taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy hisoblashdagi xatolik | R n (x)| ga teng bo`ladi. Misol. e 0,1 ni 0,001 aniqlikda hisoblang. Yechish. e x funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (3.1) formulada x= 0,01 deb olsak, u holda , masala shartiga ko`ra xatolik 0,001 dan katta bo`lmasligi kerak, demak R n (x)= √ 3 < 0,001 tengsizlik o`rinli bo`ladigan birinchi n ni topish yetarli. e 0,1  < 2 ekanligini e`tiborga olsak, so`ngi tengsizlikni quyidagicha yozib olish mumkin: 21 . Endi n =1, 2, 3, ... qiymatlarni so`ngi tengsizlikka qo`yib tekshiramiz va bu tengsizlik n =3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda . Xususiy holda, n =1 bo`lganda f(x) f(x 0 )+f`(x 0 )(x-x 0 ) taqribiy hisoblash formulasi R 2 (x)=  (x-x 0 ) 2 , x 0 <  <x aniqlikda o`rinli bo`ladi. Misol. Differensial yordamida radiusi r =1,01 bo`lgan doira yuzini toping. Hisoblash xatoligini baholang. Yechish. Doira yuzi S=  r 2 ga teng. Bunda r 0 =1,  r=0,01 deb olamiz va S=S(r) funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtiramiz: S(r)  S(r 0 )+dS(r 0 )= S(r 0 )+ S`(r 0 )  r. Natijada S(1,01)  S(1)+dS(1)= S(1)+ S`(1)0,01=  1 2 +2  0,01=1,02  hosil bo`ladi. Bunda hisoblash xatoligi R 2 (r)=  (r-r 0 ) 2 , r 0 <  <r dan katta emas. S``(r)=2  va r ga bog`liq emas, shu sababli R 2 (r)=  0,01 2 =0,0001  . Demak, hisoblash xatoligi 0,000314 dan katta emas. Misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x =0,03 nuqtadagi qiymatini differensial yordamida hisoblang. Xatolikni baholang. Yechish. Taqribiy hisoblash formulasi f(x)  f(x 0 )+f`(x 0 )(x-x 0 ) da x 0 =0, x =0,03 qiymatlarni qo`ysak, f(0,03)  f(0)+f`(0)0,03 bo`lib, xatolik R 2 =  x 2 =  0,03 2 , 0<  < 0,03 bo`ladi. 22 Berilgan funksiya hosilalarini va nuqtadagi qiymatlarini hisoblamiz: f`(x)=(2x-1) , bundan f`(0)=-1, f``(x)=2 +(2x-1) 2 = = (4x 2 -4x+3), bundan f``( )<3 . Olingan natijalardan foydalanib, f(0,03)  1+(-1)  0,03=0,97 va R 2 <  0,03 2 =0,0017 ekanligini topamiz. Teylor formulasi funksiyalarni ekstremumga tekshirishda, qatorlar nazariyasida, integrallarni hisoblashlarda ham keng tatbiqqa ega. 2.3-§. Teylor va Makleron qatorlari tadbiqlari f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi. Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin: f(x)=a 0 +a 1 (x-x 0 )+a 2 (x-x 0 ) 2 +…+a n (x-x 0 ) n +… (4.1) (1) qatorning koeffisiyentlari va x 0 nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x 0 ) =x 0 (4.2) dan iborat bo`ladi. f(x) funktsiya x 0 nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, f'(x) ni topamiz: f`(x)=a 1 +2a 2 (x-x 0 )+3a 3 (x-x 0 ) 2 +…+na n (x-x 0 ) n-1 +… (4.3) Bundan, x = x 0 bo`lgan holda f`(x 0 )=a 1 (4.4) ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz: (4.5) x = x 0 bo`lganda 23 f''(x0)= 2⋅1⋅a2 . (4.6) Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi: {f ''' (x 0)=3⋅2⋅1⋅a 3 =3!⋅a 3 ¿{f IV (x 0)=4⋅3⋅2⋅1⋅a 4 =4!⋅a 4 ¿{..................................................¿¿¿¿ (4.7) (4.2), (4.4), (4.6) va (4.7) lardan (4.1)- qator koeffisiyentlarini topamiz: a0= f(x0) , a1= f'(x0) 1! , a2= f''(x0) 2! ,…, an= f(n)(x0) n! ,… (4.8) a 0 , a 1, a 2 ,… a n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat. Agar (4.8)- qatordagi a 0 , , a 1 ,…a n larning qiymatlari (4.1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x 0 nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi: f(x)= f(x0)+ f'(x0) 1! (x− x0)+ f''(x0) 2! (x− x0)2+ f'''(x0) 3! (x− x0)3+... ..+ f(n)(x0) n! (x− x0)n+... (4.9) f(x) funktsiyaning x 0 nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat: R n (x) – qoldiq had. Bunda, Rn(x)= 1 n! ∫ x0 x f(n+1)(t)(x−t)ndt . 1.f(x) = e x funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish . Yechilishi: e x ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy- matlarini aniqlaymiz: , f'(x)= ex , f''(x)=ex , f'''(x)=ex ,… x=0 bo`lganda: 24 f(0)= e0= 1, f'(0)=1 , f''(0)=1 , f'''(0)=1 ,… Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi: еx= 1+ x 1!+ x2 2!+ x3 3!+...+ xn n!+... 2. f(x) = sinx funktsiyani Makloren qatoriga yoyish . Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz: f'(x)=cos x, f''(x)=−sin x, f'''(x)=−cos x, fIV(x)=sin x,... x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo`yamiz: 3.f(x) = cos x funktsiyaning yoyilmasi . Yechilishi: f(x) = cos x funktsiyaning hosilalarini topamiz: … x = 0 nuqtada topilgan hosilalarning qiymatlarini aniqlaymiz: f(0)=1,f'(0)=0, f''(0)=−1, f'''(0)=0, fIV(0)=1,... Topilgan qiymatlarni Makloren qatoriga qo`yamiz: cos x= 1− x2 2!+ x4 4!− ...+(− 1)n⋅ x2n (2n)!+... 4.f(x) = (1+x) k – Nyuton binomining yoyilmasi . Yechilishi: Berilgan Nyuton binomidan ketma – ket hosilalar olamiz: f'(x)= k(1+x)k−1, f''(x)= k(k− 1)(1+x)k−2, f'''(x)=k(k−1)(k− 2)(1+x)k−3,.., f(n)(x)= k(k− 1)(k− 2)(k− 3),...,(k− n+1)(1+x)k−n ,… x = 0 nuqtada qiymatlarini topamiz: f(0)=1, f'(0)=k,f''(0)=k(k−1), f'''(0)=k(k−1)(k−2),...,f(n)(0)=k(k−1)(k−2)(k−3)... (k−n+1),... Topilganlarni Makloren qatoriga qo`yamiz: f(x)= (1+x)k= 1+ k 1!x+k(k− 1) 2! x2+...+k(k− 2)(k− 2)(k− 3)...(k− n+1) n! xn+... 25 5.f(x)= 4x5− 2x4+3x3− x2+2x+2 ko`phadni (x - 1) ning darajasi bo`yicha qatorga yoyish. Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz: f'(x)= 20 x4− 8x3+9x2− 2x+2, f''(x)= 80 x3− 24 x2+18 x− 2, f'''(x)= 240 x2− 48 x+18 , fIV (x)= 480 x− 48 , fV(x)= 480 . x=1 nuqtada ko`phad va uning hosilalari qiymatlarini topamiz: f(1)=8 , f'(1)=21 , f''(1)=72 , f'''(1)= 210 , fIV(1)= 432 , fV(1)=480 . Topilgan qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz: f(x)= 8+12 (x− 1)+72 2!(x− 1)2+210 3! (x− 1)3+432 4! (x− 1)4+480 5! (x− 1)5. 6. f(x)= ln (1+x) funktsiyani x = 0 nuqtada Teylor qatoriga yoyish . Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz: f'(x)= 1 1+x , , f'''(x)= 2 (1+x)3,..., (− 1)n−1⋅(n−1)! (1+x)n . Qiymatlarini topib, Teylor qatoriga qo`yamiz: f(0)=0 , f'(0)=1 , f''(0)=−1 , f'''(0)=2 ,… , f(n)(0)= (− 1)n−1(n− 1)! U holda, f(x)= ln (1+x)= x− x2 2 + x3 3 − x4 4 +...+(− 1)n−1⋅xn n +... 7. f(x)= 2x3− 3x2+6x+1 ko`phadni x–2 ning o`suvchi darajasi tartibida Teylor qatoriga yoying. Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz: f'(x)= 6x2− 6x+6 , , f'''(x)=12 ,...,f(n)(x)=0. Hosilalarning son qiymatini topish uchun x ning o`rniga 2 ni qo`yamiz, ya`ni x=2: f(2)= 17 , f'(2)= 18 , f''(2)=18 , f'''(2)=12 ,...,f(n)(2)= 0 . Bu qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz: 26 . 27 Xulosa Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursida differensial tenglamalarni yechish usullari o’rganiladi. Lekin tenglamalarning aksariyat qismi kvadraturalarda yechilmasligi sababli bu fanni o’rganish davomida kvadraturalarda yechilmaydigan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish mumkinligi xaqida ma’lumotlar berib o’tiladi, lekin bu ma’lumotlar qisqa va yetarlicha emasdir. Buning natijasida izlanuvchilar differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullaridan batafsil xabardor bo’la olmaydilar. Oddiy differensial tenglamalrni darajali qatorlar va Teylor qatorlari yordamida yechish masalasini maxsus funksiyalar yordamida yoritish, misollarni ko’rib chiqish differensial tenglamalarni yechish soxasidagi dolzarb masala bo’lib xisoblanadi. Bu Kurs ishini tayyorlash uchun avvalo oddiy differensial tenglamalar kursidan chiziqli oddiy differensial tenglamalar, maxsus funksiyalar mavzularini, shuningdek matematik analiz kursidan darajali qatorlar va Teylor qatorlari keng ma’noda puxta o’rganib chiqishga harakat qildim. O’rgangan materiallar asosida chiziqli differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullarini o’rganishni asosiy maqsad qilib qo’ydim 28 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Toshmetov Oʻ., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b. 2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b. 3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b. 4. Turgunbayev R.M. Matematik analiz I-qism. T.: “Innovatsiya- ziyo”.2019-340 b. 5. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Qatorlar nazariyasi) .T.: “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b. 6. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensial va integral hisobi) . 2020. Fargʻona. “Poligraf Super Servis . 7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «Oʻzbekiston». 1 t: 1994 y.-416 b. 8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «Oʻzbekiston». 2 t . 1995 y.-436 b. 9. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiba y ev M. “Matematik analizdan misol va masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y. 10. Toshmetov Oʻ, Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar toʻplami. 1-q. TDPU . 2006 y.-140 b. 11. Toshmetov Oʻ, Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar t oʻ plami , 2- q. TDPU. 2010 y.-48 b. 12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik koʻrsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013 y. – 56 b. 13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik koʻrsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013 y. 29 14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр. 15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО «Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст. 16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр. 17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр. 18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot-konsalt”, 2014.-344b. (qozoq tilida) 19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot-konsalt”, 2015.-397 b. (qozoq tilida) Axborot manbaalari 1. www.tdpu.uz 2. www.pedagog.uz 3. www.edu.uz 5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK)ʻ 30 31

Darajali qator. Teylor qatori

Kirish………………………………………………………………………………3

I-bob. Darajali qatorlar av uning xossalari

1.1-§. Darajali qatorlar……………………………………………………………..5

1.2-§. Darajali qatorlarning xossalari………………………………………………9      

II-bob. Teylor qatori

2.1-§. Teylor formulasi............................................................................................12

2.2-§. Ba`zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi……………….16

2.3-§. Teylor va Makleron qatorlari tadbiqlari……………………………………23

 

Xulosa…………………………………………………………………………….27

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati…………………………………………….28

Купить