Differensial tenglamalar - Алгебра - Презентации

Информация о документе

Цена	3000UZS
Размер	6.8MB
Покупки	0
Дата загрузки	23 Сентябрь 2019
Расширение	ppt
Раздел	Презентации
Предмет	Алгебра

Differensial tenglamalar

Купить

MAVZU: DIFFERENSIAL TENGLAMALARDIFFERENSIAL TENGLAMALAR REJA: 1. Differenisal tenglama haqida tushuncha 2. Eng sodda differenisal tenglamalarni yechish 3. Ikkinchi tartibli differenisal tenglamalar www.arxiv.uz

B iz shu paytgacha noma’lum l arning qiymati sonlar bo ’ lgan tenglamalar bilan ish ko'rgan edik. Matematikaning ko‘pgina tatbiqiy masalalari o‘rganilayotgan jarayonlami ifodalovchi noma’lum ftmksiyalar va ularning hosila- larini bog'lovchi munosabatlarga keladi. Bunday munosabatlami ifodalovchi tenglamalar differensial tenglamalar deyiladi. Agar bunday tenglamadagi noma’lum funksiya bir argumentli bo‘lsa, tenglamani oddiy differensial tenglama deb ataymiz. Biz asosan oddiy differensial tenglamalar bilan shug‘ullanamiz. Misol. Agar v(t) tezlik ma’lum bo'lsa, s(t) yo‘lni topish masalasi s '(t) = v(t) differensial tenglamani yechishga keladi. Jumladan, v(t) = 8t - 5 bo‘lsa, u holda s(t) ni topish masalasi s '(t) =8t - 5 differensial tenglamani yechishga keltiriladi. Umuma

• differensial tenglamani qanoatlantiruvchi y(t) funksiyani topishga keladi, bu yerda k — berilgan biror o‘zgarmas son. (1) tenglamaning yechimlari esa ko'rinishdagi har qanday funksiyadan iborat ekanligini ko'rish qiyin emas. c o‘zgarmas ixtiyoriy son, shunga ko‘ra (1) differensial tenglamaning yechimi cheksiz ko‘p.kx ce t y  ) ( www.arxiv.uz

Misollar: 1. Boshlang‘ich temperaturasi T ga teng bo‘lgan jism temperaturasi 0 ga teng bolgan muhitga joylashtirilgan bo‘lsin. Temperaturaning ∆t vaqt ichida ∆T qadar pasayishi ∆T= -kT ∙ ∆t bilan • ifodalanadi, bunda k = const, ∆ T = T(t + ∆t) - T(t). Munosabatdan T'(t) = -kT(t ) tenglama hosil bo’ladi, unda T’(t) hosila temperatura pasayishining oniy tezligini ifodalaydi. Birinchi tartibli differensial tenglama hosil bo’ldi .T tT      0t lim www.arxiv.uz

2. Nyutonning ikkin chi qonuni bo‘yicha moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi tezlanishi ga teng, bunda F - nuqtaga ta’sir etayotgan kuch, m - nuqta massasi. a tezlanish x nuqta koordinatasining vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilasiga teng ekanligidan ushbu ikkinchi tartibh differensial tenglamaga ega bo’lamiz: F(t)=mx"(t). (2) 3. Muhitning unda harakat qilayotgan nuqtaga F qarshilik kuchi nuqtaning v tezligiga proporsional va shu tezlikka qarshi yo‘nalgan, ya’ni F(t) = -kv(t ) yoki (2) tenglikka asosan mx"(t) = -kv(f), yoki v(t) = x '( t) bo‘lganligidan mx"(t) = -kx'(t) va shu kabi x"(t) = (x'(t))'= v '( t ) bo‘lganligidan mv'(t) = -kv(t).m F a  www.arxiv.uz

4. m massali nuqta F tortilish kuchining ta’siri ostida yerga tushmoqda, ya’ni • bunda y — gravitatsiya doimiysi, M — Yer massasi, x — nuqtadan Yer markazigacha masofa (tenglikdagi “minus” ishorasi F kuch koordinatalar o‘qida manfiy yo‘nalganligi sababli qo‘yilgan). • Tenglikni (2) munosabatdan foydalanib,   tx mM tF 2)(    www.arxiv.uz

ko‘rinishda, yoki x=R va F=-mg ekanligidan yoki bo‘lgani uchun ko‘rinishda yozish mumkin Nuqta uning muvozanat holatidan chetlanishiga proporsional va shu holat tomon yo’nalgan kuch ta’siri ostida harakat qilmoqda. Muvozanat holatini koordinatalar boshi sifatida qabul qilamiz.  t x m M t mx 2 ) (''     mg R m M   2  g R M 2   ) ( ) ('' 2 2 t x g R t x    www.arxiv.uz

• U holda F(t)= -kx(t) bo’ladi va (2) tenglik mx " (t)=-kx(t) ko’rinishga keladi. • 6.Radioaktiv parchalanish masalasi. Radioaktiv modda massasi o’zgarishining oniy tezligi berilgan vaqt momentida shu massaga proporsional, ya’ni v(t) = -km(t) (minus ishorasini qo’yilishi massaning kamayib borishi sababidan). Lekin v(t ) = m'(t) bo‘lganligi uchun tenglama quyidagicha yoziladi: m ' (t) = -km(t). Bu yerda k — moddaning radioaktivligiga bog‘liq o‘zgarmas son. www.arxiv.uz

• Bu tenglamaning yechimlari funksiyalardan iborat bo‘ladi. • Agar vaqtning boshlang‘ich t = 0 momentida radioaktiv moddaning massasi bo‘lsa, u holda bo‘ladi. • Bundan: • (3) • ekanligi kelib chiqadi. • Radioaktiv moddaning massasi ikki marta kamayadigan vaqt oralig‘i T radioaktiv moddaning yarim yemirilish davri deyiladi. Agar bizga T ma’lum bo‘lsa, k ni topish mumkin. Haqiqatan, • t= T da (3)dan ni olamiz. Bundan k ning topilgan • qiymatini (3) ga qo‘ysak, u quyidagi ko'rinishni oladi: • _ • Masalan, radiy uchun T ≈ 1550 yil. Shunga ko‘ra • Million yildan keyin radiyning boshlang‘ich massasidan • qoladi. • Ko‘pgina amaliy masalalar davriy jarayonlarni o‘rganishga keladi. Masalan, niatematik mayatnik yoki torning harakati, o‘zgaruvchan tok, magnit maydon bilan bog'liq bo‘lgan jara

Garmonik tebranishlar • (5) differensial tenglamani yechishga keltiriladi, bu yerda — berilgan musbat son. Bu tenglamaning yechimlari (6) ko‘rinishdagi funksiyalardan iborat, A va o‘zgarmas sonlar masalaning shartlari bo‘yicha aniqlanadi. Masalan, agar y(t) erkin tebranayotgan tor nuqtasining t momentdagi muvozanat holatidan chetlanishi bo‘Isa, u holda y ( t) = Acos ( t + ) bo‘ladi, bu yerda A — tebranish amplitudasi, — chastota, — boshlang‘ich faza. Garmonik tebranishlarning grafiklari sinusoida ko‘rinishida bo‘ladi. Yuqorida qaralgan misollar mazmunida nuqta koordinatasidan iborat x(t) kabi noma’lum (izlanayotgan) funksiyalar, ularning x'(t), x"(t) kabi hosilalari va t erkli o‘zgaruvchilar qatnashadi. Demak, ulardan tuzilgan tenglamalar differensial tenglamalardir. Tenglama tarki

• Differensial tenglamaning yechimi deb, shu tenglamaga qo‘yilganda uni ayniyatga aylantiruvchi ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Yechimning grafigi tenglamaning integral egri chizig‘i deyiladi. VILl- rasm. • Biz 1-bandda differensial teng lamani cheksiz ko‘p funksiyalar qanoatlantirishi haqida fikr yuritgan edik. Bu yechimlar majmuasi umumiy yechim deyiladi. Umumiy yechimdan birortasini ajratib ko£rsatish uchun funksiyaning argumentni birorta qiy- matiga mos keladigan qiymatini ko‘rsatish lozim, ya’ni x= x 0 da. y - y 0 bo‘ladigan shart berilishi kerak. Bu shart boshlang'ich shart deyiladi va y (x 0 ) =y 0 ko‘rinishida yoziladi. Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlan- tiruvchi yechimi uning xususiy yechimi deb ataladi. • 1-misol . y' = 1 differensial tenglamaning um

• Umuman, y' = F(x) (1) ko’rinishdagi tenglamalar eng sodda differensial tenglamalardir. (1) tenglamani yechish uchun uni • ko'rinishga, so'ngra dy = f(x)dx ko’rinishga keltiramiz. Endi tenglikning ikkala qismini integrallasak yoki ga ega bolamiz. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning boshlang'ich funksiyalaridan biri bo‘lsa, izlanayotgan umumiy yechim quyidagi ko’rinishda bo’ladi: • (2) • Differensial tenglamani yechish uni integrallash deyiladi. Odatda differensial 2- rasm. tenglamaga o£zgarmas C ni aniqlaydigan boshlang‘ich shartlar qo‘yiladi. • 2-misol. y' = 2x differensial tenglamaning y ( 1 ) = -2 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi ni topamiz. • Yechish. Dastlab umumiy yechimini topamiz: • dy = 2 xdx , • 3-rasm. • Bu yechim parabolalar oilasini ifodalaydi (2

3-rasm www.arxiv.uz

• Yechish. y = Cx va y' = C ifodalarni berilgan tenglamaga qo‘ysak, tenglama ayniyatga aylanadi: C = C. Demak, y = Cx umumiy yechim. Xususiy yechimni topish uchun y = Cx ga oldin x = 1, y = 1 ni qo‘yamiz: • C = 1. Bunga mos xususiy yechim y = x bo‘ladi ( 3-rasm). • Endi y = Cx ga x = 0, y = 0 ni qo‘yamiz: 0 = C ∙ 0. Bu tenglik C ning bitta emas, balki har qanday qiymatida bajariladi, ya’ni (0; 0) nuqtadan cheksiz ko‘p y = Cx to‘g‘ri chiziqlar o‘tadi (.3-rasm). (0; 0) nuqta differensial tenglamaning maxsus nuqtasidan iborat. • 4-misol. tenglamani yechamiz. : • Yechish. Tenglama ifodasi ustida zarar almashtirishlami bajarib, yechimni topamiz: • • yoki • C - ixtiyoriy son. Tenglamaning integral chiziqlari umumiy markazi O (0; 0) koordinatalar boshida joylashgan konsentrik aylanalardan ibo

• Eng sodda ikkinchi tartibli y" = f(x) differensial tenglama z = y' va z' = (y') ' = y" almashtirish orqali z' = f (x) birinchi tartibli tenglama ko‘rinishiga keltirib yechiladi: • bunda F funksiya f ning boshlang‘ich funksiyalaridan biri, C — ixtiyoriy son. y' = z bo‘lgani uchun: • bunda Ф funksiya F ning boshlang‘ich funksiyalaridan biri, C 2 — ikkinchi ixtiyoriy son. • 5-misol. tenglamani yechamiz. Y e c h i s h. • Berilgan tenglama ikki marta integrallanadi: Birinchi tartibli tenglamaning umumiy yechimida bitta, ikkinchi tartibli tenglamada esa ikkita ixtiyoriy o‘zgarmas qatnashayotganini ko‘rdik. Umuman, n -tartibli differensial tenglamaning yechimi n ta ixtiyoriy songa bog‘liq bo‘ladi.2" x y  www.arxiv.uz

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar y”=f(x) ko’rinishdagi tenglamalar eng soda, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi. Bunday tennglamalarni belgilash kiritib yechiladi. U holda, yoki dp=f(x)dx bo’ladi Ikkala tomondan integral olsak: bo’ladi. www.arxiv.uz

bo’ladi. Bundan yana bir marta integral olsak: Bu berilgan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Misol. y”=sinx tenglamani yeching Yechish. belgilash kiritamiz, natijada www.arxiv.uz

bundan Integral olsak : Shunday qilib, umumiy yechim quyidagicha bo’ladi: www.arxiv.uz

Tekshirish. y’=+(-sinx+C 1x +C 2 )’ yoki y’=-cosx+C; y’’=sin x. 2. Bir jinsli chiziqli tenglamalar. Ushbu a 0 y’’+a 1 y’+a 2 y=f(x) (21) (bunda a 0 , a 1 , a 2 , f(x) lar x ning funksiyalari yoki o’zgarmas sonlar) ko’rinishdagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Agar f(x) =0 bo’lsa, (21) tenglama, ya’ni y’’+a 1 y’+a 2 y=0 (22) Tenglama bir jinsli chiziqli tenglama deyiladi. www.arxiv.uz

(21) va (22) tenglamalarning chap tomoni y, y’, y’’ larga nisbatan birinchi darajali bir jinsli funksiyadir. 1-teorema Agar y 1 va y 2 – ikkinchi tartibli bir jinsli y’’+a 1 y’+a 2 y=0 Differensial tenglamaning ikkita xususiy yechimi bo’lsa, u holda y 1 +y 2 ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi. www.arxiv.uz

Isbot. y 1 va y 2 lar tenglamaning yechimi bo’lgani uchun y’ 1 +a 1 y’ 1 +a 2 y1=0 (23) y’ 2 +a 1 y’ 2 +a 2 y 2 =0 Bo’ladi. (22) tenglamaga y 1 +y 2 ni qo’yamiz va (23) ni e’tiborga olsak: bo’ladi va y 1 +y 2 ham tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. www.arxiv.uz

2 – teorema. Agar y 1 (22) tenglamaning yechimi bo’lib, C ixtiyoriy o’zgarmas miqdor bo’lsa, u holda Cy 1 ham (22) tenglamaning yechimi bo’ladi. Isbot. (22) tenglamaga Cy 1 ni qo’yamiz u holda, bo’ladi. Teorema isbotlandi. www.arxiv.uz

3 – teorema. Agar y 1 va y 2 (22) tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimi bo’lsa, u holda y=C 1 y 1 +C 2 y 2 Bu yerda C 1 va C 2 ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar) ham (22) tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimi bo’ladi www.arxiv.uz

Купить