Egri chiziq, yuza va hajm bo‘yicha integrallarning moddiy hosilalari. massaning saqlanish qonuni. uzviylik tenglamasi - Алгебра - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	338.8KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Алгебра

Egri chiziq, yuza va hajm bo‘yicha integrallarning moddiy hosilalari. massaning saqlanish qonuni. uzviylik tenglamasi

Купить

MAVZU : EGRI CHIZIQ, YUZA VA HAJM BO’YICHA
INTEGRALLARNING MODDIY HOSILALARI. MASSANING
SAQLANISH QONUNI. UZVIYLIK TENGLAMASI . TUTASH
MUHITNING EYLER SHAKLIDAGI HARAKAT TENGLAMALARI
Reja:
1. Solenaidal maydonlar.
2. Gauss-Ostrogadskiy teoremasi.
3. O’zgaruvchan hajm bo’yicha integralni vaqt bo’yicha differensiallash.
4. Massaning saqlanish qonuni.
5. Eyler o'zgaruvchilarida uzviylik tenglamalari.
6. Individual hajimda o'z qiyimatlarini saqlab qoluvchi miqdorlar uchun
shartlar.
7. Ko'p komponentali qorishmalar uchun uzviylik tenglamalari.
8. Diffuziya bilan bog’liq holatdagi uzviylik tenglamalari.
9. Moddiy nuqta va moddiy nuqtalar sistemasi uchun harakat miqdori
tenglamalari.
10. Chekli hajmdagi tutash muhit uchun harakat miqdori tenglamalari.
11. Ichki kuchlanishlarning asosiy xossalari
Tayanch iboralar: solenoidal maydon, o’zgaruvchan hajm, vektorli maydon,
divergensiya, rotasiya, uyurma vektori.
1. Solenoidal maydonlar
Agar ⃗B vektorli maydon uchun
div { ⃗B= ∇ αBα= 0¿
tenglama o’rinli bo’lsa,
⃗B vektorli maydon solenoidal maydon deyiladi. Vektor
maydonining rotasiya va divergensiyasi ta’rifidan, agar
⃗B=rot { ⃗A¿ bo’lsa, div ⃗B=0
bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy
A vektor maydonining rotasiya maydoni
solenoidal dir. Xususiy holda uyurma vektori
⃗ω= 1
2
rot { ⃗υ¿
(8.1)
bo’lganligidan
div ⃗ω= 0 ga ega bo’lamiz. Demak, uyurma vektori maydoni
(uyurmalar maydoni ) solenoidal maydon dir.
Ma’lumki,
e1+ e2+ e3= ∇ αυα
yani

div ⃗υ=lim ¿Δt→0¿
ΔV0→0¿
¿
V1−V0
V0Δt ,¿ (8.2)
shuning uchun ham, agar muhit siqilmaydigan (hajmi o’zgarmas) bo’lsa,

div ⃗υ=0

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik siqilmaydigan muhitning tezlik vektorlari
maydoni solenoidal ekanligini ko’rsatadi.
Yuqorida istalgan vektorning rotasiya maydoni solinoidal ekanligini ko’rdik.
Teskarisini, ya’ni istalgan solenoidal maydon vektorini⃗B=rot { ⃗A¿
ko’rinishda tasvirlash mumkin ekanligini isbotlash qiyin emas.
2. Gauss-Ostrogadskiy teoremasi
Endi Gauss-Ostrogradskiy teoremasi bilan tanishamiz. Vaqtning t paytida
tutash muhitning
S0 sirt bilan chegaralangan V0 hajmini qaraymiz. Qaralayotgan
S0
-sirtning har bir nuqtasida hajmning tashqi
tomoniga yo’nalgan normalni tanlaymiz.
Deformatsiya natijasida vaqtning
t+Δt paytida
ajratilgan
V0 hajm V1 hajmga, S0 esa S¿ sirtga
o’tadilar. Bu yerda hajmning o’zgarishi uning
o’zgarish tezligi
⃗υ
ga bog’liq bo’ladi, ya’ni
V 1− V =∫
S
υn Δt dσ
(8.3)
Agar harakat davomida hajm kengaymasdan toraysa, bu holat
⃗n normalning
yo’nalishi
V0 ga nisbatan tashqi tomonda yo’nalganligidan, avtomatik ravishda
hisobga olinadi. Oxirgi (8.3) formuladan hajmning o’zgarish tezligini topamiz

lim
Δt→0
V1−V
Δt =∫
S
υndσ
va bu munosabatni
S¿ sirt bilan chegaralangan cheksiz kichik V¿ hajmga nisbatan
qo’llaymiz:
lim
Δt→0
V1¿−V¿
Δt =∫
S¿υndσ
(8.4)
Tutash muhit hajmining o’zgarish tezligi uchun (8.2) ifodani, tezlik
divergensiyasi uchun (8.1) formulalar asosida (8.4) formulalarning o’ng tomonini
quyidagicha o’zgartiramiz
∫
S¿
υndσ =∫
S¿
[ucos (n,x)+υcos (n,y)+wcos (n,z)]dσ =
(8.5)
=V¿div ⃗υ+εV ¿=(∂u
∂x+∂υ
∂y+∂w
∂z)V¿+εV ¿,
bu yerda
ε -cheksiz kichik miqdor. Bu tenglik quyidagi munosabatdan kelib
chiqadi:
V1¿−V¿
V¿Δt =div ⃗υ+ε yoki V1¿−V¿
Δt =V¿div ⃗υ+V¿ε
,
bunda
t→ 0 bo’lganda, ε→ 0 bo’ladi. 8 .1- chizma
V¿

Yuqoridagi chekli hajmni har doim cheksiz kichik V0
¿ hajmlarga bo’lish
mumkin va ularning har biri uchun (8.5) tenglikni yozish mumkin. U holda (8.5)
tenglikni hamma
V0
¿ lar bo’yicha yig’ib V0
¿
→ 0 bilan bir vaqtda cheksizlikka
intiluvchi bo’linishlar soni bo’yicha limitga o’tib quyidagiga ega bo’lamiz

∫
S
[ucos (n.x)+υcos (n,y)+w cos (n,z)]dσ = ∫
V
(∂u
∂ x+ ∂υ
∂ y+∂w
∂ z )dτ , (8.6)
chunki tenglikning chap tomonidagi qo’shni
S¿ sirtlar bo’yicha olingan integrallar,
bu sirtlar normallarining yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lganligidan qisqarib
ketadilar va natijada faqat tashqi
S0 sirt bo’yicha olingan integralgina qoladi. Bu
tenglik Gauss-Ostrogradskiy teoremasi ni ifodalaydi. Uni ixtiyoriy koordi-
natalar sistemasida
∫
S
⃗υ ⃗n dσ =∫
V
div ⃗υ dτ
(8.7)
ko’rinishda yozish mumkin.
Agar
⃗υ - tezlik o’rniga ixtiyoriy ⃗A -vektorini olsak (8.7) formula quyidagicha
bo’ladi
∫
S
⃗A⃗ndσ =∫
V
div { ⃗A dτ ¿
(8.8)
Biror
η1,η2,η3 koordinatalar sistemasida
⃗A= Ak⃗эk, ⃗n= ni⃗эi
bo’lsin, u holda faqat
i=k bo’lgandagina ⃗эk⋅⃗эi= 1 bo’lganligi uchun
⃗A ⃗n= Ak⋅ni⋅⃗эk⋅⃗эi= Aknk,
ikkinchi tomondan
div { ⃗A=∇ kAk= ∂Ak
∂ηk+AiГki
k,¿
bu yerda
Гkik Kristoffel simvolining η1,η2,η3 fazodagi g
ij fundamental metrik tenzor
komponentalari orqali ma’lum formulalar bo’yicha aniqlanadi. Demak, ixtiyoriy
egri chiziqli koordinatalar sistemasida Gauss-Ostrogradskiy teoremasi ni
quyidagicha yozish mumkin
∫
S
Aknkdσ =∫
V0
∇ kAkdτ .
3. O’zgaruvchan hajm bo’yicha integralni vaqt bo’yicha differensiallash.
Endi kelgusida zarur bo’ladigan o’zgaruvchan hajm bo’yicha olingan
integralni vaqt bo’yicha differinsiallash qoidasini chiqaramiz. O’zgaruvchan hajm
bo’yicha olingan ushbu
∫
V0
f(x,y,z,t)dτ
integralning vaqt bo’yicha olingan hosilalarini hisoblaymiz. Bunda
V0 hajm t
vaqtga bog’liq ravishda o’zgaradi. Hosilaning ta’rifiga ko’ra

d
dt ∫V0
f(x,y,z,t)dτ = limΔt→0
∫V1
f(x,y,z,t+Δt )dτ −∫
V0
f(x,y,z,t)dτ
Δt =
= limΔt→0
∫V0
[f(x,y,z,t+Δt )− f(x,y,z,t)dτ + ∫
V1−V0
f(x,y,z,t+Δt )dτ
ΔtBu yerda
dτ = υn⋅dσ ⋅Δt (chizmaga qarang) bo’lganligi uchun
∂
∂t∫
V0
f(x,y,z,t)dτ =∫
V0
∂f(x,y,z,t)
∂t dτ +limΔt→0 ∫
V1−V0
f(x,y,z,t+Δt )υn¿dσΔt
Δt =
=
∫
V0
∂f(x,y,z,t)
∂t dτ +∫
S
f(x,y,z,t)υndσ . (8.9)
Oxirgi integralga Gauss-Ostrogradskiy teoremasini qo’llasak
∫
S
(fυn)dσ =∫
V0
∇ i(fυi)dτ
U holda
d
dt ∫
V0
f(x,y,z,t)dτ =∫
V0
[∂ f
∂t+∇ i(fυi)]dτ
(8.10)
tenglikka ega bo’lamiz, lekin
∂f
∂t+∇ i(fυi)= ∂f
∂t+υi∇ if+ f ∇ iυi= df
dt + f∇ iυi
(8.11)
chunki
df
dt = ∂ f
∂t+υi∇ if
f funksiyaning to’liq hosilasi. Oxirgi (8.11) ifodani (8.10) ga qo’ysak izlanayotgan
∂
∂t∫
V0
f(x,y,z,t)dτ =∫
V0
[df
dt +f∇iυi]dτ
(8.12)
formulda ega bo’lamiz. Hususiy holda
f(x,y,z,t)= 1
V0
= f(t)
bo’lsin, u holda (8.10) ga ko’ra
d
dt ∫
V0
1
V0
dτ =∫
V0
[
∂(1/V0)
dt +∇ i(
1
V0
¿υi
)]dτ ,
lekin
∫
V0
dτ
V0(t)= 1
V0(t)∫
V0
dτ=1
va bundan
d
dt ∫
V0
dτ
V0(t)= d
dt (1)=0
.
Demak,

∫
V0
[
d(1
V0
)
dt + 1
V0
∇iυi]dτ =0 (8.13)
Bu ifoda butun
V0 hajm uchun, yoki uning biror qismi uchun yozilishi mumkin.
Shuning uchun (8.13) ni cheksiz kichik
ΔV 0 hajm uchun qo’llab
∂(1/ΔV 0)
dt + 1
ΔV 0
div υ=0
(8.14)
ga ega bo’lamiz. Bu yerda
⃗υ tezlik vektorining divergensiyasi ΔV 0
ni (nuqtagacha)
toraytirish mumkin bo’lgan nuqtada hisoblanadi. Bu tenglik muhitining
xususiyatlariga bog’liq emas, shuning uchun u istalgan muhitlar uchun, hususiy
holda fazo uchun ham o’rinlidir.
1. Massaning saqlanish qonuni
Quyida fizik ob'ektlar va material jismlar, maydonlar harakatini o'rganish
bilan shug'ullanamiz. Inersiya xossasiga ega bo'lgan jismlar material jisimlar
deyiladi. Inersiya xossasi massa bilan xarakterlanadi. Massani butun jism uchun m
orqali yoki ixtiyoriy bo'lagi uchun m
i orqali belgilash mumkin. Ta’rifga ko'ra
Nyuton maxanikasida butun jism massasi m jismni tashkil qiluvchi barcha
bo'laklari m
i larning yig'indisiga teng.
Ma'lumki ixtiyoriy individual hajm ya'ni muhitning bir xil
zarrachalaridan iborat bo'lgan hajm m massasining saqlanish qonuni N'yuton
mexanikasining fundamental qonunlaridan biri hisoblanadi. Tutash muhit
mexanikasining asosiy tenglamalariga ko'ra, ixtiyoriy individual hajm uchun
m= const
yoki
dm
dt =0
Bu tenglamalarni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin
dρ
dt =0
. (1.1)
O'rtacha zichlik
ρ= Δm
ΔV ni kiritamiz, bu yerga ΔV massasi Δm da teng bo'lgan
hajm, haqiqiy zichlikni quyidagi limit orqali ifodalaymiz
ρ= lim
ΔV →0
Δm
ΔV .
Tutash muhitlar mexanikasida deyarli hamma vaqt m massa o'rniga
ρ -zichlik
qaraladi. Kichik hajm uchun
Δm ≈ ρΔV
tenglik o'rinli, chekli hajm uchun
m=∫
V
ρdτ
bo'ladi, bu yerda integral harakatlanuvchi individual hajm bo'yicha olingan.
Shunday qilib, agarda
ρ - ma'lum bo'lsa, m ni topish mumkin. Hajm zarrachalari

harakat mobaynida o'zgarishi mumkinligi uchun individual zarracha zichligi
o'zgarishi mumkin.
Endi tutash muhit individual hajmi uchun massaning saqlanish qonuni ni
quyidagi d
dt ∫
V
ρdτ = 0
(1.2)
ko'rinishda yozish mumkin.
2. Eyler o’zgaruvchilarda uzviylik tenglamalari
Massaning saqlanish qonunini hisobga olgan holda harakatlanuvchi hajm
bo'yicha olingan integralni differensiallash qoidasini qo'llab
0= dm
dt =∫
V(
дρ
дt +div ρ⃗υ)dτ =∫
V(
dρ
dt +ρdiv ⃗υ)dτ
ni hosil qilamiz, yoki bu tenglik ixtiyoriy individual hajm uchun o'rinli bo'lganligi
uchun Eyler o'zgaruvchilaridagi uzviylik tenglamasi deb ataluvchi tutash muhit
mexanikasining birinchi asosiy tenglamasini hosil qilamiz:
dρ
dt +ρdiv ⃗v= 0.
(1.3)
3. Individual hajmda o’z qiymatlarini saqlab qoluvchi
miqdorlar uchun shartlar
Xuddi shu tenglamani ixtiyoriy individual hajm uchun massa o'zgarmas
bo'lganligidan
d(
1
ΔV )
dt + 1
ΔV div ⃗υ=0
(*)
formula yordamida hosil qilish mumkin. m massadan tashqari harakat davomida
tutash muhitning ixtiyoriy individual hajmida o'zgarmaydigan boshqa fizik
xarateristikalar ham mavjud .
Masalan, faraz qilaylik N – ixtiyoriy individual hajmdagi molekulalar yoki
atomlar soni bo’lsin. Individual hajmda N – o’zgarmas. Hajm birligidagi molekula
yoki atom sonlari
n=lim
v→0
N
V ni kiritib, ixtiyoriy individual hajmda N ning
o'zgarmasligini hisobga olib (*) formula yordamida n uchun

dn
dt +ndiv ⃗υ=0 (1.4)
tenglamani hosil qilamiz. Agarda tutash muhitda ximik reaksiyalar bo'lsa, (1.3)
tenglamalar bajariladi, (1.4) tenglamalar esa bajarilmaydi. Bundan tashqari
ixtiyoriy individual hajmda o'z qiymatini o'zgartirmaydigan skalyar, vektor yoki

tenzor miqdorlar mavjud. Bunday o'zgarmas miqdorlarni φ orqali belgilaymiz va
bu miqdor zichligini quyidagi ko’rinishda kiritamiz.
f= lim
ΔV →0
Δφ
ΔV
φ
va f lar uchun quyudagi shartlar o'rinli:
dφ
dt = 0, φ=∫
V
fd τ,df
dt + f div ⃗υ= 0
.
4. Ko’p komponentali qorishmalar uchun uzviylik tenglamalari
Faraz qilaylik, biz N ta komponentadan iborat qorishmaga ega bo'laylik,
masalan vodorod, kislorod va suv bug'idan iborat aralashma (N=3) . Mis va
alyuminiy eritmasi, tuzning suvdagi eritmasi va hokazo. Bunday ko'p
komponentali qorishmani, qorishma egallagan bir xil hajmga ega bo'lgan N ta
kontinuumlar yig’indisi sifatida tasvirlash mumkin. Bu kontiniumlarning har
biri uchun o'zining zichligi va o'zining tezligini kiritish mumkin. Ularni
ρ1,ρ2,...,ρn
va V1,V2,...,Vn orqali belgilaymiz.
Shunday qilib, qorishma mexanikasi bir xil hajmni to'ldiruvchi kontiniumlarni
yig'ish mexanikasidan iborat. Avval qorishmada ximik reaksiya yoki ionizatsiya
sodir bo'lmagan holni qaraymiz. Bu holda qorishqma N ta komponentasining har
biri uchun massaning saqlanish qonuni bajarilishi kerak va biz quyudagi N ta
tenglamaga ega bo'lamiz.
dm i
dt =0
yoki
дρ i
дt +div ρiυi= 0.
(1.5)
Agarda qorishmada ximiyaviy reaksiyalar yoki ionizatsiya sodir bo’lsa, u
holda
mi komponentalar massalari o’zgarishi mumkin. Qorishma i - nchi
komponentasining massasi m
i ning birlik vaqtda birlik hajmga o'zgarishi
χi
ni
kiritamiz.
χi - miqdorlar ximiyada aniqlanadi. U holda qorishma komponentalari
uchun uzviylik tenglamalarini
dm i
dt =∫
V
χidτ
yoki
∂ρi
∂t+div ρiυi= χi
(1.6)
ko’rinishda yozish mumkin.

Ximiyaviy reaksiyaning asosiy qonuni shundan iboratki, qorishma umumiy
massasi o'zgarmas va shuning uchun ∑
i=1
n
χi=0
. (1.7)
Ta'rifga ko'ra, qaralayotgan hajmdagi qorishma massasi shu hajmdagi
komponentalar massalari yig'indasiga teng, yoki

m=∑
i=1
N
mi ,
qorishma zichligi
ρ esa
ρ= lim
V→0
Δm
ΔV
ko'rinishga ega. Qorishma komponentalari zichligi
ρi= limΔV →0
Δm i
ΔV
va shuning uchun
ρ= ∑
i=1
N
ρi
.
(1.5) ifodalarni yig'ib va (1.7) ni hisobga olib
∂ρ
∂t+div ∑i=1
N
ρiυi= 0
tenglama hosil qilinadi. Bu tenglama uzviylik tenglamasining (1.3) oddiy
ko’rinishidan iborat bo’ladi agarda qorishma tezligi
⃗v
ρυ = ∑i=1
n
ρiυi,mυ = ∑i=1
n
miυi;
ya'ni
υ=
∑i=1
N
miυi;
m =
∑i=1
N
ρiυi;
ρ
(1.8)
ko'rinishda aniqlangan bo’lsa.
5 . Diffuziya bilan bog’liq holatdagi uzviylik tenglamalari
Shunday holat bo'lishi mumkinki, bunda qorishmaning barcha
komponentalari bir xil tezliklar bilan harakat qilishi va u qorishmaning
harakat tezligi bilan umumiy holda bir xil bo'lishi mumkin, ya'ni
⃗υ1= ⃗υ2= ...= ⃗υn= ⃗υ
Bunday hodisalar diffuziyasiz hodisalar deyiladi. Agarda
υi
komponentalar har xil bo'lsa, u holda diffuziya sodir bo'ladi va bu holatdagi

qorishmaning bir komponentasi ikkinchisiga nisbatan harakat qiladi. Umumiy
holda ximiyaviy munosabat va diffuziya mavjud bo'lganda (1.6) tenglamani∂ρi
∂t+div ρi⃗υ= χi−dI i
(1.9)
ko’rinishda yozish mumkin , bu erda
Ii= ρi(⃗υi− ⃗υ)
va
⃗υi−⃗υ− ayirma, i -nchi komponentaning butun muhitga nisbatan tezligidan
iborat.
1. Material nuqta va nuqtalar sistemasi uchun harakat miqdori tenglamalari
Moddiy nuqta harakatining asosiy dinamik tenglamasi Nyutonning 2-
qonunidan iborat:
⃗F= m⋅⃗a
.
Quyida biz Nyutonning 2-qonunidan kelib chiqadigan moddiy tutash muhit
harakatini ifodalovchi murakkabroq munosabatlarni keltirib chiqaramiz.
Massasi m ga teng bo’lgan moddiy nuqtaning x,y,z - inersial koordinatalar
sistemasiga nisbatan harakatini qaraymiz. M - massa o'zgarmas bo'lganligi uchun
m d⃗υ
dt = dm { ⃗υ
dt =⃗F¿
(11.1)
bo'ladi.
Massaning tezlikka ko'paytmasi
m⃗υ -nuqtaning harakat miqdori
deyiladi . Moddiy nuqta harakat miqdoridan olingan vaqt bo'yicha hosila, bu
nuqtaga ta'sir etuvchi barcha kuchlar yig'indisiga teng .
Agarda biz m
i massali n ta moddiy nuqtadan iborat sistemaga ega bo'lsak,
bu sistema unga ta'sir qiluvchi yig'indi kuch
⃗Fi ta'sirida ⃗υi tezlik bilan
harakatlanadi, bu nuqtalarning har biri uchun (11.1) harakat miqdori tenglamasini
yozish mumkin:
d(mi⃗υi)
dt = ⃗Fi,
bu yerda F
i ga i - chi nuqtaga ta'sir qiluvchi barcha tashqi va ichki kuchlar kiradi.
n ta nuqtalar uchun harakat miqdorlari tenglamalarini qo'shib
∑i=1
n dm i⃗υi
dt = d
dt (∑i=1
n
mi⃗υi)=∑i=1
n
⃗Fi(e)

ga ega bo'lamiz, bu yerda tenglikning o'ng tomonida qaralayotgan moddiy nuqtalar
sistemasiga nisbatan faqat tashqi kuchlar yiqindisi turibdi, chunki ichki o'zaro ta'sir
kuchlari N'yutonning 3-qonuniga ko'ra juft-jufti bilan mavjud va yig'ganda
qisqarib ketadi.

Ushbu ⃗Q=∑i=1
n
mi⃗υi=m⃗υ¿ - yig'indi sistema harakat miqdori deyiladi, bu
yerda
m=∑i=1
n
mi− butun sistema massasi, ⃗υ∗¿
∑i=1
n
mi⃗υi
m - n ta nuqtadan iborat sistema
massalar markazining tezligi va biz n ta moddiy nuqtadan iborat sistema uchun
harakat miqdori tenglamalari ga kelamiz:
d⃗Q
dt =∑
i=1
n
⃗F(e)
yoki md⃗υ∗¿
dt =∑i=1
n
⃗Fi(e)¿ ,
ya’ni moddiy nuqtalar sistemasi harakat miqdoridan vaqt boyicha olingan hosila
sistemaga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar yig’indisiga teng, yoki massaning
sistema massa markazi tezligiga ko'paytmasi bu sistemaga ta'sir qiluvchi barcha
tashqi kuchlar yig’indisiga teng.
Moddiy nuqtaning harakat tenglamasi universial ahamiyatga ega , uni har xil
mexanink sistemalar uchun qo'llash mumkin: galaktikalarga, yulduzlarga,
planetalarga, uchar apparatlarga, odamlarga, qushlarga va h.k. qo'llash mumkin.
2. Chekli hajimdagi tutash muhit uchun harakat miqdori tenglamalari
Endi harakat miqdori tenglamalarini
 sirt bilan chegaralangan tutash
muhitning chekli individual V hajmi uchun umumlashtiramiz va bu tenglamani
keltirib chiqaramiz. Quyidagi munosabat o’rinli bo’lganligi uchun
∫
V
d
dt (⃗υρdτ )=∫
M
d⃗υ
dt dm = d
dt ∫
M
⃗υdm = d
dt ∫
V
⃗υρdτ
izlanayotgan tenglama
dQ
dt =∫
V
⃗F ρdr +∫
∑
⃗pndσ ,

dan iborat bo’ladi. Bu yerda
⃗Q=∫
V
⃗υρdτ
ta'rifga ko'ra V hajmni egallagan tutash muhitning harakat miqdori ni
ifodalaydi,
∫
V
F ρdτ va ∫
∑
⃗Pndσ
lar esa mos ravishda V hajmdagi muhitga ta'sir qiluvchi tashqi massaviy va sirt
kuchlari yig'indilari.
Shunday qilib tutash muhitning ixtiyoriy hajmi uchun inersial
koordinatalar sistemasiga nisbatan harakat miqdori tenglamasini yozish
mumkin
d
dt ∫
V
⃗υρdτ =∫
V
⃗F ρdτ +∫
∑
⃗pndσ ,
(11.2)

ya'ni V hajmdagi tutash muhitining harakat miqdoridan vaqt boyicha olingan
hosila unga tasir qiluvchi barcha tashqi massaviy va sirt kuchlari yig’indisiga
teng.
Quyidagim⃗υ∗¿∫
V
⃗υρdτ
formula orqali V hajmdagi tutash muhitning massalar markazi tezligi
⃗υ¿ ni
kiritish mumkin va (11.2) harakat miqdori tenglamasini individual V
hajmdagi tutash muhit individual hajmining massalar markazi tenglamasi
deb ta'riflash mumkin:
m d⃗υ¿
dt =∫
V
⃗F ρdτ +∫
∑
⃗pndσ
.
Aytib o'tish lozimki , (11.2) munosabatlarni ko'pincha impulslar tenglamalari
deyishadi, chunki uni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin:
d∫
V
⃗υρdτ =∫
V
⃗F ρdτ dt+∫
∑
⃗pndtd σ
.
Keltirilgan(11.2) munosabatlarni kuchlarni aniqlovchi tenglik sifatida qarash
mumkin.
3. Ichki kuchlanishning asosiy xossalari
Endi (11.2) harakat miqdori tenglamasining tutash muhitning uzluksiz
harakatida berilgan nuqtada olingan
⃗pn kuchlanishlarning mos yuzalariga
bog'liqligiga chegaralanishlar kiritamiz.
Buning uchun V hajm olamiz va uni ixtiyoriy S kesim bilan ikkita V
1 va V
2
qismlarga bo'lamiz (11.1-rasm). V
1 va V
2 larning biriga va butun V hajmga (11.2)
harakat miqdori tenglamalarini qo'llab va bo'lingan qisimlarning o'zaro ta'siri,
massaviy taqsimlangan kuchlari va S kesim bo'ylab taqsimlangan sirt kuchlari
orqali sodir bo'lishini hisobga olib quyidagiga ega bo'lamiz:
∫
V1
dυ
dt ρdτ =∫
V1
⃗F'ρdτ +∫
∑ 1
⃗pndσ +∫
S
⃗pndσ ,
∫
V2
dυ
dt ρdτ =∫
V2
⃗F ''ρdτ +∫
∑ 2
⃗pndσ +∫
S
⃗p−ndτ ,
∫
V
dυ
dt ρdτ =∫
V
⃗F ρdτ +∫
∑
⃗pndσ ,
bu yerda
⃗F' va ⃗F'' lar orqali taqsimlangan massaviy zichliklar belgilangan.
Ichki masalaviy kuchlar uchun hamma vaqt ta’sir va aks – ta’sir tengligi
qonuni bo’lganda yuqoridagi birinchi ikkita tenglikni qo’shib, yig’indidan
uchunchi tenglikni ayiramiz. U holda

∫
V1
⃗F 'ρdτ +∫
V2
⃗F ''ρdτ =∫
V
⃗F ρdτtenglik o’rinli bo'lganda quyidagi
∫
V
(⃗pn+⃗p−n)dτ =0
Tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerdan V, V
1 , V
2 hajmlarning va S kesimning
ixtiyoriy tanlanganligidan
⃗pn=−⃗p−n
(11.3)
ekanligi kelib chiqadi. (11.2) harakat miqdori tenglamalarni ixtiyoriy cheksiz
kichik V material hajm uchun ham qo'llash mumkin. Buning uchun harakat
xarakteristikalarini uzluksiz va chekli deb faraz qilib, ixtiyoriy V individual hajm
uchun nolga teng bo'lgan quyidagi ifodani tuzamiz:
⃗Ω=∫
V
⃗F ρdτ +∫
∑
⃗pndσ −∫
V
d⃗υ
dt ρdτ
.
U holda V hajmni nuqtagacha toraytirsak integral ostidagi funksiyalarga
bog’liq bo'lmagan holda quyidagi limit o'rinli bo’ladi
limV→0
⃗Ω=0
.
va u
⃗Ω ning intergral osti ifodalariga kiruvchi
ixtiyoriy chekli funksiyalar uchun bajariladi.
Vaqtning ayni paytida tutash muhitning
ixtiyoriy M nuqtasini olamiz va undan dekart
koordinatalar sistemasiga parallel yo'nalishlar
o'tkazamiz (11.1-rasm). Bu yo'nalishlarda
ixtiyoriy cheksiz kichik
dx = MA ,dy = MC va
dz =MB
kesmalar tanlaymiz. Natijada MABC
tetraedrni hosil qilamiz. Uning
MBC ,MAB ,MAC
yon yoqlari mos ravishda koordinat o'qlariga perpendikulyardirlar, ABC yoq esa
ixtiyoriy ravishda joylashgan. Uning orientasiyasi birlik vektor normali orqali
aniqlanadi:
⃗n=cos (⃗n,x)⃗i+cos (⃗n,y)⃗j+cos (⃗n,z)⃗k=ni⃗эi.
Normallari

⃗i,⃗j,⃗k,⃗n bo’lgan yuzachalarda kuchlanishlarni mos ravishda p1,p2,p3 va
pn
orqali, ABC yon yoq yuzasini - S orqali belgilaymiz. U holda MBC, MAB, MAC
yon yoqlarning yuzalari mos ravishda

Scos (⃗n,x), Scos (⃗n,y),Scos (⃗n,z)
larga teng, tetraedrning hajmi esa
V= 1
3hs , B
C
A M
O
11.1-rasm

bu yerda h - M nuqtadan ABC yon yoqqa tushgan balandlik. Agarda tetraedr
o’ziga o’xshash qolgan holda nuqtagacha toraytirib borilsa, h birinchi - tartibli
cheksiz kichik miqdor, S esa 2-tartibli cheksiz kuchlik miqdor bo'ladi. Vaqtning
ayni paytida bu tetraedrning hajmida joylashgan tutash muhit hajmi uchun ⃗Ω ni
hisoblaymiz. Buning uchun (11.3) ichki kuchlanishlar xossasidan foydalanamiz, u
holda
⃗Ω=−(
d⃗v
dt ρ)M
1
3S⋅h+(⃗F ρ)M
1
3Sh +⃗pnS− ⃗p1Scos (n,x)−
−⃗p2Scos (⃗n,y)−⃗p3Scos (⃗n,z)+0(h2+λ)
,
bu yerda
λ>0 .
Faraz qilaylik, tetraedr o'z-o'ziga o'xshash bo'lgan holda nuqtagacha torayib
borsin. U holda
Ω= 0 bo'lganligi uchun (11.2) ga ko'ra quyidagi limit tengliklar
o'rinli
lim
V→0
⃗Ω
h = 0,lim
V→0
⃗Ω
h2= 0,lim
V→0
⃗Ω
h3= 0.
Birinchi limit uzluksiz va chekli xarakteristikali harakatlarda doim nolga
teng, ya'ni
⃗Ω ning integral osti funksiyalariga hech qanday chegaralanishlar
qo'yilmaydi. Ushbu
lim
v→0
⃗Ω
S= 0
shartdan quyida shart doimo bajarilishi kelib chiqadi:
⃗pn= ⃗p1cos (⃗n,x)+⃗p2cos (⃗n,y)+⃗p3cos (⃗n,z)
. (11.4)
Bunga ko'ra tutash muhitning M nuqtasida olingan ixtiyoriy
dσ yuzachada
⃗pn
kuchlanish (11.4) formula bo'yicha o'sha M nuqtadagi fiksirlangan yuzachalarda
olingan
⃗p1,⃗p2,⃗p3 kuchlanishlar orqali chiziqli ifodalanadi. (11.4) munosabatga
ko'ra
∑
i sirt bo’yicha chegaralangan V hajmli tutash muhitga ta'sir qiluvchi
∫
∑
⃗pndσ
tashqi sirt kuchlari yig’indisini Gauss-Ostragradskiy formulasiga ko'ra
hajm bo'yicha olingan integralga almashtirish mumkin:
∫
∑
⃗pndσ =∫
V(
д⃗p1
дx +д⃗p2
дy +д⃗p3
дz )dτ .
(11.5)
Mavzuga oid namunaviy masalalar
1-misol. Gauss-Ostradskiy teoremasidan foydalanib,
∫
s
xinjdS =V0δij

munosabat o’rinli bo’lishini ko’rsating, bu yerda dS 8.2-chizmada keltirilgan V0
hajmni chegaralovchi S yuzaning elementi,
xi - njdS vektorning joylashishini
bildiradi,
ni uning tashqi normali.
Yechish: Gauss-Ostragradskiy teoremasi ixtiyoriy tartibdagi tenzor maydoni
uchun ummumlashishi mumkin, masalan
Tijk.... maydoni uchun quyidagicha
yozilishi mumkin
∫
V0
Tijk...,pdV 0=∫
S
Tijk..npdS
. (***)
Bunga ko’ra
∫
S
xinjdS =∫
V0
xi,jdV 0=∫
V0
δijdV 0=δijV0
.
2-misol. Gaussning divirgensiya teoremasini hisobga olib
∫
S
⃗n×(⃗a×⃗x)dS =2aV 0
ekanligini ko’rsating, bu yerda
V0 - normali ⃗n bo’lgan S-sirt bilan chagaralangan
sohaning hajmi,
⃗a -ixtiyoriy o’zgarmas vektor, ⃗x - V0 hajm ixtiyoriy nuqtasining
radius vektori.
Yechish : Sirt integralini quyidagicha yozib olish mumkin:
∫
S
eqpi npeijkαjxkdS
Oldingi misolda keltirilgan Gauss-Ostragradskiy teoremasini tenzor maydoni
uchun umumlashgan (***) ko’rinishiga ko’ra bu intergalni hajm bo’yicha
integralga quyidagicha o’tkazamiz:
∫
V0
eqpi eijkαjxk,pdV 0
,
⃗a
o’zgarmas vektor bo’lganligi uchun oxirgi ifoda quyidagi ko’rinishni oladi
∫
V0
eqpi eijk αjxk,pdV 0=∫
V0
(δqiδpk−δqkδpj)αjxk,pdV 0=∫
V0
(aqxp,p− apxq,p)dV 0=
=∫
V0
(aqδpp−apδpq)dV 0=∫
V0
(3aq−aq)dV 0=2aqV0.
Mustaqil ishlash uchun savollar
1. Solenoidal maydon deganda nimani tushinasiz?
2. Solenoidal maydonlarga misollar keltiring.
3. Ixtiyoriy solenoidal maydon vektorini ko’rinishini yozing.
4. Gauss-Ostrogradskiy teoremasini tariflab bering.
5. O’zgaruvchan hajm bo’yicha integralni vaqt bo’yicha differensiallash
qoidasini yozing.
6. Massaning saqlanish qonunining differensial ko’rinishini yozing.
7. Eyler o’zgaruvchilaridagi uzviylik tenglamalarini hosil qiling.
8. Tutash muhit individual hajmi uchun massaning saqlanish qonunini
yozing.
9. Ko’p komponentali qorishmalar uchun uzviylik tenglamalarini yozing.
10. Diffuziya deb nimaga aytiladi? Chizma 8.2

11. Diffuziyani hisobga olgan holda uzviylik tenglamasi qanday ko’rinishda
bo’ladi.
12. Moddiy nuqtaning harakat miqdori deb nimaga aytiladi?
13. Moddiy nuqta uchun harakat miqdori tenglamalari qanday yoziladi?
14. Moddiy nuqtalar sistemasi uchun harakat miqdori tuchunchasini bering.
15. Sistema massalar markazining tezligi nimaga teng?
16. Moddiy nuqtalar sistemasi harakat miqdoridan vaqt bo’yicha olingan
hosila nimaga teng.
17. Chekli individual hajm uchun harakat miqdori tenglamasini
umumlashtiring.
18. Harakat miqdori tenglamasini ixtiyoriy cheksiz kichik V moddiy hajm
uchun qo’llash mumkinmi?
19. Ichki kuchlanishning asosiy xossalari nimadan iborat?
Adabiyotlar
1. Xudoynazarov X. X. Deformatsiyalanuvchi muhit kinematikasi.
Ma’ruzalar matni – Samarqand. 1995 y. –73-78 betlar.
2. C едов Л.И. Механика сплoшной среды. – М : Наука , 1970,- 76-87 стр .

Egri chiziq, yuza va hajm bo‘yicha integrallarning moddiy hosilalari. massaning saqlanish qonuni. uzviylik tenglamasi

Купить