Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	668.2KB
Покупки	0
Дата загрузки	04 Июнь 2025
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Ellips, giperbola va parabolaning qutb kordinatalar sistemasidagi tenglamalariga doir metrik masalar kurs ishi

nuqtaning holati bu nuqtadan qutbgacha bo`lgan masofa (qutb radiusi) va kesmani
qutb o`qi bilan hosil qilgan burchagi (qutb burchagi) yordamida aniqlanadi.
va sonlari nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi.
Tekislikdagi barcha nuqtalarning qutb koordinatalarini ifodalash uchun – qutb
burchagi oraliqda va - qutb radiusi esa, oraliqda bo`lishi etarlidir. Yuqorida
keltirilgan chizma asosida M nuqtaning Dekart koordinatalari va qutb
koordinatalari orasidagi quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:

Bu yerda - burchakni aniqlashda avval uning choragi aniqlanadi ( va larning
ishoralariga asosan), so`ngra oraliqdagi kerakli burchak olinadi.
Biz bu yerda ikkinchi tartibli chiziqlar ( ellips, giperbola va parabola) ning oldingi
paragrafda bayon etilgan xossalaridan foydalanib ,maxsus tanlangan qutib
koordinatalardagi tenglamasing keltirib chiqamiz . Bizga aytilgan chiziqlardan
birortasi: ellips, giperbola yoki parabola berilgan bo`lsa ( agar berilgan chiziq
giperbola bo’lsa , uning o’ng tarmog’ini qaraymiz , chunki keltirib chiqariladigan
qutib tenglama biz qarayotgan holda giperbolaning faqat bitta tarmog’ini
aniqlanadi ).
Berilgan chiziqni bilan belgilaymiz . bu chiziqning fokusi, shu fokusga mos
direktrisasi bo`lsin. ( chiziq giperbola bo`lganda va uchun qaralayotgan
tarmog’iga yaqin fokusi va direktrisasi olinadi ). Qutb koordinatalar sistemasini
quyidagicha kiritamiz . to’g’ri chiziqni o’tkazamiz , bo’lsin, bunda
nuqta to`g’ri chiziqda va nuqtadan nuqta yotmagan tomonda yotadi.
nuqtani qutb , nurni qutib o ’ qi deb qabul qilamiz . nuqta nuqtada qutib
o ’ qiga o ’ tkazilgan perpendikulayarining bilan kesishgan nuqtasi bo ’ lsin .
masofani bilan belgilaymiz va chiziqning deb ataymiz . Tanlangan qutib

Bu tenglamaning umumiy qabul qilingan standart shakli bo'lib, bir necha soniya
ichida u qanday geometrik ob'ektni aniqlagani aniq bo'ladi. Bundan tashqari,
kanonik shakl ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun juda qulaydir.
Shunday qilib, masalan, kanonik tenglamaga ko'ra tekis , birinchidan, bu to'g'ri
chiziq ekanligi darhol aniq bo'ladi, ikkinchidan, unga tegishli nuqta va yo'nalish
vektori oddiygina ko'rinadi.
1 . 2- § . Ellips, giperbola va parabolning kanonik tenglamalari
Parabola (yun. parabole) — 2-tartibli yassi egri chiziq; har bir nuqtasidan fokus
deb ataladigan nuqta va direktrisa deb ataladigan to g ri chiziqqacha masofalariʻ ʻ
teng bo ladi. Fokusdan o tib, direktrisaga tik bo lgan
ʻ ʻ ʻ to g ri chiziq ʻ ʻ
Parabolaning o qi, o q bilan Parabolaning kesishish nuqtasi uchi deyiladi. Parabola
ʻ ʻ
o z o qiga nisbatan simmetrik chiziq. Havo qarshiligi qisobga olinmasa,
ʻ ʻ
boshlang ich tezligi vertikal bo lmagan, erkin harakatlanayotgan jiyemning
ʻ ʻ
trayektoriyasi Parabola chizadi. Parabolani o z o qi atrofida aylantirib hosil
ʻ ʻ
qilingan sirt (aylanma paraboloid ) parallel nurlarni bir nuqtaga yig adi va,
ʻ
aksincha, fokusidan tarqalayotgan nurlar paraboloiddan qaytib, parallel dasta hosil
qiladi. Parabolaning bu xossasidan projektor va avtomobil faralari yasashda,
quyosh energiyasini qo llash (konsentratorlar)da foydalaniladi. Parabola - bu
ʻ
kvadrat tenglama bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan shaklidagi egri chiziq.
Uning kanonik tenglamasi odatda quyidagi shaklda ifodalanadi:

qayerda: parabolaning eng kichik yoki maksimal qiymatiga yetadigan nuqtasi
bo'lgan parabolaning cho'qqisini ifodalaydi.
parabolaning shakli va yo'nalishini aniqlaydi. Agar bo'lsa, parabola
yuqoriga, bo'lsa, parabola pastga ochiladi.
va birgalikda parabolaning o'rnini, shakli va yo'nalishini aniqlaydi.

tenglikdan foydalandik. Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb
koordinatalar sistemasida yozish uchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz
va abssissa o‘qini qarama-qarshi yonalish bilan qutb o‘qi sifatida olamiz. Biz agar

formulalar bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak.ular uchun

formulalar o'rinli bo'ladi. Bu yerda qutb radiuas chap fokal radiusga teng
bo'lganligi uchun

tenglik o'rinli bo'ladi. Bu tenglikdagi r ning ifodasini yuqoridagi formulalardan
kelib chiqadigan

tenglikka qo'yib,

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda ham

tenglik o'rinlidir.

Bu tenglamada parabolaning gorizontal siljishini, esa vertikal
cho'zilish yoki siqishni ifodalaydi. qiymati parabolaning qanchalik tik yoki
kengligini aniqlaydi.
Parabola tenglamasining cho'qqi shakli, ayniqsa foydalidir,
chunki u parabolaning tepasi haqida to'g'ridan-to'g'ri ma'lumot beradi.
Parabolaning simmetriya o'qi uning tepasidan o'tadigan vertikal chiziqdir. U
tenglama bilan berilgan, bu erda parabolaning tepasi.
Fokus va to'g'ridan-to'g'ri yo'nalish: Parabola cho'qqidan bir xil masofada
joylashgan fokus va direktrisaga ega. Fokus simmetriya o'qidagi nuqta, direktrisa
esa simmetriya o'qiga perpendikulyar chiziqdir. Cho'qqidan fokusgacha bo'lgan
masofa , cho'qqidan direktrisagacha bo'lgan masofa ham bilan belgilanadi.
ning qiymatini |p| tenglamasi yordamida hisoblash mumkin = .
Vertex shakli: kanonik tenglama, ,shuningdek, parabolaning tepa
shakli sifatida ham tanilgan. parabola cho'qqisining qisqacha tasvirini beradi va
asosiy xususiyatlarni osongina aniqlash imkonini beradi.
Standart shakl: Parabola tenglamasining yana bir keng tarqalgan shakli standart
shakl bo'lib, u shaklida ifodalanadi. Bu shakl cho'qqi shaklini
kengaytirish va soddalashtirish orqali olinadi.
Simmetriya: Parabolalar simmetriya o'qiga nisbatan simmetrikdir. Demak,
parabolaning istalgan nuqtasini olsangiz, nuqta ham parabolada
yotadi.
Ochilish: kanonik tenglamadagi “ ” koeffitsientining belgisi parabolaning
yuqoriga yoki pastga ochilishini aniqlaydi. Agar bo'lsa,
tenglama parabola emas, balki chiziqli funktsiyani ifodalaydi.
Kesish: parabola o'qini nuqtada kesib o'tadi, bu erda - tepaning -
koordinatasi. -kesishmalarni (yoki ildizlarini) topish uchun siz tenglamada
ni o'rnatasiz va ni hal qilasiz.

Giperbola. Giperbolaning kanonik tenglamasi
Giperbola - bir-biridan uzoqda ochiladigan ikkita alohida novdalardan iborat
konusning bir turi. U egri chiziqdagi nuqtalar orasidagi masofalarni o'z ichiga
olgan ma'lum bir geometrik xususiyat bilan belgilanadi.
Giperbolaning kanonik tenglamasi giperbolaning gorizontal yoki vertikal
yo'naltirilganligiga qarab ikki xil ko'rinishda ifodalanishi mumkin:
Gorizontal yo'nalish:
Gorizontal ko'ndalang o'qli giperbolaning kanonik tenglamasi quyidagicha
ifodalanadi:

Bu tenglamada giperbola markazining koordinatalarini, markazdan
o‘qi (yarim katta o‘q) bo‘ylab cho‘qqilarigacha bo‘lgan masofani, esa
markazdan markazgacha bo‘lgan masofani ifodalaydi. o'qi (yarim kichik o'q)
bo'ylab cho'qqilar.
Vertikal yo'nalish:
Vertikal ko‘ndalang o‘qli giperbolaning kanonik tenglamasi quyidagicha
ifodalanadi:
x

Bu tenglamada va konstantalar, va esa o‘zgaruvchilarni
ifodalaydi. va koeffitsientlari tenglama hosil qilgan egri chiziqning shakli va
yo'nalishini aniqlaydi.
Konus kesimlarning tasnifi:
Konus kesimlarining (doira, ellips, giperbola, parabola) tasnifi ularning umumiy
tenglamalaridagi koeffitsientlar bilan aniqlanadi. Koeffitsientlarning belgilari va
qiymatlarini tahlil qilib, tenglama konusning qaysi turini ifodalashini aniqlashingiz
mumkin.
Doira uchun va koeffitsientlari teng va nolga teng emas.
Ellips uchun va koeffitsientlari bir xil belgiga ega va .
.
Giperbola uchun va koeffitsientlari qarama-qarshi belgilarga ega va
Parabola uchun b koeffitsienti nolga teng, yoki esa nolga teng emas.
Shuni ta'kidlash kerakki, umumiy tenglamalardagi koeffitsientlar konus
kesimlarining shakli, joylashuvi va yo'nalishini o'zgartiradigan o'zgarishlarga
(masalan, tarjimalar, aylanishlar, masshtablar) o'tishi mumkin.
Ushbu umumiy tenglamalar va tasniflar ikkinchi darajali chiziqlarni tushunish va
ular bilan ishlash uchun asos bo'lib xizmat qiladi, xoh ular konusning kesmalarini
ifodalaydi.
Ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi.

tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni tekshirish bilan shug‘ullanamiz.
Bu ishni koordinatalar sistemasini o'zgartirish va tenglamani soddalashtirish
yordamida amalga oshiramiz. Birinchi navbatda parallel ko'chirishda tenglama
koeffitsientlari qanday o‘zgarishini tekshiramiz. Buning uchun

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi
ning
Analitik geometriya fanidan
“Ellips, giperbola va parabolaning qutb kordinatalar
sistemasidagi tenglamalariga doir metrik masalar”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:
Farg‘ona-2025

Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishda tanlanganda har qanday
ikkinchi tartib chiziq tenglamasini

ko'rinishda yozish mumkin ekan. Bu tenglama bo'lsa parabola, bo'lganda
ellips va nihoyat bo'lganda giperbola tenglamasidir.
Parabolaning qutb tenglamasi ,
bu erda - fokusdan direktrisagacha
bo'lgan masofa.
Markazining boshida joylashgan ellipsning qutb tenglamasi
bu erda - markazdan katta o'qgacha bo'lgan masofa va - markazdan kichik
o'qgacha bo'lgan masofa.
Giperbolaning qutb tenglamasi markazi koordinatali

bu erda a - markazdan tepagacha bo'lgan masofa, c - markazdan giperbolaning
markazigacha bo'lgan masofa.

Qutb koordinatalar sistemasi ikki o lchamli koordinatalar sistemasi bo lib, undaʻ ʻ
tekislikdagi har bir nuqta qutb burchagi va qutb radiusi deb ataluvchi
ikkitason orqali aniqlanadi. Ikkita nuqta orasidagi munosabatni radius va
burchaklar orqali ifodalash qulay bo lgan hollarda qutb koordinatalar
ʻ
sistemasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Dekart yoki to g’ri
ʻ
burchakli koordinatalar sistemasida bunday munosabatlar trigonometrik
tenglamalarni qo llash orqali amalga oshiriladi. Qutb koordinatalar sistemasi nol
ʻ
nur yoki qutb o qi deb ataluvchi o q orqali beriladi. Bu nur chiquvchi
ʻ ʻ
nuqtaga koordinata boshi yoki qutb deyiladi. Tekislikdagi har qanday nuqta
ikkita qutb koordinata-radius va burchak orqali aniqlanadi. Radius (radial
koordinata) odatda rharfi bilan belgilanib, nuqtadan koordinata boshigacha bo lgan
ʻ
masofaga teng. Burchak koordinata ko p hollarda qutb burchagi yoki azimut
ʻ
deb ham yuritiladi. Bu miqdor harfi bilan belgilanib, berilgan nuqtaga
tushish uchun qutb o qi buriladigan (soat strelkasiga qarama-qarshi yo nalish)
ʻ ʻ
burchakka teng. Shu tarzda aniqlangan radial koordinata (radius) dan
gacha bo lgan qiymatni qabul qilishi mumkin. Burchak koordinata esa
ʻ dan
gacha bo lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
ʻ
2.2- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi
tenglamalari
Koordinata boshi chiziqning uchida bo‘lgan hol:
a) Ellips kanonik ko‘rinishdagi

tenglama bilan berilgan bo‘lsa,

almashtirish bajarsak, yangi koordinatalar boshi ellipsning chap
uchida joylashadi va tenglama

Bu tenglamada giperbola markazining koordinatalarini, markazdan
o‘qi (yarim katta o‘q) bo‘ylab cho‘qqilarigacha bo‘lgan masofani, esa
markazdan markazgacha bo‘lgan masofani ifodalaydi. o'qi bo'ylab cho'qqilar
(yarim kichik o'q).
Giperbolaning ko'ndalang o'qi - markazdan o'tuvchi va ikkita shoxni kesib
o'tuvchi chiziq. Ko'ndalang o'q bo'ylab markaz va har bir cho'qqi orasidagi masofa
bilan berilgan.
Giperbolaning asimptotalari cheksizlikka cho'zilganida giperbolaning shoxlariga
yaqinlashadigan chiziqlardir. Giperbolaning qiyaligi va markazini hisobga olgan
holda asimptotalarning tenglamalarini olish mumkin.
Kanonik tenglama giperbolalarni ifodalash uchun standartlashtirilgan shaklni
taqdim etadi va giperbolaning markazi, uchlari, asimptotalari va o'qlari kabi asosiy
xususiyatlarni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
Fokuslar va yo'nalishlar: giperbolada ikkita fokus va ikkita yo'nalish mavjud.
Fokuslar giperbola ichidagi nuqtalar bo'lib, uning shaklini aniqlashda asosiy rol
o'ynaydi. Giperbolaning markazidan har bir fokusgacha bo'lgan masofa bilan
belgilanadi. Yo'nalishlar giperbolaning tashqarisida markazdan teng masofada
joylashgan chiziqlardir. Markazdan har bir direktrisagacha bo'lgan masofa bilan
belgilanadi. va o'rtasidagi munosabat tenglamasi bilan berilgan,
bu erda b markazdan konjugat o'qi bo'ylab cho'qqilargacha bo'lgan masofani
ifodalaydi.
Ko'ndalang va konjugat o'qlar: giperbolaning ko'ndalang o'qi - bu giperbolaning
markazi va uchlari orqali o'tadigan chiziq. Bu giperbolaning shoxlari eng keng
bo'lgan o'qdir. Ko'ndalang o'qning uzunligi ga teng. Konjugat o'qi - markazdan
o'tadigan va ko'ndalang o'qga perpendikulyar bo'lgan chiziq. Uning uzunligi .
Eksentriklik: Giperbolaning ekssentrikligi shoxlarning qanchalik "tarqalganligi"
o'lchovidir. U harfi bilan belgilanadi va markaz va markaz orasidagi masofaning
yarim katta o'qning uzunligiga nisbati sifatida hisoblanadi. Giperbola uchun
qiymati har doim 1 dan katta.

Ellips va uning kanonik tenglamasi
Ellipsning ta'rifi. Ellips tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun
fokuslar deb ataladigan nuqtalargacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy va
fokuslar orasidagi masofadan kattaroqdir.
Ellipsning kanonik tenglamasi:

va - yarim o'qlarning uzunliklari, ya'ni koordinata o'qlari bo'yicha
ellips bilan kesilgan segmentlarning yarmi uzunligi. Ellips fokuslari orqali
o'tadigan to'g'ri chiziq uning simmetriya o'qidir. Ellipsning yana bir simmetriya
o'qi bu segmentga perpendikulyar bo'lgan segmentning o'rtasidan o'tadigan to'g'ri
chiziqdir. Nuqta bu chiziqlarning kesishishi ellipsning simmetriya markazi yoki
oddiygina ellips markazi bo'lib xizmat qiladi. Ellipsning abscissa o'qi nuqtalarda
kesishadi ( va va o'qi ( nuqtalarida) ) va ( ). Ushbu to'rt
nuqta ellipsning uchlari deb ataladi. Ellipsning abscissa o'qidagi uchlari orasidagi
segment uning katta o'qi, ordinata o'qida esa kichik o'qi deb ataladi. Ularning
ellipsning tepasidan markazigacha bo'lgan segmentlari yarim o'qlar deb ataladi.
Agar , keyin ellipsning tenglamasi shaklni oladi. Bu radiusli doira uchun b
-bO
xa-a . . . .
. .
F
2 (c;0)
F
1 (-c;0)

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. S.V. Baxvalov, P.S. Modenov, A.S. Parxomenko, Analitik geometriyadan
masalalar to`plami. Toshkent, O`qituvchi, 2006.
2. А.В. Погорелов, Аналитик геометрия. Тошкент, Укитувчи, 1983.
3 . М.М. Постников, Аналитическая геометрия. Москва, Наука, 1979.
4. Д.В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии. Москва,
Наука. 1998.
5. К. Кравченко, Решения задач по аналитической геометрии. http:// www.a-
geometriy.narod.ru 10. Н.Д. Додажонов, М.Ш. Жураева, Геометрия, I-кисм.
Тошкент – “Укитувчи” – 1982.
6. A.Y. Narmanov, Analitik geometriya. O`zbekiston faylasuflar milliy jamiyati
nashriyoti, Toshkent, 2008.
7. А.В. Погорелов, Аналитическая геометрия. “ Наука”, Москва, 1978.
8. Кори Ниёзий, Танланган асарлар, I том, Тошкент.1967.

KIRISH
Kurs ishining dolzarbligi: Talabalar intellektual tafakkurini shakllantirish
asosida talabalar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning umumiy
tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlar mavzulari bo’yicha
bilimlarni yanada chuqurlashtirish.
Respublikamiz Prezidenti Sh. Mirziyoyev “O’zbekiston Respublikasini yanada
rivojlantirish bo’yicha Harakatlar strategiyasi to’g’risida”gi farmoni va oliy ta’lim
tizimini yanada rivojlantirish bo’yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori mazmunida
barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayonining
mohiyati to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash jarayonining har
bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni yuqori bosqichlarga
ko‘tarish, shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish borasida muayyan
vazifalarni amalga oshirishi lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal
etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya’ni, ta’lim jarayoning samaradorligini
oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis bo’lib
yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo’lajak pedagog ekanmiz, o ‘sib
kelayotgan yosh avlodni yetuk ma‘naviyatli, bilimli, malakali kadr etib tarbiyalash
har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda
amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz.
Kurs ishining maqsadi: Parabola ,giperbola va ellipsning qutb koordinatalar
sistemasidagi tenglamalari
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllanti rish ;
2.Ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning kanonik tenglamalarini o’rganish;

tenglama , aylana esa ellipsning maxsus holatidir. Ellipsni radiusli aylanadan
olish mumkin , agar siz uni siqsangiz eksa bo'ylab marta .
Agar - ellipsning ixtiyoriy nuqtasi va - fokuslardan bu nuqtagacha bo'lgan
masofalar bo'lsa, masofalar uchun formulalar quyidagicha:
Ellipsga tegishli har bir nuqta uchun fokuslardan masofalar yig'indisi ga teng
doimiy qiymatdir.

Ellips ovalning alohida holatidir. "Oval" so'zini filistiy ma'noda tushunmaslik
kerak ("bola oval chizdi" va hokazo). Bu batafsil formulaga ega matematik atama.
Ushbu darsning maqsadi analitik geometriyaning standart kursida amalda e'tibor
berilmagan ovallar va ularning har xil turlari nazariyasini ko'rib chiqish emas. Va
hozirgi ehtiyojlarga ko'ra, biz darhol ellipsning qat'iy ta'rifiga o'tamiz:
Ellips - bu tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning har biriga
berilgan ikkita nuqtadan masofalar yig'indisi deyiladi. nayranglar ellips, doimiy
qiymat bo'lib, son jihatdan ushbu ellipsning katta o'qi uzunligiga teng: .
Bunday holda, fokuslar orasidagi masofa bu qiymatdan kamroq bo'ladi .
Ellips tekislik nuqtalarining joylashuvi deyiladi, ularning har biri uchun ellips
fokuslari deb ataladigan bir tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha bo'lgan
masofalar yig'indisi doimiy qiymatdir. Ellips uchun yana bir nechta ekvivalent
ta'riflar berilishi mumkin. Xohlovchilar ular bilan analitik geometriya bo'yicha
jiddiyroq darsliklarda tanishishlari mumkin. Bu erda faqat elips - bu tekislikda
yotgan aylana tekisligiga proyeksiya sifatida olingan egri chiziq ekanligini
ta'kidlaymiz, bu tekislik bilan o'tkir burchak hosil qiladi. Doiradan farqli o'laroq,
ellips tenglamasini ixtiyoriy koordinatalar tizimida "qulay" shaklda yozish mumkin
emas. Shuning uchun, qo'zg'almas ellips uchun uning tenglamasi juda oddiy

Bu parabolalarning kanonik tenglamalari bilan tavsiflangan ba'zi asosiy
xususiyatlari va xususiyatlari.
Fokus deb ataluvchi berilgan nuqtadan va direktrisa deb ataluvchi berilgan to’g’ri
chiziqdan teng uzoqlikda yotuvchi tekislikdagi nuqtalar to’plami parabola deyiladi.
Uchi koordinatalar boshida yotuvchi, simmetriya o’qi o’qdan iborat bo’lgan
parabolaning kanonik tenglamasi ko’rinishga ega. Bunda
(parabola parametri) – fokusdan direktrisagacha bo’lgan masofa. Direktrisaning
tenglamasi
ko’rinishga ega. Agar – parabolaning nuqtasidan parabola
fokusigacha bo’lgan masofa, nuqtadan direktrisagacha bo’lgan masofasi
bo’lsa, u holda uning ekssentrisiteti , Uchi koordinatalar boshida,
simmetriya o’qi bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi ushbu ko’rinishga
ega: Uning direktrisasi tenglamasi esa:
Parabolaning xossalari
1.Parabola o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgan egri chiziqdir.
2.Parabola koordinata boshidan o’tadi.
3. o’zgaruvchining qiymatlari cheksiz oshib borgan sari o’zgaruvchining
qiymatlari ham cheksiz oshib boradi.

PARABOLA
y

kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o'tkazish uchun

almashtirishlar yordamida yangi O'x' у ' dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz.
Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog'lanish boshi,
formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radius
uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib,

tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani

tenglikka qo’ysak,

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenglikdan foydalandik.
Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun uning har
qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sistemasini kiritamiz. Uning o‘ng
qismi uchun qutb boshini giperbolaning uning fokusiga joylashtiramiz va abssissa

XULOSA
Bu kurs ishi 2 bobdan iborat bo’lib, birinchi bob 4 ta paragrafdan iborat bo’lib, u
bobda ikkinchi tartibli chiziqlar, ularning kanonik tenglamalari, ikkinchi tartibli
chiziqlarning umumiy tenglamalari va markazlari haqida aks ettirilgan.
Ikkinchi bob esa ikkita paragrafdan iborat, ikkinchi bobda qutb koordinatalar
sistemasi va ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi
tenglamalari haqida aks ettirilgan.

Mazkur kurs ishida ikkinchi tartibli chiziqlar, ularning umumiy tenglamasi va
markazi , parabola,uning kanonik tenglamasi va xarakteristikasi , giperbola,
kanonik tenglamasi va giperbolaning xossalari , ellips va uning kanonik tenglamasi
, qutb koordinatalar sistemasi va ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar
sistemasidagi tenglamalari ko’rib chiqilgan.

bu erda - markazdan o'qi bo'ylab har bir cho'qqigacha bo'lgan masofa va -
markazdan o'qi bo'ylab har bir cho'qqigacha bo'lgan masofa.
Bu giperbola uchun tenglamaning kanonik ko'rinishi bo'lib, u giperbolaning
markazi boshlang'ichda va giperbolaning ikki tarmog'i - va ga nisbatan
simmetrikdir deb faraz qiladi.
Shuningdek, giperbola uchun tenglamaning standart shakl va umumiy shakl kabi
boshqa shakllari ham mavjud bo lib, ular kanonik shakldan turli o zgarishlarniʻ ʻ
qo llash orqali olinishi mumkin.
ʻ
Giperbola ikki qismdan iborat bo’lib ular giperbolaning tarmoqlari deyiladi.
Giperbola ning bir (o’ng) tarmog’i yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog’i
yarim tekislikda joylashgan bo’ladi . Agar giperbolaning fokuslari
ordintalar o’qida joylashgan bo’lsa, uning kanonik tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
Giperbola asimptotalarga ega. Agar tekis chiziqning nuqtasi shu chiziq bo’ylab
harakatlanib borganida, uning to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa,
to’g’ri chiziqning asimptotasi deyiladi.
Yarim o’qlari teng bo’lgan giperbola teng tomonli deb ataladi.
Giperbolaning xossalari
1. Giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgan egri chiziqdir.
2.To’g’ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari bo’ladi, ya’ni bu to’g’ri chiziq x ning cheksiz
kattalishib borishi bilan giperbolaga borgan sari yakinlashib boradi.
GIPERBOLA
y

II- BOB. PARABOLA, GIPERBOLA VA ELLIPSNING QUTB
KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI
2. 1- § . Qutb koordinatalar sistemasi
Qutbli koordinatalar tizimi - bu Yer yoki boshqa sirt holatini aniqlash uchun
ishlatiladigan koordinatalar tizimi. Bu tizim Yerning qutblariga asoslangan va
shuning uchun ham "qutb koordinatalari tizimi" deb ataladi. Qutbli koordinatalar
tizimi ikkita parametrdan foydalanadi: kenglik va uzunlik. Kenglik nuqta shimoliy
yoki janubiy yarim sharda joylashgan burchak masofasini bildiradi, uzunlik esa
sharqiy yoki g'arbiy yarim sharda joylashgan burchak masofasini bildiradi. Ushbu
tizim xaritalar va navigatsiya qurilmalarini yaratishda keng qo'llaniladi.
Masalan, Polar koordinata tizimi yordamida joylashishni aniqlash uchun avvalo
mos yozuvlar nuqtasi aniqlanadi. Bu odatda Shimoliy qutb yoki janubiy qutbdir.
Keyin nuqtaning kengligi va uzunligi uning mos yozuvlar nuqtasiga bo'lgan
burchak masofasidan foydalanib aniqlanadi. Kenglik qutblarga bo'lgan burchakni
anglatadi, uzunlik esa mos yozuvlar nuqtasidan o'tadigan doiradagi burchakni
anglatadi. Bu burchak masofalari darajalar, soniyalar va soniyalar kabi birliklarda
ifodalanadi. -bO a-a -c
c
x
C

koordinatlar sistemasiga nisbatan chiziqning ixtiyori M nuqtasining
koordinatalarini bilan belgilaymiz.
a) Parabola

kanonik tenglama bilan berilgan boMsa , qutbni parabola fokusiga joylashtirib ,
qutb o ' qi sifatida abssissa o ' qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar
sistemasida yozaylik . Agar biz

almashtirishlar bajarsak

tengliklar o ' rinli bo ' ladi . Bu yerda ( nuqtaning qutb koordinatalari bo ' lib , agar
nuqta parabolaga tegishli bo ' lsa , uning fokal radiusiga tengdir . Biz

tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo'lgan m asofaga tengligini p hisobga
olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo'ysak,

munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabolaning qutb koordinatalar
sistemasidagi tenglamasidir.
a) Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o'qini qutb o'qi
sifatida olamiz. Ellipsning

formulalar yordamida almashtirishlami bajaramiz. Bu holda koordinata o‘qlarining
yo‘nalishlari o‘zgarmaydi,faqat koordinata boshi nuqtaga ko’chadi. Bu
formulalardan , larni topib va (1) ga qo‘yib,

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada koeffitsientlar uchun

tengliklar o'rinli bo'lib, bilan tenglamaning chap tomonidagi ifoda
belgilangan. Yuqoridagi formulalardan ko'rinib turibdiki, paralllel ko'chirishda
ikkinchi darajali hadlar oldidagi koeffitsientlar o'zgarmaydi.
Agar nuqtaning koordinatalari

sistemani qanoatlantirsa, tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi.
Bundan tashqari, agar nuqtaning koordinatalari sistemani qanoatlantirsa, nuqta
ikkinchi tartibli chiziq uchun simmetriya markazi bo'ladi. Haqiqatan ham bu holda
koordinatalar markazini nuqtaga ko'chirsak, tenglamada birinchi darajali
hadlar qatnashmaydi. Shuning uchun yangi koordinatalar sistemasida

tenglik o'rinli bo'ladi. Demak, nuqta chiziq uchun simmetriya markazidir. Va
aksincha, agar birorta nuqta chiziq uchun simmetriya markazi bo'lsa uning
koordinatalari sistemani qanoatlantirishini ko'rsatamiz. Koordinata boshini
nuqtaga joylashtirib, yangi koordinatalar sistemasini kiritamiz. Agar
nuqta chiziqqa tegishli bo'lsa,
tenglik o'rinli bo'ladi. Koordinata boshi simmetriya markazi bo'lgani uchun
tenglik ham o'rinli bo'ladi. Bu tengliklarni ikkinchisini birinchisidan
ayirib

Simmetriya: Giperbolalar ko'ndalang o'qiga, konjugat o'qiga va markazga
nisbatan simmetriyaga ega. Bu shuni anglatadiki, agar nuqta giperbolaning
bir tarmog'ida yotsa, nuqta mos keladigan sohada yotadi.
Shakl: va qiymatlariga qarab, giperbola turli shakllarga ega bo'lishi mumkin.
Agar bo'lsa, giperbola gorizontal ravishda cho'ziladi, bo'lsa, giperbola
vertikal ravishda cho'ziladi.
Bu xossa va xarakteristikalar giperbolaning kanonik tenglamasi bilan bog'liq
bo'lib, uning shakli, yo'nalishi va asosiy elementlari haqida tushuncha beradi.
Kanonik tenglama matematika va geometriyadagi giperbolalarni tushunish va tahlil
qilish uchun qimmatli vositadir.
Giperbola deb tekislikdagi shunday nuqtalar to’plamiga aytiladiki, bu
nuqtalarning har biridan shu tekislikning fokuslar deb ataluvchi ikki nuqtasigacha
bo’lgan masofalar ayirmalarining absolyut qiymatlari o’zgarmas miqdordir.
Fokuslari o’qda koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik holda yotuvchi
giperbolaning kanonik tenglamasi ko’rinishga ega.
Bunda;
− giperbolaning haqiqiy yarim o’qi uzunligi;
− mavhum yarim o’qi uzunligi. Agar fokuslar orasidagi masofani desak,

bo’ladi.
Giperbola ekssentrisiteti deb, quyidagi tenglikka aytiladi:

Giperbolaning fokal radiuslari deb, uning nuqtasidan fokuslargacha
bo’lgan masofalariga ( va bilan belgilanadi) aytiladi.
Giperbola konusning bir turi bo'lib, u ikkita ko'zgu yoyga o'xshash ikkita alohida
egri chiziqdan iborat. Giperbolaning umumiy tenglamasi:

I- BOB.IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR VA ULARNING
UMUMIY TENGLAMALARI
1 . 1- § .Ikkinchi tartibli chiziqlar , ularning umumiy tenglamasi va markazi
Bu bobning boshida har qanday I tartibli tenglama tekislikda biror
to‘g‘ri chiziqni aniqlashini va aksincha, tekislikdagi har qanday to‘g‘ri chiziq I
tartibli tenglamaga ega bo‘lishini ko‘rib chiqqan edik.
Endi tekislikda II tartibli t е nglam а larni qaraymiz. Bu tenglamalarning umumiy
ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

Bunda tenglamadagi koeffitsiyentlardan kamida bittasi noldan farqli,
ya’ni shart bajarilishi kerak. Aks holda tenglama I tartibli
tenglamaga aylanadi.
1-TA’RIF: Tenglamasi ko‘rinishda bo‘lgan tekislikdagi chiziqlar II tartibli
chiziqlar deb ataladi.
Biz quyida bunday chiziqlarning turlari bilan tanishib chiqamiz. Hozircha esa
tenglama har doim ham biror egri chiziqni ifodalashi shart emasligini misollar
orqali ko‘rsatamiz.
Ikkinchi tartibli chiziqlar geometriyadagi konus kesimlarini bildiradi, ular
doiralar, ellipslar, giperbolalar va parabolalarni o'z ichiga oladi. Konus kesimining
har bir turi o'zining umumiy tenglamasiga ega. Quyida har biri uchun umumiy
tenglamalar keltirilgan:
Aylana:
Markazi va radiusi bo‘lgan aylananing umumiy tenglamasi quyidagicha
ifodalanadi:

Bu tenglamada aylana markazining koordinatalarini, esa radiusni
ifodalaydi.

FOYDALANILGAN INTERNET SAYTLARI
1. www. ZiyoNet.uz.
2. www.Google.com.

o'qini qutb o'qi sifatida olamiz. Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi uning o'ng
fokal radiusiga teng bo'lganligi uchun

ifodani hosil qilamiz. Biz bilamizki.agar dekart koordinatalar sistemasi
uchun qutb boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o'qi abssisa o‘qi bilan
ustma-ust tushsa,qutb koordinatalar sistemasi va koordinatalar sistemasi
orasidagi bog‘lanish

formulalar yordamida beriladi. Bu yangi koordinatalar sistemasi va giperbola
tenglamasi berilgan koordinatalar sistemasi orasidagi bog'lanish esa

ko'rinishda boiadi. Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib,

tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi ifodani bu tenglikka qo‘ysak

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

Ellips:
Markazi , yarim katta o'q a va yarim kichik o'q b bo'lgan ellipsning umumiy
tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:
Bu tenglamada ellips markazining koordinatalarini, a va b esa mos ravishda
yarim katta va yarim kichik o‘qlarning uzunliklarini ifodalaydi.
Giperbola:
Markazi , Haqiqiy o‘qi a va Mavhum oqi o‘qi b bo‘lgan giperbolaning
umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:

Bu tenglamada giperbola markazining koordinatalarini, va esa mos
ravishda Haqiqiy va mavhum o‘qlarning uzunliklarini ifodalaydi.
Parabola:
Cho'qqisi va fokusi bo'lgan parabolaning umumiy tenglamasi
quyidagicha ifodalanadi:

Bu tenglamada parabolaning uchi koordinatalarini, esa parabolaning
shakli va yo‘nalishini aniqlaydi. Parametr cho'qqi va fokus o'rtasidagi masofani
ifodalaydi.
Ushbu umumiy tenglamalar konusning har xil turlarini tasvirlash va ifodalash
usulini beradi. Ushbu tenglamalardagi parametrlarni o'ziga xos qiymatlarni
almashtirish orqali siz aniq doiralar, ellipslar, giperbolalar yoki parabolalarning
tenglamalarini olishingiz mumkin.
Ikkinchi darajali ko‘phadning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:

ko'rinishga keladi. Bu tenglamani

ko'rinishda yozib olamiz. Bu yerda

bo'lib, munosabat bajariladi. Agar giperbolaning

Tenglamasida , almashtirish bajarsak tenglama

ko‘rinishda bo‘lib, koeffitsientlar uchun

munosabatlar o'rinli bo‘ladi. Agar tenglamada bo‘lsa parabola
tenglamasini hosil qilamiz. Demak, giperbolalar, ellipslar va parabolalar
tenglamalarini ko'rinishda yozish mumkin.
Tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning holatini sonly ifodalash imkoniyatini beruvchi
sistema tekislikdagi koordinatalar sistemasi deyiladi. Ana shunday sistemalardan
biri to`g`ri burchakli yoki Dekart koordinatalar sistemasidir.
Bu sistemada ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari deb, radius-vektor
koordinatalariga aytiladi. Agar bo`lsa, u holda nuqta koordinatalari
kabi yoziladi. Nuqta holatini sonlar yordamida ifodalash koordinatalar usuli
deyiladi. Tekislikdagi har bir chiziq koordinatalar usuli yordamida biror tenglama
bilan ifodalanadi. Koordinatalar sistemasining yana bir muhim ko`rinishi bu qutb
koordinatalar sistemasidir. Qutb koordinatalar sistemasi qutb deb ataluvchi nuqta
va qutb o`qi deb ataluvchi -nur yordamida beriladi. Tekislikdagi ixtiyoriy

Reja:

KIRISH .....................................................................................................................3
I- BOB.IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR VA ULARNING UMUMIY
TENGLAMALARI
1 . 1- § . Ikkinchi tartibli chiziqlar, ularning umumiy tenglamasi va markazi……..…4
1 . 2- § . Ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari……………….……9
II- BOB. PARABOLA, GIPERBOLA VA ELLIPSNING QUTB
KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI
2.1- § . Qutb koordinatalar sistemasi…………………………………………...…..19
2.2- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi
tenglamalari………………………………………………………………….……20
XULOSA…………………………………………………………………………28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………………..29

tenglikni hosil qilamiz. Agar koeffitsientlaming kamida bittasi noldan farqli
bo'lsa, bu tenglama to'g'ri chiziqni aniqlaydi, ya’ni ikkinchi tartibli chiziqning
hamma nuqtalari bir to'g'ri chiziqda yotadi. Agar ikkinchi tartibli chiziq bir to‘g‘ri
chiziqda yotmasa, bu koeffitsientlaming har ikkalasi ham nolga teng bo'ladi. Bu
esa nuqtaning koordinatalari sistemani qanoatlantirishini ko'rsatadi. Bu
faktlami hisobga olsak quyidagi ta ’rifning geometrik ma’nosi yaxshi tushinarli
bo'ladi.
1-ta’rif. Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari sistemani
qanoatlantirsa, u tenglama bilan berilgan ikkkinchi tartibli chiziqning markazi
deyiladi. Tabiiyki, sistema yagona yechimga ega bo'lishi, cheksiz ko'p yechim
ga ega bo 'lishi yoki umuman yechimga ega bo'lmasligi mumkin.
Agar,

munosabat o'rinli bo'lsa, sistema yagona yechimga ega bo'ladi. Agar,

munosabat o'rinli bo'lsa sistema cheksiz ko'p yechimga,

munosabat bajarilsa sistema yechimga ega emas. Bularni e ’tiborga olib, biz
ikkinchi tartibli chiziqlarni uchta sinfga ajratamiz:
a) yagona markazga ega bo'lgan chiziqlar;
b) cheksiz ko'p markazga ega bo'lgan chiziqlar;
d ) markazga ega bo'lmagan chiziqlar;
Tenglamaning kanonik shakli nima?

bo'lishi uchun koordinatalar tizimini tanlash kerak. Ellipsning o'choqlari bo'lsin va
bo'lsin. Koordinata tizimining kelib chiqishi segmentning o'rtasida joylashgan. Biz
o'qni ushbu segment bo'ylab yo'naltiramiz, o'q bu segmentga perpendikulyar.
Ellips ta’rifi va kanonik tenglamasi T е kislikda t е nglama bilan aniqlangan
chiziq ellips d е yiladi. Bunda bo’lganda ellips markazi k оо rdinata b о shida va
radiusi ga t е ng bo’lgan aylanadan iborat bo’ladi. Faraz qilaylik, bo’lsin.
o’qda absissalari m о s ravishda va bo’lgan, F
1 (-c; 0) va F
2 (c; 0)
nuqtalarni b е lgilaymiz. Bu nuqtalar ellipsning f о kuslari deb ataladi. ellipsni,
fokuslargacha bo’lgan mas о falar yig’indisi o’zgarmas kattalikka t е ng
bo’lgan nuqtalarning g ео m е trik o’rni sifatida aniqlash mumkin.
Ellips aylanani t е kis qisish yordamida h о sil qilinishi mumkin. Ushbu aylanani
ko’rib chiqamiz. Endi t е kislikni Ох o’qga qarab qisamiz, ya’ni shunday
almashtirish о lamizki, bunda k оо rdinatali nuqta ko’rinib turibdiki, aylana
k оо rdinatali nuqtaga o’tsin. U h о lda, ellipsga o’tadi. Ta’rif. Ellipsning fokuslari
orasidagi masofani katta o’q uzunligiga nisbati ellipsning eksentrisiteti deyiladi va
u quyidagicha aniqlanadi. Ta’rif. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan fokuslargacha
masofalari bu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi va ular quyidagicha hisoblanadi.
bu erda ellipsning nuqtasi. Umuman olganda ellipsning fokal radiuslarini
topishning bundanda soddaroq formulasini keltirish mumkin.
ELLIPS
b
. .
. .F
2
F
1 y
A BD

Ellips, giperbola va parabolaning qutb kordinatalar sistemasidagi tenglamalariga doir metrik masalar kurs ishi

Купить