Fan olimpiadasi: matematika. 7–11-sinflar uchun olimpiada savollari — tayyorgarlik to‘plami (mashq testlari), javoblari va izohlari bilan, 2026
![6. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = (x − 1)(x − 2)(x − 4) tenglama nechta ildizga ega?
A) 2
B) 0
C) 3
D) 1
To'g'ri javob: A) 2✔
Izoh: (x−1)(x−2)[(x−3)−(x−4)]=(x−1)(x−2)=0, ildizlar 1 va 2. Ikki tomonni qisqartirish ildizlarni yo'qotadi.
7. Muntazam to'rtburchakli piramidaning asos tomoni 8 ga, yon qirrasi √35 ga teng. Piramida hajmini
toping.
A) 64√3
B) 64√6/3
C) 64√3/3
D) 64√35/3
To'g'ri javob: C) 64√3/3
✔
Izoh: Balandlik h² = b² - (a√2/2)² = 35 - 32 = 3; V = a²h/3 = 64√3/3.
8. ABC uchburchakda AB = 8, BC = 5, B = 60°. AC ni toping.
∠
A) √89
B) √129
C) 7
D) 9
To'g'ri javob: C) 7
✔
Izoh: Kosinuslar teoremasi: AC^2=64+25−2·8·5·½=49.
9. x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx va x + y + z = 9 bo'lsa, x ni toping.
A) 1
B) 6
C) 3
D) 9
To'g'ri javob: C) 3
✔
Izoh: Birinchi shart (x−y)^2+(y−z)^2+(z−x)^2=0 ga teng kuchli, ya'ni x=y=z=3.
10. Har biri 1 yoki −1 bo'lgan n ta sonning yig'indisi 0 ga, ko'paytmasi 1 ga teng. Quyidagilardan qaysi
biri n ning qiymati bo'lishi mumkin?
A) 2026
B) 2030
C) 2024
D) 2022
To'g'ri javob: C) 2024
✔
Izoh: Yig'indi 0 bo'lsa, −1 lar soni n/2; ko'paytma 1 bo'lishi uchun n/2 juft, ya'ni n 4 ga bo'linishi kerak. Faqat
2024 mos.
11. 2^2026 + 3^2026 yig'indini 5 ga bo'lgandagi qoldiqni toping.
A) 3
B) 1
C) 4
D) 0
To'g'ri javob: A) 3
✔
Izoh: 2026≡2 (mod 4), shuning uchun 2^2026≡4, 3^2026≡9≡4 (mod 5); 4+4=8≡3.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 5](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_5.png?v=1)
![12. 473! soni nechta nol bilan tugaydi?
A) 114
B) 116
C) 115
D) 94
To'g'ri javob: C) 115✔
Izoh: Nollar soni 5 ning darajasi bilan aniqlanadi: [473/5] + [473/25] + [473/125] + ... = 115.
13. 13 burchakli piramidaning barcha yoqlaridagi diagonallar soni nechta?
A) 130
B) 78
C) 65
D) 64
To'g'ri javob: C) 65
✔
Izoh: Yon yoqlar uchburchak bo'lib diagonalga ega emas; faqat asos 13 burchakning n(n - 3)/2 = 65 ta
diagonali bor.
14. (n^2+7)/(n+2) kasr butun son bo'ladigan eng katta natural n ni toping.
A) 9
B) 5
C) 11
D) 7
To'g'ri javob: A) 9
✔
Izoh: n^2+7=(n+2)(n−2)+11, shuning uchun n+2 soni 11 ga bo'luvchi; n+2=11, n=9.
15. ABCD to'rtburchakka aylana ichki chizilgan, AB = 5, BC = 7, CD = 9. DA ni toping.
A) 10
B) 7
C) 5
D) 11
To'g'ri javob: B) 7
✔
Izoh: Ichki aylanali to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlar yig'indilari teng: AB+CD=BC+DA DA=7.
⇒
16. a parametrning nechta butun qiymatida f(x) = x³ + ax² + 12x + 1 funksiya butun son o'qida o'suvchi
bo'ladi?
A) 6
B) 14
C) 13
D) 12
To'g'ri javob: C) 13
✔
Izoh: f'(x) = 3x² + 2ax + 12 ≥ 0 barcha x da bajarilishi uchun D/4 = a² - 36 ≤ 0, ya'ni |a| ≤ 6; butun a lar soni 13.
17. f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 2 funksiyaning [-3; 4] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 18
B) 32
C) -7
D) 25
To'g'ri javob: D) 25
✔
Izoh: f'(x) = -3x² + 6x + 9 = 0 dan x = -1, x = 3. Kesmaga tegishli kritik nuqtalar va chekkalardagi qiymatlar
solishtiriladi: max = 25, min = -7.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 6](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_6.png?v=1)
![Izoh: 64 katakni aylanib chiqish 63 ta yurish, ya'ni toq son; ot har yurishda rang almashtiradi, shuning uchun
oxirgi katak rangi a1 rangidan farqli. h8 esa a1 bilan bir xil rangda.
30. n! soni oxirida aynan 10 ta nol bo'ladigan eng kichik natural n ni toping.
A) 45
B) 44
C) 40
D) 50
To'g'ri javob: A) 45✔
Izoh: 40! da 9 ta nol bor ([40/5]+[40/25]=9), 45! da esa 9+1=10 ta.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 9](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_9.png?v=1)
![2-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. log₃²x + 2log₃x = 0 tenglama ildizlari ko'paytmasini toping.
A) -2
B) 1/9
C) 0
D) 10/9
To'g'ri javob: B) 1/9✔
Izoh: log₃x = t: t² + 2t = 0, t₁ + t₂ = -2. Shuning uchun x₁·x₂ = 3^(t₁ + t₂) = 1/9.
2. Geometrik progressiyada b₁ = 1, q = 3 va S = 1093. n ni toping.
ₙ
A) 8
B) 7
C) 9
D) 6
To'g'ri javob: B) 7
✔
Izoh: S = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1) dan 3ⁿ = 2187, n = 7.
ₙ
3. a+b=5 va ab=3 bo'lsa, a^2+b^2 nechaga teng?
A) 22
B) 16
C) 25
D) 19
To'g'ri javob: D) 19
✔
Izoh: a^2+b^2=(a+b)^2−2ab=25−6=19.
4. cos 5x = cos 3x tenglamaning [-π; π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 9
B) 11
C) 8
D) 10
To'g'ri javob: A) 9
✔
Izoh: Ayirmani ko'paytmaga keltirib ikki ildizlar seriyasi olinadi; ularning kesmaga tushgan va
takrorlanmaydigan qiymatlari sanaladi: 9 ta.
5. Raqamlari chapdan o'ngga qat'iy o'sib boruvchi nechta uch xonali son bor?
A) 84
B) 36
C) 120
D) 72
To'g'ri javob: A) 84
✔
Izoh: 0 qatnasha olmaydi; 1–9 raqamlaridan 3 tasini tanlash yetarli: C(9,3)=84.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 10](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_10.png?v=1)
![Izoh: Koshi–Bunyakovskiy: (3x+4y)^2≤(9+16)(x^2+y^2) x^2+y^2≥625/25=25 (x=3, y=4).⇒
12. Kubning qirralari bo'ylab bir uchidan qarama-qarshi uchiga eng qisqa (3 qirrali) nechta yo'l bor?
A) 3
B) 8
C) 6
D) 9
To'g'ri javob: C) 6
✔
Izoh: Har bir yo'l x, y, z yo'nalishlarining birorta tartibi: 3!=6.
13. f(x) toq funksiya, davri 4 ga teng va [0; 2] kesmada f(x) = -x² + 2x. f(2027/2) ni toping.
A) 3/4
B) 7/4
C) -1/4
D) 11/4
To'g'ri javob: A) 3/4
✔
Izoh: Davriylikdan f(2027/2) = f(3/2); kerak bo'lsa toqlik f(x) = -f(-x) qo'llanadi. Natija 3/4.
14. 25^x - 150·5^x + 3125 = 0 tenglama ildizlari yig'indisini toping.
A) 150
B) 6
C) 5
D) 3125
To'g'ri javob: C) 5
✔
Izoh: 5^x = t almashtirishdan t² - 150t + 3125 = 0, t = 125 yoki 25; x = 3 yoki 2, yig'indi 5.
15. x^2 + 2y^2 + 2xy − 6y + 15 ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 6
B) 3
C) 9
D) 15
To'g'ri javob: A) 6
✔
Izoh: Ifoda (x+y)^2+(y−3)^2+6 ga teng, eng kichik qiymat 6 (y=3, x=−3).
16. Hovuzni birinchi quvur 3 soatda to'ldiradi, ikkinchi quvur to'la hovuzni 5 soatda bo'shatadi. Ikkala
quvur bir vaqtda ochilsa, bo'sh hovuz necha soatda to'ladi?
A) 8
B) 15/2
C) 15/8
D) 2
To'g'ri javob: B) 15/2
✔
Izoh: To'lish tezligi 1/3−1/5=2/15, vaqt 15/2=7,5 soat.
17. (1 − 1/2^2)(1 − 1/3^2)…(1 − 1/100^2) ko'paytmani hisoblang.
A) 1/100
B) 1/2
C) 101/200
D) 99/200
To'g'ri javob: C) 101/200
✔
Izoh: 1−1/k^2=((k−1)/k)·((k+1)/k); ko'paytma (1/100)·(101/2)=101/200.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 12](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_12.png?v=1)
![24. To'g'ri burchakli uchburchakning katetlari 6 va 8. Medianalar kesishish nuqtasidan
gipotenuzagacha masofani toping.
A) 2
B) 12/5
C) 8/5
D) 24/5
To'g'ri javob: C) 8/5✔
Izoh: Og'irlik markazi gipotenuzagacha masofasi balandlikning 1/3 qismi: (24/5)/3=8/5.
25. x1, x2 — x^2 + 3x + 1 = 0 tenglamaning ildizlari. (x1 + 1)(x2 + 1) ni toping.
A) 5
B) -1
C) 0
D) 3
To'g'ri javob: B) -1
✔
Izoh: (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=1−3+1=−1.
26. 1 dan 1000 gacha bo'lgan natural sonlarning nechtasi 14 bilan o'zaro tub?
A) 429
B) 428
C) 358
D) 430
To'g'ri javob: A) 429
✔
Izoh: 14 ning tub bo'luvchilari 2, 7; kiritish-chiqarish usuli bilan ularning hech biriga bo'linmaydigan sonlar
sanaladi: 429.
27. Nechta ikki xonali son o'z raqamlari yig'indisi va raqamlari ko'paytmasining yig'indisiga teng?
A) 10
B) 8
C) 9
D) 1
To'g'ri javob: C) 9
✔
Izoh: 10a+b=a+b+ab 9a=ab b=9. Bular 19, 29, …, 99 — 9 ta son.
⇒ ⇒
28. x₁ + x₂ + x₃ = 10 tenglama nechta manfiy bo'lmagan butun yechimga ega?
A) 220
B) 66
C) 36
D) 286
To'g'ri javob: B) 66
✔
Izoh: «Sharlar va to'siqlar» usuli: C(10 + 2, 2) = 66.
29. f(x) = x + 36/x funksiyaning [1; 5] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 61/5
B) 12
C) 6
D) 37
To'g'ri javob: A) 61/5
✔
Izoh: f'(x) = 1 - 36/x² = 0 dan x = 6. Kritik nuqta (kesmada bo'lsa) va chekkalardagi qiymatlar: 37, 61/5; javob
61/5.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 20](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_20.png?v=1)
![30. f(x) = 2x³ - 6x² - 144x funksiyaning kamayish oralig'iga nechta butun son tegishli?
A) 12
B) 10
C) 11
D) 2
To'g'ri javob: C) 11✔
Izoh: f'(x) ≤ 0 oraliq [-4; 6] (kritik nuqtalar ham kiradi), unda 11 ta butun son bor.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 21](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_21.png?v=1)
![12. x^2 + y^2 − 2x + 4y ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) -1
B) -4
C) -5
D) 0
To'g'ri javob: C) -5✔
Izoh: x^2+y^2−2x+4y=(x−1)^2+(y+2)^2−5≥−5.
13. sin²x - 3sin x + 2 = 0 tenglamaning [0; 2π] kesmadagi ildizlari yig'indisini toping.
A) 3π/2
B) π
C) 0
D) π/2
To'g'ri javob: D) π/2
✔
Izoh: sin x ga nisbatan kvadrat tenglamadan sin x = 1 (2 yaroqsiz); kesmadagi ildizlar yig'indisi π/2.
14. √(x − 2) + √(6 − x) ifodaning eng katta qiymatini toping.
A) 2√2
B) 2
C) 4
D) √6
To'g'ri javob: A) 2√2
✔
Izoh: (√a+√b)^2≤2(a+b)=2·4=8, demak qiymat ≤2√2, tenglik x=4 da.
15. x ≥ 3 bo'lsa, x + 1/x ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 2
B) 10/3
C) 7/2
D) 3
To'g'ri javob: B) 10/3
✔
Izoh: x+1/x funksiya x≥1 da o'suvchi, shuning uchun minimum x=3 da: 3+1/3=10/3 (2 qiymatga erishilmaydi).
16. Sinfdagi 30 o'quvchidan 18 tasi matematikani, 15 tasi fizikani yaxshi ko'radi, 5 tasi ikkalasini ham
yoqtirmaydi. Nechta o'quvchi ikkala fanni ham yaxshi ko'radi?
A) 8
B) 13
C) 5
D) 3
To'g'ri javob: A) 8
✔
Izoh: Kamida bittasini yoqtiradiganlar 25 ta; 18+15−x=25 x=8.
⇒
17. cos²x - 3cos x + 2 = 0 tenglamaning [0; 3π/2] kesmadagi ildizlari yig'indisini toping.
A) π
B) 0
C) π/2
D) π/3
To'g'ri javob: B) 0
✔
Izoh: cos x ga nisbatan kvadrat tenglamadan cos x = 1 (2 yaroqsiz); kesmadagi ildizlar yig'indisi 0.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 35](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_35.png?v=1)
![7-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. x^2 + y = 7, x + y^2 = 11 sistemaning natural yechimi uchun xy ni toping.
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
To'g'ri javob: D) 6✔
Izoh: Natural yechim (2;3): 4+3=7, 2+9=11. xy=6.
2. x₁ + x₂ + x₃ = 13 tenglama nechta natural yechimga ega?
A) 105
B) 66
C) 78
D) 220
To'g'ri javob: B) 66
✔
Izoh: Har bir o'zgaruvchi kamida 1: C(13 - 1, 2) = 66.
3. Uchta o'yin kubigi tashlandi. Tushgan ochkolar yig'indisi kamida 5 bo'lishi ehtimolligini toping.
A) 211/216
B) 1/54
C) 53/54
D) 71/72
To'g'ri javob: C) 53/54
✔
Izoh: Barcha teng imkoniyatli natijalar 6^3 = 216, qulay natijalar 212; P = 212/216 = 53/54.
4. Aynan 6 ta natural bo'luvchiga ega eng kichik natural sonni toping.
A) 20
B) 12
C) 32
D) 18
To'g'ri javob: B) 12
✔
Izoh: 6 ta bo'luvchi p^5 yoki p^2·q ko'rinishda bo'ladi; eng kichigi 2^2·3=12.
5. |x − 1| + |x − 3| = 2 tenglama nechta yechimga ega?
A) cheksiz ko'p
B) 0
C) 2
D) 1
To'g'ri javob: A) cheksiz ko'p
✔
Izoh: 1≤x≤3 bo'lganda chap tomon (x−1)+(3−x)=2, ya'ni [1;3] kesmadagi barcha sonlar yechim.
6. f(x) = (x)^4·(2x - 1) bo'lsa, f'(0) ni toping.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 0
To'g'ri javob: D) 0
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 39](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_39.png?v=1)
![12. Uchlari (0; 0), (4; 0) va (1; 5) nuqtalarda bo'lgan uchburchak yuzini toping.
A) 20
B) 25/2
C) 8
D) 10
To'g'ri javob: D) 10✔
Izoh: Asos 4, balandlik 5: S=4·5/2=10.
13. f(x) = x + 25/x funksiyaning [1; 8] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 5
B) 26
C) 10
D) 89/8
To'g'ri javob: C) 10
✔
Izoh: f'(x) = 1 - 25/x² = 0 dan x = 5. Kritik nuqta (kesmada bo'lsa) va chekkalardagi qiymatlar: 26, 89/8, 10;
javob 10.
14. Konusning balandligi 6 ga, asos radiusi 8 ga teng. Konusning yon sirti yuzini toping.
A) 48π
B) 80π
C) 144π
D) 160π
To'g'ri javob: B) 80π
✔
Izoh: Yasovchi l = √(6² + 8²) = 10; S_yon = πrl = 80π.
15. 2^2026 ni 2026 ga bo'lgandagi qoldiqni toping (1013 — tub son).
A) 2
B) 0
C) 1012
D) 4
To'g'ri javob: D) 4
✔
Izoh: Ferma bo'yicha 2^1012≡1 (mod 1013), 2^2026=2^2024·4≡4 (mod 1013); son juft, 4 ham juft, demak
qoldiq 4.
16. xy = 8x + 5y tenglama natural sonlarda nechta yechimga ega?
A) 8
B) 7
C) 16
D) 9
To'g'ri javob: A) 8
✔
Izoh: Tenglama (x - 5)(y - 8) = 40 ko'rinishga keladi; natural yechimlar soni 40 ning bo'luvchilari orqali
sanaladi: 8.
17. Tanga 7 marta tashlandi. Gerb kamida 2 marta tushishi ehtimolligini toping.
A) 1/2
B) 15/16
C) 1/16
D) 121/128
To'g'ri javob: B) 15/16
✔
Izoh: Barcha natijalar 2^7 = 128, qulaylari 120; P = 15/16.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 41](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_41.png?v=1)
![8-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. 3 + 33 + 333 + ... + 3333333 yig'indini hisoblang (oxirgi qo'shiluvchi 7 ta 3 raqamidan iborat).
A) 3703701
B) 33703701
C) 3703680
D) 3703704
To'g'ri javob: A) 3703701✔
Izoh: 333 kabi had 3(10^k - 1)/9 ga teng; yig'indi 3(10^8 - 10 - 9·7)/81 = 3703701.
2. log_(1/3)(x - 4) > -3 tengsizlikning butun yechimlari sonini toping.
A) 25
B) 27
C) 26
D) 28
To'g'ri javob: C) 26
✔
Izoh: Asos 1 dan kichik, ishora o'zgaradi: 0 < x - 4 < 3^3 = 27. Butun yechimlar soni 26.
3. a, b, c > 0 va a + b + c = 3 bo'lsa, ab + bc + ca ning eng katta qiymatini toping.
A) 1
B) 9
C) 9/4
D) 3
To'g'ri javob: D) 3
✔
Izoh: (a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca) ab+bc+ca≤3, tenglik a=b=c=1 da.
⇒
4. sin 2x = sin x tenglamaning [0; π] kesmadagi barcha ildizlari yig'indisini toping.
A) 4π/3
B) 7π/3
C) π/3
D) 11π/6
To'g'ri javob: A) 4π/3
✔
Izoh: Ildizlar ikki seriyadan iborat; kesmadagi 3 ta turli ildiz qo'shilsa, yig'indi 4π/3 chiqadi.
5. 27^(log₉4) + 25^(log₅4) - log₂8 ifodaning qiymatini hisoblang.
A) 21
B) 20
C) 27
D) 22
To'g'ri javob: A) 21
✔
Izoh: a^(log_b c) = c^(log_b a) xossasidan: 27^(log₉4) = 8; 25^(log₅4) = 4^2 = 16; log₂8 = 3. Natija 21.
6. |x² - 6|x| + 2| = 10 tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?
A) 2
B) 4
C) 1
D) 3
To'g'ri javob: A) 2
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 45](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_45.png?v=1)
![13. log₂3 = a va log₃5 = b bo'lsa, log₃₀2 ni a va b orqali ifodalang.
A) 1/(1 + a + ab)
B) 1/(1 + 2a + ab)
C) (1 - ab)/(1 + a + ab)
D) 1/(1 + a + 2ab)
To'g'ri javob: A) 1/(1 + a + ab)✔
Izoh: 2 asosga o'tamiz: log₂5 = log₂3·log₃5 = ab; log₃₀2 = log₂2/log₂30 = 1/(1 + a + ab).
14. 10 sonini natural qo'shiluvchilar yig'indisi ko'rinishida (tartib muhim) necha usulda yozish
mumkin? Masalan, 10 ning o'zi ham bitta usul.
A) 256
B) 42
C) 512
D) 1024
To'g'ri javob: C) 512
✔
Izoh: 9 ta oraliqning har biriga to'siq qo'yish yoki qo'ymaslik: 2^9=512.
15. Barcha x ≠ 0 uchun f(x) - 3f(1/x) = -3x tenglik o'rinli. f(1/3) ni toping.
A) -13/4
B) 1/2
C) 7/2
D) -14/5
To'g'ri javob: C) 7/2
✔
Izoh: x ni 1/x ga almashtirib ikkinchi tenglamani olamiz va sistemadan f(x) = (-3x - 9/x)/(-8) topiladi.
16. a > 0 va a^2 + 1/a^2 = 14 bo'lsa, a + 1/a nechaga teng?
A) 14
B) 2√3
C) 16
D) 4
To'g'ri javob: D) 4
✔
Izoh: (a+1/a)^2=14+2=16, a>0 bo'lgani uchun a+1/a=4.
17. sin 4x = cos 3x tenglamaning [-π/2; 3π/2] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 8
B) 10
C) 11
D) 9
To'g'ri javob: D) 9
✔
Izoh: Ayirmani ko'paytmaga keltirib ikki ildizlar seriyasi olinadi; ularning kesmaga tushgan va
takrorlanmaydigan qiymatlari sanaladi: 9 ta.
18. Ketma-ket beshta toq sonning yig'indisi 85 ga teng. Ularning eng kattasini toping.
A) 23
B) 19
C) 21
D) 17
To'g'ri javob: C) 21
✔
Izoh: O'rtadagi son 85/5=17, sonlar 13, 15, 17, 19, 21.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 47](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_47.png?v=1)
![10-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. x^(log₂x - 2) = 2^8 tenglama ildizlari yig'indisini toping.
A) 4
B) 73/4
C) 2
D) 65/4
To'g'ri javob: D) 65/4✔
Izoh: 2 asosda logarifmlab t = log₂x uchun t² - 2t = 8: t = 4 yoki -2; ildizlar 16 va 1/4.
2. Ketma-ketlikning dastlabki n ta hadi yig'indisi S = -n² + 6n. a₁ + a₅ ni toping.
ₙ
A) 2
B) 0
C) 10
D) -5
To'g'ri javob: A) 2
✔
Izoh: a₁ = S₁ = 5, a₅ = S₅ - S₄ = -3; yig'indi 2.
3. cos20°·cos40°·cos80° ifodaning qiymatini toping.
A) 9/8
B) 1/8
C) 1/4
D) √3/8
To'g'ri javob: B) 1/8
✔
Izoh: Ko'paytma/yig'indini ikki karrali burchak, ko'paytmani yig'indiga keltirish yoki keltirish formulalari bilan
soddalashtirib 1/8 olinadi.
4. 2cos²x + 3cos x + 1 = 0 tenglamaning [-π/2; 3π/2] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 5
B) 4
C) 2
D) 3
To'g'ri javob: D) 3
✔
Izoh: cos x ga nisbatan kvadrat tenglamadan cos x = -1 yoki -1/2. Kesmada jami 3 ta yechim bor.
5. log_(1/3)(x - 3) ≥ -3 tengsizlikning butun yechimlari sonini toping.
A) 28
B) 26
C) 29
D) 27
To'g'ri javob: D) 27
✔
Izoh: Asos 1 dan kichik, ishora o'zgaradi: 0 < x - 3 ≤ 3^3 = 27. Butun yechimlar soni 27.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 56](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_56.png?v=1)
![12. Raqamli soat 00:00 dan 23:59 gacha vaqtni ko'rsatadi. Sutka davomida necha marta palindrom
vaqt (masalan, 12:21) ko'rinadi?
A) 24
B) 12
C) 15
D) 16
To'g'ri javob: D) 16✔
Izoh: Daqiqa soatning teskarisi bo'lishi kerak; soatning ikkinchi raqami 0–5 bo'lgan soatlar: 00–05, 10–15, 20–
23 — 16 ta.
13. Uzunligi 400 m bo'lgan aylana yo'lakda ikki yuguruvchi bir joydan bir yo'nalishda 5 m/s va 3 m/s
tezlikda yugura boshladi. Necha sekunddan keyin tezrog'i sekinrog'ini birinchi marta quvib yetadi?
A) 100
B) 50
C) 200
D) 80
To'g'ri javob: C) 200
✔
Izoh: Tezrog'i bir aylana (400 m) ortiq yugurishi kerak: 400/(5−3)=200 s.
14. Quyidagi sonlardan eng kichigini toping: log₃5, log₅7, log₅9, log₂7.
A) log₂7
B) log₅9
C) log₅7
D) log₃5
To'g'ri javob: C) log₅7
✔
Izoh: Sonlarni oraliq qiymatlar bilan taqqoslash mumkin; taqribiy qiymatlar: log₅7 ≈ 1,209; log₅9 ≈ 1,365; log₃5
≈ 1,465; log₂7 ≈ 2,807.
15. 1/(1·4) + 1/(2·5) + ... + 1/(10·13) yig'indini hisoblang.
A) 905/1716
B) 10/39
C) 343/660
D) 10/13
To'g'ri javob: A) 905/1716
✔
Izoh: 1/(k(k + 3)) = (1/3)(1/k - 1/(k + 3)) ko'rinishda yoyilib, qo'shiluvchilar qisqaradi; natija 905/1716.
16. f(x) toq funksiya, davri 4 ga teng va [0; 2] kesmada f(x) = x² - 2x. f(-35/3) ni toping.
A) -14/9
B) -5/9
C) 4/9
D) 55/9
To'g'ri javob: B) -5/9
✔
Izoh: Davriylikdan f(-35/3) = f(1/3); kerak bo'lsa toqlik f(x) = -f(-x) qo'llanadi. Natija -5/9.
17. a va b — x^2 − 7x + 3 = 0 tenglamaning ildizlari. 1/a^2 + 1/b^2 ni hisoblang.
A) 43/3
B) 7/3
C) 49/9
D) 43/9
To'g'ri javob: D) 43/9
✔
Izoh: a^2+b^2=49−6=43, (ab)^2=9, demak 1/a^2+1/b^2=(a^2+b^2)/(ab)^2=43/9.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 58](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_58.png?v=1)
![18. Perimetri 12 ga teng bo'lgan uchburchaklardan yuzi eng kattasining yuzini toping.
A) 6
B) 6√3
C) 4√3
D) 2√3
To'g'ri javob: C) 4√3✔
Izoh: Perimetr o'zgarmas bo'lganda teng tomonli uchburchak yuzi eng katta: tomon 4, yuz 4^2·√3/4=4√3.
19. Ikkita kubik tashlandi. Tushgan ochkolardan kattasi 6 ga teng bo'lish ehtimolini toping.
A) 1/3
B) 5/18
C) 11/36
D) 1/6
To'g'ri javob: C) 11/36
✔
Izoh: Hech birida 6 tushmasligi 25/36, demak kamida bittasida 6: 11/36.
20. cos 3x = cos 2x tenglamaning [0; π] kesmadagi barcha ildizlari yig'indisini toping.
A) 17π/10
B) 2π/5
C) 6π/5
D) 11π/5
To'g'ri javob: C) 6π/5
✔
Izoh: Ildizlar ikki seriyadan iborat; kesmadagi 3 ta turli ildiz qo'shilsa, yig'indi 6π/5 chiqadi.
21. 1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(100·101) yig'indini hisoblang.
A) 99/100
B) -1/101
C) 201/101
D) 100/101
To'g'ri javob: D) 100/101
✔
Izoh: 1/(k(k + 1)) = (1/k - 1/(k + 1)) ko'rinishda yoyilib, qo'shiluvchilar qisqaradi; natija 100/101.
22. P(x) ko'phadni x−1 ga bo'lganda 3, x−2 ga bo'lganda 5 qoldiq qoladi. P(x) ni (x−1)(x−2) ga
bo'lgandagi qoldiqni toping.
A) 2x + 3
B) 3x
C) x + 2
D) 2x + 1
To'g'ri javob: D) 2x + 1
✔
Izoh: Qoldiq ax+b: a+b=3, 2a+b=5 a=2, b=1.
⇒
23. a, b, c > 0 bo'lsa, (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ning eng kichik qiymatini toping.
A) 3
B) 9
C) 1
D) 6
To'g'ri javob: B) 9
✔
Izoh: Har bir qavsga Koshi tengsizligini qo'llasak 3 (abc)·3/ (abc)=9; tenglik a=b=c da.
∛ ∛
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 59](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_59.png?v=1)
![30. sin 3x = cos 2x tenglamaning [0; π] kesmadagi barcha ildizlari yig'indisini toping.
A) 3π/2
B) 3π/5
C) 5π/2
D) 7π/5
To'g'ri javob: A) 3π/2✔
Izoh: Ildizlar ikki seriyadan iborat; kesmadagi 3 ta turli ildiz qo'shilsa, yig'indi 3π/2 chiqadi.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 61](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_61.png?v=1)
![6. 360 sonining natural bo'luvchilari soni nechta?
A) 24
B) 20
C) 30
D) 18
To'g'ri javob: A) 24✔
Izoh: 360=2^3·3^2·5, bo'luvchilar soni (3+1)(2+1)(1+1)=24.
7. 3x + 5y = 100 tenglamaning natural sonlardagi yechimlari soni nechta?
A) 5
B) 7
C) 20
D) 6
To'g'ri javob: D) 6
✔
Izoh: y=(100−3x)/5, x 5 ga karrali: x=5,10,…,30 (y musbat bo'lishi uchun x<34) — 6 ta.
8. {1, 2, ..., 9} to'plamdan nechta usulda 4 ta son tanlash mumkinki, ular orasida ketma-ket keluvchi
ikki son bo'lmasin?
A) 5
B) 15
C) 126
D) 35
To'g'ri javob: B) 15
✔
Izoh: Tanlangan sonlarni b_i = a_i - (i - 1) almashtirish bilan 6 ta sondan erkin tanlashga keltiramiz: C(6, 4) =
15.
9. Bir yilda «13-sana, juma» eng ko'pi bilan necha marta bo'lishi mumkin?
A) 4
B) 2
C) 3
D) 12
To'g'ri javob: C) 3
✔
Izoh: Oylarning 13-sanalari haftaning turli kunlariga taqsimlanadi; har qanday yilda (kabisa ham) bitta kunga
ko'pi bilan 3 ta to'g'ri keladi.
10. |x − 1| + |x − 3| = 4 tenglama yechimlarining yig'indisini toping.
A) 4
B) 6
C) 2
D) 0
To'g'ri javob: A) 4
✔
Izoh: x>3 da 2x−4=4, x=4; x<1 da 4−2x=4, x=0; [1;3] da qiymat 2. Yig'indi 0+4=4.
11. Tanga 9 marta tashlandi. Gerb aynan 7 marta tushishi ehtimolligini toping.
A) 9/64
B) 119/128
C) 9/128
D) 37/512
To'g'ri javob: C) 9/128
✔
Izoh: Barcha natijalar 2^9 = 512, qulaylari 36; P = 9/128.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 63](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_63.png?v=1)
![19. cos36° - cos72° ifodaning qiymatini toping.
A) 1/4
B) 1/2
C) √5/4
D) (√5 - 1)/2
To'g'ri javob: B) 1/2✔
Izoh: Ko'paytma/yig'indini ikki karrali burchak, ko'paytmani yig'indiga keltirish yoki keltirish formulalari bilan
soddalashtirib 1/2 olinadi.
20. sin 8x = sin 2x tenglamaning eng kichik musbat ildizini toping.
A) π/2
B) π/10
C) 3π/10
D) π/3
To'g'ri javob: B) π/10
✔
Izoh: Ikkala ildizlar seriyasidan musbatlarini solishtirib eng kichigini olamiz: π/10.
21. Ota o'g'lidan 4 marta katta. 20 yildan keyin ota o'g'lidan 2 marta katta bo'ladi. O'g'il hozir necha
yoshda?
A) 15
B) 5
C) 10
D) 20
To'g'ri javob: C) 10
✔
Izoh: 4x+20=2(x+20) 2x=20 x=10.
⇒ ⇒
22. tg α = 1/2 bo'lsa, (-sin α + 2cos α)/(-2sin α + 3cos α) ifodaning qiymatini toping.
A) 0
B) 7/4
C) 4/3
D) 3/4
To'g'ri javob: D) 3/4
✔
Izoh: Surat va maxrajni cos α ga bo'lamiz: (-tg α + 2)/(-2tg α + 3) = 3/4.
23. f(x) toq funksiya, davri 4 ga teng va [0; 2] kesmada f(x) = -2x² + 4x. f(-35/3) ni toping.
A) 28/9
B) -110/9
C) 10/9
D) 19/9
To'g'ri javob: C) 10/9
✔
Izoh: Davriylikdan f(-35/3) = f(1/3); kerak bo'lsa toqlik f(x) = -f(-x) qo'llanadi. Natija 10/9.
24. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlarining yig'indisi 24 ga, hadlari kvadratlarining
yig'indisi 576/5 ga teng. Progressiyaning maxrajini toping.
A) 8
B) 1/3
C) 2/3
D) 4/3
To'g'ri javob: C) 2/3
✔
Izoh: b₁/(1 - q) = 24 va b₁²/(1 - q²) = 576/5. Ikkinchisini birinchisining kvadratiga bo'lsak (1 - q)/(1 + q) = 1/5, q =
2/3, b₁ = 8.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 71](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_71.png?v=1)
![25. { 2^x + 2^y = 18; x + y = 5 } sistemaning yechimi uchun x·y ni toping.
A) 4
B) 3
C) 6
D) 5
To'g'ri javob: A) 4✔
Izoh: 2^x·2^y = 2^5 = 32; Viyet teoremasiga ko'ra 2^x va 2^y sonlari 2 va 16, ya'ni x, y = 1, 4.
26. Barcha x ≠ 0 uchun f(x) - 3f(1/x) = 6x tenglik o'rinli. f(4) ni toping.
A) 57/20
B) -12
C) -39/16
D) -57/16
To'g'ri javob: D) -57/16
✔
Izoh: x ni 1/x ga almashtirib ikkinchi tenglamani olamiz va sistemadan f(x) = (6x + 18/x)/(-8) topiladi.
27. f(x) = ax² + bx + c kvadrat uchhad uchun f(-1) = 6, f(2) = 9, f(3) = 18. f(6) ni toping.
A) 71
B) 69
C) 66
D) 45
To'g'ri javob: B) 69
✔
Izoh: Sistemani yechib a = 2, b = -1, c = 3 topiladi, demak f(6) = 69.
28. x^4 − 4x^2 + 7 ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 7
B) -1
C) 3
D) 4
To'g'ri javob: C) 3
✔
Izoh: x^4−4x^2+7=(x^2−2)^2+3≥3, tenglik x=±√2 da.
29. lg2 = a va lg3 = b bo'lsa, log₃25 ni a va b orqali ifodalang.
A) (2 - 2a)/(1 + b)
B) (2 - 2a)/(b)
C) (2 - 2a)/(2b)
D) (2 - 3a)/(b)
To'g'ri javob: B) (2 - 2a)/(b)
✔
Izoh: 10 asosga o'tamiz, lg5 = 1 - a; log₃25 = lg25/lg3 = (2 - 2a)/(b).
30. 1·2 + 2·3 + 3·4 + … + 20·21 yig'indini hisoblang.
A) 2870
B) 3311
C) 3080
D) 3010
To'g'ri javob: C) 3080
✔
Izoh: k(k+1)=[k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1)]/3, yig'indi 20·21·22/3=3080.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 72](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_72.png?v=1)
![Izoh: Koordinatalar kiritib, DAC₁ tekislik normali n = (-1; 0; 1) topiladi; masofa |n·DD₁|/|n| = √2.
12. 299! soni 2 ning eng ko'pi bilan qanday darajasiga bo'linadi (daraja ko'rsatkichini toping)?
A) 295
B) 149
C) 294
D) 293
To'g'ri javob: C) 294✔
Izoh: Lejandr formulasi: [299/2] + [299/2²] + ... = 294.
13. Konusning yasovchisi 20 ga, balandligi 12 ga teng. Konus yon sirti yoyilmasining (sektor) markaziy
burchagini toping.
A) 288°
B) 216°
C) 144°
D) 174°
To'g'ri javob: A) 288°
✔
Izoh: r = √(20² - 12²) = 16; yoyilma yoyi uzunligi 2πr = l·α, α = 360°·r/l = 288°.
14. 7 kishi bir qatorga necha xil usulda turishi mumkin, agar ulardan ikkitasi (A va B) albatta yonma-
yon tursa?
A) 1440
B) 4320
C) 720
D) 5040
To'g'ri javob: A) 1440
✔
Izoh: A va B ni bitta blok deb olamiz: 6! usul, blok ichida 2 usul; jami 2·6! = 1440.
15. x^2 + ax + 1 = 0 va x^2 + x + a = 0 tenglamalar umumiy ildizga ega, a ≠ 1. a ni toping.
A) 0
B) -2
C) 3
D) -1
To'g'ri javob: B) -2
✔
Izoh: Ayirsak (a−1)(x−1)=0 umumiy ildiz x=1, 1+a+1=0 a=−2.
⇒ ⇒
16. f(x) = -x³ + 6x² - 1 funksiyaning [0; 5] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 24
B) 31
C) 32
D) -1
To'g'ri javob: D) -1
✔
Izoh: f'(x) = -3x² + 12x = 0 dan x = 0, x = 4. Kesmaga tegishli kritik nuqtalar va chekkalardagi qiymatlar
solishtiriladi: max = 31, min = -1.
17. Sinfda 8 ta o'g'il va 4 ta qiz bor. 3 kishilik guruhni necha usulda tuzish mumkin, agar tarkibida ham
o'g'il, ham qiz bo'lsa?
A) 160
B) 161
C) 60
D) 220
To'g'ri javob: A) 160
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 75](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_75.png?v=1)
![6. x^(log₃x + 1) = 3^6 tenglama ildizlari yig'indisini toping.
A) -1
B) 298/27
C) 244/27
D) 1/3
To'g'ri javob: C) 244/27✔
Izoh: 3 asosda logarifmlab t = log₃x uchun t² + t = 6: t = 2 yoki -3; ildizlar 9 va 1/27.
7. Narxi 8000 va 12 000 so'm bo'lgan konfetlardan 20 kg aralashma tayyorlanib, uning 1 kg i 9000
so'm bo'lishi kerak. Arzon konfetdan necha kg olinadi?
A) 15
B) 5
C) 10
D) 12
To'g'ri javob: A) 15
✔
Izoh: 8000x+12000(20−x)=180 000 240 000−4000x=180 000 x=15 kg.
⇒ ⇒
8. sin²x + sin x = 0 tenglamaning [0; π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
To'g'ri javob: C) 2
✔
Izoh: sin x ga nisbatan kvadrat tenglamadan sin x = 0 yoki -1. Kesmada jami 2 ta yechim bor.
9. log₂3·log₃4·log₄5·...·log₃₁32 ko'paytmani hisoblang.
A) 6
B) 29
C) 30
D) 5
To'g'ri javob: D) 5
✔
Izoh: Asosni almashtirish formulasiga ko'ra ko'paytma log₂32 ga teng, bu esa 5 ga teng.
10. log₂(x² - 4x + 1) ≤ 3 tengsizlikning butun yechimlari sonini toping.
A) 3
B) 5
C) 4
D) 7
To'g'ri javob: C) 4
✔
Izoh: Tengsizlik 0 < x² - 4x + 1 ≤ 8 qo'sh tengsizlikka teng kuchli; uni 4 ta butun son qanoatlantiradi.
11. Tanga 5 marta tashlandi. Aynan 3 marta «gerb» tushish ehtimolini toping.
A) 5/16
B) 3/16
C) 3/5
D) 1/2
To'g'ri javob: A) 5/16
✔
Izoh: C(5,3)/2^5=10/32=5/16.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 80](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_80.png?v=1)
![12. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlarining yig'indisi 5 ga, hadlari kvadratlarining
yig'indisi 25/4 ga teng. Progressiyaning maxrajini toping.
A) 2/5
B) 2
C) 3/5
D) 6/5
To'g'ri javob: C) 3/5✔
Izoh: b₁/(1 - q) = 5 va b₁²/(1 - q²) = 25/4. Ikkinchisini birinchisining kvadratiga bo'lsak (1 - q)/(1 + q) = 1/4, q =
3/5, b₁ = 2.
13. 2^(1/2), 3^(1/3), 4^(1/4), 5^(1/5) sonlaridan eng kattasini toping.
A) 5^(1/5)
B) 2^(1/2)
C) 3^(1/3)
D) 4^(1/4)
To'g'ri javob: C) 3^(1/3)
✔
Izoh: 6-darajaga oshirsak 2^3=8<3^2=9; 4^(1/4)=2^(1/2); 15-darajada 3^5=243>5^3=125. Eng kattasi 3^(1/3).
14. (a^4 + a^2 + 1)/(a^2 + a + 1) ifodani soddalashtiring.
A) a^2 − a + 1
B) a^2 − a
C) a^2 + 1
D) a^2 + 2a + 1
To'g'ri javob: A) a^2 − a + 1
✔
Izoh: a^4+a^2+1=(a^2+1)^2−a^2=(a^2+a+1)(a^2−a+1).
15. f(x) = x² + 4x - 4 funksiyaning [-4; 4] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari yig'indisini
toping.
A) 36
B) 21
C) 24
D) 20
To'g'ri javob: D) 20
✔
Izoh: Parabola uchi x = -2 kesmaga tegishli, eng kichik qiymat f(-2) = -8; eng katta qiymat chekkalarda: 28.
Yig'indi 20.
16. (x − 1)(x − 3)/(x − 5) ≥ 0 tengsizlikning 0 ≤ x ≤ 10 oraliqdagi butun yechimlari soni nechta?
A) 9
B) 6
C) 7
D) 8
To'g'ri javob: D) 8
✔
Izoh: Intervallar usuli: yechim [1;3] (5;+∞). Butunlari 1,2,3,6,7,8,9,10 — 8 ta.
∪
17. Avtomobil shinasi old g'ildirakda 25 000 km, orqa g'ildirakda 15 000 km yuradi. Shinalarni o'z
vaqtida almashtirib, bir juft shina bilan eng ko'pi bilan necha km yurish mumkin?
A) 18750
B) 17500
C) 20000
D) 15000
To'g'ri javob: A) 18750
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 81](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_81.png?v=1)
![29. 100! sonining oxirida nechta nol bor?
A) 20
B) 25
C) 22
D) 24
To'g'ri javob: D) 24✔
Izoh: Nollar soni 5 ko'paytuvchilar soniga teng: [100/5]+[100/25]=20+4=24.
30. x/(x − 1) + (x − 1)/x = 5/2 tenglama ildizlari yig'indisini toping.
A) 0
B) 3
C) 2
D) 1
To'g'ri javob: D) 1
✔
Izoh: t=x/(x−1): t+1/t=5/2 t=2 yoki 1/2 x=2 yoki x=−1; yig'indi 1.
⇒ ⇒
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 90](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_90.png?v=1)
![Izoh: a+b≥2√(ab)=12, tenglik a=b=6 da.
7. a+b+c=6, ab+bc+ca=11, abc=6 bo'lsa, 1/a+1/b+1/c nechaga teng?
A) 6/11
B) 1
C) 11/3
D) 11/6
To'g'ri javob: D) 11/6✔
Izoh: 1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/(abc)=11/6.
8. √(7 + 4√3) ni soddalashtiring.
A) 1 + 2√3
B) 2 + √3
C) 4 + √3
D) 1 + √3
To'g'ri javob: B) 2 + √3
✔
Izoh: 7+4√3=4+4√3+3=(2+√3)^2.
9. sin 5x = cos x tenglamaning [0; 2π] kesmadagi barcha ildizlari yig'indisini toping.
A) 29π/4
B) 11π
C) 107π/12
D) 9π
To'g'ri javob: D) 9π
✔
Izoh: Ildizlar ikki seriyadan iborat; kesmadagi 10 ta turli ildiz qo'shilsa, yig'indi 9π chiqadi.
10. Ali pulining 1/3 qismini sarfladi, so'ngra qolganining 1/4 qismini sarfladi. Unda 60 000 so'm qoldi.
Dastlab unda qancha pul bor edi (so'm)?
A) 144000
B) 120000
C) 180000
D) 90000
To'g'ri javob: B) 120000
✔
Izoh: Qolgan qism x·(2/3)·(3/4)=x/2=60 000 x=120 000.
⇒
11. ABCDA₁B₁C₁D₁ kubning qirrasi 3 ga teng. B nuqtadan ADA₁ tekislikkacha bo'lgan masofani toping.
A) 3√2/2
B) 3
C) 3√2
D) 3√3
To'g'ri javob: B) 3
✔
Izoh: Koordinatalar kiritib, ADA₁ tekislik normali n = (1; 0; 0) topiladi; masofa |n·AB|/|n| = 3.
12. y = log_(x - 1)(25 - x²) funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar sonini toping.
A) 4
B) 1
C) 3
D) 2
To'g'ri javob: D) 2
✔
Izoh: Shartlar: 25 - x² > 0, asos x - 1 > 0 va asos ≠ 1. Bu shartlarga 3, 4 butun sonlari mos keladi.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 92](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_92.png?v=1)
![Izoh: 1/(k(k+1)(k+2))=½[1/(k(k+1))−1/((k+1)(k+2))]; yig'indi ½(1/2−1/90)=11/45.
19. { 2^x + 2^y = 6; x + y = 3 } sistemaning yechimi uchun |x - y| ni toping.
A) 4
B) 2
C) 1
D) 3
To'g'ri javob: C) 1✔
Izoh: 2^x·2^y = 2^3 = 8; Viyet teoremasiga ko'ra 2^x va 2^y sonlari 2 va 4, ya'ni x, y = 1, 2.
20. y = sin(4x/5) + tg(x/2) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.
A) 10π
B) 2π
C) 5π/2
D) 5π
To'g'ri javob: A) 10π
✔
Izoh: Qo'shiluvchilar davrlari 5π/2 va 2π; yig'indining eng kichik davri ularning eng kichik umumiy karralisi 10π
ga teng.
21. y = sin(x/2) + sin(x) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.
A) 6π
B) 4π
C) 8π
D) 2π
To'g'ri javob: B) 4π
✔
Izoh: Qo'shiluvchilar davrlari 4π va 2π; yig'indining eng kichik davri ularning eng kichik umumiy karralisi 4π ga
teng.
22. x^2 − 2|x| + 3 ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 2
B) 1
C) 0
D) 3
To'g'ri javob: A) 2
✔
Izoh: x^2−2|x|+3=(|x|−1)^2+2≥2, tenglik x=±1 da.
23. Quyidagi sonlardan eng kattasini toping: log₅7, √2, log₂3, log₃4.
A) log₂3
B) log₃4
C) √2
D) log₅7
To'g'ri javob: A) log₂3
✔
Izoh: Sonlarni oraliq qiymatlar bilan taqqoslash mumkin; taqribiy qiymatlar: log₅7 ≈ 1,209; log₃4 ≈ 1,262; √2 ≈
1,414; log₂3 ≈ 1,585.
24. log₃(x - 1) + log₃(x - 2) = log₃20 tenglama ildizlari yig'indisini toping.
A) 7
B) 20
C) 6
D) 3
To'g'ri javob: C) 6
✔
Izoh: (x - 1)(x - 2) = 20 tenglamaning ildizlari 6 va -3; aniqlanish sohasi x > 2 bo'lgani uchun faqat x = 6 yaroqli.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 94](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_94.png?v=1)
![17-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. 1 dan 120 gacha bo'lgan natural sonlardan biri tavakkaliga tanlandi. Uning 9 ga bo'linib, 6 ga
bo'linmasligi ehtimolligini toping.
A) 11/40
B) 13/120
C) 7/120
D) 113/120
To'g'ri javob: C) 7/120✔
Izoh: Kiritish-chiqarish usuli bilan qulay sonlar soni 7 (EKUK(9, 6) = 18 hisobga olinadi); P = 7/120.
2. Ikki tub sonning yig'indisi 2029 ga teng. Ularning ko'paytmasini toping.
A) 4054
B) 4056
C) 2029
D) 4058
To'g'ri javob: A) 4054
✔
Izoh: Yig'indi toq, demak sonlardan biri 2. Ikkinchisi 2027 (tub son), ko'paytma 2·2027=4054.
3. Raqamlari chapdan o'ngga qat'iy o'suvchi bo'lgan nechta besh xonali son bor?
A) 126
B) 117
C) 135
D) 252
To'g'ri javob: A) 126
✔
Izoh: 0 raqami qatnasha olmaydi; 1..9 raqamlardan istalgan 5 tasi yagona tartibda yoziladi: C(9, 5) = 126.
4. √(x^2 + 6x + 9) + √(x^2 − 2x + 1) = 4 tenglama nechta butun yechimga ega?
A) 4
B) 5
C) cheksiz ko'p
D) 2
To'g'ri javob: B) 5
✔
Izoh: |x+3|+|x−1|=4, bu −3≤x≤1 da bajariladi; butun yechimlar −3,−2,−1,0,1.
5. f(x) = 2x³ - 12x² - 72x + 4 funksiyaning kamayish oralig'iga nechta butun son tegishli?
A) 10
B) 9
C) 4
D) 8
To'g'ri javob: B) 9
✔
Izoh: f'(x) ≤ 0 oraliq [-2; 6] (kritik nuqtalar ham kiradi), unda 9 ta butun son bor.
6. x^2 − xy − 2y^2 = 0 va x + y = 6 bo'lsa (x, y ≠ 0), x ni toping.
A) 2
B) 6
C) 3
D) 4
To'g'ri javob: D) 4
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 96](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_96.png?v=1)
![Izoh: ab+a+b+1=(a+1)(b+1), demak barcha (x+1) larning ko'paytmasi o'zgarmaydi: oxirgi son 2·3·…·11−1=11!
−1.
18. f(x) = x + 25/x funksiyaning [2; 8] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 29/2
B) 10
C) 5
D) 89/8
To'g'ri javob: B) 10✔
Izoh: f'(x) = 1 - 25/x² = 0 dan x = 5. Kritik nuqta (kesmada bo'lsa) va chekkalardagi qiymatlar: 29/2, 89/8, 10;
javob 10.
19. x^4 − 5x^2 + 4 = 0 tenglama ildizlari ko'paytmasini toping.
A) 5
B) 4
C) 0
D) 2
To'g'ri javob: B) 4
✔
Izoh: x^2=1 yoki x^2=4, ildizlar ±1, ±2; ko'paytma 1·(−1)·2·(−2)=4.
20. 36! soni 3 ning eng ko'pi bilan qanday darajasiga bo'linadi (daraja ko'rsatkichini toping)?
A) 12
B) 18
C) 16
D) 17
To'g'ri javob: D) 17
✔
Izoh: Lejandr formulasi: [36/3] + [36/3²] + ... = 17.
21. x + y = 3, y + z = 5, z + x = 6 sistema yechimi uchun xyz ni toping.
A) 12
B) 6
C) 15
D) 8
To'g'ri javob: D) 8
✔
Izoh: Hammasini qo'shsak x+y+z=7; z=4, x=2, y=1; xyz=8.
22. ABCDA₁B₁C₁D₁ kubning qirrasi 5 ga teng. Uchlari C₁, B₁, B, A nuqtalarda bo'lgan piramida hajmini
toping.
A) 125/12
B) 125/3
C) 125/6
D) 125/2
To'g'ri javob: C) 125/6
✔
Izoh: Hajm V = |(C₁B₁, C₁B, C₁A)|/6 aralash ko'paytma orqali yoki asos yuzi va balandlik orqali topiladi: V =
125/6.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 99](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_99.png?v=1)
![18-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. Tovar narxi ketma-ket ikki marta 10% dan arzonlashtirildi. Umumiy arzonlashish necha foiz?
A) 20%
B) 21%
C) 18%
D) 19%
To'g'ri javob: D) 19%✔
Izoh: 0,9·0,9=0,81, ya'ni narx 19% ga tushdi.
2. Shaxmat taxtasiga 1×2 o'lchamli domino (ikki qo'shni katakni egallaydi) necha usulda qo'yish
mumkin?
A) 128
B) 56
C) 112
D) 64
To'g'ri javob: C) 112
✔
Izoh: Gorizontal joylar 8·7=56, vertikal ham 56: jami 112.
3. 2cos²x - 3cos x - 2 = 0 tenglamaning [-2π; 2π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 5
B) 4
C) 3
D) 6
To'g'ri javob: B) 4
✔
Izoh: cos x ga nisbatan kvadrat tenglamadan cos x = -1/2 (2 yaroqsiz, chunki |cos x| ≤ 1). Kesmada jami 4 ta
yechim bor.
4. Uchburchakning ikki tomoni 7 va 3 ga teng, uchinchi tomoni juft butun son. Bunday uchburchaklar
nechta?
A) 1
B) 4
C) 2
D) 3
To'g'ri javob: C) 2
✔
Izoh: 4<c<10 va c juft: c=6 yoki 8.
5. x^2 − 3x + 2 ≤ 0 va x^2 − 5x + 4 ≥ 0 tengsizliklar sistemasini yeching.
A) x ≥ 4
B) 1 ≤ x ≤ 2
C) x = 2
D) x = 1
To'g'ri javob: D) x = 1
✔
Izoh: Birinchisi 1≤x≤2, ikkinchisi x≤1 yoki x≥4. Kesishma faqat x=1.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 102](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_102.png?v=1)
![24. 2sin²x - 3sin x - 5 = 0 tenglamaning [0; 3π/2] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 3
B) 0
C) 1
D) 2
To'g'ri javob: C) 1✔
Izoh: sin x ga nisbatan kvadrat tenglamadan sin x = -1 (5/2 yaroqsiz, chunki |sin x| ≤ 1). Kesmada jami 1 ta
yechim bor.
25. Raqamlari yig'indisi 43 ga teng bo'lgan nechta besh xonali son bor?
A) 5
B) 15
C) 10
D) 20
To'g'ri javob: B) 15
✔
Izoh: Yetishmovchilik 45−43=2: bitta raqam 7 (5 usul) yoki ikkita raqam 8 (C(5,2)=10 usul). Jami 15.
26. |x² - 8|x| + 4| = 18 tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
To'g'ri javob: C) 2
✔
Izoh: x ≥ 0 da x² - 8x + 4 = ±18 tenglamalarning manfiy bo'lmagan ildizlari topiladi va juftlik tufayli simmetrik
akslantiriladi: jami 2 ta.
27. a > b > 0 va a^2 + b^2 = 6ab bo'lsa, (a+b)/(a−b) nechaga teng?
A) 4
B) √3
C) √2
D) 2√2
To'g'ri javob: C) √2
✔
Izoh: (a+b)^2=8ab, (a−b)^2=4ab, nisbat kvadrati 2, musbat bo'lgani uchun √2.
28. log₃(x² - 2x + 3) ≤ 1 tengsizlikning butun yechimlari sonini toping.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 5
To'g'ri javob: B) 3
✔
Izoh: Tengsizlik 0 < x² - 2x + 3 ≤ 3 qo'sh tengsizlikka teng kuchli; uni 3 ta butun son qanoatlantiradi.
29. cos 6x = cos 5x tenglamaning eng kichik musbat ildizini toping.
A) 8π/11
B) 4π/11
C) 6π/11
D) 2π/11
To'g'ri javob: D) 2π/11
✔
Izoh: Ikkala ildizlar seriyasidan musbatlarini solishtirib eng kichigini olamiz: 2π/11.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 106](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_106.png?v=1)
![19. Ketma-ketlikning dastlabki n ta hadi yig'indisi S = 2n² + 6n. a₁ + a₁₀ ni toping.ₙ
A) 52
B) 48
C) 268
D) 56
To'g'ri javob: A) 52
✔
Izoh: a₁ = S₁ = 8, a₁₀ = S₁₀ - S₉ = 44; yig'indi 52.
20. Raqamlari ko'paytmasi 12 ga teng bo'lgan nechta uch xonali son bor?
A) 15
B) 12
C) 18
D) 9
To'g'ri javob: A) 15
✔
Izoh: Raqamlar to'plamlari {1,2,6}, {1,3,4} (har biri 6 tartib) va {2,2,3} (3 tartib): 6+6+3=15.
21. 2sin²x + 3sin x - 2 = 0 tenglamaning [-π/2; 3π/2] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
To'g'ri javob: C) 2
✔
Izoh: sin x ga nisbatan kvadrat tenglamadan sin x = 1/2 (-2 yaroqsiz, chunki |sin x| ≤ 1). Kesmada jami 2 ta
yechim bor.
22. y = log_(x + 1)(30 - x²) funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar sonini toping.
A) 7
B) 5
C) 4
D) 6
To'g'ri javob: B) 5
✔
Izoh: Shartlar: 30 - x² > 0, asos x + 1 > 0 va asos ≠ 1. Bu shartlarga 1, 2, 3, 4, 5 butun sonlari mos keladi.
23. Shilliqqurt balandligi 10 m bo'lgan ustunga kunduzi 3 m ko'tariladi, kechasi 2 m pastga tushadi. U
necha kunda ustun tepasiga chiqadi?
A) 10
B) 8
C) 9
D) 7
To'g'ri javob: B) 8
✔
Izoh: 7 sutkada 7 m ko'tariladi, 8-kuni kunduzi yana 3 m chiqib, 10 m ga yetadi.
24. Do'konga keltirilgan olmaning birinchi kuni 40% i, ikkinchi kuni qolganining 50% i sotildi, 90 kg
qoldi. Do'konga necha kg olma keltirilgan?
A) 225
B) 250
C) 360
D) 300
To'g'ri javob: D) 300
✔
Izoh: Qolgan qism x·0,6·0,5=0,3x=90 x=300 kg.
⇒
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 116](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_116.png?v=1)
![19. 6 ta turli sharni 2 ta turli qutiga hech biri bo'sh qolmaydigan qilib necha usulda joylash mumkin?
A) 32
B) 30
C) 62
D) 64
To'g'ri javob: C) 62✔
Izoh: Jami 2^6=64 usul, ulardan 2 tasida bitta quti bo'sh: 64−2=62.
20. 2sin²x + 5cos x - 5 = 0 tenglamaning [0; 3π/2] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 1
B) 2
C) 0
D) 3
To'g'ri javob: A) 1
✔
Izoh: cos x ga nisbatan kvadrat tenglamadan cos x = 1 (3/2 yaroqsiz, chunki |cos x| ≤ 1). Kesmada jami 1 ta
yechim bor.
21. Tanga 4 marta tashlandi. «Gerb»lar soni «raqam»lar soniga teng bo'lish ehtimolini toping.
A) 5/16
B) 1/4
C) 1/2
D) 3/8
To'g'ri javob: D) 3/8
✔
Izoh: C(4,2)/16=6/16=3/8.
22. log₂²x - 1 = 0 tenglama ildizlari ko'paytmasini toping.
A) 0
B) 5/2
C) 1/2
D) 1
To'g'ri javob: D) 1
✔
Izoh: log₂x = t: t² - 1 = 0, t₁ + t₂ = 0. Shuning uchun x₁·x₂ = 2^(t₁ + t₂) = 1.
23. f(x) = 9^x/(9^x + 3) bo'lsa, f(1/101) + f(2/101) + ... + f(100/101) yig'indini hisoblang.
A) 50
B) 51
C) 101/2
D) 100
To'g'ri javob: A) 50
✔
Izoh: f(x) + f(1 - x) = 1 bo'ladi; yig'indidagi 100 ta qo'shiluvchi juftlarga ajraladi, natija 50.
24. sin α = -5/13, α (3π/2; 2π) va cos β = 7/25, β (3π/2; 2π) bo'lsa, cos(α - β) ni toping.
∈ ∈
A) -36/325
B) 253/325
C) 204/325
D) 529/325
To'g'ri javob: C) 204/325
✔
Izoh: Choraklarga ko'ra cos α = 12/13, sin β = -24/25. Qo'shish formulasiga qo'yib 204/325 olinadi.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 127](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_127.png?v=1)
![25. Uch kishi yoshlarining o'rta arifmetigi 20 ga teng. Ularga to'rtinchi kishi qo'shilgach, o'rta arifmetik
23 bo'ldi. To'rtinchi kishi necha yoshda?
A) 26
B) 23
C) 32
D) 29
To'g'ri javob: C) 32✔
Izoh: Yoshlar yig'indisi 60 dan 4·23=92 ga oshdi: 92−60=32.
26. 2cos²x - cos x = 0 tenglamaning [0; 4π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 8
B) 7
C) 9
D) 10
To'g'ri javob: A) 8
✔
Izoh: cos x ga nisbatan kvadrat tenglamadan cos x = 0 yoki 1/2. Kesmada jami 8 ta yechim bor.
27. Ikki xonali son raqamlari yig'indisidan 4 marta katta. Agar unga 27 qo'shilsa, raqamlari teskari
tartibda yozilgan son hosil bo'ladi. Bu sonni toping.
A) 12
B) 36
C) 48
D) 24
To'g'ri javob: B) 36
✔
Izoh: 10a+b=4(a+b) b=2a; 10a+b+27=10b+a b−a=3 a=3, b=6.
⇒ ⇒ ⇒
28. f(x) = x² - x - 12 bo'lsa, f(f(x)) = 0 tenglama nechta turli haqiqiy ildizga ega?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 1
To'g'ri javob: C) 4
✔
Izoh: f(x) ning ildizlari -3 va 4. f(x) = -3 va f(x) = 4 tenglamalar ildizlari diskriminant orqali sanaladi: jami 4 ta.
29. (√3 + √2)^2026 · (√3 − √2)^2025 ni hisoblang.
A) √3 + √2
B) √6
C) 1
D) 5
To'g'ri javob: A) √3 + √2
✔
Izoh: (√3+√2)(√3−√2)=1, demak ifoda (√3+√2)·1^2025=√3+√2.
30. y = cos(3x) + tg(4x/5) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.
A) 2π/3
B) 10π
C) 5π/4
D) 5π/6
To'g'ri javob: B) 10π
✔
Izoh: Qo'shiluvchilar davrlari 2π/3 va 5π/4; yig'indining eng kichik davri ularning eng kichik umumiy karralisi
10π ga teng.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 128](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_128.png?v=1)
![12. 419! soni nechta nol bilan tugaydi?
A) 103
B) 102
C) 101
D) 83
To'g'ri javob: B) 102✔
Izoh: Nollar soni 5 ning darajasi bilan aniqlanadi: [419/5] + [419/25] + [419/125] + ... = 102.
13. Qirrasi 1 ga teng muntazam tetraedrga tashqi chizilgan shar radiusini toping.
A) 3√2/4
B) √6/4
C) √3/2
D) √3/4
To'g'ri javob: B) √6/4
✔
Izoh: R = 3h/4 = a√6/4 = √6/4.
14. Dehqon bo'ri, echki va karamni daryodan o'tkazishi kerak. Qayiqqa dehqondan tashqari faqat
bittasi sig'adi; dehqonsiz bo'ri echki bilan, echki karam bilan qolmasligi kerak. Eng kamida necha
marta daryodan o'tish kerak?
A) 5
B) 6
C) 9
D) 7
To'g'ri javob: D) 7
✔
Izoh: Echki birinchi bo'lib olib o'tiladi va o'rtada qaytarib olinadi: 7 ta o'tish yetarli, kamrog'ida xavfsiz holatlar
orqali borib bo'lmaydi.
15. Sinfda 5 ta o'g'il va 5 ta qiz bor. 5 kishilik guruhni necha usulda tuzish mumkin, agar tarkibida
kamida bitta qiz bo'lsa?
A) 1
B) 251
C) 630
D) 252
To'g'ri javob: B) 251
✔
Izoh: Barcha tanlashlardan faqat o'g'il bolalardan iboratlarini ayiramiz: C(10, 5) - C(5, 5) = 251.
16. x1, x2 — 2x^2 − 3x − 5 = 0 tenglamaning ildizlari. x1/x2 + x2/x1 ni toping.
A) -29/10
B) -19/10
C) 29/20
D) -3/5
To'g'ri javob: A) -29/10
✔
Izoh: x1+x2=3/2, x1x2=−5/2; (x1^2+x2^2)/(x1x2)=(9/4+5)/(−5/2)=−29/10.
17. 1, 2, …, 10 sonlaridan eng kamida nechtasini tanlaganda yig'indisi 11 ga teng ikki son albatta
topiladi?
A) 6
B) 7
C) 10
D) 5
To'g'ri javob: A) 6
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 131](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_131.png?v=1)
![Izoh: Juftliklar (1,10),(2,9),…,(5,6) — 5 ta «quti». 6 ta sondan ikkitasi bir juftlikka tushadi.
18. Ikki sonning yig'indisi 20 ga, kvadratlari ayirmasi 80 ga teng. Katta sonni toping.
A) 14
B) 10
C) 12
D) 16
To'g'ri javob: C) 12✔
Izoh: x^2−y^2=(x−y)(x+y)=80 x−y=4, x+y=20 x=12.
⇒ ⇒
19. n! soni 2^15 ga bo'linadigan eng kichik natural n ni toping.
A) 17
B) 16
C) 14
D) 15
To'g'ri javob: B) 16
✔
Izoh: Lejandr formulasi bilan mos tub sonlarning n! dagi darajalari tekshiriladi; shart birinchi marta n = 16 da
bajariladi.
20. Raqamlari turlicha bo'lgan nechta besh xonali juft son bor?
A) 13785
B) 13767
C) 13776
D) 27552
To'g'ri javob: C) 13776
✔
Izoh: Oxirgi raqam 0 bo'lgan va 2, 4, 6, 8 bo'lgan holatlar alohida sanaladi (birinchi raqam 0 emas): jami
13776.
21. f(x) = -x³ + 6x² + 5 funksiyaning [0; 5] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 5
B) 32
C) 30
D) 37
To'g'ri javob: D) 37
✔
Izoh: f'(x) = -3x² + 12x = 0 dan x = 0, x = 4. Kesmaga tegishli kritik nuqtalar va chekkalardagi qiymatlar
solishtiriladi: max = 37, min = 5.
22. 1^2025 + 2^2025 + 3^2025 + ... + 2026^2025 yig'indining oxirgi raqamini toping.
A) 0
B) 2
C) 1
D) 6
To'g'ri javob: C) 1
✔
Izoh: Oxirgi raqamlar 10 ta qo'shiluvchida davriy takrorlanadi; har bir k uchun k^2025 ning oxirgi raqamini
qo'shib, natijaning oxirgi raqami 1.
23. EKUB(2^30 − 1, 2^18 − 1) ni toping.
A) 7
B) 63
C) 511
D) 3
To'g'ri javob: B) 63
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 132](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_132.png?v=1)
![24-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. f(x) toq funksiya, davri 4 ga teng va [0; 2] kesmada f(x) = -3x² + 6x. f(-2023/2) ni toping.
A) 21/4
B) 9/4
C) 13/4
D) -63/4
To'g'ri javob: B) 9/4✔
Izoh: Davriylikdan f(-2023/2) = f(1/2); kerak bo'lsa toqlik f(x) = -f(-x) qo'llanadi. Natija 9/4.
2. x + y + z = 6, x − y + z = 2, x + y − z = 0 sistema yechimi uchun xyz ni toping.
A) 6
B) 8
C) 4
D) 12
To'g'ri javob: A) 6
✔
Izoh: 1- va 2-tenglamalarni ayirsak y=2, 1- va 3-sidan z=3, so'ng x=1; xyz=6.
3. a, b > 0 va a + 2b = 1 bo'lsa, 1/a + 1/b ning eng kichik qiymatini toping.
A) 2 + 2√2
B) 4
C) 3 + √2
D) 3 + 2√2
To'g'ri javob: D) 3 + 2√2
✔
Izoh: (a+2b)(1/a+1/b)=3+2b/a+a/b≥3+2√2, tenglik a=√2·b da.
4. sin α + cos α = 3/4 bo'lsa, sin α·cos α ning qiymatini toping.
A) -7/32
B) -7/16
C) 25/32
D) 0
To'g'ri javob: A) -7/32
✔
Izoh: (sin α + cos α)² = 1 + 2sin α·cos α, shuning uchun sin α·cos α = (r² - 1)/2 = -7/32.
5. (x^2 + 5)/√(x^2 + 4) ifodaning eng kichik qiymatini toping.
A) 2
B) 9/4
C) 5/2
D) √5
To'g'ri javob: C) 5/2
✔
Izoh: t=√(x^2+4)≥2 da ifoda t+1/t; bu funksiya t≥1 da o'suvchi, eng kichigi t=2 da 5/2 (2 ga erishilmaydi).
6. 1 dan 100 gacha bo'lgan barcha sonlar yozilganda 7 raqami necha marta ishlatiladi?
A) 11
B) 20
C) 10
D) 19
To'g'ri javob: B) 20
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 135](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_135.png?v=1)
![19. Bir sutka (24 soat) davomida soat va minut millari necha marta ustma-ust tushadi?
A) 24
B) 12
C) 22
D) 23
To'g'ri javob: C) 22✔
Izoh: Minut mili soat milini har 12/11 soatda quvib yetadi: 24:(12/11)=22 marta.
20. cos 5x = cos 4x tenglamaning [-π; π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 9
B) 11
C) 10
D) 8
To'g'ri javob: A) 9
✔
Izoh: Ayirmani ko'paytmaga keltirib ikki ildizlar seriyasi olinadi; ularning kesmaga tushgan va
takrorlanmaydigan qiymatlari sanaladi: 9 ta.
21. P(x) = (x^2 − x − 1)^2026 ko'phad koeffitsiyentlarining yig'indisini toping.
A) 2
B) 0
C) 2026
D) 1
To'g'ri javob: D) 1
✔
Izoh: Koeffitsiyentlar yig'indisi P(1)=(1−1−1)^2026=(−1)^2026=1.
22. 1/(1·3) + 1/(3·5) + … + 1/(99·101) yig'indini hisoblang.
A) 100/101
B) 50/101
C) 51/101
D) 49/99
To'g'ri javob: B) 50/101
✔
Izoh: 1/((2k−1)(2k+1))=½(1/(2k−1)−1/(2k+1)), yig'indi ½(1−1/101)=50/101.
23. a + b = 5 va a^3 + b^3 = 35 bo'lsa, ab nechaga teng?
A) 4
B) 7
C) 6
D) 10
To'g'ri javob: C) 6
✔
Izoh: a^3+b^3=(a+b)^3−3ab(a+b) 35=125−15ab ab=6.
⇒ ⇒
24. f(x) = x² - 6x + 5 bo'lsa, f(f(x)) = 0 tenglama nechta turli haqiqiy ildizga ega?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
To'g'ri javob: D) 4
✔
Izoh: f(x) ning ildizlari 1 va 5. f(x) = 1 va f(x) = 5 tenglamalar ildizlari diskriminant orqali sanaladi: jami 4 ta.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 138](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_138.png?v=1)
![25-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. f(x) = x² - 8·ln x funksiyaning eng kichik qiymatini toping.
A) 4 - 8·ln2
B) 4
C) 4 - 4·ln2
D) 8·ln2 - 4
To'g'ri javob: A) 4 - 8·ln2✔
Izoh: f'(x) = 2x - 8/x = 0 dan x = 2 (x > 0); minimum f(2) = 4 - 8·ln2.
2. Doira bo'ylab 10 kishi o'tiribdi (har biri ritsar yoki yolg'onchi). Har biri: «Ikkala qo'shnim ham
yolg'onchi» dedi. Ritsarlar soni eng ko'pi bilan nechta bo'lishi mumkin?
A) 4
B) 6
C) 5
D) 3
To'g'ri javob: C) 5
✔
Izoh: Ritsarlar yonma-yon o'tira olmaydi, demak ≤5. Navbatma-navbat joylashuv (R, Y, R, Y, …) shartni
qanoatlantiradi.
3. N = 3·7³·11² sonining nechta natural bo'luvchisi to'liq kvadrat?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 12
To'g'ri javob: B) 4
✔
Izoh: Kvadrat bo'luvchida har bir tub ko'paytuvchi darajasi juft bo'ladi; har bir e uchun [e/2] + 1 tanlov, jami 4.
4. Ikkita o'yin kubigi tashlandi. Tushgan ochkolar yig'indisi kamida 10 bo'lishi ehtimolligini toping.
A) 5/36
B) 1/6
C) 5/6
D) 7/36
To'g'ri javob: B) 1/6
✔
Izoh: Barcha teng imkoniyatli natijalar 6^2 = 36, qulay natijalar 6; P = 6/36 = 1/6.
5. Uchta o'yin kubigi tashlandi. Barcha kubiklarda turli ochkolar tushishi ehtimolligini toping.
A) 5/9
B) 119/216
C) 121/216
D) 4/9
To'g'ri javob: A) 5/9
✔
Izoh: Barcha teng imkoniyatli natijalar 6^3 = 216, qulay natijalar 120; P = 120/216 = 5/9.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 140](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_140.png?v=1)
![24. ABCDA₁B₁C₁D₁ kubning qirrasi 2 ga teng. C₁C to'g'ri chiziq va A₁BD tekislik orasidagi burchak sinusini
toping.
A) √3/6
B) 2√3/9
C) √3/3
D) √6/3
To'g'ri javob: C) √3/3✔
Izoh: A₁BD tekislik normali n = A₁B × A₁D; sin φ = |u·n|/(|u|·|n|) = √3/3.
25. y = 2x² - 4x + 5 funksiya grafigiga abssissasi x₀ = -2 bo'lgan nuqtada o'tkazilgan urinma Oy o'qini
qaysi ordinatali nuqtada kesadi?
A) -3
B) 45
C) -12
D) 21
To'g'ri javob: A) -3
✔
Izoh: f(-2) = 21, f'(-2) = -12; urinma y = -12x - 3, x = 0 da y = -3.
26. 1·2·3·…·50 ko'paytma 3 ning eng ko'pi bilan qaysi darajasiga bo'linadi?
A) 16
B) 24
C) 22
D) 21
To'g'ri javob: C) 22
✔
Izoh: Lejandr formulasi: [50/3]+[50/9]+[50/27]=16+5+1=22.
27. 1 dan 2026 gacha bo'lgan natural sonlarning nechtasi 35 bilan o'zaro tub?
A) 1390
B) 1332
C) 1389
D) 1388
To'g'ri javob: C) 1389
✔
Izoh: 35 ning tub bo'luvchilari 5, 7; kiritish-chiqarish usuli bilan ularning hech biriga bo'linmaydigan sonlar
sanaladi: 1389.
28. ABCDA₁B₁C₁D₁ kubning qirrasi 1 ga teng. A₁B₁ va BD₁ to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping.
A) 1
B) √6/2
C) 1/2
D) √2/2
To'g'ri javob: D) √2/2
✔
Izoh: To'g'ri chiziqlar ayqash. Masofa = |(B - A₁)·(u × v)|/|u × v|, bu yerda u, v yo'naltiruvchi vektorlar;
hisoblash √2/2 beradi.
29. n natural son bo'lsa, EKUB(n² + 37, n + 3) ning eng katta qiymatini toping.
A) 37
B) 46
C) 9
D) 40
To'g'ri javob: B) 46
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 144](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_144.png?v=1)
![Izoh: y = 2sin 2x ko'rinishga keltiriladi; amplituda 2, shuning uchun -2 ≤ y ≤ 2.
7. sin 6x = cos 4x tenglamaning [0; 2π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 11
B) 10
C) 9
D) 12
To'g'ri javob: B) 10✔
Izoh: Ayirmani ko'paytmaga keltirib ikki ildizlar seriyasi olinadi; ularning kesmaga tushgan va
takrorlanmaydigan qiymatlari sanaladi: 10 ta.
8. Raqamlari turlicha bo'lgan nechta to'rt xonali son mavjud?
A) 4500
B) 5040
C) 3024
D) 4536
To'g'ri javob: D) 4536
✔
Izoh: Birinchi raqam 9 usulda (0 emas), keyingilari 9, 8, 7 usulda: 9·9·8·7=4536.
9. Arifmetik progressiyada a₁ = 81, d = -2. Uning birinchi manfiy hadi nechanchi o'rinda turadi?
A) 41
B) 43
C) 42
D) 40
To'g'ri javob: C) 42
✔
Izoh: a = 81 + (n - 1)(-2) < 0 shartdan n > 83/2; eng kichik natural n = 42.
ₙ
10. f(x) = (1 + x)/(1 - x) va f_n(x) = f(f(...f(x)...)) (f funksiya n marta qo'llangan). f_101(7) ni toping.
A) 3/4
B) -1/7
C) 7
D) -4/3
To'g'ri javob: D) -4/3
✔
Izoh: Ketma-ket qo'llashda qiymatlar 4 qadamda takrorlanadi: f_4(x) = x. 101 ni 4 ga bo'lgan qoldiq 1, shuning
uchun javob -4/3.
11. x + y = 1 va x^3 + y^3 = 19 bo'lsa, x^2 + y^2 nechaga teng?
A) 37
B) 1
C) 13
D) 7
To'g'ri javob: C) 13
✔
Izoh: x^3+y^3=(x+y)^3−3xy(x+y)=1−3xy=19 xy=−6; x^2+y^2=1+12=13.
⇒
12. 3 o'g'il va 3 qizni bir qatorga o'g'il va qizlar navbatlashadigan qilib necha usulda tizish mumkin?
A) 36
B) 720
C) 144
D) 72
To'g'ri javob: D) 72
✔
Izoh: Qator o'g'il yoki qiz bilan boshlanadi (2 usul), har birida 3!·3!=36: jami 72.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 147](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_147.png?v=1)
![13. y = sin(3x/2) + sin(6x) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.
A) 4π/9
B) π/3
C) 4π/3
D) 8π/3
To'g'ri javob: C) 4π/3✔
Izoh: Qo'shiluvchilar davrlari 4π/3 va π/3; yig'indining eng kichik davri ularning eng kichik umumiy karralisi
4π/3 ga teng.
14. Quyidagi sonlardan eng kattasini toping: log₃4, 5/3, log₉25, log₂3.
A) log₂3
B) 5/3
C) log₃4
D) log₉25
To'g'ri javob: B) 5/3
✔
Izoh: Sonlarni oraliq qiymatlar bilan taqqoslash mumkin; taqribiy qiymatlar: log₃4 ≈ 1,262; log₉25 ≈ 1,465;
log₂3 ≈ 1,585; 5/3 ≈ 1,667.
15. Arifmetik progressiyada a₆ + a₉ = 10. Dastlabki 14 ta hadi yig'indisi S₁₄ ni toping.
A) 70
B) 140
C) 65
D) 75
To'g'ri javob: A) 70
✔
Izoh: a₆ + a₉ = a₁ + a₁₄ bo'lgani uchun S₁₄ = (a₁ + a₁₄)·14/2 = 10·14/2 = 70.
16. To'g'ri to'rtburchak ichidagi P nuqtadan uchlargacha masofalar PA = 3, PB = 4, PC = 5 (A va C
qarama-qarshi uchlar). PD ni toping.
A) 2√3
B) √34
C) 4
D) 3√2
To'g'ri javob: D) 3√2
✔
Izoh: To'g'ri to'rtburchakda PA^2+PC^2=PB^2+PD^2 PD^2=9+25−16=18.
⇒
17. f(x) = x + 4/x funksiyaning [1; 3] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) 13/3
B) 4
C) 3
D) 5
To'g'ri javob: D) 5
✔
Izoh: Funksiya [1;2] da kamayadi, [2;3] da o'sadi; f(1)=5, f(3)=13/3. Eng kattasi 5.
18. 1/(√1+√2) + 1/(√2+√3) + … + 1/(√99+√100) ifodaning qiymatini toping.
A) 10
B) 11
C) 9
D) 99
To'g'ri javob: C) 9
✔
Izoh: 1/(√k+√(k+1))=√(k+1)−√k, yig'indi √100−√1=9.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 148](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_148.png?v=1)
![25. Usta va shogird birgalikda ishni 6 kunda, usta yolg'iz 10 kunda bajaradi. Shogird yolg'iz necha
kunda bajaradi?
A) 15
B) 12
C) 4
D) 16
To'g'ri javob: A) 15✔
Izoh: Shogird unumdorligi 1/6−1/10=1/15, ya'ni 15 kun.
26. cos 4x = cos x tenglamaning [0; 2π] kesmadagi barcha ildizlari yig'indisini toping.
A) 8π
B) 17π/2
C) 6π
D) 10π
To'g'ri javob: A) 8π
✔
Izoh: Ildizlar ikki seriyadan iborat; kesmadagi 8 ta turli ildiz qo'shilsa, yig'indi 8π chiqadi.
27. a₁ = -2, a_(n+1) = 2a + 1 bo'lsa, a₈ ni toping.
ₙ
A) -129
B) -65
C) -257
D) -128
To'g'ri javob: A) -129
✔
Izoh: a - (-1) ketma-ketligi maxraji 2 bo'lgan geometrik progressiya: a₈ = (-2 - (-1))·2^7 + (-1) = -129.
ₙ
28. 25^x - 2·5^x - 15 = 0 tenglamaning ildizini toping.
A) 1
B) 3
C) 0
D) 2
To'g'ri javob: A) 1
✔
Izoh: 5^x = t > 0 almashtirishdan t = 5 yoki t = -3; manfiy qiymat yaroqsiz, demak x = 1.
29. x^2 + y^2 = 8 bo'lsa, xy ning eng katta qiymatini toping.
A) 2√2
B) 4
C) 8
D) 2
To'g'ri javob: B) 4
✔
Izoh: 2xy≤x^2+y^2=8, demak xy≤4, tenglik x=y=2 da.
30. Sinfdagi o'g'il va qizlar soni 3 : 5 nisbatda. Sinfga yana 6 ta o'g'il kelgach, nisbat 3 : 4 bo'ldi. Dastlab
sinfda nechta o'quvchi bo'lgan?
A) 64
B) 48
C) 40
D) 32
To'g'ri javob: A) 64
✔
Izoh: (3k+6)/5k=3/4 12k+24=15k k=8; o'quvchilar 8k=64.
⇒ ⇒
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 150](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_150.png?v=1)
![12. f(x) = x + 36/x funksiyaning [6; 11] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 13
B) 12
C) 157/11
D) 6
To'g'ri javob: B) 12✔
Izoh: f'(x) = 1 - 36/x² = 0 dan x = 6. Kritik nuqta (kesmada bo'lsa) va chekkalardagi qiymatlar: 12, 157/11; javob
12.
13. n^2+n+41 ifoda murakkab son bo'ladigan eng kichik natural n ni toping.
A) 10
B) 40
C) 41
D) 39
To'g'ri javob: B) 40
✔
Izoh: n=1,…,39 da qiymatlar tub, n=40 da esa 40^2+40+41=41^2 murakkab.
14. Ikki xonali son va uning raqamlarini teskari tartibda yozishdan hosil bo'lgan son ayirmasi har doim
bo'linadigan eng katta natural sonni toping.
A) 3
B) 11
C) 18
D) 9
To'g'ri javob: D) 9
✔
Izoh: (10a+b)−(10b+a)=9(a−b); a−b=1 bo'lishi mumkin, demak doim bo'linadigan eng katta son 9.
15. Ritsarlar doim rost, yolg'onchilar doim yolg'on gapiradi. A: «B — yolg'onchi». B: «A va men bir xil
turdamiz». A va B kim?
A) ikkalasi ham yolg'onchi
B) ikkalasi ham ritsar
C) A yolg'onchi, B ritsar
D) A ritsar, B yolg'onchi
To'g'ri javob: D) A ritsar, B yolg'onchi
✔
Izoh: B ritsar bo'lsa A ham ritsar, lekin A ning gapi yolg'on bo'lib qoladi — ziddiyat. Demak B yolg'onchi, A u
bilan har xil turda — ritsar.
16. Qutida 3 ta qizil va 2 ta ko'k shar bor. Tavakkaliga 2 ta shar olindi. Ulardan aynan 1 tasi qizil
bo'lishi ehtimolligini toping.
A) 3/5
B) 3/10
C) 2/5
D) 7/10
To'g'ri javob: A) 3/5
✔
Izoh: Barcha tanlashlar C(5, 2) = 10, qulaylari C(3, 1)·C(2, 1) = 6; P = 3/5.
17. 30 o'quvchili sinfda bir oyda tug'ilgan o'quvchilar soni eng kamida nechta bo'lishi kafolatlanadi?
A) 12
B) 2
C) 4
D) 3
To'g'ri javob: D) 3
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 153](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_153.png?v=1)
![Izoh: (x - 6)(x - 7) = 42 tenglamaning ildizlari 13 va 0; aniqlanish sohasi x > 7 bo'lgani uchun faqat x = 13
yaroqli.
7. x^2 + y^2 = 1 bo'lsa, 3x + 4y ning eng katta qiymatini toping.
A) 5
B) 4
C) 5√2
D) 7
To'g'ri javob: A) 5✔
Izoh: Koshi–Bunyakovskiy: (3x+4y)^2≤(9+16)(x^2+y^2)=25, tenglik x=3/5, y=4/5 da.
8. 2cos²x - 5cos x = 0 tenglamaning [0; π] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 3
B) 0
C) 2
D) 1
To'g'ri javob: D) 1
✔
Izoh: cos x ga nisbatan kvadrat tenglamadan cos x = 0 (5/2 yaroqsiz, chunki |cos x| ≤ 1). Kesmada jami 1 ta
yechim bor.
9. Tovar tannarxidan 25% qimmat sotildi va 50 000 so'm foyda olindi. Tovar necha so'mga sotilgan?
A) 250000
B) 300000
C) 225000
D) 200000
To'g'ri javob: A) 250000
✔
Izoh: Tannarxning 25% i 50 000 tannarx 200 000, sotish narxi 250 000 so'm.
⇒
10. Avtomobil 3 soat 60 km/soat, so'ng 2 soat 90 km/soat tezlikda yurdi. Butun yo'ldagi o'rtacha
tezlik qancha (km/soat)?
A) 70
B) 72
C) 75
D) 80
To'g'ri javob: B) 72
✔
Izoh: Yo'l 180+180=360 km, vaqt 5 soat: 360/5=72 km/soat.
11. a = n² - 24n + 3 ketma-ketlikning eng kichik hadini toping.
ₙ
A) -141
B) -139
C) -140
D) -142
To'g'ri javob: A) -141
✔
Izoh: Parabola uchi n = 12; eng yaqin natural son(lar) 12 da eng kichik had -141 ga teng.
12. 5 kishini dumaloq stol atrofiga necha usulda o'tqazish mumkin (faqat qo'shnilar tartibi muhim)?
A) 60
B) 12
C) 120
D) 24
To'g'ri javob: D) 24
✔
Izoh: Aylana bo'ylab joylashtirishlar soni (n−1)!=4!=24 (aylantirishlar bir xil hisoblanadi).
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 158](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_158.png?v=1)
![29-variant
Olimpiada mashq testlari • bitta to'g'ri javob
1. 2026! sonining oxirida nechta nol bor?
A) 404
B) 506
C) 505
D) 500
To'g'ri javob: C) 505✔
Izoh: Lejandr formulasi: [2026/5]+[2026/25]+[2026/125]+[2026/625]=405+81+16+3=505.
2. 1 dan 100 gacha bo'lgan sonlardan nechtasining natural bo'luvchilari soni toq?
A) 11
B) 9
C) 10
D) 50
To'g'ri javob: C) 10
✔
Izoh: Bo'luvchilar soni faqat to'liq kvadratlarda toq bo'ladi: 1,4,…,100 — 10 ta.
3. f(x) = ax³ + bx² - 3 funksiya x = 1 nuqtada -4 ga teng minimumga erishadi. a ni toping.
A) -1
B) -3
C) 2
D) 5
To'g'ri javob: C) 2
✔
Izoh: f'(1) = 0 va f(1) = -4 sistemasidan a = 2, b = -3; f''(1) = 6 ishorasi minimumni tasdiqlaydi.
4. f(x) = x + 9/x funksiyaning [1; 6] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
A) 3
B) 6
C) 10
D) 15/2
To'g'ri javob: B) 6
✔
Izoh: f'(x) = 1 - 9/x² = 0 dan x = 3. Kritik nuqta (kesmada bo'lsa) va chekkalardagi qiymatlar: 10, 15/2, 6; javob
6.
5. 1 + x + x^2 + x^3 = 0 tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?
A) 2
B) 3
C) 1
D) 0
To'g'ri javob: C) 1
✔
Izoh: 1+x+x^2+x^3=(1+x)(1+x^2); 1+x^2>0, demak yagona ildiz x=−1.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 162](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_162.png?v=1)
![Izoh: tg α + ctg α = 1/(sin α·cos α), sin α·cos α = 9/32, natija 32/9.
7. 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + 8·8! yig'indini hisoblang.
A) 362879
B) 362880
C) 362881
D) 322560
To'g'ri javob: A) 362879✔
Izoh: k·k! = (k + 1)! - k! bo'lgani uchun yig'indi teleskopik: (8 + 1)! - 1 = 362879.
8. cos 5x = cos 3x tenglamaning [0; 3π/2] kesmadagi ildizlari sonini toping.
A) 6
B) 7
C) 9
D) 8
To'g'ri javob: B) 7
✔
Izoh: Ayirmani ko'paytmaga keltirib ikki ildizlar seriyasi olinadi; ularning kesmaga tushgan va
takrorlanmaydigan qiymatlari sanaladi: 7 ta.
9. log₂3 = a va log₃5 = b bo'lsa, log₃₆60 ni a va b orqali ifodalang.
A) (2 + a + ab)/(2 + 2a)
B) (2 + a + ab)/(2 + a)
C) (2 + a + ab)/(2 + 2a - ab)
D) (3 + a + ab)/(2 + 2a)
To'g'ri javob: A) (2 + a + ab)/(2 + 2a)
✔
Izoh: 2 asosga o'tamiz: log₂5 = log₂3·log₃5 = ab; log₃₆60 = log₂60/log₂36 = (2 + a + ab)/(2 + 2a).
10. 5×5 katakli kvadrat to'rda tomonlari to'r chiziqlari bo'ylab ketgan nechta to'g'ri to'rtburchak bor?
A) 225
B) 400
C) 100
D) 55
To'g'ri javob: A) 225
✔
Izoh: 6 ta gorizontal chiziqdan 2 tasi va 6 ta vertikal chiziqdan 2 tasi: C(6,2)^2=15^2=225.
11. f(x) = 1/(1 - x) va f_n(x) = f(f(...f(x)...)) (f funksiya n marta qo'llangan). f_2024(2) ni toping.
A) -1
B) 1/2
C) 2
D) 3/2
To'g'ri javob: B) 1/2
✔
Izoh: Ketma-ket qo'llashda qiymatlar 3 qadamda takrorlanadi: f_3(x) = x. 2024 ni 3 ga bo'lgan qoldiq 2,
shuning uchun javob 1/2.
12. a = n² - 10n + 13 ketma-ketlikning eng kichik hadini toping.
ₙ
A) -11
B) -12
C) -10
D) -13
To'g'ri javob: B) -12
✔
Izoh: Parabola uchi n = 5; eng yaqin natural son(lar) 5 da eng kichik had -12 ga teng.
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 169](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_169.png?v=1)
![Izoh: f'(x) = 3x² - 6x - 45 = 3(x + 3)(x - 5) < 0 da funksiya kamayadi: [-3; 5], uzunligi 8.
12. Butun sonning kubini 9 ga bo'lganda quyidagi qoldiqlardan qaysi biri hosil bo'lishi mumkin?
A) 5
B) 4
C) 2
D) 8
To'g'ri javob: D) 8✔
Izoh: Kubni 9 ga bo'lgandagi qoldiq faqat 0, 1 yoki 8 bo'ladi; variantlardan faqat 8 mos keladi.
13. n natural son bo'lsa, EKUB(n² + 1, n + 9) ning eng katta qiymatini toping.
A) 10
B) 1
C) 81
D) 82
To'g'ri javob: D) 82
✔
Izoh: n² + 1 = (n + 9)(n - 9) + 82, shuning uchun EKUB = EKUB(n + 9, 82); n + 9 = 82 da maksimum 82 erishiladi.
14. Qavariq 12 burchakning hech qaysi uchta diagonali bir nuqtada kesishmaydi. Diagonallarning
ko'pburchak ichidagi kesishish nuqtalari soni nechta?
A) 495
B) 96
C) 54
D) 220
To'g'ri javob: A) 495
✔
Izoh: Har bir kesishish nuqtasi 4 ta uch bilan bir qiymatli aniqlanadi: C(12, 4) = 495.
15. x^2 + px + q = 0 tenglamaning ildizlari p va q ga teng (p, q ≠ 0). p + q ni toping.
A) -2
B) -1
C) 3
D) 0
To'g'ri javob: B) -1
✔
Izoh: Viyet: p+q=−p, pq=q p=1, q=−2; p+q=−1.
⇒
16. 57^2023 sonining oxirgi ikki raqamini toping.
A) 43
B) 93
C) 01
D) 49
To'g'ri javob: B) 93
✔
Izoh: 57^k ning 100 ga bo'lgandagi qoldiqlari davriy; Eyler teoremasi va qoldiqlar davri yordamida 57^2023 ≡
93 (mod 100), demak oxirgi ikki raqam 93.
17. x + y = 2, x^3 + y^3 = 26 sistemada x ning eng katta qiymatini toping.
A) 5
B) 2
C) 4
D) 3
To'g'ri javob: D) 3
✔
Izoh: 8−6xy=26 xy=−3; x, y — t^2−2t−3=0 ning ildizlari 3 va −1.
⇒
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 187](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_187.png?v=1)
![18. {1, 2, ..., 13} to'plamdan nechta usulda 2 ta son tanlash mumkinki, ular orasida ketma-ket keluvchi
ikki son bo'lmasin?
A) 66
B) 12
C) 55
D) 78
To'g'ri javob: A) 66✔
Izoh: Tanlangan sonlarni b_i = a_i - (i - 1) almashtirish bilan 12 ta sondan erkin tanlashga keltiramiz: C(12, 2) =
66.
19. Muntazam ko'pburchakning ichki burchagi 156° ga teng. Uning nechta tomoni bor?
A) 13
B) 18
C) 12
D) 15
To'g'ri javob: D) 15
✔
Izoh: Tashqi burchak 180°−156°=24°, n=360°/24°=15.
20. Tomoni 24 sm bo'lgan kvadrat shaklidagi tunukaning burchaklaridan teng kvadratlar qirqib olinib,
ustki qismi ochiq quti yasaldi. Qutining eng katta hajmini toping (sm³).
A) 864
B) 2048
C) 1024
D) 512
To'g'ri javob: C) 1024
✔
Izoh: V(x) = x(24 - 2x)², V'(x) = 0 dan x = 4 sm. Eng katta hajm V = 1024 sm³.
21. f(x) = x² - 8x + 8 funksiyaning [-2; 6] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari yig'indisini
toping.
A) 24
B) 21
C) 20
D) 36
To'g'ri javob: C) 20
✔
Izoh: Parabola uchi x = 4 kesmaga tegishli, eng kichik qiymat f(4) = -8; eng katta qiymat chekkalarda: 28.
Yig'indi 20.
22. ABCDA₁B₁C₁D₁ kubning qirrasi 3 ga teng. Uchlari B, D, D₁, C nuqtalarda bo'lgan piramida hajmini
toping.
A) 9/4
B) 27/2
C) 9/2
D) 9
To'g'ri javob: C) 9/2
✔
Izoh: Hajm V = |(BD, BD₁, BC)|/6 aralash ko'paytma orqali yoki asos yuzi va balandlik orqali topiladi: V = 9/2.
23. x^2 − 5|x| + 6 = 0 tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?
A) 2
B) 1
C) 4
D) 3
To'g'ri javob: C) 4
✔
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 188](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_188.png?v=1)
![6. 200 g 10% li tuz eritmasiga necha gramm suv qo'shilsa, 8% li eritma hosil bo'ladi?
A) 20
B) 25
C) 50
D) 40
To'g'ri javob: C) 50✔
Izoh: Tuz 20 g. 20/(200+x)=0,08 200+x=250 x=50 g.
⇒ ⇒
7. x^(log₃x + 3) = 1/9 tenglama ildizlari yig'indisini toping.
A) 1/9
B) 4/9
C) 1/27
D) -3
To'g'ri javob: B) 4/9
✔
Izoh: 3 asosda logarifmlab t = log₃x uchun t² + 3t = -2: t = -2 yoki -1; ildizlar 1/9 va 1/3.
8. Arifmetik progressiyada a₄ + a₁₄ = 14. Dastlabki 17 ta hadi yig'indisi S₁₇ ni toping.
A) 126
B) 238
C) 112
D) 119
To'g'ri javob: D) 119
✔
Izoh: a₄ + a₁₄ = a₁ + a₁₇ bo'lgani uchun S₁₇ = (a₁ + a₁₇)·17/2 = 14·17/2 = 119.
9. (x − 2)^2·(x + 3) < 0 tengsizlikning eng katta butun yechimini toping.
A) 2
B) -3
C) 1
D) -4
To'g'ri javob: D) -4
✔
Izoh: (x−2)^2≥0, nolga teng bo'lmasligi va x+3<0 bo'lishi kerak x<−3; eng kattasi −4.
⇒
10. f(x) = x^2 − 4x funksiyaning [−1; 3] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
A) -3
B) -4
C) 0
D) 5
To'g'ri javob: D) 5
✔
Izoh: Parabolaning uchi x=2 da minimum beradi; maksimum kesma uchlarida: f(−1)=5, f(3)=−3. Javob 5.
11. Geometrik progressiyada b₁ = 7, q = 3 va S = 68887. n ni toping.
ₙ
A) 10
B) 11
C) 8
D) 9
To'g'ri javob: D) 9
✔
Izoh: S = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1) dan 3ⁿ = 19683, n = 9.
ₙ
Matematika olimpiada savollari — mashq testlari | 192](https://docx.uz/documents/a75dc924-f2fa-4eb9-96dc-6625f56b0485/page_192.png?v=1)
FAN OLIMPIADASI: MATEMATIKA
7–11-sinflar uchun olimpiada savollari — tayyorgarlik to'plami (mashq testlari), javoblari va izohlari bilan, 2026
34 ta variant • 1020 ta topshiriq • javoblari bilan
Mashq to'plami • 2026–2027 o'quv yili
Imtihon tuzilishi va yo'riqnoma
• Ushbu tayyorgarlik to'plami matematika fanidan olimpiadaning maktab, tuman (shahar) va viloyat bosqichlariga tayyorlanayotgan 7–11-sinf o'quvchilari, fan o'qituvchilari va repetitorlar uchun.
• Savollar oddiy maktab testlaridan qiyinroq — olimpiada uslubida: ko'p bosqichli fikrlash va «tuzoq» variantlar bilan. Mavzular: sonlar nazariyasi, algebra, tenglama va tengsizliklar, planimetriya va stereometriya, kombinatorika, funksiyalar, logarifm, trigonometriya; 1-qism 7–9-sinf, 2-qism 10–11-sinf darajasida.
• To'plam: 34 ta variant × 30 ta savol = 1020 ta mashq testi. Har bir savol ostida to'g'ri javob va qisqa izoh, hujjat oxirida javoblar kaliti bor.
• Tavsiya: variantni vaqt belgilab (har bir savolga 2–3 daqiqa) javoblarga qaramasdan ishlang, so'ng izohlarni o'qib, xato qilingan mavzularni chuqurroq takrorlang.
• Muhim: bu mashq testlari — rasmiy olimpiada topshiriqlari yoki ularning javoblari emas. Olimpiada bosqichlari, formati va topshiriq turlari har yili e'lon qilinadi: rasmiy nizom va e'lonlardan aniqlang.
-
O'xshash dokumentlar
- Algebra materiallarini o‘rganish metodikasi
- Algebra va sonlar nazariyasi
- Aniq integral yordamida egri chiziqlar yoyi uzunligini hisoblash
- Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
- Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba