Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir metrik masalalar - Fizika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	966.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Iyun 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Fizika

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir metrik masalalar

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat unversiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi
Muhammadova Muattar Jo‘rabek qizining
Analitik geometriya fanidan
“ Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli
tenglamalariga doir metrik masalalar ” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: B. Toshbuvayev

FARG‘ONA– 2025

MUNDARIJA
KIRISH………………………………………………………...3
I BOB. KOORDINATALAR SISTEMASI………………….6
1.1-§. Geometriyani kelib chiqishi…………………………......6
1.2-§. Dekart koordinatalar sistemasi…………………………12
II BOB. TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIKKA DOIR
METRIK MASALALAR……………………………………15
2.1-§. To‘g‘ri chiziq haqida ma’lumotlar……………………..15
2.2-§. To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi………………...18
2.3-§. To‘g‘ri chiziq va u bilan bog‘liq metrik masalalar ……20
XULOSA…………………………………………………….27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………28

KIRISH
“ Bugun o‘qib , ertaga hayotda
Munosib o‘rin topasizlar . Sizlar yurtimiz
orzularini ro‘yobga chiqaradigan yangi
avlod bo‘lishingiz kerak “ .
Shavkat Mirziyoyev .
O‘zbekiston rivojlangan mamlakatlar qatoriga qo‘shilishi uchun fan
va texnikani rivojlantirish kerak. Matematikani rivojlantirish bunga devor
vazifasini o‘taydi.
Mamlakatimizda matemtika 2021-yildagi ilm fan rivojlantirishning
ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan asr ichida matematika
ilm-fan va ta’limni yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator
tizimli ishlar amalgam oshirildi. Jumladan oliy ta’lim va ilmiy tatqiqotlarning
o‘zaro integrallashuvini ta’minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar
Akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi matematika institutining yangi
va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental
taqdimotlarini moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi. Budjet
mablag‘lari hisobidan super kompyuterlar zamonaviy texnika va asbob
uskunalar xarid qilindi. Ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi
bosqichi sifatida stajior tatqiqotlik instituti joriy etildi. Ilm-fan sohasidagi
ustuvor muommolarni tezkor bartaraf etish , fan talim va ishlab chiqarish
integratsiyasining kuchaytirish masalasini hukumat darajasida belgilash
maqsadida O‘zbekiston Respublikasini Bosh Vazir raisligida fan va
texnalogiya bo‘yicha respublika kengashligi tashkil etildi. Shu bilan birga
sohada yechimini topmagan qator masalalar matematika sohasidagi ta’lim
sifati va ilmiy taqdiqot samaradorligini oshirishga qaratilgan chora-tadbirlarni
amalga oshirish zarurligini ko‘rsatmoqda. O‘z oldiga ilg‘or va rivojlangan
mamlakatlar qatoridan joy olishni maqsad qilgan mustaqil O‘zbekistonimizda,
barcha sohalarda keng qamrovli ishlar amalga oshirilmoqda, shu jumladan ta’lim

sohasidaham. “Ta’lim to‘g‘risida”gi O‘zbekiston Respublikasi qonuni hamda
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” qabul qilinganidan so‘ng mamlakatning
ijtimoiy va iqtisodiy taraqqiyoti istiqbollari, jamiyat extiyojlari, fan, texnika va
texnalogiyaning zamonaviy yutuqlarini hisobga olgan holda milliy mafkura va
milliy g‘oyaga monand ta’lim tizimini isloh qilinib amaliyotiga joriy etila
boshladi. Mamlakatimizda ta’lim sohasidagi islohatlar kadrlar tayyorlash milliy
dasturi talablariga monand amalga oshirilib u " har tomonlama kamol topgan,
jamiyatda turmushga moslashgan, ta’lim va kasb-hunar dasturlarini ongli ravishda
tanlashga keyinchalik puxta o‘zlashtirish uchun ijtimoiy-siyosiy, huquqiy,
psixologik-pedagogik va boshqa tarzdagi sharoitlarni yaratishni, jamiyat, davlat va
oila oldida o‘z javobgarligini xis etadigan fuqorolarni tarbiyalashni nazarda tutadi"
Uzluksiz ta’lim tizimining umumiy ta’lim maktablari uchun matematikadan
bugungi kunda qo‘llanilayotgan darslik va o‘quv uslubiy qo‘llanmalar
o‘quvchilarga chuqur nazariy bilimlar berish, vatanga sadoqat, yuksak axloq,
ma’naviyat va ma’rifat, mehnatga vijdonan munosabatda bo‘lish ruhida
tarbiyalash, xozirgi zamon bozor iqtisodiyotini hisobga olgan holda har bir jamiyat
a’zosining mehnat va kundalik hayoti uchun zarur bo‘lgan matematik bilim,
ko‘nikma va malakani tarkib toptirish bilan bir qatorda davlat ta’lim standartlarida
belgilab qo‘yilgan bo‘lgani uchun ham bu yerda, matematika o‘qitishda
o‘quvchilarning ilgari olgan bilimlarini chuqurlashtirish, amaliyotda tadbiq
qilishda abstrakt va mantiqiy fikrlashni o‘stirish;o‘quvchilarda izchil mantiqiy
fikrlashni shakillantirib borish natijasida ularning aql-zakovati rivojiga, tabiat
vajamiatdagi muammolarni hal etishning maqbul yo‘llarini topa olishga
ko‘maklashishi;o‘quvchilarni vatanparvarlik, milliy g‘ururni tarkib toptirishni
rivojlantirish;o‘quvchilarni qomusiy olimlarimizning matematika rivojiga
qo‘shgan ulkan hissalaridan xabardor qilish;Jamiyat tarqqiyotida matematikaning
ahamiyatini his

qilgan holda
umuminsoniy madaniyatning tarkibiy qismi sifatida matematika to‘g‘risidagi
tasavvurlarni shakllantirish
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liq.Ta’lim-tarbiya
jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini sabarbar etish
o‘qituvchilarnining birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish
maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir.Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab olishni,
qobilyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil,
ma’sulyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash va
e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab
qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir
darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan
ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu
hajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan
bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-
ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha
ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalaridan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir.Dars davomida o‘qituvchi
o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi
kerak.
Kurs ishining maqsadi: Dekar koordinatalar sistemasi, dekart koordinatalar
sistemasida to‘g‘ri chiziq va tekislik va ularga doir metrik masalalar haqida
ma’lumot berish.

Kurs ishining predmeti: Analitik geometriya fanini o‘qitish metodlari va
vositalari
Kurs ishining maqsadi va vazifalari:
Mavzuga doir ma’lumotlarni to‘plash va aniq rejani shakllantirish;
Geometriya fanini kelib chiqishi haqida malumot berish;
Dekart koordinatalari sistemasi haqida malumot berib ketish;
Dekart reperida to‘g‘ri chiziq va tekislikka doir mertik masalalar mavzusini
yoritib berish.
I BOB. KOORDINATALAR SISTEMASI
1.1-§. Geometriyaning kelib chiqishi.
Geometriya (geo va metriya) matematikaning predmet va shakllarini
o‘rganadigan bo‘limi. Yer o‘lchach bilan bog‘liq ravishda paydo bo‘lgan.
Nomi shundan. Masalan, ochiq silindrsimon idishning shakli, hajmi, sirtining
yuzi geometriya o‘rganish obyektlari, uning rangi yoki qanday moddadan
yasalgani esa geometriyani qiziqtirmaydi. Shuningdek, asosi doira bo‘lsa ham,
shaklda ellips bilan tassvirlanishi geometriyaga mansub munosabatdir.
Geometriya tushunchalarini mavhumlashtirib, ideallashtitib o‘ l ganadi. Masalan,
silindirsimon idishning asosi doiradan biroz farq qilishi, yasovchisi to‘ppa-
to‘g‘ri bo‘lmasligi mumkin, sirti qalinlikga ega, asosi bilan yon sirti tik
tutashmay, silliqlangan bo‘ladi, lekin geometriyada bu kabi tafsilotlar soqit
qilinadi. Shunday yo‘l bilan o‘lchamlarga ega bo‘lmagan nuqta, har ikki tomonga
cheksiz davom etuvchi to‘g‘ri chiziq kabi tushunchalar, parallelik, simmetriklik
kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng, ma’lum
ma’noda mutlaq va universal tabiatli qonuniyat aniqlanadi.

Geometriya oid dastlabki ma’lumotlar Qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv
yo‘li (empirik usul) bilan to‘plangan. Masalan, bir juft parallel to‘g‘ri chiziqni
uchinchi to‘g‘ri chiziq kesib o‘tsa, hosil bo‘lgan 8 ta burchakdan to‘rttadani o‘zaro
teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik bo‘lgan uchburchakning bir burchagi to‘g‘ri.
Geometrik xossalari to‘plash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo
ustida mushohada ayrim dalilarni boshqalaridan sof mantiqiy mushohada bilan
keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlangan.
Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil.av.625-548yillar) teoremasidir.
Yunon faylasufi Pifagor akademyasida mantiq va matematika muhim o‘rin tutib,
muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shug‘ullangan. Tabiiyki, bunda imkoni
boricha oz dalildan boshqa barcha dalilarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu
urinishlar yakuni sifatida Yevklid o‘zining mashhur “Negizlar” asrini yaratadi. Bu
asar nafaqat matematik tarixida, balki umuman tafakkur taraqiyotida beqiyos o‘rin
tutib, 2000- yil davomida mantiqiy mushohada namunasi bo‘lib xizmat qildi.
“Negizlar” da Yevklid nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik, tenglik, to‘g‘ri chiziq yoki
tekislikning nuqtadan o‘tishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib,
kesma, burchak, ko‘pburchak, parallelik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga
ta’rif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular
aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib
chiqaradi.
Qadimgi Misr va Bobilda geometriya amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini
o‘lchash, navigatsiya, astronomiya, me’morlik masalalarini hal qilish uchun
vujudga kelgan bo‘lsa, Yunonistonda geometriya san’at sifatida ham rivojlanib,
yuksak natijalarga erishdi. Xususan, sirkul va chizg‘ich yordamida shakllar yasash
rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erishgan darajasi shundan ham ko‘rinadiki,
ular qo‘ygan muntazam ko‘pburchaklar yasash masalasi 1796y. (K.F.Gauss), doyra
kvadraturasi masalasi esa 1882y.dagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira
va ayrim egri chiziqli shakllar yuzlari, piramida, konus va shar hajmlarini
hisoblashda integral hisob elementlari qo‘llaganlar (Arximed va b.). Pergalik

Apolloniyga mansub konus kesimlari nazriyasini esa shubhasiz yunon
geometriyasining gultojisi deyish mumkin.
Milodning 3-asridan keyin yunon geometriyasi umuman madaniyat bilan
birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin geometriya arab sharqi mamlakatkatlari, O‘rta
Sharq, xususan, O‘rta Osiyolik olimlar faoliyati bilan bog‘liq. Ahmad al-Farg‘oniy
stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi,
tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy,
Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b.).Algebra geometriyaga va geometriya algebraga
tatbiq qilina boshladi. Bu go‘yalar 16-asrdan Yevropa olimlari tomonidan
rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P.Ferma, R.Dekart). Shu
davrdan boshlab me’morchilik va tasviriy san’at yuksalishi munosabati bilan
perspektiv akslantirish xossalari o‘rganiladi va proyektiv geometriya vujudga
keldi. 18-asrda differensial geometriya rivojlandi. Yevklidning “Negizlari” 2000
yil davomida mantiqiy qat’iylik namunasi bo‘lib kelganligiga qaramay, uning
ayrim o‘rinlariga tanqidiy nazar bilan qaralib takomillashtirilgan: boshlang‘ich
tushunchalar tarkibi qayta ko‘rib chiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va
uzluksizlik aksiomalari bilan to‘ldirilgan, qator akssiomalari bilan to‘ldirilgan,
qator aksiomalar esa boshqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga o‘tkizilgan.
Bu ish D. Gilbertning “Geometriya asoslari” asarida yakunlandi.Deyarli Yevklid
zamonidan boshlab uning 5-postulati yoki unga teng kuchli parallelik aksiomasini
isbotlashga juda ko‘p urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. G.
Lambert), chunki matematiklarda u teorema bo‘lishi kerak degan ishonch hukm
surgan, xilma-xil “isbotlar” ham taklif etilgan, lekin bu isbotlarning barchasida
mantiqiy nosozlik uchraydi-Yevklid aksiomasiga teng kuchli boshqa tasdiqdan
(masalan, uchburchak burchaklarning yig‘indisi 180 ga tengligidan) foydalanib
ketilgan.
Geometriya quyidagi bo‘limlardan iborat: Elementar geometriya –
Planimetriya va Stereometriyani o‘z ichiga oladi. Shuningdek, nuqta, to‘g‘ri
chiziq, yuza va fazodagi jismlarni o‘rganadi. Analitik geometriya – unda soda

geometrik obrazlar (nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va sirtlar )
koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan o‘rganadi.
“Geometriya”- grekcha so‘z bo‘lib, o‘zbek tilida “Yer o‘lchash” degan
ma’noni beradi. Geometriya birinchi marta bundan 4000 yil muqaddam Misr va
Bobilda vujudga kelgan. Eramizdan oldingi V asrda yashagan grek tarixchisi
Geradot geometriyaning vujudga kelishi haqida bunday deydi: “Misr shohi Soetros
har bir misrlikka qura bo‘yicha yer maydoni ajratib berar va yer egasidan shu yerga
mos soliq undirar edi. Agar Nil daryosi toshib biror kishining yerini yuvib ketsa, u
shohga xabar berar va shoh tanobchilar yuborib, u kishining yeri qanchaga
kamayganligini aniqlalar hamda unga mos ravishda soliqni ham kamaytirar edi.
Geometriya mana shunday paydo bo‘lgan, so‘ngra I resiyaga o‘tgan.Bu haqida
grek olimlaridan biri Evdem (eramizdan oldingi IV asr) bunday yozadi:
Geometriyani misrliklar kashf etgan, u yer o‘lchash natijasida vujudga kelgan. Bu
o‘lchashlar doim yerlarning chegarasini yuvib ketadigan Nil daryosining
toshqinlari tufayli hosil bo‘lgan. Bu fan ham boshqa fanlar singari, kishilarning
ehtiyoji tufayli vujudga kelgan .Demak, geometriyani insoniyatning ehtiyoji
vujudga keltirgan, ya’ni ular to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazishlari, maydonlarning yuzini
hisoblashlari, buyumlarning hajmini aniqlashlari zarur bo‘lgani uchun ham u
Misrda bo‘lmasa boshqa biror mamlakatda, albatta, vujudga kelar edi. Haqiqatan,
matematikada ana shunday holatlar juda ko‘p uchraydi. Turli mamlakatlarning
matematiklari bir-birlaridan bexabar holda ayni bir teoremani kashf etganliklari,
ayni bir masalani bir xil usulda yechganliklari haqidagi ma’lumotlar ko‘p.
Misr va Gretsiya. Qadimgi misrliklar bir necha yillar davomida asta-sekin turli
sohalarda ilmiy ma’lumotlar toplay boshlagan. Ular ba’zi bir figuralarning
yuzalarini, ba’zi masalalarining yechish usullarini ham bilishar edilar. Biroq, fan
sifatidagi geometriya hali ularda mavjud emas edi. Ularda o‘zaro bog‘lanmagan,
tartibsiz holdagi juda ko‘p qoidalar mavjud. Bunday qoida, masalalarni yechish
usullari ko‘proq ruhoniylar qo‘lida bo‘lib, ular buni ommadan sir tutar edi.
Qadimgi Misr shohlari boshqa davlatlar bilan tinimsiz urushlar olib borar, bu esa
shubhasiz Misr davlati ekonomikasini kuchsizlantirishga olib kelar edi. Tarixda

Misrni boshqa kuchliroq davlatlar bosib olgan, Misrning fan va madaniyatini
tushkunlikka uchratgan davlatlar ham mavjud. Misr va Gretsiya davlatlari vujudga
kelgan paytda ular orasida savdo-sotiq ishlari juda yaxshi yo‘lga qo‘yilgan edi.
Gretsiyalik savdogarlar Misrga turli-tuman buyumlar olib borib sotar, Misrdan esa
o‘zlarining katta taassurotlari bilan qaytib, ular haqida o‘z yurtlarida hikoya qilib
berar edilar. Keyinchalik savdogarlar bilan Misrga olimlar ham safar qiladigan,
ularning turli fanlar sohasidagi yutuqlarini o‘rganib, o‘z yurtlarida uni
ommalashtiradigan bo‘lishdi. Ana shunday olimlardan biri miletlik Fales
edi.Greklar misrliklarning matematika va fanining boshqa sohalaridagi bilimlarini
shundayligicha qabul qilishmadi, balki ularda uchraydigan kamchiliklarni
to‘g‘irlashdi, natijada geometriya rivojlanib bordi. Bundan tahminan 2500 yil ilgari
Gresiyada geometriya matematik fan ko‘rinishiga keldi.
Gresiyada geometriya. Eramizdan oldingi VII asr o‘rtalarida Kichik
Osiyoning g‘arbiy chegaralari Gresiyaga qarar edi. Uning o‘rta qismi Ioniya deb
atalar, Ioniyada boshqa mamlakatlar bilan savdo-sotiq ishlarini olib boruvchi katta-
katta shaharlar juda ko‘p edi. Shunday shaharlardan biri Miletda yuqorida nomi
tilga olingan Fales yashagan. Fales Gretsiya fanining asoschisi hisoblanadi. U
Misrga sayohat qilgan va u yerda turli fanlar bilan tanishgan. Falesni ko‘proq
geometriya qiziqtirgan. U Ioniya maktabini asoschisi hisoblanadi. Fales
geometriyaga tegishli juda ko;p kashfiyotlar qilgan (ular haqida quyida hikoya
qilamiz). Fales maktabi faqat matematik fanlarni sistemalashtirib qolmay, balki
Gretsiyada fanining rivojlanishiga katta ta’sir ko‘rsatdi.
Eramizdan oldingi VI asrda matematik ijodlar markazi Ioniyadan janubiy
Italiyaga ko‘chdi. Bu maktabga mashhur Pifagor (tahminan eramizdan oldingi 570-
500 yil) rahbarlik qilar edi. Pifagor maktabida nazriy arifmetika, algebra hamda
geometriya bilan shug‘ullanishar edi.Shunday qilib, Gretsiyada eramizdan oldingi
VI-V asrlarda geometriya ancha rivojlangan edi. Eramizdan oldingi V asrda xioslik
Gippokrat geometriyada to‘plangan barcha faktlarni bitta kitobda bayon etishga
urinib ko‘rdi. Uning bu asari bizgacha yetib kelmagan. Gippokratning ana shunday
asar yozganligini undan keyin yashagan qadimgi Gresiya olimlari Arxit, Platon,

Yevdoks va Menexmlarining geometriyaga oid asarlaridan bilamiz. Gippokratdan
ikki asr keyin eramizdan oldingi III asrda Yevklid geometriyaga doir barcha
fanlarni to‘plab, uni mustaqil matematik fan sifatida bayon etdi. O‘z asarini
“Negizlar” deb atadi. Yevklid o‘z asarini bayon etishda asos qilib ba’zi jumlalar-
aksiomalarni oldi va ulardan mantiqiy yo‘l bilan teoremalarni keltirib chiqardi.
Yevklidning bu asari 1500 yil davomida Gretsiyada va boshqa mamlakatlarda
qo‘lda yozilib, o‘rganilib kelindi. Yevkliddan so‘ng yashagan olimlar uning
“Negizlar”iga ba’zi temalarni qo‘shib, ba’zi aniqliklar kiritdi. Asosiy material
o‘zgarishsiz qoldi. Shu sababli ham biz o‘rta maktabda o‘rganadigan geometriya
Yevklid geometriyasi deb ataladi.

1.2-§. Dekart koordinatalar sistemasi.
Koordinatalar g‘oyasi qadimgi zamonlardayoq vujudaga kelgan. Bu g‘oya
birinchi marta Kichik Osiyoning Perrgam shaxrida eramizdan oldingi 262 yili
tug‘ilgan. Appoloniyning “Konus kesmalari” nomli asarida uchraydi. Albatta,
koordinatalar tushunchasi kishilarga astrononmiyadan osmon jismlarining
koordinatalarini aniqlashda, yerda esa ba’zi joylarning koordinatalarini aniqlashda
kerak bo‘lgan.
Geogmetriyaga koordinatalar metodini qadimgi grek astronomi Klavdiy
Ptolomey (II asr) kiritgan.To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidan qadimgi
Misrda kvadrat shaklidagi to‘r sifatida foydalanilganligi haqida arxeologlarning
bergan ma’lumotlari bor.
Matematikaga koordinatalar metodini birinchi bo‘lib XVII asrda yashagan
fransuz matematiklari P. Ferma va R. Dekartlar kiritishgan. Koordinatalar metodini
birinchi bo‘lib o‘zining 1637 yilda nashr etilgan geometriya asarida R. Dekart
bayon etgan. Shuning uchun ham to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini
“Dekart koordinatalar sistemasi” deyiladi. Koordinatalar metodida ishlatiladigon
”absissasi” va “ordinatasi” terminlari yuqorida biz eslatib o‘tgan Appolloniyning
“Konus kesimlari” asarida uchragan mos terminlarning tarjimasidir. “Absissa”- x
o‘qidan ajratiladigan kesmadir. “Ordinata”- y o‘qidan ajratiladigan kesmadir.
Bu terminlarning XVII asrda G. V. Leybnis kiritgan, absissa va ordinatani
birgalikda koordinatalar deb atashni ham Leybnis taklif etgan. Dekart reperi affin
reperining xususiy holi bo‘lgani uchun affin reperda chiqarilgan tenglamalar dekart
reperida xam o‘z kuchini saqlaydi , lekin dekart reperida tekislikka doir metrik
xarakterdagi masalalarni yechish mumkin.
Koordinatalar ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi tekislikdagi,
sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini xarakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning
koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik
shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi. Analitik geometriyaning vazifasi:
birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik o‘rni deb qarab, shu

obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va
ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini aniqlab, bu tenglamalar bilan
berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda
joylashishini o‘rganadi.
Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa
chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil topgan deb qarash mumkin.Shuning
uchun geometrik shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning o‘rni deb qarash
mumkin.Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi
o‘rni sonlar yordamida aniqlanadi. Nuqtaning o‘rnini aniqlovchi sonlar uning
koordinatalari deyiladi.Endi koordinatalar sistemalari bilan tanishamiz: musbati
yo‘nalishi tanlab olingan l to‘g‘ri chiziq o‘q deb ataladi. O‘qni yo‘nalishi odatda
strelka bilan ko‘rsatiladi.
Ta’rif. Agar to‘g‘ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi nuqta musbat
yo‘nalish va masshtab birligi tanlab olingan bo‘lsa,u holda to‘g‘ri chiziqda Dekart
koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi . Bu to‘g‘ri chiziqdagi nuqtani
to‘la aniqlash uchun, undan nuqtagacha bo‘lgan masofa kesmaning
uzunligi va yo‘nalishi berilgan bo‘lishi kerak. Kesmaning yo‘nalishi + yoki –
ishoralar orqali, masalan nuqtadan o‘ng tomonga ko‘yilsa musbat, chap
tomonga qo‘yilsa manfiy deb qabul qilingan. SHu qabul qilingan shartda, to‘g‘ri
chiziqning har bir nuqtasi yagona bir sonni ifodalaydi. Bu son qaralayotgan
nuqtaning abssissasi (koordinatasi) deyiladi va x harfi bilan belgilanadi, xuddi
shuningdek, harbir haqiqiy songa to‘g‘ri chiziqda yagona nuqta mos keladi. Ya’ni
to‘g‘ri chiziq ustidagi nuqtalar va haqiqiy sonlar to‘plami orasida bir qiymatli
moslik o‘rnatiladi. Analitik geometriyada nuqta berilgan deganda, uning
koordinatasi berilgani tushuniladi.
Ta’rif: Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi ,
agar ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘q, ularni kesishish nuqtasi y (sanoq boshi)
va masshtab birligi berilgan bo‘lsa. Odatda bu o‘qlarni biri gorizontal, ikkinchisi
vertikal joylashgan bo‘ladi( R. Dekart, fransuz olimi (1596-1650)). Bu o‘qlarni

ikkalasi koordinata o‘qlari, ularning kesishgan nuqtasi (sanoq boshi) koordinata
boshi deyiladi. Koordinatalar boshi o‘q uchun ham, o‘q uchun ham sanoq
boshlanadigan nuqta hisoblanadi. O‘qlarni har birida musbat yo‘nalishlar strelkalar
bilan ko‘rsatiladi. Nuqtaning tekislikdagi o‘rni ana shu koordinatalar sistemasiga
nisbatan aniqlanadi.Tekislikda biror M nuqtaning o‘rini aniqlash uchun bu
nuqtadan, va o‘qlariga perpendikulyar tushiramiz va koordinati o‘qlari
bilan kesishish nuqtalarini va bilan belgilaymiz. M nuqta berilgan bo‘lsa,
ravshanki R va Q nuqtalar aniqlanadi va R, Q ma’lum bo‘lsa, M nuqtani o‘rnini
aniqlash oson. Ma’lumki, kesmalarning uzunliklari biror uzunlik birligi bilan
o‘lchanadi. Shu tufayli koordinata o‘qlarida masshtab birligi tanlab olingan
bo‘ladi: deb belgilasak, bu sonlar yordamida tekislikda faqat bitta
M nuqtani topamiz; x soni M nuqtani abssissasi , y soni esa uni ordinatasi deyiladi
va ko‘rinishda yoziladi. Masalan bo‘lsa x=4, y=-5 ekanini
bildiradi. Nuqta berilgan deymiz, agar uning koordinatalari berilgan bo‘lsa,
koordinata o‘qlari tekislikni to‘rt bo‘lakka ajratadi, bu bo‘laklar choraklar deyiladi.

II BOB. TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIKKA DOIR
METRIK MASALALAR.
2.1-§. To‘g‘ri chiziq haqida ma’lumotlar
To‘g‘ri chiziq — geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. To g riʻ ʻ
chiziq geometriyada boshlang ich (ta riflanmaydigan) tushuncha deb olinadi.
ʻ ʼ
To g ri chiziq va uning xususiyatlari geometriyaning boshqa tushunchalari bilan
ʻ ʻ
aksiomalar orqali bog lanadi. Masalan har qanday ikki nuqtadan faqat bitta to g ri
ʻ ʻ ʻ
chiziq o tadi. Agar
ʻ va sonlar bir vaqtda nolga teng bo lmasa, tekislikdagi ʻ
dekart koordinatalar tizimida To g ri chiziq
ʻ ʻ tenglama bilan
beriladi. bo lsa, bu tenglamani
ʻ ko rinishga (burchak ʻ
koeffitsiyentli tenglamaga) keltirish mumkin. k son To g ri chiziqning burchak
ʻ ʻ
koeffitsiyenti deyiladi, u To g ri chiziqning Ox o qining musbat yo nalishi bn
ʻ ʻ ʻ ʻ
tashkil qilgan burchagi tangensiga teng .
To‘g‘ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O, birlik nuqta deb
ataluvchi E nuqtalar tanlangan bo‘lsa, bunday to‘g‘ri chiziq Dekart o ‘qi deb
ataladi. Dekart o‘qining musbat yo‘nalishi deb О nuqtadan chiquvchi va £ nuqtani
o ‘z ichiga olgan nur yo‘nalishiga aytiladi. Teskari yo‘nalish manfiy yo‘nalish deb
ataladi. OE kesma masshtab yoki birlik kesma deyiladi(1-chizma)
Ta’rif : kesma uzunligi va burchak kattaligini hisoblash bilan bog‘liq bo‘lgan
masalalar metrik masalalar deyiladi.
Ta’rif: To‘g‘ri chiziqning yo‘naltiuvchi vektoriga perpendikular xar qanday
vektorni bu to‘g‘ri chiziqning normal vektori deyiladi.

Tekislik— geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. Geometriyada Tekislik
odatda, ta riflanmaydigan (ya ni nuqta, to g ri chiziq kabi) boshlang ich tushunchaʼ ʼ ʻ ʻ ʻ
hisoblanib, uning xususiyatlari bilvosita geometriya aksiomalari bilan ifodalanadi.
Masalan, ikki nuqtasi biror tekislikda yotgan to g ri chiziqning o zi ham shu
ʻ ʻ ʻ
tekislikda yotadi; bir to g ri chiziqda yotmagan uchta nuqta orqali bitta tekislik
ʻ ʻ
o tadi; fazoda berilgan ikki nuqtadan teng uzoqlikda turgan nuqtalar to plami
ʻ ʻ
tekislik bo ladi. Umumiy holda tekislikning fazoviy
ʻ
vaziyatini bir to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan uchta nuqta aniqlaydi.
Haqiqatdan, А , В va С nuqtalar fazoda biror tekislikning vaziyatini aniqlaydi. Bu
nuqtalardan har birining fazoviy o‘rni o‘zgarishi bilan tekislikning vaziyat ham
fazoda o‘zgaradi.
Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xossalari.
tenglamadan
yoki
bilan belgilashdan keyin (1) tenglama hosil bo‘ladi
(1) tenglamani fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi.
Umumiy tenglamasi qiyudagi hollarga ega:
1) bo‘lsa bo‘lib , tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi;
2) bo‘lsa bo‘lib tekislik o‘qiga parallel; xuddi shunday
, tekisliklar mos ravishda va o‘qlariga
paralleldir.
3) 2- holda bo‘lsa , tekislik tenglamalari , ,
bo‘lib, ular mos ravishda koordinata o‘qlaridan o‘tadi.
4) bo‘lsa tekislik koordinata tekisligiga parallel,
xuddi shunday tekisliklar mos ravishda ,
koordinata tekisliklariga parallel bo‘ladi.
5) bo‘lsa , bo‘lib, koordinata tekisligi bilan ustma-ust
tushadi,ya’ni koordinata tekisligining tenglamasi bo‘ladi. Xuddi

shunday va , mos ravishda va koordinata tekisliklarining
tenglamasini ifodalaydi.
Chizma geometriyada tekisliklar quyidagi holler bilan beriladi:
•bir to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan uchta nuqta proyeksiyalari bilan;
•bir to‘g‘ri chiziq va unga tegishli bo‘lmagan nuqta proyeksiyalari bilan;
•ikki parallel to‘g‘ri chiziq proyeksiyalari bilan;
•ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq proyeksiyalari bilan;
•tekis geometrik figuralarning orthogonal proyeksiyalari orqali berilishi ham
mumkin .

2.2-§ . To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi
To‘g‘ri chiziqqa parallel har qanday vektor to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi
vektori deyiladi. Agar to‘g‘ri chiziqning bitta nuqtasi va yo‘naltiruvchi vektori
berilgan bo‘lsa,unung tenglamasini tuzish masalasini ko‘raylik. Agar
yo‘naltiruvchi vektor bo‘lib, nuqta to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lsa,
to‘g‘ri chiziqning har bir M(x,y) nuqtasi uchun vektor vektorga
kollinear bo‘lishi kerak. Kollinearlik shartini yozsak, quyidagi tenglamani olamiz:
(1)
Bu tenglama to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
Yuqoridagi (1) tenglamaning o‘ng va chap tomonlarini t bilan belgilasak
quyidagi parametrik tenglamani olamiz:
va
Agar absissa o‘qiga parallel bo‘lmagan L to‘g‘ri chiziq OX o‘qini A
nuqtada kesib o‘tsa,absissa bilan to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni bilan bilan
belgilaymiz.Burchak yagona ravishda tanlanishi uchun to‘g‘ri chiziqning birorta
yo‘naltiruvchi vektorini tanlab burchakni OX o‘qidan yo‘naltiruvchi
vektorga soat mili yo‘nalishida hisoblaymiz.Bu burchakning tangensini k bilan
belgilasak
(3)
tenglikni hosil qilamiz. To‘g‘ri chiziqning birorta nuqtasini bilsak,
uning tenglamasini
(4)
ko‘rinishda yoza olamiz. To‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash
formulalarini keltirib chiqaramiz. Agar to‘g‘ri chiziqlar
va

tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa,ular orasidagi burchak ularning ,
normal vektorlari orasidagi burchakka tengdir.Vektorlar orasidagi
burchak bizga ma’lum bo‘lgan
(5)
formula bilan hisoblanadi. Agar to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda
va (6)
tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak,ularning
yo‘naltiruvchi va vektorlari orasidagi burchakka tengdir. Bu
holda ham to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakka tengdir. Bu holda ham to‘g‘ri
chiziqlar orasidagi burchak skalyar ko‘paytma yordamida
(7)
formula bilan hisoblanadi. To‘g‘ri chiziqlarning parallel yoki perpendikulyar
bo‘lishi mos ravishda ularning normal vektorlari yoki yo‘naltiruvchi vektorlarning
parallel yoki perpendikulyar bo‘lishiga ekvivalentdir. Shuning uchun
va (8)
tengliklar to‘g‘ri chiziqlarning paralellik va perpendikulyarlik shartlaridir.

2.3-§ . To‘g‘ri chiziq va u bilan bog‘liq metrik masalalar.
Hozirga qadar tekislikda koordinatalarning affin sistemasini qarab, bu
sistemada to‘g‘ri chiziqning turli telamalari va to‘g‘ri chiziq bilan bog‘liq ayrim
masalalar bilan tanishdik. Endi dekart reperi (dekart koordinatalarining to‘g‘ri
burchakli sistemasi) olingan bo‘lsin. Bu sistemada to‘g‘ri chiziqqa talluqli
ko‘pgina merik masalalar xal qilinadi. dekart reperini olamiz.To‘g‘ri chiziq
umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin.
uning yo‘naltiruvchi vektori , u holda vector u to‘g‘ri
chiziqning normal vektori bo‘ladi.Xaqiqatan, vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi: .
Demak to‘gri chiziqning umumiy tenglamasidagi sonlar shu tartibda olinsa,
ular shu tenglama bilan aniqlanadigan to‘g‘ri chiziq normal vektorining
koordinatalarini bildiradi.
Misol: Uchlarining koordintalari va bo‘lgan
uchburchakning chidan tomoniga perpendikular qilib o‘tkazilgan
to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish: Izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning normal vektori uchun
vektorni olish mumkin, uning koordinatalari . Normal
vektori bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning tenglamasi
to‘g‘ri chiziq uchidan o‘tgani uchun bundan
Izlanayotgan tenglama =0 yoki ko‘rinishida
bo‘ladi.

1-rasm
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa. dekart reperida
to‘g‘ri chiziq va nuqta berilgan bo‘lsin. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa
perpendicular o‘tkazamiz. Ularning kesishgan nuqtasini bilan belgilaymiz.

2-rasm
nuqta bu perpendikularning asosi deyiladi. Vektorning uzunligini
nuqtadan u to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa deyiladi va ko‘rinishida
belgilanadi.
Agar bo‘lsa, bo‘lib =0 bo‘ladi. bo‘lsin,
uholda = . vector u to‘g‘ri chiziqning normal vektori
bo‘lgani uchun va vektorlar kollinear bo‘ladi, u holda bu vektorlarning
skalyar ko‘paytmasi:0 0 0 0
cos( , ) ( , )HM n HM n HM n r M u   

bo‘lsa, bo‘lib, bo‘ladi,
bo‘lsa bo‘lib , bo‘ladi,bu yerdan,

nuqtaning koordinatalari , bo ‘ lsin . U holda
bo ‘ lib , ekanini hisobga olsak , skalyar ko ‘ paytma

bo‘ladi.
Shu bilan birga ekanini nazarda tutsak,
Berilgan nuqtadan u to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani hisoblash formulasidir.
2.Fazoda dekart koordinatalar sistemasi va asosiy masalalar.
Tekislikdagi Dekart koordinatalariga o‘xshash fazodagi koordinatalar ham
aniqlanadi,o‘zaro perpendicular son o‘qlari, umumiy O nuqtadan
o‘tsin.Fazoda nuqtaga 3 ta haqiqiy va aksincha 3 ta haqiqiy songa bitta nuqta
mos keladi. Bu moslik ham bir qiymatlidir. Bu sonlarga nuqtaning fazodagi
koordinatalari deyiladi. - absissasi , - ordinatasi , - aplikatasi deb ataladi ..
Koordinata o ; qlaridan o ‘ tuvchi tekisliklarga koordinata tekisliklari deyiladi va ular
fazoni 8 ta bo ‘ laklarga - oktantalarga ajratadi . Nuqtaning koordinatalari,
radius vektorining ham koordinatalari bo‘ladi.
Fazodagi analitik geometriyada ham quyidagi sodda masalalar qaraladi.
1)fazodagi berilgan va nuqtalar orasidagi masofa;
formula bilan aniqlanadi.
2) kesmani nisbatda bo‘luvchi nuqtaning
koordinatlari

,
formulalar yordamida aniqlanadi.
3.Berilgan nuqtadan o‘tuvchi va berilgan vektorga perpendikular vektor
tenglamasi.
koordinatalar sistemasida nuqta va
vektor bilan berilgan bo‘lsin. nuqtadan o‘tuvchi vektorga perpendikular
tekislikning fazodagi vaziyati aniq bo‘ladi. Uning tenglamasini keltirib
chiqaramiz. tekislikdan ixtiyoriy nuqta olamiz. va
vektorlar o‘zaro perpendicular bo‘lganda va faqat shundagina nuqta tekislikda
yotadi.Malumki vektorning koordinatalari , ,
bo‘ladi.Ikki vektorning perpendikularlik shartiga asosan:
(9)
bo‘ladi.Bu tekislik tenglamasi bo‘ladi.
Ta’rif : tekislikka perpendicular vektorga bu tekislikning
normal vektori deyiladi.
4.Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xossalari.
tenglamadan
yoki
bilan belgilashdan keyin (1) tenglama hosil bo‘ladi
(1)tenglamani fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi.
Umumiy tenglamasi quyidagi hollarga ega:
1) bo‘lsa bo‘lib , tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi;
2) bo‘lsa bo‘lib tekislik o‘qiga parallel; xuddi shunday
, tekisliklar mos ravishda va o;qlariga
paralleldir.

3) 2- holda bo‘lsa , tekislik tenglamalari , ,
bo‘lib, ular mos ravishda koordinata o‘qlaridan o‘tadi.
4) bo‘lsa tekislik koordinata tekisligiga parallel,
xuddi shunday tekisliklar mos ravishda ,
koordinata tekisliklariga parallel bo‘ladi.
5) bo‘lsa , bo‘lib, koordinata tekisligi bilan ustma-ust
tushadi,ya’ni koordinata tekisligining tenglamasi bo‘ladi. Xuddi
shunday va , mos ravishda va koordinata tekisliklarining
tenglamasini ifodalaydi.
5. Tekislikning kesmalar bo‘yicha tenglamasi .
(1) tenglamada koeffisiyentlar hammasi 0
dan farqli bo‘lsa, tekislik koordinata o‘qlaridan va kesmalar ajratadi.
(1) tenglamani quyidagicha o‘zgartiramiz:
3-rasm

oxirgi tenglamada ,
belgilash kiritsak tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama
fazoda tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
6. Berilgan uchta va nuqtadan o‘tuvchi
tekislik tenglamasi
Tekislikda yotuvchi ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz va
vektorlarni tuzamiz .Bu vektorlar bitta tekislikda yotgani uchun ular
o‘zaro komplanar bo‘lib va skalyar ko‘paytmasi nol bo‘ladi.Shundan
(*) hosil bo‘ladi
4-rasm

Dekart reperida tekislikka doir metrik masalalarda yuqorida sanab o‘tilgan 5 hol
bo‘yicha va tekisliklar orasidagi burchakni o‘lchash bilan bog‘liq holdagi
masalalar ko‘riladi va yechiladi.

XULOSA
Kurs ishimning mavzusidagi xulosam shuki,ta’lim sifatini
ta’minlash,innovatsion texnologiyalardan foydalanish va xatolar ustida ishlash
muhim omildir.Natijalarni baholash va shu orqali o‘quvchilarning bilim darajasini
nazorat qilish ta’lim sifatini oshiradi va ta’lim jarayoniga yaxshi samara
beradi.Oliy ta’limning reyting tizimi va talabalarning o‘zlashtirish sifatini
aniqlashda joriy va oraliq nazoratlarni o‘tkazish orqali ta’lim sifatini yaxshilashga
xizmat qiladi.
Mazkur kurs ishi “Dekart reperida to‘g‘ri chiziq va u bilan bog‘liq bo‘lgan
metrik masalalar” mavzusida bo‘lib, bu kurs ishini yozish mobaynida quyidagilarni
o‘rgandim:
1. Koordinata sistemasi;
2. Geometriyani kelib chiqishi;
3. Dekart koordinata sistemasi;
4. To‘g‘ri chiziq haqida umumiy ma’lumot.
Va shu bilan birga bu mavzularga doir bir qator masalalar bilan tanishdim.
O‘qishning keyingi bosqichlarida mavzu borasida ko‘proq ko‘nikmalar paydo
qilish va ularning hayotimizga tatbig‘ini o‘rganishga harakat qilaman.

F OYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI.
1. Sh. Mirziyoyev. “ O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha
Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida ”. Ma’naviyat nashriyoti. 2017 - y.
2. Sh. Mirziyoyev.“Tanqidiy tahlil, Qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik
har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak” .O‘zbekiston
nashriyoti. 2017-y.
3 . T.A.Rasulov G‘.G‘.Qurbonov Z.N.Hamidamov “Analitik geometradan misol
va masallar”
4. K.SH.Ro‘zmetov G‘.X.Jumaboyev “Matematika” [Toshkent-2018.]
5. F.Rajabov. S.Masharipov. R.Madrahimov. “Oliy matematika”
[Toshkent_2007]
6. I.Isroilov Z.Pashayev “Geometriya” [Toshkent-2010]
7. Narmanov A.Ya. Analitik geometriya. O‘zbekiston faylasuflari
milliy jamiyati nashriyoti Toshkent. 2008 y.
8. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. T.Universitet, 586 b, 2005 y.
9. Алексанров А . Д . Нецветаев Н . Ю . Геометрия . М., Наука, 1990 г.
10. Погорелов А.В. Аналитик геометрия. Т., Ўқитувчи, 1983 й.
11. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1.М., Наука, 1983 г.
12. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналическая геометрия . М. Наука, 1981 г.
13. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической
геометрии. М. Наука, 1976 г.
14. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., Наука.1968 г.
15. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.,
Гостехиздат, 1962 г.

16. Қори-Ниёзий Т.Н., Аналитик геометрия асосий курси. Фан. 1971 й
17.. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. М o сква .,
Наука , 1980 г

Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir metrik masalalar kurs ishi

Sotib olish