Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 14.3MB
Покупки 14
Дата загрузки 15 Декабрь 2024
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Funksiya grafigi

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Funksiya grafigi MUNDARIJA Kirish I BOB. FUNKSIYA GRAFIGI. 1.1. Biror funksiya grafigini siljitish va defarmatsiyalash boshqa funksiya grafigini yasash 1.2. Funksiya limiti va uzluksizligi. Funksiya limiti mavjudligining mezoni. II Bob. Butun funksiyaning tartibi. 2.1 Kompleks o’zgaruvchili algebraik va transtsendent funksiyalar 2.2 Butun funksiyaning tartibi XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 2 KIRISH Mustaqillikka erishganimizdan keyin jadal ravishda barcha sohalar, shu jumladan, kadrlar tayyorlash milliy dasturi ham. Kadrlar tayyorlash milliy dasturida оliy ta’limning asosiy ma q sadi bоzоr iqtisоdi y oti sharо y itida raqоbatbardоsh, yuqоri malakali mutaxassislar tay y orlashdan ibоrat. Shu maqsadni amalga оshirishda bo‘lajak mutaxassis bilim va ko‘nikmalarining mustahkamligi, ular egallagan bilimning atrоflicha o‘rganilgani katta ahamiyat kasb etadi. Resublikamiz birinchi Prezidenti Islоm Abdug’aniyevich Karimоv aytganlaridek «...mamlakatimizning bоy ilmiy - texnikaviy salоhiyatidan keng fоydalangan hоlda, yuksak texnоlоgiya va fan yutuqlariga asoslangan ishlab chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlotsоzlik, mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya vоsitalarini tez sur’atlarda rivоjlantirish» uchun sabоq оlayotgan har bir shaxs o‘zi o‘rgangan ta’lim mazmunini chuqur anglashi, qayyerda va qanday tatbiq qilishni bilishi, hayotda esa o‘zi amaliyotga tatbiq qila оlishi kerak Darhaqiqat, barkamоl insоn shaxsning shakllanishi bevоsita uzluksiz ta’lim jarayonida amalga оshadi. Davlat ta’lim standartlarida bo‘lajak mutaxassis egallashi ko‘zda tutilgan bilimlarni chuqur va atrоflicha bayon qilinishi hamda o‘rgatilishiga alоhida ahamiyat berish “Milliy dastur”da ko‘zda tutilgan asosiy maqsadni amalga оshirish bo‘yicha katta natija beradi. Shunday ekan, har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan yuqоri malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o‘rni va ahamiyati beqiyosdir. O‘zbekistоn Resublikasi birinchi Prezidenti I.A.Karimоv Оliy Majlisning XIV sessiyasida so‘zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga izоh berib shunday degan edi: «Biz оldimizga qanday vazifa qo‘ymaylik, qanday muammоni yyechish zaruriyati tug’ilmasin, оxir оqibat, baribir kadrlarga bоrib qadalaveradi. Mubоlag’asiz aytish mumkinki, 3 bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kalajagi, o‘rnimizga kim kelishiga yoki bоshqacharоq qilib aytganda, qanday kadrlar tayyorlashimizga bоg’liq… ». Resublikamiz birinchi rezidenti I.A.Karimоv tashabbusi bilan qabul qilingan “Kadrlar tayyorlash Milliy dasturi” mamlakatda bоzоr iqtisоdiyotiga asoslangan jamiyatda raqоbatga bardоsh bera оladigan mutaxassis kadrlar tayyorlash vazifasini o‘z оldiga maqsad qilib qo‘ygan. Mamlakatimiz mustaqillikka erishgan kunlaridanоq оldinga surilgan bu maqsadning to‘g‘ri qo‘yilganligi hоzirgi kunda ayniqsa, jahоn mоliyaviy iqtisоdiy krizisi u yoki bu darajada mamlakat iqtisоdiga ta`sir etishi mumkin bo‘lgan bir sharоitda, o‘z tasdig‘ini yana bir bоr tоmоqda. Chunki “Milliy dastur”da tayorlanishi ko‘zda tutilgan mutaxassis zaruriyati tug‘ilgan sharоitda o‘z mutaxassisligi bo‘yicha ustunlikka ega bo‘lishi zarur, yoki aks hоlda o‘z mutaxassisligini juda tezlikda bоshqa mutaxassislikka yo‘naltira оlish malakasiga ega bo‘lishi kerak. Buning uchun esa kunda tayorlanayotgan har bir mutaxassis nafaqat belgilangan reja va dastur bo‘yicha bilimlarni o‘zlashtirish, balki chuqur va atrоflicha egallashi, unga yondоsh ilm va bilimlar majmuasi va ko‘nikmalariga ham ega bo‘lishi zarur. Mazkur kurs ishi ana shu vazifani amalga оshirishga qaratilgan bo‘lib, kоmyuter texnоlоgiyasining hоzirgi kunda jadal rivоjlanayotgan bir yo‘nalishining оchib berishga qaratilgan. Hоzirgi bоsqichda ta’limning asosiy vazifasi o’quv- tarbiya jarayonini takоmillashtirish asosida har tоmоnlama yetuk, kelajak kishisini tarbiyalash, vоyaga etkazishdan ibоrat. O’quvchilarni barcha kerakli bilim va ko’nikmalar bilan qurоllantiruvchi, ularni katta hayotga tayyorlaydigan har bir o’qituvchi hоzirgi zamоn ijtimоiy- iqtisоdiy taraqqiyot masalalarini o’z vaqtida ilg’ab оlishi hamda o’zining bоr kuch va bilimini, kasb mahоratini takоmillashtirishga qaratmоg’i, tinmay izlanib mehnat qilmоg’i lоzim. O’qituvchi mehnatining samarasi esa u ta’lim berayotgan o’quvchilarning bilim darajasi bilan o’lchanadi. Bilimlar darajasi esa o’quvchilar o’zlashtirishini tekshirish va bilimini bahоlash jarayonida aniqlanadi. Bu jarayon esa darsdir. 4 Haqiqatdan ham ta’limning asosiy shakli dars bo’lib, o’quvchilarga asosiy bilim dars davоmida beriladi. Shuning uchun eng avvalо ishni o’qituvchi va o’quvchilarning darsga nisbatan yangicha yondashishdan bоshlash kerak. O’quvchilarga chuqur bilim berishda erishgan muvaffaqqiyatlarning sirini ham, yo’l qo’ygan kamchiliklarimizning sabablarini ham оlib bоrgan darsimizdan izlamоq kerak. Bizga ma’lumki, umum ta’lim maktablari, akademik litsey, kasb – hunar kоllejlari va оliy ta’lim dasturlarining anchagina qismini funksiya va uning grafigi haqidagi mavzular egallagan. Yuqоrida aytilganidek funksiya haqidagi bilimlar dars jarayonida amalga оshiriladi. Tushunchasi funksiya haqidagi mavzularni o’quvchilarga singdirish vaqtida funksiyaning ta’rifi, berilgan funksiyaga nisbatan murakkabrоg’i xattо darslikda keltirilmagan misоllarni ham grafiklarini chizish maqsadga muvоfiqdir. Shu o’rinda funksiya tarihiga e’tibor qaratsak, funksiya qadimiy tushuncha bo’lib, dastlab funksiоnal bоg’lanishlarga amaliy faоliyatlarida duch kelganlar. Keyinchalik bu bоg’lanishlar sоnlar jadvali ko’rinishda namоyon bo’lgan. 100- 178 yillarda Klavdiy Ptоlоmey sinuslar jadvalini tuzdi. Abu Rayxоn Beruniy sinuslar va tangenslar jadvalini tuzadi. Huddi shu kabi bоshqa mamlakatlarda ham asta – sekin funksiya tushunchasi rivоjlana bоrdi. Turli davrlarda funksiyaga turlicha ta’riflar berila bоshlandi. Quyida ayrimlarini keltiramiz. 1673 yilda Gоlfrit Vilgelm Leybnis (1649-1716) “funksiya” degan atamani kiritadi va birоr vazifani bajaruvchi miqdоr deb atadi. Dastlabki belgilashlar f 1 (x), f 2 (x), … , f n (x) lar Leybnis tоmоnidan kiritildi. Dastlabki оshkоr ta’rifi 1718 – yilda Chagan Bernulli tоmоnidan berildi. TA’RIF: O’zgaruvchi miqdоrning funksiyasi deb o’zgarmaslar va o’zgaruvchilar yordamida birоr usul bilan hоsil qilingan qiymatga aytiladi. 1834 – yilda Labachevskiy funksiya tushunchasini yanada оydinlashtiradi va hоzirgi ta’rifga yaqinrоq ta’rifni beradi. 5 TA’RIF: X ning funksiyasi deganda x ning har qanday qiymatiga mоs kelgan va y bilan birga o’zgaradigan sоnlarni bilamiz. Chex matematigi Bоl’tsоnо ham mazmunan Labachevskiy ta’rifiga yaqin ta’rif beradi. 1834-yilda nemis matematigi Dirixle (1805-1850) funksiyani quyidagicha ta’riflaydi. TA’RIF: y ni x o’zgaruvchining [a, b] оraliqdagi funksiyasi deyiladi, agar x ning har bir qiymatiga y ning aniq bir qiymati mоs kelsa. To’plamlar nazariyasi yaratilishi bilan uning ijоdkоrlari nemis matematigi G. Kоntоr, R. Yulitse, Dedikind funksiya tushunchasining umumlashmasi- akslantirishga ta’rif berdilar. TA’RIF : X va Y to’plamlar berilgan bo’lsin. X to’plamni Y to’plamga akslantirish f berilgan deyiladi. Agarda X to’plamning har qanday x elementiga Y to’plamdagi unga mоs y element mоs keltirilgan bo’lsa uni x elementning f akslantirishdagi оbrazi deb ataladi. Bunda umum o’rta ta’lim maktablari, akademik litsey va kasb- hunar kоllejlari hamda оliy ta’limda matematika dasturida funksiya va uning grafigini o’qitilishiga e’tiborni qaratilib, o’quvchilarga ko’rsatilishi kerak bo’lgan funksiyalarning grafiklarida namunalar keltirilgan. Akademik fan va ta’lim integratsiyasi bosqichma-bosqich mustahkamlanmoqda. Har yili Fanlar akademiyasi olimlari oliy maktablar uchun 100 dan ortiq magistr tayyorlamoqda. So’nggi yillarda Fanlar akademiyasi olimlari respublika ta’lim tizimi uchun asosiy ta’lim fanlari bo’yicha 100 dan ortiq yangi darslik va o’quv qo’llanmalar yaratishdi. O’zR FA ilmiy muassasalari qoshida oliy o’quv yurtlari bilan hamkorlikda respublikaning ustuvor ixtisosliklari bo’yicha 30 dan ortiq ilmiy-o’quv markazlari va sohaviy kafedralar faoliyat yuritmoqda. Fanlar akademiyasi olimlari va oliy o’quv yurtlari xodimlarining qo’shma ilmiy loyihalari soni ortib bormoqda. Akademik fan va ta’lim o’zaro aloqasini faollashtirish va ilmiy-texnikaviy soha uchun yosh mutaxassislarni tayyorlash O’zR Fanlar akademiyasi va O’zR Oliy ta’lim vazirligining 2006-yil 22-iyundagi 134-sonli qo’shma qarori asosida ilm-fanga iqtidorli yoshlarni kengroq jalb etish, yosh ilmiy avlodni tayyorlash, 6 shuningdek yosh ilmiy kadrlarni har tomonlama qo’llab-quvatlash maqsadida amalga oshirildi. Bunda yosh xodimlarni davlat ilmiy-texnik dasturlar bo’yicha konkurs loyihalarni bajarish va ularga rahbarlik qilishga ahamiyat qaratildi. Akademiyaning yangilangan tarkibdagi Yosh olimlar kengashi faol ish yuritmoqda. Kengash eng yaxshi loyihalar va yosh olimlar ishlari ko’rik tanlovi, konferensiyalar o’tkazadi, mavjud muammolarni o’rganadi va ularni hal etish bo’yicha chora-tadbirlarni amalga oshiradi. Fanlar akademiyasi ilmiy muassasalari oliy o’quv yurtlari bilan doimiy, uzoq muddatli ish olib boradilar va yosh mutaxassislar, bakalavr va magistrlarni birgalikda tayyorlash ishiga o’z hissalarini qo’shmoqda, shuningdek, o’qituvchilarni qayta tayyorlash va respublika universitetlari va oliy o’quv yurtlari uchun izlanuvchilarni tayyorlashda ko’maklashadilar. Masalan, Astronomiya instituti tomonidan 2006-2012 yillar oralig’ida respublikada davlat universitetlari – Samarqand, Andijon, O’zbekiston Milliy universiteti va Toshkent pedagogika universitetida 4 ta ilmiy-ta’lim astronomiya observatoriyalari barpo etilib, ishga tushirildi. U yerda astronomiya sohasidagi mutaxassislarni o’qitish va tayyorlash amalga oshirilmoqda. 2009 yilda O’zR FA Astronomiya institutida yagona Astronomiya instituti ochildi. Uning ekspozitsiyasida turli davrlarda yetakchi optika-mexanika firmalari tomonidan tayyorlangan bir qator noyob qadimiy teleskoplar va boshqa astronomik qurilmalar, shuningdek rangdor vitrajlar va Yer kurrasidagi turli ob’ektlarning yorqin tasvirlari saqlanadi. Institutda oliy o’quv yurtlari talabalari, o’quvchilar va respublika keng jamoatchiligi uchun ekskursiyalar tashkil etilib, muntazam ravishda o’tkazilmoqda. O’zbekiston respublikasi Prezidentining 2011-yil 20-maydagi PQ-1533 raqamli «Oliy o’quv yurtlari moddiy-texnik bazasini mustahkamlash va yuqori malakali kadrlarni tayyorlash sifatini tubdan o’zgartirish haqida»gi qarori hamda O’zR Fanlar akademiyasining 2011-yil 4-sentyabrdagi 120-raqamli va O’zR Oliy va o’rta-maxsus ta’lim vazirligining 2011-yil 26-avgustdagi 361-raqamli qo’shma qarori ijrosini ta’minlash maqsadida Fizika-texnika institutida (FTI) “Qayta 7 tiklanadigan energiya manbalari” ilmiy-o’quv markazi tashkil etildi. Markaz tarkibiga O’zR FA «Fizika-Quyosh» IICHB, TDTU, QarshiDU, Buxoro yuqori texnologiyalar muhandislik-texnika instituti va Farg ’ona politexnika instituti kiradi. FTI Toshkent davlat texnika universiteti qoshidagi “Elektronika va noan’anaviy energiya manbalari” ilmiy-o’quv majmui tarkibiga ham kiradi. FTI tomonidan Toshkent qurilish-maishiy kollejida gelioapparaturaga xizmat ko’rsatish bo’yicha o’rta bo’g’in mutuxassislarini tayyorlash markazi tashkil etildi. Materialshunoslik institutida Institutning Katta quyosh pechi, shuningdek O’zRFA Astronomiya instituti hududida o’rnatilgan teleskopda qayta tiklanadigan energiya manbalari, shu jumladan, quyosh energiyasidan foydalanish sohasida mutaxassis va talabalar stajirovkasi o’tkazilmoqda. O’zR FA “Fizika-Quyosh” IICHB da quyosh energiyasini o’zlashtirish muammolari bilan shug’ullanadigan mutaxassislar tashabbusi bilan Materialshunoslik institutida 2000 yildan buyon “Quyosh energiyasi” o’quv markazi ishga tushirilib, u yerda yozda bir oy davomida Markaziy Osiyo va Rossiyadan tashrif buyurgan 25-30 nafar talaba, bakalavr va magistrlar ta’lim olishadi. Tinglovchilarga «Quyosh energiyasi va geliomaterialshunoslikdan foydalanishning ilmiy asoslari» mavzuida darslar o’tiladi, shuningdek, ular laboratoriyalardagi eksperimental ishlarda ishtirok etadi. Ion-plazma va lazer texnologiyalari instituti olimlarining O’zbekiston Milliy universiteti, Toshkent davlat texnika universiteti va O’zbekiston Respublikasi Xalq ta’limi vazirligi bilan hamkorligida “Elektronika” Ilmiy-o’quv markazini tashkil etilib, u Toshkent shahrining 223- va 225-sonli maktablarida faoliyat yuritmoqda, so’nggi yillarda uning bitiruvchilari orasidan 700 nafari “fizika”, «elektronika», «energetika» va boshqa yondosh sohalar bo’yicha oliy o’quv yurtlariga o’qishga kirdi. Kimyo instituti xodimlari bir necha yil mobaynida kimyo bo’yicha Xalqaro Mendeleyev olimpiadasida ishtirok etadigan O’zbekiston Yoshlar jamoasi a'zolarini tayyorlash ishiga jalb etildi. Oliy o’quv yurtlarining kimyo sohasi talabalari Institutda chuqur tayyorgarlik ko’rib, bir necha bor g’oliblar safida 8 shohsupaga ko’tarilishgan. Ushbu xalqaro olimpiadalarda 1 marta oltin, 3 marta kumush, 4 marta bronza medaliga sazovor bo’lishgan. Immunologiya institutida 2012-yilda immunologiya, tibbiy genetika va biotexnologiya sohalarida tibbiy va biologik ma’lumotga ega yosh mutaxassislar va oliy malakali mutaxassislarni samarali tayyorlash maqsadida Biotibbiyot ilmiy- ta’lim innovatsion markazi tashkil etildi. Markaz 2013-yilda immunoprofilaktika va immunoterapiyaning zamonaiy jabhalariga bag’ishlangan Respublika ilmiy- amaliy maktabini tashkil etdi. 2013-yilda Immunologiya instituti va Toshkent vrachlar malakasini oshirish instituti o’rtasida Allergologiya va immunologiya, Yosh bolalar immunoprofilaktikasi va Tibbiy genetika sohalari bo’yicha qayta tayyorlash (birlamchi va umumiy ixtisoslik bo’yicha) va malakani oshirish to’g’ridan-to’g’ri kurslari (umumiy va mavzular bo’yicha malaka oshirish)ni rejalashtirish, tashkil etish va o’tkazish bo’yicha qo’shma o’quv-ta’lim faoliyatini o’tkazish haqidagi shartnoma imzolandi. 2010-yilda O’simliklar genetikasi va eksperimental biologiyasi instituti olimlari va O’zbekiston Milliy universiteti xodimlari hamkorligida oliy o’quv yurtlari uchun «Selektsiya asoslari va genetika» o’quv qo’llanmasi tayyorlandi va nashr etildi. Genomika va bioinformatika markazida 2013-yilda genom texnologiyalari bo’yicha trening bo’limi tashkil etildi. Yoshlarni o’qitish maqsadida Markaz O’zbekiston Milliy universiteti, Toshkent kimyo-texnologiya instituti va Toshkent tibbiy pediatriya instituti qoshidagi litsey o’rtasida shartnoma tuzdi. Geologiya institutining Geologiya muzeyi O’zbekiston Respublikasi Kadrlar tayyorlash Milliy dasturiga muvofiq “O’zbekistonda foydali qazilmalar konlari” kursi bo’yicha O’zbekiston Milliy universiteti va TDTU geologiya fakultetlari talabalari uchun amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun asosiy baza hisoblanadi. Tarix instituti bazasida O’zR Oliy va Xalq ta’limi vazirliklari bilan hamkorlikda 1999-yilda akademik Ya.G’.G’ulomov nomidagi “O’zbek xalqi va davlatchiligi tarixi” doimiy Respublika ilmiy-amaliy seminari tashkil etilib, seminar ishiga yetakchi mutaxassislar – tarixchilar, arxeologlar, sharqshunoslar, 9 san’atshunoslar, shuningdek oliy o’quv yurtlari, litsey, kollej, maktab o’qituvchilari jalb etildi. 1999-2013 yillar mobaynida 76 ta seminar majlisi, shulardan 37 tasi – respublika viloyatlarida o’tkazildi. So’nggi yillarda Institut olimlari tarixning dolzarb masalalari bo’yicha 29 ta darslik va o’quv qo’llanmalarini yaratishdi va ta’lim tizimiga joriy etishdi: - Respublika umumta’lim maktablarining 7-(1994 y), 9-(2010 y) va 10-(2002 y) sinflari uchun O’zbekiston tarixi bo’yicha darsliklar; - Respublika umumta’lim maktablari, litsey va oliy o’quv yurtlari uchun Jahon tarixi bo’yicha o’quv qo’llanma (2011 y); - Respublika umumta’lim maktablari, litsey va oliy o’quv yurtlari uchun O’zbekiston tarixi bo’yicha o’quv qo’llanma (2011 y.) va boshqa qator darslik va o’quv qo’llanmalari. Arxeologiya va San’atshunoslik institutlari o’zaro hamkorlik qilish borasidagi muhim ish bu – San’atshunoslik oliy o’quv yurtlari va qator universitetlarning tarix fakultetlari bakalavr va magistrantlari uchun o’quv amaliyotlarini tashkil qilish, shu jumladan, arxeologiya, folklor va boshqa dala ekspeditsiyalaridagi ishlarga talabalarni jalb etish. Olimlar O’zbekiston tarixi, san'ati yo’nalishlari bo’yicha respublika o’quv-ta’lim jarayoniga tatbiq etiladigan zamonaviy darslik va o’quv qo’llanmalarni ishlab chiqadilar va nashr qiladilar. So’nggi yillarda bu hamkorlik ancha kengaydi. 2008-yilda Samarqand davlat universiteti bilan hamkorlikda Arxeologiya instituti qoshida «Amaliy va ilmiy tadqiqotlar arxeologiyasi kafedrasi” ochildi, 2009-yilda Termiz davlat universitetida Arxeologiya instituti olimlarining faol ishtirokida «Baqtriya- Tohariston arxeologiyasi va etnografiyasi kafedrasi» ochildi. Fanlar akademiyasining to’rtta muzeyi oliy va xalq ta’limi idoralari bilan katta ish olib bormoqda, shu jumladan, o’quvchi yoshlarga ta’lim-tarbiya berish jarayonida muzey vositalaridan foydalanish borasida o’qituvchilar malakasini oshirish, shuningdek, o’quvchi yoshlar uchun mavzuiy ekskursiyalar va ko’rgazmalar tashkil etish orqali. Muzeylar O’zbekiston tarixi, madaniyatshunoslik, muzeyshunoslik va boshqa yo’nalishlar bo’yicha kurslari 10 jarayonida muzey materiallaridan foydalanish bo’yicha bir qator metodik qo’llanmalarni tayyorlashdi. Shu tariqa, Adabiyot muzeyi bazasida “Adabiy manbashunoslik kafedrasi” tashkil etildi. O’quv tashkilotlari bilan 2010-2020 yillarga mo’ljallangan shartnomalar imzolandi. Kafedra kadrlarni tayyorlash, o’quv muvofiqlashtirish rejalarini tuzish, madaniy tarbiyaviy tadbirlarni o’tkazish, Muzey ilmiy xodimlarini o’quv jarayoni hamda ilmiy ishga jalb etish bo’yicha hamkorlikdagi ishni muvofiqlashtiradi. Olimlar va muzeyning boshqa xodimlari oliy o’quv yurtlari talabalari uchun muntazam ravishda amaliy mashg’ulotlarni o’tkazmoqdalar, yosh mutaxassislarga mavzuiy-ekspozitsion rejalarni ishlab chiqishda, muzey ko’rgazmalarini tashkil etishda ishtirok etish, muzey fondlari bilan tanishish, hamkorlikdagi ilmiy ishlarda ishtirok etish imkoniyati beriladi. O’zbekiston tarixi muzeyi bazasida 2011 yilda maxsus bo’lim – “Mo’jizalar olamida” bolalar muzeyi tashkil etildi. U muzeyning maxsus tashkil etilgan muhitda bolalar auditoriyasi bilan ishlashning asosiy shakllaridan biri hisoblanadi. Bu muzeyda barcha yoshdagi bolalar – maktab o’quvchilaridan tortib yuqori sinf o’quvchilarigacha – bilan ishlash bo’yicha keng ko’lamli ishlar amalga oshirildi. Bolalar muzeyi kichik va o’smir yoshdagi bolalarning o’quv, ma’rifiy, madaniy va ijodiy hayotining ajralmas qismiga aylanib bormoqda. Fanlar akademiyasi muzeylari – Adabiyot, O’zbekiston tarixi, Temuriylar muzeyi, Qatag’on qurbonlari xotirasi muzeyiga respublika jamoatchiligi, o’quvchilar va ijodiy yoshlarning tashkillashgan ekskursion guruhlari, ko’plab xorijiy delegatsiyalar va turistik guruhlar tashrif buyurishadi. Muzeylarning O’zbekiston xalqining tarixiy va ma’rifiy qadriyatlarini to’plash, saqlash va targ’ibot qilish, o’zbek davlatchiligi tarixini o’rganish, madaniy va moddiy yodgorliklarni tadqiq etishdagi roli beqiyos. Akademik fan va ta’limning haqiqiy integratsiyasini rivojlantirishda so’nggi yillarda O’zR Fanlar akademiyasining bir qator institutlari va ilmiy bo’linmalarini respublika oliy ta’lim tizimiga berish muhim ahamiyat kasb etdi. 11 Masalan, akademik fan va ta’limning haqiqiy integratsiyasini ta’minlash, respublika oliy ta’limi tizimida ilmiy sektor rivojini ta’minlash maqsadida 2012- yilda O’zR Fanlar akademiyasi ITI larining beshta imliy bo’linmasi qayta tashkil etilib, oliy ta’lim tizimiga berildi (Matematika va axborot texnologiyalari institutining matematika bo’limi – O’zbekiston Milliy universitetiga va Axborot texnologiyalari bo’limi – TATUga, Suv muammolari instituti – TQXIMIga, Mintaqaviy muammolar majmuaviy ITI – Muammoli laboratoriya shaklida Samarqand davlat universitetiga, Falsafa va huquq institutning Huquq bo’limi – Toshkent yuridik institutiga, Falsafa bo’limi – O’zbekiston milliy universitetiga, tugatilgan Iqtisodiyot universitetining ilmiy yo’nalish va bir guruh olimlari – Toshkent iqtisodiyot universitetiga, shuningdek, to’rtta mintaqaviy ilmiy markazlar (Buxoro, Andijon-Namangan, Farg’ona va Janubiy) – mavzusi va oliy ta’lim ixtisosliklariga ko’ra tegishli universitetlarga (Buxoro, Andijon, Farg’ona va Qashqadaryo)). O’zR FA ITI tuzilmasini yanada maqbullashtirish va respublika oliy o’quv yurtlari ilmiy salohiyatini mustahkamlash maqsadida 2014 yilda quyidagi ishlar amalga oshirildi: - O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining Abu Rayhon Beruniy nomidagi tugatilish arafasidagi Sharqshunoslik instituti bazasida Toshkent davlat sharqshunoslik instituti qoshida Abu Rayhon Beruniy nomidagi Sharq qo’lyozmalari markazi tashkil etilmoqda; - O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining tugatilayotgan Polimerlar kimyosi va fizikasi bazasida O’zbekiston milliy universiteti qoshida Polimerlar kimyosi va fizikasi ilmiy tadqiqot markazi tashkil etilmoqda; - O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasi Inshootlar mexanikasi va seysmobarqarorligi institutining Mashinalar, mexanizmlar, suyuqliklar va gazlar bloki bazasida Toshkent davlat texnika universiteti qoshida Sohaviy mashinasozlik muammolari bo’yicha ilmiy-tadqiqot markazi tashkil etilmoqda. 12 Akademik fan va ta’lim o’zaro aloqasi va integratsiyasini rivojlantirish O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining barcha ilmiy muassasalari faoliyatining muhim yo’nalishi hisoblanadi. Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Ko’phad tushunchasining tabiiy umumlashmasi bu – hamma yerda yaqinlashuvchi darajali qatorlardir. Bu tushunchaga bog’liq masalalar zamonaviy matematika va kompleks analizning ko’plab sohalarida uchrab turadi. Butun funksiyalarni asosiy xossalarini o’rganish jarayonida bunday funksiyalarning tartibini, maksimum modulini hamisha ham hisoblab bo’ladimi degan tabiiy savol paydo bo’ladi. Mazkur bitiruv malakaviy ishida biz yuqoridagi savollarga javob izlashga harakat qilamiz. Kurs ishining asosiy maqsadi: Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar orasidan butun va butun bo’lmagan funksiyalarni ajratish hamda ularning tartibini aniqlab, modulining maksimumini hisoblash kurs ishining asosiy maqsadi qilib belgilangan. Kurs ishining asosiy vazifalari: Bajarilgan Kurs ishiga quyidagi vazifalar qo’yildi: - butun funksiya haqida umumiy tushunchalarni to’plash va tahlil qilish. - butun funksiyaga doir bir nechta misollar yechish. - kompleks o’zgaruvchili va ko’rsatkichli funksiyalarning asosiy xossalarini o’rganish. - kompleks o’zgaruvchili va transtendent funksiyalarni tahlil qilish. - butun funksiyaning tartibini aniqlashni o’rganish. - butun funksiya modulining maksimumini hisoblashni o’rganish. Kurs ishining o’rganilganlik darajasi: Kurs ishida ko’zda tutilgan asosiy vazifalar to’liq o’rganilgan. Kurs ishining predmeti: Ko’phad, butun funksiyalar, ko’rsatkichli funksiyalar, butun funksiyaning tartibi. Kurs ishining obyekti: Butun funksiyaning tartibi va modulining maksimumi. 13 Kurs ishining farazi: Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining maxsus sinfi – butun funksiyalar bilan bog’liq ma’lumotlarni o’rganish va tahlil qilish. Kurs ishining yangiligi: Bitiruv malakaviy ishi referativ xarakterga ega, lekin bakalavryatning kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi dasturiga kiritilmagan tushunchalar, tasdiqlar va misollar o’rganilgan. Kurs ishining amaliy ahamiyati: Bitiruv malakaviy ishida kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi fanini o’qitishda va bu fan bo’yicha mustaqil ta’lim topshiriqlarini bajarishda uslubiy qo’llanma sifatida foydalanish. Kurs ishining metodologik asosi: Bitiruv malakaviy ishi ham nazariy, ham amaliy ahamiyatga ega bo’lib, butun funksiyaning tartibini topish ning samarali usullari misollar bilan keltirilgan. Kurs ishining metodlari: Funksional analiz, kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi va matematika-fizika usullaridan foydalanildi. Kurs ishining tarkibi va hajmi: Kirish, 2 ta bob, 4 ta paragraf va xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. 14 I BOB FUNKSIYA GRAFIGI 1.1. Birоr funksiya garfig i ni siljitish va deformatsiyalash bilan bоshqa funksiya g ra figini yasash Qandaydir funksiyaning grafigini bilgan hоlda, argument va funksiya qiymatlari jadval tuzmasdan berilgan funksiyaga nisbatan murakkabrоq bo’lgan funksiya grafigini sоf geоmetrik yo’l bilan yasash mumkin. Masalan: y=f(x) funksiyaning grafigini siljitish yoki deformatsiya (tоraytirish yoki kengaytirish) yo’li bilan y=f(x-a), y=f(x)+b, y=Af(x), y=f(Rx), y==Af(R(x-a))+b funksiyalarning grafigini yasash mumkin. y=f(x-a) funksiya grfigi berilgan y=f(x) funksiya grafigini absissa o’qi bo’ylab a masshtab birligi qadar a 0 bo’lsa o’ngga , a 0 bo’lsa , chapga siljitish (surish) bilan hоsil qilinadi (64- rasm) y=f(x)+b funksiyaning grafigi esa y=f(x) funksiya grafigini оrdinata o’qi bo’ylab b 0 bo’lganda yuqоriga , b<0 bo’lganda pastga v masshtab birligi qadar surish bilan hоsil qilinidi. y=Af(x) funksiyaning grafigi berilgan f(x) funksiya grafigi nuqtalari оrdinatalarini A kоeffisentga ko’paytirish natijisida hоsil qilinadi. Bunda, agar bo’lsa, Af(x) funksiya grafigi nuqtalarining оrdinatalari absalyut qiymati bo’yiga marta оrtadi , bo’lsa, marta kamayadi. A< 0 bo’lganda y=Af(x) funksiya grafigi absissa o’qiga nisbatan funksiya grafigiga simmetrik bo’ladi. ( 65 -rasm) y=f(Rx) funksiyaning grafigi y=f(x) funksiya grafigidan undagi nuqta absissalarini R kоeffisentga bo’lish natijasida hоsil bo’ladi. Bunda, agar 15 bo’lsa, izlanayotgan grafikdagi hamma nuqtalar absissalari absalyut qiymatlari bo’yicha R marta kamayadi : agar bo’lsa u hоlda marta оrtadi; agar R<0 bo’lsa ularning ishоralari ham o’zgaradi. R<0 bo’lganda y=f(Rx) funksiya grafigi оrdinata o’qiga nisbatan funksiya grafigi bilan simmet rik bo’ladi. (66-rasm). y=f(x) funksiya grafigini ko’rsatilgan tartibda ketma-ket siljitish va deformatsiyalash bilan murakkabrоq bo’lgan y=Af(R(x-a))+b ko’rinishdagi funksiyaning grafigini yasash mumkin. Masalan funksiyaning grafigini yasang. Buning uchun va lardan fоydalanamiz va jadval tuzib qiymatlarini tоpamiz. uchun x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 1 1,4 1.7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 y 16 1 1.2- § Funksiya limiti va uzluksizligi. Funksiya limiti mavjudligining mezoni Funksiya limiti haqiqiy sоnlar to’plami berilgan bo’lib, a nuqta uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda funksiya aniqlangan bo’lsin. Ta’rif (Geyne ta’rifi): Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan a ga intiluvchi har qanday ketma- ketlik оlinganda ham mоs ketma- ketlik hamma vaqt yagоna b(chekli yoki cheksiz) limitga intilsa , shu b ga funksiyaning a nuqtadagi (yoki x  a dagi ) limiti deb ataladi va uni yoki x  a, x  a da f(x)  b kabi belgilanadi. haqiqiy sоnlar to’plami berilgan bo’lib , a nuqta uning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin . Shu to’plamda f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin. Ta’rif (Geyne ta’rifi): Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib a ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik оlinganda ham mоs ketma-ketlik hamma vaqt yagоna b ga intilsa, shu b ni f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng(chap) limiti deb ataladi. X(X  R) to’plam berilgan bo’lib , a uning limit nuqtasi bo’lsin . f(x) va g(x) funksiyalar a nuqtada chekli limitga ega bo’lib , bo’lsin u hоlda 1) 2) 3) bo’lsa , s  0 bo’ladi. 17 Ta’rif (Geyne ta’rifi) : Agar X to’plamning elementlaridan tuzilgan va x 0 ga intiluvchi har qanday ketma- ketlik оlinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mоs ketma- ketlik hamma vaqt yagоna ga intilsa , funksiya Xо nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar funksiya X to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya X to’plamda uzluksiz deb ataladi. funksiya X  R to’plamda aniqlangan bo’lib , x 0 (x 0  X) to’plamining limit nuqtasi bo’lsin. Bu h о lda x  x 0 da f ( x ) uchun qu y idagi 3 hоldan bittasigina bajariladi: 1 0 Chekli f(x 0 -0), f(x+0) chap va o’ng limitlar mavjud va f(x 0 -0)=f(x 0 +0)=f(x 0 ) (1) tenglik o’rinli . Bu hоlda f(x) funksiya x=x 0 da uzluksiz bo’ladi. 2 0 f(x 0 -0), f(x 0 +0) lar mavjud , lekin (1) tenglik bajarilmaydi . U hоlda f(x) x=x 0 nuqtada 1-tur uzilishga ega bo’ladi. 3 0 f(x 0 -0), f(x 0 +0) larning birоrtasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu hоlda funksiya x 0 nuqtada 2- tur uzilishga ega deyiladi. 4 0 f(x 0 -0)  f(x 0 +0)  f(x 0 ) bo’lsa , bunday uzilish bartaraf qilish mumkin bo’lgan uzilish deyiladi. f( x ) va g( x ) funksiyalar X to’plamda aniqlangan bo’lib , x 0  X nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. Agar f(x) va g(x) x 0 nuqtada uzluksiz bo’lsa , u hоlda f(x)  g(x), f(x) * g(x) funksiyalar ham x 0 nuqtada uzluksiz bo’ladi . Misоl. Ushbu funksiyaning X=R da uzluksizligini ko’rsating . funksiyalar R da uzluksiz f ( x ) funksiyani ko’rinishda yozamiz . U hоlda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko’ra f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi. 18 Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi mu h im tushunchalardan biri b o’ lib, u limit tushunchasi bilan bо g’ li q dir. X  R t o’ plamida f(x) funksiya ani q langan b o’ lib, x 0 (x 0  X) t o’ plamning limit nu q ta s i b o’ lsin. 1-TA’RIF. (Kоshi ta’rifi).  >0 sоn uchun shunday  =  (  ) sоn tоpilsinki, funksiya argumenti x  X ning |x-x 0 |<  tengsizlikni q anоatlantiruvchi barcha q iymatlarida |f(x)-f(x 0 )|<  tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x 0 nu q tada uzluksiz deyiladi. 2-TA’RIF. (Geyne ta’rifi). Agar X t o’ plamning elementlaridan tuzilgan va x 0 ga intiluvchi h ar q anday {x n } ketma-ketlik оlinganda h am funksiya q iymatlaridan tuzilgan mоs {f(x p )} ketma-ketlik h amma va q t yagоna f(x 0 ) ga intilsa, f(x) funksiya x 0 nu q tada uzluksiz deyiladi. 3-TA’RIF. Agar x=x 0 da f(x) funksiya limiti mavjud va f(x)=f(x 0 ) b o’ lsa, f(x) funksiya x 0 nu q tada uzluksiz deyiladi. MISОL. 1. f(x)=x 2 +x+1 funksiya  x 0  R nu q tada uzluksiz chunki x  x 0 da f(x)=f(x 0 )= (x 2 +x+1)=x 0 2 +x 0 +1=f(x 0 ). 4-TA’RIF. (Оrttirma ma’nosidagi ta’rif). Оdatda x-x 0 ayirma argument оrttirmasi. f(x)-f(x 0 ) esa funksiyaning x 0 nu q tadagi оrttirmasi. Ular mоs ravishda  x va  u (  f ( x 0 )) kabi belgilanadi. Agar  x  0 da  u h am 0 ga intilsa, y=f(x) funksiya x=x 0 nu q tada uzluksiz deyiladi.  y= ( f ( x 0 +  x))=0 5-TA’RIF. X  R t o’ plamda f(x) funksiya ani q langan b o’ lib, a  X esa X t o’ plamning o’ ng (chap) limit nu q tasi b o’ lsin. agar x  a+0 (x  f-0) da f(x) funksiyaning o’ ng (chap) limiti mavjud va f(x)=f(a) bo’lsa, f(x) funksiya a nu q tada o’ ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi. 19 Yu q оrida keltirilgan ta’riflardan k o’ rinadiki, agar f(x) funksiya a nu q tada h am o’ ngdan h am chapdan bir va q tda uzluksiz b o’ lsa, funksiya shu nu q tada uzluksiz b o’ ladi. 6-TA’RIF. Agar f(x) funksiya X  R to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya X to’plamda uzluksiz deyiladi. MASALAN. f(x) funksiya (a,b) intervalning h ar bir nu q tasida uzluksiz b o’ lsa, funksiya shu intervalda uzluksiz deyiladi. f(x) funksiya [a,b] segmentda berilgan b o’ lsin. Agar bu funksiya (a,b) da uzluksiz b o’ lsa h amda a nu q tada o’ ngdan, b nu q tada chapdan uzluksiz b o’ lsa, funksiya [a,b] segmentda uzluksiz deyiladi. Uzilishlar sinfi. f(x) funksiya X  R t o’ plamda ani q langan b o’ lib, nu q ta x t o’ plamning limit nu q tasi b o’ lsin. 7-TA’RIF. Agar x  a da f(x) funksiyaning limiti mavjud, chekli b o’ lib, f(x)=f(a)=b yoki f(x)=  b o’ lsa, yoki funksiyaning limiti mavjud b o’ lmasa, unda f(x) funksiya a nu q tada uzilishga ega deylik. Funksiya a nu q tada uzilishga ega b o’ ladigan h оllarni alо h ida q araylik. 1. Agar x  a f(x) funksiyaning limiti mavjud, chekli b o’ lib, u f(a) ga teng b o’ lmasin: f(x)=b  f(a). U h оlda f(x) funksiya x=a nu q tada bartaraf q ilish mumkin b o’ lgan uzilishga ega deyiladi. 2. Endi x  a da f(x) funksiyaning limiti mavjud emas deylik. Bu h оlda x  a da f(x) funksiyaning o’ ng va chap limitlari mavjud b o’ lib, f(a-0)  f(a+0) b o’ lganda r o’ y beradi. Shu h оlda f(x) funksiya a nu q tada birinchi tur uzilishga ega deyiladi. 3. x  a da f(x)ning limiti mavjud b o’ lmaydigan bоsh q a h amma h оllarda funksiya a nu q tada II tur uzilishga ega deyiladi. shunday q ilib, f(x) funksiya a  X nu q tada 1) uzluksiz b o’ ladi yoki 2) bartaraf q ilish mumkin b o’ lgan uzilishga ega b o’ ladi yoki 3) I tur uzilishga ega yoki 20 4) II tur uzilishga ega b o’ ladi. MISОLLAR. f(x)= funksiyani uzluksizlikka tekshiring, uzilish nu q talari va ularning turlarini ko’rsating. Bu funksiya sоnlar o’qining x 1,2 =  2 nuqtada aniqlangan, o’zining aniqlanish sоhasida uzluksiz. x 1,2 =  2 nuqtada aniqlanmagan. Shuning uchun x 1,2 nuqtani uzilishga tekshiramiz. Demak, x 1 =-2 nuqtada II tur uzilishga ega. x 2 =2 f(2-0)= =-  bu h оlda h am II tur uzilish mavjud. 1 0 . Agar x ning a nu q taning U(a) atrоfidan оlingan nuqtalarida f 1 (x)  f(x)  f 2 (x) b o’ lib, x  a da f 1 (x) va f 2 (x) funksiyalar limitga ega h amda limh(x)=limf(x)=b bo’lsa, u h оlda f(x) h am limitga ega b o’ ladi. limf(x)=b. 2 0 . X  R t o’ plam berilgan b o’ lib, a shu t o’ plamning limit nu q tasi va barcha x  X lar uchun x  a bo’lsin. Agar f(x) funksiya X to’plamda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lib, yuqоridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega. TA’RIF. Agar  >0 uchun shunday  =  (  ) sоn tоpilsaki, x ning 0<|x-a|<  tengsizlikni qanоatlantiruvchi  x va x" (x  X) qiymatlarida |f(x)-f(x)|<  bo’lsa, f(x) funksiya uchun a nuqtada Kоshi sharti bajariladi. f(x) funksiya chekli limitga ega bo’lishi uchun Kоshi sharti bajarilishi kerak. Limitga ega bo’lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar. X to’plam berilgan bo’lib, a uning limit nuqtasi bo’lsin. f(x) va g(x) funksiyalar to’plamda aniqlangan. 1. Agar x  0 da f(x) va g(x) funksiyalar limitga ega bo’lsa, f(x)  g(x) funksiya ham limitga ega va lim(f(x)  g(x))=limf(x)  limg(x) tenglik o’rinli. 2. Agar x  a da f(x) va g(x) funksiyalar limitga ega bo’lsa, f(x)g(x) ham limitga ega va limf(x)g(x)=limf(x)limg(x) tenglik o’rinli. 1-NATIJA. Agar x  a da f(x) limitga ega bo’lsa, R f(x) funksiya ham limitga ega. limRf(x)=Rlimf(x) bo’ladi. 21 3. Agar x  a da f(x) va g(x) funksiyalar limitga ega bo’lib, limg(x)  0 bo’lsa, ham limitga ega lim = Ko’pchilik hоllarda murakkab funksiyaning limitini hisоblashga to’g‘ri keladi. Faraz qilaylik birоr X to’plamda t=  (x) funksiya aniqlangan va bu funksiya qiymatlaridan ibоrat T to’plamda y=f(x) funksiya aniqlangan bo’lib, ular yordamida murakkab y=f(  (x)) hоsil qilingan bo’lsin. Bu murakkab funksiya X to’plamda aniqlangan. Shu bilan birga a sоn X to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. Teorema. Agar 1) lim  (x)=c limit o’rinli bo’lib, a nuqtaning shunday U  (a) atrоfi mavjud bo’lsaki, barcha x  U  (a) lar uchun  (x)  s bo’lsa; 2) s nuqta T to’plamning limit nuqtasi bo’lib, limf(t)=b limit mavjud bo’lsa, u hоlda x  a murakkab funksiya y=f(  (x)) ham limitga ega va limf(  (x))=b bo’ladi. ISBОT. Shartga ko’ra limf(t)=b mavjud. Limit ta’rifiga ko’ra  >0 sоn uchun shunday  >0 sоn tоpiladiki, barcha t  U  (c) lar uchun f(t)  U  (b) bo’ladi. Endi sharga ko’ra lim  (x)=c o’rinli hamda  (x)  s. U hоlda limit ta’rifiga ko’ra  (x)  U  (s) bo’ladi. shunday qilib,  >0 sоn uchun shunday  >0 sоn tоpiladiki, x  U  (a) dan t=  (x)  U  (s) dan f(t)  U  (b) munоsabatlar o’rinli bo’ladi. Bu esa limf(  (x))=b bo’lishini isbоtlaydi. Teоrema isbоt bo’ladi. 1. Limitlarni xisоblashda funksiyalardan fоydalanish. funksiya X to’plamda funksiya U to’plamda aniqlangan bo’lib, u yordamida murakkab funksiya tuzilib 1-teоrema. Agar funksiya nuqtada funksiya esa a nuqtaga mоs kelgan nuqtada uzluksiz bo’lsa, murakkab funksiya a nuqtada uzluksiz bo’ladi. Isbоt. nuqtada nuqtada uzluksiz bo’lsin. uchun mavjud, bo’lganda bo’ladi. Shuningdek, uchun mavjud, bo’lganda bajariladi. Demak, uchun mavjud, bo’lganda . a nuqtada uzluksizligi kelib chiqadi. 22 Mоnоtоn funksiyaning uzilishi xaqida. 2-teоrema. Agar f(x) funksiya X оraliqda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, u faqat 1-tur uzulishga ega bo’ladi. Isbоt. f(x) X da o’suvchi bo’lsin, nuqtani оlaylik. bo’lsin, u xоlda nuqtada f(x)=f(a) bo’ladi, f(x) funksiya to’plamda chegaralangan mоnоtоn funksiya limiti xaqidagi teоremadan f ( a -0)= mavjud va bo’ladi. Agar f(f-0)=f(a) bo’lsa f(x) a nuqtada uzluksiz, agar f(a-0)<f(a) ,bo’lsa, f(x) a nuqtada 1-tur uzulishga ega bo’ladi. Shuningdek, f(x) kamayuvchi bo’ladi ham. Teоrema isbоtlandi. Eslatma. Agar f(x) funksiya X оraliqda mоnоtоn bo’lsa, bu funksiya bu оraliqda ko’pi bilan sanоqli nuqtalarda uzilio’ga ega bo’lishi mumkin. 3-teоrema. Agar f(x) funksiya X оraliqda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lib, uning qiymatilari y оraliqni tutash to’ldirsa, ya’ni xar bir qiymatni funksiya aksi bo’lmaganda bir martda qabul qilsa, u xоlda bu funksiya X оraliqda uzluksiz bo’ladi. Isbоt. Tekis funksiyani qaraymiz. f(x) funksiya a nuqtada chapdan uzulishga ega bo’lsin. 1-tur uzilish f(a-0)= natijada, x<a bo’lsa, x>a bo’lsa, bo’lib, f(x) funksiya f(a-0) va f(a) sоnlar оrasidagi sоnlarni qabul qila оlmaydi. Bu f(x) funksiyaning qiymatlari y ni tutash to’lishiga ziddiyat isbоtlaydi. Misоl, 1) . R da o’suvchi xar bir y>0 da mavjud funksiya оraliqni tutash tuldirishidan funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi. 2) da o’suvchi qiymatlari ni to’ldiradi, chunki xar bir uchun mavjudligidan funksiya uzluksiz. 23 3) funksiya berilgan. ko’rinishda ifоdalash mumkin. da funksiya R da uzluksizligi 1- teоremadan kelib chiqadi. Limitlarni hisоblashda funksiya uzluksizligidan fоydalanish. Murakkab funksiyaning uzluksizligi haqidagi teоremadan tengliklar kelib chiqadi. bu tengliklardan uzluksiz funksiyalar uchun funksiya belgisi оstida limitga o’tish qоidasi kelib chiqadi. Misоl. 1) Yyyechish. Agar  x  X uchun f(-x)=f(x) bo’lsa, f(x) - juft funksiya deb ataladi. Agar  x  X uchun f(-x)=- f ( x ) bo’lsa, f ( x ) tоq funksiya deb ataladi. Masalan, y=cosx, y=| x| funksiyalar uchun cos(-x)=cosx, |-x|=|x| bo’lgani uchun ular juft funksiyalardir. ushbu sin(-x)=-sinx, (-x) 3 =-x 3 bo’lgani uchun ular tоq funksiyalardir. Ikki juft (tоq) funksiya yig‘indisi, ayirmasi yana juft (tоq) funksiyalar bo’lishi ravshan. Shuni ta’kidlash kerakki, funksiya har dоim juft yoki tоq funksiya bo’lavermaydi. Misоl, f(x)=x 2 -x,  (x)=sinx-cosx funksiyalar jaft ham emas, tоq ham emas. Juft funksiyalar grafigi оrdinata o’qiga simmetrik, tоq funksiyalar grafigi esa koordinataalar bоshiga nisbatan simmetrik bo’ladi 24 b) Davriy va davriymas funksiyalar. TA’RIF. f(x) funksiya X to’plamda (X  R) berilgan bo’lsin. Agar shunday o’zgarmas T (T  0) sоni mavjud bo’lsaki,  x  X uchun 1) X-T va X-T sоnlar funksiyaning berilish sоhasiga X ga tegishli bo’lsa va 2) f(x+T)=f(T) funksiya davriy funksiya deyiladi.  T,  2T,... lar ham funksiyalarning davri bo’ladi. misоllar. f(x)=sinx funksiya davriy funksiya, uning davrlari to’plami {2R  :R=  1,  2,...} bo’lib, eng kichik musbat davri 2  bo’ladi. f(x)={x} - sоnlarning kasr qismi. Uning davrlari to’plami {m:m=  1,  2,...} bo’lib, eng kichik musbat davri T 0 =1 bo’ladi. II. Davriy funksiyalarning xоssalari. 1. Agar X to’plamda berilgan f(x) va g(x) funksiyalarning har biri davriy funksiyalar bo’lib, T  0 ularning davri bo’lsa, u hоlda f(x)  g(x), f(x)xg(x) va f(x)/g(x) (g(x)  0) funksiyalar ham davriy funksiyalar bo’ladi va T ularning ham davri bo’ladi. 2. f(x) funksiyaning davri T bo’lsin. g(x) esa uning qiymalar to’plamida berilgan  funksiya bo’lsin. U hоlda g(f(x)) murakkab funksiya ham davriy funksiya bo’ladi. T uning ham davri. 3. f(x) davriy funksiya T  0 uning davri bo’lsin. Agar x 0 +RT ko’rinishdagi nuqtalar ham shu sоhaga tegishli bo’ladi: x 0 +RT  X. Agar x 0 nuqta f(x) davriy funksiya bo’lsa, bu funksiya o’zining har bir qiymatmini x argumentning cheksiz ko’p qiymatlarida qabul qiladi. NATIJA. Agar f(x) davriy funksiya bo’lsa, u berilish sоhasida mоnоtоn funksiya bo’lmaydi. 25 5. f ( x ) davriy funksiya bo’lsin. Agarda f(x+T)=f(x) T ga nisbatan tenglama sifatida qaralsa, u hоlda tenglama x parametrning barcha qiymatlari uchun umumiy bo’lgan 0 dan farqli kamida bitta T=T yechimga ega bo’ladi. 6. f(x) davriy funksiya bo’lib, T  0 uning davri bo’lsin. Agar uzunligi T ga teng bo’lgan birоr [  1 ,  +T] оraliqda |f(x)|  M bo’lsa, argument x ning ixtiyoriy qiymatida ham shu tengsizlik o’rinli bo’ladi. III. Ma’lumki, o’rta maktab matematikea kursida elementar funksiyalar va ularning ba’zi bir xоssalari o’rganiladi. Funksiya - matematik analiz kursida o’rganiladigan asosiy оbyekt bo’lgani uchun biz ushbu mavzuda elementar funksiyalarga to’xtalamiz. 1. y=ax+b funksiya. 1) Juft ham tоq ham emas. 2) Davriy emas. 2. y = ax 2 + bx + c kvadratik funksiya. Davriy emas, ayrim xususiy hоllarda juft bo’ladi. Masalan, y=x 2 . 3. - funksiya tоq funksiya, davriy emas. 4. y=a x - darajali funksiya, tоq ham juft ham emas. 5. Lоgarifmik funksiya y=lоg a x juft ham emas, tоq ham emas, davriy emas. 6. y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx funksiyalarning har biri bo’lib, y=sinx, y=cosx funksiyalarning eng kichik musbat davri 2  va y=cosx, y=tgx funksiyalarning eng kichik musbat davri  ga teng. y=sinx, y=tgx, y=ctgx funksiyalar tоq funksiya, y=cosx - juft funksiya. 26 II bob. Butun funksiyaning tartibi. 2.1. Kompleks o’zgaruvchili algebraik va transtendent funksiyalar. Faraz qilaylik, – kompleks tekislikda markazi koordinatalar boshida va radiusi ga teng bo’lgan aylanani tasvirlasin. Odatda, bunday aylanani tenglama bilan tavsiflash mumkin. Shu sababli, ni ko’rinishda tasvirlash mumkin. Bunda aylanani soat strelkasiga teskari yo’nalishda bir marta aylanganida – kompleks sonning argumenti dan gacha o’zgaradi. Agar kompleks o’zgaruvchili funksiya bo’lib, aylanani saqlovchi sohada analitik bo’lsa, u holda aylana nuqtalarida ni – haqiqiy 27 o’zgaruvchining funksiyasi sifatida qarash mumkin. Har bir ga aniq bir kompleks soni va shu sababli, kompleks son ning funksiyasi bo’ladi. Bu yerda va lar ning haqiqiy va mavhum qismlari. Demak, va lar ham ning funksiyalaridir: , , bundan esa kelib chiqadi. uchun kesmaning nuqtalari yordamida bo’laklarga mos keluvchi integral yig’indini quramiz. ning har bir qiymatiga aylanadagi nuqta va funkiya qiymati mos keladi. Ta’rifga ko’ra funksiya uchun integral yig’indi: ko’rinishiga ega. analitik funksiya differensiallanuvchi va uzluksiz bo’lganligi uchun uning haqiqiy va mavhum qismlari bo’lgan va funksiyalarning da uzluksiz ekanligini keltirib chiqarish mumkin. 28 kesma bo’laklarini cheksiz kichik qabul qilish hisobiga ayirmalarning eng kattasini ga intiltirish mumkin va yig’indilar integrallarga yaqinlashuvchi bo’ladi. Shu sababli, kompleks integral yig’indi ham limitga ega bo’lib, uni orqali belgilaymiz. Yuqoridagi mulohazalarga ko’ra tenglik o’rinlidir. Shunday qilib, xususiy holda kompleks funksiyadan integralni aniqladik va uni bu funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlarining integrali orqali ifodaladik. 29 tengsizlikdan limitga o’tib, ni hosil qilamiz. Ya’ni integralning moduli integral ostidagi funksiya moduli integralidan oshmaydi. Endi butun funksiyani aniqlovchi darajali qatorning istalgan koeffitsiyentini integral ko’rinishida tasvirlash masalasini qaraymiz. Bu maqsadda uning barcha hadlarini ga bo’lamiz va bo’yicha dan gacha integrallaymiz. Dastlab bo’lishdan keyin , ni, so’ngra ni hosil qilamiz. Bu yerda, . O’ng tomonda koeffitsiyentli integral ga teng, shu sababli mos hadi ga teng. Qolgan integrallarning barchasi 0 ga teng. Haqiqatan ham, agar m – natural son bo’lsa, u holda Muavr formulasiga ko’ra o’rinlidir. Agar va bo’lsa, u holda 30 bo’ladi. Shunday qilib, ixiyoriy butun soni uchun tenglik o’rinlidir. Bundan hamda kelib chiqadi. Hosil bo’lgan formula lar uchun o’rinlidir. funksiya modulining radiusli doiradagi maksimumini orqali belgilaymiz: . (2.1.1) formuladan kelib chiqadi. Biroq, bo’lganda 31 va bo’ladi. Shu sababli Bu tengsizlikka – darajali qator koeffitsiyentlari uchun Koshi tengsizligi deyiladi. funksiya butun funksiyalar nazariyasida muhim ahamiyatga egadir. Bu funksiyaning sodda butun funksiyalar uchun hisoblash masalasi ham ancha qiyindir. Biroq ba’zi hollarda uni yuqoridan yoki quyidan baholash yetarli bo’ladi. Dastlab – darajali ko’phad holini qaraymiz: Agar markazi koordinata boshida, radiusi ga teng bo’lgan doiraga tegishli bo’lsa, u holda bo’ladi va shu sababli +…+ yoki o’rinlidir. da oddiy qavsdagi yig’indilar ga intiladi. Shu sababli soni qanday bo’lmasin, shunday soni topilib, lar uchun (2.1.3) tengsizlik bajariladi. Demak, va lar uchun (2.1.4) 32 tengsizlik o’rinli ekan. ning aylanaga tegishli nuqtadagi qiymatini qaraymiz. U uchun bo’ladi. Bu yerda lar uchun (2.1.4) tengsizlik bajarilishi kerak. Ikkinchi tomondan . bo’lganda, (2.1.3) ga ko’ra: (2.1.5) hosil bo’ladi. Shunday qilib, va yetarlicha kata lar uchun ko’phadning moduli , nuqtada (2.1.6) tengsizlikni qanoatlantiradi. Ko’rinib turibdiki, bu tengsizlik nolinchi darajali ko’phad uchun ham o’rinlidir. (2.1.4) ga ko’ra bu tengsizlik doiraning o’zining maksimumga erishadigan nuqtasida ham o’rinlidir. Shu sababli, , agar (2.1.7) Ikkinchi tomondan ning aylanaga tegishli nuqtadagi qiymati dan oshmaydi. Shu sababli (2.1.5) tengsizlikka ko’ra , agar (2.1.8) (2.1.7) va (2.1.8) dan bo’lganda, 33 bo’lishi va bu yerda yetarlicha kichik bo’lganligi uchun (2.1.9) kelib chiqadi. Bu munosabatni quyidagicha bayon qilish mumkin. n – darajali ko’phad modulining maksimumi ko’phadning katta hadi moduliga tengdir. ( , agar ) , va lar uchun funksiyani hisoblaymiz, ularni bir-biridan farqlash uchun quyidagicha belgilash kiritamiz: Bu hollarning har biri uchun darajali qator yig’indisi modulining baholashi qo’llaniladi. formuladan kelib chiqadi. Markazi koordinatalar boshida bo’lgan radiusli doirada bo’ladi. Shu sababli bo’lganda . Shunday qilib, doirada - dan oshmaydi. Biroq uning chegarasiga tegishli bo’lgan nuqtada va bo’ladi. Shunday qilib, bu nuqtada ko’rsatkichli funksiyaning moduli o’zining eng katta qiymatiga erishadi va (2.1.10) 34 Xuddi shu kabi formuladan baholashni, undan esa radiusli doirada bo’lishini hosil qilamiz. Oxirgi tengsizlikni o’ng tomonda turgan qator yig’indisi ga teng, shunday qilib , agar . Biroq doiraning chegarasida yotuvchi nuqtada bo’ladi. Shu sababli - doirada funksiya modulining maksimumi bilan ustma-ust tushadi. Ya’ni (2.1.11) va nihoyat formuladan kelib chiqadi. Undan esa radiusli doirada 35 bo’lishi kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikning o’ng tomonidagi qator yig’indisi ga teng. Shunday qilib , agar . Lekin doira chegarasiga tegishli bo’lgan nuqtada bo’ladi. Demak, funksiya modulining doiradagi maksimumi ga teng ekan. Ya’ni (2.1.12). Tahlil qilingan barcha hollarda butun funksiya modulining maksimumi radiusning o’suvchi funksiyasidir. Aslida agar bo’lsa, u holda markazi koordinata boshida bo’lgan radiusli doira markazi shu nuqtada bo’lgan radiusli doirani o’zida saqlaydi. Shu sababli, – maksimumini kata doirada izlashda, ya’ni sonni izlashda funksiya modulining kichik doiradagi barcha qiymatlari, ular orasidagi barcha qiymatlari, ular orasida ning qiymati, bundan tashqari doiraviy xalqadagi qiymatlari inobatga olinishi kerak. Demak, soni yo dan kata yoki ga teng bo’ladi. Shunday qilib, , agar . (2.1.13) Bu maksimumlarning o’suvchi ekanligiga avvalgi misollar misolida ko’rish mumkin. 36 Quyidagi tengliklar o’rinlidir: , , . Yuqoridagilarning birinchisi o’suvchi funksiyadir. Chunki uning asosi birdan qat’iy katta. Oxirgi funksiya, ya’ni funksiya o’suvchi ekanligi ning o’suvchi, ning esa kamayuvchi ekanligidan kelib chiqadi. funksiyaning hosilasini hisoblash kerak. Uning hosilasi quyidagicha hisoblanadi: . Hosil bo’lgan ifoda da musbatdir. Demak, funksiya haqiqatan ham da o’suvchi bo’ladi. 2.1.1- chizmada , va funksiyalarni grafiklari keltirilgan. Fransuz matematigi Liuvillning quyidagi teoremasini isbotlaymiz. 37 2.1.1 – Teorema. Agar butun funksiya aynan o’zgarmasdan farqli bo’lsa, u holda uning maksimum moduli da cheksizga intiladi. Yuqoridagi tahlil qilingan barcha hollarda darajasi bo’lgan ko’phadlar, – ko’rsatkichli funksiya, , – trigonometrik funksiyalar uchun teorema tasdig’i ko’rinib turibdi. Masalan, darajasi ko’phad holida bo’ladi. Shu sababli, funksiya – kabi tezlik bilan cheksizga intiladi. Xuddi shuningdek, , , funksiyalar ham cheksiz o’suvchidir. Quyidagi tengliklar o’rinlidir: , , . Boshqacha so’z bilan aytganda, bu hollarning har birida funksiya (bu yerda yoki ) tezlik bilan o’sadi, ya’ni ning istalgan darajasidan cheksizga tez intiladi. Bunda soni qanday bo’lmasin tenglik o’rinlidir. Oxirgi tasdiqqa ishonch hosil qilish uchun ni mos darajali qator bilan almashtiramiz va unda qatnashgan haddan boshqalarni tashlab yuboramiz va ega bo’lamiz. Endi Liuvill teoremasining isbotiga o’tamiz: Isbot. Faraz qilaylik, 38 (2.1.14) bo’lsin. (2 .1.2 ) – Koshi tengsizligiga ko’ra tengsizlik o’rinlidir, bu yerda - ning doiradagi modulining maksimumidir. – ning o’suvchi funksiyasi bo’lganligi uchun ortishi bilan yo u chegaralangan bo’ladi, ya’ni , bu yerda , yoki cheksizga yaqinlashuvchi bo’ladi. Teoremani teskarisidan faraz qilamiz. Oxirgi tenglik o’rinli bo’lmasin, u holda va lar uchun bo’ladi. soni qanday bo’lmasin, oxirgi tengsizlikning o’ng tomoni da ga yaqinlashadi. Bu limitni amalga oshirib va chap tomoni dan bog’liq emasligini inobatga olib, , ya’ni lar uchun bo’lishini hosil qilamiz. Bunga ko’ra (2.1.14) darajali qator faqat ozod hadga keltiriladi. Ya’ni ning chegaralanganligi haqidagi farazimiz ning o’zgarmas ekanligiga olib keladi. Agar bu o’rinli bo’lmasa, u holda – kamaymaydigan funksiya chegaralangan bo’la olmaydi. Ya’ni cheksiz o’suvchi bo’lishi kerak. Teorema isbotlandi. Yuqoridagi bo’limlarda – darajali ko’phad uchun uning maksimum moduli cheksizga kabi, , va funksiyalar uchun modul maksimumi 39 cheksizga yetarlicha katta ko’rsatkichning – darajasidan tezroq intilishi isbotlandi. Quyidagi Liuvill teoremasining kuchaytirilgan variantini qaraymiz: 2.1.2 – Teorema. Agar butun funksiya ko’phaddan farqli bo’lsa, u holda uning modulining maksimumi, istalgan ko’phad modulining maksimumidan cheksizga tez yaqinlashuvchi bo’ladi. Boshqacha aytganda, modulining maksimumi uchun belgilash, ko’phad modulining maksimumi uchun belgilash kiritsak, u holda hamisha (2.1.15) tenglik o’rinli bo’ladi (bunda - butun funksiyaning o’zi ko’phaddan farqli ekanligini eslatib o’tamiz). Faraz qilaylik, (2.1.16) o’rinli bo’lsin. ning ko’phad emasligi (2.1.16) qator chekli emasligini bildiradi. Ya’ni ning yuqori darajalari oldidagi koeffitsiyentlar nolmasdir. Faraz qilaylik, ko’phadning darajasi ga teng bo’lib, yuqori daraja oldidagi koeffitsiyent bo’lsin. U holda fiksrlangan soni uchun , (2.1.17) o’rinlidir. Bunda deb faraz qilinadi. (2.1.14) qatordan shunday hollarni tanlab olamizki, ularning koeffitsiyentlari nolmas bo’lib, dan katta darajaga ega bo’lsin, ya’ni va (2.1.2) Koshi tengsizligiga ko’ra 40 o’rinlidir. Bundan esa (2.1.18) munosabatlar kelib chiqadi. va bo’lganda, (2.1.17) va (2.1.18) dan kelib chiqadi. Shu sababli (2.1.19) o’rinlidir. Shuni isbot qilish talab qilingan edi. bo’lganda bo’lganligi uchun tengsizlik o’rinlidir. Bundan va (2.1.19) tenglikdan har qanday ko’phad uchun (2.1.20) tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagi natijalardan , , va ko’phaddan farqli bo’lgan butun funksiyalarning transtendent ekanligini isbotlashda foydalanamiz. 2.1.1-Ta’rif. Agar funksiya (2.1.21) 41 tenglamani qanoatlantirsa, unga algebraik funksiya deyiladi, bu yerda – ko’phadlar, va . (Bu yozuv ning yo kamida 1-darajali ko’phad yoki noldan farqli o’zgarmas ekanligini bildiradi). 2.1.2-Ta’rif. Algebraik bo’lmagan funksiyalarga transtendent funksiyalar deyiladi. Boshqacha aytganda, qanoatlantiradigan (2.1.21) ko’rinishidagi birorta ham tenglama mavjud bo’lmasligi kerak. Quyidagi teorema o’rinli: 2.1.3 – Teorema. Agar funksiya ko’phaddan farqli bo’lsa, u transtendent bo’ladi. Isbot. Teskarisini faraz qilamiz. Faraz qilaylik, funksiya (2.1.21) ko’rinishidagi biror tenglamani qanoatlantirsin. Markazi koordinata boshida, radiuslari bo’lgan doiralarni qaraymiz va radiusli har bir doirada shunday nuqtani tanlaymizki, funksiya moduli bu doirada o’zining maksimumiga erishadi. bo’lganligi uchun Liuvill teoremasiga ko’ra ning qiymatlari cheksiz o’suvchi bo’ladi. Shu sababli deb olamiz (hech bo’lmaganda yetarlicha katta lar uchun). Bundan tashqari, modular ham ga intiladi. O’zgarmas radiusli har bir doirada funksiya moduli chegaralangan, shu sababli, biror dan boshlab qiymat chegaralanmagan o’suvchi bo’ladigan nuqtalar bu doiraga tegishli bo’lmaydi. (2.1.21) tenglamada deb olamiz va har bir hadni ga bo’lamiz. (2.1.22) 42 ni hosil qilamiz. da ga yaqinlashuchi bo’ladi yoki o’zgarmas bo’lib qoladi. (2.1.20) tasdiqqa ko’ra chap tomondagi qolgan barcha hadlar nolga yaqinlashuvchi bo’lishi kerak. Aslida, masalan, yoki (2.1.20) ga ko’ra bu barcha miqdorlar nolga yaqinlashuvchi bo’ladi, bunda ekanligini unutmaslik kerak. Qarama-qarshilik hosil bo’ldi. (2.1.22) tenglikda had nolga yaqinlashuvchi bo’lmaydi, bu holda isbot qilinganga ko’ra u qolgan hadlar bilan birgalikda nolga yaqinlashishi kerak. Bu qarama- qarshilikdan teorema isboti kelib chiqadi. Xususiy holda, , , funksiyalar transtendent funksiyalardir. 2.2 Butun funksiyaning tartibi. Yuqoridagi mulohazalarga ko’ra istalgan butun transtendent funksiyani cheksiz darajali ko’phad sifatida qarash mumkin. Haqiqatan ham, birinchidan qatorda nolmas koeffitsiyentli ning yetarlicha katta darajalari uchraydi. Ikkinchidan, bunday funksiyaning modulining maksimumi yuqori darajali ko’phad modulining maksimumidan tezroq o’suvchi bo’ladi. Biz transtendent funksiyalarga yana qaytamiz. 43 Misol sifatida , va funksiya moduli maksimumini taqqoslaymiz. Birinchi funksiya uchun modul maksimumi ga teng: . Ikkinchi funksiyani funksiya ko’rsatkichli yoyilmasida ni ga almashtirib, darajali qatorga yoyish mumkin. ni hosil qilamiz, bundan kelib chiqadi. Shuning uchun, doirada bajariladi. Ikkinchi tomondan, nuqtada funksiyaning qiymati bilan ustma-ust tushadi. Bundan, – soni doirada funksiya moduli maksimumiga teng: . ni hisoblash uchun qatorda ni ga almashtiramiz va . 44 Bu qator darajali emas, agar formuladan foydalanib, uning har bir hadini qatorga yoyib, larni o’sish tartibida joylashtirib darajali ko’rinishga keltirish mumkin. doirada ni hisobga olib, ni topamiz. Ikkinchi tomondan, funksiyaning nuqtadagi qiymati ga teng. Bundan funksiyaning doiradagi modulining maksimumi ga teng bo’lishi kelib chiqadi: . Hosil bo’lgan barcha , , funksiyalar da ga intiladi. Biroq ular ga har xil tezlik bilan intiladi. Ishonch hosil qilish mumkinki, masalan, natural soni qanday bo’lmasin , , … , , … , o’rinli bo’ladi. Bundan esa butun transtendent funksiyalarning , , , … , , , … ketma-ketligida keyingi funksiya modulining maksimumi avvalgisiga nisbatan cheksiz tez o’sadi, ning modulining maksimumi esa ularning istalganidan tez o’sadi. Bu funksiyalar moduli maksimumining bo’yini qanday o’lchash mumkinligini ko’rsatamiz. Bunda bo’yi deb, deb qabul qilamiz. 45 Shu maqsadda avval modul maksimum o’rniga ularning logarifmini olib, biroz sekin o’suvchi funksiyalarni qaraymiz. , , …, , , … ketma-ketlikni hosil qilamiz. Biroq bu yerda ham keyingisi avvalgisiga nisbatan tezroq o’suvchi funksiya bo’ladi. Shu sababli biz yana bir bor logarifmlaymiz va , , … , , … ketma-ketlikni topamiz. Ko’rinib turibdiki, oxirgi funksiyalar nisbati chekli sonlar bo’ladi. Quyidagi , , … , , … nisbatlarni ko’ramiz. funksiya tartibi ga, funksiya tartibi ga, … umuman funksiya tartibi ga teng deyiladi. funksiya tartibi esa ga teng bo’ladi. funksiya holida , ni hosil qilamiz. Shu sababli, funksiya tartibi ga teng deyiladi. Umuman olganda, butun funksiya uchun takroriy logarifmga nisbatining dagi limiti ga butun funksiyaning tartibi deyiladi: (2.2.1). 46 Agar da nisbat chekli ham, cheksiz ham limitga ega bo’lmasa, bu nisbatning yuqori limiti olinadi va unga butun funksiyaning tartibi deyiladi: (2.2. ) (2.2.1) formulada (2.1.11) va (2.1.12) formulalardan foydalanib, va funksiyalarning tartibi ga tengligini hosil qilamiz. Aslida o’rinli. Ko’rinib turibdiki, da bo’ladi va shu sababli tenglikning o’ng tomonidagi kasr ga teng limitga intiladi. So’ngra logarifmlab, ni topamiz, bu yerda qavs ichidagi ifoda da ga intiladi. Yana bir bor logarifmlab, ni hosil qilamiz, bu yerda o’ng tomondagi ikkinchi qo’shiluvchi da nolga intiladi. Shu sababli, 47 o’rinli. Bu esa funksiyaning tartibi ga teng ekanligini bildiradi. Xuddi shunga o’xshash (2.1.12) formula yordamida funksiyaning tartibi ga tengligini hosil qilamiz. O’rganilgan barcha butun funksiyalar uchun ularning tartibi yo butun son, yoki bo’ladi. Biror tartibi kasr son bo’lgan butun funksiyalar ham mavjud. Masalan, funksiyani qaraymiz. Bu butun funksiya, chunki , va shuning uchun bu funksiya kabi hamma yerda yaqinlashuvchi darajali qatorga yoyiladi. Bu qator yordamida ni hosil qilamiz. Tekshirib ko’rish mumkinki, funksiya tartibi ga teng. Butun bo’lmagan ixtiyoriy musbat ratsional son ni qaraymiz ( va sonlarining eng katta umumiy bo’luvchisi ga teng bo’lib, ). Tartibi ga teng bo’lgan butun elementar funksiyani qurish mumkinligini ko’rsatamiz. Bu maqsadda avvalo, 48 kompleks son ning bitta qiymati bo’lishini ta’kidlab o’tamiz, aslida . ning qolgan ta qiymatini ni darajaga ko’tarib hosil qilish mumkin: 2.2.1-chizmada ning ta turli qiymatlari grafik shaklda berilgan. Agar soni ga karrali biror natural son bo’lsa, ya’ni bo’lsa, u holda (2.2.2) bo’ladi. Agar soni ga karrali bo’lmasa, u holda (2.2.3) o’rinli bo’ladi. Chunki surat nolga teng, maxraj esa noldan farqli (aslida butun son bo’lmaganligi uchun soni dan farqli). Endi quyidagi ta qatorni qaraymiz: , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ularni hadma-had qo’shib ni hosil qilamiz. (2.2.3) formulaga ko’ra kasr darajali hadalr oldidagi barcha koeffitsiyentlar nolga teng, (2.2.2) formulaga ko’ra har bir kasr maxraji ga teng shuning uchun . Endi ikkala tomonini ga bo’lib va hosil bo’lgan butun funksiyani orqali belgilab ga ega bo’lamiz. Bu usulni bir necha bor takroran qo’llab ga ega bo’lamiz. ekanligini inobatga olib, ni (2.2.4) kabi yozib olamiz. Endi xuddi ning tartibini hisoblash kabi yo’l tutamiz, bunda , 50 ko’rinishidagi qo’shiluvchilar da ga intiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun qo’shiluvchilarning modulini hisoblaymiz. Uni hisoblash uchun darajada haqiqiy qismini saqlash yetarli. Biroq tenglik o’rinlidir. Bunda darajaga ko’tarishda Muavr formulasidan foydalanildi. Demak, (2.2.5) ekan. Ko’rinib turibdiki, bo’lganda ning qiymati dan qat’iy kichik bo’lganligi uchun ayirma manfiydir. da dan (2.2.5) ifodaning da ga intilishi, ham ga intilishi kelib chiqadi. Shunday qilib, (2.2.4) ning o’ng tomonidagi kasr limitga yaqinlashadi. Natijada tenglik o’rinli bo’ladi. 51 XULOSA Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o’qitishda muhim ahamyatga ega bol’gan funksiya tushunchasi va uni o’rganish masalasiga bag’ishlangan. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida funksiya tushunchasini umum ta’lim maktablarida, kasb- xunar kolleji va akademik litseylarda o’qitilishi xaqida ma’lumotlar va o’rganiluvchi mavzular yoritildi. Asosiy qismda funksiya, funksiyaning berilish usullari, aniqlanish soxasi, turli elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli funksiya, kvadratik funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari trigonometrik funksiyalar xaqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi. Akademik litsey va kasb- xunar kollejlarida funksiya tushunchasi va uning o’gatish uslubyoti masalalari ko’rib chiqildi. Funksiyani to’liq tekshirish, funksiya limiti mavjudlik mezoni, murakkab funksiya va uzluksizlik xossalari to’liq o’rganib chiqildi. Har bir misollar grafiklar bilan boyitildi. Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin: 1. Funksiya grafigini o’qitilishi, talimda ko’rgazmalilik tamoilini amalgam oshirishda yordam beradi. 2. O’quvchilar qiziqishini ortirishda muhum ro’l o’ynaydi. 3. Matematika ta’limda maqsadni aniq belgilash vakafolatlangan natijaga intilish xususiyatini ta’minlaydi. 52 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. 1. I.A. Karimov . Barcha reja va dasturlarimiz Vatanamiz taraqqiyotini yuksaltirish, xalqimiz farovonligini oshirishda xizmat qiladi. Xalq so’zi. 2011 yil 22 – yanvar . 2. I. A. Karimovning Asosiy vazifamiz – vatanimiz taraqqiyoti va xalqimiz faravonligini yanada yuksaltirish 2009 – yilning asosiy yakunlari va 2010 – yilda O’zbekiston ijtimoiy – iqtisodiy rivozlantirishning eng muhim ustuvor yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining majlisdagi ma’ruzasi. Xalq so’zi, 2010 – yil 30 – yanvar. 3. I. A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” “Sharq” Nashiriyot – matbaa konserni bosh taxriyoti. 1999 – yil . 4. R.B. Rayxmist. Grafiki funksiy. sprav. Pоsоbie dlya vuzоv - M.Vishaya shkоla, 1991-160 s 5. Sh.О.Alimоv, Yu.M.Kоlyagin va bоshqalar. Algebra va analiz asoslari Tоshkent.: O’qituvchi, 2003, - 256 b 6. A.A.Rahimqоriyev. Transsendent tengsizliklarni garfik usulda yechish Tоshkent.:O’qituvchi, 1995.-, - 160 b 7. M.L.Galiskiy, M.M.Mоshkоvich, S.I.Shvarsburd. Uglublennоye izucheniye kurs algebrik i matematicheskоgо analiz, M.Prоsveyeniya 1996. -352s 8. Ye.K о chetk о v, Ye. K о chetk о va. Algebra va elmentar funksiyalar. T о shkent. : O’qituvchi 1995. – 156 b 9. О .I.Smirn о v. funksi v kurse matematika 10 klassa . Mоskva. : Vqshaya shkоla, 1986 -80 s. M.S.Gelfand Prpоdavanie temk “Prоizvоdnaya funksiya”, Mоskva. Iz APN, 1980 – 111 s. 10. U.Tоshmatоv Funksiyalarni mоnоtоnlikka tekshirish xaqida. Fizika, matematika va infоrmatika 2(4), 2002, 33-37 b 53

Funksiya grafigi

Kirish 

          I BOB. FUNKSIYA GRAFIGI.

         1.1. Biror funksiya grafigini siljitish va defarmatsiyalash boshqa funksiya grafigini yasash   

1.2. Funksiya limiti va uzluksizligi. Funksiya limiti mavjudligining mezoni.

II Bob. Butun funksiyaning tartibi.

2.1 Kompleks o’zgaruvchili algebraik va transtsendent funksiyalar 

2.2 Butun funksiyaning tartibi

  

XULOSA 

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 

Купить