Информация о документе

Цена 40000UZS
Размер 1.0MB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Май 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Telzor Uchun

Дата регистрации 21 Апрель 2025

24 Продаж

Funksiya grafigini yasash

Купить
FUNKSIYA GRAFIGINI YASASH MUNDARIJA: Kirish………………………………………………………….……..…….……….3 I BOB. UZLUKSIZ FUNKSIYALAR. 1.1 Uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligi…………………..………………..……….6 1.2 Funksiya uzluksizligining ta’riflari...................................................................12 1.3 Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari....................................................14 1.4 Funksiyaning uzilish nuqtalari......................................................................16 II-BOB. BO‘LAKLI UZLUKSIZ FUNKSIYALAR VA ULARNING GRAFIKLARINI QURISH 2.1. Zinapoyasimon funksiyalar…………………………………….………………20 2.2 ko'rinishdagi funksiyaning grafigini yasash…………….………..22 2.3 ko'rinishdagi funksiyaning grafigini yasash………………………24 2.4 ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasash…………………. ……..26 2.5 ko‘rinishdagi funksiyaning grafigini yasash… ………………….27 2.6 ko‘rinishidagi funksiya……………..….28 1 2 KIRISH Kurs ishi maqsadi: “ D i f f e r e n s i a l h i s o b yordamida funksiyalarni tekshirish va grafigini yasash” mavzusini har tomonlama chuqur o‘rganish. Hozirgi zamonda iqtisodga, ishlab chiqarishga qo‘yilayotgan yuksak talablarni bajarishda kadrlarning umumiy malakasi oldingi o‘ringa qo‘yilmoqda. Bu yuksak talablar biz yosh avlodga ham tegishlidir. Bunday yuksak vazifalarni har tomonlama kamol topgan, yuksak ma’lakali mutaxassislar amalga oshiradi. Yuksak malakali mutaxassislar tayyorlashda «Oliy matematika» fanining katta ahamiyatga ega ekanligi hech kimda shubha tug‘dirmasa kerak. Hamma sohalarda matematik qonuniyatlarga asoslangan zamonaviy kompyuterlarning muvaffaqiyat bilan tatbiq etilishi hamda uning kundan-kunga rivojlanib borayotganligi, yosh mutaxassislarning tegishli sohalar, masalalarining matematik modellarini tuza bilishi va unda hisoblash texnikasini joriy etish vazifalarini qo‘ymoqda. Bu masalalarni modellashtirish matematik amallar va usullar yordamida amalga oshiriladi. Ma’lumki, matematikadagi mavjud, natural sonlar, arifmetik amallardan boshlab, hozirgi zamonaviy, chiziqli algebra va analitik geometriya, differensial va integral hisob hamda differensial tenglamalargacha tushunchalar real dunyoning modellaridir. Bu tushunchalarning hammasi insoniyat ehtiyojlaridan-narsalarni sanash, xo‘jalik hisobi kabi tirikchilik uchun zarur masalalardan kelib chiqqan va rivojlanib bormoqda. Matematika o‘z rivojlanish tarixida mexanika, fizika, biologiya kabi fanlardan tashqari ijtimoiy fanlarga ham jadal kirib, rivojlanib bormoqda. Matematikani insoniyat taraqqiyotida vujudga kelgan va uning rivojlanishida katta ahamiyatga ega bo‘lgan fanlarning yetakchilaridan desak xato qilmagan bo‘lamiz. Bu fikrimizning isbotini matematika iborasi yunoncha “matema” - “bilim, ilm, fan” deyilishi bilan ham izohlasa bo‘ladi. Ma’lumki, matematik tushuncha va modellar universallik xususiyatiga ega, ya’ni aynan bitta model fizikada o‘z ma’nosiga, biologiyada ham, iqtisodiyotda ham ma’lum ma’nolarga ega. Bunday modellar 3 tabiiy fanlarda bir necha asrlardan beri qo‘llanib rivojlanib kelmoqda. Lekin, ijtimoiy (iqtisodiyot, psixologiya, jamiyatshunoslik va boshqalar) fanlarda qo‘llash XIX-XX asrlarda intensiv rivojlanishi bilan harakterlanadi. XX asrda ijtimoiy fanlar muammolarini yechadigan matematikaning sohalari vujudga kela boshladi. Keyingi o‘n yilliklarda matematika usullari, kishilik jamiyatining jarayonlarini va munosabatlarini o‘rganishda yanada chuqurroq kirib bormoqda. Matematika, shunday universal qurolki, real borliqdagi mavjud bog‘lanish va munosabatlarni aniqlashda, hamda ulardan hodisa va jarayonlarni ilmiy baholab bashorat qilishda foydalanish imkoniyatlari rivojlanib bormoqda. Shunday qilib, Mirzo Ulug‘bek bobomiz ta’kidlagan qoida (tezis) ijtimoiy fanlarida ham o‘z ifodasini topib, rivojlanmoqda. Matematikani o‘rganishning bevosita amaliy tatbiqlaridan tashqari biz yosh avlodni har taraflama rivojlangan komil inson qilib tarbiyalashda uning alohida o‘ringa egaligini ta’kidlamasdan bo‘lmaydi. Biz matematik analiz kursida bir o‘zgaruvchili funksiyalarni, ?????? ?????? fazo va ularda aniqlangan funksiyalarni o‘rgandik, matematik analizning asosiy tushunchasi bo‘lgan funksiya tushunchasini kengaytirdik. Hozirgi zamon muammolariga matematikaning tatbiqi funksiya tushunchasini yana ham kengaytirish zaruriyatini ko‘rsatmoqda. Matematikaning biz o‘rganmoqchi bo‘lgan bo‘limi funksional analiz deb nomlanadi. Funksional analiz chekli va cheksiz o‘lchamli fazolarni o‘rganadi. Bu fazolarning elementlari funksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma- ketliklar, umuman olganda boshqa matematik ob’yektlardan iborat bo‘lishi mumkin. Funksional analizda matematik analiz, funksiyalar nazariyasi va to‘plamlar nazariyasi, algebra va geometriya metodlari, g‘oyalari birlashib, uyg‘unlashib o‘rganiladi. Bunda funksional bog‘lanishlar (funksiyalar) haqida eng to‘liq, chuqur tasavvur beriladi. Faraz qilaylik, moddiy nuqta tekislikda biror egri chiziq bo‘yicha A nuqtadan B nuqtaga qadar harakatlanayotgan bo‘lsin (1-rasm). Ravshanki, moddiy nuqtaning harakatlanish vaqti harakat sodir bo‘layotgan egri chiziq ko‘rinishiga bog‘liq bo‘ladi. Shunday qilib, bu misolda biz avval o‘rganilgan funksional bog‘lanishlardan farqli bo‘lgan bog‘lanishga duch kelamiz. Bunda argument sifatida egri chiziq nuqtalari, funksiya qiymati esa harakatlanish 4 vaqtini aniqlovchi sondan iborat bo‘ladi. 2-rasmda ko‘rsatilgan minorani qurish uchun qancha material ketishi M va N asoslarni tutashtiruvchi aylanma sirtga bog‘liq bo‘ladi. Bunda argument sifatida aylanma sirtlar, funksiya qiymati esa kerak bo‘ladigan material miqdorini ifodalovchi sondan iborat bo‘ladi. Savol tug‘iladi. Umuman olganda, elementlari ixtiyoriy bo‘lgan biror A to‘plamda funksiya aniqlab bo‘ladimi? Boshqacha aytganda, A to‘plamni biror sonli to‘plamga akslantirish mumkinmi?Quyidagi savolni ham qo‘yish mumkin: argumentning ma’lum ma’noda yetarlicha yaqin qiymatlariga funksiyaning istalgancha yaqin qiymatlari mos kelishi uchun nima ishlar qilish zarur? Ravshanki, so‘ngi xossa juda muhim. Agar A to‘plamda uning elementlari yaqinligini aniqlaydigan qoida yoki limitga o‘tish amalini aniqlaydigan qoida berilgan bo‘lsa, u holda A to‘plamni funksiyaning aniqlanish sohasi deb qarash maqsadga muvofiq bo‘ladi. 1-rasm 2-rasm Ushbu qo‘llanmaning maqsadi, birinchidan elementlari orasida masofa tushunchasi kiritilgan to‘plamlarni (metrik fazolar, normalangan fazolar), ikkinchidan fazolarni sonlar o‘qiga akslantirishlar (funksionallar) ning va fazoni fazoga akslantirishlar (operatorlar) ning xossalarini o‘rganishdan iborat. Kelgusida uzluksiz funksional uzluksiz funksiyalarga xos bo‘lgan ko‘pgina xossalarga ega, operatorlar esa funksiya tushunchasining eng zamonaviy, eng umumiy umumlashmasi ekanligini ko‘ramiz. Funksional analiz matematikaning alohida bo‘limi sifatida XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida shakllana boshladi. Funksional analizga doir dastlabki ilmiy ishlar italyan matematigi Volterra, fransuz matematigi Puankare va nemis matematigi Gilbertga taalluqlidir. Metrik fazo tushunchasi fanga fransuz matematigi Freshe tomonidan XX asr boshlarida kiritilgan, normalangan fazo tushunchasi 1922 yilda polyak matematigi Banax va unga bog‘liq bo‘lmagan holda amerikalik matematik Viner tomonidan kiritilgan. Funksional analizning eng muhim, dolzarb yo‘nalishlaridan biri operatorlar algebralari nazariyasi va uning tatbiqlari, Banax algebralari sohasining asosiy qismini tashkil qilib, Respublikamizda keng rivojlantirilmoqda. Toshkent funksional analiz maktabi vakillarining ko‘plab ilmiy tadqiqotlari, oxirgi 20-30 yil davomida ushbu yo‘nalishga aloqador bo‘lib, aytish mumkinki ko‘plab, 5 chuqur va muhim natijalar olindi. Banax algebralari nazariyasi bakalavrlar tayyorlash dasturiga kiritilmagan mavzu bo‘lib, magistrlar uchun esa tanishtiruv, umumiy tushunchalarni berish sifatida ozgina berilgan xolos. Shu sababli ushbu qo‘llanmada Banax algebralari bilan yaxshiroq tanishish va tanishtirish, hamda undagi ba’zi yechilmagan masalalarga e’tibor berish nazarda tutilgan. Ma’lumki, Banax algebralarining paydo bo‘lishida operatorlar algebrasi asosiy rol o‘ynagan. Odatda, X chiziqli fazoni Y chiziqli fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilanadi va u chiziqli fazo bo‘ladi. Agar qaralayotgan fazolar normalangan fazolardan iborat bo‘lsa, u holda uzluksiz operatorlar fazosi haqida fikr yuritish mumkin. Ikki uzluksiz operatorning yig‘indisi va uzluksiz operatorning songa ko‘paytmasi uzluksiz operator bo‘lishi, chiziqli amallarning uzluksiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi. Agar ?????? = ?????? bo‘lsa, ?????? ( ?????? , ?????? ) o‘rniga ?????? ( ?????? ) yozamiz. ?????? ( ?????? ) chiziqli fazoda ko‘paytma sifatida operatorlarning kompozitsiyasi, ?????? ∘ ?????? olinadi va ?????? ( ?????? ) algebraga aylanadi. Bu algebrani chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi. Operator algebralarining eng muhimlari ?????? ∗ -algebralar, fon Neyman algebralaridir. Ulardan yanada kengroq tushunchalar yordamida aniqlanadigan, o‘z–o‘ziga qo‘shma operatorlar fazosi va Yordan Banax algebralari ( ???????????? -algebralar) hozirgi zamon kvant mexanikasi masalalarining matematik modelini yaratishda, ularga matematik talqin berishda asosiy vazifalarni bajarishi asoslangan (Bu sohadagi batafsil ma’lumotlarni [6], [8], [10] adabiyotlardan olishingiz mumkin). Bu yo‘nalishdagi rivojlanish yarim maydonlar nazariyasi [11] yaratilganidan so‘ng kuchayib ketdi. Kvant mexanikasida fizik sistemaning tasodifiy miqdorlarini biror H, Gilbert fazosida aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator yordamida tasvirlash mumkinligi operatorlar algebrasiga bo‘lgan e’tiborni kuchaytirib yubordi [12]. Ma’lum bir aksiomalar sistemasini qanoatlantiruvchi, haqiqiy algebra – yordan algebralari yuqoridagi mulohazalar asosida paydo bo‘ldi. Bu algebralar asosan algebraistlar tomonidan o‘rganilgan bo‘lsa, keyinchalik ularga boshqacha yondashuv, ya’ni 6 algebralarda norma, tartib tushunchalarini kiritib Banax algebralari kabi tadqiq qilina boshlandi. I BOB. UZLUKSIZ FUNKSIYALAR. 1.1 U z luks i z funksiya lar kеtma-kеtligi Funksiyalar kеtma-kеtligi bilan kеyingi bоbda to`larоq shuғullanamiz. Bu еrda esa uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligiga оid birgina tеоrеmaning isbоtini kеltirish bilan chеgaralanamiz. Bu tеоrеma kеlgusida zarur bo`ladi. Birоr Е to`plamda)... ( ..., ), ( ), ( 2 1 x f x f x f n (2) funksiyalar kеtma-kеtligi aniqlangan bo`lsin. Agar Ex  0 uchun )... ( ..., ), ( ), ( 0 0 2 0 1 x f x f x f n sоnlar kеtma-kеtligi birоr limitga ega bo`lsa, u hоlda ( 2 ) kеtma-kеtlikni Ex  0 nuqtada ya k inlashuv chi dеyiladi, bu limitni f (х 0 ) bilan bеlgilaymiz. Agar (2) kеtma-kеtlik Е to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashsa, u hоlda bu kеtma-kеtlik Е to`plamda yaqinlashuvchi dеyiladi va limit funksiyani f(х) bilan bеlgilaymiz. Bu ta`rifni bоshqacha („    " tilida) quyidagicha ham ifоda qilish mumkin. 6- ta`rif. Agar har qanday 0   sоn va har qanday Ex  0 nuqta uchun shunday n 0 natural sоn mavjud bo`lsaki, barcha 0 nn  uchun    ) ( ) ( 00 x f x fn tеngsizlik bajarilsa, u hоlda (1) kеtma-kеtlik Е to`plamda f (х) funksiyaga yaqinlashuvchi dеyiladi. Bu ta`rifdagi n 0 sоn  ga va х 0 nuqtaga bоg`liqdir. 7- ta`rif . Agar 6- ta`rifdagi n 0 sоn  ga sоngagina bоғlik bo`lib, х 0 nuqtani tanlab оlishga bоg`liq bo`lmasa, ya`ni 0 nn  bo`lganda    ) ( ) ( x f x f n 7 tеngsizlik barcha E x  uchun bajarilsa, u hоlda (1) kеtma-kеtlik Е to`plamda f(х) funksiyaga tеkis yaqinlashuvcha dеyiladi. Tеkis yaqinlashish tushunchasi matеmatikada asоsiy tushunchalardan hisоblanadi va bu tushuncha matеmatik analizda sistеmatik ravishda qo`llaniladi. 5 -tеоrеma. Agar Е to`plamda ani k langan )... ( ..., ), ( ), ( 2 1 x f x f x f n uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligi shu to`plamda f(х) funksiyaga tеkis yatsinlashsa, u hоlda f(х) limit funksiya ham Е to`plamda uzluksiz bo`ladi . Uzluksiz funksiyaning hоsilasi mavjud bo`lgan nuqtalardan ibоrat to`plamning tuzilishi Ma`lumki, uzluksiz f(х) funksiyaning х nuqtadagi hоsilasi dеb ushbu    ) ( ) ( ) ( x f x f x f    ( 3 ) ifоdaning 0   dagi limitiga (agar bu limit mavjud bo`lsa) aytiladi. Agar 0   da ) (x f limitga ega bulmasa, u hоlda х nuqtada f(х) funksiyaning hоsilasi mavjud bo`lmaydi. Bu paragrafda uzluksiz f (х) funksiyaning hоsilasi mavjud bo`lgan nuqtalardan ibоrat to`plamning tuzilishi qanday ekanligini aniqlaymiz. 6 - tеоrеma . Uzluksiz f(х) funksiyaning f`(х) hоsilasi mavjud bo`lgan to`plam F tipidagi to`plam bo`ladi. Хususan, bu to`plam o`lchоvlidir . Isbоt. Ushbu m m 1 , 1 21     (4) tеngsizliklar bajarilganda ushbu n x f x f 1 ) ( ) ( 21     (5) 8 tеngsizlikni qanоatlantiruvchi nuqtalardan ibоrat to`p-lamni n mF , bilan bеlgilaymiz. n mF , to`plam yopiq bo`ladi, chunki uning limit nuqtasi х 0 ga yaqinlashuvchi har qanday   ,...)2,1 , ( ,   k F x x n m k k kеtma-kеtlikning elеmеntlari uchun 1  va 2 lar (4) tеngsizlikni qanоatlantirganda (5) tеngsizlik bajariladi va buning chap tоmоni uzluksiz funksiya bo`lganligi uchun х 0 nuqtada ham (5) tеngsizlik bajariladi, ya`ni х 0 nuqta n mF , to`plamga kiradi. Endi nm m n F B .   va n n B D   to`plamlarni tuzamiz. D to`plam tuzilishiga muvоfiq, F tipidagi to`plam bo`ladi. Agar f(х) ning hоsilasi mavjud bo`lgan nuqtalardan ibоrat to`plamning D to`plamga tengligi ko`rsatilsa, tеоrеma isbоt kilingan bo`ladi. Agar х nuqtada f(х) mavjud bo`lsa, u hоlda hоsilaning ta`rifiga muvоfiq iхtiyoriy n natural sоn uchun shunday musbat  sоn tоpiladiki,    bo`lganda n x f x f 2 1 ) ( ) (     tеngsizlik bajariladi. Bundan      2 1 , bo`lganda nnn xfxfxfxfxfxf 1 2 1 2 1 )()(')(')()()( 2121       tеngsizlikni оlamiz. Dеmak, D x , chunki n n B D   . Endi, aksincha, х nuqta D to`plamning elеmеnti bo`lsa, bu nuqtada hоsilaning mavjudligini ko`rsatamiz. (1) ifоdadagi  sоnga - ,...)2,1 ( 1  m m ko`rinishdagi qiymatlarni bеrib, ushbu       ) ( 1x f m funksiyalar kеtma-kеtligini tuzamiz. х nuqta har bir n 9 natural sоn uchun V n to`plamning elеmеnti bo`lganligi tufayli, shunday m 0 sоnni tоpish mumkinki, 0 m m  bo`lganda ushbu n x f x f m m 1 ) ( ) ( 0 1 1   (4) tеngsizlik bajariladi. Bundan yakinlashishning Kоshi bеlgisiga muvоfiq       ) ( 1x f m kеtma-kеtlik limitga ega; bu limitni f 0 (х) bilan bеlgilaymiz. Endi har bir n natural sоn uchun B x bo`lganligi sababli tоpilgan m 0 da 0 1 m   tеngsizlikni qanоatlantiruvchi  uchun n x f x f m 1 ) ( ) ( 1    tеngsizlik ham bajariladi, ya`ni f(х) funksiyalar 0   da f 0 (х) ga yaqinlashadi. Dеmak, f 0 (x) funksiya hоsilaning ta`rifiga muvоfiq f`(х) funksiyaga tеng bo`ladi, ya`ni D to`plamniig har bir nuqtasida hоsila mavjuddir. Birоrta ham nuqtada hоsilaga ega bo`lmagan uzluksiz funksiya misоli. Birоrta ham nuqtada hоsilaga ega bo`lmagan uzluksiz funksiyalarni birinchi marta Vеyеrshtrass tuzgan. Quyida kеltiriladigan misоlni Vandеr-Vardеn tuzgan. 1-misоlda kеltirilgan ) (0 x  funksiyani оlib (uning gеоmеtrik tasviri 1- shaklda bеrilgan) quyi-dagi ko`rinishdagi funksiyani tuzamiz: n n n x x 4 ) 4( ) ( 0    . Bu funksiya ham davriy bo`lib, uning davri n4 1 ga tеng (10-shakl); har bir        n n k k 4 2 , 4 2 1 sеgmеntda ) (x n  chiziqli funksiya va uning burchak kоeffitsiеnti ±1 ga tеng. Endi 10     0 ) ( ) ( n n x x f 3-shakl funktsiоnal qatоrni tuzamiz. n n x 4 1 ) (   bulganligi uchun bu qatоr tеkis yaqinlashuvchi va ) (x n  funksiyalar uzluksiz bo`lganligi sababli 30.1 tеоrеmamaga muvоfik, f(х) ham uzluksiz funksiya bo`ladi . Iхtiyoriy х nuqtani оlib, bu nuqtani o`z ichiga оlgan kuyidagi sеgmеntlar kеtma-kеtligini tuzamiz :          n n n k k 4 2 , 4 2 1 ( nk -butun sоn). n sеgmеntda dоimо 1 4 1  nn x x tеnglikni qanоatlantiruvchi х n nuqtani tanlab оlishimiz mumkin. Endi n k  bo`lganda 1 4 1 n sоnda ) (x k  funksiyaning davri bo`lgan k4 1 sоn butun sоn marta jоylashgani uchun n k  larda 0 ) ( ) (    x x x x n k n k   11 tеnglikka, n k  bo`lganda esa ) (x k  funksiya k va k n    оraliklarda chiziqli b u lgani uchun 1 ) ( ) (     x x x x n k n k   tеnglikka ega bo`lamiz, ya`ni      .1 ,0 )()( nk nk xx xx n knk   B ulardan q uyidagi munоsabatlar kеlib chiqadi:               n k k n k n k n n x x x x x x x f x f 0 0 )1 ( ) ( ) ( ) ( ) (       булса. жуфт n агар сонга тто бутун булса n т т агар сонга, жуфт бутун Bu munоsabat esa x x x f x f n n   ) ( ) ( ifоdaning n chеksizlikka intilganda hеch qanday chеkli limitga ega bo`la оlmasligini ko`rsatadi. Ammо n chеksizlikka intilganda: x xn . Dеmak, f(х) funksiya х nuqtada hоsblaga ega bo`lmaydi. х iхtiyoriy nuqta bo`lganligi uchun f(х) birоrta nuqtada ham hоsilaga ega emas. Uzluksiz funksiya - ma lum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim ʼ tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL to plamda aniqlangan va xoyeYe shu ʻ to plamning limit nuqtasi bo lsin. Agar limf(x) = f(x0) bo lsa, f{x) funksiya x=x0 ʻ ʻ ʻ nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, fi x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar fi x) funksiya Ye to plamning har bir nuktasida uzluksiz bo lsa, u shu Ye to plamda uzluksiz ʻ ʻ ʻ deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yig indisi, ʻ ayirmasi, ko paytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng bo lmagan holda) yana ʻ ʻ 12 uzluksiz bo ladi; fi x) (xe Rm) funksiya FczR1" to plamda berilgan bo lsa, uningʻ ʻ ʻ xoye G nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday ta riflanad. ʻ ʼ 1.2 Funksiya uzluksizligining ta’riflari f(x) funksiya x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo‘lsin. 1-ta’rif . Agar f(x) funksiya x0 nuqtada chekli limitga ega bo‘lib, bu limit funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng, y’ani limx→x0 f(x)= f(x0) (3.5.1) bo‘lsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. limx→x0 f(x)= f(x0) tenglik uchta shartning bajarilishini anglatadi: 1) f(x) funksiya x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan; 2) f(x) funksiya x→ x0 da limitga ega; 3) funksiyaning x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng. x0= limx→x0 x ekanidan (3.5.1) tenglikni limx→x0 f(x)= f(limx→x0 x) (3.5.2) ko‘rinishda yozish mumkin. Demak, uzluksiz funksiya uchun limitga o‘tish va funksiya belgilarining o‘rnini almashtirish mumkin. Funksiya limitining ta’rifi asosida funksiya uzluksiligining ta’rifini « ε− δ tilida » quyidagicha ifodalash mumkin. 2- ta’rif . Agar ∀ ε>0 son uchun shunday δ>0 son topilsaki, x ning |x− x0|<δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)− f(x0)|<ε tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi qiymati f(x0) o‘zgarmas son hamda x→ x0 da x− x0= 0 bo‘lishini inobatga olib, (3.5.1) tenglikni limx−x0→0(f(x)− f(x0))= 0 (3.5.3) 13 ko‘rinishda yozamiz. x− x0 ayirmaga x argumentning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Δx bilan belgilanadi, f(x)− f(x0) ayirmaga esa f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Δy deb belgilanadi. Shunday qilib, Δx = x− x0 , Δy = f(x0+ Δx )− f(x0) . Demak, f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi x ning fiksirlangan x0 qiymatida argument orttirmasining funksiyasi bo‘ladi (24-shakl). (3.5.3) tenglik yangi belgilashlarda limΔx→0Δy = 0 (3.5.4) ko‘rinishni oladi. (3.5.4) tenglikni uzluksizlikning argument orttirmasi va funksiya orttirmasi tushunchalariga asoslangan ta’rifi sifatida quyidagicha ifodalash mumkin. 3-ta’rif . Agar x argumentning x0 nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga f(x) funksiyaning shu nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning nuqtadagi uzlukizligini tekshirishda keltirilgan ta’riflarning biridan foydalanish mumkin. Misol y= cos x funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. y= cos x funksiya x∈R da aniqlangan. Istalgan x nuqtani olamiz va bu nuqtada Δy ni topamiz: Δy = cos (x+Δx )− cos x= − 2sin (x+ Δx 2 )⋅sin Δx 2 . 14 2 4-shakl Bundan lim Δx →0 Δy = lim Δx →0(− 2sin (x+ Δx 2 )⋅sin Δx 2 )= 0 kelib chiqadi, chunki chegaralangan sin (x+ Δx 2 ) funksiyaning cheksiz kichik sin Δx 2 funksiyaga ko‘paytmasi cheksiz kichik bol‘adi. Demak, 3-ta’rifga ko‘ra y= cos x funksiya x nuqtada uzluksiz. 4-ta’rif . Agar lim x→x0+0 f(x)= f(x0)( limx→x0−0f(x)= f(x0)) bo‘lsa, f(x) funksiya x0 nuqtada o‘ngdan ( chapdan ) uzluksiz deyiladi. 1-ta’rif va 4-ta’riflardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun u shu nuqtada ham chapdan va ham o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli. 1.3 Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari Agar f(x) funksiya (a;b) nitervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u holda u (a;b) intervalda uzluksiz deyiladi. Agar f(x) funksiya (a;b) intervalda uzluksiz bo‘lib, a nuqtada o‘ngdan uzluksiz va b nuqtada chapdan uzluksiz bo‘lsa, u holda f(x) funksiyaga [a;b] kesmada uzluksiz deyiladi. Kesmada uzluksiz funksiyalar bir qancha muhim xossalarga ega. Bu xossalarni teoremalar orqali ifodalaymiz. Bunda teoremalarning isbotini keltirmasdan, faqat geometrik talqinini ko‘rsatish bilan kifoyalanamiz. 6-teorema ( Bolsano-Koshining birinchi teoremasi ). f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va kesmaning oxirlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilnsin. U holda shunday c∈(a;b) nuqta topiladiki, bu nuqtada f(c)= 0 bo‘ladi. Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiyaning grafigi Ox o‘qning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tganida Ox o‘qni kesadi (25-shakl). 15 7-teorema ( Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi ). f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va f(a)= A ,f(b)= B , A <C < B bo‘lsin. U holda shunday c∈[a;b] nuqta topiladiki, f(c)= C bo‘ladi. Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan ikkinchi qiymatga o‘tganida barcha oraliq qiymatlarni qabul qiladi (26-shakl). 8-teorema ( Veyershtrassning birinchi teoremasi ). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u bu kesmada chegaralangan bo‘ladi. 27-shaklda keltirilgan y= f(x) funksiya [a;b] kesmada uzliuksiz. Bunda ∀ x∈[a;b] uchun m ≤ f(x)≤ M . 1-Izoh. Teorema [a;b] kesma (a;b) interval bilan almashtirilganida o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan, f(x)= 1 x funksiya (0;1) intervalda uzluksiz, lekin chegaralanmagan, chunki lim x→+0 1 x =+ ∞ . 16 25-shakl . 27-shakl26-shakl . 9-teorema ( Veyershtrassning ikkinchi teoremasi ). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishadi. 27-shaklda keltirilgan y= f(x) funksiya [a;b] kesmada uzliuksiz. Bunda u x1 nuqtada o‘zining eng katta M qiymatini va x2 nuqtada o‘zining eng kichik m qiymatini qabul qiladi. 2-izoh. Bu teorema (a;b) interval uchun o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan, f(x)= x funksiya (0;1) intervalda uzluksiz, lekin o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishmaydi. 10-teorema ( teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema ). Agar y= f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘lib, [c;d] uning qiymatlar sohasi bo‘lsa, u holda [c;d] kesmada y= ϕ(x) teskari funksiya uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘ladi. 1.4 Funksiyaning uzilish nuqtalari Agar f(x) funksiya uchun x0 nuqtada funksiya uzluksizligi 1-ta’rifining hech bo‘lmaganda bitta sharti bajarilmasa, funksiya x0 nuqtada uzilishga ega deyiladi. Bunda x0 nuqta f(x) funksiyaning uzulish nuqtasi deb ataladi. 32-shaklda frafiklari bilan berilgan funksiylarni qaraymiz. Bu funksiyalarning har biri uchun x0 - uzilish nuqtasi. Birinchi holda (28,a-shakl) ta’rifning 1-sharti bajarilmaydi, chunki funksiya x0 nuqtada aniqlanmagan. Ikkinchi holda (28,b-shakl) ta’rifning 2-sharti buzulgan, chunki limx→x0 f(x) limit mavjud emas. Uchinchi holda (28,c-shakl) ta’rifning 3-sharti bajarilmaydi, chunki limx→x0 f(x)= A≠ f(x0). 17 Funksiyaning barcha uzulish nuqtalari birinchi va ikkinchi tur uzilish nuqtalariga bo‘linadi. 5-ta’rif . Agar x0 nuqtada f(x) funksiya chekli limitlarga ega, ya’ni limx→x0−0f(x)= A1 va limx→x0+0f(x)= A2 bo‘lsa, x0 nuqtaga f(x) funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. Bunda: Bunda: a) A1= A2 bo‘lsa, x0 bartaraf qilinadigan uzilish nuqtasi deb ataladi; b) A1≠ A2 bo‘lsa, x0 sakrash nuqtasi , |A1− A2| kattalik funksiyaning sakrasahi deb ataladi. Masalan: g(x)= { 2x− 1,− 1≤ x<1, 4− 2x,1≤ x≤ 3 funksiya uchun x0= 1− sakrash nuqtasi, bunda funksiyaning sakrashi |1− 2|=1 ga teng; ϕ(x)= { sin x x ,x≠ 0, 2,x= 0 funksiya uchun x0= 0− bartaraf qilinadigan uzilish 1828-shakl . . nuqtasi, bunda ϕ(x)= 2 o‘rniga ϕ(x)=1 deb olinsa uzilish bartaraf qilinadi, ya’ni ϕ(x)= { sin x x ,x≠ 0, 1,x= 0 uzluksiz funksiya hosil bo‘ladi. 6-ta’rif . Agar x0 nuqtada f(x) funksiyaning bir tomonlama limitlaridan kamida bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksizlikka teng bo‘lsa, x0 nuqtaga f(x) funksiyaning ikkinchi tur uzilishi nuqtasi deyiladi. Masalan, f(x)= 1 x funksiya uchun x0= 0− ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Misollar 1. f(x)=|2x− 3| 2x− 3 funksiya uzilish nuqtalarining turini aniqlaymiz. Funksiya sonlar o‘qining x= 3 2 nuqtasidan boshqa nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz. Bunda f(x)= { − 1,x< 3 2, 1,x> 3 2. U holda f( 3 2 − 0)=− 1, f( 3 2 +0)= 1. Demak, x= 3 2 sakr ash nuqtasi va funksiyaning sakrashi μ= 1− (− 1)= 2 . 2. f(x)= 1+x3 1+x funksiyalarni uzluksizlikka tekshiramiz. Bu funksiya x=−1 nuqtada aniqlanmagan, chunki x=−1 o‘rniga qo‘yish bajarsak, 0 0 aniqmaslik kelib chiqadi. Boshqa nuqtalarda kasrning surat va maxrajini (1+x) ga bo‘lish 19 mumkin, chunki bu nuqtalarda 1+x≠ 0 . Bunda funksiyaning x=−1 nuqtadagi chap va o‘ng limitlari bir biriga teng bo‘ladi. Ularni topamiz: lim x→−1−0 f(x)= lim x→−1+0 f(x)= lim x→−1+0 1+x3 1+x= = lim x→−1+0 (1+x)(1− x+x2) 1+x = lim x→−1+0 (1− x+x2)= 1+1+1= 3. Demak, x=−1 nuqta f(x) funksiyaning bartaraf qilinadigan uzilish nuqtasi. Agar x=−1 da f(x)=3 deb olinsa bu uzilish bartaraf qilinadi. 3. g(x)= |sin x| 2x funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. x= 0 nuqtada funksiya aniqlanmagan. Shu sababli x= 0 uzilish nuqtasi bo‘ladi. g(x) funksiyaning bu nuqtadagi bir tomonlama limitlarini hisoblaymiz: lim x→−0 g(x)= lim x→−0 |sin x| 2x = lim x→−0 sin x − 2x =− 1 2 , lim x→+0 g(x)= lim x→+0 |sin x| 2x = lim x→+0 sin x 2x = 1 2 . Demak, x= 0 nuqta g(x) funksiyaning sakrash nuqtasi. Funksiyaning bu nuqtadagi sakrashi μ= 1 2 − (− 1 2)= 1 ga teng. 4. ϕ(x)= { x+1 x2− 1 ,x≠± 1, − 1 2,x=− 1. funksiya x=1 nuqtada aniqlanmagan. x=±1 nuqtalarda funksiya uzilishga ega bo‘lishi mumkin. Bu nuqtalarni alohida qaraymiz. x=−1 nuqtada: lim x→−1−0 ϕ(x)= lim x→−1−0 x+1 x2−1 = lim x→−1−0 1 x−1 =− 1 2 , lim x→−1+0 ϕ(x)= lim x→−1+0 x+1 x2−1 = lim x→−1+0 1 x−1 =− 1 2 , ϕ(−1)=− 1 2 . 20 Demak, x=−1 nuqtada funksiya uzluksiz. x=1 nuqtada: lim x→1∓0 ϕ(x)= lim x→1∓0 x+1 x2−1 = lim x→1∓0 2 ∓0 =∓∞ . Demak, x=1 nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi II-BOB. BO‘LAKLI UZLUKSIZ FUNKSIYALAR VA ULARNING GRAFIKLARINI QURISH funksiya oraliqda aniqlangan bo‘lsin. 1-ta‘rif. Agar da berilgan funksiya ning chekli sondagi nuqtalaridan tashqari qolgan hamma joyida uzluksiz b o‘l ib, chekli sondagi nuqtalarida birinchi tur uzilishga ega bo‘lsa, u holda funksiya da bo‘lakli uzluksiz deyiladi. Xususiy holda zinapoyasimon funksiyalar bo‘lakli uzluksiz funksiyalarga misol bo'la oladi. 2.1.Zinapoyasimon funksiyalar. 1-ta‘rif. Agar oraliqni chekli sondagi oraliqlarga bo'lish mumkin bo'l i b, bu oraliqlarning har b irid a funksiya o'zgarmas qiymat qabul qilsa. u holda funksiya zinapoyasimon funksiya deyiladi. Uzilish nuqtalarida funksiya aniqlangan yoki aniqlanmagan bo'lishi mumkin. Biz quyida eng ko'p qo'llaniladigan zinapoyasimon funksiyalarni qaraymiz. Signum x. (Signum lotin so'zidan olingan bo'lib, ishora degan ma'noni bildiradi). Signum x funksiya ushbu formula yordamida beriladi. 21 Bu funksiyaning grafigi 25-rasmda berilgan bo‘lib, u ikkita yarim to‘g‘ri chiziqlardan va nuqtadan iborat. Bunda yo‘nalish va nuqtalarning funksiya grafigiga tegishli emasligini ko‘rsatadi. 1-misol. funksiyaning grafigini chizing. Yechish. Agar bo‘ls a, u holda bo‘ladi. Shuning uchun signumx funksiyaning ta‘rifiga ko'ra, signsin x = — 1. Agar , bo‘lsa, bo‘ladi. Bundan esa signsin x = 1 bo‘ladi. Agar , bo‘lsa, u holda ta'rifga ko'ra y=signsin x= 0 bo‘ladi. Shunday qilib, qaralayotgan funksiyaning grafigi 26-rasm ko'rinishida tasvirlanadi. Eslatma. funksiyaning grafigini quyidagi tartibda chizish kerak: avvalo funksiya grafigi chizilib, so'ngra bu funksiya grafigining yuqori va pastki tekisliklarda yotgan qismlari aniqlanadi, ya‘ni ning , va bo‘ladigan qiymatlari aniqlanadi. Undan so‘ng, signum x ning ta'rifiga asosan, berilgan funksiya grafigi chiziladi. Bunda у = ±1 to'g‘ri chiziqlar 26- rasm 22 bilan funksiya grafigining kesishish nuqtalari o ‘ zgarishsiz qoldiriladi , ya ' ni bu nuqtalar berilgan funksiya grafigiga tegishli bo ' ladi . funksiyaning grafigini chizishda formula e'tiborga olinadi. Bunda — 1, 0, 1 qiymatlar funksiyaning aniqlanish sohasiga qarashli ekanligini hisobga olish kerak bo'ladi. 2.2 ko'rinishdagi funksiyaning grafigini yasash. ko'rinishdagi funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda bajariladi (27-rasm): 1) funksiya grafigi chiziladi; 2) to'g‘ri chiziqlar chizilib, va to'g‘ri chiziqlardan tashkil topgan oraliqlardan biri qaraladi. 3) , to'g 'ri chiziqlar bilan funksiya grafigining kesishish nuqtalari funksiyani grafigiga kiradi, qaralayotgan oraliqdagi funksiyaning boshqa nuqtalari esa shu oraliqdagi funksiya grafigining to'g‘ri chiziqlarga proyeksiyasi sifatida olinadi, chunki bu oraliqda grafigining ixtiyoriy M nuqtasining ordinatasi oraliqda bo'lib, uning butun qismi teng bo‘ladi. 23 funksiya grafigi joylashgan boshqa oraliqlardagi funksiya grafigi ham xuddi 3) banddagi singari chiziladi. 2-misol. ( ifoda — x ning butun qismi) funksiyaning grafigini chizing. Yechilishi. Agar (bunda n—butun son, ) bo‘lsa, u holda ya’ni u dan oshmaydigan eng katta butun songa teng bo‘ladi. Bu funksiya x=n nuqtada birinchi tur uzilishga ega, chunki: Bu funksiyaning grafigi 28-rasmda tasvirlangan. ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar kcltiramiz. 3-misol. у = [x 2 ] flinksiyaning grafigi 29-rasmda tasvirlangan. 24 4-misol. funksiyanig grafigi 30-rasmda tasvirlangan. 2.3 ko'rinishdagi funksiyaning grafigini yasash. ko'rinishdagi funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda bajariladi (31-rasm): 1) funksiyaning grafigi chiziladi; 2) to ‘g‘ri chiziqlar chizilib, , to‘g‘ri chiziqlardan tashkil topgan oraliqlardan biri qaraladi; 3) funksiya grafigining , to'g‘ri chiziqlar bilan kesishish nuqtalari funksiya grafigiga kiradi, chunki ularning abssissalari butun sonlardan iborat, qaralayotgan oraliqdagi funksiya grafigining boshqa nuqtalari esa shu oraliqdagi funksiya grafigining to'g‘ri chiziqqa proyeksiyasi sifatida olinadi, chunki bu oraliqdagi ixtiyoriy nuqtaning abssissasi da bo'lib uning butun qismi bo'ladi. 25 4) funksiya grafigi joylashgan boshqa oraliqlardagi funksiya grafigi xuddi 3) bandidagi singari chiziladi. ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar keltiramiz. 5-misol. funksiyaning grafigi 3 2 -rasmda tasvirlan gan. 26 6-misol. funksiyaning grafigi 33- rasmda tasvirlangan. 2.4 ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasash. bo‘lgani uchun funksiya grafigini chizish va funksiyalar ayirmasining grafigini chizishga keltiriladi. Amaliyotda funksiyaning grafigini chizish quyidagi tartibda bajariladi: 1) funksiyaning grafigi chiziladi; 2) to ‘g‘ri chiziqlar chiziladi; 3) y=n to‘g‘ ri chiziqlar bilan funksiya grafigining kesishgan nuqtalaridan ordinatalar o'qiga parallel to ‘g‘ri chiziqlar o‘tkaziladi, natijada funksiyaning qiymatlari hosil bo‘lgan to ‘rtburchakka tushadi. funksiyaning grafigi yuqori yarim tekislikdagi to‘rtburchakka tushgan qismini masofa pastga, pastki tekislikdagi to'rtburchakka tushgan qismini masofagacha yuqoriga ko‘chiriladi. 27 ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar keltiramiz. 7-misol. ( ifoda ning kasr qismi) funksiyaning grafigi 34-rasmda tasvirlangan. 8-misol. funksiyaning grafigi 35-rasmda tasvirlangan. 28 2.5 ko‘rinishdagi funksiyaning grafigini yasash. davriy funkiya bo'lib, uning davri ga teng. funksiyaning bu xususiyatlarini e'tiborga olgan holda, uning grafigi quyidagi tartibda chiziladi: 1) da funksiyaning grafigi chiziladi; 2) funksiyaning davriyligini e'tiborga olib, funksiya grafigi davriy davom ettiriladi. ko'rinishdagi funksiyalarning grafigini yasashga doir misollar keltiramiz. 10-misol. funksiyaning grafigi 36-rasmda tasvir langan. 29 Xevisaydning birlik funksiyasi. Bu funksiya ushbu ko‘rinishda ifodalanadi: Uning grafigi 37- rasmda keltirilgan. 2.6 ko‘rinishidagi funksiya. Bunda Bu funksiyaning grafigini quyidagi tartibda chizish qulay bo‘ladi. A vv alo birinchi ikki qo'shiluvchining, ya'ni funksiyaning grafigi chiziladi, so‘ngra birinchi uch qo‘shiluvchi 30 funksiyaning grafigi chiziladi va hokazo. Bu jarayon shunday davom ettiriladi. Berilgan funksiyaning grafigi 38-rasmda tasvirlangan. To‘g‘ri burchakli impulsning davriy takrorlanishi quyidagi ko‘rinishdagi funksiya bilan ifodalanadi. (39-rasm). ”π−¿ tasvirdagi” impulsalar ketma-ketligi. ” π − ¿ tasvirdagi” impulslar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. Uning grafigi 40-rasmda tasvirlangan. 31 Arrasimon funksiya. Arrasimon funksiyaning analitik ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: Bunda . Arrasimon funksiyaning grafigi quyidagi tartibda chiziladi: Avvalo bunda funksiya qaraladi. So‘ngra funksiya qaraladi. Bu funksiyaning grafigi 41-rasmda tasvirlangan. 32 33 Xulosa Uzluksiz funksiyalarning xossalari va tekkis uzluksizlik mavzusi orqali biz o’zgaruvchilik uzluksiz funksiyalarning xossalari, tekis uzluksizlik, uzulish turlari to’grisida ma’lumotlarga ega bo’ldik. Ko’p o’zgaruvchilik uzliksiz funksiyalar ham bir o’zgaruvchilik uzluksiz funksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega ekan.Ma’lumki yurtimizda matematikaga bo’lgan talab rivojlanib borayaotgan bu shiddatli zamonda har bir pedagok bu kabi yo’nalishlarga oid ma’lumtlarni keng o’rganishi va targ’ib qilib bera olishi kerak desak mubolag’a bo’lmaydi. Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o’qitishda muhim ahamyatga ega bol’gan funksiya tushunchasi va uni o’rganish masalasiga bag’ishlangan. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida funksiya tushunchasini umum ta’lim maktablarida, kasb- xunar kolleji va akademik litseylarda o’qitilishi xaqida ma’lumotlar va o’rganiluvchi mavzular yoritildi. Asosiy qismda funksiya, funksiyaning berilish usullari, aniqlanish soxasi, turli elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli funksiya, kvadratik funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari trigonometrik funksiyalar xaqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi. Akademik litsey va kasb- xunar kollejlarida funksiya tushunchasi va uning o’gatish uslubyoti masalalari ko’rib chiqildi. Funksiyani to’liq tekshirish, funksiya limiti mavjudlik mezoni, murakkab funksiya va uzluksizlik xossalari to’liq o’rganib chiqildi. Har bir misollar grafiklar bilan boyitildi. Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin: 1. Funksiya grafigini o’qitilishi, talimda ko’rgazmalilik tamoilini amalgam oshirishda yordam beradi. 34 Foydalanilgan adabiyotlar 1. I.A. Karimov . Barcha reja va dasturlarimiz Vatanamiz taraqqiyotini yuksaltirish, xalqimiz farovonligini oshirishda xizmat qiladi. Xalq so’zi. 2011 yil 22 – yanvar . 2. I. A. Karimovning Asosiy vazifamiz – vatanimiz taraqqiyoti va xalqimiz faravonligini yanada yuksaltirish 2009 – yilning asosiy yakunlari va 2010 – yilda O’zbekiston ijtimoiy – iqtisodiy rivozlantirishning eng muhim ustuvor yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining majlisdagi ma’ruzasi. Xalq so’zi, 2010 – yil 30 – yanvar. 3. I. A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” “Sharq” Nashiriyot – matbaa konserni bosh taxriyoti. 1999 – yil . 4. R.B. Rayxmist. Grafiki funksiy. sprav. Pоsоbie dlya vuzоv - M.Vishaya shkоla, 1991-160 s 5. Sh.О.Alimоv, Yu.M.Kоlyagin va bоshqalar. Algebra va analiz asoslari Tоshkent.: O’qituvchi, 2003, - 256 b 6. A.A.Rahimqоriyev. Transsendent tengsizliklarni garfik usulda yechish Tоshkent.:O’qituvchi, 1995.-, - 160 b 7. M.L.Galiskiy, M.M.Mоshkоvich, S.I.Shvarsburd. Uglublennоye izucheniye kurs algebrik i matematicheskоgо analiz, M.Prоsveyeniya 1996. -352s 8. Ye.K о chetk о v, Ye. K о chetk о va. Algebra va elmentar funksiyalar. T о shkent. : O’qituvchi 1995. – 156 b 9. О .I.Smirn о v. funksi v kurse matematika 10 klassa . Mоskva. : Vqshaya shkоla, 1986 -80 s. M.S.Gelfand Prpоdavanie temk “Prоizvоdnaya funksiya”, Mоskva. Iz APN, 1980 – 111 s. 10. U.Tоshmatоv Funksiyalarni mоnоtоnlikka tekshirish xaqida. Fizika, matematika va infоrmatika 2(4), 2002, 33-37 b Ilmiy horijiy adabiyotlar 35 1. Ф и х т е н г ольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,т.I,11,Ш.— М., Наука, 1969. (Узбек тилига I—II томлари таржи ма қилинган.) 2. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Основы математического анализа, т. I, II.— М., Наука, 1964. (Узбек тилига таржима килинган.) 3. И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа, ч. I.— М., Наука, 1971. (Узбек тилига таржима қилинган.) 4. И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа, . II.— М., Наука, 1980. 5. Х и н ч и н А. Я. Восемь лекций по математическому анализу.— М., Н а ука, 1977. 6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, II.— М., Высшая школа, 1981. 7. Никольский С. А1. Курс математического анализа, т. I, II.— М., Наука, 1973. 8. И л ь и н В. А., С а д о в н и ч и й В. А., С е н д о в Бл. X. .Математичес кий анализ.— М., Наука, 1979. 9. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, II.— М., Наука, 1970. 10. Рудин У. Основы математического анализа.— М., Мир, 1976. 11. Зорич В. А. Математический анализ, ч. I.— М., Наука, 1981. 12. Романовский В. И. Избранные труды, т., I (Введение в анализ). Изд. АН УзССР, Ташкент, 1959. 13. www.ziyonet.uz 14. www.edu.uz 15. www.uzpak.uz 16. www.google.r u 17. www.rsl.ru 36

Funksiya grafigini yasash

Купить