• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 172.5KB
Покупки 4
Дата загрузки 15 Май 2024
Расширение docx
Категория Алгебра

Продавец

Sobirov Azizbek

Дата регистрации 21 Апрель 2024

35 Продаж

Funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish

I.BOB. FUNKSIYANI KO‘PHAD BILAN YAQINLASHTIRISH XOSSALARI 1.1.Funksiyani ko phad bilan yaqinlashtirish haqida tushuncha ʻ Ma lumki funksiya matematik analiz kursida organiladigan asosiy obyekt ʼ ko pgina masalalar esa funksiyani hisoblash (berilgan nuqta qo yilmalarni toppish) ʻ ʻ bilan bog’liq funksiyaning murakkab bolishi bunday hisoblashlarda katta qiyinchiliklar tug diradi. Natijada funksiyani unga qaraganda sadda va hisoblashda ʻ qulay bo lgan funksiya bilan yaqinlashtirish tarkibi ifodalash masalasi yuzaga ʻ keladi. Funksiyaning darajali qatoriga yeyilishidan uni tarkibiy hisoblashdan keng foydalaniladi. Bunday funksiyani darajali qator qismi yigindisi bilan almashtirib funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini topish quyidagilarning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi. Darajali qator tuzilishida ko ra sodda bo lishi uning qismi yigilishi esa oddiy ʻ ʻ kophad ekanligiga funksiyaning berilgan nuqtaga qiymatini effektiv hisoblay olishi mumkinligiga olib keladi. Shuni ham ta kidlash lozimki bunday imkoniyat faqat ʼ yaxshi funksiyalar uchun ya ni istalgan tartibdagi hosilalarga ega bo lgan va ʼ ʻ ma lum shartni qanoatlantiradigan funksiyalar uchun mavjud bo ladi. Ixtiyoriy ʼ ʻ uzluksiz funksiyalar berilgan bolsa uni biror ko phad yordamida taqribiy hisoblash ʻ mumkin bo’larmikan degan savol tug’iladi Ya’niy funksiyalarni ko phad bilan ʻ taqribiy almashtirish imkoniyatini analitik funksiyalar sifatida uzluksiz funksiyalar Sinfiga umumlashtirish masalasi paydo boladi. Faraz qilaylik, 0 ( ), 1 ( ), …, n ( ) yetarlicha siliq va hisoblash uchun qulay bo`lgan chiziqli erkli funksiyalar sistemasi bo`lsin. Bu fuksiyalardan tuzilgan = 0 0 + 1 1 + … + n n (2.1.1) chiziqli kombinassiya ( – doimiy sonlar) umumlashgan ko`phad deyiladi. Berilgan funksiyani interpolyatsiyalash yo`li bilan orqali 3 (2.1.3) miqdor ning dan o`rta kvadratik og`ishi deyiladi va ni bilan yaqinlashishda o`rta kvadratik ma’nodagi xatoni bildiradi. Agar ni o`rta kvadratik ma’noda bilan yaqinlashtirishda qandaydir sababga ko`ra qaralayotgan oraliqning biror qismida uning boshqa qismiga nisbatan aniqroq yaqinlashtirish kerak bo`lsa, u holda ko`pincha quydagicha ish tutiladi: vazn deb ataluvchi maxsus ravishda tanlab olingan manfiy bo`lmagan funksiya olinib, (2.1.2) o`rniga ushbu integralning eng kichik qiymatini qabul qilishi talab qilinadi. Bu yerda shunday tanlangan bo`lishi kerakki, agar oraliqning biror nuqtasi atrofiga yaqinlashish aniqligi boshqa nuqtalarga nisbatan yaxshiroq bo`lishi talab qilinsa, shu nuqta atrofida kattaroq qiymatga ega bo`lishi kerak. Msalan [-1,1] oraliqda funksiyani funksiya bilan yaqinlashtirishda aniqligining oraliqning chetki nuqtalari atrofida yuqori bo`lishini istasak, deb olish mumkin. Agar funksiyaning analtik ko`rinishi o`rniga, uning faqat ta , , …, nuqtalardagi qiymatlarigina malum bo`lsa, u holda (2.1.2) integral o`rniga ushbu (2.1.4) 5 tekis metrikada eng yaxshi yaqinlashtiradiganini topish talab qilinsin.Agar Qn−1(x) izlanayotgan eng yaxshi yaqinlashtirish ko`phadi bo`lsa, u holda, ravshanki, Pn(x)= xn−Qn−1(x) ko`phad quyidagi masalani yechadi: barcha bosh koeffitsiyenti 1 bo`lgan darajasi n dan iborat ko`phadlar ichida C [ − 1,1 ] fazodagi normasi minimali topilsin. Bu masalani yechadigan ko`phad noldan eng kichik chetlanuvchi ko`phad deyiladi.Bu yerdan va 1–teorema (Chebishev teoremasi) dan quyidagi teorema kelib chiqadi: Pn(x) Teorema 6.1. Bosh koeffitsiyenti 1ga teng n -darajali Pn(x) ko`phadning noldan eng kichik chetlanuvchi bo`lishi uchun n + 1 ta nuqtalar − 1 ≤ x 1 < x 2 < … < x n + 1 ≤ 1 sistemasi mavjud bo`lib, Pn(xi)=‖Pn‖ va P n ( x i ) sonlarning ishora almashinuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir. Bu masalani Chebishevning 1-jins ko`phadlari hal qiladi. Chebishevning 1-jins ko’phadlari va ularning xossalari. Ta`rif .1. n -darajali Chebishev ko`phadi deb Tn(x)= cos (narccosx ),|x|≤1, ga aytiladi. Ta`rifga ko`ra, T 0 ( x ) = 1 , T 1 ( x ) = x . Bundan tashqari , cos ( n + 2 ) θ = 2 cos θ cos ( n + 1 ) θ − cos nθ formuladan θ= arccosx deb olsak, Tn+2(x)= 2xTn+1(x)−Tn(x) rekurrent formula kelib chiqadi. Formulaning isboti: cos (n+2)θ+cos nθ = 2cos (2n+2)θ 2 cos (n+2− n)θ 2 = 2cos (n+1)θcos θ . Induksiya uslubi yordamida bu formuladan keltirib chiqarish mumkinki, Tn(x) darajasi n va bosh koeffitsiyenti 2n−1(n≥1) bo`lgan algebraik ko`phaddan iborat. Ravshanki, juft n lar uchun Tn(x) faqat x ning juft darajalaridan, toq n lar uchun esa toq darajalaridan tashkil topgan. Faqat o`zgarmas ko`paytuvchi bilan yuqoridagi T n ( x ) ko`phaddan farq qiladigan barcha ko`phadlarni ham keng ma`noda Chebishev (1-jins) ko`phadlari deb ataymiz. Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng ~ T n ( x ) = 2 − ( n − 1 ) T n ( x ) Chebishev ko`phadi uchun quyidagi teorema o`rinli. 11 berilgan uchun berilgan dan kichik bo`ladigan ko`phadni topish talab qilinadi. 2.1.Funksiyalarni Triganametrik ko phad bilan yaqinlashtirish ʻ . n -tartibli trigonometrik ko`phad deb an yoki bn haqiqiy sonlardan iborat koeffitsiyentlarning hech bo`lmaganda biri noldan farqli bo`lgan Tn(x)= a0+∑k=1 n (akcos kx +bksin kx ) funksiyaga aytiladi. Trigonometrik ko`phadlarning bir nechta oddiy va ravshan xossalarini ta`kidlaymiz. 1° . Tartiblari mos ravishda n 1 va n2 bo`lgan ikkita trigonometrik ko`phadlarning ko`paytmasi tartibi n1+n2 dan iborat trigonometrik ko`phaddir. Isbot. Bizga tartiblari mos ravishda va bo’lgan ikki trigonometrik ko’phadlar , berilgan bo’lsin. Ularning ko’paytmasi dan iborat bo’lib, uning yuqori tartibli hadlari ko’paytma tarkibida qo’shiluvchi sifatida hosil bo’ladigan, hej bo’lmaganda biri noldan farqli hadlarning yig’indisidan vujudga keladi. U holda , , formulalarga asoslanib, ko’paytma tartibi dan iborat trigonometrik ko’phad ekanligiga ishonch hosil qilamiz. -xossa isbotlandi. □ 9 2° . Agar Tn(x) -tartibli trigonometrik ko`phad, y -ixtiyoriy haqiqiy son bo`lsa, u holda U n(x)=Tn(x+y) ham n -tartibli trigonometrik ko`phaddir. 3° . Agar T n ( x ) trigonometrik ko`phad juft funksiya bo`lsa, u holda uning barcha b k ( k = 1,2 , … , n ) koeffitsiyentlari nolga teng; agar toq funksiya bo`lsa, u holda barcha ak(k=0,1 ,… ,n) koeffitsiyentlari nolga tengdir. 4° . -tartibli Tn(x),n≥1 , trigonometrik ko`phadning hosilasi ham -tartibli trigonometrik ko`phaddir. ~ C fazoning tartibi n dan oshmaydigan barcha trigonometrik ko`phadlardan tashkil topgan ~Cn qism-fazosini qaraymiz. 5° . ~Cn qism-fazoning o`lchovi 2n+1 ga tengdir. Uning bazisi sifatida 1,cos x,sin x,… ,cos nx ,sin nx sistemani olish mumkin. Trigonometrik ko`phadlarning bu oddiy va ravshan xossalarining isboti talabalarga havola qilinadi. 5° xossani Lemma 4.1 ning isbotidan foydalanib isbotlang. . Trigonometrik ko’phadning noekvivalent ildizlari. Endi biz trigonometrik ko`phadning mumkin bo`lgan nollarining soni bilan shug`ullanamiz. Agar x1 T n ( x ) trigonometrik ko`phadning noli bo`lsa, u holda ixtiyoriy k ∈ Z uchun x 1 + 2 kπ ham nol bo`ladi. Bu nollar (ildizlar) x 1 ga ekvivalent hisoblanadi. Umuman, son o`qining ikki x1 va x2 nuqtalari biror butun k uchun x2− x1= 2πk munosabatni qanoatlantirsa, ular ekvivalent deyiladi. Ta’rif. Agar funksiya x 1 nuqtada k -tartibgacha hosilalarga ega va f ( x 1 ) = f ' ( x 1 ) = … = f ( k − 1 ) ( x 1 ) = 0 , f ( k)( x 1 ) ≠ 0 bo`lsa, u holda x 1 nuqta f(x) funksiyaning k -tartibli noli (ildizi) deyiladi, 2.2.Noldan eng kichik chetlanuvchi algebraik ko`phadlar. Misol . (noldan eng kichik chetlanuvchi ko`phadlar). Faraz qilaylik, barcha darajasi n−1 dan oshmaydigan ko`phadlar ichida f ( x ) = x n funksiyani [ − 1,1 ] oraliqda 10 MAVZU :FUNKSIYANI KO‘PHAD BILAN YAQINLASHTIRISH REJA: KIRISH I.BOB. FUNKSIYANI KO‘PHAD BILAN YAQINLASHTIRISH XOSSALARI 1.1.Funksiyani ko phad bilan yaqinlashtirish haqida tushuncha ʻ 1.2.Veyershtrass teoremasi II.BOB.TRIGANAMETRIK KO’PHAD VA ALGEBRAIK KO’PHADLARNING FUNKSIYAVIY VAZIFALARI VA XOSSALARI 2.1.Funksiyalarni Triganametrik ko phad bilan yaqinlashtirish ʻ 2.2. Noldan eng kichik chetlanuvchi algebraik ko`phadlar. XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1 taqribiy ravishda almashtirish yo`li mavjud. Ammo shuni ham takidlab o`tish lozimki, qator masalalarda funksiyaning bunday taqribiy tasvirlanishi maqsadga muvofiq bo`lavermaydi. Birinchidan, tugunlar soni ko`p bo`lsa, u holda interpolyasion ko`phadlarning ham darajasi ortib boradi, lekin bu yaqinlashishning sifati har doim ham yaxshi bo`lmasligi mumkin. Ikkinchidan, funksiyaning tugun nuqtalardagi qiymati biror tajribadan aniqlangan bo`lishi ham mumkin, u holda tabiy ravishda bu qiymatlar tajriba xatosiga ega bo`lib, u interpolyatsion ko`phadga ham tasir qiladi va shu bilan funksiyaning haqiqiy holatini ham buzib ko`rsatadi. Qandaydir ma’noda bu kamchiliklardan holi bo`lgan o`rta kvadratik yaqinlashuvchi ko`phadlarni tuzish bilan shug`ullanish maqsadga muvofiqdir. Shunday qilib, biz funksiyalar uchun o`rta kvadratik ma’noda yaqinlashish masalasi qo`yilishining maqsadga muvofiq ekanligiga ishonch hosil qildik. Bu masala quydagidan iboratdir: [ ] oraliqda aniqlangan funksiya uchun (2.1.1) ko`rinshdagi yaqinlashuvchi shunday ko`phad topilsinki, (2.1.2) ifoda mumkin qadar eng kichik qiymatni qabul qilsin. Agar (2.1.2) integral kichik qiymatni qabul qilsa, bu shuni bildiradiki, [ ] oraliqning ko`p qismida va m bir-biriga yaqin. Shunga qaramasdan ayrim nuqtalar atrofida yoki bu oraliqning ba’zi kichik qisimlarida m ayirma nisbatan yetarlicha kata bo`lishi ham mumkin. Quydagi 4 KIRISH Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Eng yaxshi yaqinlashtirish elementining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalarni qo’llash orqali noldan eng kichik chetlanuvchi algebraik ko`phadlar alomatini keltirib chiqarish, Chebishevning 1- jins ko’phadlarini kiritish va ularning xossalarini o’rgatish. Bu ko’phadlarning funksiyalarni yaqinlashtirish sur’atini ko’tarishda qo’llanilishini misol orqali tushuntirish. Kurs ishi mavzusining o’rganilganlik darajasi: : talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish faoliyatiga jalb qilish, ularda o’zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish, atrofdagi jarayonlarni idrok etish va ularni talqin qilishga o’rgatish hamda fanga bo’lgan qiziqishni o’stirish.talabalardagi izlanuvchanlik faoliyatini rag’batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko’nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish, matiqiy va ijodiy qobiliyatni, muloqot madaniyatini rivojlantirish. Kurs ishi mavzusining maqsadi : -davrli uzluksiz funksiyalarning ~ C fazosini C [a,a+2π] fazoning f ( a) = f ( a + 2 π ) shartni qanoatlantiruvchi f funksiyalarning qism-fazosi yoki S birlik aylanada uzluksiz funksiyalarning C ( S ) fazosi sifatida talqin qilish mumkinligi, trigonometrik ko’phadlar va ularning asosiy xossalarini o’rgatish. Kurs ishi mavzusining obyekti: O quvchilarining ta’lim-tarbiya jarayonida ʻ funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish xossalarini darslar davomida ishlashni o’rganishdir . Kurs ishining tuzilishi: Mazkur kurs ishi 2 bob, 4 fasl, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar majmuasidan iborat. 2 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Г.Е. Шилов . Математический анализ . Конечномерые линейные пространства . М. Из-во , “ Наука ” , 1969. 432 стр . 2. В.К.Дзядык. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. Из-в о , “Наука “ , 1977 . 512 стр . 3. Н.И.Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965. 408 бет. 4. Н.П.Корнейчук. О наилучшем приближении непрер ы вн ы х функций. – “Изв. АН СССР сер.мат”, 1963. т.27, №1, с.29-44. 5. Н.П.Корнейчук. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрер ы вных периодических функций. – “Докл. АН СССР”, 1962. т.145, №3, с.514-515. 14 mumkin. Aniqrog`i, faraz qilaylik, [a,b ] oralig`da ning ekstremumlari soni chekli bo`lib, ixtiyoriy musbat son bo`lsin. Faraz qilaylik, o`zaro kesishmaydigan [a, b] dan olingan shunday oraliqchalar bo`lsinki, tengsizlik qanoatlantiradigan nuqtalar shu larga tegishli bo`lib, shu oraliqchalar uzunliklar yig`ndisi bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda bo`ladi. Bunda esa Demak, agar yetarlicha kichik bo`lsa, [a, b] oraliqning o`lchovi istalgancha kichik dan ortmaydigan nuqtalar to`plamidan tashqari boshqa ham nuqtalarda tengsizlik o`rinli bo`ladi. Lekin ayrim hollarda yaqinlashtiruvchi ko`phadga og`irroq shart qo`yiladi, chunonchi, [a, b] oraliqning barcha nuqtalarida ning dan og`ishi berilgan miqdordan kichik bo`lishi talab qilinadi. Biz 7 yig`indining mumkin qadar kichik qiymat qabul qilishligi talab qilinadi. Bu holda miqdor o`rta kvadratik og`ish deyiladi. O`rta kvadratik yaqinlashtirish usuli eng kichik kvadratlar usuli ham deyiladi. Agar bordiyu, larning aniqligi bir xil bo`lmasa, masalan, har xil aniqlikka ega bo`lgan turli asboblar yordamida hisoblangan bo`lsa, u holda biz aniqligi kata bo`lgan qiymatlarga ko`proq ishonch bilan kattaroq “vazn” berishimiz kerak. Buning uchun nuqtadagi vazn deb ataluvchi maxsus tanlangan sonlarni olib, (2.1.4) yig`ndi o`rniga ushbu (2.1.5) vazniy yig`ndini minimallashtirishimiz kerak. Bu vaznlar odatda ularning yig`ndisi birga teng bo`ladigan qilib tanlanadi: Agar (2.1.3) bilan aniqlangan o`rta kvadratik og`ish kichik bo`lsa, [a, b] oraliqning aksaryat nuqtalarida ayirma qiymati kichik bo`ladi. Lekin shunga qaramasdan ayrim kichik oraliqlarda bu miqdor katta bo`lishi ham 6 ko`phadni tuzamiz. U holda P 6( x ) darajasi 6 dan oshmaydigan juft ko`phad bo`lib, ‖ f − P 6 ‖ ≤ ‖ f − Q 8 ‖ + 1 8 ! ‖~ T 8 ‖ ≤ 1 10 ! + 1 2 7 ∙ 8 ! < 0,00000047 . Shunday qilib, P 6 ( x ) ko`phad f funksiyani [ − 1 ; 1 ] oraliqda Q6(x) ga nisbatan taxminan 50 marta yaxshiroq yaqinlashtiradi. XULOSA Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasi qo'yilgan talabga (shartga) (qarab turlicha boladi. Hisoblash matematikasida keng qolaniladigan usullardan ba'zilarini eslatib otamiz.Interpolyatsiyalash, o'rtacha kvadratik m a'noda yaqinlashtirish, tekis yaqinlashish va splayn yaqinlashish. Interpolyatsiyalash funktsiyalarini yaqinlashtirish nazariyasida olingan natijalrni funksiya jadvalini zichlashtirish, sonli differensiallash va integrallash, matematik to'rdagi analogini qurishda keng qoilaniiadi. to'rdagi analogini qurishda keng qolaniladi. 13 Noldan eng kichik chetlanuvchi algebraik ko`phad haqidagi teorema va uning natijasi. Teorema .2. Noldan eng kichik chetlashadigan ko`phad ~Tn(x) bo`lib, ‖~ T n ‖ = 2 − ( n − 1 ) . Isbot. Ravshanki, ‖Tn‖=1 va shuning uchun ‖~Tn‖= 2−(n−1) . Faraz qilamizki, xk= 2−(n−1)cos n−k+1 n π (k=1,n+1) . U holda − 1= x1<x2<⋯ <xn+1= 1 va T ~ n(xk)=2−(n−1)cos (n−k+1)π=(−1)n−k+12−(n−1)=(−1)n−k+1‖T ~ n‖ . Demak, ~Tn(x) ko`phad 3- teorema shartlarini qanoatlantiradi, ya’ni u noldan eng kichik chetlashadigan ko`phaddir. □ Natija .1. [−1;1] oraliq uchun quyidagi En−1(xn)=2−n+1 tenglik o`rinli. Chebishev ko’phadlarining yaqinlashtirish sur’atini ko’tarishda qo’llanilishi. Chebishev ko`phadlari noldan eng kichik chetlashuvchi ko`phadlar sifatida yaqinlashtiruvchi ko`phadlar darajasini kichraytirishda yoki yaqinlashtirish sur’atini ko’tarishda qo`llaniladi. Buni misolda tushuntiramiz. Faraz qilaylik, f ( x ) = cos x funksiyani [−1;1] oraliqda 6-darajali ko`phad bilan yaqinlashtirish talab qilinsin. Teylor qatorining kesmasi Q 6 ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! f funksiyaga 0,000025 >1/8!>‖f−θ6‖≥|f(1)−Q6(1)|>1/8!−1/10 !>0,000024 yaqinlashtirishni ta`minlaydi. Endi yaqinlashtiruvchi ko`phad sifatida Teylor qatorining keyingi kesmasidan uning bosh hadiga aynan teng Chebishev ko`phadini ayirishdan hosil bo`lgan P6(x)=Q8(x)− 1 8! ~T8(x) 12 funksiya [a,b] da uzliksiz va algebraik ko`phad bo`lgan holni ko`ramiz. Faraz qilaylik, darajasi n dan ortmaydigan algebraik ko`phadlarning to`plami bo`lsin. Agar funksiya [a, b] oraliqda uzluksiz va bo`lsa, uholda ning dan [a, b] oraliqda og`ishini, ya’ni ni orqali belgilaymiz. Bu miqdor ko`phad koeffisientlari ning funksiyasi bo`lib, u manfiy emas hamda bu miqdor manfiy bo`lmagan aniq quyi chegaraga ega bo`ladi: Agar shunday ko`phad mavjud bo`lib, tenglik bajarilsa, u holda ko`phad eng yaxshi tekis yaqinlashuvchi ko`phad va eng kichik og`ish yoki ning n-darajali ko`phad bilan eng yaxshi yaqinlashishi deyiladi. EHM larda funksiyalarni hisoblash uchun standart programalar tuzishda 8

Funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish

Купить