Информация о документе

Цена 34999UZS
Размер 153.8KB
Покупки 0
Дата загрузки 09 Январь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Navruz

Дата регистрации 03 Декабрь 2023

25 Продаж

Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni

Купить
Mundarija Kirish ……………………………………………………………….….….6 1-BOB. Integralning Tanishuvchi Tushunchasi : 1.1 I ntegralning tushunchasi va umumiy maqsadi 1.2. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda integrallash . 2-BOB. Integralning Hisoblanishi 2.1. Integralning xususiyliklari 2.2 Definite integralni hisoblash usullari: to'g'ri integrallash, qo'shimcha usullar, almashtirishlar. Xulosa ……………………………….…….……………………………....…33 Foydalanilgan adabiyotlar …………………….………………………........….36 1 1-BOB. Integralning Tanishuvchi Tushunchasi : Integral matematikada, bir funksiyaning belgilangan araligida integrallanishi uchun ishlatiladi. Integralning tanishuvchi tushunchasi quyidagi shaklda ifodalay oladi: Definitsiya: Integral, funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishi, ya'ni bir funksiya � ( � ) f ( x ) ni kesilayotgan kesmada maydonning yuzasi sifatida tasavvur qilinadi. Integralning belgilangan oraliqda (kesmada) hisoblanishi uchun integrallanuvchi funksiya va integrallanuvchi oraliq (kesma chegaralari) belgilanishi kerak. Integralning umumiy formula ko'rinishi quyidagicha: ∫ ��� ( � ) �� ∫ ab f ( x ) dx Bu formulada, � ( � ) f ( x ) integrallangan funksiya, � a va � b esa integrallanish kesmada bo'lgan oraliqlar. Integral matematik tahlil tushunchalariga tegishli va abssissada chegaralangan integral chiziqli trapetsiya maydonini grafik jihatdan birlashtiradi. Funksiyaning integralini topish, uning hosilasini izlashga qaraganda ancha qiyin. Noma'lum integralni hisoblashning bir necha usullari mavjud: to'g'ridan-to'g'ri integratsiya, differentsial belgi ostida kirish, almashtirish usuli, qismlar bo'yicha integratsiya, Vaystrashtni almashtirish, Nyuton-Leybnits teoremasi va boshqalar. To'g'ridan- to'g'ri integratsiya oddiy konvertatsiyalar yordamida asl integralning jadval qiymatiga tushirilishini o'z ichiga oladi. Masalan: ∫ dy / (sin ² y · cos ² y) = ∫ (cos ² y + sin ² y) / (sin ² y · cos ² y) dy = ∫ dy / sin ² y + ∫ dy / cos ² y = - ctgy + tgy + C. Differentsial belgi ostiga kirish yoki o'zgaruvchini o'zgartirish usuli bu yangi o'zgaruvchining o'rnatilishi. Bunday holda, asl integral to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli bilan jadval shaklida o'zgartirilishi mumkin bo'lgan yangi integralga qisqartiriladi: integral (f) (y) dy = F (y) + C va ba'zi o'zgaruvchilar bo'lsin v = g (y), keyin: f (y) dy - 2 > ∫ f (v) dv = F (v) + C Ushbu usul bilan ishlashni osonlashtirish uchun ba'zi bir oddiy almashtirishlarni eslab qolish kerak: dy = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y² + b); sinydy = - d (shinam); shinam = d (gunohkor) Masalan: -dy / (1 + 4 · y²) = -dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · -d (2 · y) / (1 + (2 y) ²) = 1/2 arctg2 y + Bo'limlar bo'yicha integratsiya quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: dudv = u · v - dvdu Masalan: Dy · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = -y · shinam + siny + C Ko'pgina hollarda aniq integral Nyuton-Leybnits teoremasi orqali topiladi: [a; intervalda f (y) dy. b] F (b) - F (a) ga teng. Masalan: [0; intervaldan ∫y · sinydy toping; 2 π ]: yy · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = (-2 π · cos2 π + sin2 π ) - (-0 · cos0 + sin0) = -2 π . 1.1 I ntegralning tushunchasi va umumiy maqsadi Agar [a,b] kеsmada aniqlangan f(x) funksiya uchun bu kеsmaning barcha nuqtalarida F1 (х)=f(х) tеnglik bajarilsa, F(х) funksiya shu kеsmada f(х) funksiyaga nisbatan bоshlang`ich funksiya dеb ataladi. Agar F(х) funksiya biror oraliqda f(х) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda F(х)+C (bu yerda C – ihtiyoriy doimiy) funksiyalar to‘plami shu kesmada f(х) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:  f (x)dx  F(x)  C Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni  3  f (x)dx' f (x) Aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng, ya’ni d  f (x)dx   f (x)dx Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni  F'(x)d x  F(x)  C ya’ni Biror funksiyaning differentsialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng,  d F(x)  F(x)  C Chekli sondagi funksiyalarning algerbaik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni  f (x)  f (x)  f (x) d x  f (x)d x  f (x)d x  f (x)d x Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni, yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga keltiriladi. [a,b] kesmada uzluksiz y  f (x) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz. [a,b] kesmani a  x0, x1, x2,..., xn  1, xn  b, bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda x0  x1  x2  ...  xn , 4 va x1  x0   x1, x2  x1   x2,....,xn  xn  1   xn So’ngra, y  f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini quyidagicha belgilaymiz [x , x ] m va M , 0 [x1, x ] m va M ............................ [xn  1, xn] mn va M n Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi  f (x)dx Aniq integralda quyi a chegara mahkamlangan, yuqori b chegara esa o’zgraib tursin. U holda integralning qiymati ham o’zgarib turadi, ya’ni integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’lib qoladi. Yuqori chegarani x bilan, integral o’zgaruvchini t bilan belgilaymiz:  f (t)dt Integralga ega bo’lamiz. a o’zgarmas son bo’lganda bu integral x yuqori chegaraning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani biz  (x)bilan belgilaymiz:  (x)   f (t)dt Agar f (t) - nomanfiy funksiya bo’lsa, u holda  (x) miqdor son jihatdan aAXx egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng . x o ’ zgarganda bu yuza o ’ zgarishi ochiq ravshan .  (x) funksiyaning hosilasini topamiz, ya’ni (1) integraldan yuqori chegara bo’yicha hosila olamiz. x Teorema 1 Agar f (x) uzluksiz funksiya va  (x)   f (t)dt bo’lsa, u holda a  '(x)  f (x) tenglik o’rinli. 5 Boshqacha aytganda, aniq integraldan yuqori chegara bo’yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng. Isbot. x argumentga musbat yoki manfiy  x orttirma beramiz; u holda topamiz (6-xossa):  (x   x)   f (t)dt   f (t)dt   f (t)dt  (x) funksiyaning orttirmasi   (x   x)  (x)   f (t)dt   f (t)dt   f (t)dt ga teng, ya’ni    f (t)dt Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llaymiz (5-xossa).   f (  )(x  x  x)  f (  )  x bu yerda  miqdor x va x   x orasida joylashgan. Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan topamiz: Demak,  '(x)  lim f (  )  x  0  x  x  0 Ammo   x da  x  0 bo’lganligi uchun lim f (  )  lim f (  )  x  0  x f (x) uzliksiz bo’lganligi uchun lim f (  )  f (x)  x Shunday qilib,  '(x)  f (x) . Teorema isbotlandi. Nyuton-Leybnits formula aniq integrallarni hisoblashning qulay usulidir. 6 1.2. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda integrallash Daraj integral integral turdagi integrallarni hisoblash uchun ishlatiladigan kuchga ko'tarilgan ma'lum bir funktsiyaga. Xususan, bu odatda" dx^n dx " Funktsiyaning aniq integrali, integral turi ma'lum bir diapazondagi integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi.   Aniq integralning natijalari funktsiyaning ma'lum bir pastki va yuqori chegarasi ma'lum bir diapazondagi umumiy o'zgarishni yoki ular orasidagi bo'shliqni ifodalaydi.   Aniq integralni hisoblash uchun belgining integrali pastki va yuqori chegaralar qiymatlariga qo'shiladi.   Misol uchun,a va B o'rtasida funktsiya aniq integral shaklida ko'rsatilgan f(x) DX, integrallarni hisoblaydi. Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik. Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi. Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar [a;b] kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu xossaga ega bo‘lgan [a;b] kesmaga tegishli s nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi. 1. Ferma teoremasi Teorema. Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va biror ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishsa va shu nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud bo‘lsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladi. Isbot. f(c) funksiyaning eng katta qiymati bo‘lsin, ya’ni  x  (a;b) da f(x) ≤ f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Shartga ko‘ra bu s nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud. Ravshanki, 7 . Roll teoremasi Teorema (Roll teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1) [a;b] da uzluksiz; 2) (a;b) da differensiallanuvchi; 3) f(a)= f(b) shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladigan kamida bitta c (a<cm, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun f(c)=m bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra  x  [a,b] uchun f(x)  f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Endi f’(c)=0 ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi. f(c)=M bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. Roll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin (20-rasm). Agar [a,b] kesmada uzluksiz, (a,b) intervalda differensiallanuvchi f(x) funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda f(x) funksiya grafigida abssissasi x=c bo‘lgan shunday C nuqta topiladiki, shu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga parallel bo‘ladi. Eslatma. Roll teoremasining shartlari yyetarli bo‘lib, zaruriy shart emas. f(x)=x3 , x  [-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi. 8 (f(-1)=-1  1=f(1)), lekin f’(0)=0 bo‘ladi Koshi teoremasi Teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x) berilgan bo‘lib, 20 1) [a,b] da uzluksiz; 2) (a,b) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud, hamda g‘(x)  0 bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a<c<a<b) nuqta topiladi, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. Ravshanki, (1.4) tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun g(b)  g(a) bo‘lishi kerak. Bu esa teoremadagi g‘(x)  0, x  (a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo‘lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c  (a;b) nuqtada g‘(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa  x  (a;b) da g‘(x)  0 shartga ziddir. Demak, g(b)  g(a) Endi yordamchi hosilaga ega. So‘ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a<c<b) nuqta topiladiki F’(c)=0 boladi. 9 Shunfay qilib va bundan (1.4) tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi. Isbotlangan (1.4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi. 2-BOB. Integralning Hisoblanishi Integralning hisoblanishi, matematikada bir funksiyaning belgilangan araligida integrallanishini topishni anglatadi. Integral hisoblash jarayoni quyidagi bosqichlardan o'tadi: 1. Antiderivativani Topish: Integralni hisoblash uchun, integrallanayotgan funksiyaning antiderivatasi (integral funksiya) topilishi kerak. Bu, funksiyaning tushunchasini olishga mos keladi. Antiderivatani topish uchun integrallanayotgan funksiyaning bitta o'zgaruvchanli funksiya bo'lishi kerak. 2. Integrallanayotgan Kesma Belgilash: Integralni aniqlash uchun, integrallanayotgan kesmaning (maydonning) chegaralarini belgilash kerak. Bu chegaralar � a va � b bilan belgilanadi: ∫ ��� ( � ) �� ∫ ab f ( x ) dx . 3. Integral Hisoblanishi: Antiderivatani topganingizda, integrallanayotgan kesmani o'rganing va integralni hisoblang. Bu natija integrallanayotgan maydonning yuqori va pastki chegaralari orasidagi maydonning sifatida ko'rsatiladi. Integralni hisoblash uchun murakkab funksiyalarni integrallash formulalari yoki integralning hisoblanishi uchun ba'zi kalkulyatorlar yordam beradi. Ammo, murakkab funksiyalarni integralini topish uchun ko'p holatda qo'shimcha integratsiya, almashtirishlar, 10 integrallanuvchanliklar va qo'llaniladigan boshqa formulalar bilan ishlash kerak bo'lishi mumkin. Integrallashda amaliy hisoblash uchun, integrallanayotgan funksiyaning xususiyatlari va uning integrallanishi haqida ko'p bilimga ega bo'lish, matematik hisoblashning bir qancha ko'nikmalaridan foydalanish zarur. Ikki karrali integralni hisoblash. Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. D soha y = y1 (x), y = y2 (x) funksiyalar grafklari hamda x = a va x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsin, ya'ni f a < x < b \yi (x ) < y < y2 (x ) tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral quyidagicha hisoblanadi: b ff f (x, y )ds =f D a (1) Oxirgi aniq integral ichki integral deb ataladi va uni hisoblashda x ni o'zgarmas deb, integrallash y bo'yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo'ladi. D soha y2 ( x ) f f( yi( x ) x y y)dy b y 2 ( x ) dx = f dx f f (. a yi( x ) x, y y)dy с < y < d 11 x1 ( У ) < x < x2 ( У ) tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral d JJ f (x, У )dxdy = J D x2 ( У ) J f (x, У )dx .x1( У ) d x2 (y ) dy = J dy J f (x, y )dx _ s x1(y ) formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi. 1-misol. JJxlnydxdy integralni D soha: 0 < x < 4, 1 < y < e to'g'ri D to'rtburchak bo'lganda hisoblang. Yechish. (1) formulaga asosan, JJ x ln ydxdy = J xdxJ ln ydy = J xdx[y ln y — y je = — П П П 2 D 4=8. 2-misol. JJ (x — y)dxdy integralni D : y = 2 — x2, y = 2x — 1, chiziqlar D bilan chegaralangan soha bo'lganda hisoblang. Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada OY o'qiga simmetrik bo'lgan parabola. Ikkinchisi chiziq to'g'ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz: о 2 У = 2 — x y = 2 x — 1 tenlamalar sistemasini yechib, A(— З ;—7), B(1,1) nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan, 1 2—x2 JJ (x, y)dxdy = J dx J (x — y)dy = D — З 2x—1 12 = J xy 2 2—x2 1 dx = J 2x—1 x • (2 — x ) (2 — x2)2 — - =J —З —З 4 2 1 fn _ З 4 — 4x2 + x4 2 4x2 — 4x + 1Л 2 x x 2 x x J — З v 2 2 x • (2 x — 1) -dx =(2 x — 1)22y Ikki karrali integralning ta'rifi. f (x, y)funksiya biror D sohada aniqlangan bo'lsin. D sohani n ta Dz qismlarga bo'lamiz. Har bir Dz qismda P (xt, yi ) bittadan nuqta tanlaymiz hamda Sn = tf ( x, yi (i) i=l yig'indini to'zamiz. (1) yig'indiga f (x,y)funksiya uchun D sohadagi integral yig'indi deyiladi. X qism sohalar diametrlarining eng kattasi bo'lsin. AS;, Dt sohaning yuzi. 13 Ta'rif. (1) integral yig'indining, qismlarga bo'linish usuliga, P nuqtalarning tanlanishiga bog'liq bo'lmagan X ^ 0 dagi limiti mavjud bo'lsa, bu limitga f (x, y) funksiyaning D sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va ff f ( x y )ds D simvol bilan belgilanadi. Ikki karrali integral aniq integralning ikki o'zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun umumlashgan holidir. Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etam an . 2.1. Integralning xususiyliklari Definite va Indefinite Integral Farqliklari: Definite integral, belgilangan oraliqda (kesmada) integrallanishni ifodalaydi, va uni aniqlash uchun a va b nuqtalari bilan belgilanadi: ∫ ∫ ab f ( x ) dx . Indefinite integral esa antiderivatani topish uchun ishlatiladi, ya'ni integrallanayotgan funksiyaning o'zgaruvchan funksiyasini topish uchun qo'llaniladi: ∫ ∫ f ( x ) dx . Additivlik: Integralning additivligi, bir nechta funksiyalarni integrallash va uning natijalarining qo'shilishi bo'yicha ruxsat beradi. Ya'ni, ∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . Skalyar Ko'paytma Qoidasi: Skalyar ko'paytma qoidasi, integralning skalyar ko'paytma bilan birga ishlashini ta'minlaydi. Misol uchun, c ⋅ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( c ⋅ f ( x )) dx (bu yerda � c skalyar ko'paytma). Integrallashning Aljabar Tashqi Ko'rinishi: Ular, bir xil miqdorda integralni ifodalash uchun aljabar tashqi ko'rinishlarda bo'ladi. Misol uchun, ∫ ( f ( x )− g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . Integrallash va Maydonning Geometrik Tushunchasi: Integralning belgilangan funksiya yoki maydonning geometrik ma'nosini ifodalash 14 uchun ishlatiladi. Masalan, bir funksiyaning integrallanayotgan kesmada maydonning yuzasi sifatida tasavvur qilinishi mumkin. Integralning Linearlik Sifati: Integralning linearlik sifati, integralning skalyar ko'paytma bilan ishlashi, qo'shilish va ayirishning amalga oshirilishini ta'minlaydi. Bu sifat, integralning bir nechta funksiyalarni birlashtirish va ulardan foydalanishda qulaylik yaratadi. Bu xususiyliklar, integralning operatsion xususiyatlarini va uning belgilangan funksiyalar yoki maydonlar bilan bog'liqlikni ifodalaydi. Integrallashning aljabaraviy va geometrik yordamlari, funksiyaning muammolarini hal qilishda va integrallashning amaliyotlari uchun muhimdir. Funksiyalarni qo'shish : Integralning additivligi, ikki yoki undan ko'p funksiyalarni integrallashda integralning o'zini qo'shishning imkoniyatini ta'minlaydi. Bu, integralning qo'shish qoidalari asosida funksiyalarni qo'shishda ishlatiladi: ∫ ( f ( x )+ g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . Funksiyalarni ayirish: Qoidalik sifat bilan, integrallanayotgan funksiyalarni ayirishda integralning integralini funksiyalarning ayirishining integrali bo'lmagan oddiy funksiyalarga bo'lib ajratish mumkin: ∫ ( f ( x )− g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx . Additivlik ko'rinishi : Ushbu additivlik ko'rinishi, integralning integrallovchi funksiyalarni qo'shish va ayirish amallarida oddiy arifmetik qoidalari o'rganish orqali aniqlanadi. Bu xususiyat, integralning bir nechta funksiyalarni integrallash uchun ishlatiladi va integralning umumiy qoidalari bilan bog'liqlikni ifodalaydi. Integralning additivligi, integrallovchi funksiyalarni operatsiyalar (qo'shish, ayirish) orqali birlashtirishni ta'minlaydi va uning mantiqiy tushunchasini ko'rsatadi. Bu qoidalarning amaliyotda va integralning ko'nikmalarini aniqlashda ahamiyati katta bo'lgan matematik konseptlardan biridir. 15 Skalyar ko'paytma qoidasi integralning xususiyatlaridan biridir. Bu qoida integrallovchi funksiya yoki funksiyani skalyar (saniyavi) ko'paytirishda ishlatiladi. Skalyar ko'paytma qoidasi quyidagi ko'rinishda ifodalaydi: c ⋅ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( c ⋅ f ( x )) dx Bu formulada c skalyar (saniyavi) ko'paytma va f ( x ) integrallanayotgan funksiya hisoblanadi. Qoidaning bu ko'rinishi aytishicha, skalyar ko'paytma (saniyavi ko'paytma) integralning tashqari qilinishida integral o'zini nisbatan o'zgartirmaydi. Bu qoida integralning skalyar ko'paytma bilan birga ishlashini mantiqiy ko'rsatadi. Misol uchun, c ni integrallanayotgan funksiya bilan ko'paytirish, integral o'zgaruvchanligini saqlaydi va natijada integralning qiymatini c ga ko'paytiradi. Skalyar ko'paytma qoidasi integralning linearni xususiyatlaridan biri hisoblanadi va bu integralning matematik amaliyotlarida o'zgaruvchan funksiyalarni saniyavi ko'paytirish holatlarida foydalaniladi. Funksiyalarni qo'shish matematikada integralning bir xususiyatidir. Integralning additivligi bo'yicha funksiyalarni qo'shish quyidagi ko'rinishda ifodalaydi: ∫ ( f ( x )+ g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx Bu formulada, f ( x ) va g ( x ) integrallanuvchan funksiyalar, va ularning yig'indisi integrallangan holda yig'indisiga tengdir. Bu formuladan kelib chiqadiki, ikki funksiyaning yig'indisi integrallangan holatda integralining yig'indisi, ularning integrali hisoblanadi va integralni yig'indisi ham integrallash mumkin. Bunday qoida integralning qo'shish (va ayirish) qoidalari orqali funksiyaning integrallovchi sifatlarini aniqlashda va integrallashning mantiqiy xususiyatlarini tushuntirishda foydalaniladi. Bu qoida integrallash uchun murakkab funksiyalarni birlashtirish va integrallanuvchan funksiyalarni integrallashda qo'llaniladi. 16 Funksiyalarni ayirish integralning bir xususiyatidir va quyidagi ko'rinishda ifodalay oladi : ∫ ( f ( x )− g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx Bu formulada, f ( x ) va g ( x ) integrallanuvchan funksiyalar. Bu formuladan kelib chiqadiki, ikki funksiyaning farqining integrali, ularning integrali farqidan iborat bo'ladi. Bu integralning ayirish (va qo'shish) xususiyatlari orqali funksiyaning integrallanishi bilan bog'liq mantiqiy xususiyatlarini ko'rsatadi. Funksiyalarni ayirish qoidasi, integrallanuvchan funksiyalarni ajratish uchun ishlatiladi va bu ko'rinish integrallashning mantiqiy xususiyatlarini aniqlashda, integralni hisoblashda va funksiyaning integrallovchi sifatlarini tushuntirishda foydalaniladi. Aniq integralning barcha xossalari birinchi tur sirt integrallari uchun o’rinlidir. Agar sirtning Oxy tekislikka proyeksiyasi ху bir qiymatli bo’lsa, ya’ni Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq sirtni faqat bitta nuqtada kessa, mos birinchi tur sirt integralni hisoblashni ushbu formula orqali ikki o’lchovli integralni hisoblashga keltirish mumkin: bu yerda z = z(x, u) — sirtning tenglamasi. Xususan, agar sirt yopiq bo’lsa va Q fazoning biror sohasini chegaralasa, u holda sirtning musbat yoki tashqi tomoni deb uning normal vektorlar Q sohadan yo’nalgan tomoni, manfiy yoki ichki tomoni deb uning normal vektorlari Q sohaga yo’nalgan tomoni aytiladi. Musbat (tashqi) va manfiy (ichki) tomonlari mavjud bo’lgan sirtlar ikki tomonlama sirtlar deyiladi. Ular uchun quyidagi xossa o’rinlidir. 17 Agar → n normal vektorning asosini bunday sirtda yotuvchi istalgan yopiq L kontur bo’ylab uzluksiz ko’chirilsa, dastlabki nuqtaga kaytganda →n ning yo’nalishi dastlabki yo’nalish bilan bir xil bo’ladi. Bir tomonlama sirtlar uchun →nnormal vektorning bunday ko’chishi dastlabki nuqtaga qaytilganda ( — →n) vektorga olib keladi. Ma’lum tomoni tanlangan sirt orientatsiyalangan deyiladi. 2.2 Definite integralni hisoblash usullari: to'g'ri integrallash, qo'shimcha usullar, almashtirishlar. Aniq integral grafikdagi egri chiziq yuzasini topishga yordam beradi.   Uning chegaralari bor: egri chiziq ostidagi maydon hisoblanadigan boshlang'ich va so'nggi nuqtalar.   Egri chiziqning maydonini topish uchun chegara nuqtalari [a, b] deb taxmin qiling f(x) x o'qiga nisbatan.   Keyin aniq integralning   va b a f ( x ) d x . Integratsiya bu maydonlarning yig'indisidir va aniq integrallar chegaralar ichida maydonni topish uchun ishlatiladi. Definite integral, belgilangan oraliqda bir funksiyaning integrallanishini ifodalaydi. Definite integralni hisoblash uchun bir nechta usullar mavjud: To'g'ri Integrallash: Bu usulda, funksiya integrallanuvchan bo'lgan oraliqning to'g'ri formulasi yordamida integrallashadi. Integralning qiymati funksiyaning integrallovchi oraliqda integrallangan maydonning yuzasi sifatida hisoblanadi. Qo'shimcha Usullar: Bu usullar integrallashni asanlash uchun yordam beradi. Ular o'zida integrallashga yordam beradigan formulalarni va xususiyliklarni o'z ichiga oladi. Misol uchun, qoidalar, o'zaro almashtirishlar yoki integrallashga yordam beradigan algoritmalar integrallashni oddiyroq qilishda foydalaniladi. Almashtirishlar: Almashtirishlar (substitutsiya) usuli, integralni o'zgartirish yoki o'zgartirishlar ketma-ketligi orqali integralni 18 integrallashning osonroq shaklini topish uchun qo'llaniladi. Bu usul, integrallanayotgan funksiyaning o'zgaruvchanini o'zgartirib, integralning ko'rsatilgan shaklini oddiyroq ko'rishga yordam beradi. Integral hisoblashida, integrallanayotgan funksiyaning xususiyatlari va integrallash usullari bilan tanishish, integralning integrallashgan maydonning geometrik va matematik ma'nosi, to'g'ri formulalar va qo'shimcha formulalar yordamida integralni hisoblash uchun xizmat qilishi mumkin. Bu usullar bilan, murakkab funksiyalarning integralini topish va integrallashda ishlatiladigan algoritmalar va ko'nikmalar o'rganiladi. Almashtirishlar (substitutsiya) usuli, integralning hisoblanishi uchun foydalaniladigan usuldan biridir. Bu usul integralning integrallanayotgan funksiyasining o'zgaruvchanlarini o'zgartirish yoki almashtirish yordamida integrallashni osonlashtiradi. Bu usul bilan integralni oddiyroq formulaga o'tkazish va integralni hisoblashda yordam beradi. Almashtirishlar usulini quyidagi tartibda amalga oshiramiz: Yangi o'zgaruvchan tanlash: Integralning integrallanayotgan funksiyasining o'zgaruvchanlarini o'zgartirish uchun yangi o'zgaruvchani tanlash. Bu o'zgaruvcha integralning qiyosiy o'zgaruvchasi bo'lishi kerak. Yangi o'zgaruvchan o'zgartirish: Integralning integrallovchi funksiya formulalariga yangi o'zgaruvchani o'zgartirish uchun uning almashtirish formulalaridan foydalanish. Bu o'zgaruvchan odatda qanday o'zgaruvchaga o'tkazilishi kerakligini belgilaydi. Integralni osonlashgan formulaga o'tkazish: Yangi o'zgaruvchan orqali integralning o'zgaruvchalarini o'zgartirish va integralni osonlashgan formulaga o'tkazish. Integralni hisoblash: Yangi o'zgaruvchan yordamida integralni oson formulaga o'tkazganingizdan so'ng, integralni hisoblash. Almashtirishlar usuli, integralni osonlashtirish va integrallovchi funksiyaning o'zgaruvchanlarini o'zgartirishda foydalaniladi. Bu usul 19 murakkab funksiyalarni oddiyroq formulaga o'tkazish va integralni hisoblashda ko'p mashg'ulot qilishni kamaytiradi. Integralni hisoblash, belgilangan funksiyaning integrallanishi va integrallovchi oraliqda maydonning yuzasini topishni ifodalaydi. Integral hisoblashi uchun quyidagi bosqichlar amalga oshiriladi: Integrallanayotgan funksiya : Integralni hisoblashdan oldin, integrallanayotgan funksiya beriladi. Bu funksiya integrallovchi oraliqda integrallanishi kerak. Antiderivatani topish: Integrallanayotgan funksiyaning antiderivatasi (integral funksiya) topilishi kerak. Antiderivata funksiya, berilgan funksiyaning integrallanuvchanligini aniqlaydi. Integralning aniqlanishi : Integrallovchi oraliq belgilanadi (masalan, a dan b gacha bo'lgan oraliq). Keyin, integralning belgilangan oraliqda hisoblanishi uchun formulalar yoki almashtirishlar qo'llanadi. Integral hisoblanishi : Integralni hisoblash, antiderivatani integrallanayotgan oraliqda integrallash uchun formulalarga o'xshash bo'lgan formulalar yordamida amalga oshiriladi. Agar funksiya oson formulaga ega bo'lmasa yoki integral murakkab bo'lsa, kompyuter dasturiy ta'minotlari yordamida integral hisoblanishi amalga oshiriladi. Natijani hisoblash : Integralning hisoblanishi natijasi sifatida integrallanayotgan oraliqda funksiyaning integrallanuvchanligi aniqlanadi. Natija, integrallanayotgan maydonning yuqori va pastki chegaralari orasidagi yuzasini ifodalaydi. Integral hisoblashi, matematik modellash, fizika, injinerlik, iqtisodiyot va boshqa ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Ushbu amalga oshirilishi kerak bo'lgan bosqichlar, funksiyaning integrallanishini hisoblashda muhimdir va integrallashni osonlashtiradi. Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni xulosa. 20 Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni, bitta funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishi va integrallovchi kesmadagi maydonning yuzasi sifatida tasavvur qilingan qavratmaydigan miqdor hisoblanadi. Integralning bir funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni, integrallanayotgan kesmada funksiya grafikasi ostida tashkil topgan maydonni ifodalaydi. Bu maydon, funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishi, ya'ni integrallashda ko'rsatiladi. Matematikada integral, funksiyaning xisobiy miqdorlarini integrallanayotgan kesmada birga o'z ichiga oladi va bu orqali funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishini ifodalaydi. Integralning tushunchasi, funksiya ostida yotuvchi maydonning yuzasi sifatida tasavvur qilingan, bu esa funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishi demakdir. Integralning hisoblanishi va tasviri, funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishi mumkinligini va bu integralning geometrik ma'nosini ko'rsatadi. Integrallanuvchan funksiya integrallanayotgan kesmada belgilangan oraliqda integrallanishi natijasida maydonning yuqori va pastki chegaralari orasidagi yuzasini ifodalaydi. Integralning integrallanuvchanlik mezoni, matematik amaliyotlarida, fizika, injinerlik, iqtisodiyot va boshqa sohalarda funksiyaning miqdorlarini integrallash uchun muhimdir. Bu mezoni hisoblash va tasvirlash, funksiyaning xususiyatlarini va o'zgarishlarini tushuntiradi. Foydalanilgan adabiyotlar Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va integralning hisoblanishi, matematik, fizika, injinerlik, iqtisodiyot va ko'plab boshqa sohalarda qo'llanilgan bo'lib, bu mavzuga bag'ishlangan bir nechta adabiyotlar 21 mavjud. Quyidagi adabiyotlar, funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni haqida ta'limot beradigan eng mashhur adabiyotlardan ba'zilari: 1. "Calculus" by James Stewart : Bu kitob integral va differentsial hisoblashning asosiy prinsiplari haqida qimmatli ma'lumotlar taqdim etadi. Uning "Integral" bobida funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va integralning hisoblanishi to'g'risida ham ma'lumotlar mavjud. 2. "Advanced Engineering Mathematics" by Erwin Kreyszig : Bu kitob injinerlik hisoblashi uchun integrallashning nazariy va amaliy asoslarini ko'rsatadi. Ushbu adabiyot funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va uning amaliyoti haqida ham ma'lumotlar olib boradi. 3. "Mathematical Methods in the Physical Sciences" by Mary L. Boas : Bu kitob fizika va matematika fanlariga mo'ljallangan bo'lib, uning ichida funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va integralning hisoblanishi haqida ma'lumotlar keltirilgan. 4. "Integral Calculus for Beginners" by Joseph Edwards : Ushbu adabiyot integrallashning boshlang'ich qoidalari, algoritmalar va integralning umumiy xususiyatlari to'g'risida ma'lumotlar taqdim etadi. 5. "Introduction to Economic Analysis" by R. Preston McAfee and Tracy R. Lewis : Iqtisodiyot hisoblash uchun yozilgan bu adabiyot, integrallash va integralning hisoblanishi haqida iqtisodiy modellashning asosiy ta'limotlarini ko'rsatadi. Bu adabiyotlar funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va integralning hisoblanishi bo'yicha muhim asosiy ma'lumotlarni taqdim etadi va o'qitish uslublari o'rganishga yordam beradi. 1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 1994, 2 t . 1995 2. Toshmetov O‘. Matematik analiz. Matematik analizga kirish. T., TDPU. 2005y. 3. Hikmatov A.G‘., Turdiyev T. «Matematik analiz», T.1-qism.1990y. 4. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to`plami. T., «O ‘ zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995. 22 5. Vavilov V.V. i dr. Zadachi po matematike. Nachala analiza. M.Nauka.,1990.- 608s. 6. www.ziyonet.uz 23

Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni

Купить