Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 573.1KB
Покупки 1
Дата загрузки 12 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Surayyo Qurbondurdiyeva

Дата регистрации 04 Февраль 2025

28 Продаж

Golomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Rushe teoremasi

Купить
2 Mavzu: Glomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Rushe teoremasi Mundarija Kirish…………………………………………………………………….……3 I BOB. GLOMORF FUNKSIYALARI VA NOLLARI 1.1. Glomorf funksiyaning ta’rifi………………………………………..……6 1.2. Glomorf funksiyaning asosiy xossalari…………………………………1 3 II BOB. RUSHE TEOREMASI VA UNING QO‘LLANISHI 2.1. Rushe teoremasining bayoni……………………………………...……1 9 2.2. Misollar va masalalar…………………………………... ………………2 6 Xulosa……………………………………………………………….………40 Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………41 3 Kirish Mavzuning dolzarbligi: Zamonaviy matematik tahlilda, xususan, kompleks analiz sohasi o‘zining nazariy chuqurligi va keng qo‘llanish doirasi bilan ajralib turadi. Kompleks funksiyalar nazariyasi matematikaning eng asosiy va chuqur bo‘limlaridan biri hisoblanadi. Uning asosiy ob’ektlaridan biri — glomorf funksiyalar bo‘lib, ular kompleks tekislikda farqlanuvchan bo‘lgan funksiyalardir. Bunday funksiyalar doimiy differensiallilikka ega bo‘lib, o‘zining kuchli xossalari sababli turli matematik va fizik modellarni ifodalashda keng qo‘llaniladi. Glomorf funksiyaning nol nuqtalari — ya’ni bu funksiyalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalar — uning eng muhim xossalaridan biridir. Nollarni topish orqali biz funksiya qanday o‘zgarishini, uning qanday holatlarda qiymat olmasligini yoki muayyan fizik yoki geometrik jarayonlar qanday sodir bo‘lishini tahlil qilishimiz mumkin. Nollar orqali funksiya qanday “yemiriladi” yoki “qayta tiklanadi” degan savollar yechim topadi. Shuning uchun, glomorf funksiyalarning nollarini aniqlash va ularni tahlil qilish nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham juda muhim hisoblanadi. Ayniqsa, glomorf funksiyalarning nollarini topishda Rouché teoremasi alohida ahamiyatga ega. Bu teorema orqali biz funksiya qanday bo‘lishidan qat’i nazar, uning nollarining sonini aniqlashimiz mumkin, shunchaki boshqa qulayroq funksiya bilan taqqoslab. Bu yondashuv bevosita nollarni topishdan ko‘ra soddaroq va samaraliroqdir, ayniqsa yuqori darajadagi yoki murakkab funksiyalar bilan ishlaganda. Bugungi kunda kompleks analiz nazariyasi: kvant fizikasi, elektrotexnika, signal ishlov berish, aerodinamika, va hatto iqtisodiyot sohalarida keng qo‘llaniladi. 4Shunday ekan, bu sohaning asosiy teorema va metodlarini o‘zlashtirish nafaqat matematikani chuqur tushunishga, balki real hayotdagi muammolarni yechishga ham xizmat qiladi. Kurs ishining asosiy maqsadi: Glomorf funksiyasining nollarini hisoblash usullarini o'rganish va bu jarayonda Rushe teoremasini qo'llashni tahlil qilishdir. Kurs ishi davomida glomorf funksiyalari va ularning nollarini topishda ishlatiladigan metodlar, shuningdek, Rushe teoremasining ahamiyati va uning glomorf funksiyalari uchun qo'llanilishi ko'rib chiqiladi. Vazifalar: Glomorf funksiyalari haqida umumiy tushuncha olish. Glomorf funksiyalarining ta'rifi, ularning xususiyatlari, va ular qanday xolda ishlatilishi haqida umumiy tushunchaga ega bo'lish. Glomorf funksiyasining nollarini aniqlash. Glomorf funksiyasining noliga qanday yondashuvlar va metodlar mavjudligini o'rganish. Bu metodlarga Darboux usuli, Nyutn usuli, va boshqalar kiradi. Rushe teoremasini o'rganish. Rushe teoremasining asosiy g'oyasi, shuningdek, glomorf funksiyalarining nollarini hisoblashda qanday qo'llanilishi haqida to'liq tushuncha hosil qilish. Glomorf funksiyalari uchun Rushe teoremasining amaliy qo'llanishini tahlil qilish.Rushe teoremasini glomorf funksiyalarining nollarini aniqlashda qanday yordam berishini va uning amaliy ahamiyatini o'rganish. Glomorf funksiyasining nolining mavjudligi va unikaligi haqida fikrlar bildirish.Glomorf funksiyasining noliga oid umumiy xulosalar chiqarish va qanday holatlarda funksiyaning yagona noli mavjudligini tahlil qilish. Nazariy va amaliy masalalar asosida glomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Turli nazariy va amaliy misollarni ko'rib chiqish, glomorf funksiyalarining nollarini hisoblashda Rushe teoremasining qo'llanilishi. 3. Tadqiqot usullari: Matematik metodlar: glomorf funksiyalarining xususiyatlarini o'rganish, kompleks analizga oid usullar. 5Amaliy hisoblash usullari: glomorf funksiyasining nollarini topish uchun raqamli metodlar (masalan, Nyutn usuli). Nazariy izlanishlar: Rushe teoremasining matematika sohasidagi o'rni, uning glomorf funksiyalariga qanday ta'sir ko'rsatishini tahlil qilish. 4. Kutilyotgan natijalar: Glomorf funksiyalarining nollarini aniqlash usullarini chuqur o'rganish va amaliy misollar orqali ulardan foydalanish. Rushe teoremasining glomorf funksiyalariga nisbatan qo'llanilishining tushunilishi va uning ilmiy ahamiyatini aniqlash. Glomorf funksiyalari va Rushe teoremasining o'zaro aloqalarini tahlil qilish va matematika sohasida bu bilimlarni qo'llashda o'z hissangizni qo'shish. Kurs ishining obyekti: Glomorf funksiyalar va ularning nollarini hisoblash jarayoni, shuningdek, bu jarayonda qo'llaniladigan Rushe teoremasidir. Glomorf funksiyalari kompleks analizning muhim bo'limiga kirib, turli masalalarni hal qilishda, xususan, nollarni aniqlashda qo'llaniladi. Rushe teoremasi esa glomorf funksiyalarining noliga oid fundamental natijalarni beradi. Kurs ishining predmeti: Glomorf funksiyalarining nollarini aniqlashda qo'llaniladigan metodlar va usullar, shuningdek, Rushe teoremasining glomorf funksiyalari bilan bog'liq holatlarda qanday ishlatilishini o'rganishdir. Bu, shuningdek, glomorf funksiyalarining nollarini aniqlashda nazariy va amaliy usullarning qo'llanishini va bu jarayonda Rushe teoremasining roli haqida tushuncha hosil qilishni o'z ichiga oladi. 6 I BOB. GLOMORF FUNKSIYALARI VA NOLLARI 1.1. Glomorf funksiyaning ta’rifi Kompleks analiz matematik analizning muhim tarmoqlaridan biridir. Bu tarmoqda asosiy o‘rganiladigan obyektlardan biri golomorf funksiyalar hisoblanadi. Golomorf funksiyalar — bu kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar bo‘lib, ular ma’lum bir sohada kompleks differensiallanuvchidir. Bunday funksiyalar fizikada, muhandislikda va matematik fizika masalalarida keng qo‘llaniladi.Mazkur referatda biz golomorf funksiyalar, ularning asosiy xossalari, nollarining turlari hamda ular bilan bog‘liq ba’zi teoremalarni ko‘rib chiqamiz. 2. Golomorf funksiyalar tushunchasi Golomorf funksiya — bu kompleks o‘zgaruvchi zzz uchun berilgan f(z)f(z)f(z) funksiyasi bo‘lib, u ma’lum sohada kompleks hosilaga ega: f′(z)=lim Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δzf'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}f′(z)=Δz→0lim Δzf(z+Δz)−f(z) Agar bu limit har qanday yo‘ldan Δz→0\Delta z \to 0Δz→0 bo‘lsa ham mavjud bo‘lsa, unda f(z)f(z)f(z) funksiya bu sohada golomorf deyiladi.Agar funksiya har bir nuqtada golomorf bo‘lsa, u butun funksiya deb ataladi. 3. Golomorf funksiyalarning xossalari Golomorf funksiyalar quyidagi asosiy xossalarga ega: Cheksiz darajali differensiallanuvchanlik : Agar funksiya golomorf bo‘lsa, u har qanday tartibdagi hosilalarga ega bo‘ladi. Koshi-Riman tenglamalari : f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ko‘rinishdagi funksiya uchun quyidagi shartlar bajarilishi zarur: 7∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v} {\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}∂x∂u =∂y∂v ,∂y∂u =−∂x∂v Analitiklik : Har bir golomorf funksiya o‘z sohasida analitikdir, ya’ni uni daraja qatori orqali ifodalash mumkin. Integral formulalar : Koshi integral formulasi orqali funksiyaning qiymati uni o‘rab turgan kontur bo‘ylab aniqlanishi mumkin:  f(z0)=12πi γf(z)z−z0 dzf(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\ ∮ gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dzf(z0 )=2πi1 γ ∮ z−z0 f(z) dz 4. Golomorf funksiyaning nollari Golomorf funksiyaning nollari — bu funksiyaning qiymati nolga teng bo‘ladigan nuqtalardir. Ya’ni: f(z0)=0f(z_0) = 0f(z0 )=0 Golomorf funksiyalar uchun nollar quyidagicha tasniflanadi: a) Oddiy nol Agar f(z)f(z)f(z) funksiyaning z0z_0z0 nuqtasida birinchi darajali nol bo‘lsa (ya’ni f(z)=(z−z0)g(z)f(z) = (z - z_0)g(z)f(z)=(z−z0 )g(z), bu yerda g(z0)≠0g(z_0) \ne 0g(z0 ) =0), u  oddiy nol deb ataladi. b) Ko‘p martalik nol Agar f(z)=(z−z0)mg(z)f(z) = (z - z_0)^m g(z)f(z)=(z−z0 )mg(z), m>1m > 1m>1, g(z0)≠0g(z_0) \ne 0g(z0 ) =0, bo‘lsa, z0z_0z0  nuqtasi mmm-martalik nol deb ataladi. Bu yerda mmm — nolning multiplikativligi . c) Nollarning ajratilganligi 8Golomorf funksiyaning nollari izolyatsiyalangan bo‘ladi, ya’ni har bir nol atrofida boshqa nol yo‘q. Bu xossa tufayli nollarning har biri alohida o‘rganilishi mumkin. 5. Muhim teoremalar Koshi teoremasi Agar f(z)f(z)f(z) funksiya yopiq egri chiziq bilan chegaralangan sohada golomorf bo‘lsa, u holda: γf(z) dz=0\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 γ ∮ ∮ f(z)dz=0 Liuvill teoremasi Agar butun funksiya chegaralangan bo‘lsa, u doimiydir: f(z) — butun va f(z) ≤M f(z)=constf(z) \text{ — butun va } |f(z)| \leq M \ ∣ ∣ ⇒ Rightarrow f(z) = \text{const}f(z) — butun va f(z) ≤M f(z)=const ∣ ∣ ⇒ Rouche teoremasi Agar f(z)f(z)f(z) va g(z)g(z)g(z) funksiyalar yopiq kontur ichida analitik bo‘lib, va f(z) > g(z) |f(z)| > |g(z)| f(z) > g(z) konturda bajarilsa, unda ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f(z)+g(z)f(z) + g(z)f(z)+g(z) va f(z)f(z)f(z) funksiyalarning nollari soni kontur ichida teng bo‘ladi. 6. Golomorf funksiyalarni fizikada qo‘llash Golomorf funksiyalar elektrodinamika, gidrodinamika, termodinamika va kvant mexanikasida keng qo‘llaniladi. Masalan, elektrostatik maydonni tavsiflovchi potensial funksiyalar ko‘pincha analitik bo‘lib, ular kompleks tekislikda golomorf funksiyalar sifatida ifodalanadi. 9Golomorf funksiyalar kompleks analizning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, ularning differensiallanuvchanligi va analitikligi matematikada chuqur nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Bu funksiyalarning nollari esa ularning ichki tuzilmasi haqida muhim ma’lumot beradi. Ular orqali kompleks tekislikda funksiyaning tutumi, fizik jarayonlarning dinamikasi va boshqa ko‘plab xususiyatlar o‘rganiladi. Koshi teoremasi. Agar funksiya bir bog’lamli D sohada (D ⊂ C z) golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning D sohada yqtuvchi har Qanday silliq (bo’lakli silliq) γ yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha integral nolga teng bo’ladi: Misol-masala asosida ishlangan tushuntiruvlar 1-misol: $f(z) = z^5 + 3z + 1$ funksiyasining birlik doira ichida nechta noli borligini aniqlang. Yechilishi: Bu yerda $f(z) = z^5 + 3z + 1$. Biz $g(z) = z^5$ deb olaylik. Modulni baholaymiz: $|f(z) - g(z)| = |3z + 1|$, $|g(z)| = |z^5|$. Birlik doirada $|z| = 1$ bo‘lgani uchun $|g(z)| = 1$, $|f(z) - g(z)| \leq |3z| + |1| = 3 + 1 = 4$. Ammo bu yerda $|g(z)| = 1$ < $|f(z) - g(z)| = 4$, shuning uchun Rushe teoremasini bevosita qo‘llab bo‘lmaydi. Shuning uchun $g(z) = 3z$ olib ko‘ramiz va boshqacha baholaymiz. 2-misol: $f(z) = z^7 + 5z^2 + 2$ funksiyasining $|z| < 2$ doira ichida nechta noli bor? Yechilishi: 10$g(z) = z^7$, $f(z) - g(z) = 5z^2 + 2$. $|f(z) - g(z)| \leq 5|z|^2 + 2 = 5*4 + 2 = 22$, $|g(z)| = |z^7| = 128$. Bu yerda $|g(z)| > |f(z) - g(z)|$, shuning uchun Rushe teoremasi qo‘llanadi va $f(z)$ bilan $g(z)$ bir xil miqdorda nollarga ega. Demak, $f(z)$ ning $|z| < 2$ doirasida 7 ta noli bor. 3-misol: $f(z) = e^z - z^3$ funksiyasining $|z| < 2$ doirasida nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = -z^3$, $f(z) - g(z) = e^z$. $|e^z| \leq e^{|z|} = e^2 pprox 7.39$, $|g(z)| = |z^3| = 8$. Bu yerda $|g(z)| > |f(z) - g(z)|$, shuning uchun Rushe teoremasi qo‘llanadi. Demak, $f(z)$ ning nollari $g(z)$ ning nollari bilan bir xil: $z^3 = 0 \ Rightarrow$ bitta noli bor. 4-misol: $f(z) = \cos(z) - z^4$ funksiyasining $|z| < 1$ doirasida nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = -z^4$, $f(z) - g(z) = \cos(z)$. $|\cos(z)| \leq \cosh(|z|) \leq \cosh(1) pprox 1.543$, $|g(z)| = |z^4| = 1$. $|f(z) - g(z)| > |g(z)|$ bo‘lgani uchun Rushe teoremasini bu yerda qo‘llab bo‘lmaydi. Demak, boshqa usul kerak. 5-misol: 11$f(z) = z^6 + 4z^2 + 5$ funksiyasining $|z| < 2$ da nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = z^6$, $f(z) - g(z) = 4z^2 + 5$. $|f(z) - g(z)| \leq 4*4 + 5 = 21$, $|g(z)| = 64$. $|g(z)| > |f(z) - g(z)|$, shuning uchun $f(z)$ va $g(z)$ bir xil miqdorda nollarga ega: 6 ta noli bor. 6-misol: $f(z) = z^{10} + z^9 + \dots + z + 1$ funksiyasining birlik doira ichida nechta noli bor? Yechilishi: Bu geometrik progressiya: $f(z) = \frac{z^{11} - 1}{z - 1}$. $z = 1$ dan boshqa barcha ildizlar 11-darajali birlik ildizlari. Shu sababli, birlik doira ustidagi 11 ta ildizdan $z = 1$ tashqari 10 tasi birlik doirada yotadi. Demak, 10 ta noli mavjud. 7-misol: $f(z) = z^3 + 3z + 2$ funksiyasining $|z| < 2$ doirasida nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = z^3$, $f(z) - g(z) = 3z + 2$. $|f(z) - g(z)| \leq 6 + 2 = 8$, $|g(z)| = 8$. Bu holatda $|g(z)| = |f(z) - g(z)|$, tenglik bo‘lganligi sababli Rushe teoremasi bevosita qo‘llanmaydi. Ammo ozgina o‘zgarish kiritib, xulosa chiqarish mumkin. 12Koshining integral formulasi. Agar va da uzluksiz bo’lsa, u holda ∀ z∈D uchun f(z)= 1 2π i ∫ ∂D f(ξ) ξ− z dξ tenglik o’rinli bo’ladi. 131.2.Glomorf funksiyasining asosiy xossalari Agar bo’lsa, u holda sohada istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib , fn(z)= n! 2π i∫ γ f(ξ) (ξ− z)n+1dξ (1) bo’ladi. Bu yerda γ− D sohada yotuvchi (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lib, z esa γ chiziq bilan chegaralangan sohaga tegishli nuqta . Isbot. Koshining integral formulasiga ko’ra f(z)= 1 2π i∫ γ f(ξ) ξ− z dξ bo’ladi. z nuqtaga ∆z orttirma berib, f(z) funksiya orttirmasini topamiz: f(z+Δz )− f(z)= 1 2π i∫ γ f(ξ)dξ ξ− z− Δz − 1 2π i∫ γ f(ξ) ξ− z dξ = 1 2π i∫ γ f(ξ)( 1 ξ− z− Δz − 1 ξ− z)dξ = Δz 2π i ∫ γ f(ξ)dξ (ξ− z− Δz )(ξ− z) . Unda f(z+ Δz )− f(z) Δz = 1 2π i∫ γ f(ξ) (ξ− z− Δz )(ξ− z) dξ bo’ladi. Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz: Endi 141 2πi ∫ γ Δ zf (ξ) (ξ− z− Δz )(ξ− z)2dξintegralni baholaymiz. Ravshanki, | 1 2πi ∫ γ Δzf (ξ) (ξ− z− Δz )(ξ− z) 2dξ |< |Δz | 2π M ∫ γ |dξ | |ξ− z− Δz ||ξ− z| 2 bunda . Agar z nuqtadan γ chiziqgacha bo’lgan masofani 2d (d>0) desak, unda |ξ− z|>d ,|ξ− z− Δz |>d bo’lib, (agarda |Δz| etarlicha kichiq bo’lsa) (3) bo’ladi. Bu erda l− γ chiziq uzunligi. (1) ni e’tiborga olib, Δz → 0 da (2) da limitga o’tib f'(z)= 1 2π i∫ γ f(ξ) (ξ− z)2dξ bo’lishini topamiz. Endi f'(z) funksiyani olib uning uchun yuqoridagi mulohazalarni takrorlasak f''(z)= 2! 2πi ∫ γ f(ξ) (ξ− z)3dξ (4) tenglik hosil bo’ladi. 15Xuddi shu yo’l bilan uchinchi, to’rtinchi va hakozo tartibdagi hosilalarni mavjudligi ko’rsatiladi. f(z) funksiyaning n–tartibli hosilasi uchun (1) ni o’rinli bo’lishi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi. Natija 1. Agar f(z)∈ϑ(D ) (D ⊂C z) bo’lsa, f'(z)∈ϑ(D ) bo’ladi. Natija 2. Agar f(z) funksiya D sohada boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsa, u holda f(z) D sohada golomorf bo’ladi. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Agar f(z)∈ϑ(D ) (D ⊂C z) bo’lsa, u holda a∈D nuqtada (a nuqtaning ¿ρ(a)= {z∈ C z:|z− a|< ρ, ρ>0}⊂ D atrofida) Teylor qatoriga yoyiladi: f(z)= ∑ n=0 ∞ cn(z− a)n= ∑ n=0 ∞ fn(a) n! (z− a)n Isbot. ¿ρ(a) ning chegarasini γ deylik. γ= {z∈C z:|z− a|= ρ, ρ>0} bo’ladi. Avvalo funksiyani quyidagicha 1 ξ− z = 1 ξ− a− (z− a) = 1 (ξ− z)(1− z− a ξ− a) yozib, so’ng 1 1− z− a ξ− a = ∑ n=0 ∞ ( z− a ξ− a) n bo ’ lishini e ’ tiborga olib topamiz : 16 1 ξ− z = ∑ n=0 ∞ ( z− a ξ− a ) n . (6) Bu geometrik qator bo ’ lib , uning maxraji z− a ξ− a ga teng . Ravshanki, ξ∈γ uchun quyidagi tengsizlik |z− a ξ− a |= |z− a| ρ = q<1 o ’ rinli . Demak , (4) qator yaqinlashuvchi . (6) tenglikning har ikki tomonini 1 2πi f(ξ) ga ko ` paytirib , so ’ ng γ chiziq bo ’ yicha integrallab , ushbu 1 2πi ∫ γ f(ξ) ξ− z dξ = 1 2πi ∫ γ ∑ n=0 ∞ f(ξ) (ξ− a)n+1(z− a)ndξ tenglikka kelamiz. (5) va (6) munosabatlardan f(z)= 1 2πi ∫ γ ∑ n=0 ∞ f(ξ) (ξ− a)n+1(z− a)ndξ bo’lishi kelib chiqadi. Integral ostidagi ∑ n=0 ∞ f(ξ) (ξ− a)n+1(z− a)n qatorning hadlari uchun | f(ξ) (ξ− a)n+1(z− a)n|< 1 ρ Mq n (n= 1,2 ,...) ( M = max γ |f(ξ)| ) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Ravshanki, 17∑ n=0 ∞ M ρ qn (q<1)qator yaqinlashuvchi. Unda Veyershtrass alomatiga ko’ra ∑ n=0 ∞ f(ξ) (ξ− a)n+1(z− a)n funktsional qator γ da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, bu qatorni hadlab integrallash mumkin. Unda (7) tenglik ushbu f(ξ)= ∑ n=0 ∞ [ 1 2πi ∫ γ f(ξ) (ξ− a)n+1dξ ] (z− a)n ko’rinishga keladi. Yuqorida keltirilgan ma’lum teoremaga ko’ra C n= 1 2πi ∫ γ f(ξ) (ξ− a)n+1dξ = f(n)(a) n! bo’lishini topamiz. Natijada (8) va (9) tengliklardan f(ξ)= ∑ n=0 ∞ f(n)(a) n! (z− a)n= ∑ n=0 ∞ C n(z− a)n bo ’ lishi kelib chiqadi . Bu esa f(z) funksiyani Teylor qatoriga yoyilganini bildiradi . Natija 3. Agar f(z) funksiya yopiq doirada golomorf bo’lib, bu doiraning chegarasi aylanada |f(z)|≤ M (M − const ) bo’lsa, u holda f(z) funksiya Teylor qatorining Cn koeffitsentlari uchun |Cn|≤ M ρn (n= 0,1,2 ,...) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Haqiqatan ham, (9) formuladan 18bo’lishi kelib chiqadi. Odatda (10) tengsizllik Koshi tengsizligi deyiladi. Liuvil teoremasi. Agar f(z)∈ϑ(C ) bo’lib, u chegaralangan bo’lsa, f(z) funksiya C da o’zgarmas bo’ladi. Isbot. Golomorf funksiyaning xossasiga ko’ra, f(z) funksiya |z− a|< ρ doirada ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyiladi: bunda Cn= 1 2πi ∫ γ f(z) (ξ− a)n+1dξ . Koshi tengsizligi (10) ga binoan |f(z)|≤ M bo’ladi. f(z)∈ϑ(C ) bo’lgani uchun bu tengsizlikda ρ ni istalgancha katta qilib olish mumkin. Shuning uchun n=1,2,3 ,... bo’lganda lim ρ→∞ Μ ρn= 0 (n= 1,2,3 ,..) bo’ladi. Ayni paytda (10) tengsizlikning chap tomoni ρ ga boglik emas. Binobarin n=1,2,3 ,... bo’lganda Cn= 0 ( n=1,2,3 ,... ) bo’ladi. Demak, C da f(z)= c0 (c0= const ) . Morera teoremasi. Faraz qilaylik, f(z) funksiya bir bog’lamli D sohada D ⊂C z aniqlangan va uzluksiz bo’lib, γ esa shu D sohada yotuvchi ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lsin. Agar ∫ γ f(z)dz = 0 bo’lsa, u holda f(z) funksiya D sohada golomorf bo’ladi. Isbot. Teoremada keltirilgan shart bajarilganda funksiya D sohada boshlang’ich F(z) funksiyaga ega bo’lib, F(z) funksiya D da C differensiallanuvchi, ya’ni golomorf bo’ladi. 193 0 -xossaning 1-natijasiga ko’ra F'(z) ham D sohada golomorf bo’ladi. Ayni paytda F '(z)= f(z) bo’lganligi sababli f(z)∈ϑ(D ) bo’ladi. 20 II BOB. RUSHE TEOREMASI VA UNING QO‘LLANISHI 2.1. Rushe teoremasining bayoni Teorema2 (Rushe teoremasi ). Agar f(z) va F(z) funksiyalar chekli bog’lamli G sohada va uning cheklita yopiq bo’lakli silliq Jordan chiziqlaridan iborat ∂G chegarasida regulyar bo’lsa va ∀ z∈∂G nuqtalarda |F(z)|>|f(z)| tengsizlik bajarilsa, u holda F(z)+f(z) hamda F(z) funksiyalar G sohada bir xil sondagi nollarga ega bo’ladi. Isbot. G soha chegarasi ∂G da |F(z)|>|f(z)| tengsizlik bajarilganligidan ∀ z∈∂G uchun F(z)+ f(z)≠0,F(z)≠ 0 tengsizliklarning ham o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Logarifmik qoldiq haqidagi teoremaga binoan Rushe teoremasining isboti uchun 1 2πi ∫ ∂G F'(z)+f'(z) F(z)+f(z)dz= 1 2πi ∫ ∂G F'(z) F(z)dz (4) tenglikni ko’rsatish kifoyadir. Shu tenglikni isbotlaymiz. 1 2πi ∫ ∂G F'(z)+ f'(z) F(z)+ f(z) dz = 1 2πi ∫ ∂G d dz ln [F(z)+ f(z)]dz = = 1 2πi ∫ ∂G d dz [ln F(z)]dz + 1 2πi ∫ ∂G d dz {ln [1+ f(z) F(z)]}dz . (5) Agar w=1+ f(z) F(z) deb olsak, u holda (5) tenglikning ikkinchi integrali 1 2πi∫ Г dw w dan iborat bo’ladi, unda integrallash chizig’i z nuqta ∂G chegarani musbat yo’nalishda bir marta aylangan taqdirda w=1+ f(z) F(z) nuqta chizadigan chiziqdan iborat. Teorema shartiga ko’ra |f(z) F(z)|<1 . Demak, G chiziq markazi w=1 nuqta, radiusi 1 ga teng bo’lgan doiraning ichida joylashadi. Bu doira w=0 nuqtani o’z ichida saqlamagani uchun murakkab kontur uchun Koshining integral teoremasiga asosan 1 2πi∫ Г dw w =0. Bundan va (5) tenglikdan (4) formulani olamiz. Teorema 2 isbot bo’ldi. Modulning maksimumi prinsipi. Shvarts lemmasi. Koshi formulasi f(z)= 1 2πi ∫ ∂G f(ξ) ξ− z dξ ∂ G = Г = {ξ :|ξ|= R } va z=0 21bo’lganda, xususan sodda ko’rinishni oladi: ∂G chiziqning parametrik tenglamasi ξ= Re iϕ,0≤ ϕ≤ 2π , u holda dξ = iRe iϕdϕ va f(0)= 1 2π∫ 0 2π f(Re iϕ)dϕ . (6) Demak, regulyar funksiyaning doira markazidagi qiymati uning doira aylanasidagi qiymatlari o’rta arifmetigiga teng. (6) formuladan foydalanib analitik funksiyalar nazariyasining juda muhim prinsipi- modulning maksimum prinsipini keltirib chiqarish mumkin. Unga ko’ra G - sohada regulyar funksiya moduli shu sohaning hech bir ichki nuqtasida o’zining maksimum qiymatiga erisha olmaydi, agar u aynan o’zgarmasdan farqli bo’lsa. Haqiqatdan ham, M =sup z∈G |f(z)| bo’lsin. Prinsipning teskarisini faraz qilamiz, ya’ni shunaqa z0∈G nuqta mavjudki, |f(z0)|=M bajarilsin. Markazi z0 nuqtadan iborat doira Ur(z0)(Ur(z0)⊂G), uchun (6) formulani qo’llab, f(z0)= 1 2 π ∫ 0 2π f(z0+ re iϕ)dϕ ni olamiz. |f(z0+re iϕ)|≤ M va |f(z0)|=M bo’lganligidan |f(z0)|≤ 1 2π ∫ 0 2π |f(z0+re iϕ)|dϕ (7) ∀ϕ uchun |f(z0+re iϕ)|= M ni olamiz. Haqiqatdan ham, agar biror ϕ0 uchun |f(z0+re iϕ)|<M bo’lsa, u holda |f(z)| ning uzluksiz ekanligidan yetarlicha kichik biror ϕ0− ε<ϕ<ϕ0+ε interval mavjudki, unda |f(z0+re iϕ)|<M bajarilar edi, bu intervaldan tashqarida |f(z0+re iϕ)|≤ M . U holda (7) dan M =|f(z0)|≤ 1 2π(∫ 0 ϕ0−ε |¿|dϕ+ ∫ ϕ0−ε ϕ0+ε |¿|dϕ+ ∫ ϕ0+ε 2π |¿|dϕ)<M . Buning bajarilishi mumkin emas. Shunday qilib, |f(z)|=M markazi z0 nuqtada bo’lgan istalgan 22yetarlicha kichik aylanada yoki markazi z0 nuqtada bo’lgan istalgan yetarlicha kichik doirada. Endi butun G sohada |f(z)|=M ekanligini ko’rsatamiz. Shu maqsadda z0 nuqtani ixtiyoriy z1∈G nuqta bilan biror L⊂G uzluksiz chiziq bilan tutashtiramiz. L chiziq va ∂G chegara orasidagi masofani d= ρ(L ,∂G )= min {|z− ξ|:z∈ L ,ξ ∈ ∂G }(d>0) belgilaymiz. Tushunarliki, ixtiyoriy markazi L chiziqda yotuvchi d 2 radiusli doira G da yotadi. Isbotlangan |f(z)|=M tenglikka ko’ra u har bir bunday doirada o’rinli. Bunday doiraning markazini L chiziqning z0 nuqtasidan z1 nuqtasigacha uzliksiz siljitib, ko’ramizki, |f(z)|=M tenglik hosil bo’lgan har bir doirada bajariladi. Demak, |f(x)1|= M ham o’rinli, ya’ni u butun G ga o’rinli. Bundan f(z) ning doimiyligini oson keltirib chiqara olamiz. Haqiqatdan, ln f(z)= ln |f(z)|+iArg [f(z)] o’zgarmas haqiqiy qism ln M =U (x,y)=const ga ega. U holda Koshi -Riman shartlariga ko’ra ∂u ∂x = ∂u ∂y = ∂v ∂x = ∂v ∂y =0, chunki G da f(z)≠0 bo’lganligi uchun ln f(z) ham G da regulyardir (umumiylikni kamaytirmasdan G ni bir bog’lamli chekli soha deb qarash mumkin). Demak, ln f(z)≡const . Bundan f(z)≡const ekanligini olamiz. Lekin qilgan farazimizga ko’ra f(z)≠const . Demak, farazimiz noto’g’ri bo’lib, bu ziddiyat modulning maksimum prinsipini to’g’ri ekanligini bildiradi. Shvarts lemmasi. Agar f(z) funksiya |z|<1 doirada regulyar va f(0)=0,|f(z)|<1 shartlarni qanoatlantirsa, u holda |f'(0)|≤1,|f(z)|≤|z| (|z|<1) tengsizliklar o’rinli. Bu yerda tenglik belgisi faqat f(z)=zeiθ funksiya uchun bajariladi. Isbot. ϕ(z)= f(z) z funksiyani qaraymiz. Lemma shartiga asosan f(0)=0 bo’lgani uchun ϕ(z) funksiya |z|<1 doirada regulyar va ϕ(0)= f'(0). Bundan tashqari, lim |z|→1 |ϕ(z)|=lim |z|→1 |f(z)|≤1 . Modulning maksimum prinsipini qo’llab, |z|<1 nuqtalar uchun |ϕ(z)|≤1 ni olamiz. Bu yerdan, |f'(0)|≤1 va |f(z)|≤|z| ( |z|<1 ) tengsizliklar va bularda tenglik belgisining faqat f(z)=zeiο funksiya uchun bajarilishi kelib chiqadi. Shvars lemmasi isbot bo’ldi. 23 Yagonalik teoremasi Faraz qilaylik, f(z) va g(z) funksiyalar D sohada golomorf bo’lsin. Agar bu funksiyalar D sohaga tegishli va hech bo’lmaganda bitta limit nuqta ga ega bo’lgan E to’plamda (E⊂D) bir-biriga teng bo’lsa, u holda f(z) va g(z) funksiyalar D sohada aynan bir-biriga teng bo’ladi: Isbot . Modomiki , nuqta E to ’ plamning limit nuqtasi ekan , unda E to ’ plamga tegishli turli nuqtalardan tuzilgan va z0 ga intiluvchi ∀ z∈E da f ( z )= g ( z ) bo ’ lgani uchun bo ’ ladi . Endi f(z) va g(z) funksiyalarni z0 nuqtaning B= {z∈C z:|z− z0|<ρ,ρ>0} atrofida (bunda esa nuqtadan ∂D gacha bo’lgan masofa) Teylor qatoriga yoyamiz: zk→ z0 bo’lganligi sababli k ning biror qiymatidan boshlab keyingi lar B= {z∈C z:|z− z0|<ρ,} doiraga tegishli bo’ladi. Shuning uchun f(zn)= g(zn),(n=1,2,3 ,...) bo’lib, (1) dan (2) bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikda zk→ z0 da limitga o’tib 24 (3) bo’lishini topamiz. Bu (3) tenglikni e’tiborga olib (2) ni har ikkala tomonini zk−z0 ga bo’lsak, unda ∑ k=1 ∞ ak(zk−z0)k−1= ∑ k=1 ∞ bk(zk−z0)k−1 (4) hosil bo’ladi. Keyingi tenglikda zk→ z0 da limitga o’tib a1=b1 (5) bo’lishini topamiz. Bu (5) tenglikni e’tiborga olib, (4) ning har ikkala tomonini zk−z0 ga bo’lsak, unda ∑ k=2 ∞ ak(zk− z0)k−2= ∑ k=2 ∞ bk(zk− z0)k−2 hosil bo’ladi. So’ng zk→ z0 da limitga o’tib, a2=b2 bo’lishini topamiz. Bu jarayoni davom ettira borib, bo’lishini topamiz. Shunday qilib lar uchun bo’ladi. Demak, B= {z∈C z:|z− z0|<ρ,} doirada f(z)=g(z) bo’ladi. D sohada ixtiyoriy z¿ nuqtani olib, z0 va z¿ nuqtalarni D soha yotuvchi uzluksiz L chiziq bilan birlashtiramiz. B doirada L egri chiziq qismida biror nuqtani olamiz. So’ng B da α ga intiluvchi 25 ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki, bo’ladi. Endi f(z) va g(z) funksiyalarni α nuqtaning atrofida (bunda ρ1<d1 bo’lib, d1 - esa L va chiziqlar orasidagi masofa) Teylor qatoriga yoyamiz: Yuqorida keltirilgan mulohazani takrorlab, va demak, B1 doirada f(z)=g(z) bo’lishini topamiz. nuqtani L chiziq bo’ylab nuqta tomon siljita borib va yana yuqorida keltirilgan mulohazalarni takrorlab bo’lishini topamiz. nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi sababli, D sohada f(z)=g(z) bo’ladi. Veyershtrass teoremasi. Agar (6) funksional qatorning har bir hadi sohada golomorf bo’lib, bu qator D sohada yotuvchi ixtiyoriy F yopiq to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator yig’indisi 26f(z)=∑ n=1 ∞ fn(z) (7) funksiya D sohada golomorf bo’ladi. Isbot. D sohada ixtiyoriy z0 nuqtani olib, uning shunday atrofini qaraymizki, bo’lsin. Shartga ko’ra (6) qator da tekis yaqinlashuvchi. Demak, qator da ham tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. funksiya D sohada golomorf bo’lgani uchun u (6) qatorning har bir hadi da ham golomorf bo’ladi. Binobarin, da funksiya uzluksiz. Unda qator yig’indisi f(z) funksiya ham da uzluksiz bo’ladi. Endi da yotuvchi yopiq silliq γ chiziqni olaylik . (7) qatorni γ chiziq bo’yicha hadlab integrallab, topamiz: (8) Koshi teoremasiga ko’ra (9) bo’ladi. (8) va (9) dan bo’lishi kelib chiqadi. Morera teoremasidan foydalanib f(z) funksiyani da va, demak, nuqtada golomorf bo’lishini topamiz. Qaralayotgan nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligidan f(z) funksiyani D sohada golomorf bo’lishi kelib chiqadi. Natija: Yuqorida keltirilgan Veyershtrass teoremasining sharti bajarilganda 27qatorni istalgan marta hadlab differensiallash mumkin bo’lib, bo’ladi. 2.2. Misollar va masalalar Faraz qilaylik, biror funksiyaning kengaytirilgan kompleks tekislikda C da, berilgan bo’lib, bo’lsin. Agar bo’lsa, kompleks son funksiyaning noli deyiladi. Aytaylik, funksiya nuqtada golomorf bo’lsin. Bu funksiyani nuqta atrofida darajali qatorga yoyamiz: (10) Agar nuqta funksiyaning noli bo’lsa, u holda bo’lib, (10) formula ushbu 28ko’rinishga keladi. Aytaylik, (10) da (11) bo’lib, bo’lsin. U holda (10) tenglikdan bo’lishi kelib chiqadi. Ma’lumki, Yuqoridagi (11) munosabatni e’tiborga olib, bo’lishini topamiz. Bu holda nuqta funksiyaning karrali noli deyiladi. Shunday qilib, funksiyaning karrali noli bo’lsa, u holda bo’lib, funksiya nuqtada golomorf bo’ladi. Aksincha, agar funksiya quyidagicha ifodalanib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa, nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi. 29 funksiya nuqtada golomorf bo’lsin. Bu holda nuqta atrofida funksiya ushbu (12) qatorga yoyiladi. nuqta funksiyaning noli bo’lsin. Ravshanki, u holda bo’lib, (12) formula ushbu (13) ko’rinishga keladi. Aytaylik, (13) formulada (11) bo’lib, bo’lsin. Bu holda nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi. U holda (13) formuladan bo’lishini topamiz. Bu erda funksiya uchun bo’lib, ϕ(z) funksiya z=∞ nuqtada golomorf bo’ladi. 30Aksincha, agar funksiya quyidagicha ifodalanib, funksiya z=∞ nuqtada golomorf bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi. Teorema. Faraz qilaylik, funksiya z=a nuqtada golomorf bo’lib, shu z=a nuqta funksiyaning noli bo’lsin: f(a)=0 . U holda yo f(z) funksiya a nuqtaning biror atrofida aynan nolga teng f(z)≡0 yoki a nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda f(z) funksiyaning z=a nuqtadan boshqa noli bo’lmaydi. Isbot. Shartga ko’ra, f(z) funksiya z=a nuqtada golomorf. Unda funksiya z=a nuqta atrofida qatorga yoyiladi: . (14) Aytaylik, (14) da barcha lar nolga teng bo’lsin: . Ravshanki, bu holda funksiya z=a nuqta atrofida f(z)=0 bo’ladi. Endi (14) da bo’lib, bo’lsin. Bu holda z=a nuqta f(z) funksiyaning m karrali noli bo’lib, u quyidagicha f(z)=(z−a)mg(z) ifodalanadi. Bu erda g(z) funksiya z=a nuqtada golomorf va . Ayni paytda g(z) funksiya z=a nuqtada uzluksiz ham bo’ladi. Unda bo’lganligi sababli z=a nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda 31 bo’ladi. Binobarin shu atrofda f(z) funksiyaning z=a nuqtadan boshqa nollari bo’lmaydi. Chegirmalar va ularni hisoblash. Faraz kilaylik, ) (z f funksiya } 0{     a z da golomorf bo’lib, a nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo’lsin. 1-Ta’rif . Ushbu ) 0( ) ( 2 1      ∫  az dz z f i integral ) (z f funksiyaning a nuqtadagi chegirmasi deyiladi va ) (z f res az kabi belgilanadi: ∫      az az dz z f i z f res ) ( 2 1 ) ( . Ravshanki, ) (z f funksiya a nuqtada golomorf bo’lsa, 0 ) (   z f res az bo’ladi. Aytaylik, ) (z f funksiya } {    z r da golomorf bo’lsin. 2-Ta’rif . Ushbu ) ( ) ( 2 1 r dz z f i z     ∫ integral ) (z f funksiyaning  z nuqtadagi chegirmasi deyiladi va )(z f resz kabi belgilanadi: ∫     z z dz z f i z f res ) ( 2 1 ) ( . 1-Teorema . Agar ) (z f funksiya } 0{ r a z    xalqada Loran qatori     n n n azczf )()( ga yoyilgan bo’lsa, u holda 1 ) (    c z f res az (18) 32bo’ladi. Agar ) (z f funksiya } {    z r xalqada Loran qatori    n n n zczf )( ga yoyilgan bo’lsa, u holda 1 ) (     c z f resz (19) 2-Teorema . (Chegirmalarning yigindisi haqidagi teorema). Agar ) (z f funksiya } ,..., , {\ 2 1 na a a C to’plamda golomorf bo’lsa, u holda      n k z az z f res z f res k 1 0 ) ( ) ( (20) bo’ladi. Endi funksiya chegirmalarini hisoblashda foydalanadigan formulalarni keltiramiz. 1) Agar a z nuqta ) (z f funksiyaning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo’lsa, ) ( ) ( lim ) ( z f a z z f res a z az      (2 1 ) bo’ladi. 2) Agar ) ( ) ( ) ( z z z f    uchun ) ( ) ( z ва z   funksiyalar a nuqtaga golomorf bo’lib, 0 ) (' ,0 ) (     a a bo’lsa , u holda ) (' ) ( ) ( a a z f res az     (2 2 ) bo’ladi. 3) Agar a z nuqta ) (z f funksiyaning n-tartibli qutb nuqtasi bo’lsa, 1 1 )] ( ) [( lim )!1 ( 1 ) (         n n n a z az dz z f a z d n z f res (2 3 ) bo’ladi. 4) Agar  z nuqtada ) (z f funksiya golomorf bo’lsa, 33)] ( ) ( [ lim ) ( z f f z z f res z z      (24) bo’ladi. 5) Agar )1( ) ( z z f   bo’lib, ) (z  funksiya 0 z nuqtada golomorf bo’lsa, )0(' ) (    z f resz (25) bo’ladi. Integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash . Chegirmalar yordamida turli integrallarni hisoblash mumkin. Bunda quyidagi teorema muhim rol o’ynaydi. Teorema (Koshi teoremasi). Faraz qilaylik , 1) ) (z f funksiya } ,... , {\ 2 1 na a a D sohada golomorf ), ,..., , , ( 2 1 D a a a C D n  2) ) (z f funksiya sohaning chegarasigacha aniqlangan va } ,... , {\ 2 1 na a a D da uzluksiz, 3) D - to’g’rilanuvchi yopiq kontur bo’lsin. U holda ∫       D n k az z f res i dz z f k 1 ) ( 2 ) ( (26) formula o’rinlidir. Izoh . (26)-formula D   bo’lgan hol uchun ham o’rinlidir. Faqat bu holda  z ni ) (z f uchun maxsus nuqta deb hisoblash hamda D chiziq orientatsiyasini soat strelkasi yo’nalishida olish kifoyadir. Yuqorida keltirilgan Koshi teoremasidan amaliyotda yopik kontur bo’yicha olingan integrallarni hisoblashda foydalaniladi. Aniq integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash. Aniq integrallarni ham chegirmalar yordamida hisoblash mumkin. Bunda aniq integral kompleks o’zgaruvchili funksiyaning kontur bo’yicha olingan integraliga keltirilib hisoblanadi. 34a) ∫ 2 0 ) sin, (cos dx x x R ko’rinishdagi integrallarni hisoblash. Ushbu ∫   2 0 ) sin, (cos dx x x R I (27) integral berilgan bo’lib, uni hisoblash talab etilsin, bunda x ва x x x R sin cos ) sin, (cos  larning ratsional funksiyasi va u ] 2,0[  da uzluksiz. Eyler formulasiga ko’ra i e e x e e x ix ix ix ix 2 sin , 2 cos       bo’lishini e’tiborga olib, s o’ ng ixe z deb belgilash kiritsak, unda dz iz dx z z i x z z x z C z z x 1 ),1 ( 2 1 sin , )1 ( 2 1 cos },1 : { ] 2,0[            bo’lib, berilgan ( 28 )-integral quyidagicha ∫ ∫     1 2 0 ) (~ ) sin, (cos z dz z R dx x x R I bo’ladi, bunda )).1 ( 2 1 ),1 ( 2 1( 1 ) (~ z z i z z R iz z R    Hosil bo’lgan integral oldingi punktdagi (26)-formula yordamida hisoblanadi. b) Xosmas integrallarni hisoblash. Chegirmalar nazariyasidan foydalanib xosmas integrallarni ham hisoblash mumkin. Bu kuyidagi teoremaga asoslangan. 35Teorema . ) (z f funksiya }0 Im: {   z C z sohaning chekli sondagi maxsus nuqtalaridan tashqari barcha nuqtalarida golomorf bo’lib, uning chegarasida uzluksiz bo’lsin. Agar ∫        r z r z dz z f r r }) arg 0 , { ( 0 ) ( lim (28) bo’lsa, u holda ∫   dxxf )( yaqinlashuvchi bo’lib, ∫       0Im ) ( 2 ) (  k k z zz z f res i dx x f (29) bo’ladi. Bu teoremadagi (28)-shartning bajarilishini ko’rsatishda quyidagi lemmalardan foydaniladi. 1-Lemma (Jordan lemmasi). Agar 0 ) ( max lim    z f r r z r (30) bo’lsa, ∫  r dz z f r 0 ) ( lim (31) bo’ladi. 2-Lemma . (Jordan lemmasi). Agar 0 ) ( max lim    z f r z r (32) bo’lsa, u holda 0    uchun ∫    r dz e z f zi r 0 ) ( lim (33) bo’ladi. Endi ∫    dx x R e xi ) ( ko’rinishdagi xosmas integrallarni qaraylik. 36Agar 0 ) ( max lim    z R z r bo’lsa, u holda bu integralga 2-lemmani va yuqoridagi teoremani qo’llash natijasida quyidagi formulalarni hosil qilamiz: ∫                  0 Im )] ( [ Im 2 cos) ( k k z zz zi z R e res xdx x R , ( 34 ) ∫                0 Im )] ( [ Re 2 sin) ( k k z zz zi z R e res xdx x R , ( 35 ) 1-m isol . Ushbu ∫     dx x x x 2 2 sin 2 integralni hisoblang. ) (z f  funksiya deb )] 1( [ )] 1( [ 2 2 ) ( 2 i z i z e z z e z f iz iz          ni olamiz. Bu funksiyaning 2 ta i z  1 1 va i z   1 2 qutb nuqtalari bo ’ lib , ulardan }0 {Im 1 1     z i z bo ’ ladi . 2 2 1 ) ( 2    z z z R funksiya uchun  z da 21 ~)( zzR bo’lganidan 2- lemma shartining bajarilishi ta’minlanadi. Unda (36)-formulaga ko’ra ∫         )] ( Re[ 2 2 2 sin 1 2 z f res dx x x x zz bo’ladi. (23)-formuladan foydalanib ) ( 1 z f res zz ni hisoblaymiz: ).1 cos 1 (sin 2 2 )] 1( [ )] 1( [ )] 1( [ lim ) ( 1 ) 1( 1 1 i e i e i z i z i z e z f res i i iz i z zz                         Demak, 37 .1 sin )1 cos 1 (sin 2 Re 2 2 2 sin 11 2               ∫ e i e dx x x x 2– Misol. hisoblansin. bo’lsin. U holda cos ϕ= 1 2(z+1 z) , dϕ= dz iz =−idz z , I= ∫ |z|=1 1 1− 2a1 2(z+1 z)+a2 (−i)dz z=i∫ |z|=1 dz az 2−(a2+1)z+a . Maxsus nuqtalarni topib olamiz: az 2−(a2+1)z+a=0 R1(z)= i az 2−(a2+1)z+a bo’ganligi uchun birinchi aylana ichida z1=a maxsus nuqta bor. Bu maxsus nuqta birinchi tartibli qutbdir. Shunga asosan Demak, . 3– Misol. I=∫−∞ +∞ dx (x2+1)4 hisoblansin. R(z)= 1 (z2+1)4= 1 (z−i)4(z+i)4 bu funksiya z1=i,z2=−i maxsus nuqtalarga ega bo’lib, bu maxsus nuqtalar to’rtinchi tartibli qutbdir. Yuqori yarim tekislikda faqat z1=i nuqta yotadi. 38n-chi tartibli qutb bo’lsa, 4– Misol. h isoblansin. B unda, Masalalar 1-masala f(z) = z^5 + 3z^3 + 2 funksiyasining birlik doira ichida nechta noli bor? Doira: |z| = 1 Tanlaymiz: f(z) = z^5 + 3z^3 + 2 g(z) = z^5 |f(z) - g(z)| = |3z^3 + 2| ≤ 3 + 2 = 5 |g(z)| = 1 Bu yerda |f(z) - g(z)| > |g(z)| emas. Boshqa doira: |z| = 2 |g(z)| = 32, |f - g| ≤ 26 < 32 Rushé teoremasiga ko‘ra, f ning 5 ta noli bor. 39Javob: 5 ta noli bor. 2-masala f(z) = z^4 + 5z + 2. Uning birlik doira ichidagi nollari sonini toping. g(z) = z^4, |z| = 2 |g(z)| = 16, |f - g| ≤ 10 + 2 = 12 < 16 Rushé teoremasi bo‘yicha 4 ta noli bor. Javob: 4 ta noli bor. 3-masala f(z) = z^3 + z + 1 funksiyasining |z| < 1 doirasidagi nollari sonini toping. g(z) = z^3 |z| = 2: |g(z)| = 8, |f - g| ≤ 3 < 8 Rushé teoremasiga ko‘ra 3 ta noli bor. Javob: 3 ta noli bor. 4-masala f(z) = z^6 + z^2 + 1 funksiyasining |z| < 1 ichidagi nollari soni? |z| = 2: |g(z)| = 64, |f - g| ≤ 4 + 1 = 5 < 64 Rushé teoremasi bo‘yicha 6 ta noli bor. Javob: 6 ta noli bor. 5-masala f(z) = z^7 + 3z + 2, |z| < 1 dagi nollar soni? |z| = 2: |g(z)| = 128, |f - g| ≤ 8 < 128 Rushé teoremasi bo‘yicha 7 ta noli bor. Javob: 7 ta noli bor. 6-masala f(z) = z^2 + 2z + 2. Uning nollarini toping. Kvadrat tenglama: z^2 + 2z + 2 = 0 D = -4, z = -1 ± i Javob: z = -1 + i, z = -1 - i 7-masala f(z) = z^3 - 3z + 2 funksiyasining barcha nollari? 40z = 1 yechim Qolgan: (z - 1)(z^2 + z - 2) = (z - 1)^2(z + 2) Javob: z = 1 (2 marta), z = -2 8-masala f(z) = z^4 + z + 10. |z| < 2 doirasidagi nollari soni? |g(z)| = 16, |f - g| ≤ 11 < 16 Rushé teoremasi: 4 ta noli bor. Javob: 4 ta noli bor. 9-masala f(z) = z^5 + 6z^2 + 3, |z| < 2 |g(z)| = 32, |f - g| ≤ 27 < 32 Rushé teoremasi: 5 ta noli bor. Javob: 5 ta noli bor. 10-masala f(z) = z^3 + 2z + 5, |z| = 3 |g(z)| = 27, |f - g| ≤ 11 < 27 Rushé teoremasi: 3 ta noli bor. Javob: 3 ta noli bor. Xulosa Glomorf funksiyalar va Rushe teoremasi kompleks tahlilning markaziy jihatlaridan biridir. Ular yordamida matematikada va boshqa sohalarda ko'plab masalalarni hal qilish mumkin. Misol uchun, elektrodinamika, akustika, termodinamikada glomorf funksiyalarning nollari va ularning 41xususiyatlari fizika tizimlarini tushunish va simulyatsiya qilishda qo'llaniladi. Glomorf funksiyaning nollarini hisoblash orqali tizimning holatlarini va uning rivojlanishini tahlil qilish mumkin. Shuningdek, glomorf funksiyalarni hisoblash nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy sohalarda ham muhimdir. Masalan, muhandislikda to'liq yoki qisman tizimlarning xatti-harakatini simulyatsiya qilishda, optimallashtirish masalalarini yechishda glomorf funksiyalar o'zgarishlarni va ularning tahlilini amalga oshirishda ishlatiladi. Glomorf funksiyalarni va ularning nollarini hisoblash, shuningdek, Rushe teoremasining qo'llanilishi kompleks tahlilning asosiy va zaruriy komponentlaridan biridir. Ushbu konseptlar yordamida matematik masalalar, shuningdek, real hayotdagi amaliy muammolarni hal qilishda yirik yutuqlarga erishish mumkin. Glomorf funksiyalarning nollarini topish va ularning xususiyatlarini tahlil qilish orqali tizimlarning xatti-harakatini yanada mukammal tushunish mumkin bo'ladi. Rushe teoremasi esa bu jarayonni osonlashtiradi va murakkab matematik jarayonlarni yanada aniqlik bilan hal qilish imkonini beradi. Shunday qilib, glomorf funksiyalar va Rushe teoremasi matematikada, fizika va boshqa ilmiy sohalarda keng qo'llaniladi va o'zgaruvchan tizimlarni o'rganish uchun zarur vositadir.Glomorf funksiyaning nollari uchun ko'plab usullar mavjud. Foydalanilgan adabiyotlar 1. Rahimov, S. (2010). Kompleks analiz . Toshkent: O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Fan va ta’lim 422. Xodjayev, A. (2007). Matematika tahlili: Iqtisodiyot uchun kurs .Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti. 3. Toshpulatov, M. (2013). Kompleks funksiyalar nazariyasi va ularga oid masalalar . Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti. 4. Ravshanov, T. (2008). Kompleks tahlilga kirish . Toshkent: O‘zbekiston fanlar akademiyasi. 5. Abdullayev, F. (2012). Kompleks analizga kirish . Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti. 6. Sultonov, A. (2015). Kompleks analiz va uning qo‘llanilishlari . Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti. 7. Berg, A. S. (2005). Funksiyalar nazariyasi va kompleks analizga oid masalalar . Toshkent: Fan. 8. Shermatov, A. (2011). Matematik analiz: kompleks tahlil . Toshkent: Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti. 9. Muhammadiev, F. (2016). Glomorf funksiyalarni tahlil qilishning asosiy metodlari . Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti. 10. Maxmudov, M. (2010). Matematik tahlil va kompleks funksiyalar nazariyasi . Toshkent: O‘zbekistan matbuoti. Rus tilidagi Adabiyotlar (O'zbek tilidagi manbalarga qo'shimcha sifatida): 11. Коржев, Г. К. (2004). Комплексный анализ . Москва: Наука. 12. Зорич, В. А. (2001). Курс математического анализа . Москва: ФИЗМАТЛИТ. 13. Шабельник, В. И. (2011). Комплексный анализ и его приложения . Санкт-Петербург: Лань. 14. Лаврентьев, М. А., & Шар, В. М. (1998). Комплексный анализ и его приложения . Москва: Наука. 4315. Мариничев, В. Н. (2003). Основы комплексного анализа . Санкт-Петербург: БХВ-Петербург.
Купить