ikki karrali integrallar - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	40000UZS
Размер	795.7KB
Покупки	0
Дата загрузки	19 Июль 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Iqbolxon Rahimova

Дата регистрации 11 Июнь 2025

0 Продаж

ikki karrali integrallar

Купить

Reja
Kirish
Asosiy qism
1-§. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya
2-§. Ikki karrali Riman integrali
3-§. Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalari
4- §. Ikki karrali integralda o`zgaruvchi almashtirish
5- §. Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalariga oid misollar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati

Kirish
Ilm yo‘lidan borgan inson oxiri,
Jannat ostonasidan chiqadi...
(Hadisdan)
Hozirgi kunda insoniyat hayotida deyarli barcha sohalarda rivojlangan
texnika taraqqqiyoti, raqamli texnologiyalar davrida matematikaning o‘rni
beqiyosdir. Shu sababli har qanday davlat ijtimoiy-iqtisodiy hayotida matematika
sohasidagi kadrlarga bo‘lgan talab o‘rtib bormoqda. Bunday sharoitda bizning
mustaqil O‘zbekistonimizda ham matematikaga bo‘lgan e’tibor yildan yilga ortib
bormoqda. Zero buning isboti o‘laroq Prezidentimiz Shavkat Miromonovich
Mirziyoyev tomonidan “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy
taqdqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” ( PQ-4708-son
07.05.2020) qarorning qabul qilinishini ko‘rsatishimiz mumkin. “Matematika
fanining tamal toshini Al-Xorazmiy, Ahmad Farg‘oniy, Abu Rayhon Beruniy kabi
ulug‘ bobolarimiz qo‘ygan. Bu bizning qonimizda bor. Lekin oxirgi yigirma yilda
matematikadan bilim darajasi pasayib ketdi. Chunki o‘qituvchilarga kerakli e’tibor,
munosib oylik berolmadik, pirovard maqsad qo‘ya olmadik. Buning oqibati hozir
ko‘pdan-ko‘p sohalarda sezilyapti. Bugun bu fanni rivojlantirishdan maqsadimiz
— matematika bo‘yicha raqobat muhitini yaratish, sanoat, muhandislik
yo‘nalishlari bo‘yicha yetuk kadrlar tayyorlash. Kechagi dars berish uslubi bilan
matematikani jadal rivojlantirib bo‘lmaydi. Shu bois avval amalda yaxshi natija
bergan xorijiy metodika asosida ta’lim dasturlari yaratib,o‘qituvchilarni qayta
tayyorlash zarur. Metodika shunday bo‘lishi kerakki, u bolalarda matematikaga
muhabbat uyg‘otsin. Buning uchun o‘quvchilar bu fan hayotda, har bir sohada
o‘ziga kerakligini anglashi zarur. Yoshlar imtihondan o‘tish uchun emas, bilimli
mutaxassis bo‘lish uchun o‘qishi lozim. Oxirgi besh-o‘n yilda matematika
yo‘nalishi bo‘yicha universitetlarni bitirgan yoshlarni topib, xohishiga qarab qayta
tayyorlab, maktablarga, fan nomzodlarini esa oliy ta’lim muassasalariga ishga jalb
etish muhimligi, matematika kafedra mudirlarini saylash tartibini joriy qilish,
3

kafedra mudirlari kengashi tuzib, doimiy tajriba almashinuvni yo‘lga qo‘yish
bo‘yicha ko‘rsatma berildi. ” — deb ta’kidladi davlat rahbarimiz.
Kurs ishining dolzarbligi: Yuqorida keltirilgan Davlat rahbarimizning
fikrlariga binoan biz yoshlar kelajakda yetuk mutaxasis bo‘lib yetishishimiz, buyuk
ajdodlarimizga mos avlodlar bo‘lishimiz uchun tanlagan yo‘nalishimiz
“Matematika” sohasiga o‘z hissamizni qo‘shmog‘miz darkor. Bu yo‘lda
matematikaning harbir bo‘limlari,unga aloqador sohalarni mukammal
o‘rganishimiz lozim.O‘rganiladigan bo‘limlar qatorida “Matematik analiz” ham
juda muhim ahamiyat kasb etib, matematika bo‘limlari ichida hayotda eng ko‘p o‘z
aksini topgan desak mubolag‘a bo‘lmaydi. Shu bilan birga biz bo‘lajak pedagog
ekanmiz, o‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli,bilimli,malakali kadr
etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham
munosib ravishda amalga oshirishga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz.
Kurs ishining maqsadi: Ikki karrali integrallarni mukammal o‘rganish.
Kurs ishining obyekti: Oliy va O‘rta maxsus ta’lim muassasalarida
matematik analiz fanining o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Matematik analiz fanining o‘qitish metodlari va
vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma ’ lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish.
2. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va ikki karrali Riman integralini to‘liq yoritish.
3. Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalarini ko‘rsatish.
4. Ikki karrali integralda o‘zgaruvchi almashtirish metodini qo‘llash.
5. Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalariga oid misollarni yoritish .
4

Kurs ishining tuzilishi va hajmi: Kurs ishi kirish, 5 ta paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan. Umumiy
hajmi bet.
5

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya
Biror to‘plam berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar to‘plamdagi har bir nuqtaga biror qoida
yoki qonunga ko‘ra bitta haqiqiy son mos qo‘yilgan bo‘lsa,
to‘plamda ko‘p o‘zgaruvchili (m ta o‘zgaruvchili) funksiya berilgan (aniqlangan)
deb ataladi va uni
yoki (1)
kabi belgilanadi. Bunda – funksiyaning berilishi (aniqlanishi) to‘plami ,
erkli o‘zgaruvchilar – funksiyaning argumentlari , u erksiz
o‘zgaruvchi - o‘zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi.
nuqta bitta bilan belgilanishini e’tiborga olib, bundan keyin
deyarli hamma vaqt o‘rniga ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi
(1) belgilashlar quyidagicha yoziladi.
Funksiyaning berilish to‘plamidan olingan nuqtaga mos keluvchi
son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi:
Misollar.
1. fazodagi har bir nuqtaga shu koordinatalarni yig‘indisini mos
qo‘yuvchi qoida, ya’ni,
bo‘lsin. Bu holda funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya
to‘plamda berilgan.
1. f – har bir nuqtaga ushbu
6

qoida bilan bitta haqiqiy sonni mos qo‘ysin. Bu holda ham ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyaga ega bo‘lamiz. Ravshanki, bu funksiya to‘plamda berilgan.
funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. o‘zgaruvchi
to‘plamda o‘zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat
to‘plam funksiya qiymatlari to‘plami (funksiyaning o‘zgarish sohasi) deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan misolning birinchisida funksiyaning qiymatlar to‘plami
ikkinchisi esa segmentdan iboratdir.
Shunda yana bir bor ta’kidlaymizki, ko‘p o‘zgaruvchili ( m ta o‘zgaruvchili)
funksiyalarda funksiyaning berilish to‘plami fazodagi to‘plam bo‘lib, bu
funksiya qiymatlari to‘plami esa haqiqiy sonlarning qism to‘plamidan iboratdir.
fazoning nuqtalaridan iborat ushbu

to‘plam funksiyaning grafigi deb ataladi.
Masalan, m = 2 bo‘lganda
funksiyalar grafigi mos ravishda fazoda giperbolik paraboloid, aylanma paraboloid
hamda yuqori yarim sferalardan iboratdir (1-chizma).
7

1-chizma.
to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib,
larning har biri to‘plamda berilgan funksiyalar
bo‘lsin:
Bunda o‘zgaruvchi to‘plamda o‘zgarganda ularga
mos nuqta to‘plamda bo‘lsin. Natijada
o‘zgaruvchi o‘zgaruvchi orqali
o‘zgaruvchilarning funksiyasi bo‘ladi:
Bu
funksiya murakkab funksiya yoki hamda
funksiyalar superpozitsiyasi deb ataladi.
Elementar funksiyalar ustida qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish
8

amallari hamda funksiyalar superpozitsiyasi yordamida ko‘p o‘zgaruvchili
elementar funksiyalar hosil qilinadi. Ushbu
funksiyalar shular jumlasidandir.
funksiya to‘plamda berilgan
bo‘lsin.
Agar bu funksiya qiymatlari to‘plami
yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lsa, ya’ni shunday o‘zgarmas C (o‘zgarmas
) son topilsaki ,
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya to‘plamda
yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deb ataladi.
Agar funksiya to‘plamda ham yuqoridan,
ham quyidan chegaralangan bo‘lsa, funksiya shu to‘plamda chegaralangan
deyiladi.
Masalan, da berilgan
funksiya shu to‘plamda quyidan chegaralangan, ammo yuqoridan
chegaralanmagandir:
9

Ikki karrali Riman integrali
funksiya berilgan bo‘lsin. Bu sohaning bo‘linishlari va bu
bo‘linishning har bir bo‘ladigan ixtiyoriy
nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning
nuqtadagi qiymati ni
( – sohaning yuzi)ga ko‘paytirib,
quyidagi
yig‘indini tuzamiz.
Ta’rif: Ushbu

(1)
yig‘indi, f(x, y) funksiyaning integral yig‘indisi yoki Riman yig‘indisi deb ataladi.
Misol.
1. funksiyaning sohadagi integral yig‘indisi
bo‘ladi, bunda
2.Ushbu ,
funksiyaning integral yig‘indisi quyidagicha bo‘ladi:
10

Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko‘rinadiki, funksiyaning integral
yig‘indisi qaralayotgan funksiyaga, sohaning bo‘linish usuliga
hamda har bir ( D
k ) dan olingan
nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni

funksiya chegaralangan sohada berilgan bo‘lsin. Bu
sohaning shunday
(2)
bo‘linishlarini qaraymizki, ularning diametrlari tashkil topgan
ketma-ketlik nolga intilsin: . Bunday
bo‘linishlarga nisbatan funksiya integral yig‘indilari qiymatlaridan iborat
quyidagi
ketma –ketlik hosil bo‘ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga
bog‘liq.
Ta’rif . Agar sohaning har qanday (2.2) bo‘linishlari ketma-ketligi
olinganda ham, unga mos integral yig‘indi qiymatlaridan iborat
11

ketma-ketlik, nuqtalarni tanlab olinishga bog‘liq bo‘lmagan holda
hamma vaqt bitta songa intilsa, bu ga yig‘indining limiti deb ataladi va u
kabi belgilanadi.
Integral yig‘indining limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
Ta’rif . Agar son olinganda ham, shunday topilsaki,
sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishi hamda har bir
bo‘lakdagi ixtiyoriy lar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda ga yig‘indining limiti deb ataladi va u
kabi belgilanadi.
Ta’rif . Agar da → 0 da funksiyaning integral yig‘indisi
chekli limitga ega bo‘lsa, funksiya sohada integrallanuvchi (Riman
ma’noda integrallanuvchi) funksiya deyiladi.
Bu yig‘indining chekli limiti esa funksiyaning soha bo‘yicha
ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u
kabi belgilanadi.
Demak,
12

Birinchi punktda keltirilgan jismning hajmi funksiyaning soha
bo‘yicha ikki karrali integralidan iborat ekan.
Misol lar
1. – const funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali
integralini topamiz. Bu funksiyaning integral yig‘indisi
bo‘lib, → 0 da bo‘ladi. Demak,
Xususan, bo‘lganda
(3)
bo‘ladi.
2. Ushbu punktda funksiyasining sohada integral
yig‘indisini topgan edik. Uning ifodasi hamda integral ta’rifidan bu funksiyaning
sohada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi.
Eslatma . Agar funksiya sohada chegaralanmagan bo‘lsa, u shu
sohada integrallanmaydi.
Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalari
(D) soha bo‘linishlarining xossalari
13

Faraz qilaylik, soha bo‘lishlaridan iborat to‘plam bo‘lsin.
Agar bo‘linishning har bir bo‘luvchi chizig‘i bo‘linishning ham
bo‘luvchi chizig‘i bo‘lsa, bo‘linish ni ergashtiradi deb ataladi va
kabi belgilanadi.
1 º. Agar bo‘linishlari uchun ,
bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
2 º. bo‘lishlari uchun, shunday topiladiki,
, bo‘ladi.
Darbu yig‘indilarining xossalari
funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsin.
sohaning bo‘linishini olib, bu bo‘linishga nisbatan funksiyaning
integral va Darbu yig‘indilarini tuzamiz:
1 º. olinganda ham nuqtalarni ( k = 1, 2, …, n)
shunday tanlab olish mumkinki,
bo‘ladi.
Bu xossa Darbu yig‘indilari , lar integral yig‘indi
14

muayyan bo‘lishi uchun mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegara
bo‘lishini bildiradi.
2 º. Agar va lar sohaning ikki bo‘lishlari bo‘lib, bo‘lsa,
u holda
bo‘ladi.
Bu xossa sohaning bo‘linishidagi bo‘laklar soni ortib borganida ularga
mos Darbuning quyi yig‘indisining kamaymasligi, yuqori yig‘indisining esa
oshmasligini bildiradi.
3 º. Agar va lar sohaning ixtiyoriy ikki bo‘linishlari bo‘lib,
, va , lar funksiyasining shu bo‘linishlariga
nisbatan Darbu yig‘indilari bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Bu xossa, sohaning bo‘linishlariga nisbatan tuzilgan quyi yig‘indilar
to‘plami { } ning har bir elementi { } ning har bir elementidan)
yuqori yig‘indilar to‘plami { } ning istalgan elementidan (quyi yig‘indilar
to‘plami { } ning istalgan elementidan) katta (kichik) emasligini bildiradi.
4 º. Agar f(x,y) funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u
holda
15

bo‘ladi.
Bu xossa funksiyaning quyi ikki karrali integrali, uning yuqori ikki
karrali integralidan katta emasligini bildiradi:
5 º. Agar funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u
holda olinganda ham, shunday topiladiki, sohaning diametri
bo‘lgan barcha bo‘lishlari uchun
,
bo‘ladi.
Bu xossa funksiyaning yuqori hamda quyi integrallari da
mos ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig‘indilarining limiti ekanligini
bildiradi:
Ikki karrali integrallarning mavjudligi
Teorema . funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lishi uchun,
olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri
bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan Darbu yig‘indilari
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
16

Isbot. Zarurligi . funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsin.
Ta’rifga ko‘ra ,
bo‘ladi . B unda
olinganda ham, ga ko‘ra shunday topiladiki, sohaning
diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan Darbu yig‘indilari
uchun (3.1) munosabatlarga ko‘ra
bo‘lib, undan
bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. olinganda ham, shunday topilib, sohaning
diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishiga nisbatan Darbu yig‘indilari
uchun
bo‘lsin. Qaralayotgan funksiya sohada chegaralanganligi uchun,
uning quyi hamda yuqori integrallari
mavjud,
17

bo‘ladi. Ravshanki ,
Bu munosabatdan
bo‘lishini topamiz. Demak , uchun
bo‘lib, unda bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning
sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
Agar funksiyaning sohadagi tebranishini
bilan belgilasak, u holda
bo‘lib, teoremadagi (3.2) shart ushbu
ya’ni
ko‘rinishlarni oladi.
Ikki karrali integralda o`zgaruvchi almashtirish
ikki o‘lchovli integralda to‘g‘ri burchakli koordinatalar
bilan quyidagicha munosabatlar orqali bog‘langan yangi
koordinatalarga o‘tkaziladi
18

(1)
Agar va sohalar (1-shakl) o‘rtasida (1) munosabatlar orqali o‘zaro bir
qiymatli akslantirish o‘rnatilgan bo‘lsa, shu bilan birga akslantirish yakobiani
bo‘lsa, quyidagi formula o‘rinlidir:
(2)
(2) formulada yakobianni hisoblashda
(3)
tengliklar bilan ifodalangan formulasidan foydalanish ham mumkin.
1-shakl.
1-misol. Ikki karrali integralni hisoblang:
, bu yerda
to‘g‘ri chiziqlar bilan
chegaralangan kvadratdir.
19  f x y dx dy f x u v y u v J u v du dv
D D
( , ) ( , ), ( , ) ( , ) . 
 

► almashtirishni bajaramiz, bundan
U holda almashtirishning Yakobiani
Demak, .
Bundan, .
soha chiziqlar bilan chegaralangan kvadrat
bo‘lgani uchun,
. ◄
Ma’lumki, to‘g‘ri burchakli va qutb
koordinatalar o‘zaro
munosabatlar bilan bog‘langan. Bu yerda .
Ikki karrali integralda to‘gri burchakli koordinatalardan qutb koordinatalarga
o‘tish quyidagi formula orqali amalga oshiriladi:
. (4)
20

Integrallash chegaralari qutbning vaziyatiga bog‘liq bo‘ladi.
a) Agar qutb va nurlar, hamda va
chiziqlar bilan chegaralangan soha tashqarisida
yotsa, shuningdek, va nurlar soha chegarasini ikki nuqtada
kesib o‘tsa, ikki karrali integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(5)
b) Agar qutb soha ichida joylashgan bo‘lsa va bu soha chegarasi qutb
koordinatalar sistemasida ko‘rinishiga ega bo‘lsa, u holda ikki karrali
integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(6)
c) Agar qutb va nurlar bilan chegaralangan
soha chegarasida yotsa, shu bilan birga, chegaraning qutb koordinatalar
sistemasida tenglamasi ko‘rinishiga ega bo‘lsa, u holda ikki karrali
integral quydagi formula bilan hisoblanadi:
(7)
2-misol. integralda, qutb koordinatalari sistemasiga o‘tib,
integral chegarasini qo‘ying. Bu yerda,
►
21

Kesishish nuqtalarini topamiz:
Bundan, bo‘lgani uchun, quyidagiga ega bo‘lamiz:
Demak, (7) ga ko‘ra,
.◄
3-misol. Berilgan integralni qutb koordinatalar
sistemasiga o‘tib hisoblang.
► dan foydalanamiz.
22

.◄
Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalariga oid misollar
1 – misol. Ushbu
integralni 1-ta rif yordamida hisoblang.ʼ
Ravshanki, funksiya da uzluksiz, demak, 2-teoremaga
ko‘ra, u da integrallanuvchi bo‘ladi. sohani
chiziqlar yordamida bo‘laklarga ajratamiz va har bir da
deb qaraymiz. U holda ,
bo‘ladi.
Bunda esa da bo‘lsa .
Demak,
23

2 – misol. Ushbu
integralni 3 – ta’rif yordamida hisoblang, bunda
sohani chiziqlar yordamida bo‘laklarga
ajratamiz.
24

ekanligidan
munosabatga ega bo‘lamiz.
3 – misol. Ushbu
intgeralni hisoblang. Bu yerda tomonlari
bo‘lgan parallelogram.
Chizmadan ko‘rinadiki, integralni takroriy integralga keltirishda, uni
ko‘rinishida ifodalash maqsadga muvofiq (2-chizma)
25

1-chizma. 2-chizma
Demak,
4 – misol. Ushbu
integralni hisoblang. Bu yerda (D) parabola va koordinata o‘qlari
bilan chegaralangan soha.
Chizmadan integralni
26

ko‘rinishida hisoblash maqsadiga muvofiq ekanligini ko‘ramiz (3-chizma).
3-chizma.
Demak,
27

Xulosa
Matematik analiz fani matematikaning fundamental bo limlaridan biri bo lib,ʻ ʻ
u matematikaning poydevori hisoblanadi. Matematik analiz kursi davomida
ko pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tatbiqlari keltiriladi.
ʻ
Matematik analiz fanining asosiy vazifasi shu fanning tushuncha, tasdiqlar va
boshqa matematik ma‘lumotlar majmuasi bilan tanishtiribgina qolmasdan, balki
talabalarda mantiqiy fikrlash, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga
qo llash ko nikmalarini shakllantirishdan iborat. Ushbu ishimda ikkita va undan
ʻ ʻ
ortiq o`zgaruvchili funksiyalar, aniqmas va aniq integrallar, integrallanuvchi
funksiyalar sinfi, integral yordamida tekis shaklni yuzini va fazoviy shakllarning
hajmini hisoblash, aniq integral yordamida aylanma jism yuzini hisoblash
nazariyalarini ochib berdim hamda, hozirga vaqtda amaliyotda keng Riman
integralini ham yoritib berdim.
Jumladan uch o`zgaruvchili funksiyani integrallashni ko`proq uchratamiz.
Bugungi kunda zamonaviy matematikaning turli sohalarida, keng tadbiqqa ega
bo‘lgan aniq integralning fizika va mexanika nazariyasi bilan shug‘ullanishmoqda.
28

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Sh.M. Mirziyoyev ,, Niyati ulug‘ xalqning ishi ham ulug‘, hayoti yorug‘ va
kelajagi farovon bo‘ladi”.
2. Sh.M. Mirziyoyev “Erkin va farovon demokratik O‘zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz”.
3 . A, G‘oziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev. “ Matematik analizdan misol
va masalalar” 2- qism. TOSHKENT-2012.
4 . Xudayberganov G. , Vorisov A.K. , Mansurov X.T. , Shoimqulov B.A.
Matematik analizdan ma’ruzalar, I, II q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
5 . Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 1, 2, 3 т. М. «ФИЗМАТЛИТ», 2001.
Internet saytlari
6. www.arxiv.uz
7. www.edu.uz
8. www . ziyonet . uz
29

kurs ishi

Купить

Похожие документы
Akslantirishlar
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli
Masalaning ob’ektiv va sub’ektiv tuzilishi
Matematika o‘qitish metodikasi 3-sinflar uchun
To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar 25