Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	901.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	04 Июнь 2025
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirishning metrik masalalari

formulalar bo‘yicha koordinatalar sistemasining markazi nuqtani
nuqtaga ko‘chiramiz natijada yangi repperga nisbatan chiziq
tenglamasi:
(4)
Ko‘rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi.
Ushbu (4) tenglamada , bo‘lgani uchun tenglamani
quyidagicha yozish mumkin:
; bu yerda deb belgilash kiritsak,

ushbu tenglama parabolan ing kanonik tenglamasini ifodalaydi.
3-tur.
yoki
Har ikki hol ham bir biriga o‘xshash shuning uchun birini ko‘rib chiqamiz.
Birinchi holni qaraymiz:
shart o‘rinli bo‘lganda (7) (2.1 dagi) tenglama ushbu ko‘rinishni
oladi,
bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz,
yoki

hosil bo ‘ ladi. Tenglamani soddalashtisak
-16 у +8 у = х 2
+16-64, -8 у = х 2
-48 yoki –8 ga bo ‘ lsaky=− 1
8x2+6
tenglamaga ega bo ‘ lamiz. U 0 y o ‘ qqa simmetrik parabolaning tenglamasi.
Endi parabolaning koordinata o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz.
Parabola tenglamasiga x =0 qiymatni qo ‘ ysak y =6 kelib chiqadi. Demak parabola
0 y o’q bilan 0
1 (0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek parabola tenglamasiga y =0
qiymatini qo ‘ ysak
− 1
8x2+6=0;− x2+48 = 0;x2= 48 ; x=±√48 = ±4√3
hosil bo ‘ ladi. Demak parabola 0 x o ‘ q bilan
(−4√3,0) v а (4√3,0) nuqtalarda kesishar
ekan.
Agar parabola tenglamasini yoki х 2
=-8( у -6) ko’rinishda yozib
x = X , y -6= Y almashtirish olsak uning tenglamasi Х 2
=-8 У kanonik shaklni oladi.
Izoh . Aylana, ellips, giperbola va parabola umumiy tenglamalari yordamida
berilganda koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish yoki koordinata o ‘ qlarini
burish yordamida umumiy tenglamani yangi sistemaga nisbatan kanonik
ko ‘ rinishga keltirish mumkin.
(1) tenglamada a
11= a
22 va a
12 =0 bo’lsa u aylanani tenglamasi bo‘ladimi
degan savolga javob izlaymiz.
Soddalik uchun a
11= a
22 =1 deb olamiz. Aks holda tenglamani a
11 ga bo‘lib
quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin.
х 2
+ y 2
+ 2 a
13 x+2 a
23 y + a
33 =0 (5)
Bu tenglamani hadlarini o‘zimizga qulay shaklda o‘rinlarini almashtirib to‘la
kvadrat uchun zarur bo’lgan va ni ham qo‘shamiz ham ayiramiz. U
holda
Yoki
(6)
h osil b o ‘ladi. Mumkin b o’ lgan uch h olni q araymiz :
1) Bu holda (6) tenglamani (2) bilan taqqoslab u
2) vaunga teng kuchli (5) tenglama ham markazi
nuqtada, radiusi

bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz.
. Bu holda (6) tenglama
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning
koordinatalari qanoatlantiradi xolos.
3) Bu holda (6) tenglama hech qanday egri
chiziqni aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa
manfiy emas.
X ulosa. ( 1 ) tenglama a
11= a
22 va a
12 =0 hamda
bo ‘ lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan.
1-misol.x2+y2+2x− 4y− 4= 0 tenglama aylananing tenglamasi ekanligi
ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin.
Yechish . a
11= a
22 =1 , a
12 =0
demak berilgan tenglama aylanani umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani
(x2+2x+1)+(y2− 4y+4)− 1− 4− 4= 0
ko ‘ rinish da y o zib undan
(x+1)2+(y− 2)2= 32
aylananing kanonik tenglamasiga ega bo ‘ lamiz.
Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan.
2-misol .
x2− 2x+y2+2y+4= 0 tenglama hech qanday egri chiziqni
aniqlamasligi ko ‘ rsatilsin.
Yechish . Tenglamani
(x2− 2x+1)+(y2+2y+1)− 1− 1+4= 0
ko ‘ rinishda yozsak undan
(x−1)2+(y+1)2=−2
tenglikka ega bo ‘ lamiz. Koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiruvchi nuqta
mavjud emas. Demak berilgan tenglama hech qanday egri chiziqni tenglamasi
emas.

3) Bu holda (6) tenglama hech qanday egri chiziqni
aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy
emas.
X ulosa . ( 1 ) tenglama a
11= a
22 va a
12 =0 hamda
bo’lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan.
1-misol.x2+y2+2x− 4y− 4= 0 tenglama aylananing tenglamasi ekanligi
ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin.
Yechish . a
11= a
22 =1 , a
12 =0
demak berilgan tenglama aylanani umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani
ko ‘ rinish da y o zib undan
(x+1)2+(y− 2)2= 32
aylananing kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz.
Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan.
2-misol .
x2− 2x+y2+2y+4= 0 tenglama hech qanday egri chiziqni
aniqlamasligi ko’rsatilsin.
Yechish . Tenglamani
(x2− 2x+1)+(y2+2y+1)− 1− 1+4= 0
ko ‘ rinishda yozsak undan
(x−1)2+(y+1)2=−2
tenglikka ega bo’lamiz. Koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiruvchi nuqta
mavjud emas. Demak berilgan tenglama hech qanday egri chiziqni tenglamasi
emas.
Ta’rif . Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha
masofalarning yig ‘ indisi o ‘ zgarmas bo ‘ lgan shu tekislik nuqtalarining geometrik
o ‘ rniga ellips deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtalarini F
1 va F
2 orqali belgilab ularni ellipsning
fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2 c va ellipsning har bir
nuqtasidan uning fokuslarigacha bo ‘ lgan masofalarning yig ‘ indisini 2 a orqali
belgilaymiz. 0 xy dekart koordinatalar sistemasini 0 x o ‘ qni ellipsning fokuslari F
1
va F
2 orqali o ‘ tkazib F
1 dan F
2 tomonga yo ‘ naltiramiz, koordinatalar boshini esa
F
1 F
2 kesmaning o ‘ rtasiga joylashtiramiz. U holda fokuslar F
1 (- c ;0), F
2 (c,0)
koordinatalarga ega bo’ladi (2-chizma).
Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M ( x,y ) ellipsning ixtiyoriy
nuqtasi bo ‘ lsin. Ta’rifga ko ‘ ra M nuqtadan ellipsning fokuslari F
1 va F
2 gacha
masofalarning yig ‘ indisi o ‘ zgarmas son 2 a ga teng, ya ‘ ni

joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi
chiziqlardan birini ifodalashini ko‘rsatish orqali mavzuni o‘quvchiga tushunarli qilib
yoritib berdik.

F oydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati.
1. Azlarov T.A va boshq. Matematik qo‘llanma, 1-q. “ O‘qituvchi” G. 1979-y.
2.A.Y.Narmanov. “ Analitik geometriya” .Toshkent-2006-y
3.S.V.Baxvalov,P.S.Modenov,A.S.Parxomenko “Analitik geometriyadan masalalar
to‘plami” Toshkent-2005.
4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 -y
“O‘zbеkiston”
5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. “Geometriya 1-qism” Toshkent. 1995-y
6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. “Analitik geometriya va chiziqli
Algebra”. Toshkent. “O‘qituvchi” 1993-y
7. Karimov I .A “Jahon moliyaviy-iqtisodi inqirozi, O‘zbekiston sharoitida uni
bartaraf etishning yo‘llari va choralari”. Toshkent 2009-y.
8 .N.Hojiyev, A.S.Faynleyb. “ Algebra va sonlar nazariyasi ” .Darslik,T.2001
9.Nazarov.R. “ Algebra va sonlar nazariyasi”.t.O ‘ qituvchi. 2 - qism 1995 -y
10.Yunusova.D.I va boshqalar “ Algebra va sonlar nazariyasi ” o ‘ quv
qo ‘ llanma.T,Ilm-ziyo.2009 -y
11.Vafoyev.R.H va boshqalar.Algebra va analiz asoslari.Akademik litsey
va kasb-hunar kollejlari uchun o ‘ quv qo ‘ llanma.Toshkent,

mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini
rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim
talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan
bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini
hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash,
avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va
mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni
belgilash va qo‘shimcha ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot
texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars
davomida o‘qituvchi o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez
fikrlashlarini hisobga olishi kerak.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriya fanining ba’zi bir
tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o‘rganish va
Geometriya kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash.

5) Agar qarama-qarshi ishorali bo‘lsa, kerakli belgilashlarni kiritish
orqali (3) ni quyidagicha ifodalaymiz;
yoki
, , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita
haqiqiy to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi.
Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi repperda (1) tenglama
orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo‘ladi.
2-tur.
yoki ,
Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko‘rib chiqiladi shuning uchun bittasini
tekshirish yetarli.
Birinchi holni qaraymiz:
ekanligidan (7) (2.1 dagi) tenglamaning hadlarini ga nisbatan
to‘la kvadrat tenglamaga keltiramiz:
,
,
bunda deb belgilash kiritdik.
Ushbu,

x2
a2+ y2
b2= 1 (8)
kelib chiqadi. Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini koordinatalari (8)
tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha ellipsga tegishli bo’lmagan hech bir nuqtani
koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (8) ellipsning tenglamasi.
U ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. Koordinatalar boshi ellipsning
markazi deyiladi. Koordinata o ‘ qlari esa ellipsning simmetriya o ‘ qlari bo ‘ lib
xizmat qiladi. Ellipsning fokuslari joylashgan o ‘ q uning fokal o ‘ qi deyiladi.
Ellipsning simmetriya o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalari uni uchlari deyiladi.
А
1 (- а ;0), А ( а ;0), В
1 (0;- b ), В (0, b ) nuqtalar ellipsning uchlari.
а va b sonlar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o ‘ qlari
deyiladi.
c
a nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi va ε orqali belgilanadi. Ellips
uchun 0<
ε <1 bo’ladi, chunki c<a . Ekssentrisitet ellipsning shaklini izohlaydi.
Haqiqatan, а 2
- с 2
=b 2
tenglikni а 2
ga bo’lsak
1− (
c
a)
2
= (
b
a)
2 yoki
(
b
a)
2
= 1− ε2
bo’ladi. Bundan ekssentrisitet qanchalik kichik bo’lsa ellipsning
kichik yarim o ‘ qi uning katta yarim o ‘ qidan shunchalik kam farq qilishini
ko ‘ ramiz.
b= а bo ‘ lganda ellips tenglamasi x 2
+y 2
=a 2
ko ‘ rinishiga ega bo ‘ lib ellips
aylanaga aylanadi. Bu holda
c= √a2− b2= √a2− a2= 0 , bo ‘ lgani uchun ε= 0
a=0
bo ‘ ladi.
Demak aylana ekssentrisiteti nolga teng va fokuslari uning markaziga
joylashgan ellips ekan.
Endi ellipsni shaklini aniqlaymiz. Uning shaklini avval I–chorakda
aniqlaymiz. Ellipsning kanonik tenglamasi (8) ni y ga nisbatan yechsak
Shunday qilib ellipsning kanonik
tenglamasi
y2
b2= 1− x2
a2; y2= b2
(1− x2
a2); y2= b2
a2(a2− x2); y= b
a√a2− x2
bo ‘ ladi, bunda 0< x<a, chunki x>a bo ‘ lganda ildiz ostidagi ifoda manfiy bo ‘ lib u
ma’noga ega bo ‘ lmaydi. x 0 dan a gacha o ‘ sganda, yb dan 0 gacha kamayadi.
Ellipsning I–chorakdagi bo ‘ lagi koordinatalar o ‘ qlarida joylashgan В (0, b ) va
А ( а ;0) nuqtalar bilan chegaralangan yoydan iborat bo ‘ ladi (3–chizma). Ellipsning
kanonik tenglamasida х ni – х ga va у ni – у ga o‘zgartirilsa tenglama o‘zgarmaydi.
Bu ellips koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi.
Ellipsning ana shu xususiyatiga asoslanib uning shakli 3-chizmada ko ‘ rsatilgandek
ekanligiga iqror bo ‘ lamiz.

ko ‘ rsatish mumkin. Demak u giperbolaning tenglamasi (11) giperbolaning
kanonik tenglamasi deb ataladi. Giperbolaning tenglamasida x va y juft darajalari
bilan ishtirok etadi. Bu giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligidan
dalolat beradi.
Ya’ni qaralayotgan holda koordinata o ‘ qlari giperbolaning simmetriya
o ‘ qlari ham bo ‘ ladi.
Gepirbolaning simmetriya o ‘ qlarini kesishish nuqtasi giperbolaning
markazi deb ataladi.
Giperbolaning fokuslari joylashgan simmetriya o ‘ qi uning fokal o ‘ qi deb
ataladi.
Endi giperbolaning shaklini chizishga harakat qilamiz. Oldin uning shaklini
I–chorakda chizamiz.
Giperbolaning kanonik tenglamasi (11) dany2
b2= x2
a2−1; y2
b2= x2− a2
a2 ; y2= b2(x2− a2)
a2 ; y= b
a√x2−a2
kelib chiqadi, chunki I–chorakda
y≥0 . Bunda x≥a , aks holda u ma’noga ega
bo ‘ lmaydi (ildiz ostida manfiy son bo’ladi). x
α dan + ∞ gacha o ‘ zgarganda
у 0 dan +
∞ gacha o ‘ zgaradi. Demak giperbolaning I–chorakdagi qismi 7-
chizmada tasvirlangan AM yoydan iborat bo’ladi.
Giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak
uning shakli 7-chizmada tasvirlangan egri chiziqdan iborat bo’ladi.
Giperbolaning fokal o’q bilan kesishish nuqtalari uning uchlari deb ataladi.
Giperbolaning tenglamasiga у =0 ni qo’ysak х =  а kelib chiqadi. Demak А
1 (- а ;0)
va А ( а ;0) nuqtalar giperbolaning uchlari bo’ladi

I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR
1.1. Aylana va Ellips va ularning kanonik tenglamalari
1-ta’rif. Tekislikning berilgan nuqtasidan bir xil masofada joylashgan shu tekislik
nuqtalarining geometrik o ‘ rniga aylana deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtasini aylananing markazi , undan aylanagacha
masofani aylananing radiusi deb ataymiz.
Markazi O( а ;b ) nuqtada bo’lib radiusi R ga teng aylananing tenglamasini t
uzamiz (1 a
-chizma). Aylananing ixtiyoriy nuqtasini M ( x;y ) desak aylananing
ta‘rifiga binoan:
МО = R.
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak.
yoki bu tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak
(1)
kelib chiqadi. Shunday qilib aylananing istalgan M ( x;y ) nuqtasining
kooordinatalari (2) tenglamani qanoatlantirar ekan. Shuningdek aylanaga tegishli
bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari (2) tenglamani qanoatlantirmaydi.
Demak (2) aylana tenglamasi. U aylananing kanonik (eng sodda) tenglamasi deb
ataladi.
Xususiy holda aylananing markazi 0
1 ( а ,b ) koordinatalar boshida bo ‘ lsa
а =b =0 bo’lib uning tenglamasi
(2)
ko ‘ rinishga ega bo’ladi (1 b
-chizma).
Endi aylananing kanonik tenglamasini ikkinchi tartibli egri chiziqning
umumiy tenglamasi (1) bilan taqqoslaymiz. (2) da qavslarni ochib ma’lum
almashtirishlarni bajarsak u

y= k
x funksiyaning grafigi asimtotalari 0 х va 0 у o ‘ qlardan iborat teng tomonli
giperbola bo ‘ lar ekan.
Parabola va uning kanonik tenglamasi.
Ta’rif. Berilgan nuqtadan hamda berilgan to ‘ g ‘ ri chiziqdan teng uzoqlikda
joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga parabola deb ataladi.
Berilgan nuqtani F orqali belgilab uni parabolaning fokusi deb ataymiz.
Berilgan to ‘ g ‘ ri chiziqni parabolaning direktrisasi deb ataladi. (Fokus direktrisada
yotmaydi deb faraz qilinadi).
Fokusdan direktrisagacha masofani p orqali belgilaymiz va uni
parabolaning parametri deb ataymiz.
Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Abssissalar o ‘ qini
fokusdan direktrisaga perpendikulyar qilib o ‘ tkazib yo ‘ nalishini direktrisadan
fokusga tomon yo ‘ naltiramiz.
Koordinatalar boshini fokusdan direktrisagacha masofa FR ning qoq
o ‘ rtasiga joylashtiramiz (11-chizma).
11 -chizma
Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan fokus
koordinatalarga, direktrisa tenglamaga ega bo’ladi.
Faraz qilaylik M ( x;y ) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Parabolaning
ta’rifiga binoan M nuqtadan direktrisagacha MN masofa undan fokusgacha MF
masofaga teng: MN=MF
11-chizmadan va
ekani ravshan.

6 -chizma
Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M( x , y ) giperbolaning
ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin.
Ta’rifga binoan giperbolaning M nuqtasidan uning fokuslari F
1 va F
2 gacha
masofalarning ayirmasi o ‘ zgarmas son ±2a ga teng, ya ’ ni
MF
1 - MF
2 =
±2a
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga binoan
MF 1= √(x+c)2+y2
va
MF 2= √(x− c)2+y2 bo’lgani uchun
√(x+c)2+y2− √(x− c)2+y2=± 2a
(9)
kelib chiqadi.
Ellips tenglamasini chiqarishda bajarilgan amallarga o ‘ xshash amallarni
bajarib ( а 2
- с 2
) х 2
+ а 2
у 2
= а 2
( а 2
- с 2
) (10)
tenglamaga ega bo ‘ lamiz. Ma’lumki uchburchakning ikki tomonini ayirmasi
uchinchi tomonidan kichik. Shunga ko ‘ ra
ΔF 1MF 2 dan
F
1 M-F
2 M<F
1 F
2 ; 2 а <2 c ; a <c ; a 2
- c 2
<0 ( a >0, c >0) hosil bo ‘ ladi. Shuning
uchun a 2
- c 2
=- b 2
yoki c 2
- a 2
= b 2
deb belgilab olamiz. U holda (10) formula
-b 2
x 2
+ a 2
y 2
=- a 2
b 2
yoki b 2
x 2
- a 2
y 2
= a 2
b 2
Ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Buni а 2
b 2
ga bo ‘ lib
x2
a2− y2
b2=1
(11)
tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib giperbolaning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini
koordinatalari (11) tenglamani qanoatlatirar ekan. Shuningdek giperbolaga tegishli
bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini

,bunda .

Ushbu , formulalar yordamida repperdan
repperga o‘tamiz. Yangi repperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa,
, (5)
Ko‘rinishida bo‘ladi.
.
(5)tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflashga o‘tamiz. Bu
tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar o‘rinli
ekanligidan quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
a) .
1) va har xil ishorali bo‘lsa, bo‘ladi. Tenglama esa,
deb belgilash kiritilganda:
yoki
Ko‘rinishni oladi. Bu tenglama o‘zaro parallel ikkita to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.
2) va bir xil ishorali bo‘lsa, bo‘ladi. deb
belgilash kiritib,
yoki
Ko‘rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to‘g‘ri
chiziqni ifodalaydi deyiladi.

2.2- § . Ikkichi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida
soddalashtirish
1-tur.
Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni ga nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga
keltiramiz.
.
Bu yerdagi ozod hadlarni deb belgilaymiz va
tenglikning ko‘rinishi
shunday bo‘ladi.
repper markazini parallel ko‘chirish formulasi orqali,

4 -chizma.
5-misol.4x2−16 x+9y2−54 y+61 = 0 egri chiziq chizilsin.
Yechish. Tenglamani
4(x2−4x)+9(y2−6y)+61 =0;
4(x2−4x+4)+9(y2−6y+9)−16 −81 +61 = 0
; 4(x− 2)2+9(y−3)2=36
ko‘rinishda yozib buni 36 ga bo‘lsak
(x− 2)2
9 +(y− 3)2
4 =1 yoki
(x− 2)2
32 +(y− 3)2
22 =1
tenglama hosil bo‘ladi. х -2= X ; у -3= У almashtirish olsak
X2
32+Y2
22=1
kelib chiqadi.
5 -chizma.
Bu ellipsning 0
1 XY sistemaga nisbatan kanonik tenglamasi.

Shunday qilib berilgan tenglama ellipsning umumiy tenglamasi ekan. Agar
0 ху eski sistemani 0
1 (2,3) nuqtaga parallel ko ‘ chirilsa ya’ni 0
1 XY sistemaga
nisbatan ellipsning tenglamasi kanonik ko’rinishga ega bo ‘ lar ekan (5-chizma).

1.2. Giperbola va Parabolaning kanonik tenglamasi
1-ta’rif. Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha
masofalarning ayirmasi o ‘ zgarmas bo ‘ lgan shu tekislik nuqtalarining geometrik
o ‘ rniga giperbola deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtalarini F
1 va F
2 orqali belgilab ularni
gepirbolaning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2 c va
giperbolaning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo ‘ lgan masofalarning
ayirmasini ±2a orqali belgilaymiz. 0 xy dekart koordinatalar sistemasini xuddi
ellipsdagidek, ya’ni 0 x o ‘ qni F
1 , F
2 fokuslaridan o ‘ tadigan qilib tanlaymiz va
koordinatalar boshini F
1 F
2 kesmaning o ‘ rtasiga joylashtiramiz.
U holda fokuslar F
1 (- c ,0),F
2 ( c ,0) koordinatalarga ega bo’ladi (6-chizma).

Demak, .
Bu tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlasak
yoki ( 1 2)
hosil bo’ladi.
Shunday qilib parabolaning istalgan M ( x,y ) nuqtasining koordinatalari (12)
tenglamani qanoatlantiradi. Parabolada yotmagan hech bir nuqtaning
koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko ‘ rsatish mumkin. Demak
(12) parabolaning tenglamasi ekan. U parabolaning kanonik tenglamasi deb
ataladi.
Endi kanonik tenglamasiga ko ‘ ra parabolani shaklini chizamiz (12)
tenglamada y ni – y ga almashtirilsa tenglama o ‘ zgarmaydi. Bu abssissalar o ‘ qi
parabolaning simmetriya o ‘ qidan iborat ekanligini bildiradi. (12) tenglamaning
chap tomoni manfiy bo ‘ lmaganligi uchun uning o ‘ ng tomoni ya’ni x ning ham
manfiy bo ‘ lmasligi kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o ‘ qning o ‘ ng tomonida
joylashadi. x =0 da y =0. Demak parabola koordinatalar boshidan o ‘ tadi.
x cheksiz o ‘ sganda y ning absalyut qiymati ham cheksiz o ‘ sadi. (12)
tenglama yordamida aniqlanadigan parabola 12-chizmada tasvirlangan.
Parabolaning simmetriya o ‘ qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi.
Parabolaning simmetriya o ‘ qi bilan kesishish nuqtasi uning uchi deyiladi.
Qaralayotgan hol uchun koordinatalar boshi parabolaning uchi bo ‘ ladi.
12 -chizma.
8-misol. у 2
=8 х parabola berilgan. Uning direktrisasining tenglamasi yozilsin
va fokusi topilsin.
Yechish . Berilgan tenglamani parabolaning kanonik tenglamasi (12) bilan
taqqoslab 2 р =8, р =4 ekanini ko ‘ ramiz. Direktrisa tenglamaga, fokus

b) .
Ushbu holda (5) tenglama ko‘rinishini oladi. Shartga ko‘ra
ekanligidan,
yoki .
Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi deyiladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart repperida (1) (2.1 dagi)
tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yangi dekart repperini keraklicha tanlash orqali
ning tenglamasini yuqoridagi (1) (4) (5) tenglamalarning biriga keltirish mumkin.
Xulosa .
Biz ushbu mavzuni yoritish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni
tahlil qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda bu
mavzularga oid misol, masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi.
Mavzuga to‘xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki, tekislikda chiziqlar
bizga o‘rta ta’lim davridan ma’lum bo‘lgan oddiy tog‘ri chiziqdan, sodda
funksiyalarning grafiklaridan iborat bo‘libgina qolmay, yana ko‘palab chiziqlarning
mavjudligi, ularning ifodalanishi, tenglamalari haqida yaxshi tushunchaga ega
bo‘lishimizda ko‘maklashdi.
Xususan bizga ma’lum bo‘lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi, oldingi
kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o‘rganilgan parabolaning
xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin.
Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan har
qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o‘rgandik.
Bunda chiziqning berilgan umimiy tenglamasi
ni tahlil qilish, bu tenglamani turli
koordinatalar sistemasida ko‘rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday
bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o‘rgandik. Aytish

mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini
barchamiz anglab yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz.
Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z
bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil
davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi
mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini
yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk
barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va
tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq
ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday
noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq
bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-
t arbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini
safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi .
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir
qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli,
go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish
maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir. Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab
olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib,

,
larni hosil qilamiz. Bunda o‘qning repperdagi burchak koeffitsientini
ifodalasa, esa
o‘qning repperdagi burchak koeffitsientini ifodalaydi.
Bundan kelib chiqadiki, o‘qning birlik vektorining koordinatalari
larni
, (6)
Xarakteristik tenglamani (4) Viyet usuli orqali yechamiz, va
tengliklarga ega bo‘lamiz. (3) tenglamalardan
topsak,
ekanligi bundan esa, ,
tengliklar kelib chiqadi.
Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan chiziqning
repperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
(7)
Agarda, o‘qining burchak koeffitsienti sifatida olinadigan bo‘lsa, (7)
tenglamada
, o‘zgarish ro‘y beradi.
(7) tenglamada koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘la olmaydi
chunki, agar bo‘lsa, tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi.
Bundan kelib chiqadiki (7) tenglamani 3 xil ko‘rinishga keltirish mumkin.

burchak ixtiyoriy ekanligidan foydalanib uni shunday tanlab olamizki (2)
tenglamadagi koeffitsient nol bo‘lsin, ya’ni
yoki
Ushbu munosabatni biror ga tenglab, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(3)
Bu hosil qilingan (3) sistema bir jinsli, shuning uchun uning koeffitsientlaridan
tuzilgan determinant nolga teng,
ya’ni
yoki (4)
bo‘lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo‘ladi.
(4) tenglama chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Kvadrat tenglamani yechish orqali yechimlarga ega bo‘lamiz.
Yuqoridagi (3) sistemani qavslarni ochgan holda yozish
orqali,
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bu tengliklarni ( tenglamaning yechimi emas) ga bo‘lib yuborib,
(5)
hosil qilamiz.
Bu (5) munosabatga (4) xarakteristik tenglamaning ildizlar larni qo‘yib,

2 -chizma
MF
1 + MF
2 =2 a.
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko ‘ raMF 1= √(x+c)2+y2MF 2= √(x− c)2+y2
bo ‘ lgani uchun
√(x+c)2+y2+√(x− c)2+ y2= 2a
yoki √(x+c)2+y2= 2a− √(x− c)2+ y2
kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib
ixchamlaymiz:
(x+c)2+y2=(2a)2− 2⋅2a√(x− c)2+ y2+(x− c)2+y2;
x2+2cx +c2+y2= 4a2− 4a√(x− c)2+y2+x2− 2cx +c2+y2;
4cx = 4a2− 4a√(x− c)2+y2;cx = a2− a√(x− c)2+y2;
a2− cx = a√(x− c)2+y2.
Buni yana ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlasak
a4−2a2cx +c2x2=a2[(x−c)2+y2]; a4− 2a2cx +c2x2= a2[x2−2cx +c2+y2];
a4−2a2cx +c2x2=a2x2− 2a2cx +a2c2+a2y2; a2x2−c2x2+a2y2= a4− a2c2;

(a2− c2)x2+a2y2= a2(a2− c2) (7)
hosil bo’ladi.
Uchburchak ikki tomonining yig ‘ indisi uchinchi tomonidan katta ekanini
nazarda tutsak
ΔF 1MF 2 dan MF
1 +MF
2 >F
1 F
2 ; 2 a >2 c; a > c ; a 2
- c 2
>0 ( a >0, c >0)
bo’ladi.
a 2
- c 2
= b 2
deb belgilab uni (1) ga qo ‘ yamiz. U holda
b2x2+a2y2= a2b2
yoki buni а 2
b 2
ga bo’lsak

II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ UMUMIY
TENGLAMASINI INVARIANTLAR YORDAMIDA
SODDALASHTIRISH.
2.1-§ Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni
soddalashtirish .
Ta’rif . Ikkinchi tartibli chiziq deb koordinatalari
(1)
Tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rniga aytiladi. Bu yerda
Koeffintsentlar haqiqiy sonlar va koeffitsientlarning kamida
bittasi noldan farqli bo‘lishi lozim. Bu shartni
ko‘rinishida yozish mumkin.

Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi:
tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmasada
mavhum ellipsni aniqlaydi deyiladi.
3) Agar har xil ishorali bo‘lsa, u holda va qarama-
qarshi ishorali bo‘lib ularni mos ravishda va
ko‘rinishida belgilab,
(2) tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz.
b) bo‘lsa, u holda (1) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
. (3)
4) Agar bir xil ishorali bo‘lsa, deylik bo‘lsin.
Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, (3) tenglama
ko‘rinishi:
yoki
kabi bo‘ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonida ko‘paytuvchilarga ajragani
va ular birinchi darajali bo‘lgani uchun to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Ammo ular bitta
haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab ularga bitta
haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum to ‘ g‘ri chiziqlar tenglamasi deyiladi.

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-Matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi
qizining
Analitik geometriya fanidan
“Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar
yordamida soddalashtirishning metrik masalalari”
mavzusiga
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:
Farg‘ona-2025

8-chizma
Haqiqiy va mavhum yarim o ‘ qlari teng giperbola teng tomonli yoki teng
yonli deb ataladi. Teng tomonli giperbolaning kanonik tenglamasix2
a2− y2
a2=1
yoki
x2− y2= a
2
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi.
y= х va у =- х to’g’ri chiziqlar teng tomonli giperbolaning asimptotalari bo ‘ lib
uning ekssentrisiteti
ε= c
a= √a2+a2
a = √2 bo ‘ ladi.
6-misol. 16 х 2
-9 у 2
=144 egri chiziq chizilsin.

9-chizma
Yechish. Uni
har ikkala
tomonini 144
ga bo ‘ lsak

koordinatalarga ega bo ‘ lishini hisobga olsak direktrisaning tenglamasi
x =-2 va fokus F (2;0) bo ‘ ladi.
Izoh . Fokal o ‘ qi 0 y o ‘ qdan iborat parabolaning tenglamasi
х 2
=2 ру (13)
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi
9-misol. у =3 х 2
-12 х +16 parabolaning tenglamasi kanonik holga keltirilsin va
uning uchi topilsin.
Yechish. Tenglamani
у =3( х 2
-4 х )+16, у =3( х 2
-4 х +4-4)+16; у =3( х -2) 2
+4; у -4=3( х -2) 2
ko ‘ rinishga keltirib х -2= Х , у -4= У deb belgilasak parabolaning tenglamasi
У =3 Х 2
kanonik ko ‘ rinishga keladi. x -2= Х , у -4= У alamashtirish bilan eski 0 x у sistemani
0
1 (2;4) nuqtaga parallel ko ‘ chirdik. Yangi 0
1 ХУ sistemaga nisbatan parabolaning
tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Yangi sistemani koordinatalar boshini
koordinatalari parabola uchining koordinatalari bo ‘ ladi, ya’ni х
0 =2, у
0 =4.
10-misol. F (0,4) nuqtadan hamda y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqdan bir xil uzoqlikda
joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rni, egri chiziqning koordinata
o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin va egri chiziq chizilsin.
Yechish. М ( х , у ) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Shartga
binoan undan y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqqacha masofa va undan
F (0,2) nuqtagacha masofa o ‘ zaro teng ya ‘ ni,
13-chizma.√(x− x)2+(8− y)2
= √(x− 0)2+(y− 4)2 (13-chizma).
Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak (8- у ) 2
= х 2
+( у -4) 2
yoki qavslarni ochsak.
64-16у+у 2
=х 2
+у 2
-8у+16 yoki 64-16у=х 2
-8у+16

3 -chizma
3-misol. Kichik yarim o ‘ qi b =4 va ekssentrisiteti ε =0,6 bo ‘ lgan ellipsning
kanonik tenglamasi yozilsin.
Yechish. Shartga ko ‘ ra ε= c
a=0,6 ; с=0,6 а, а2−с2=b2
tenglikka с va b ning qiymatlarini qo ‘ yib a ni aniqlaymiz.
bo ‘ lganligi uchun ellipsning kanonik tenglamasi
x2
25 + y2
16 =1
ko ‘ rinishda bo ‘ lar ekan.
4-misol. 9 x 2
+25 y 2
-225=0 tenglamaga ko ‘ ra ikkinchi tartibli egri chiziqning
turi aniqlansin va egri chiziq chizilsin.
Yechish. Berilgan tenglamani 9 х 2
+25 у 2
=225 ko ‘ rinishda yozib buni 225
ga bo ‘ lsak
9x2
225 +25 y2
225 =1
yoki x2
52+ y2
32= 1
kelib chiqadi. Demak berilgan tenglama yarim o ‘ qlari a =5, b =3 bo ‘ lgan ellipsni
tenglamasi ekan (4-chizma)

MUNDARIJA
KIRISH
I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR
1.1.Aylana va Ellips va ularning kanonik
tenglamalari…………………………………………………………………….6
1.2. Giperbola va Parabolaning kanonik
tenglamasi………………………………………………………………………13
II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ UMUMIY TENGLAMASINI
INVARIANTLAR YORDAMIDA SODDALASHTIRISHNING METRIK
MASALALARI
2.1. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni
soddalashtirish …………………………………………………………………24
2.2. Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida
soddalashtirish …………………………………………………………………28
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

7-chizma Giperbolaning tenglamasi (11) ga qo‘ysak (1.1)ga x=0 ni− y2
b2=1;y=± √− b2
bo‘ladi. Bu esa haqiqiy son emas (manfiy sondan kvadrat ildiz chiqmaydi). Demak
giperbola 0 y o‘q bilan kesishmas ekan.
Shuning uchun giperbolaning fokal o‘qi haqiqiy o ‘ qi unga perpendikulyar
o‘qi mavhum o ‘ qi deb ataladi.
a va b sonlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim
o ‘ qlari deyiladi.
Giperbolaning M nuqtasi u bo‘ylab cheksiz uzoqlashganda shu nuqtadan
y=− b
ax
va y= b
ax to‘g‘ri chiziqlarning birortasigacha masofa nolga intilishini
ko‘rsatish mumkin, ya‘ni giperbolaning koordinatalar boshidan yetarlicha katta
masofada joylashgan nuqtalari
y=− b
ax va y= b
ax to’g’ri chiziqlardan biriga
yetarlicha yaqin joylashadi. Koordinatalar boshidan o‘tuvchi bu to‘g‘ri chiziqlar
giperbolaning asimptotalari deb ataladi.
Giperbolani chizishdan oldin uning asimptotalarini chizish tavsiya etiladi.
Markazi koordinatalar boshida bo‘lib tomonlari 0х va 0у o‘qlarga parallel va
mos ravishda 2 a va 2 b ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli to‘rtburchak yasaymiz. Bu
to‘rtburchakni giperbolaning asosiy to ‘ rtburchagi deb ataymiz.
To‘rtburchakni diagonallarini har tarafga cheksiz davom ettirsak
giperbolaning asimptotalari hosil bo’ladi(8-chizma).
c
a
nisbat giperbolaning ekssentrisiteti deb ataladi va  orqali belgilanadi.
Giperbola uchun c > a bo ‘ lganligi sababli
 > 1 bo’ladi.
Ekssentrisitet giperbolaning shaklini xarakterlaydi. Haqiqatdan, c 2
- a 2
= b 2
tenglamani har ikkala tomonini а 2
ga bo’lsak
(
c
a)
2
− 1=(
b
a)
2 yoki
ε2− 1=(
b
a)
2
kelib chiqadi.
 kichrayganda
b
a nisbat ham kichrayadi. Ammo
b
a nisbat
giperbolaning asosiy to ‘ rtburchagini shaklini belgilaganligi uchun u giperbolaning
ham shaklini belgilaydi.
 qanchalik kichik bo’lsa
b
a nisbat ham ya’ni
giperbolaning asimptotalarini burchak koeffitsientlari ham shunchalik kichik
bo’ladi va giperbola 0 х o ‘ qqa yaqinroq joylashadi.
Bu holda giperbolani asosiy to ‘ rtburchagi 0 х o ‘ q bo ‘ ylab cho ‘ zilgan bo ‘ ladi.

16 x2
144 − 9y2
144 =1 yoki x2
9 − y2
16 = 1;x2
32− y2
42= 1
kelib chiqadi. Demak qaralayotgan egri chiziq yarim o ‘ qlari a =3 va b =4 bo ‘ lgan
giperbola ekan. Markazi koordinatalar boshida bo ‘ lib tomonlari koordinata
o ‘ qlariga parallel hamda asosi 6 balandligi 8 bo ‘ lgan to ‘ g ‘ ri to ‘ rtburchak
yasaymiz. Uning diagonallarini cheksiz davom ettirib giperbolaning
asimptotalarini hosil qilamiz. Giperbolaning uchlari А
1 (-3;0) va А (3;0) nuqtalar
orqali asimptotalarga nihoyatda yaqinlashib boruvchi silliq chiziqni o ‘ tkazamiz.
Hosil bo ‘ lgan egri chiziq giperbolaning grafigi bo ‘ ladi (9-chizma).
7-misol.
y= k
x funksiyaning grafigi giperbola ekanligi ko ‘ rsatilsin.
Yechish. Koordinata o ‘ qlarini
α= π
4 burchakka burib yangi 0 XY sistemani
hosil qilamiz. Bu holda yangi koordinatalardan eski koordinatalarga o ‘ tish
formulasi.
x= √2
2 (X−Y),y= √2
2 (X +Y)
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. x va y ning ushbu qiymatlarini
y= k
x tenglamaga
qo ‘ ysak

√2
2 (X +Y)= k
√2
2 (X−Y)
; √2
2⋅√2
2 (X+Y)(X−Y)= k yoki
X 2−Y2=2k
Hosil bo ‘ ladi. Butenglama teng tomonligi perbolaning tenglamasi. k >0 bo ‘ lganda
giperbolaning haqiqiy o ‘ qi 0 Х bilan k <0 bo ‘ lganda 0 У o’qbilanustma-usttushadi.
k >0 bo’lgan hol uchun giperbola 10-chizmada tasvirlangan.
10-chizma.
Ox , Oy eski o ‘ qlar 0XY yangi sistemani koordinata burchaklarini bissektrisalari
bo ‘ lgani uchun ular teng tomonli giperbolani asimptotalari bo ‘ ladi. Shunday qilib

KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan,
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak,
vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va
millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz
prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi
millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish
salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va
ma’naviyati bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy
jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har
qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni
yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda,
bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga
erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli
amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning
barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli

“ O‘ qituvchi”,2001-yil.
12.H.Mahmudov. “ Algebra va sonlar nazariyasidan amaliy
mashg‘ulotlar”.F.2002.
13.I.Isroilov, Z.Pashayev “Geometriya” Toshkent -2010-y
14.Погорело в А.В.Аналитик геометрия .Т.1983 г
15.Александров А.Д. Нецветаев Н.Ю. Геометрия . М., Наука 1990 г

1-chizma
( 3)
ko ‘ rinishga ega bo’ladi. Buni (1) bilan taqqoslab unda х 2
bilan y 2
oldidagi
koeffitsientlarni tengligini va koordinatalarni ko ‘p aytmasi xy ni yo’qligini
ko’ramiz, ya’ni
a
11= a
22 va a
12 =0.( 4 )
tenglamada a
11= a
22 va a
12 =0 bo’lsa u aylanani tenglamasi bo‘ladimi
degan savolga javob izlaymiz.
Soddalik uchun a
11= a
22 =1 deb olamiz. Aks holda tenglamani a
11 ga bo‘lib
quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin.
х 2
+ y 2
+ 2 a
13 x+2 a
23 y + a
33 =0 (5)
Bu tenglamani hadlarini o‘zimizga qulay shaklda o‘rinlarini almashtirib to‘la
kvadrat uchun zarur bo‘lgan va ni ham qo‘shamiz ham ayiramiz. U
holda
Yoki
(6)
h osil b o ‘ladi . Mumkin b o ‘lgan uch h olni q araymiz :
1) Bu holda (6) tenglamani (2) bilan taqqoslab u vaunga teng
kuchli (5) tenglama ham markazi nuqtada, radiusi
bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz.
. Bu holda (6) tenglama
ko ‘ rinishga ega bo’ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning
koordinatalari qanoatlantiradi xolos.

repper hosil bo‘lib, chiziq tenglamsi quyidagi sodda ko‘rinishga
keladi:
. (1)
(1)ko‘rinishdagi tenglamani batafsilroq o‘rganamiz.
tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan
quyidagi ikkita hol bo‘lishi mumkin: .
(1) tenglamadagi ozod had ning noldan farqli ekanligidan tenglikni o‘ng
tomoniga olib o‘tib unga bo‘lib yuboramiz:
yoki (2)
1) Agar (2) da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali bo‘lsa,
ekanligi ma‘lum. va belgilash
kiritish orqali (2) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi ifodalanishini
ko‘rsata olamiz:
2) Agarda (2) tenglikda va bir xil ishorali bo‘lsa,
.

Ikkinchi tartibli chiziq dekart repperida (1) umumiy tenglama
bilan berilgan bo‘lsin. Shunday repperni tanlaymizki, unga nisbatan chiziqning
(1) tenglamasi imkon qadar sodda ko‘rinishga ega bo‘lsin. Bunda,
o‘zgaruvchi koordinatalar ko‘paytmasi qatnashgan had bo‘lmasin
birinchi darajali hadlar soni mumkin qadar kam bo‘lsin yoki umuman bo‘lmasin,
mumkin bo‘lsa ozod had qatnashmasin
ushbu shartlar bajariladigan ko‘rinishdagi sodda tenglamani topish kerak bo‘ladi.
Agar, (1) tenglamada bo‘lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz.
repper o‘qlarini O nuqta atrofida ixtiyoriy burchakka burib, yangi
dekart repperini hosil qilamiz. repperdan repperga o‘tish formulalari:
dan x, y ni (1) qo‘ysak, va o‘xshash hadlarni ixchamlasak, chiziqning (1)
tenglamasi re p perda ushbu ko‘rinishni oladi.
(2)
bunda:
(3)
(3) belgilashlardan ko‘rinadiki (2) tenglamadagi koeffitsientlar (1)
tenglamadagi koeffitsientlarga burchakka bog‘liq, shu bilan birga
larning kamida biri noldan farqlidir.

Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirishning metrik masalalari kurs ishi

Купить