Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 1.0MB
Покупки 0
Дата загрузки 05 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI “ Matematika ” yo nalishi 2ʻ 4 . 04 -guruh talabasi qizining “Analitik geometriya” fanidan “Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari : Matematika kafedrasi o’qituvchisi Farg ona 202 ʻ 5 MUNDARIJA KIRISH .......................................................................................................................................................... 2 I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR .................................................................................... 4 1.1.Aylana, ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari ........................................................ 4 1.2. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tushunchasi va ularning ilm-fan va texnologiyadagi o'rni. ... 23 2.2. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish .............................................................................. 39 XULOSA .................................................................................................................................................. 44 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 46 KIRISH “Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim- tarbiyasi deb javob beraman!!! Shavkat Mirziyoyev 2 Bugungi kunda fan va texnika rivoji hayotimizning barcha jabhalarida o‘z aksini topmoqda. Ayniqsa, aniq fanlar — matematika, fizika va texnologiya sohalarida ilmiy yondashuvlarning ahamiyati yildan yilga oshib bormoqda. Matematikaning ajralmas bo‘limi bo‘lgan analitik geometriya esa zamonaviy texnologik va ilmiy sohalarda keng qo‘llanilib, uning nazariy asoslari va amaliy imkoniyatlari doimiy ravishda chuqurlashib bormoqda. Analitik geometriyada ikkinchi tartibli chiziqlarning o‘rganilishi esa alohida ilmiy va amaliy ahamiyat kasb etadi. Ushbu kurs ishi "Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko‘ra yasash" mavzusini atroflicha yoritishga qaratilgan bo‘lib, mazkur sohadagi asosiy nazariy va amaliy yondashuvlarni o‘z ichiga oladi. Ikkinchi tartibli chiziqlar — aylana, ellips, giperbola va parabola — faqat nazariy geometriya doirasida emas, balki real hayotdagi ko‘plab fizikaviy jarayonlar va texnologik modellarni ifodalashda ham keng qo‘llaniladi. Masalan, parabolik antennalar, ellips shaklidagi orbitallar va giperbolik reflektorlar kabi ko‘plab qurilmalar ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalaridan foydalangan holda yaratiladi. Shunday ekan, ushbu chiziqlarning umumiy va kanonik tenglamalari yordamida ularni to‘g‘ri tasvirlash va yechimlar topish metodlarini o‘rganish, zamonaviy fan va texnikaning muhim talablaridan biridir. Kurs ishining dolzarbligi shundan iboratki, analitik geometriyada ikkinchi tartibli chiziqlarning o‘rni beqiyos bo‘lib, ular orqali nafaqat abstrakt nazariyalar o‘rganiladi, balki amaliy masalalar, muhandislik loyihalari va zamonaviy texnologik tizimlarning modellashtirilishi ham amalga oshiriladi. Ikkinchi tartibli chiziqlarni to‘g‘ri tasniflash, koordinatalar sistemasini o‘zgartirish, tenglamalarni kanonik shaklga keltirish va ularning grafik tasvirlarini qurish orqali talaba nafaqat nazariy bilimlarga ega bo‘ladi, balki amaliyotda ham mustahkam poydevorga ega mutaxassisga aylanadi. Ushbu kurs ishining maqsadi - ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalarini to‘liq o‘rganish, ularni klassifikatsiya qilish, grafik ko‘rinishda tasvirlash va real hayotdagi matematik modellar bilan bog‘liqligini tahlil qilishdan iboratdir. Kurs ishi davomida aylana, ellips, giperbola va parabola kabi ikkinchi 3 tartibli chiziqlarning tenglamalari batafsil o‘rganiladi, ularning analitik xossalari, asosiy parametrik ifodalari va geometrik ta'riflari bayon qilinadi. Shuningdek, umumiy tenglamani kanonik shaklga keltirish uchun koordinatalar o‘qlarini burish va ko‘chirish metodlari ham amaliy misollar yordamida tahlil qilinadi. Mazkur kurs ishining ilmiy-metodik asosi sifatida analitik geometriya bo‘yicha yetakchi darsliklar va monografiyalar, xususan, Pafnutiy Chebyshev, Apolloniy kabi matematik olimlarning ishlari hamda zamonaviy analitik geometriya metodologiyasiga oid tadqiqotlar asos qilib olingan. Shu bilan birga, o‘zbek va jahon olimlarining analitik geometriya sohasidagi yutuqlari, amaliy geometriya va dasturlash texnologiyalarida ikkinchi tartibli chiziqlarning qo‘llanishiga oid ishlanmalar ham tahlil qilinadi. Bu esa kurs ishining ilmiy asoslanganligini va amaliy ahamiyatini ta'minlaydi. Kurs ishining tuzilishi ikkita asosiy bobdan iborat: birinchi bobda ikkinchi tartibli tenglamalarning nazariy asoslari va xossalari tahlil qilinadi; ikkinchi bobda ularning yechim usullari, algebraik va analitik metodlar bilan tasnifi ko‘rib chiqiladi va ikkinchi tartibli tenglamalarning real hayotdagi amaliy qo‘llanilishiga, ularni grafik ko‘rinishda chizish va modellashtirishga bag‘ishlanadi. Xususan, zamonaviy raqamli texnologiyalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni tasvirlash metodlari ham ko‘rib chiqiladi. Xulosa qilib aytganda, “Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko‘ra yasash” mavzusi analitik geometriya fanining asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lib, zamonaviy ilmiy-tadqiqot va amaliy faoliyatda keng qo‘llaniladi. I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR 1.1.Aylana, ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari 1-ta’rif. Tekislikning berilgan nuqtasidan bir xil masofada joylashgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga aylana deb ataladi. Tekislikning berilgan nuqtasini aylananing markazi , undan aylanagacha masofani aylananing radiusi deb ataymiz. 4 Markazi O( а ;b ) nuqtada bo ‘ lib radiusi R ga teng aylananing tenglamasini tuzamiz (1 a -chizma). Aylananing ixtiyoriy nuqtasini M ( x;y ) desak aylananing ta’rifiga binoan: Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak, yoki bu tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak (1) kelib chiqadi. Shunday qilib aylananing istalgan M ( x;y ) nuqtasining kooordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirar ekan. Shuningdek aylanaga tegishli bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (1) aylana tenglamasi. U aylananing kanonik (eng sodda) tenglamasi deb ataladi. Xususiy holda aylananing markazi 0 1 ( а ,b ) koordinatalar boshida bo ‘ lsa а =b =0 bo ‘ lib uning tenglamasi (2) ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi (1-chizma). Endi aylananing kanonik tenglamasini ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi bilan taqqoslaymiz. (1) da qavslarni ochib ma ’ lum almashtirishlarni bajarsak u 1-chizma (3) 5 ko‘rinishga ega bo‘ladi. Buni ikkinchi tartibli chiziqni umumiy tenglamasi bilan taqqoslab unda х 2 bilan y 2 oldidagi koeffitsientlarni tengligini va koordinatalarni ko‘paytmasi xy ni yo‘qligini ko‘ramiz, ya’ni va Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasida va bo ‘ lsa u aylanani tenglamasi bo ‘ ladimi degan savolga javob izlaymiz. Soddalik uchun deb olamiz. Aks holda tenglamani ga bo’li quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin. (4) Bu tenglamani hadlarini o’zimizga qulay shaklda o ‘ rinlarini almashtirib to ‘ la kvadrat uchun zarur bo ‘ lgan va ni ham qo ‘ shamiz ham ayiramiz. U holda yoki (5) h osil b o ‘ ladi. Mumkin b o ‘ lgan uch h olni q araymiz : 1) Bu holda (5) tenglamani (1) bilan taqqoslab u va unga teng kuchli (4) tenglama ham markazi nuqtada, radiusi bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz. . Bu holda (5) tenglama ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi xolos. 3) Bu holda (5) tenglama hech qanday egri chiziqni aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy emas. 6 Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi a 11= a 22 va a 12 =0 hamda b o ‘ lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan. 1-misol. x2+y2+2x− 4y− 4= 0 tenglama aylananing tenglamasi ekanligi ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin. Yechish . , a 12 =0 , Demak, berilgan tenglama aylananining umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani (x2+2x+1)+(y2− 4y+4)− 1− 4− 4= 0 ko ‘ rinishda y o zib undan (x+1)2+(y− 2)2= 32 aylananing kanonik tenglamasiga ega bo ‘ lamiz. Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan. Ta’rif . Har bir nuqtasidan tekislikning tayin ikki nuqtasigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdor 2a ga teng tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga ellips deb ataladi. Ta’rifda berilgan tayin ikki nuqta ellipsning fokuslari deyilib, ular orasidagi masofa 2c ga teng. Ellips tenglamasini tuzish uchun absissalar o‘qini fokuslaridan o‘tadigan qilib, ordinatalar o‘qini esa fokuslari o‘rtasidan absissalar o‘qiga perpendikulyar qilib o‘tkazamiz. ellipsning radius vektorlari deyilib, ularning yig‘indisi 2a ga teng. Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M ( x,y ) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Ta’rifga ko ‘ ra M nuqtadan ellipsning fokuslari F 1 va F 2 gacha masofalarning yig ‘ indisi o ‘ zgarmas son 2 a ga teng, ya’ni |⃗ F 1 M | + |⃗ F 2 M | =2a tenglama ellipsning sodda tenglamasidir. 7 m x y 2-chizma Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko ‘ raMF 1= √(x+c)2+y2MF 2= √(x− c)2+y2 bo ‘ lgani uchun √(x+c)2+y2+√(x− c)2+ y2= 2a yoki √(x+c)2+y2= 2a− √(x− c)2+ y2 kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlaymiz: (x+c)2+y2=(2a)2− 2⋅2a√(x− c)2+ y2+(x− c)2+y2; x2+2cx +c2+y2= 4a2− 4a√(x− c)2+y2+x2− 2cx +c2+y2; 4cx = 4a2− 4a√(x− c)2+y2;cx = a2− a√(x− c)2+y2; a2− cx = a√(x− c)2+y2. Buni yana ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlasak a4−2a2cx +c2x2=a2[(x−c)2+y2]; a4− 2a2cx +c2x2= a2[x2−2cx +c2+y2]; a4−2a2cx +c2x2=a2x2− 2a2cx +a2c2+a2y2; a2x2−c2x2+a2y2= a4− a2c2; 8 (a2− c2)x2+a2y2= a2(a2− c2) (6) hosil bo ‘ ladi. Uchburchak ikki tomonining yig ‘ indisi uchinchi tomonidan katta ekanini nazarda tutsak ΔF 1MF 2 dan MF 1 +MF 2 >F 1 F 2 ; 2 a >2 c; a > c ; a 2 - c 2 >0 ( a >0, c >0) bo ‘ ladi. a 2 - c 2 = b 2 deb belgilab uni (6) ga qo ‘ yamiz. U holda b2x2+a2y2= a2b2 yoki buni а 2 b 2 ga bo ‘ lsak (7) kelib chiqadi. Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini koordinatalari (7) tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha ellipsga tegishli bo ‘ lmagan hech bir nuqtani koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (7) ellipsning tenglamasi. U ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. Koordinatalar boshi ellipsning markazi deyiladi. Koordinata o ‘ qlari esa ellipsning simmetriya o ‘ qlari bo ‘ lib xizmat qiladi. Ellipsning fokuslari joylashgan o ‘ q uning fokal o ‘ qi deyiladi. Ellipsning simmetriya o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalari uni uchlari deyiladi. А 1 (- а ;0), А ( а ;0), В 1 (0;- b ), В (0, b ) nuqtalar ellipsning uchlari. а va b sonlar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o ‘ qlari deyiladi. c a nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi va ε orqali belgilanadi. Ellips uchun 0< ε <1 bo ‘ ladi, chunki c<a . Ekssentrisitet ellipsning shaklini izohlaydi. Haqiqatan, а 2 - с 2 =b 2 tenglikni а 2 ga bo ‘ lsak 1− ( c a) 2 = ( b a) 2 yoki ( b a) 2 = 1− ε2 bo ‘ ladi. Bundan ekssentrisitet qanchalik kichik bo ‘ lsa ellipsning kichik yarim o ‘ qi uning katta yarim o ‘ qidan shunchalik kam farq qilishini ko ‘ ramiz. b= а bo ‘ lganda ellips tenglamasi x 2 +y 2 =a 2 ko ‘ rinishiga ega bo ‘ lib ellips aylanaga aylanadi. Bu holda c= √a2− b2= √a2− a2= 0 , bo ‘ lgani uchun ε= 0 a=0 bo ‘ ladi. 9 Demak, aylana ekssentrisiteti nolga teng va fokuslari uning markaziga joylashgan ellips ekan. Endi ellipsni shaklini aniqlaymiz. Uning shaklini avval I–chorakda aniqlaymiz. Ellipsning kanonik tenglamasi (7) ni y ga nisbatan yechsak y2 b2=1− x2 a2; y2= b2 (1− x2 a2); y2= b2 a2(a2− x2); y= b a√a2− x2 bo ‘ ladi, bunda 0< x<a, chunki x>a bo ‘ lganda ildiz ostidagi ifoda manfiy bo ‘ lib u ma’noga ega bo ‘ lmaydi. x 0 dan a gacha o ‘ sganda, y b dan 0 gacha kamayadi. Ellipsning I–chorakdagi bo ‘ lagi koordinatalar o ‘ qlarida joylashgan В (0, b ) va А ( а ;0) nuqtalar bilan chegaralangan yoydan iborat bo ‘ ladi (3–chizma). Ellipsning kanonik tenglamasida х ni – х ga va у ni – у ga o ‘ zgartirilsa tenglama o ‘ zgarmaydi. Bu ellips koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi. Ellipsning ana shu xususiyatiga asoslanib uning shakli 3-chizmada ko ‘ rsatilgandek ekanligiga iqror bo ‘ lamiz. 3 -chizma 2 -misol. tenglamaga ko ‘ ra ikkinchi tartibli egri chiziqning turi aniqlansin va egri chiziq chizilsin. 10 Yechish. Berilgan tenglamani ko ‘ rinishda yozib buni 225 ga bo ‘ lsak9x2 225 +25 y2 225 =1 yoki x2 52+ y2 32= 1 kelib chiqadi. Demak berilgan tenglama yarim o ‘ qlari a =5, b =3 bo ‘ lgan ellipsning tenglamasi ekan (4-chizma). 4 -chizma 3 -misol. 4x2−16 x+9y2−54 y+61 = 0 egri chiziq chizilsin. Yechish. Tenglamani 4(x2−4x)+9(y2−6y)+61 =0; 4(x2−4x+4)+9(y2−6y+9)−16 −81 +61 = 0 ; 4(x− 2)2+9(y−3)2=36 ko ‘ rinishda yozib buni 36 ga bo ‘ lsak (x− 2)2 9 +(y−3)2 4 = 1 yoki (x− 2)2 32 +(y− 3)2 22 = 1 tenglama hosil bo ‘ ladi. ; almashtirish olsak , X2 32+Y2 22=1 kelib chiqadi. 11 5 -chizma Bu ellipsning 0 1 XY sistemaga nisbatan kanonik tenglamasi. Shunday qilib berilgan tenglama ellipsning umumiy tenglamasi ekan. Agar 0 ху eski sistemani 0 1 (2,3) nuqtaga parallel ko ‘ chirilsa ya’ni 0 1 XY sistemaga nisbatan ellipsning tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ lar ekan (5-chizma). 1-ta’rif. Har bir nuqtasidan tekislikning tayin ikki nuqtasigacha bo‘lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati o‘zgarmas miqdor 2a ga teng tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga giperbola deb ataladi. “Giperbola” so‘zi grekcha “ortig‘i bilan olingan” degan ma’noni anglatadi. Tekislikning berilgan nuqtalarini F 1 va F 2 orqali belgilab ularni geperbolaning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2 c va giperbolaning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalarning ayirmasini ±2a orqali belgilaymiz. 0 xy dekart koordinatalar sistemasini xuddi ellipsdagidek, ya’ni 0 x o ‘ qni F 1 , F 2 fokuslaridan o‘tadigan qilib tanlaymiz va koordinatalar boshini F 1 F 2 kesmaning o‘rtasiga joylashtiramiz. U holda fokuslar F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0) koordinatalarga ega bo‘ladi (6-chizma). 12 6 -chizma . Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M( x , y ) giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Ta’rifga binoan giperbolaning M nuqtasidan uning fokuslari F 1 va F 2 gacha masofalarning ayirmasi o ‘ zgarmas son ±2a ga teng, ya’ni ||⃗ F 1 M | − |⃗ F 2 M || =2a Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga binoan MF 1=√(x+c)2+y2 va MF 2= √(x− c)2+y2 bo ‘ lgani uchun √(x+c)2+y2− √(x− c)2+y2=± 2a (9) kelib chiqadi. Ellips tenglamasini chiqarishda bajarilgan amallarga o ‘ xshash amallarni bajarib ( а 2 - с 2 ) х 2 + а 2 у 2 = а 2 ( а 2 - с 2 ) (10) tenglamaga ega bo ‘ lamiz. Ma’lumki, uchburchakning ikki tomonining ayirmasi uchinchi tomonidan kichik. Shunga ko ‘ ra ΔF 1MF 2 dan F 1 M-F 2 M<F 1 F 2 ; 2 а <2 c ; a <c ; a 2 - c 2 <0 ( a >0, c >0) hosil bo ‘ ladi. Shuning uchun a 2 - c 2 =- b 2 yok i c 2 - a 2 = b 2 deb belgilab olamiz. U holda (10) formula -b 2 x 2 + a 2 y 2 =- a 2 b 2 yoki b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 13 ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Buni а 2 b 2 ga bo ‘ lib x2 a2− y2 b2= 1 (11) tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib giperbolaning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini koordinatalari (11) tenglamani qanoatlatirar ekan. Shuningdek giperbolaga tegishli bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko ‘ rsatish mumkin. Demak u giperbolaning tenglamasi. (11) giperbolaning kanonik tenglamasi deb ataladi. Giperbolaning tenglamasida x va y juft darajalari bilan ishtirok etadi. Bu giperbola koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi. Ya’ni qaralayotgan holda koordinata o ‘ qlari giperbolaning simmetriya o ‘ qlari ham bo ‘ ladi. Geperbolaning simmetriya o ‘ qlarini kesishish nuqtasi giperbolaning markazi deb ataladi. Giperbolaning fokuslari joylashgan simmetriya o ‘ qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi. Endi giperbolaning shaklini chizishga harakat qilamiz. Oldin uning shaklini I–chorakda chizamiz. Giperbolaning kanonik tenglamasi (11) dan y2 b2= x2 a2−1; y2 b2= x2− a2 a2 ; y2= b2(x2− a2) a2 ; y= b a√x2−a2 kelib chiqadi, chunki I–chorakda y≥0 . Bunda x≥a , aks holda u ma’noga ega bo ‘ lmaydi (ildiz ostida manfiy son bo ‘ ladi). x α dan + ∞ gacha o ‘ zgarganda у 0 dan + ∞ gacha o ‘ zgaradi. Demak giperbolaning I–chorakdagi qismi 7- chizmada tasvirlangan AM yoydan iborat bo ‘ ladi. Giperbola koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak, uning shakli 7-chizmada tasvirlangan egri chiziqdan iborat bo ‘ ladi. Giperbolaning fokal o ‘ q bilan kesishish nuqtalari uning uchlari deb ataladi. Giperbolaning tenglamasiga у =0 ni qo ‘ ysak х =  а kelib chiqadi. Demak А 1 (- а ;0) va A2 ( а ;0) nuqtalar giperbolaning uchlari bo ‘ ladi . 14 7-chizma Giperbolaning tenglamasi (11) ga х =0 ni qo ‘ ysak , bo ‘ ladi. Bu esa haqiqiy son emas (manfiy sondan kvadrat ildiz chiqmaydi). Demak giperbola 0 y o ‘ q bilan kesishmas ekan. Shuning uchun giperbolaning fokal o ‘ qi haqiqiy o ‘ qi unga perpendikulyar o ‘ qi mavhum o ‘ qi deb ataladi. a va b sonlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o ‘ qlari deyiladi. Giperbolaning M nuqtasi u bo ‘ ylab cheksiz uzoqlashganda shu nuqtadan va to ‘ g ‘ ri chiziqlarning birortasigacha masofa nolga intilishini ko ‘ rsatish mumkin, ya ’ ni giperbolaning koordinatalar boshidan yetarlicha katta masofada joylashgan nuqtalari va to ‘ g ‘ ri chiziqlardan biriga yetarlicha yaqin joylashadi. Koordinatalar boshidan o ‘ tuvchi bu to ‘ g ‘ ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deb ataladi. Giperbolani chizishdan oldin uning asimptotalarini chizish tavsiya etiladi. 15 Markazi koordinatalar boshida bo ‘ lib tomonlari 0х va 0у o ‘ qlarga parallel va mos ravishda 2 a va 2 b ga teng bo ‘ lgan to ‘ g ‘ ri burchakli to ‘ rtburchak yasaymiz. Bu to ‘ rtburchakni giperbolaning asosiy to ‘ rtburchagi deb ataymiz. To ‘ rtburchakni diagonallarini har tarafga cheksiz davom ettirsak giperbolaning asimptotalari hosil bo ‘ ladi(8-chizma).c a nisbat giperbolaning ekssentrisiteti deb ataladi va  orqali belgilanadi. Giperbola uchun c > a bo‘lganligi sababli  > 1 bo‘ladi. Ekssentrisitet giperbolaning shaklini xarakterlaydi. Haqiqatdan, c 2 - a 2 = b 2 tenglamani har ikkala tomonini а 2 ga bo‘lsak ( c a) 2 − 1=( b a) 2 yoki ε2− 1=( b a) 2 kelib chiqadi.  kichrayganda b a nisbat ham kichrayadi. Ammo b a nisbat giperbolaning asosiy to‘rtburchagini shaklini belgilaganligi uchun u giperbolaning ham shaklini belgilaydi.  qanchalik kichik bo ‘ lsa b a nisbat ham ya’ni giperbolaning asimptotalarini burchak koeffitsientlari ham shunchalik kichik bo‘ladi va giperbola 0 х o‘qqa yaqinroq joylashadi. 8-chizma Bu holda giperbolani asosiy to‘rtburchagi 0 х o‘q bo‘ylab cho‘zilgan bo‘ladi. 16 Haqiqiy va mavhum yarim o‘qlari teng giperbola teng tomonli yoki teng yonli deb ataladi. Teng tomonli giperbolaning kanonik tenglamasix2 a2− y2 a2= 1 yoki x2− y2= a 2 ko‘rinishga ega bo‘ladi. y= х va у =- х to ‘ g ‘ ri chiziqlar teng tomonli giperbolaning asimptotalari bo‘lib uning ekssentrisiteti ε= c a= √a2+a2 a = √2 bo ‘ ladi. 4-misol. 16 х 2 -9 у 2 =144 egri chiziq chizilsin. 9-chizma Yechish. Uni har ikkala tomonini 144 ga bo ‘ lsak yoki x2 9− y2 16 =1;x2 32− y2 42=1 kelib chiqadi. Demak qaralayotgan egri chiziq yarim o ‘ qlari a =3 va b =4 bo ‘ lgan giperbola ekan. Markazi koordinatalar boshida bo ‘ lib tomonlari koordinata o ‘ qlariga parallel hamda asosi 6 balandligi 8 bo ‘ lgan to ‘ g ‘ ri to ‘ rtburchak yasaymiz. Uning diagonallarini cheksiz davom ettirib giperbolaning asimptotalarini hosil qilamiz. Giperbolaning uchlari А 1 (-3;0) va А (3;0) nuqtalar 17 orqali asimptotalarga nihoyatda yaqinlashib boruvchi silliq chiziqni o ‘ tkazamiz. Hosil bo ‘ lgan egri chiziq giperbolaning grafigi bo ‘ ladi (9-chizma). 5-misol.y= k x funksiyaning grafigi giperbola ekanligi ko ‘ rsatilsin. Yechish. Koordinata o ‘ qlarini α= π 4 burchakka burib yangi 0 XY sistemani hosil qilamiz. Bu holda yangi koordinatalardan eski koordinatalarga o ‘ tish formulasi ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. x va y ning ushbu qiymatlarini y= k x tenglamaga qo ‘ ysak √2 2 (X +Y)= k √2 2 (X−Y) ; √2 2⋅√2 2 (X+Y)(X−Y)= k yoki X2−Y2=2k Hosil bo ‘ ladi. Bu tenglama teng tomonli giperbolaning tenglamasi. k >0 bo ‘ lganda giperbolaning haqiqiy o ‘ qi 0 Х bilan, k <0 bo ‘ lganda 0 У o ‘ q bilan ustma-ust tushadi. k >0 bo‘lgan hol uchun giperbola 10-chizmada tasvirlangan. 10-chizma. Ox, Oy eski o ‘ qlar 0XY yangi sistemani koordinata burchaklarini bissektrisalari bo ‘ lgani uchun ular teng tomonli giperbolani asimptotalari bo ‘ ladi. 18 Shunday qilib y=k x funksiyaning grafigi asimtotalari 0х va 0у o ‘ qlardan iborat teng tomonli giperbola bo ‘ lar ekan. Ta’rif. Berilgan nuqtadan hamda berilgan to‘g‘ri chiziqdan teng uzoqlikda joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga parabola deb ataladi. Berilgan nuqtani F orqali belgilab uni parabolaning fokusi deb ataymiz. Berilgan to‘g‘ri chiziq parabolaning direktrisasi deb ataladi (Fokus direktrisada yotmaydi deb faraz qilinadi). Fokusdan direktrisagacha masofani p orqali belgilaymiz va uni parabolaning parametri deb ataymiz. Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Abssissalar o‘qini fokusdan direktrisaga perpendikulyar qilib o‘tkazib yo‘nalishini direktrisadan fokusga tomon yo‘naltiramiz. Koordinatalar boshini fokusdan direktrisagacha masofa FR ning qoq o‘rtasiga joylashtiramiz (11-chizma). 11 -chizma Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan fokus koordinatalarga, direktrisa tenglamaga ega bo ‘ ladi. 19 Faraz qilaylik, M ( x;y ) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Parabolaning ta’rifiga binoan M nuqtadan direktrisagacha MN masofa undan fokusgacha MF masofaga teng: MN=MF 11-chizmadan va ekani ravshan. Demak, . Bu tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib ixchamlasak yoki (12) hosil bo‘ladi. Shunday qilib parabolaning istalgan M ( x,y ) nuqtasining koordinatalari (12) tenglamani qanoatlantiradi. Parabolada yotmagan hech bir nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko‘rsatish mumkin. Demak (12) parabolaning tenglamasi ekan. U parabolaning kanonik tenglamasi deb ataladi. Endi kanonik tenglamasiga ko‘ra parabolani shaklini chizamiz. (12) tenglamada y ni – y ga almashtirilsa tenglama o‘zgarmaydi. Bu abssissalar o‘qi parabolaning simmetriya o‘qidan iborat ekanligini bildiradi. (12) tenglamaning chap tomoni manfiy bo‘lmaganligi uchun uning o‘ng tomoni ya’ni x ning ham manfiy bo‘lmasligi kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o‘qning o‘ng tomonida joylashadi. x =0 da y =0. Demak parabola koordinatalar boshidan o‘tadi. x cheksiz o‘sganda y ning absolyut qiymati ham cheksiz o‘sadi. (12) tenglama yordamida aniqlanadigan parabola 12-chizmada tasvirlangan. Parabolaning simmetriya o‘qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi. Parabolaning simmetriya o‘qi bilan kesishish nuqtasi uning uchi deyiladi. Qaralayotgan hol uchun koordinatalar boshi parabolaning uchi bo ‘ ladi. 20 12 -chizma. 6-misol. у 2 =8 х parabola berilgan. Uning direktrisasining tenglamasi yozilsin va fokusi topilsin. Yechish . Berilgan tenglamani parabolaning kanonik tenglamasi (12) bilan taqqoslab , ekanini ko ‘ ramiz. Direktrisa tenglamaga, fokus koordinatalarga ega bo‘lishini hisobga olsak direktrisaning tenglamasi x =-2 va fokus F (2;0) bo‘ladi. Izoh . Fokal o‘qi 0 y o‘qdan iborat parabolaning tenglamasi (13) ko‘rinishga ega bo‘ladi. 7-misol. у =3 х 2 -12 х +16 parabolaning tenglamasi kanonik holga keltirilsin va uning uchi topilsin. Yechish. Tenglamani у =3( х 2 -4 х )+16, у =3( х 2 -4 х +4-4)+16; у =3( х -2) 2 +4; у -4=3( х -2) 2 ko ‘ rinishga keltirib , deb belgilasak, parabolaning tenglamasi 21 kanonik ko ‘ rinishga keladi. , alamashtirish bilan eski sistemani 0 1 (2;4) nuqtaga parallel ko ‘ chirsak, yangi sistemaga nisbatan parabolaning tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Yangi sistemani koordinatalar boshini koordinatalari parabola uchining koordinatalari bo‘ladi, ya’ni , . 8-misol. F (0,4) nuqtadan hamda y =8 to‘g‘ri chiziqdan bir xil uzoqlikda joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rni, egri chiziqning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin va egri chiziq chizilsin. Yechish. М ( х , у ) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Shartga binoan undan y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqqacha masofa va undan F (0,2) nuqtagacha masofa o‘zaro teng, ya’ni 13-chizma.√(x− x)2+(8− y)2 = √(x− 0)2+(y− 4)2 Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak (8- у ) 2 = х 2 +( у -4) 2 yoki qavslarni ochsak , 64-16у+у 2 =х 2 +у 2 -8у+16 yoki 64-16у=х 2 -8у+16 hosil bo ‘ ladi. Tenglamani soddalashti r sak 22 -16 у +8 у = х 2 +16-64, -8 у = х 2 -48 yoki –8 ga bo ‘ lsaky= − 1 8 x2+6 tenglamaga ega bo ‘ lamiz. U 0 y o ‘ qqa simmetrik parabolaning tenglamasi. Endi parabolaning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Parabola tenglamasiga x =0 qiymatni qo‘ysak y =6 kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o‘q bilan 0 1 (0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek parabola tenglamasiga y =0 qiymatini qo‘ysak hosil bo‘ladi. Demak parabola 0 x o‘q bilan (−4√3,0) v а (4√3,0) nuqtalarda kesishar ekan. Agar parabola tenglamasini yoki х 2 =-8( у -6) ko‘rinishda yozib , almashtirish olsak uning tenglamasi kanonik shaklni oladi. Izoh . Aylana, ellips, giperbola va parabola umumiy tenglamalari yordamida berilganda koordinatalar sistemasini parallel ko‘chirish yoki koordinata o‘qlarini burish yordamida umumiy tenglamani yangi sistemaga nisbatan kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin. 1.2. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tushunchasi va ularning ilm-fan va texnologiyadagi o'rni . Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — fizika va muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi. Ularning geometrik xususiyatlari ko‘plab qurilmalar va tizimlarning asosiy elementlari sifatida xizmat qiladi. 1) Parabolik antennalar Parabolik antennalar, ayniqsa, sun'iy yo‘ldosh va radio teleskoplarda signalni to‘plash va yo‘naltirish uchun ishlatiladi. Parabolik shaklning xossasi shundaki, u fokus nuqtasiga tushayotgan barcha nurlarni parallel yo‘nalishda qaytaradi, bu esa signalni kuchaytiradi va aniqlikni oshiradi. 2) Giperbolik sovutgich minoralari 23 Elektr stansiyalarida ishlatiladigan sovutgich minoralari ko‘pincha giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu shakl havo oqimining samarali aylanishini ta'minlab, issiqlikni tezda chiqarishga yordam beradi. 3) Elliptik reflektorlar Elliptik reflektorlar optik tizimlarda, masalan, avtomobil faralarida, yorug‘likni ma'lum bir yo‘nalishda to‘plash uchun ishlatiladi. Ellipsning xossasi shundaki, uning bir fokusidan chiqqan nur ikkinchi fokusga yo‘naltiriladi, bu esa yorug‘likni kerakli yo‘nalishda yo‘naltirishga imkon beradi. Astronomiyada ikkinchi tartibli chiziqlar osmon jismlarining harakatini tushunishda muhim rol o‘ynaydi. 1) Sayyoralar orbitasi Johannes Keplerning qonunlariga ko‘ra, sayyoralar Quyosh atrofida elliptik orbitalarda harakatlanadi. Quyosh ellipsning bir fokusida joylashgan bo‘lib, bu orbitaning markazdan siljiganligini ko‘rsatadi. 2) Kometa trayektoriyasi Kometalar Quyosh tizimiga kirib kelganda, ularning harakati ko‘pincha parabolik yoki giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu trayektoriyalar kometaning Quyoshga nisbatan tezligi va yo‘nalishiga bog‘liq. 3) Radar va GPS tizimlari Radar va GPS tizimlarida signalni yuborish va qabul qilishda parabola va ellips shakllaridan foydalaniladi. Bu shakllar signalning aniqligi va ishonchliligini ta'minlaydi. Zamonaviy dasturiy vositalar ikkinchi tartibli chiziqlarni modellashtirish va vizualizatsiya qilishda keng imkoniyatlar yaratadi. 4) GeoGebra GeoGebra — bu interaktiv geometriya dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi. 24 5) MATLAB MATLAB dasturi matematik modellashtirish va grafik chizmalarni yaratishda keng qo‘llaniladi. U foydalanuvchilarga chiziqlarni chizish, tahlil qilish va ularning xossalarini o‘rganish imkonini beradi. II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNI AMALIY QO’LLANILISHI 25 2.1 Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash . Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari a11x2+2a12 xy +a22 y2+2a13x+2a23 y+a33=0 (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkinchi tartibli chiziq deb ataladi. Bunda a 11 , a 12 , a 22 , a 13 , a 23 , a 33 koyeffitsiyentlar haqiqiy sonlar bo‘lib, a 11 , a 12 , a 22 lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon ko‘rinishida yozamiz). Biz uchta chiziq ellips, giperbola va parabolani o‘rgandik, bu chiziqlar ham ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki tenglamada bo‘lib, qolgan barcha koeffitsiyentlar nol bo‘lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana bo‘lsa, tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi, a 13 =r; a 22 = 1 bo‘lib, qolgan koeffitsiyentlar nol bo‘lsa, tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir. Quyidagi tabiiy savol tug‘iladi: tekislikda ko‘rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog‘liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni to‘la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli g chiziq β = ( O , ⃗ i , ⃗ j) dekart reperida umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo‘lsin. Shunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan g chiziqning tenglamasi mumkin qadar sodda – «kanonik» ko‘rinishga ega bo‘lsin, ya’ni 1) o‘zgaruvchi koordinatalar ko‘paytmasi qatnashgan had bo‘lmasin; 2) birinchi darajali hadlar soni eng oz bo‘lsin (iloji bo‘lsa, ular butunlay qatnashmasin); 3) mumkin bo‘lsa, ozod had qatnashmasin. 26 Agar (1) tenglamada a 12 ≠0 bo‘lsa, soddalashtirishni quydagicha bajaramiz. B reperning o‘qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi β ' =( O ' , ⃗ i ' , ⃗ j ' ) Dekart reperini hosil qilamiz. β reperdan β' reperga o‘tish formulalari {x= x'cos α− y'sin α¿¿¿¿ (2) dan x,y ni ga qo‘ysak va o‘xshash hadlarini ixchamlasak, g chiziqni tenglamasi Б ` reperda ushbu ko‘rinishni oladi: а'11x¿+2a'12x'y'+a'22y'2+2a'13x'+2a'23y'+a'33=0 bunda a'11= a11cos 2α+2a12cos αsin α+a22sin 2α ; a ' 12 = − a 11 cos α sin α + a 12 cos 2 α − a 21 sin 2 α + a 22 cos α sin α ; a ' 22 = a 11 sin 2 α − 2 a 12 cos α sin α + a 22 cos 2 α ; a ' 13 = a 13 cos α + a 23 sin α ; a'23=−a13sin α+a23cos α ; a'33= a33 belgilashlardan ko‘rinadiki, tenglamadagi koeffitsiyentlar tenglamadagi koefitsiyentlarga va  burchakka bog‘liq, shu bilan birga ning kamida biri noldan farqli, chunki  burchakning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni shunday tanlab olamizki, almashtirilgan tenglamadagi a` 12 koeffitsiyent nolga teng bo‘lsin, ya’ni 27 yokiа11cos α+a12sin α cos α = a21 cos α+a22sin α sin α . (3) munosabatni biror  ga tenglab, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: {(a11 − λ)cos α+a12 sin α= 0,¿¿¿¿ Bu sistema bir jinsli, shuning uchun uning determinanti nolga teng ya’ni |a11− λ a12 a21 a22− λ |= 0 yoki λ−(a11+a22)λ+(a11a22− a12 2)=0 (4) bo‘lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo‘ladi. (3) tenglama g chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi. (3 ) tenglamaning ildizlari. λ1,2 = (a11+a22 )± √(a11+a22 )2− 4(a11 a22− a122 ) 2 = (a11+a22 )± √D 2 . bo‘lgani uchun uning diskriminanti: D= (a11+a22)2− 4(a11a22− a12 2)=(a11− a22 )2+4a12 2>0 Demak, (3) tenglamaning  1 ,  2 ildizlari turli va haqiqiydir. {a11 cos α+ a12 sin α= λcos α ¿¿¿¿ (4) dan tengliklarni yoza olamiz. Ularning har birini cos   0 ga bo‘lib va a'12=− (a11cosα +a12sinα )sinα +(a21cosα +a22sinα )cosα =0 , a12=0 (ya’ni a 12 azaldan 0 ga teng ekan) buni hosil qilamiz: tg α= λ− a11 a12 = a21 λ− a22 . (5) munosabatga navbat bilan (5) xarakteristik tenglamaning  1 ,  2 ildizlarini qo‘yamiz: 28 Viyet teoremasiga ko‘ra (5) dan (6)tg α1⋅tg α2= λ1λ2− a11(λ1− λ2)+a112 a122 =− 1⇒|α2− α1|= π 2. Shunga ko ‘ ra tg  O x ` o ‘ qning β dagi burchak koeffitsiyenti bo ‘ lganda tg α2= tg (α1+π 2) Oy o ‘ qining shu reperdagi burchak koeffitsiyenti bo ‘ ladi . U holda Ox` o‘qining i → birlik vektorining koordinatalari bo‘lmish cos  1 , sin  1 , sin α1= tg α1 √1+tg 2α1 , cos α1= 1 √1+tg 2α1 formulalardan, Oy` o‘qning j' → birlik vektorining koordinatalari cos  2 , sin  2, sin α2=sin (α1+π 2)= cos α1,cos α2= cos (α1+π 2)=−sin α1 tengliklardan aniqlanadi.  =  2 bo‘lganda munosabatda bu tengliklarni hadlab qo‘shsak, yoki a ' 11 + a ' 22 = a 11 + a 22 = λ 1 + λ 2 ekanligi, β ' bundan esa a ' 11 = λ 1 , a ' 22 = λ 2 tengliklar kelib chiqadi. Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan chiziqning β' reperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin: (7) Agarda o‘qining burchak koeffitsienti sifatida tg α 2 olinadigan bo‘lsa, (7) tenglamada a ' 11 = λ 2 , a ' 22 = λ 1 o‘zgarish ro‘y beradi. (7) tenglamada λ1 , λ 2 koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘la olmaydi, chunki agar λ1 = λ2=0 bo‘lsa, tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi. 29 Bundan kelib chiqadiki, (7) tenglamani quyidagi 3 xil ko‘rinishga keltirish mumkin. 1) Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni x ' , y' ga nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga keltiramiz. . Bu yerdagi ozod hadlarni a33− a'13 λ1 − a'23 λ2 =a''33 deb belgilaymiz va tenglikning ko‘rinishi bo‘ladi. Reper markazini parallel ko‘chirish formulasi orqali, β' = ( O ' , ⃗ i ' , ⃗ j ' ) reper hosil bo‘lib, chiziq tenglamasi quyidagi sodda ko‘rinishga keladi: . 2) yoki , Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko‘rib chiqiladi shuning uchun bittasini tekshirish yetarli. Birinchi holni qaraymiz: λ1=0(λ1=0) ekanligidan (7) tenglamaning hadlarini y ' ga nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga keltiramiz: , 30 , bunda deb belgilash kiritdik. Ushbu formulalar bo‘yicha koordinatalar sistemasining markazi O nuqtani O ' ( − a ' , a 23 λ 2 ) nuqtaga ko‘chiramiz natijada yangi reperga nisbatan chiziq tenglamasi: ko‘rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi. 3) yoki Har ikki hol ham bir biriga o‘xshash shuning uchun birini ko‘rib chiqamiz. Birinchi holni qaraymiz: shart o‘rinli bo‘lganda (7) tenglama ushbu ko‘rinishni oladi, bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz, yoki , bunda . 31 Ushbu formulalar yordamida β = ( O , ⃗ i , ⃗ j) reperdan β'' = ( O ' , ⃗ i ' , ⃗ j ' ) reperga o‘tamiz. Yangi reperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa, ko‘rinishida bo‘ladi. Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart reperida (1) tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yangi dekart reperini keraklicha tanlash orqali ning tenglamasini yuqoridagi tenglamalarning biriga keltirish mumkin. Oldingi mavzuda keltirilgan ko‘rinishdagi tenglamalarni batafsilroq o‘rganamiz. tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan quyidagi ikkita hol bo‘lishi mumkin: a) . tenglamadagi ozod had ning noldan farqli ekanligidan tenglikni o‘ng tomoniga olib o‘tib unga bo‘lib yuboramiz: yoki (8) 1) Agar (8) da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali bo‘lsa, ekanligi ma’lum. va belgilash kiritish orqali (8) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi ifodalanishini ko‘rsata olamiz: 2) Agarda (8) tenglikda va bir xil ishorali bo‘lsa, . 32 Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi: tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmasada mavhum ellipsni aniqlaydi deyiladi. 3 ) Agar har xil ishorali bo‘lsa, u holda va qarama-qarshi ishorali bo‘lib ularni mos ravishda va ko‘rinishida belgilab, (8) tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz. b) bo‘lsa, u holda tenglamani quyidagicha yozib olamiz: (9) 1) Agar bir xil ishorali bo‘lsa, deylik bo‘lsin. Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, (9) tenglama ko‘rinishi: yoki kabi bo‘ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonidako‘paytuvchilarga ajragani va ular birinchi darajali bo‘lgani uchun to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Ammo ular bitta haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab ularga bitta haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum tog‘ri chiziqlar tenglamasi deyiladi. 33 2) Agar qarama-qarshi ishorali bo‘lsa, kerakli belgilashlarni kiritish orqali (9) ni quyidagicha ifodalaymiz; yoki , , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita haqiqiy to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi. Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi reperda tenglama orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo‘ladi. . Ushbu tenglamada , bo‘lgani uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin: bu yerda deb belgilash kiritsak, ushbu tenglama parabolaning kanonik tenglamasini ifodalaydi. . . tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflashga o‘tamiz. Bu tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar o‘rinli ekanligidan quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: a)a''33≠0. 1) λ 2 va a''33 har xil ishorali bo‘lsa, , −a''33 λ2 >0 bo‘ladi. Tenglama esa − a ' ' 33 λ 2 = a 2 deb belgilash kiritilganda: yoki ko‘rinishni oladi. Bu tenglama o‘zaro parallel ikkita to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi. 34 2) λ2 va a''33 bir xil ishorali bo‘lsa, −a''33 λ2 <0 bo‘ladi. − a ' ' 33 λ 2 = − a 2 deb belgilash kiritib, yoki ko‘rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi. b) a''33=0. Ushbu holda tenglama ko‘rinishini oladi. Shartga ko‘ra ekanligidan yoki . Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli chiziq yangi reperda tenglama bilan ifodalansa yuqoridagi 3 ta chiziqni hosil qilishi mumkin. I, II, III tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq quyidagi to‘qqizta turga bo‘linadi : Kanonik tenglamalar Chiziqlarning nomlari ellips mavhum ellips x2 a2− y2 b2=±1 giperbola kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziq 35 nuqta (koordinata boshida kesishuvchi mavhum ikki to‘g‘ri chiziq)y2=2px parabola y2− a2= 0 turli parallel ikki to‘g‘ri chiziq y2+a2= 0 mavhum parallel ikki to‘g‘ri chiziq y2= 0 ustma – ust tushgan ikki to‘g‘ri chiziq Endi umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni uning tenglamasi bo‘yicha yasashni ko‘raylik. Ikkinchi tartibli chiziq (O,⃗i,⃗j) dekart reperida umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Uni yasash uchun tenglamasini oldingi paragrafda bayon qilingan usullar bo‘yicha soddalashtiramiz: 1) tenglamada a 12  0 bo‘lsa, chiziqning 2) formula bo‘yicha tgα 1 ni, so‘ngra 36 ni hosil qilamiz. Bu bilan reperni α 1 burchakka burishdan hosil qilingan (O,i → `,j → ) reperning i → `, j → koordinatavektorlari aniqlanadi: i → = i → cos α1+ j → sin α1, ,j → =− i → sin α1+⃗jcos α1. 3) Yangi reperda chiziqning tenglamasi x'2+λ2y'2+2a'13x'+2a'23 y'+a33=¿ 0 ko‘rinishda bo‘lib, bunda a ` 13 , a ` 23 koeffitsiyentlar ushbu formulalardan topiladi: B` reperning koordinatalariboshi O ni formuladan topiladigan O‘ nuqtaga ko‘chirish bilan B` reperdan B`` reperga o‘tamiz. B`` reperda chiziqning tenglamasi kanonik ko‘rinishga keladi. Agar tenglamada a 12 =0 bo‘lsa, soddalashtirish koordinatalar boshini ko‘chirishdan iborat, xolos. Bu ishlarni misollarda ko‘ramiz. 9-misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan chiziqning turi va joylashishi aniqlansin: . Yechish . formulaga ko‘ra, λ 2 − ( 0 + 8 ) λ + 0 − 9 = 0 λ2−8λ−9= 0 λ1=9;λ1=−1 tg φ = 9 − 0 3 = 3 sin φ = 3 √ 1 + 9 = 3 √ 10 cos φ = 1 √ 10 Burish formulasiga asosan, x = 1 √ 10 ( x ' − 3 y ' ) y = 1 √ 10 ( 3 x ' + y ' ) 6 10 ( x ' − 3 y ' )( 3 x ' + y ' ) + 8 10 ( 3 x ' + y ' ) 2 − 12 √ 10 ( x ' − 3 y ' ) − 26 √ 10 ( 3 x ' + y ' ) + 11 = 0 9 ( x ' − √ 5 √ 2 ) 2 − ( y ¿ ¿ ' − √ 5 √ 2 ) 2 − 9 = 0 ¿ Bu yerda quyidagicha 37 belgilash kiritsak, tenglama ga keladi. Kanonik tenglamasi esa Markazi quyidagi tenglamadan topiladi:O ' (-1;2) – nuqta chiziq markazi. O ' X o‘qning burchak koeffitsiyenti k = 9 3=3 . Bu ma’lumotlardan foydalanib, giperbolani chizish mumkin. 14-chizma. 38 Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish 2.2. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish Bugungi kunda ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy tarzda yasash uchun turli zamonaviy dasturiy vositalar mavjud. Ushbu vositalar yordamida murakkab tenglamalar asosida chiziqlarning grafik ko‘rinishini tez va aniqlik bilan olish mumkin. Bu esa nafaqat matematik nazariyalarni o‘rganishni yengillashtiradi, balki amaliy muammolarni yechishda ham qulayliklar yaratadi. Python dasturiy muhiti Python dasturlash tili bugungi kunda eng mashhur va keng tarqalgan tillardan biri hisoblanadi. Ayniqsa, matplotlib va numpy kutubxonalari yordamida geometrik shakllarni chizish juda osonlashgan. Python dasturida foydalanuvchi tenglamaning koeffitsiyentlarini kiritib, chiziq shaklini interaktiv tarzda kuzatishi mumkin. MATLAB dasturiy muhiti MATLAB matematik hisob-kitoblar va grafik chizmalar uchun eng kuchli platformalardan biridir. MATLAB’da ikkinchi tartibli tenglamalar grafik ko‘rinishga tezda keltiriladi. Bundan tashqari, MATLAB foydalanuvchilarga grafiklarni interaktiv ravishda tahrirlash, burish va ko‘chirish imkoniyatlarini ham beradi. GeoGebra platformasi GeoGebra — matematika va geometriyani o‘rganish uchun mo‘ljallangan bepul dasturiy ta'minotdir. GeoGebra orqali foydalanuvchi ikkinchi tartibli tenglamani oddiy matn sifatida kiritadi va dastur avtomatik tarzda unga mos grafikni hosil qiladi. GeoGebra interfeysi foydalanuvchilar uchun intuitiv va sodda bo‘lib, chiziqlarning o‘qlar bo‘yicha burilishi, ko‘chirilishi va tasnifi kabi imkoniyatlarni ham beradi. 39 Amaliy qo‘llanish tartibi Amaliyotda ikkinchi tartibli chiziqlarni chizish uchun quyidagi ketma- ketlikda harakat qilinadi: 1. Dastur tanlanadi (Python, MATLAB, GeoGebra va boshqalar). 2. Tenglama koeffitsiyentlari aniqlanadi. 3. Tenglama mos dasturga kiritiladi. 4. Grafik chizma avtomatik tarzda quriladi va foydalanuvchi kerakli manipulyatsiyalarni bajaradi (burish, ko‘chirish, masshtablash va h.k.). Zamonaviy texnologiyalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni yasash jarayoni ancha soddalashgan. Ilgari murakkab hisob-kitoblar talab qilgan chiziqlar bugungi kunda bir necha daqiqa ichida chizilib, real vaqt rejimida o‘rganiladi. Bu esa nafaqat talabalarga o‘quv jarayonini yengillashtiradi, balki muhandislik va ilmiy loyihalarda ham tezkor natijalarga erishish imkoniyatini yaratadi. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — geometriya va analitik geometriyaning muhim elementlaridan hisoblanadi. Ularning umumiy tenglamalari orqali chiziqlarni yasash va tahlil qilish zamonaviy texnologiyalar yordamida ancha soddalashgan. Bugungi kunda bir qator dasturiy vositalar mavjud bo‘lib, ular yordamida ushbu chiziqlarni vizual tarzda ko‘rish va o‘rganish mumkin. 40 GeoGebra — interaktiv geometriya dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi. MATLAB — matematik modellashtirish va grafik chizmalarni yaratishda keng qo‘llaniladi. U foydalanuvchilarga chiziqlarni chizish, tahlil qilish va ularning xossalarini o‘rganish imkonini beradi. Desmos — onlayn grafik kalkulyator bo‘lib, foydalanuvchilarga tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi. Python dasturlash tili va uning Matplotlib kutubxonasi yordamida ham ikkinchi tartibli chiziqlarni chizish va tahlil qilish mumkin. Bu dasturiy vositalar foydalanuvchilarga chiziqlarning grafik ko‘rinishini yaratish va ularni tahlil qilish imkonini beradi. Zamonaviy dasturiy vositalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy yasash va tahlil qilish osonlashgan, bu esa ularni o‘rganishni yanada qiziqarli va samarali qiladi. Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — fizika va muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi. Ularning geometrik xususiyatlari ko‘plab qurilmalar va tizimlarning asosiy elementlari sifatida xizmat qiladi. Parabolik antennalar Parabolik antennalar, ayniqsa, sun'iy yo‘ldosh va radio teleskoplarda signalni to‘plash va yo‘naltirish uchun ishlatiladi. Parabolik shaklning xossasi shundaki, u fokus nuqtasiga tushayotgan barcha nurlarni parallel yo‘nalishda qaytaradi, bu esa signalni kuchaytiradi va aniqlikni oshiradi. Giperbolik sovutgich minoralari Elektr stansiyalarida ishlatiladigan sovutgich minoralari ko‘pincha giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu shakl havo oqimining samarali aylanishini ta'minlab, issiqlikni tezda chiqarishga yordam beradi. 41 Elliptik reflektorlar Elliptik reflektorlar optik tizimlarda, masalan, avtomobil faralarida, yorug‘likni ma'lum bir yo‘nalishda to‘plash uchun ishlatiladi. Ellipsning xossasi shundaki, uning bir fokusidan chiqqan nur ikkinchi fokusga yo‘naltiriladi, bu esa yorug‘likni kerakli yo‘nalishda yo‘naltirishga imkon beradi. Astronomiyada ikkinchi tartibli chiziqlar osmon jismlarining harakatini tushunishda muhim rol o‘ynaydi. Sayyoralar orbitasi Johannes Keplerning qonunlariga ko‘ra, sayyoralar Quyosh atrofida elliptik orbitalarda harakatlanadi. Quyosh ellipsning bir fokusida joylashgan bo‘lib, bu orbitaning markazdan siljiganligini ko‘rsatadi. Kometa trayektoriyasi Kometalar Quyosh tizimiga kirib kelganda, ularning harakati ko‘pincha parabolik yoki giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu trayektoriyalar kometaning Quyoshga nisbatan tezligi va yo‘nalishiga bog‘liq. Radar va GPS tizimlari 42 Radar va GPS tizimlarida signalni yuborish va qabul qilishda parabola va ellips shakllaridan foydalaniladi. Bu shakllar signalning aniqligi va ishonchliligini ta'minlaydi. Zamonaviy dasturiy vositalar ikkinchi tartibli chiziqlarni modellashtirish va vizualizatsiya qilishda keng imkoniyatlar yaratadi. GeoGebra GeoGebra — bu interaktiv geometriya dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi. MATLAB MATLAB dasturi matematik modellashtirish va grafik chizmalarni yaratishda keng qo‘llaniladi. U foydalanuvchilarga chiziqlarni chizish, tahlil qilish va ularning xossalarini o‘rganish imkonini beradi. Desmos Desmos — bu onlayn grafik kalkulyator bo‘lib, foydalanuvchilarga tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi. Blender Blender — bu 3D modellashtirish dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga chiziqlarni uch o‘lchamli ko‘rinishda yaratish imkonini beradi. Bu dastur chiziqlarning fazoviy xossalarini o‘rganishda foydalidir. Ikkinchi tartibli chiziqlar — bu matematikaning muhim bo‘limi bo‘lib, ularning amaliy qo‘llanilishi fizika, muhandislik, astronomiya va texnologiya sohalarida keng tarqalgan. Zamonaviy dasturiy vositalar yordamida bu chiziqlarni modellashtirish va tahlil qilish osonlashgan, bu esa ularni o‘rganishni yanada qiziqarli va samarali qiladi. 43 XULOSA Biz ushbu mavzuni yoritish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni tahlil qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda bu mavzularga oid misol, masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi. Mavzuga to‘xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki, tekislikda chiziqlar bizga o‘rta ta’lim davridan ma’lum bo‘lgan oddiy tog‘ri chiziqdan, sodda funksiyalarning grafiklaridan iborat bo‘libgina qolmay, yana ko‘palab chiziqlarning mavjudligi, ularning ifodalanishi, tenglamalari haqida yaxshi tushunchaga ega bo‘lishimizda ko‘maklashdi. Xususan bizga ma’lum bo‘lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi, oldingi kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o‘rganilgan parabolaning xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin. Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan har qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o‘rgandik. Bunda chiziqning berilgan umimiy tenglamasi ni tahlil qilish, bu tenglamani turli koordinatalar sistemasida ko‘rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o‘rgandik. Aytish joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi chiziqlardan birini ifodalashini ko‘rsatish orqali mavzuni o‘quvchiga tushunarli qilib yoritib berdik. Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — analitik geometriyaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ularning nazariyasi va amaliy qo‘llanilishi zamonaviy fan va texnikaning turli sohalarida keng tarqalgan. Ushbu kurs ishida ushbu chiziqlarning matematik asoslari, ularning xossalari va tasnifi, shuningdek, zamonaviy dasturiy vositalar yordamida ularni amaliy yasash usullari batafsil o‘rganildi. Tadqiqot davomida aniqlanishicha, ikkinchi tartibli chiziqlar fizika, muhandislik, astronomiya va boshqa ko‘plab sohalarda muhim rol o‘ynaydi. Masalan, parabola shakli yorug‘lik va tovush nurlarini fokuslashda, ellips esa 44 sayyoralar orbitasini tasvirlashda qo‘llaniladi. Giperbola esa radar va aloqa tizimlarida signal tarqalishini modellashtirishda ishlatiladi. Zamonaviy texnologiyalar, xususan, GeoGebra, MATLAB, Desmos va Python dasturlari yordamida ushbu chiziqlarni vizual tarzda chizish va tahlil qilish imkoniyati mavjud. Bu dasturiy vositalar nafaqat o‘quv jarayonini yengillashtiradi, balki ilmiy tadqiqotlar va amaliy loyihalarda ham samarali qo‘llaniladi. Xulosa qilib aytganda, ikkinchi tartibli chiziqlarning nazariyasi va amaliy qo‘llanilishi zamonaviy fan va texnikaning ajralmas qismiga aylangan. Ularni chuqur o‘rganish va amaliyotda tatbiq etish nafaqat ilmiy bilimlarni boyitadi, balki real hayotdagi muammolarni hal etishda ham muhim ahamiyatga ega. 45 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti, 2008. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork+1 2. Xudayarov X. Chiziqli algebra va analitik geometriya. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti, 2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti 3. Kucharov O.R. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: Aylana va Ellips. Toshkent Irrigatsiya va Qishloq xo‘jaligini mexanizatsiyalash muhandislari instituti, 2023. TIIAME Staff 4. Narmanov A.Y. Analitik geometriya kursi. Mathnet.uz, 2010. Uniwork+5mathnet.uz+5mathnet.uz+5 5. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. Toshkent, 2005. Ebook TSUE+1Uniwork+1 6. Sharipov A.S. Ikkinchi tartibli chiziqlarning tadbiqlari. Mathnet.uz, 2023. Arxiv.uz+3mathnet.uz+3mathnet.uz+3 7. Muratov Sh. Chizma geometriya. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti, 2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork Elektron manbalar 8. GeoGebra – Interaktiv geometriya dasturi: 9. Desmos – Onlayn grafik kalkulyator: Ilmiy+2TIIAME Staff+2Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+2 10. Python Matplotlib – Grafik chizmalar uchun kutubxona: Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6Arxiv.uz+6Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6 11. Arxiv.uz – Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma'lumot: 12. YouTube – "Ikkinchi tartibli chiziqlar: Aylana, Elips, Giperbola, Parabola" mavzusidagi dars: YouTube+1TIIAME Staff+1 46

Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash

Купить