Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	1.0MB
Покупки	0
Дата загрузки	05 Июнь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

136 Продаж

Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“ Matematika ”
yo nalishi 2ʻ 4 . 04 -guruh talabasi
qizining
“Analitik geometriya” fanidan
“Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari : Matematika kafedrasi
o’qituvchisi
Farg ona 202
ʻ 5

MUNDARIJA
KIRISH .......................................................................................................................................................... 2
I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR .................................................................................... 4
1.1.Aylana, ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari ........................................................ 4
1.2. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tushunchasi va ularning ilm-fan va texnologiyadagi o'rni. ... 23
2.2. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy yasashda zamonaviy
texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish .............................................................................. 39
XULOSA .................................................................................................................................................. 44
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 46
KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
2

Bugungi kunda fan va texnika rivoji hayotimizning barcha jabhalarida o‘z
aksini topmoqda. Ayniqsa, aniq fanlar — matematika, fizika va texnologiya
sohalarida ilmiy yondashuvlarning ahamiyati yildan yilga oshib bormoqda.
Matematikaning ajralmas bo‘limi bo‘lgan analitik geometriya esa zamonaviy
texnologik va ilmiy sohalarda keng qo‘llanilib, uning nazariy asoslari va amaliy
imkoniyatlari doimiy ravishda chuqurlashib bormoqda. Analitik geometriyada
ikkinchi tartibli chiziqlarning o‘rganilishi esa alohida ilmiy va amaliy ahamiyat
kasb etadi. Ushbu kurs ishi "Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko‘ra yasash"
mavzusini atroflicha yoritishga qaratilgan bo‘lib, mazkur sohadagi asosiy nazariy
va amaliy yondashuvlarni o‘z ichiga oladi.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — aylana, ellips, giperbola va parabola — faqat
nazariy geometriya doirasida emas, balki real hayotdagi ko‘plab fizikaviy
jarayonlar va texnologik modellarni ifodalashda ham keng qo‘llaniladi. Masalan,
parabolik antennalar, ellips shaklidagi orbitallar va giperbolik reflektorlar kabi
ko‘plab qurilmalar ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalaridan foydalangan holda
yaratiladi. Shunday ekan, ushbu chiziqlarning umumiy va kanonik tenglamalari
yordamida ularni to‘g‘ri tasvirlash va yechimlar topish metodlarini o‘rganish,
zamonaviy fan va texnikaning muhim talablaridan biridir.
Kurs ishining dolzarbligi shundan iboratki, analitik geometriyada ikkinchi
tartibli chiziqlarning o‘rni beqiyos bo‘lib, ular orqali nafaqat abstrakt nazariyalar
o‘rganiladi, balki amaliy masalalar, muhandislik loyihalari va zamonaviy
texnologik tizimlarning modellashtirilishi ham amalga oshiriladi. Ikkinchi tartibli
chiziqlarni to‘g‘ri tasniflash, koordinatalar sistemasini o‘zgartirish, tenglamalarni
kanonik shaklga keltirish va ularning grafik tasvirlarini qurish orqali talaba nafaqat
nazariy bilimlarga ega bo‘ladi, balki amaliyotda ham mustahkam poydevorga ega
mutaxassisga aylanadi.
Ushbu kurs ishining maqsadi - ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy
tenglamalarini to‘liq o‘rganish, ularni klassifikatsiya qilish, grafik ko‘rinishda
tasvirlash va real hayotdagi matematik modellar bilan bog‘liqligini tahlil qilishdan
iboratdir. Kurs ishi davomida aylana, ellips, giperbola va parabola kabi ikkinchi
3

tartibli chiziqlarning tenglamalari batafsil o‘rganiladi, ularning analitik xossalari,
asosiy parametrik ifodalari va geometrik ta'riflari bayon qilinadi. Shuningdek,
umumiy tenglamani kanonik shaklga keltirish uchun koordinatalar o‘qlarini burish
va ko‘chirish metodlari ham amaliy misollar yordamida tahlil qilinadi.
Mazkur kurs ishining ilmiy-metodik asosi sifatida analitik geometriya
bo‘yicha yetakchi darsliklar va monografiyalar, xususan, Pafnutiy Chebyshev,
Apolloniy kabi matematik olimlarning ishlari hamda zamonaviy analitik
geometriya metodologiyasiga oid tadqiqotlar asos qilib olingan. Shu bilan birga,
o‘zbek va jahon olimlarining analitik geometriya sohasidagi yutuqlari, amaliy
geometriya va dasturlash texnologiyalarida ikkinchi tartibli chiziqlarning
qo‘llanishiga oid ishlanmalar ham tahlil qilinadi. Bu esa kurs ishining ilmiy
asoslanganligini va amaliy ahamiyatini ta'minlaydi.
Kurs ishining tuzilishi ikkita asosiy bobdan iborat: birinchi bobda ikkinchi
tartibli tenglamalarning nazariy asoslari va xossalari tahlil qilinadi; ikkinchi bobda
ularning yechim usullari, algebraik va analitik metodlar bilan tasnifi ko‘rib
chiqiladi va ikkinchi tartibli tenglamalarning real hayotdagi amaliy qo‘llanilishiga,
ularni grafik ko‘rinishda chizish va modellashtirishga bag‘ishlanadi. Xususan,
zamonaviy raqamli texnologiyalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni tasvirlash
metodlari ham ko‘rib chiqiladi.
Xulosa qilib aytganda, “Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko‘ra yasash”
mavzusi analitik geometriya fanining asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lib, zamonaviy
ilmiy-tadqiqot va amaliy faoliyatda keng qo‘llaniladi.
I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR
1.1.Aylana, ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari
1-ta’rif. Tekislikning berilgan nuqtasidan bir xil masofada joylashgan shu
tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga aylana deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtasini aylananing markazi , undan aylanagacha
masofani aylananing radiusi deb ataymiz.
4

Markazi O( а ;b ) nuqtada bo ‘ lib radiusi R ga teng aylananing tenglamasini
tuzamiz (1 a
-chizma). Aylananing ixtiyoriy nuqtasini M ( x;y ) desak aylananing
ta’rifiga binoan:
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak,
yoki bu tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak
(1)
kelib chiqadi. Shunday qilib aylananing istalgan M ( x;y ) nuqtasining
kooordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirar ekan. Shuningdek aylanaga tegishli
bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirmaydi.
Demak (1) aylana tenglamasi. U aylananing kanonik (eng sodda) tenglamasi deb
ataladi.
Xususiy holda aylananing markazi 0
1 ( а ,b ) koordinatalar boshida bo ‘ lsa
а =b =0 bo ‘ lib uning tenglamasi
(2)
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi (1-chizma).
Endi aylananing kanonik tenglamasini ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy
tenglamasi bilan taqqoslaymiz. (1) da qavslarni ochib ma ’ lum almashtirishlarni
bajarsak u
1-chizma
(3)
5

ko‘rinishga ega bo‘ladi. Buni ikkinchi tartibli chiziqni umumiy tenglamasi bilan
taqqoslab unda х 2
bilan y 2
oldidagi koeffitsientlarni tengligini va koordinatalarni
ko‘paytmasi xy ni yo‘qligini ko‘ramiz, ya’ni
va
Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasida va bo ‘ lsa u
aylanani tenglamasi bo ‘ ladimi degan savolga javob izlaymiz.
Soddalik uchun deb olamiz. Aks holda tenglamani ga bo’li
quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin.
(4)
Bu tenglamani hadlarini o’zimizga qulay shaklda o ‘ rinlarini almashtirib to ‘ la
kvadrat uchun zarur bo ‘ lgan va ni ham qo ‘ shamiz ham ayiramiz. U holda
yoki
(5)
h osil b o ‘ ladi. Mumkin b o ‘ lgan uch h olni q araymiz :
1) Bu holda (5) tenglamani (1) bilan taqqoslab u va unga teng
kuchli (4) tenglama ham markazi nuqtada, radiusi
bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz.
. Bu holda (5) tenglama
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning
koordinatalari qanoatlantiradi xolos.
3) Bu holda (5) tenglama hech qanday egri chiziqni
aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy
emas.
6

Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi a
11= a
22 va a
12 =0 hamda
b o ‘ lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan.
1-misol. x2+y2+2x− 4y− 4= 0
tenglama aylananing tenglamasi ekanligi
ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin.
Yechish . , a
12 =0 ,
Demak, berilgan tenglama aylananining umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani
(x2+2x+1)+(y2− 4y+4)− 1− 4− 4= 0
ko ‘ rinishda y o zib undan
(x+1)2+(y− 2)2= 32
aylananing kanonik tenglamasiga ega bo ‘ lamiz.
Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan.
Ta’rif . Har bir nuqtasidan tekislikning tayin ikki nuqtasigacha bo‘lgan
masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdor 2a ga teng tekislik nuqtalarining geometrik
o‘rniga ellips deb ataladi.
Ta’rifda berilgan tayin ikki nuqta ellipsning fokuslari deyilib, ular orasidagi
masofa 2c ga teng. Ellips tenglamasini tuzish uchun absissalar o‘qini fokuslaridan
o‘tadigan qilib, ordinatalar o‘qini esa fokuslari o‘rtasidan absissalar o‘qiga
perpendikulyar qilib o‘tkazamiz. ellipsning radius vektorlari deyilib, ularning
yig‘indisi 2a ga teng.
Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M ( x,y ) ellipsning
ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Ta’rifga ko ‘ ra M nuqtadan ellipsning fokuslari F
1 va F
2
gacha masofalarning yig ‘ indisi o ‘ zgarmas son 2 a ga teng, ya’ni
|⃗
F
1 M |
+ |⃗ F
2 M |
=2a
tenglama ellipsning sodda tenglamasidir.
7

m
x

y
2-chizma
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko ‘ raMF 1= √(x+c)2+y2MF 2= √(x− c)2+y2
bo ‘ lgani uchun
√(x+c)2+y2+√(x− c)2+ y2= 2a
yoki √(x+c)2+y2= 2a− √(x− c)2+ y2
kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib
ixchamlaymiz:
(x+c)2+y2=(2a)2− 2⋅2a√(x− c)2+ y2+(x− c)2+y2;
x2+2cx +c2+y2= 4a2− 4a√(x− c)2+y2+x2− 2cx +c2+y2;
4cx = 4a2− 4a√(x− c)2+y2;cx = a2− a√(x− c)2+y2;
a2− cx = a√(x− c)2+y2.
Buni yana ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlasak
a4−2a2cx +c2x2=a2[(x−c)2+y2]; a4− 2a2cx +c2x2= a2[x2−2cx +c2+y2];
a4−2a2cx +c2x2=a2x2− 2a2cx +a2c2+a2y2; a2x2−c2x2+a2y2= a4− a2c2;
8

(a2− c2)x2+a2y2= a2(a2− c2) (6)
hosil bo ‘ ladi.
Uchburchak ikki tomonining yig ‘ indisi uchinchi tomonidan katta ekanini
nazarda tutsak
ΔF 1MF 2 dan MF
1 +MF
2 >F
1 F
2 ; 2 a >2 c; a > c ; a 2
- c 2
>0 ( a >0, c >0)
bo ‘ ladi.
a 2
- c 2
= b 2
deb belgilab uni (6) ga qo ‘ yamiz. U holda
b2x2+a2y2= a2b2
yoki buni а 2
b 2
ga bo ‘ lsak
(7)
kelib chiqadi. Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini koordinatalari (7)
tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha ellipsga tegishli bo ‘ lmagan hech bir nuqtani
koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (7) ellipsning tenglamasi.
U ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. Koordinatalar boshi ellipsning
markazi deyiladi. Koordinata o ‘ qlari esa ellipsning simmetriya o ‘ qlari bo ‘ lib
xizmat qiladi. Ellipsning fokuslari joylashgan o ‘ q uning fokal o ‘ qi deyiladi.
Ellipsning simmetriya o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalari uni uchlari deyiladi.
А
1 (- а ;0), А ( а ;0), В
1 (0;- b ), В (0, b ) nuqtalar ellipsning uchlari.
а va b sonlar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o ‘ qlari
deyiladi.
c
a nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi va ε orqali belgilanadi. Ellips
uchun 0<
ε <1 bo ‘ ladi, chunki c<a . Ekssentrisitet ellipsning shaklini izohlaydi.
Haqiqatan, а 2
- с 2
=b 2
tenglikni а 2
ga bo ‘ lsak
1− (
c
a)
2
= (
b
a)
2 yoki
(
b
a)
2
= 1− ε2
bo ‘ ladi. Bundan ekssentrisitet qanchalik kichik bo ‘ lsa ellipsning kichik yarim o ‘ qi
uning katta yarim o ‘ qidan shunchalik kam farq qilishini ko ‘ ramiz.
b= а bo ‘ lganda ellips tenglamasi x 2
+y 2
=a 2
ko ‘ rinishiga ega bo ‘ lib ellips
aylanaga aylanadi. Bu holda
c= √a2− b2= √a2− a2= 0 , bo ‘ lgani uchun ε= 0
a=0
bo ‘ ladi.
9

Demak, aylana ekssentrisiteti nolga teng va fokuslari uning markaziga
joylashgan ellips ekan.
Endi ellipsni shaklini aniqlaymiz. Uning shaklini avval I–chorakda
aniqlaymiz. Ellipsning kanonik tenglamasi (7) ni y ga nisbatan yechsak y2
b2=1− x2
a2; y2= b2
(1− x2
a2); y2= b2
a2(a2− x2); y= b
a√a2− x2
bo ‘ ladi, bunda 0< x<a, chunki x>a bo ‘ lganda ildiz ostidagi ifoda manfiy bo ‘ lib u
ma’noga ega bo ‘ lmaydi. x 0 dan a gacha o ‘ sganda, y b dan 0 gacha kamayadi.
Ellipsning I–chorakdagi bo ‘ lagi koordinatalar o ‘ qlarida joylashgan В (0, b ) va
А ( а ;0) nuqtalar bilan chegaralangan yoydan iborat bo ‘ ladi (3–chizma). Ellipsning
kanonik tenglamasida х ni – х ga va у ni – у ga o ‘ zgartirilsa tenglama o ‘ zgarmaydi.
Bu ellips koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi.
Ellipsning ana shu xususiyatiga asoslanib uning shakli 3-chizmada ko ‘ rsatilgandek
ekanligiga iqror bo ‘ lamiz.
3 -chizma
2 -misol. tenglamaga ko ‘ ra ikkinchi tartibli egri
chiziqning turi aniqlansin va egri chiziq chizilsin.
10

Yechish. Berilgan tenglamani ko ‘ rinishda yozib buni
225 ga bo ‘ lsak9x2
225 +25 y2
225 =1
yoki x2
52+ y2
32= 1
kelib chiqadi. Demak berilgan tenglama yarim o ‘ qlari a =5, b =3 bo ‘ lgan ellipsning
tenglamasi ekan (4-chizma).
4 -chizma
3 -misol.
4x2−16 x+9y2−54 y+61 = 0 egri chiziq chizilsin.
Yechish. Tenglamani
4(x2−4x)+9(y2−6y)+61 =0;

4(x2−4x+4)+9(y2−6y+9)−16 −81 +61 = 0 ; 4(x− 2)2+9(y−3)2=36
ko ‘ rinishda yozib buni 36 ga bo ‘ lsak
(x− 2)2
9 +(y−3)2
4 = 1 yoki
(x− 2)2
32 +(y− 3)2
22 = 1
tenglama hosil bo ‘ ladi. ; almashtirish olsak ,
X2
32+Y2
22=1
kelib chiqadi.
11

5 -chizma
Bu ellipsning 0
1 XY sistemaga nisbatan kanonik tenglamasi.
Shunday qilib berilgan tenglama ellipsning umumiy tenglamasi ekan. Agar
0 ху eski sistemani 0
1 (2,3) nuqtaga parallel ko ‘ chirilsa ya’ni 0
1 XY sistemaga
nisbatan ellipsning tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ lar ekan (5-chizma).
1-ta’rif. Har bir nuqtasidan tekislikning tayin ikki nuqtasigacha bo‘lgan
masofalar ayirmasining absolyut qiymati o‘zgarmas miqdor 2a ga teng tekislik
nuqtalarining geometrik o‘rniga giperbola deb ataladi.
“Giperbola” so‘zi grekcha “ortig‘i bilan olingan” degan ma’noni anglatadi.
Tekislikning berilgan nuqtalarini F
1 va F
2 orqali belgilab ularni
geperbolaning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2 c va
giperbolaning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalarning
ayirmasini ±2a orqali belgilaymiz. 0 xy dekart koordinatalar sistemasini xuddi
ellipsdagidek, ya’ni 0 x o ‘ qni F
1 , F
2 fokuslaridan o‘tadigan qilib tanlaymiz va
koordinatalar boshini F
1 F
2 kesmaning o‘rtasiga joylashtiramiz.
U holda fokuslar F
1 (- c ,0), F
2 ( c ,0) koordinatalarga ega bo‘ladi (6-chizma).
12

6 -chizma .
Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M( x , y ) giperbolaning
ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin.
Ta’rifga binoan giperbolaning M nuqtasidan uning fokuslari F
1 va F
2 gacha
masofalarning ayirmasi o ‘ zgarmas son ±2a ga teng, ya’ni
||⃗
F
1 M | − |⃗ F
2 M ||
=2a
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga binoan
MF 1=√(x+c)2+y2
va
MF 2= √(x− c)2+y2 bo ‘ lgani uchun
√(x+c)2+y2− √(x− c)2+y2=± 2a
(9)
kelib chiqadi.
Ellips tenglamasini chiqarishda bajarilgan amallarga o ‘ xshash amallarni
bajarib ( а 2
- с 2
) х 2
+ а 2
у 2
= а 2
( а 2
- с 2
) (10)
tenglamaga ega bo ‘ lamiz. Ma’lumki, uchburchakning ikki tomonining ayirmasi
uchinchi tomonidan kichik. Shunga ko ‘ ra
ΔF 1MF 2
dan
F
1 M-F
2 M<F
1 F
2 ; 2 а <2 c ; a <c ; a 2
- c 2
<0 ( a >0, c >0) hosil bo ‘ ladi. Shuning uchun
a 2
- c 2
=- b 2
yok i c 2
- a 2
= b 2
deb belgilab olamiz. U holda (10) formula
-b 2
x 2
+ a 2
y 2
=- a 2
b 2
yoki b 2
x 2
- a 2
y 2
= a 2
b 2
13

ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Buni а 2
b 2
ga bo ‘ lib x2
a2− y2
b2= 1
(11)
tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib giperbolaning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini
koordinatalari (11) tenglamani qanoatlatirar ekan. Shuningdek giperbolaga tegishli
bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini
ko ‘ rsatish mumkin. Demak u giperbolaning tenglamasi. (11) giperbolaning
kanonik tenglamasi deb ataladi. Giperbolaning tenglamasida x va y juft darajalari
bilan ishtirok etadi. Bu giperbola koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligidan
dalolat beradi.
Ya’ni qaralayotgan holda koordinata o ‘ qlari giperbolaning simmetriya
o ‘ qlari ham bo ‘ ladi.
Geperbolaning simmetriya o ‘ qlarini kesishish nuqtasi giperbolaning
markazi deb ataladi.
Giperbolaning fokuslari joylashgan simmetriya o ‘ qi uning fokal o ‘ qi deb
ataladi.
Endi giperbolaning shaklini chizishga harakat qilamiz. Oldin uning shaklini
I–chorakda chizamiz.
Giperbolaning kanonik tenglamasi (11) dan
y2
b2= x2
a2−1; y2
b2= x2− a2
a2 ; y2= b2(x2− a2)
a2 ; y= b
a√x2−a2
kelib chiqadi, chunki I–chorakda
y≥0 . Bunda x≥a , aks holda u ma’noga ega
bo ‘ lmaydi (ildiz ostida manfiy son bo ‘ ladi). x
α dan + ∞
gacha o ‘ zgarganda
у 0 dan +
∞ gacha o ‘ zgaradi. Demak giperbolaning I–chorakdagi qismi 7-
chizmada tasvirlangan AM yoydan iborat bo ‘ ladi.
Giperbola koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak, uning
shakli 7-chizmada tasvirlangan egri chiziqdan iborat bo ‘ ladi.
Giperbolaning fokal o ‘ q bilan kesishish nuqtalari uning uchlari deb ataladi.
Giperbolaning tenglamasiga у =0 ni qo ‘ ysak х =  а kelib chiqadi. Demak А
1 (- а ;0)
va
A2 ( а ;0) nuqtalar giperbolaning uchlari bo ‘ ladi .
14

7-chizma
Giperbolaning tenglamasi (11) ga х =0 ni qo ‘ ysak ,
bo ‘ ladi. Bu esa haqiqiy son emas (manfiy sondan kvadrat ildiz chiqmaydi). Demak
giperbola 0 y o ‘ q bilan kesishmas ekan.
Shuning uchun giperbolaning fokal o ‘ qi haqiqiy o ‘ qi unga perpendikulyar
o ‘ qi mavhum o ‘ qi deb ataladi.
a va b sonlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim
o ‘ qlari deyiladi.
Giperbolaning M nuqtasi u bo ‘ ylab cheksiz uzoqlashganda shu nuqtadan
va
to ‘ g ‘ ri chiziqlarning birortasigacha masofa nolga intilishini
ko ‘ rsatish mumkin, ya ’ ni giperbolaning koordinatalar boshidan yetarlicha katta
masofada joylashgan nuqtalari va to ‘ g ‘ ri chiziqlardan biriga
yetarlicha yaqin joylashadi. Koordinatalar boshidan o ‘ tuvchi bu to ‘ g ‘ ri chiziqlar
giperbolaning asimptotalari deb ataladi.
Giperbolani chizishdan oldin uning asimptotalarini chizish tavsiya etiladi.
15

Markazi koordinatalar boshida bo ‘ lib tomonlari 0х va 0у o ‘ qlarga parallel va
mos ravishda 2 a va 2 b ga teng bo ‘ lgan to ‘ g ‘ ri burchakli to ‘ rtburchak yasaymiz. Bu
to ‘ rtburchakni giperbolaning asosiy to ‘ rtburchagi deb ataymiz.
To ‘ rtburchakni diagonallarini har tarafga cheksiz davom ettirsak
giperbolaning asimptotalari hosil bo ‘ ladi(8-chizma).c
a
nisbat giperbolaning ekssentrisiteti deb ataladi va  orqali belgilanadi.
Giperbola uchun c > a bo‘lganligi sababli
 > 1 bo‘ladi.
Ekssentrisitet giperbolaning shaklini xarakterlaydi. Haqiqatdan, c 2
- a 2
= b 2
tenglamani har ikkala tomonini а 2
ga bo‘lsak
(
c
a)
2
− 1=(
b
a)
2 yoki
ε2− 1=(
b
a)
2
kelib chiqadi.
 kichrayganda
b
a nisbat ham kichrayadi. Ammo
b
a nisbat
giperbolaning asosiy to‘rtburchagini shaklini belgilaganligi uchun u giperbolaning
ham shaklini belgilaydi.
 qanchalik kichik bo ‘ lsa
b
a nisbat ham ya’ni
giperbolaning asimptotalarini burchak koeffitsientlari ham shunchalik kichik
bo‘ladi va giperbola 0 х o‘qqa yaqinroq joylashadi.
8-chizma
Bu holda giperbolani asosiy to‘rtburchagi 0 х o‘q bo‘ylab cho‘zilgan bo‘ladi.
16

Haqiqiy va mavhum yarim o‘qlari teng giperbola teng tomonli yoki teng yonli
deb ataladi. Teng tomonli giperbolaning kanonik tenglamasix2
a2− y2
a2= 1
yoki
x2− y2= a
2
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
y= х va у =- х to ‘ g ‘ ri chiziqlar teng tomonli giperbolaning asimptotalari bo‘lib
uning ekssentrisiteti
ε= c
a= √a2+a2
a = √2 bo ‘ ladi.
4-misol. 16 х 2
-9 у 2
=144 egri chiziq chizilsin.
9-chizma
Yechish. Uni
har ikkala tomonini
144 ga bo ‘ lsak
yoki
x2
9− y2
16 =1;x2
32− y2
42=1
kelib chiqadi. Demak qaralayotgan egri chiziq yarim o ‘ qlari a =3 va b =4 bo ‘ lgan
giperbola ekan. Markazi koordinatalar boshida bo ‘ lib tomonlari koordinata
o ‘ qlariga parallel hamda asosi 6 balandligi 8 bo ‘ lgan to ‘ g ‘ ri to ‘ rtburchak
yasaymiz. Uning diagonallarini cheksiz davom ettirib giperbolaning
asimptotalarini hosil qilamiz. Giperbolaning uchlari А
1 (-3;0) va А (3;0) nuqtalar
17

orqali asimptotalarga nihoyatda yaqinlashib boruvchi silliq chiziqni o ‘ tkazamiz.
Hosil bo ‘ lgan egri chiziq giperbolaning grafigi bo ‘ ladi (9-chizma).
5-misol.y= k
x funksiyaning grafigi giperbola ekanligi ko ‘ rsatilsin.
Yechish. Koordinata o ‘ qlarini
α= π
4 burchakka burib yangi 0 XY sistemani hosil
qilamiz. Bu holda yangi koordinatalardan eski koordinatalarga o ‘ tish formulasi
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. x va y ning ushbu qiymatlarini
y= k
x tenglamaga qo ‘ ysak
√2
2 (X +Y)= k
√2
2 (X−Y)
; √2
2⋅√2
2 (X+Y)(X−Y)= k
yoki
X2−Y2=2k
Hosil bo ‘ ladi. Bu tenglama teng tomonli giperbolaning tenglamasi. k >0 bo ‘ lganda
giperbolaning haqiqiy o ‘ qi 0 Х bilan, k <0 bo ‘ lganda 0 У o ‘ q bilan ustma-ust tushadi.
k >0 bo‘lgan hol uchun giperbola 10-chizmada tasvirlangan.
10-chizma.
Ox, Oy eski o ‘ qlar 0XY yangi sistemani koordinata burchaklarini
bissektrisalari bo ‘ lgani uchun ular teng tomonli giperbolani asimptotalari bo ‘ ladi.
18

Shunday qilib y=k
x funksiyaning grafigi asimtotalari 0х va 0у o ‘ qlardan iborat
teng tomonli giperbola bo ‘ lar ekan.
Ta’rif. Berilgan nuqtadan hamda berilgan to‘g‘ri chiziqdan teng uzoqlikda
joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga parabola deb ataladi.
Berilgan nuqtani F orqali belgilab uni parabolaning fokusi deb ataymiz.
Berilgan to‘g‘ri chiziq parabolaning direktrisasi deb ataladi (Fokus direktrisada
yotmaydi deb faraz qilinadi).
Fokusdan direktrisagacha masofani p orqali belgilaymiz va uni
parabolaning parametri deb ataymiz.
Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Abssissalar o‘qini
fokusdan direktrisaga perpendikulyar qilib o‘tkazib yo‘nalishini direktrisadan
fokusga tomon yo‘naltiramiz.
Koordinatalar boshini fokusdan direktrisagacha masofa FR ning qoq
o‘rtasiga joylashtiramiz (11-chizma).
11 -chizma
Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan fokus
koordinatalarga, direktrisa tenglamaga ega bo ‘ ladi.
19

Faraz qilaylik, M ( x;y ) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Parabolaning
ta’rifiga binoan M nuqtadan direktrisagacha MN masofa undan fokusgacha MF
masofaga teng: MN=MF
11-chizmadan va
ekani ravshan.
Demak, .
Bu tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib ixchamlasak
yoki (12)
hosil bo‘ladi.
Shunday qilib parabolaning istalgan M ( x,y ) nuqtasining koordinatalari (12)
tenglamani qanoatlantiradi. Parabolada yotmagan hech bir nuqtaning
koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko‘rsatish mumkin. Demak
(12) parabolaning tenglamasi ekan. U parabolaning kanonik tenglamasi deb
ataladi.
Endi kanonik tenglamasiga ko‘ra parabolani shaklini chizamiz. (12)
tenglamada y ni – y ga almashtirilsa tenglama o‘zgarmaydi. Bu abssissalar o‘qi
parabolaning simmetriya o‘qidan iborat ekanligini bildiradi. (12) tenglamaning
chap tomoni manfiy bo‘lmaganligi uchun uning o‘ng tomoni ya’ni x ning ham
manfiy bo‘lmasligi kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o‘qning o‘ng tomonida
joylashadi. x =0 da y =0. Demak parabola koordinatalar boshidan o‘tadi.
x cheksiz o‘sganda y ning absolyut qiymati ham cheksiz o‘sadi. (12)
tenglama yordamida aniqlanadigan parabola 12-chizmada tasvirlangan.
Parabolaning simmetriya o‘qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi.
Parabolaning simmetriya o‘qi bilan kesishish nuqtasi uning uchi deyiladi.
Qaralayotgan hol uchun koordinatalar boshi parabolaning uchi bo ‘ ladi.
20

12 -chizma.
6-misol. у 2
=8 х parabola berilgan. Uning direktrisasining tenglamasi
yozilsin va fokusi topilsin.
Yechish . Berilgan tenglamani parabolaning kanonik tenglamasi (12) bilan
taqqoslab , ekanini ko ‘ ramiz. Direktrisa
tenglamaga, fokus
koordinatalarga ega bo‘lishini hisobga olsak direktrisaning tenglamasi
x =-2 va fokus F (2;0) bo‘ladi.
Izoh . Fokal o‘qi 0 y o‘qdan iborat parabolaning tenglamasi
(13)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
7-misol. у =3 х 2
-12 х +16 parabolaning tenglamasi kanonik holga keltirilsin va
uning uchi topilsin.
Yechish. Tenglamani
у =3( х 2
-4 х )+16, у =3( х 2
-4 х +4-4)+16; у =3( х -2) 2
+4; у -4=3( х -2) 2
ko ‘ rinishga keltirib , deb belgilasak, parabolaning tenglamasi
21

kanonik ko ‘ rinishga keladi. , alamashtirish bilan eski
sistemani 0
1 (2;4) nuqtaga parallel ko ‘ chirsak, yangi sistemaga nisbatan
parabolaning tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Yangi sistemani
koordinatalar boshini koordinatalari parabola uchining koordinatalari bo‘ladi, ya’ni
, .
8-misol. F (0,4) nuqtadan hamda y =8 to‘g‘ri chiziqdan bir xil uzoqlikda
joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rni, egri chiziqning koordinata
o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin va egri chiziq chizilsin.
Yechish. М ( х , у ) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Shartga binoan
undan y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqqacha masofa va undan F (0,2)
nuqtagacha masofa o‘zaro teng, ya’ni
13-chizma.√(x− x)2+(8− y)2
= √(x− 0)2+(y− 4)2
Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak (8- у ) 2
= х 2
+( у -4) 2
yoki qavslarni ochsak ,
64-16у+у 2
=х 2
+у 2
-8у+16 yoki 64-16у=х 2
-8у+16
hosil bo ‘ ladi. Tenglamani soddalashti r sak
22

-16 у +8 у = х 2
+16-64, -8 у = х 2
-48 yoki –8 ga bo ‘ lsaky= − 1
8
x2+6
tenglamaga ega bo ‘ lamiz. U 0 y o ‘ qqa simmetrik parabolaning tenglamasi.
Endi parabolaning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz.
Parabola tenglamasiga x =0 qiymatni qo‘ysak y =6 kelib chiqadi. Demak parabola
0 y o‘q bilan 0
1 (0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek parabola tenglamasiga y =0
qiymatini qo‘ysak
hosil bo‘ladi. Demak parabola 0 x o‘q bilan
(−4√3,0) v а (4√3,0) nuqtalarda kesishar
ekan.
Agar parabola tenglamasini yoki х 2
=-8( у -6) ko‘rinishda yozib ,
almashtirish olsak uning tenglamasi kanonik shaklni oladi.
Izoh . Aylana, ellips, giperbola va parabola umumiy tenglamalari yordamida
berilganda koordinatalar sistemasini parallel ko‘chirish yoki koordinata o‘qlarini
burish yordamida umumiy tenglamani yangi sistemaga nisbatan kanonik
ko‘rinishga keltirish mumkin.
1.2. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tushunchasi va ularning ilm-fan
va texnologiyadagi o'rni .
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — fizika
va muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi. Ularning geometrik xususiyatlari
ko‘plab qurilmalar va tizimlarning asosiy elementlari sifatida xizmat qiladi.
1) Parabolik antennalar
Parabolik antennalar, ayniqsa, sun'iy yo‘ldosh va radio teleskoplarda signalni
to‘plash va yo‘naltirish uchun ishlatiladi. Parabolik shaklning xossasi shundaki, u
fokus nuqtasiga tushayotgan barcha nurlarni parallel yo‘nalishda qaytaradi, bu
esa signalni kuchaytiradi va aniqlikni oshiradi.
2) Giperbolik sovutgich minoralari
23

Elektr stansiyalarida ishlatiladigan sovutgich minoralari ko‘pincha
giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu shakl havo oqimining samarali aylanishini
ta'minlab, issiqlikni tezda chiqarishga yordam beradi.
3) Elliptik reflektorlar
Elliptik reflektorlar optik tizimlarda, masalan, avtomobil faralarida,
yorug‘likni ma'lum bir yo‘nalishda to‘plash uchun ishlatiladi. Ellipsning xossasi
shundaki, uning bir fokusidan chiqqan nur ikkinchi fokusga yo‘naltiriladi, bu esa
yorug‘likni kerakli yo‘nalishda yo‘naltirishga imkon beradi.
Astronomiyada ikkinchi tartibli chiziqlar osmon jismlarining harakatini
tushunishda muhim rol o‘ynaydi.
1) Sayyoralar orbitasi
Johannes Keplerning qonunlariga ko‘ra, sayyoralar Quyosh atrofida elliptik
orbitalarda harakatlanadi. Quyosh ellipsning bir fokusida joylashgan bo‘lib, bu
orbitaning markazdan siljiganligini ko‘rsatadi.
2) Kometa trayektoriyasi
Kometalar Quyosh tizimiga kirib kelganda, ularning harakati ko‘pincha
parabolik yoki giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu trayektoriyalar kometaning
Quyoshga nisbatan tezligi va yo‘nalishiga bog‘liq.
3) Radar va GPS tizimlari
Radar va GPS tizimlarida signalni yuborish va qabul qilishda parabola va ellips
shakllaridan foydalaniladi. Bu shakllar signalning aniqligi va ishonchliligini
ta'minlaydi.
Zamonaviy dasturiy vositalar ikkinchi tartibli chiziqlarni modellashtirish va
vizualizatsiya qilishda keng imkoniyatlar yaratadi.
4) GeoGebra
GeoGebra — bu interaktiv geometriya dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga
tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur
o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi.
24

5) MATLAB
MATLAB dasturi matematik modellashtirish va grafik chizmalarni
yaratishda keng qo‘llaniladi. U foydalanuvchilarga chiziqlarni chizish, tahlil qilish
va ularning xossalarini o‘rganish imkonini beradi.
II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNI AMALIY
QO’LLANILISHI
25

2.1 Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga
ko’ra yasash .
Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari a11x2+2a12 xy +a22 y2+2a13x+2a23 y+a33=0
(1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkinchi tartibli chiziq deb
ataladi. Bunda a
11 , a
12 , a
22 , a
13 , a
23 , a
33 koyeffitsiyentlar haqiqiy sonlar bo‘lib, a
11 ,
a
12 , a
22 lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon
ko‘rinishida yozamiz).
Biz uchta chiziq ellips, giperbola va parabolani o‘rgandik, bu chiziqlar ham
ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki tenglamada bo‘lib,
qolgan barcha koeffitsiyentlar nol bo‘lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu
shartlarda yana bo‘lsa, tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi,
a
13 =r; a
22 = 1 bo‘lib, qolgan koeffitsiyentlar nol bo‘lsa, tenglama parabolaning
kanonik tenglamasidir.
Quyidagi tabiiy savol tug‘iladi: tekislikda ko‘rilgan bu chiziqlardan boshqa
yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat
qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining
olinishiga bog‘liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar sistemasini tegishlicha
tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni to‘la geometrik tavsiflab
chiqamiz. Ikkinchi tartibli
g chiziq β = ( O , ⃗ i , ⃗ j)
dekart reperida umumiy tenglamasi
bilan ifodalangan bo‘lsin. Shunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan
g chiziqning
tenglamasi mumkin qadar sodda – «kanonik» ko‘rinishga ega bo‘lsin, ya’ni
1) o‘zgaruvchi koordinatalar ko‘paytmasi qatnashgan had bo‘lmasin;
2) birinchi darajali hadlar soni eng oz bo‘lsin (iloji bo‘lsa, ular butunlay
qatnashmasin);
3) mumkin bo‘lsa, ozod had qatnashmasin.
26

Agar (1) tenglamada a
12 ≠0 bo‘lsa, soddalashtirishni quydagicha bajaramiz. B
reperning o‘qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi β '
=(
O ' , ⃗ i '
, ⃗ j ' ) Dekart reperini hosil qilamiz. β reperdan β' reperga o‘tish formulalari
{x= x'cos α− y'sin α¿¿¿¿
(2)
dan x,y ni ga qo‘ysak va o‘xshash hadlarini ixchamlasak, g chiziqni tenglamasi Б `
reperda ushbu ko‘rinishni oladi:
а'11x¿+2a'12x'y'+a'22y'2+2a'13x'+2a'23y'+a'33=0
bunda
a'11= a11cos 2α+2a12cos αsin α+a22sin 2α
;
a '
12 = − a
11 cos α sin α + a
12 cos 2
α − a
21 sin 2
α + a
22 cos α sin α
;
a '
22 = a
11 sin 2
α − 2 a
12 cos α sin α + a
22 cos 2
α
;
a '
13 = a
13 cos α + a
23 sin α
;
a'23=−a13sin α+a23cos α
;
a'33= a33

belgilashlardan ko‘rinadiki, tenglamadagi koeffitsiyentlar
tenglamadagi koefitsiyentlarga va  burchakka bog‘liq, shu bilan birga
ning kamida biri noldan farqli, chunki
 burchakning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni shunday tanlab olamizki,
almashtirilgan tenglamadagi a`
12 koeffitsiyent nolga teng bo‘lsin, ya’ni
27

yokiа11cos α+a12sin α
cos α =
a21 cos α+a22sin α
sin α .
(3)
munosabatni biror  ga tenglab, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
{(a11 − λ)cos α+a12 sin α= 0,¿¿¿¿
Bu sistema bir jinsli, shuning uchun uning determinanti nolga teng ya’ni
|a11− λ a12
a21 a22− λ
|= 0
yoki
λ−(a11+a22)λ+(a11a22− a12
2)=0 (4)
bo‘lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo‘ladi.
(3) tenglama g chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
(3 ) tenglamaning ildizlari.
λ1,2 =
(a11+a22 )± √(a11+a22 )2− 4(a11 a22− a122 )
2 =
(a11+a22 )± √D
2 .
bo‘lgani uchun uning diskriminanti:
D= (a11+a22)2− 4(a11a22− a12
2)=(a11− a22 )2+4a12
2>0
Demak, (3) tenglamaning 
1 , 
2 ildizlari turli va haqiqiydir.
{a11 cos α+ a12 sin α= λcos α ¿¿¿¿
(4) dan tengliklarni yoza olamiz. Ularning har birini cos   0 ga bo‘lib
va
a'12=− (a11cosα +a12sinα )sinα +(a21cosα +a22sinα )cosα =0
, a12=0 (ya’ni a
12 azaldan 0
ga teng ekan) buni hosil qilamiz:
tg α=
λ− a11
a12
=
a21
λ− a22
. (5)
munosabatga navbat bilan (5) xarakteristik tenglamaning 
1 , 
2 ildizlarini
qo‘yamiz:
28

Viyet teoremasiga ko‘ra (5) dan
(6)tg α1⋅tg α2= λ1λ2− a11(λ1− λ2)+a112
a122 =− 1⇒|α2− α1|= π
2.
Shunga ko ‘ ra tg  O x ` o ‘ qning
β dagi burchak koeffitsiyenti bo ‘ lganda
tg α2= tg (α1+π
2) Oy
o ‘ qining shu reperdagi burchak koeffitsiyenti bo ‘ ladi . U
holda Ox` o‘qining
i
→ birlik vektorining koordinatalari bo‘lmish cos 
1 , sin 
1 ,
sin α1=
tg α1
√1+tg 2α1
, cos α1= 1
√1+tg 2α1
formulalardan, Oy` o‘qning
j'
→ birlik vektorining koordinatalari cos 
2 , sin 
2,
sin α2=sin (α1+π
2)= cos α1,cos α2= cos (α1+π
2)=−sin α1
tengliklardan aniqlanadi.  = 
2 bo‘lganda
munosabatda bu tengliklarni hadlab qo‘shsak,
yoki
a '
11 + a '
22 = a
11 + a
22 = λ
1 + λ
2 ekanligi, β '
bundan esa a '
11 = λ
1 , a '
22 = λ
2 tengliklar kelib
chiqadi.
Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan
chiziqning
β' reperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
(7)
Agarda o‘qining burchak koeffitsienti sifatida tg α
2
olinadigan bo‘lsa, (7)
tenglamada
a '
11 = λ
2 , a '
22 = λ
1 o‘zgarish ro‘y beradi.
(7) tenglamada
λ1 , λ
2 koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘la olmaydi,
chunki agar
λ1 = λ2=0 bo‘lsa, tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi.
29

Bundan kelib chiqadiki, (7) tenglamani quyidagi 3 xil ko‘rinishga keltirish
mumkin.
1)
Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni
x '
, y' ga nisbatan to‘la kvadrat
tenglamaga keltiramiz.
.
Bu yerdagi ozod hadlarni
a33− a'13
λ1
− a'23
λ2
=a''33 deb belgilaymiz va tenglikning
ko‘rinishi
bo‘ladi.
Reper markazini parallel ko‘chirish formulasi orqali,
β'
= (
O ' , ⃗ i '
, ⃗ j ' ) reper hosil bo‘lib, chiziq tenglamasi quyidagi sodda ko‘rinishga
keladi:
.
2) yoki ,
Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko‘rib chiqiladi shuning uchun bittasini
tekshirish yetarli.
Birinchi holni qaraymiz:
λ1=0(λ1=0)
ekanligidan (7) tenglamaning hadlarini y '
ga nisbatan to‘la kvadrat
tenglamaga keltiramiz:
,
30

,
bunda deb belgilash kiritdik.
Ushbu
formulalar bo‘yicha koordinatalar sistemasining markazi O nuqtani O ' ( − a '
, a
23
λ
2 )
nuqtaga ko‘chiramiz natijada yangi reperga nisbatan chiziq tenglamasi:

ko‘rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi.
3) yoki
Har ikki hol ham bir biriga o‘xshash shuning uchun birini ko‘rib chiqamiz.
Birinchi holni qaraymiz:
shart o‘rinli bo‘lganda (7) tenglama ushbu ko‘rinishni oladi,
bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz,
yoki
,
bunda .
31

Ushbu formulalar yordamida β = ( O , ⃗ i , ⃗ j)
reperdan β'' = (
O ' , ⃗ i '
, ⃗ j ' ) reperga
o‘tamiz. Yangi reperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa,

ko‘rinishida bo‘ladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart reperida (1) tenglama bilan
berilgan bo‘lsa, yangi dekart reperini keraklicha tanlash orqali ning
tenglamasini yuqoridagi tenglamalarning biriga keltirish mumkin.
Oldingi mavzuda keltirilgan ko‘rinishdagi tenglamalarni batafsilroq
o‘rganamiz.

tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan
quyidagi ikkita hol bo‘lishi mumkin:
a) . tenglamadagi ozod had ning noldan farqli ekanligidan
tenglikni o‘ng tomoniga olib o‘tib unga bo‘lib yuboramiz:
yoki
(8)
1) Agar (8) da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali
bo‘lsa, ekanligi ma’lum. va
belgilash kiritish orqali (8) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi
ifodalanishini ko‘rsata olamiz:
2) Agarda (8) tenglikda va bir xil ishorali bo‘lsa, .
32

Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi:
tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmasada
mavhum ellipsni
aniqlaydi deyiladi.
3 ) Agar har xil ishorali bo‘lsa, u holda va qarama-qarshi
ishorali bo‘lib ularni mos ravishda va ko‘rinishida
belgilab,
(8) tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz.
b) bo‘lsa, u holda tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
(9)
1) Agar bir xil ishorali bo‘lsa, deylik bo‘lsin.
Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, (9) tenglama ko‘rinishi:
yoki
kabi bo‘ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonidako‘paytuvchilarga ajragani
va ular birinchi darajali bo‘lgani uchun to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Ammo ular bitta
haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab ularga
bitta haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum tog‘ri chiziqlar tenglamasi
deyiladi.
33

2) Agar qarama-qarshi ishorali bo‘lsa, kerakli belgilashlarni kiritish
orqali (9) ni quyidagicha ifodalaymiz;
yoki
, , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi
ikkita haqiqiy to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi.
Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi reperda tenglama
orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo‘ladi.
.
Ushbu tenglamada , bo‘lgani uchun tenglamani
quyidagicha yozish mumkin:
bu yerda deb belgilash kiritsak,
ushbu tenglama parabolaning kanonik tenglamasini ifodalaydi.
. .
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflashga o‘tamiz.
Bu tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar
o‘rinli ekanligidan quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
a)a''33≠0.
1) λ
2 va
a''33 har xil ishorali bo‘lsa, ,
−a''33
λ2
>0 bo‘ladi. Tenglama esa
− a ' '
33
λ
2 = a 2
deb belgilash kiritilganda:
yoki
ko‘rinishni oladi. Bu tenglama o‘zaro parallel ikkita to‘g‘ri chiziqni
ifodalaydi.
34

2) λ2 va a''33 bir xil ishorali bo‘lsa,
−a''33
λ2
<0 bo‘ladi. − a ' '
33
λ
2 = − a 2
deb belgilash
kiritib,
yoki
ko‘rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to‘g‘ri
chiziqni ifodalaydi deyiladi.
b)
a''33=0. Ushbu holda tenglama ko‘rinishini oladi.
Shartga ko‘ra ekanligidan
yoki .
Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi
deyiladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq yangi reperda tenglama bilan
ifodalansa yuqoridagi 3 ta chiziqni hosil qilishi mumkin.
I, II, III tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq quyidagi to‘qqizta
turga bo‘linadi :
Kanonik tenglamalar Chiziqlarning nomlari
ellips
mavhum ellips
x2
a2− y2
b2=±1
giperbola
kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziq
35

nuqta (koordinata boshida kesishuvchi mavhum ikki
to‘g‘ri chiziq)y2=2px
parabola
y2− a2= 0
turli parallel ikki to‘g‘ri chiziq

y2+a2= 0 mavhum parallel ikki to‘g‘ri chiziq
y2= 0
ustma – ust tushgan ikki to‘g‘ri chiziq
Endi umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni uning
tenglamasi bo‘yicha yasashni ko‘raylik. Ikkinchi tartibli chiziq
(O,⃗i,⃗j) dekart
reperida umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Uni yasash uchun tenglamasini
oldingi paragrafda bayon qilingan usullar bo‘yicha soddalashtiramiz:
1) tenglamada a
12  0 bo‘lsa, chiziqning
2) formula bo‘yicha tgα
1 ni, so‘ngra
36

ni hosil qilamiz. Bu bilan reperni α
1 burchakka burishdan hosil qilingan (O,i
→
`,j
→ )
reperning
i
→
`, j
→ koordinatavektorlari aniqlanadi:
i
→
= i
→
cos α1+ j
→
sin α1, ,j
→
=− i
→
sin α1+⃗jcos α1.
3) Yangi reperda chiziqning tenglamasi
x'2+λ2y'2+2a'13x'+2a'23 y'+a33=¿
0
ko‘rinishda bo‘lib, bunda a `
13 , a `
23 koeffitsiyentlar ushbu formulalardan
topiladi: B` reperning koordinatalariboshi
O ni formuladan topiladigan O‘
nuqtaga ko‘chirish bilan B` reperdan B`` reperga o‘tamiz. B`` reperda chiziqning
tenglamasi kanonik ko‘rinishga keladi. Agar tenglamada a
12 =0 bo‘lsa,
soddalashtirish koordinatalar boshini ko‘chirishdan iborat, xolos. Bu ishlarni
misollarda ko‘ramiz.
9-misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan chiziqning turi va joylashishi
aniqlansin:
.
Yechish . formulaga ko‘ra,
λ 2
−
( 0 + 8 ) λ + 0 − 9 = 0
λ2−8λ−9= 0
λ1=9;λ1=−1
tg φ
= 9 − 0
3 = 3
sin φ = 3 √
1 + 9 = 3 √
10 cos φ = 1 √
10
Burish formulasiga asosan,
x = 1
√
10 ( x '
− 3 y '
)
y = 1
√
10 ( 3 x '
+ y '
)
6
10
( x '
− 3 y ' )(
3 x '
+ y ' )
+ 8
10 ( 3 x '
+ y ' ) 2
− 12
√
10
( x '
− 3 y ' )
− 26
√
10
( 3 x '
+ y ' )
+ 11 = 0
9
( x '
−
√ 5
√
2 ) 2
− ( y
¿ ¿ ' −
√ 5
√
2 ) 2
− 9 = 0 ¿
Bu yerda quyidagicha
37

belgilash kiritsak, tenglama
ga keladi.
Kanonik tenglamasi esa
Markazi quyidagi tenglamadan topiladi:O '
(-1;2) – nuqta chiziq markazi. O '
X o‘qning burchak koeffitsiyenti
k =
9
3=3 .
Bu ma’lumotlardan foydalanib, giperbolani chizish mumkin.
14-chizma.
38

Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy
yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish
2.2. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy
yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish
Bugungi kunda ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy tarzda yasash uchun turli
zamonaviy dasturiy vositalar mavjud. Ushbu vositalar yordamida murakkab
tenglamalar asosida chiziqlarning grafik ko‘rinishini tez va aniqlik bilan olish
mumkin. Bu esa nafaqat matematik nazariyalarni o‘rganishni yengillashtiradi,
balki amaliy muammolarni yechishda ham qulayliklar yaratadi.
Python dasturiy muhiti
Python dasturlash tili bugungi kunda eng mashhur va keng tarqalgan tillardan
biri hisoblanadi. Ayniqsa, matplotlib va numpy kutubxonalari yordamida
geometrik shakllarni chizish juda osonlashgan. Python dasturida foydalanuvchi
tenglamaning koeffitsiyentlarini kiritib, chiziq shaklini interaktiv tarzda kuzatishi
mumkin.
MATLAB dasturiy muhiti
MATLAB matematik hisob-kitoblar va grafik chizmalar uchun eng kuchli
platformalardan biridir. MATLAB’da ikkinchi tartibli tenglamalar grafik
ko‘rinishga tezda keltiriladi. Bundan tashqari, MATLAB foydalanuvchilarga
grafiklarni interaktiv ravishda tahrirlash, burish va ko‘chirish imkoniyatlarini ham
beradi.
GeoGebra platformasi
GeoGebra — matematika va geometriyani o‘rganish uchun mo‘ljallangan
bepul dasturiy ta'minotdir. GeoGebra orqali foydalanuvchi ikkinchi tartibli
tenglamani oddiy matn sifatida kiritadi va dastur avtomatik tarzda unga mos
grafikni hosil qiladi. GeoGebra interfeysi foydalanuvchilar uchun intuitiv va sodda
bo‘lib, chiziqlarning o‘qlar bo‘yicha burilishi, ko‘chirilishi va tasnifi kabi
imkoniyatlarni ham beradi.
39

Amaliy qo‘llanish tartibi
Amaliyotda ikkinchi tartibli chiziqlarni chizish uchun quyidagi ketma-
ketlikda harakat qilinadi:
1. Dastur tanlanadi (Python, MATLAB, GeoGebra va boshqalar).
2. Tenglama koeffitsiyentlari aniqlanadi.
3. Tenglama mos dasturga kiritiladi.
4. Grafik chizma avtomatik tarzda quriladi va foydalanuvchi kerakli
manipulyatsiyalarni bajaradi (burish, ko‘chirish, masshtablash va
h.k.).
Zamonaviy texnologiyalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni yasash
jarayoni ancha soddalashgan. Ilgari murakkab hisob-kitoblar talab qilgan chiziqlar
bugungi kunda bir necha daqiqa ichida chizilib, real vaqt rejimida o‘rganiladi. Bu
esa nafaqat talabalarga o‘quv jarayonini yengillashtiradi, balki muhandislik va
ilmiy loyihalarda ham tezkor natijalarga erishish imkoniyatini yaratadi.
Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy
yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana —
geometriya va analitik geometriyaning muhim elementlaridan hisoblanadi.
Ularning umumiy tenglamalari orqali chiziqlarni yasash va tahlil qilish zamonaviy
texnologiyalar yordamida ancha soddalashgan. Bugungi kunda bir qator dasturiy
vositalar mavjud bo‘lib, ular yordamida ushbu chiziqlarni vizual tarzda ko‘rish va
o‘rganish mumkin.
40

GeoGebra — interaktiv geometriya dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga
tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur
o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi.
MATLAB — matematik modellashtirish va grafik chizmalarni yaratishda
keng qo‘llaniladi. U foydalanuvchilarga chiziqlarni chizish, tahlil qilish va
ularning xossalarini o‘rganish imkonini beradi.
Desmos — onlayn grafik kalkulyator bo‘lib, foydalanuvchilarga
tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur
o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi.
Python dasturlash tili va uning Matplotlib kutubxonasi yordamida ham
ikkinchi tartibli chiziqlarni chizish va tahlil qilish mumkin. Bu dasturiy vositalar
foydalanuvchilarga chiziqlarning grafik ko‘rinishini yaratish va ularni tahlil qilish
imkonini beradi.
Zamonaviy dasturiy vositalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy
yasash va tahlil qilish osonlashgan, bu esa ularni o‘rganishni yanada qiziqarli va
samarali qiladi.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — fizika va
muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi. Ularning geometrik xususiyatlari ko‘plab
qurilmalar va tizimlarning asosiy elementlari sifatida xizmat qiladi.
Parabolik antennalar
Parabolik antennalar, ayniqsa, sun'iy yo‘ldosh va radio teleskoplarda signalni
to‘plash va yo‘naltirish uchun ishlatiladi. Parabolik shaklning xossasi shundaki, u
fokus nuqtasiga tushayotgan barcha nurlarni parallel yo‘nalishda qaytaradi, bu esa
signalni kuchaytiradi va aniqlikni oshiradi.
Giperbolik sovutgich minoralari
Elektr stansiyalarida ishlatiladigan sovutgich minoralari ko‘pincha giperbolik
shaklda bo‘ladi. Bu shakl havo oqimining samarali aylanishini ta'minlab, issiqlikni
tezda chiqarishga yordam beradi.
41

Elliptik reflektorlar
Elliptik reflektorlar optik tizimlarda, masalan, avtomobil faralarida,
yorug‘likni ma'lum bir yo‘nalishda to‘plash uchun ishlatiladi. Ellipsning xossasi
shundaki, uning bir fokusidan chiqqan nur ikkinchi fokusga yo‘naltiriladi, bu esa
yorug‘likni kerakli yo‘nalishda yo‘naltirishga imkon beradi.
Astronomiyada ikkinchi tartibli chiziqlar osmon jismlarining harakatini
tushunishda muhim rol o‘ynaydi.
Sayyoralar orbitasi
Johannes Keplerning qonunlariga ko‘ra, sayyoralar Quyosh atrofida elliptik
orbitalarda harakatlanadi. Quyosh ellipsning bir fokusida joylashgan bo‘lib, bu
orbitaning markazdan siljiganligini ko‘rsatadi.
Kometa trayektoriyasi
Kometalar Quyosh tizimiga kirib kelganda, ularning harakati ko‘pincha
parabolik yoki giperbolik shaklda bo‘ladi. Bu trayektoriyalar kometaning
Quyoshga nisbatan tezligi va yo‘nalishiga bog‘liq.
Radar va GPS tizimlari
42

Radar va GPS tizimlarida signalni yuborish va qabul qilishda parabola va
ellips shakllaridan foydalaniladi. Bu shakllar signalning aniqligi va ishonchliligini
ta'minlaydi.
Zamonaviy dasturiy vositalar ikkinchi tartibli chiziqlarni modellashtirish va
vizualizatsiya qilishda keng imkoniyatlar yaratadi.
GeoGebra
GeoGebra — bu interaktiv geometriya dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga
tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur
o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi.
MATLAB
MATLAB dasturi matematik modellashtirish va grafik chizmalarni yaratishda
keng qo‘llaniladi. U foydalanuvchilarga chiziqlarni chizish, tahlil qilish va
ularning xossalarini o‘rganish imkonini beradi.
Desmos
Desmos — bu onlayn grafik kalkulyator bo‘lib, foydalanuvchilarga
tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur
o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi.
Blender
Blender — bu 3D modellashtirish dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga
chiziqlarni uch o‘lchamli ko‘rinishda yaratish imkonini beradi. Bu dastur
chiziqlarning fazoviy xossalarini o‘rganishda foydalidir.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — bu matematikaning muhim bo‘limi bo‘lib,
ularning amaliy qo‘llanilishi fizika, muhandislik, astronomiya va texnologiya
sohalarida keng tarqalgan. Zamonaviy dasturiy vositalar yordamida bu chiziqlarni
modellashtirish va tahlil qilish osonlashgan, bu esa ularni o‘rganishni yanada
qiziqarli va samarali qiladi.
43

XULOSA
Biz ushbu mavzuni yoritish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni
tahlil qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda bu
mavzularga oid misol, masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi.
Mavzuga to‘xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki, tekislikda
chiziqlar bizga o‘rta ta’lim davridan ma’lum bo‘lgan oddiy tog‘ri chiziqdan, sodda
funksiyalarning grafiklaridan iborat bo‘libgina qolmay, yana ko‘palab
chiziqlarning mavjudligi, ularning ifodalanishi, tenglamalari haqida yaxshi
tushunchaga ega bo‘lishimizda ko‘maklashdi.
Xususan bizga ma’lum bo‘lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi,
oldingi kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o‘rganilgan parabolaning
xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin.
Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan
har qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o‘rgandik.
Bunda chiziqning berilgan umimiy tenglamasi
ni tahlil qilish, bu tenglamani turli
koordinatalar sistemasida ko‘rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday
bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o‘rgandik. Aytish
joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi
chiziqlardan birini ifodalashini ko‘rsatish orqali mavzuni o‘quvchiga tushunarli
qilib yoritib berdik.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — analitik
geometriyaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ularning nazariyasi va amaliy
qo‘llanilishi zamonaviy fan va texnikaning turli sohalarida keng tarqalgan. Ushbu
kurs ishida ushbu chiziqlarning matematik asoslari, ularning xossalari va tasnifi,
shuningdek, zamonaviy dasturiy vositalar yordamida ularni amaliy yasash usullari
batafsil o‘rganildi.
Tadqiqot davomida aniqlanishicha, ikkinchi tartibli chiziqlar fizika,
muhandislik, astronomiya va boshqa ko‘plab sohalarda muhim rol o‘ynaydi.
Masalan, parabola shakli yorug‘lik va tovush nurlarini fokuslashda, ellips esa
44

sayyoralar orbitasini tasvirlashda qo‘llaniladi. Giperbola esa radar va aloqa
tizimlarida signal tarqalishini modellashtirishda ishlatiladi.
Zamonaviy texnologiyalar, xususan, GeoGebra, MATLAB, Desmos va
Python dasturlari yordamida ushbu chiziqlarni vizual tarzda chizish va tahlil qilish
imkoniyati mavjud. Bu dasturiy vositalar nafaqat o‘quv jarayonini yengillashtiradi,
balki ilmiy tadqiqotlar va amaliy loyihalarda ham samarali qo‘llaniladi.
Xulosa qilib aytganda, ikkinchi tartibli chiziqlarning nazariyasi va amaliy
qo‘llanilishi zamonaviy fan va texnikaning ajralmas qismiga aylangan. Ularni
chuqur o‘rganish va amaliyotda tatbiq etish nafaqat ilmiy bilimlarni boyitadi, balki
real hayotdagi muammolarni hal etishda ham muhim ahamiyatga ega.
45

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va
o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati nashriyoti, 2008. Jizzax Davlat Pedagogika
Universiteti+1Uniwork+1
2. Xudayarov X. Chiziqli algebra va analitik geometriya. Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti, 2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti
3. Kucharov O.R. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: Aylana va Ellips. Toshkent
Irrigatsiya va Qishloq xo‘jaligini mexanizatsiyalash muhandislari instituti,
2023. TIIAME Staff
4. Narmanov A.Y. Analitik geometriya kursi. Mathnet.uz, 2010.
Uniwork+5mathnet.uz+5mathnet.uz+5
5. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. Toshkent, 2005. Ebook TSUE+1Uniwork+1
6. Sharipov A.S. Ikkinchi tartibli chiziqlarning tadbiqlari. Mathnet.uz, 2023.
Arxiv.uz+3mathnet.uz+3mathnet.uz+3
7. Muratov Sh. Chizma geometriya. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti,
2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork
Elektron manbalar
8. GeoGebra – Interaktiv geometriya dasturi:
9. Desmos – Onlayn grafik kalkulyator:
Ilmiy+2TIIAME Staff+2Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+2
10. Python Matplotlib – Grafik chizmalar uchun kutubxona:
Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6Arxiv.uz+6Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti+6
11. Arxiv.uz – Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma'lumot:
12. YouTube – "Ikkinchi tartibli chiziqlar: Aylana, Elips, Giperbola,
Parabola" mavzusidagi dars:
YouTube+1TIIAME Staff+1
46

Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash

Купить

Похожие документы
Akslantirishlar
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli
Masalaning ob’ektiv va sub’ektiv tuzilishi
Matematika o‘qitish metodikasi 3-sinflar uchun
ikki karrali integrallar