Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 603.9KB
Покупки 2
Дата загрузки 11 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Ikkinchi tur xosmas integrallar

Купить
O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti «Matematik analiz va differensial tenglamalar» kafedrasi «Matematik analiz» fanidan Kurs ishi Mavzu: Ikkinchi tur xosmas integrallar Bajardi: 2- kurs 23.04-guruhi talabasi Ilmiy rahbar : o‘qituvchi Farg‘ona – 202 5 REJA: Kirish Asosiy qism 1. Birinchi tur xosmas integrallar 2. Ikkinchi tur xosmas integralining ta’rifi va matematik formulalari 3. Ikkinchi tur xosmas integralining xossalari va hisoblash usullari 4. Ikkinchi tur xosmas integraliga doir ba’zi misollar Xulosa Foydalanilgan manbalar 2 Kirish Matematika fanining eng asosiy va chuqur bo‘limlaridan biri bo‘lgan matematik analiz zamonaviy ilm-fan va texnikaning asosiy asbobi hisoblanadi. Ayniqsa, integrallar nazariyasi orqali murakkab hodisalarni matematik jihatdan ifodalash, modellashtirish va tahlil qilish mumkin. Biroq har bir matematik modelda oddiy, ya’ni xos integrallarni qo‘llash imkoniyati mavjud emas. Chunki ba’zi hollarda integrallanuvchi funksiya cheksiz qiymatlarga ega bo‘ladi yoki integrallash oraliqlari cheksiz chegaraga ega bo‘ladi. Shunday holatlarda xosmas integrallar tushunchasi zarur bo‘ladi. Xosmas integrallar o‘z navbatida birinchi tur va ikkinchi tur xosmas integrallarga ajratiladi. Ushbu kurs ishida aynan ikkinchi tur xosmas integrallarga alohida e ’tibor qaratilgan. Bu turdagi integrallar, odatda, funksiyaning oraliqdagi biror nuqtada yoki chekkaviy nuqtada cheksiz bo‘lishi tufayli aniqlanadi. Ularni tahlil qilish va hisoblash jarayoni odatdagi integralga nisbatan murakkabroq bo‘lib, limitlar nazariyasi, uzluksizlik, va taqqoslash usullari kabi analizning chuqur tushunchalariga tayanadi. Mavzuning dolzarbligi: Zamonaviy fan-texnikaning jadal rivojlanishi bilan birga, noaniq va chegaralanmagan jarayonlar bilan ishlash zaruriyati ortib bormoqda. Masalan, kvant fizikasi, elektromagnit maydonlar, statistik fizika, hamda sun ’iy intellekt algoritmlarida ishlatiladigan matematik modellar ko‘pincha xosmas integralga asoslanadi. Ayniqsa, ikkinchi tur xosmas integrallar real hayotdagi modellashtirish masalalarida — signal kuchining cheksiz nuqtadagi kamayishi, issiqlik oqimlarining to‘plangan nuqtalardagi o‘zgarishi, va boshqa shunga o‘xshash hodisalarda keng qo‘llaniladi. Ilmiy yangilik: So‘nggi yillarda xosmas integrallarning qo‘llanish doirasi kengayib bormoqda. Xususan, kompyuter matematikasi va sonli analiz sohalarida, xosmas integrallarni raqamli hisoblash algoritmlari yordamida aniq va samarali hisoblash metodlari ishlab chiqilmoqda. Shuningdek, bu integrallar orqali cheksizlikka yaqin nuqtalardagi xatti-harakatlar chuqur o‘rganilmoqda va bu esa zamonaviy ilm-fan uchun yangi yo‘nalishlar ochmoqda. 3 Mazkur mavzuni tanlashimning asosiy sababi — matematik analizning chuqur mohiyatini tushunish hamda uni real hayotdagi amaliy masalalarga qanday tatbiq etish mumkinligini anglashga bo‘lgan qiziqishimdir. Xosmas integrallar, ayniqsa, ikkinchi tur integrallar meni har doim o‘zining g ‘ayrioddiy, ammo juda mantiqiy tuzilishi bilan qiziqtirgan. Ular orqali matematikadagi cheksizlik tushunchasini chuqurroq tushunish, tahlil qilish va aniq misollar orqali yoritish imkoniyati paydo bo‘ladi. Bu esa nafaqat nazariy bilimimni oshiradi, balki kelajakdagi ilmiy yoki muhandislik faoliyatim uchun puxta tayyorgarlik bo‘ladi, deb hisoblayman. Xulosa sifatida: Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi — ikkinchi tur xosmas integrallarning nazariy asoslarini o‘rganish, ularning yechish usullarini tahlil qilish, va real masalalardagi qo‘llanilishini ko‘rsatishdan iborat. Bu mavzu orqali men nafaqat matematik bilimimni mustahkamlash, balki tahliliy fikrlash ko‘nikmalarimni ham rivojlantirishni maqsad qilganman. 4 1. Birinchi tur xosmas integrallar Integral bayonida integrallash oralig ‘ining chekliligi va funksiyaning chegaralanganligi bevosita ishtirok etdi. Endi aniq integral tushunchasini: 1) cheksiz oraliqda aniqlangan funksiyalarga; 2) chegaralanmagan funksiyalarga nisbatan umumlashtirilishini qaraymiz. Odatda, bunday integrallar xosmas interallar deyiladi. ,funksiya oraliqda berilgan bo‘lib, uning istalgan qismida integrallanuvchi bo‘lsin . Ravshanki, integral o‘zgaruvchiga bog ‘liq bo‘ladi: 1-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali deyiladi va (1.1) kabi belgilanadi: Agar da funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, (1.1) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar da funksiyaning limiti cheksiz yoki funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, (2.2.1) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi. Masalan, ushbu 5 xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki va demak, Funksiyaning va oraliqlar bo‘yicha xosmas integrallari va ularning yaqinlashuvchiligi (uzoqlashuvchiligi) yuqoridagi kabi ta’riflanadi: , Masalan, ushbu xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki va demak, . Shunday qilib, xosmas integrallar avval o‘rganilgan integraldan limitga o‘tish amali orqali yuzaga kelar ekan. Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi. Integralning absalyut yaqinlashuvchiligi. Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi shartlarini keltiramiz. 6 Faraz qilaylik, ,funksiya oraliqda berilgan bo‘lib, da bo‘lsin. U holda uchun bo‘lganda Demak, funksiya da o‘suvchi bo‘ladi. 1-teorema. ,funksiya oraliqda berilgan bo‘lib, da bo‘lsin. Bu funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali ning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, funksiyaning yuqoridan chegaralangan, ya’ni bo‘lishi zarur va etarli. Zarurligi. Aytaylik, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda mavjud va chekli bo‘lib, bo‘ladi. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko‘ra, da 7 ya’ni bo‘ladi. Yetarliligi. Aytaylik, bo‘lsin. Unda monoton funksiyaning limiti haqidagi teoremaga ko‘ra ushbu limit mavjud va chekli bo‘ladi. Demak, xosmas integral yaqinlashuvchi. 1-eslatma. Agar da bo‘lib, funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. 2-teorema. Faraz qilaylik, va funksiyalari oraliqda berilgan bo‘lib, da bo‘lsin. Agar xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. 8 Aytaylik, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Ravshanki, bo‘ladi. Bundan ning yuqoridan chegaralanganligi kelib chiqadi. 1- teoremaga ko‘ra xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Aytaylik, xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo‘lib, tengsizlikka ko‘ra funksiya ham yuqoridan chegaralanmagan bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan eslatmaga binoan xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. 1-misol. Ushbu xosmas integralni yaqinlashuvchanlikka tekshirilsin. Ravshanki, integral ostidagi funksiya 9 bo‘ladi. Ayni paytda bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Quyidagi xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lganligi uchun 2- teoremaga ko‘ra berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Endi oraliqda berilgan ixtiyoriy funksiyaning xosmas integrali ning yaqinlashuvchiligi haqidagi teoremani keltiramiz. 3-teorema. (Koshi teoremasi). Ushbu xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun bo‘lganda tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli. Ma’lumki, xosmas integralning yaqinlashuvchiligi da 10 funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishidan iborat. Funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishi haqidagi Koshi teoremasigabinoan, : ya’ni bo‘lishi zarur va yetarli edi. Bu nazariy ahamiyatga ega bo‘lgan muhim teorema bo‘lib, undan xosmas integrallarning yaqinlashuvchanligini aniqlashda foydalanish ko‘pincha qiyin bo‘ladi. Xosmas integrallarning yaqinlashuvchanligini aniqlashda ko‘p qo‘llaniladigan alomatlardan birini keltiramiz. 4-teorema. (Dirixle alomati). va funksiyalari oraliqda berilgan bo‘lib, ular quyidagi shartlarni bajarsin: 1) funksiya oraliqda uzluksiz va uning shu oraliqdagi boshlang ichi ‘ funksiyasi chegaralangan; 2) funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzluksiz funksiya; 3) funksiya oraliqda kamayuvchi; 4) . U holda integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uzluksiz va funksiyalarning ko‘paytmasi funksiya ham oraliqda integrallanuvchi bo‘ladi, ya’ni 11 (1.2) integral mavjud da funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishini ko‘rsatamiz. Teoremaning 1- va 2- shartlaridan foydalanib, (1.2) integralni bo‘laklab hisoblaymiz. . (1.3) O‘ng tomondagi birinchi qo‘shiluvchi uchun ushbu tengsizlikka ega bo‘lamiz. Undan, da bo‘lishini e ’tiborga olsak, bo‘lishi kelib chiqadi. Endi o‘ng tomondagi ikkinchi hadni qaraymiz. Modomiki, funksiya oraliqda kamayuvchi ekan, unda da bo‘lib, bo‘ladi. Shunday qilib, t o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida integral ( t o‘zgaruvchining funksiyasi) yuqoridan chegaralangan. U holda 1-teoremaga ko‘ra integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, 12 limit mavjud va chekli. Yuqoridagi (1.3) tenglikda da limitga o‘tib, Ushbu limitning mavjud hamda chekli bo‘lishini topamiz. Bu esa integralning yaqinlashuvchiligini bildiradi. 2-misol. Ushbu integral yaqinlashuvchilikka tekshirilsin. Bu integraldagi funksiyalar yuqorida kel- tirilgan teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi: 1) funksiya oraliqda uzluksiz va boshlang ich‘ funk-siyasi chegaralangan; 2) funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzluksiz; 3) funksiya oraliqda kamayuvchi; 4) ( ) bo‘ladi. Demak, Dirixle alomatiga ko‘ra berilgan integral yaqinlashuvchi. funksiyaning xosmas integrali bilan bir qatorda xosmas integralni qaraymiz. 13 5-teorema. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shartga ko‘ra integral yaqinlashuvchi. 4-teoremaga asosan, olinganda ham, shunday topiladiki, , bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Agar tengsizlikni e ’tiborga olsak, u holda bo‘lishini topamiz. Shunday qilib, olinganda ham, shunday topiladiki, , bo‘lganda bo‘ladi. Bundan 4-teoremaga asosan integrali ham yaqinlashuvchiligini topamiz. 2-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, absolyut yaqinlashuvchi integral deb ataladi, funksiya esa oraliqda absolyut integrallanuvchi funksiya deyiladi. 14 3-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lib, integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi. Shunday qilib, xosmas integralni yaqinlashuvchilikka tekshirish quyidagi tartibda olib borilishi mumkin: da bo‘lsin. Bu holda integralning yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)ligini yuqorida keltirilgan alomatlardan foydalanib topish mumkin. Boshqa hollarda funksiyaning | | absolyut qiymatining oraliq bo‘yicha integralini qaraymiz. Ravshanki, keying integralga nisbatan yana yuqoridagi alomatlarni qo‘llash mumkin. Agar biror alomatga ko‘ra integralining yaqinlashuvchiligi topilsa, unda 5-teoremaga ko‘ra berilgan integralning ham yaqinlashuvchiligi (hatto absolyut yaqinlashuvchiligi) topilgan bo‘ladi. Agar biror alomatga ko‘ra integralining uzoqlashuvchiligini aniqlasak, aytish mumkinki, yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi yoki shartli yaqinlashuvchi bo‘ladi va buni aniqlash qo‘shimcha tahlil qilishni talab etadi. Yaqinlashuvchi xosmas integrallarning xossalari. Riman integralini umumlashtirishdan hosil qilingan yaqinlashuvchi xosmas integrallar ham shu Riman integrali xossalari singari xossalarga ega. funksiya oraliqda berilgan bo‘lsin. 15 1) Agar funksiyaning oraliq bo‘yicha integrali yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu funksiyaning oraliq bo‘yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha. Bunda (1.4) bo‘ladi. Aniq integral xossasiga ko‘ra (1.5) bo‘ladi integral yaqinlashuvchi ’ ya’ni limit mavjud va chekli bo‘lsin. Yuqoridagi (1.5) munosabatni ushbu ko‘rinishda yozib, da limitga o‘tib quyidagini topamiz: Bundan esa integralning yaqinlashuvchi va ya’ni 16 ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash integralning yaqinlashuvchi bo‘lishidan integralning ham yaqinlashuvchi hamda (1.4) formulaning o‘rinli bo‘lishi ko‘rsatiladi. 2) Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘ladi, bunda 3) Agar da bo‘lsa, bu funksiyaning xosmas integrali bo‘ladi. Endi funksiya bilan bir qatorda funksiya ham oraliqda berilgan bo‘lsin. 4) Agar da integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘ladi. 17 1-natija. Agar funksiyalarning har biri oraliqda berilgan bo‘lib, integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘ladi. 5) Agar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lib, da integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan 2-, 5-xossalarning isboti xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi. O‘rta qiymat haqidagi teorema. va funksiyalar oraliqda berilgan bo‘lsin. funksiya shu oraliqda chegaralangan, ya’ni shunday m va M o‘zgarmas sonlar mavjudki, uchun bo‘lib, funksiya esa da o‘z ishorasini o‘zgartirmasin, ya’ni uchun har doim yoki bo‘lsin. 18 6) va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas son topildiki, (1.6) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan funksiya oraliqda manfiy bo‘lmasin: U holda bo‘lib, unda esa (Riman integralining tegishli xossasiga ko‘ra) bo‘lishini topamiz. Keyingi, tengsizliklarda da limitga o‘tsak, (1.7) Ekanligi kelib chiqadi Ikki holni qaraylik: a) bo‘lsin. U holda bo‘lib, bunda deb tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy sonni olish mumkin. b) bo‘lsin. Bu holda (1.7) tengsizliklardan bo‘lishi kelib chiqadi. Agar 19 deb olsak, unda bo‘ladi. oraliqda bo‘lganda (1.6) formula xuddi shunga o‘xshash isbotlanadi. 2. Ikkinchi tur xosmas integralining ta’rifi va matematik formulalari Funksiyaning maxsus nuqtasi. to‘plamda berilgan funksiya va nuqtaning ushbu atrofini qaraylik. 4-ta’rif. Agar funksiya to‘plamda chegaralanmagan bo‘lsa, nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi deyiladi. Masalan, 1) funksiya uchun maxsus nuqta; 2) funksiya uchun maxsus nuqta; 3) funksiya uchun maxsus nuqtalar bo‘ladi. Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali tushunchasi. 20 funksiya yarim integralda berilgan bo‘lib, nuqta uning maxsus nuqtasi bo‘lsin. Bu funksiya yarim integralning istalgan qismida integrallanuvchi bo‘lsin. Ravshanki, integral t o‘zgaruvchiga bog ‘liq bo‘ladi 5-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit chegaralanmagan funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali deyiladi va kabi belgilanadi: . (2.1) Agar da funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, (2.1) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar da funksiyaning limiti cheksiz yoki funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, (2.1) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi. Masalan, ushbu xosmas integral ( maxsus nuqta) yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki 21 va demak, da berilgan funksiyaning ( maxsus nuqta), da berilgan funksiyaning ( , maxsus nuqtalar) xosmas integrallari va ularning yaqinlashuvchiligi (uzoqlashuvchiligi) yuqoridagi kabi ta’riflanadi: Masalan, ushbu xosmas integral ( maxsus nuqta) yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki va demak, Xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi. Integralning absolyut yaqinlashuvchiligi. Aytaylik, funksiya oraliqda berilgan bo‘lib, b nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo‘lsin. 6-teorema. Faraz qilaylik, da bo‘lsin. Bu funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali ning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, 22 funksiyaning yuqoridan chegaralangan, ya’ni bo‘lishi zarur va etarli. 7-teorema. va funksiyalar oraliqda ( b maxsus nuqta) bo‘lib, da bo‘lsin. Agar yaqinlashuvchi bo‘lsa, ham yaqinlashuvchi, agar uzoqlashuvchi bo‘lsa, ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. 8-teorema. (Koshi teoremmisolasi). Ushbu ( b maxsus nuqta ) xosmas integralning yaqinlashuvchi bo ‘ lishi uchun bo‘lishi zarur va etarli. Aytaylik, funksiya oraliqda berilgan, b nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo‘lib, uning xosmas integrali bo‘lsin. Bu integral bilan bir qatorda 23 xosmas integralni qaraymiz. 9-teorema. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 6-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, absolyut yaqinlashuvchi integral deyiladi. Agar yaqinlashuvchi bo‘lib, uzoqlashuvchi bo‘lsa, shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi. 3. Ikkinchi tur xosmas integralining xossalari va hisoblash usullari funksiya oraliqda berilgan, b nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo‘lsin. Bu funksiyaning xosmas integrali 1) Nyuton-Leybnits formulasi. Faraz qilaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lsin. Ma’lumki, bu holda funksiya shu oraliqda boshlang ‘ich funksiyaga ega bo‘ladi, 24 da funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, bu limitni boshlang ‘ich funksiyaning b nuqtasidagi qiymati deb qabul qilamiz: . Xosmas integral ta’rifi hamda Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib quyidagini topamiz: . Bu esa, yuqoridagi kelishuvga asosida, boshlang ‘ich funksiyaga ega bo‘lgan funksiya xosmas integrali uchun Nyuton-Leybnits formulasi o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatadi. Berilgan xosmas integral o‘zgaruvchilarni almashtirib yoki bo‘laklab integrallash natijasida hisoblanishi mumkin. 2) Bo‘laklab integrallash usuli. va funksiyalarning har biri da berilgan bo‘lib, shu oraliqda uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin. b nuqta esa hamda funksiyalarning maxsus nuqtalari. Agar integral yaqinlashuvchi hamda ushbu limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda integral yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘ladi, bunda 25 3) O ‘ zgaruvchilarni almashtirish usuli . funksiya da berilgan , b esa shu funksiyaning maxsus nuqtasi bo ‘ lsin . Quyidagi xosmas integralni qaraylik. Bu integralda deylik , bunda funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzluksiz hamda . Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘ladi. 2-eslatma. Aytaylik, integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Bu integralda bo‘lib, u yuqoridagi shartlarni bajarsin. U holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘ladi. 4. Ikkinchi tur xosmas integraliga doir ba`zi misollar 3-misol. Ushbu xosmas integrallar yaqinlashuvchilikka tekshirilsin. Ta’rifga ko‘ra 26 Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda bo‘ladi. Bu limit bo‘lganda chekli, bo‘lganda cheksiz bo‘ladi. Shunday qilib, xosmas integral bo‘lganda yaqinlashuvchi, bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash ko‘rsatish mumkinki, xosmas integral bo‘lganda yaqinlashuvchi, bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. 4-misol . Ushbu xosmas integral yaqinlashuvchilikka tekshirilsin. Ravshanki, integral ostidagi funksiya 27 bo‘ladi. Ayni paytda, da tengsizlik bajariladi. Ma’lumki, funksiyaning integrali yaqinlashuvchi. Unda 7-teoremaga ko‘ra berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. 5-misol . Ushbu integralni qaraylik. Agar deb olsak, unda bo‘lib, bo‘ladi. Demak, 6-misol. Ushbu 28 Integralda almashtirish kiritamiz. Ravshanki, bu funksiya oraliqda hosilaga ega va uzluksiz hamda Integralni hisoblaymiz: 29 Xulosa Xosmas integral (yoki xususiy holatdagi noto‘g‘ri integral) bu– integralning biror cheksiz oraliqda aniqlangan yoki integrallanayotgan funksiya cheksizlikka intiladigan (ya’ni uzluksiz bo‘lmagan) hollarda hisoblanadigan ko‘rinishidir. U quyidagi holatlarda yuzaga keladi:  Integrallash oraliqlari cheksiz:  Funksiya oraliqning ichida yoki chegarasida cheksizga intiladi: Xosmas integralni hisoblashdagi ahamiyati Xosmas integral amaliyotda keng qo‘llaniladi:  Fizikada: elektrostatik maydon, kvant mexanikasi, va to‘lqin tenglamalarida.  Matematikada: ehtimollar nazariyasi (masalan, normal taqsimotda), to‘plamlar nazariyasi va sonlar nazariyasi.  Muhandislikda: signalni qayta ishlash, tizimlarni modellashtirish.  Statistikada: taqsimot zichligi funksiyalarining integrallari ko‘p hollarda xosmas integral bo‘ladi. Mavjud metodlarning rivojlanishi Xosmas integrallarni hisoblashda quyidagi metodlar ishlatiladi:  To‘g ‘ridan-to‘g ‘ri limit orqali hisoblash  Substitutsiya (o‘zgaruvchini almashtirish) Integralni qulayroq ko‘rinishga keltirish uchun ishlatiladi.  Numerik metodlar  Trapezoidal qoida  Simpson qoidasining moslashtirilgan ko‘rinishlari  Monte-Karlo usullari (ayniqsa yuqori o‘lchamli holatlarda)  Asimptotik baholash Funksiyaning cheksizlikdagi harakati asosida baholashlar. Ularga bo‘lgan ehtiyoj 30  Yangi texnologiyalar (AI, Machine Learning) ma’lumotlar tahlilida murakkab statistik modellarga tayanganligi sababli, xosmas integrallar yanada kengroq qo‘llanmoqda.  Ko‘p o‘lchovli integrallarda analitik yechimlar deyarli yo‘q, bu esa sonli metodlarning rivojlanishini taqozo qiladi.  Kompyuter algebra tizimlari (Mathematica, Maple, MATLAB) orqali aniq yoki yaqinlashtirilgan qiymatlarni hisoblash ehtiyoji oshmoqda. Xosmas integrallar – matematik tahlilning muhim bo‘limi bo‘lib, ularning amaliy ahamiyati katta. Ularni hisoblash metodlarining rivojlanishi zamonaviy ilm-fan va texnologiyalar bilan chambarchas bog ‘liq. Hozirgi kunda yanada aniq, tez va barqaror metodlarga ehtiyoj ortib bormoqda. 31 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. Qori-Niyoziy T. “Oliy matematika kursi ”. Toshkent: O‘qituvchi, 198 2. Berdikulov R., G ‘ulomov S. “Matematik analiz ”. 1-qism. Toshkent: TDPU nashriyoti, 2003. 3. Mamatov M. “Matematik analiz ”. Toshkent: Fan, 2006. 4. G.M. Fikhtengolts. “Differensial va integral analiz ”. 1 –2 qismlar. Moskva: Nauka, 1986. 5. Kudryavtsev L.D. “Kurs matematicheskogo analiza ”. Moskva: Nauka. 32

Ikkinchi tur xosmas integrallar

Купить