Integral taqribiy hishoblash uchun Monte-Karlo usuli
![I.BOB. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH ENG SODA
FORMALAR
1.1 Interpolyatsion kvadratur formula
Amaliyotda juda ko’p masalalar biror [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan f(x)
funksiyadan olingan aniq integralni hisoblashga keltiriladi. Bilamizki integralni
hisoblashning aniq formulasi quyidagicha:(bu yerda F(x) funksiya f(x)
funksiyaning boshlang’ich funksiyasi)Hamma vaqt ham F(x) funksiyani analitik
ko’rinishda ifodalab bo’lmaydi. Bundan tashqari f(x) funksiyamiz jadval
ko’rinishda berilgan bo’lsa unda F(x) ni umuman aniqlab bo’lmaydi.ko’rinishdagi
formulaga kvadratur formula deyiladi.Bu yerda - lar kvadratur formulaning
koeffisiyentlari , - lar esa kvadratur formulaning tugun nuqtalari deyiladi. -
kvadratur yig’indi deyiladi. - kvadratur formula xatoligi. Interpolyatsion kvadratur
formula qurish. Ko’pincha kvadratur formula qurish uchun f(x) funksiya [a;b]
oraliqda n ta tugun nuqtalar yordamida interpolyatsiyalanadi: belgilab olsak u
hold а fornula bilan hisoblanadi. Integrallash [a,b] chekli oraliqda teng h qadam
bilan uzoqlashgan x
k =a+k*h tugun nuqtalar bilan aniqlangan kvadratur formula
quyidagi ko’rinishda bo’ladi Nyuton – Kotes formulasining koeffisiyentlari
quyidagicha: Endi umumlashgan kvadratur formulalarni ko’rib
chiqamiz. Umumlashtirilgan to’g’ri to’rtburchak formulasi.
Bunda x
k -x
k-1 =h , (1)
Umumlashtirilgan trapestiya formulasi.
Bunda x
k -x
k-1 =h, k=1,2,...,n, (2)
Simpsonning Umumlashtirilgan formulasi.
bunda x
k =a+0.5hk , k=0,1,...,2n, (3)
Endi bu formulalarni Mathcad dasturida aniq bir misolda qo’llab ko’ramiz.Endi
xatoliklarini Interpolyatsion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun
kvadratur formulaning koeffisiyentlari va tugunlarini yuqori indekssiz А
1 , А
2 , ....
4](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_4.png?v=1)
![tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfini qaraymiz. Bunday funksiyalar
uchun (10) dan
(12)
ga ega bo`lamiz. Agar ω ( х ) ko`phad [ a,b ] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda
(12) baho aniq bo`lib, undagi tenglikka
f(x) =
M n
n! xn+a1xn−1+...+an
ko`phadda erishiladi. Endi interpolyatsion kvadratur formulalarning bir muhim
xossasini ko`rib o`taylik. Avval А
к ni aniqlaydigan integralda
almashtirish bajaramiz. Agar
deb belgilasak , u holda А
к quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
bu yerda
(13)
va
Shunday qilib, (9)formula quyidagi
ko`rinishga keladi.
Teorema . Faraz qilaylik, vazn funksiyasi
ρ ( х ) [ а ,b] oraliqning o`rta
nuqtasiga nisbatan juft funksiya va t
k tugunlar shu nuqtaga nisbatan simmetrik,
ya`ni
t
k = - t
n+1-k bo`lsin. U holda simmetrik tugunlarga mos keladigan kvadratur
formulaning koeffisiyentlari o`zaro teng bo`ladi:
B
k =B
n+1-k (14)
7
|Rn(f)|≤
M n
n!∫
a
b
|ρ(x)ω(x)|dx
ρ(
a+b
2
+ b− a
2
t)= ρ(t)
x= a+ b
2
t+ b− a
2
t
Ak= b− a
2 ∫
−1
1
ρ(t) ∏
i=1,i≠k
n t−ti
tk−ti
dt = b−a
2 ∫
−1
1
ρ(t) ω(t)dt
(t−tk)ω'(tk)
= b−a
2 Bk
Bk= ∫
−1
1
ρ(t) ω(t)dt
(t− tk)ω'(tk)
tk=
2xk− a− b
b− a
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx ≈ b− a
2 ∑
k=1
n
Bkf(
a+b
2 + b− a
2 tk)](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_7.png?v=1)
![Isbot: Agar n juft bo`lsa, u holda ω
(t)=(t-t
1 )…(t-t
n )= ω (-t) ,
ω'(tk)=∏
j≠k
n
(tk−tj)=− ∏
j≠k
n
(tn+1−k−tj)=−ω'(tn+1−k)
tengliklar o`rinlidir. Agar п toq bo`lsa, u holda, aksincha
ω ( t )=- ω (- t ),
ω'(tk)=ω'(tn+1−k)
, har ikkala holda ham t=- τ almashtirish bajarsak, quyidagiga
ega bo`lamiz :
Bk=∫
−1
1
ρ(τ) ω(τ)dτ
ω'(tn+1−k)(τ+tk)
=∫
−1
1
ρ(τ) ω(τ)dτ
ω'(tn+1−k)(τ−tn+1−k)
= Bn+1−k.
Shuni isbotlash talab qilingan edi. Bundan ko`rinadiki, ti lar simmetrik
joylashganda barcha B
i larni hisoblash o`rniga B
1 , B
2 ,…,B
[n+1
2] larni hisoblash
kifoyadir.
Ikkinchi tomondan, bunday formulalar
[a,b] oraliqning o`rtasiga nisbatan
toq bo`lgan har qanday funksiya uchun aniq formuladir . Haqiqatan ham,
ρ(x)
ning juft ekanligini e`tiborga olsak, bunday funksiyalar uchun
∫
a
b
ρ(x)f(x)dx =0 va
shu bilan birga (14) formulaga ko`ra
Demak, R
n =0 . Xususiy holda, (2.19) formula const
(x− a+b
2 )
2q+1 ko`rinishdagi
ko`phadni aniq integrallaydi. Endi xuddi shu kvadratur formulani p toq bo`lganda
qaraylik. Bu formula f(x)= со nst
(x− a+b
2 )
2q+1 ni aniq integrallaydi va qurilish
usuliga ko`ra ixtiyoriy ( n-1 ) - darajali ko`phadni ham aniq integrallaydi. Demak
bunday kvadratur formula ixtiyoriy п -darajali ko`phadni aniq integrallaydi.
Shunday qilib, tugunlari soni 2 т -1 yoki 2 т bo`lsa, oraliq o`rtasiga nisbatan
simmetrik joylashgan interpolyatsion kvadratur formulalar 2 т -1 darajali
ko`phadlar uchun aniq formuladir. Bunga to`g`ri to`rtburchak va Simpson
formulalari misol bo`ladi. Toq tugunli kvadratur formulaning qoldiq hadini f (n)
(x)
8
∑
k=1
n
Bkf(xk)=0](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_8.png?v=1)
![orqali emas, f (n+1)
(x) orqali ifodalash uchun integral ostidagi funksiyani yanada
aniqroq a+b
2 nuqtada ikki karrali tugunga ega bo`lgan Ermit interpolyatsion
ko`phadi bilan almashtirish kerak. Biz yuqorida to`g`ri to`rtburchak va Simpson
formulalarining qoldiq hadlarini baholashda xuddi shunday qilgan
edik. Umumlashgan kvadratur formulalar. Qaralayotgan oraliq yetarlicha katta
bo`lib, bu oraliqda funksiya to`g`ri chiziq yoki parabolaga yetarlicha yaqin
bo`lmasa, u holda to`g`ri to`rtburchak trapetsiya ва Simpson formulalari yaxshi
natija bermaydi. U vaqtda f(x) ni yuqori tartibli ko`phad bilan almashtirishga
to`g`ri keladi, lekin yuqori tartibli Nyuton-Kotes formulasini qo`llash ham
maqsadga muvofiq emas. Bunday holda [ a,b ] oraliqni qismiy oraliqlarga bo`lib,
har bir qismiy oraliqda kichik n lar uchun chiqarilgan kvadratur formulalarni
qo`llash yaxshi natijaga olib keladi.
Berilgan [ a, b ] oraliqni x
k =a+kh ( к = 0,N nuqtalar yordamida uzunligi
h = bo`lgan N ta bo`lakka bo`lamiz. Har bir qismiy oraliq [ х
қ х
к +1 ] bo`yicha
olingan integralga (2.1) formulani qo`llaymiz:
∫
xk
xk+1
f(x)dx = hf (a+(k+1
2)h)
( k=0,1,…,N-1 ) (15)
Qulaylik uchun f( а + ( к +
1
2 ) h)= y л+1
2 kabi belgilab (2.23) ni barcha k =
0,1,..., N- 1 lar bo`yicha yig`ib chiqsaq, natijada umumlashgan to`g`ri to`rtburchak
("katta" yoki "tarkibiy" deb ham yuritiladi) formulasiga ega bo`lamiz:
∫
a
b
f(x)dx = b− a
N (y1
2
+y3
2
+...yN−1
2
)
(16)
Bu formulaning qoldiq hadi R
N (f) ni topish uchun (2.23) ning
R0(f,k)= (b−a)3
24 N3 f''(ξk) (xk≤ ξk≤ xk+1)
(17)
qoldiq hadini barcha k = 0,1, .., N- 1 lar bo`yicha yig`amiz, natijada
9
b−a
N](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_9.png?v=1)
![R0N (f,k)=
(b− a)
24 N 3
3
∑
k=0
N−1
f'' (
ξk ), (x k¿ξk ¿xk+1 ) (18)
Ravshanki,
mina≤x≤b f''
(x)
¿1
N ∑k=0
N−1
f''(ξk)≤max
a≤¿x≤b
f ''(ξ )
Ikkinchi hosilaning uzluksizligidan, Koshi teoremasiga ko`ra shunday
ξ(a≤ ξ≤b)
mavjudki,
Buni (19) ga olib borib qo`ysak, umumlashgan to`g`ri to`rtburchaklar
formulasining qoldiq hadi hosil bo`ladi:
R
N(1) (f)= (a ¿ξ≤ b ) (2.27)
Shuningdek, umumlashgan trapetsiyalar formulasini ham chiqarish
mumkin. Agar f(a+kh)=y
k deb olsak umumlashgan trapetsiyalar
formulasi
bo`lib, uning qoldiq hadi esa
R
N(1)(f)=−(b−a)3
12 N2 f''(ξ) ( a ¿ξ≤ b) ) (19)
ko`rinishga ega bo`ladi.
Umumlashgan Simpson formulasini chiqarish uchun [ a, b ] oraliqning
uzunligi h = (b-a)/2N ga teng bo`lgan 2 N ta oraliqchalarga bo`lamiz va uzunligi 2 h
ga teng bo`lgan har bir ikkilangan
[ х
0, , х
2 ], [ х
2 ,, х
4 ], ….., [x
2N-2 ,, x
2N ] oraliqchalarga Simpson formulasini qo`llaymiz:
10
∑
k=0
N−1
f''(ξk)= f''(ξ)
1
N
(b−a)
24 N 2
3
f''(ξ)
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
N [y0+ yN+2(y1+ y2+...+ yN−1)]
∫
a
b
f(x)dx ≈ h
3(y0+4y1+y2)+ h
3(y2+4y3+y4)+...+h
3(y2N−2+4y2N−1+ y2N).](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_10.png?v=1)
![Bundan esa umumlashgan Simpson formulasi
kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, f(x) to`rtinchi tartibli uzluksiz
hosilaga ega bo`lganda, umumlashgan Simpson formulasining
R N(2) (f)=- (b−a)5
2880 N4fIV(ξ) ( a < ξ < b ) (20)
qoldiq hadini hosil qilamiz.
Misol tariqasida
integralni taqribiy hisoblaylik. Buning uchun umumlashgan
to`g`ri to`rtburchak formulasi (16) da N = 10 deb olaylik. Bu yerda
h=(b-a)/N = 0,1 bo`lgani uchun
у =
1/(1+(k+0,5 )⋅0,1 ) bo`lib,
y
0,5 =0,95238; y
1,5 =0,86957;
y
2,5 =0,80000; y
3,5 =0,74074;
y
4,5 =0,68966; y
5,5 =0,64516;
y
6,5 =0,60606;y
7,5 =0,57143; y
8,5 =0,54054;y
9,5 =0,51282
Bundan esa umumlashgan to`g`ri to`rtburchak formulasiga ko`ra:
I
Bu taqribiy qiymat bilan aniq qiymatning farqi
<0,00032
Demak ln2
¿ 0,693, bu rahamlar aniqdir.
Ikkinchi misol sifatida ushbu integral sinusning
Si(x)=∫
0
xsin (t)
t dt
11
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
6N [(y0+ y2N)+4(y1+ y3+...+ y2N−1)+2(y2+ y4+..+ y2N−2)]
∫
0
1 dx
1+ x= ln 2= 0 ,693147180 ...
k/2
¿1
10 (y0,5 +y1,5 +...+y9,5 )=0,692836
|ln 2−0,692836 |](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_11.png?v=1)
![y
10 =0,841471
Aslida Si(l) ning olti xona aniqlikdagi qiymati
Si(l) = 0,946083
Topilgan qiymat bilan aniq qiymat orasidagi oxirgi xona birligidagi farq yaxlitlash
xatosi hisobidan kelib chiqqan.
1.2 To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi
Aytaylik, integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan
oraliqda f(x) ¿ const bo`lsa, u vaqtda
(21)
1-rasm 2-rasm
deb olishimiz mumkin (1-rasm). Bu formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
deyiladi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda tabiiy
ravishda integralni balandligi ( b - a ) ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo`lgan
trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin (2-rasm), u holda
(22)
13
1
30 [(y1+y10)+4(y1+y2+...+y9)+2(y2+y4+...+y8)]=
∫
a
b
f(x)dx ≈(b−a)f(
a+b
2 )
∫
a
b
f(x)dx
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
2
(f(a)+ f(b))](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_13.png?v=1)
![deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi. Nihoyat, f(x)
funksiya [ a, b ] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda ni
taqribiy ravishda Ox o`qi va х = а , х =b to`g`ri chiziqlar hamda у = f(x) funksiya
grafigining absissalari x= a,x= a+b
2 va x=b bo`lgan nuqtalaridan o`tuvchi
ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuz а bilan almashtirish mumkin (3-
rasm), u holda quyidagiga ega bo`lamiz:
(23)
3-rasm 4-rasm
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi.
Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko`rinib turibdiki, u barcha ikkinchi
darajali
Р
2 ( х ) = а
0 + а
х х + а
2 х 2
ko`phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda
kvadratur formulalarga ega bo`ldik. (21) formulani tuzishda u o`zgarmas son f(x)=
с ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u f(x) = а
0 + а
1 х chiziqli funksiyani
ham aniq integrallaydi, chunki:
balandligi (b-a) va o`rta chiziqi bo`lgan ixtiyoriy trapetsiyaning yuziga teng
(4-rasm).
14
∫
a
b
f(x)dx
∫
a
b
f(x)dx ≈ b− a
6 {f(a)+4 f(
a+b
2 )+ f(b)}
f(
a+ b
2 ) (b−a)f(
a+b
2 )](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_14.png?v=1)
![Shunga o`xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko`ra ham
yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali
Р
2 ( х ) = а
0 + а
х х + а
2 х г
+ а
3 х3 ko`phadlarni ham aniq integrallaydi.
Haqiqatan ham, uchinchi darajali Р
3 ( х ) ko`phadni quyidagicha
Р
3 (х) = а
0 + а
х х + а
2 х 2
+ а
3 х 3
= Р
2 (х) + а
3 х 3
yozamiz :
u vaqtda
P
3 (x)dx= P
2 (x)dx + a
3 x 3
dx = P
2 (x)dx+( /4)(b 4
- a 4
) (24)
Lekin bizga ma`lumki,
∫
a
b
P2(x)dx = b− a
6 [P2(a)+4P2(a+b
2
)+a3b3
]
(25)
Ikkinchi tomondan,
(26)
ayniyat o`rinlidir . Endi (2.5) - (2.6) ni (2.4) ga qo`yib,
∫
a
b
P3(x)dx = b− a
6 {P3(a)+4P3(a+b
2
)+P3(b)}
ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko`rdik. Ulardan
ikkitasi to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phad
uchun aniq formula bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko`phad uchun
aniq formuladir.
2. To`g`ri to`rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq
hadlari. Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash
bilan shug`ullanamiz. To`g`ri to`rtburchak formulasining qoldiq hadi
R
0 (f) =
∫
a
b f(x)dx-(b-a)f(
ni topish uchun f(x) funksiya [ a, b ] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz f"(x) hosilaga
ega bo`lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko`ra:
15
∫
b
a
∫
b
a
∫
a
b
a3 ∫
a
b
a3
4
(b4− a4)= b− a
6 {a3a3+ 4a3(a+ b
2
)3+ a3b3
}
a+b
2
)
f (x)− f (
a + b
2
)= (x−
a+ b
2 ) f'
(
a+ b
2 )+
1
2 (x−
a+ b
2 )
2
f''(ς)](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_15.png?v=1)
![hosil bo`ladi. Bu yerda [ a,b ] oraliqda (x-a)(x-b)¿ 0 bo`lgani uchun R
1 (f) integralga
o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llash mumkin:
R1(f)= 1
2
f''(ξ)∫
a
b
(x− a)(x− b)dx =− (b− a)3
12
f''(ξ)(a≤ ξ≤ b)
(29)
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun
с = 0,5 ( а +b) deb olib, quyidagi
H(a)=f(a), H(c)=f(c),
H '(c)= f'(c),H (b)= f(b)
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko`phadini tuzamiz:
H (x)=4
(a−b)3[(x−c)2(x−b)f(a)−(x−a)(x−b)(a−b)f(c)−
−(x−a)(x−b)(x−c)(a−b)f'(c)−(x−a)(x−c)2f(b)]
Ravshanki,
∫
a
b
H (x)dx = b− a
6 [f(a)+4 f(
a+b
2 )+ f(b)]
Endi funksiyalarni interpolyatsiyalashga ko`ra f(x)=H(x)+ r(x) interpolyatsion
formulaning qoldiq hadi
r ( x ) =
1
24
Ω (x)fIV (ς) (a≤ ς≤ b)
b o` lib , buyerda
Ω (х) = (х-а) (х-с) 2
(х- b ).
Demak, (23) formulaning qoldiq hadi
R
2 (f) =
1
24 ∫
a
b
Ω(x)fIV(ς)dx
bo`lib,
Ω (x) ko`phad [ a, b ] oraliqda o`z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o`rta
qiymat teoremasiga ko`ra
R2(f)=− (b− a)5
2880
fIV(ξ)(a≤ξ≤ b) ga ega bo`lamiz.
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko`rsatadiki,
to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phadlar uchun
aniq bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali kop`hadlar uchun aniq
formuladir.
17](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_17.png?v=1)
![II.BOB. ANIQ INTEGRALNI MONTE-KARLO USULIDA HISOBLASH.
2.1 Karrali integrallarni taqribiy hisoblashning monte-karlo usuli.
Montekarlo usuli , Statistik sinash usuli— tasodifiy miqdorlarni modellash
yordamida matematik masalalarni taqribiy yechish usuli. Bunda biror a miqdorning
takribiy qiymatini topish uchun matematik kutilmasi a bulgan tasodifiy miqdor %
olinadi. M.-Montekarlo usulining rivojlanishiga AQSH matematigi J. Neyman, rus
matematigi B.C. Vladimirov va boshqa katta hissa qo shishgan. M. -Montekarloʻ
usulining nazariy asosi avvaldan (1940) ma lum bo lsada, EHM yaratilgandan
ʼ ʻ
so ng keng tatbiq qilina boshladi.
ʻ
1. integralni D={ a x b ,
1 ( x ) y
2 ( x )} soha bo‘yicha hisoblang. Ko‘rsatilgan D
sohadagi [ a , b ] kesmada uzluksiz bo‘lgan
1 (x),
2 (x) lar
1 (x) s,
2 (x) d
tengsizliklarni qanoatlantiradi. O‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz: x = a
+ (b - a)
, u = c + (d – c) Bu almashtirish bilan D soha, 0 1,
0
1 kvadratdan iborat bo‘lgan sohaga o‘tadi
Aytaylik, n - sohaga tushuvchi (
i ,
i ) (I = 1, 2, …, n) tasodifiy nuqtalar soni , N –
birlik kvadratga tushuvchi tasodifiy nuqtalar soniga bo‘lsin. Ma’lumki D sohaga
tushuvchi n ta (x
i , y
i ) nuqta bo‘lsa, bunda
x
i = a + (b - a)
i , y
i = c + (d – c)
i (i = 1, 2, …, n)
Bu sohada o‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan:
18](https://docx.uz/documents/859b0d45-c4ad-4366-b76f-d8e296f28ed1/page_18.png?v=1)
KURS ISHI TALABALAR UCHUN
-
Похожие документы
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq