Integrallanuvchi funksiyalar sinfi Aniq integral xossalari. O‘rta qiymat haqida teorema. Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integral
![Aniq integral tushunchasi[a,b]
ni bo’laklash. Biror [a ,b]⊂R segment berilgan bo’lsin .
Uning ushbu
a0= x0< x1<x2<… <xn−1<xn= b
munosabatda bo’lgan chekli sondagi ixtiyoriy
x0,x1,x2… ,xn−1,xn nuqtalari
sistemasini olaylik . Agar
Ai=[xi−1,xi], i=1,2,3 … n deb belgilasak , u holda
ravshanki ,
1)A1∪A2∪… ∪ An=[a,b];
2)Ak∩Aj= Ø ,(k ,j=1,2,… n)
Mazkur kursning 1—bobidagi to’plamni bo’laklash tushinchasi ta`rifiga
binoan
{A1,A2,… ,An} sistema [a ,b] da bo’laklash bajargan bo’ladi , va
aksincha, agar bizga
[a ,b] segmentning biror chekli {B1,B2,… ,Bm} bo’lak-
lashi berilgan bo’lsa , u ushbu
a= y0< y1< y2<… < ym= b
munosabatda bo’lgan chekli sondagi
y0,y1,y2,… ,ym−1,ym nuqtalar
sistemasini aniqlaydi . Binobarin , biz to’plamni bo’laklash ta`rifiga
ekvivalent bo’lgan quyidagi ta`rifni kirita olamiz .
1—ta`rif .
[a,b] segmentning ushbu
a0= x0< x1<x2<… <xn−1<xn= b
munosabatda bo’lgan ixtiyoriy chekli sondagi
x0,x1,x2… ,xn−1,xn nuqtalari
sistemasi
[a ,b] segmentda bo’laklash bajaradi deyiladi .
Uni
P={x0,x1,x2… ,xn−1,xn}
kabi belgilanadi .
Har bir
xk (k=0,1 ,… ,n) nuqta bo ’ laklashning bo ’ luvchi nuqtasi ,
[xk,xk+1] (k=0,1 ,… ,n−1)
segment esa P bo ’ laklashning oralig ’ i deyiladi .
P
bo’laklash oraliqlari uzunligi Δx k= xk+1− xk (k=0,1 ,… ,n−1) larning
eng kattasi , ya`ni ushbu
3](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_3.png?v=1)
![λP=max {Δx k}= max {Δx 0,Δx 1,Δx 2… ,Δx n−1}miqdor
P bo’laklashning diametri deb ataladi. [a ,b] segment berilgan
holda bu segmentni turli usullar bilan istalgan sondagi bo’laklashlarni
tuzish mumkin ekan. Bu bo’laklashlardan iborat to’plamni
F bilan
belgilaymiz :
F={P} .
2 0
. Integral yig’indi .
[a,b] segmentda f(x) funksiya aniqlangan
bo’lsin . Shu segmentni
P={x0,x1,x2… ,xk,… ,xn}∈F
bo’laklashi va bu bo’laklashning har bir
[xk,xk+1](k=0,1 ,… ,n−1) oralig’ida
ixtiyoriy
ξk (ξk∈[xk,xk+1]) nuqta olamiz . Berilgan funksiyaning ξk nuqta-
dagi qiymati
f(ξk) ni Δx k= xk+1− xk ga ko’paytirib, quyidagi yig’indini
tuzamiz:
σ= f(ξ0)Δx 0+f(ξ1)Δx 1+… +f(ξk)Δx k+… +f(ξn−1)Δx n−1= ∑k=0
n−1
f(ξk)Δx k.
2—ta`rif . Ushbu
σ= ∑k=0
n−1
f(ξk)Δx k. (9.1)
yig’indi
f(x) funksiyaning integral yig’indisi deb ataladi .
Masalan, 1)
f(x)=x funksiyaning [a ,b] segmentdagi integral
yig’indisi
∑k=0
n−1
f(ξk)Δx k= ∑k=0
n−1
ξkΔx k
bo’ladi , bunda
xk≤ ξk≤ xk−1 (k= 0,1 ,… ,n− 1)
.
Dirixle funksiyasi
D(x)=¿{1,agar x∈[a,b]ratsional son bo'lsa ,¿¿¿¿
4](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_4.png?v=1)
![ning integral yig’indisi, masalan, barcha ξk lar faqatgina ratsional son, yoki
irratsional son deb qarasak
∑
k=0
n=1
D(ξk)Δx k=¿{b−a,agar barcha ξk ratsional son bo'lsa ,¿¿¿¿
ko’rinishga ega bo’ladi.
f(x)
funksiyaning integral yig’indisi σ: a) f(x) funksiyaga,
b)
[a,b] segmentni bo’laklash usuliga, v) har bir [xk,xk+1] segmentdan olingan
ξk
nuqtalarga bog’liq bo’ladi.
Aniq integral ta’rifi .
f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan bo’lsin.
[a,b]
segmentning shunday
P1,P2,...,Pm,... (9.2)
(Pm∈F,m=1,2 ,...)
bo’laklashlarni qaraymizki ularni mos diametrlaridan tashkil
topgan
λp1,λp2,λp3,… ,λpm,…
ketma—ketlik nolga intilsin:
λpm→ 0 .
Bunday
Pm(m=1,2,3,…) bo’laklashlarga nisbatan f(x) funksiyaning inte-
ral yig’indilarini tuzamiz. Natijada
[a,b] segmentni (9.2) bo’laklashlarga mos
f(x)
funksiyaning integral yig’indilari qiymatlaridan iborat quydagi:
σ1,σ2,… ,σm,…
ketma—ketlik hosil bo’ladi. Ravshanki bu ketma—ketlikning har bir hadi
ξk
huqtalarga bog’liqdir.
3—ta’rif. Agar
[a,b] segmentni har qanday (9.2) bo’laklashlar ketma-
ketligi
{Pm} olinganda ham unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat {σm}
ketma—ketlik
ξk nuqtalarning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan ravishda
5](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_5.png?v=1)
![hamma vaqt bitta J songa intilsa, bu J son σ yig’indining λp→ 0 dagi
limiti deb ataladi. U
limλP→0σ= limλP→0∑k=0
n−1
f(ξk)Δx k
kabi belgilanadi.
Yig’indi limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
4–ta’rif. Agar
∀ ε>0 son olingnda ham shunday δ>0 son topilsaki,
[a,b]
segmentni diametri λp<δ, bo’lgan har qanday P bo’laklash uchun
tuzilgan
[a,b] yig’indi ixtiyoriy ξk nuqtalarda
Uε(x¿),[a,b]¿ε(x¿)=[a,x¿−ε]∪[x¿+ε,b]
tengsizliklarni qanoatlantirsa,
J son [a,b] yig’indining λp→ 0 dagi limiti deb
ataladi.
5—ta’rif . Agar
λp→ 0 da f(x) funksiyaning integral yig’indisi (9.1)
chekli limitga ega bo’lsa, u holda
f(x) funksiya [a,b] segmentda integrallanuv-
chi deyiladi,
[a,b] yig’indining chekli limiti J esa f(x) funksiyaning [a,b]
segmentdagi aniq integrali deb ataladi. Funksiyaning aniq integrali
∫
a
b
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
∫
a
b
f(x)dx = lim
λP→0∑k=0
n−1
f(ξk)Δx k
.
Bunda
a son integralning quyi chegarasi, b son esa integralning yuqori
chegarasi,
[a,b] segment integrallash oralig’i deb ataladi.
Agar
λp→ 0 da yig’indining limiti mavjud bo’lmasa yoki uning limiti
cheksiz bo’lsa, u holda funksiya
[a,b] segmentda integrallanmaydi deyiladi.
f(x)=C =const
funksiyaning [a,b] segmentdagi integrali hisoblansin.
6](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_6.png?v=1)
![[a,b] segmentni ixtiyoriy
P={x0,x1,… ,xn}
(a= x0< x1<… <xn= b)
bo’laklashni olib,
f(x)=C funksiyaning integral yig’indisini topamiz:
σ= ∑k=0
n−1
C⋅Δx k=C ∑k=0
n−1
Δx k=C [(x1− x0)+(x2− x1)+...+(xn− xn−1)]=C (xn− x0)=C (b− a)
Ravshanki,
limλP→0σ= limλP→0C(b− a)=C(b−a).
Demak,
∫
a
b
Cdx =C(b−a)
.
Xususan ,
f(x)=1 bo’lganda quyidagiga egamiz:
∫
a
b
1⋅dx =∫
a
b
dx =b−a
.
. Ushbu
f(x)=x funksiyaning [a,b] segmentdagi integrali hisoblansin.
Ma’lumki,
[a,b] segmentda f(x)=x funksiyaning integral yig’indisi
σ=∑k=0
n−1
ξkΔx k
bo’lib, bunda
Δx k= xk+1− xk va
xk≤ ξk≤ xk+1
.
Bu tengsizlikni
Δx k>0 ga ko’paytirib topamiz:
xk⋅Δx k≤ ξk⋅Δx k≤ xk+1⋅Δx k
(k=0,1,…,n−1) .
Keyingi tengsizliklardan esa
∑k=0
n−1
xkΔx k≤∑k=0
n−1
ξkΔx k≤ ∑k=0
n−1
xk+1Δx k
tengsizliklar kelib chiqadi.
Demak,
∑k=0
n−1
xkΔx k≤σ≤ ∑k=0
n−1
xk+1Δx k
.
Endi
∑k=0
n−1
xkΔx k va ∑k=0
n−1
xk+1Δx k yig’indilarni quyidagicha o’zgartirib yozib olamiz:
∑k=0
n−1
xkΔx k= ∑k=0
n−1
xk(xk+1− xk)= 1
2∑k=0
n−1
(xk+12 − xk2)− 1
2∑k=0
n−1
(xk+1− xk)2=
7](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_7.png?v=1)
![= 1
2(xn2− x02)−1
2 ∑k=0
n−1
Δx k2=b2−a2
2 −1
2 ∑k=0
n−1
Δx k2.
Agar
xk+1= xk+Δx k ekanini e’tiborga olsak, u holda
∑k=0
n−1
xk+1Δx k=∑k=0
n−1
(xk+Δx k)Δx k=∑k=0
n−1
xkΔx k+∑k=0
n−1
Δx k2=b2−a2
2 +1
2∑k=0
n−1
Δx k2
.
Demak,
b2− a2
2 − 1
2∑
k=0
n−1
Δx k2≤σ≤ b2− a2
2 +1
2∑
k=0
n−1
Δx k2
.
Bu munosabatdan
|σ− b2−a2
2 |≤ 1
2∑
k=0
n−1
Δx k
2
tengsizlik kelib chiqadi. So’ngra
1
2∑k=0
n−1
Δx k2 uchun
1
2∑k=0
n−1
Δx k2≤ λp
1
2∑k=0
n−1
Δx k≤ b−a
2 λp
(bunda
λp= maxk {Δx k} ) bo’lishidan λp→ 0 da
1
2∑k=0
n−1
Δx k2→ 0
bo’lishini topamiz.
Demak,
limλP→0σ= b2− a2
2
.
Bu esa ta’rifga ko’ra
∫
a
b
xdx = b2− a2
2
ekanini bildiradi. ►
.
[a,b] segmentda Dirixle funksiyasi uchun aniq integral mav-jud
emasligi ko’rsatilsin.
Dirixle funksiyasi
D(x) uchun integral yig’idini hususan quyidagicha
bo’lishini ko’rgan edik:
σ=¿{b−a, agar barcha ξkratsional son bo'lsa ,¿¿¿¿
8](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_8.png?v=1)
![λP→ 0 da σ yig’indi limitga ega emas. Demak, Dirixle funksi-yasi [a,b]
segmentda integrallanmaydi.
Odatda, yuqorida keltirilgan aniq integral Riman integrali , integral
yig’indini Riman yig’indisi deyiladi.
Agar
f(x) funksiya [a,b] segmentda chegaralanmagan bo’lsa, u shu
segmentda integrallanmaydi.
Darbu yig’indilari .
f(x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan bo’lib, shu
oraliqda chegaralangan bo’lsin:
m≤ f(x)≤ M , x∈[a,b]
.
[a,b]
oraliqda biror
P={x0,x2,… ,xn}∈F
(a= x0<x1<… < xn= b)
bo’laklashni olaylik. Bu funksiyaning aniq chegaralari
mk= inf {f(x)}, x∈[xk,xk+1],
M k=sup {f(x)}, x∈[xk,xk+1]
mavjud
ixtiyoriy
ξk∈[xk,xk+1] uchun
m k≤ f(ξ k)≤ M k (9.3)
bo’ladi. Endi
mk va M k sonlarni [xk,xk+1] oraliqning uzunligi Δx k=xk+1− xk
(k=0,.… ,n−1)
ga ko’paytirib quyidagi
∑k=0
n−1
mkΔx k= m0Δx 0+m1Δx 1+… +mkΔx k+… +mn−1Δx n−1,
∑k=0
n−1
M kΔx k= M 0Δx 0+M 1Δx 1+… +M kΔx k+… +M n−1Δx n−1
yig’inilarni tuzamiz.
. Ushbu
s= ∑k=0
n−1
mkΔx k, S= ∑k=0
n−1
M kΔx k
yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari deb
ataladi.
9](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_9.png?v=1)
![tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu esa Darbu yig’indilarining chegaralanganligini
bildiradi.
Aniq integrallarning boshqacha ta’rifi. f(x) funksiya [a,b] oraliqda
aniqlangan bo’lib, u shu oraliqda chegaralangan bo’lsin.
[a,b] oraliqni bo’lak-
lashlar to’plami
F={P} ning har bir P∈F bo’laklashi uchun f(x) funksiya-
ning Darbu yig’indilari
s(P),S(P) ni tuzib,
{s(P)},{S(P)}
to’plamlarni qaraymiz. Bu to’plamlar
(9.4) ga ko’ra chegaralangan bo’ladi.
7—ta’rif .
{s(P)} to’plamning aniq yuqori chegarasi f(x) funksiyaning [a,b]
oraliqdagi quyi integrali deb ataladi. Uni
J=∫
a
b
f(x)dx
kabi belgilanadi.
{S(P)}
to’plamning aniq quyi chegarasi f(x) funksiyaning [a,b]
oraliqdagi yuqori integrali deb ataladi.
J=∫
a
b
f(x)dx
kabi belgilanadi. Demak,
J=∫
a
b
f(x)dx =sup {s(P)},
J=∫
a
b
f(x)dx =inf {S(P)}
.
8—ta’rif. Agar
f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi quyi hamda yuqori
integrallari bir–biriga teng bo’lsa,
f(x) funksiya [a,b] oraliqda
integrallanuvchi deyiladi, ularning umumiy qiymati
J=∫
a
b
f(x)dx = ∫
a
b
f(x)dx
f(x)
funksiyaning [a,b] oraliqdagi aniq integrali deyiladi. Agar
∫
a
b
f(x)dx≠¿¿∫
a
b
f(x)dx
11](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_11.png?v=1)
![bo’lsa, f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanmaydi deyiladi.
Demak,
∫
a
b
f(x)=∫
a
b
f(x)dx = ∫
a
b
f(x)dx
.
Aniq integralning mavjudligi
1 0
. Darbu yig’indilarining xossalari. Faraz qilaylik,
F={P} to’plam
[a,b]
oraliqning barcha bo’laklashlaridan iborat to’plam bo’lsin. Agar P1∈F
bo’laklashning har bir bo’luvchi nuqtasi
P2∈F bo’laklashning ham bo’luvchi
nuqtasi bo’lsa,
P2 bo’laklash P1 ni ergashtiradi deyiladi va P1⊂P2 kabi
belgilanadi.
Aytaylik,
f(x) funksiya [a,b] oraliqda chegaralangan bo’lib, P1∈F va P2∈F
bo’laklashlari uchun Darbu yig’indilari
s(P1),S(P1);s(P2),S(P2)
bo’lsin.
1). Agar
P1⊂P2 bo’lsa, u holda
s(P1)≤ s(P2),S(P1)≥ S(P2)
bo’ladi.
2).
∀ P1∈F, ∀ P2∈F uchun
s(P2)≤S(P1)
bo’ladi.
3). Darbu yig’ndilaridan tuzilgan
{s(P)},{S(P)} (P∈F)
to’plam uchun
sup {s(P)}
P∈F
≤ inf {S(P)}
P∈F
ya’ni
J≤J
bo’ladi.
4). Ixtiyoriy
ε>0 olinganda ham shunday δ>0 topiladiki, diometri
λP<δ
bo’lgan [a,b] oraliqning P bo’laklashlari uchun
12](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_12.png?v=1)
![S(P)<inf {S(P)}+ε
s(P)>sup {s(P)}− εya’ni
S(P)<J+ε, s(P)>J− ε
bo’ladi.
Bu hossalardan birining masalan 2)— ning isbotini keltiramiz.
P1
va P2 lar [a,b] oraliqning ixtiyoriy bo’laklashlari bo’lsin. Bu
bo’laklashlarning barcha bo’luvchi nuqtalari yordamida
[a,b] ning yangi P
bo’laklashini hosil qilamiz. Ravshanki,
P1⊂P,P2⊂P
bo’ladi.
P bo’laklash uchun tuzilgan Darbu yig’indilari s(P) va S(P) lar
uchun 1)—xossaga ko’ra
s(P1)≤ s(P),S(P)≤ S(P1)
,
s(P2)≤ s(P),S(P)≤S(P2)
bo’lib, ulardan
s(P2)≤s(P)≤S(P)≤S(P1)
ya’ni
s(P2)≤S(P1)
bo’lishi kelib chiqadi.
Bu hossa
[a,b] oraliqni bo’laklashlari uchun tuzilgan quyi yig’indilar
to’plami
{s(P)} ning har bir elementi yuqori yig’ndilar to’plami {S(P)} ning
istalgan elementidan katta emasligini bildiradi (Qolgan xossalarning isboti
[1]
ning 9—bobidan qaralsin ) .
Aniq integralning mavjudligi. Aytaylik,
f(x) funksiya [a,b] oraliqda
chegaralangan bo’lsin .
1–teorema .
f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lishi uchun
∀ ε>0
olinganda ham shunday δ>0 son topilib, [a,b] oraliqni diametri λP<δ
bo’lgan har qanday
P bo’laklashi uchun Darbu yig’ndilari
S(P)−s(P)<ε
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
13](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_13.png?v=1)
![Zarurligi. f(x) funksiya [a,b] oraliqda chegaralangan bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
J= J = J
bo’ladi, bunda
J= sup {s(P)}, J=inf {S(P)}
.
∀ ε>0
olinganda ham shunday δ>0 son topiladiki, [a,b] oraliqning diametri
λP<δ
bo’lgan har qanday P bo’laklashida Darbu yig’indilari uchun 10 — dagi
4)–xossaga ko’ra
S(P)− J< ε
2, J− s(P)< ε
2 tengsizliklar o’rinli bo’lib, undan
S(P)−s(P)<ε
tengsizlik kelib chiqadi.
Yetarliligi.
∀ ε>0 olinganda ham shunday δ>0 son topilib , [a,b]
oraliqning diametri
λP<δ bo’lgan har qanday P bo’laklashida Darbu yig’ndi-
lari uchun
S(P)−s(P)<ε
tengsizlik o’rinli bo’lsin.
f(x) funksiya [a,b] oraliqda chegaralanganligi uchun
uning quyi hamda yuqori integrallari
J= sup {s(P)}, J=inf {S(P)}
mavjud va
10 —dagi 3)—xossaga ko’ra J≤J tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Ravshanki,
s(P)≤ J≤ J≤S(P).
Bu munosabatdan
0≤ J− J≤ S(P)− s(P)
bo’lishini topamiz. Demak,
∀ ε>0 son uchun 0≤ J− J<ε bo’lib, undan
J=J
bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiyaning [a,b] oraliqda
integrallanuvchi ekanligini bildiradi.
Agar avvalgidek
f(x) funksiyaning [xk,xk+1] (k=0,1,… ,n−1) oraliq-
dagi tebranishini
ωk orqali belgilasak, u holda
S(P)−s(P)=∑k=0
n−1
(M k−mk)Δx k= ∑k=0
n−1
ωkΔx k
bo’lib, yuqorida keltirilgan teorema quyidagicha ifodalanadi.
14](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_14.png?v=1)
![2—teorema . f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lishi
uchun
∀ ε>0 olinganda ham shunday δ>0 son topilib, [a,b] oraliqni
diametri
λP<δ bo’lgan har qanday P bo’laklashda
∑k=0
n−1
ω kΔx k< ε (9.5 )
tengsizlikning bajarilisi zarur va yetarli.
Ravshanki,
(9.5) munosabatni quyidagi
limλP→0∑k=0
n−1
ωkΔx k=0
ko’rinishda ham yozish mumkin.
Integrallanuvchi funksiyalar sinfi
Ushbu paragrafda aniq integralning mavjudligi haqidagi teoremadan foydalanib,
bazi funksiyalarning sinfi integrallanuvchi bo’lishini ko’ramiz.
f(x)
funksiya
[a,b]
oraliqda aniqlangan bo’lsin .
3 – teorema . Agar
f(x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsa, u shu
oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
f(x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsin. Veyeshtrasning
birinchi teoremasiga ( 5—bobdagi 7–teoremaga qarang ) ko’ra funksiya
[a,b]
da chegaralangan. Ikkinchi tomondan, Kantor teoremasining ( 5— bobdagi
10—teoremaga qarang ) 3—natijaga ko’ra
∀ ε>0 olinganda ham shunday
δ>0
son topilib, [a,b] oraliqni uzluklari δ dan kichik bo’lgan bo’laklarga
ajratilganda funksiyaning har bir bo’lakdagi tebranishi uchun
ωk<ε tengsizlik
o’rinli bo’ladi. Demak,
[a,b] oraliqni diametri λP<δ bo’lgan har qanday P
bo’laklashda
S(P)−s(P)=∑k=0
n−1
ωkΔx k<ε∑k=0
n−1
Δx k=ε(b−a)
bo’lib, undan
limλP→0∑k=0
n−1
ϖkΔx k=0
kelib chiqadi. Demak,
f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi .
15](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_15.png?v=1)
![4—teorema . Agar f(x) funksiya [a,b] oraliqda chegaralangan va
monoton bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi .
f(x)
funksiya [a,b] da chegaralangan va shu oraliqda, aytaylik,
o’suvchi bo’lsin.
∀ ε>0 sonni olib, unga ko’ra δ>0 sonni quyidagicha
tanlaylik:
δ= ε
f(b)− f(a)
>0
.
So’ngra
[a,b] oraliqni diametri λP<δ bo’lgan P bo’laklashi uchun Darbu
yig’indilari
S(P) va s(P) ni tuzamiz. U holda
S(P)−s(P)=∑
k=0
n−1
ωkΔx k= ∑
k=0
n−1
[f(xk+1)− f(xk)]Δx k≤ε
f(b)− f(a)∑
k=0
n−1
[f(xk+1)− f(xk)]=
=ε
f(b)− f(a)[f(x1)− f(x0)+f(x2)− f(x1)+… +f(xn)− f(xn−1)]=
=ε
f(b)− f(a)(f(xn)− f(x0))=ε
f(b)− f(a)(f(b)− f(a))=ε
Demak,
f(x) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi .
Chegaralangan hamda kamayuvchi funksiyaning integrallanuvchi bo’li-
shi ham xuddi shunga o’xshash isbotlanadi.
5–teorema . Agar
f(x) funksiya [a,b] oraliqda chegaralangan va bu
oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzulishga ega bo’lib, qolgan barcha
nuqtalarida uzluksiz bo’lsa , funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
f(x)
funksiya [a,b] da chegaralangan bo’lib, shu oraliqning faqat bitta
x¿ (x¿∈[a,b])
nuqtasida uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz
bo’lsin.
∀ ε>0
son olib, x¿ nuqtaning
U ε(x¿)= {x:x∈R ,x¿− ε<x<x¿+ε}
atrofini tuzamiz. Bu atrof
[a,b] oraliqni
U ε(x¿),[a,b]¿ε(x¿)=[a,x¿− ε]∪[x¿+ε,b]
qismlarga ajratadi.
Shartga ko’ra,
f(x) funksiya [a,x¿−ε] va [x¿+ε,b] oraliqning har
birida uzluksiz. Bu oraliqlarning har biriga alohida Kantor teoremasining
16](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_16.png?v=1)
![natijasini (5— bobdagi 3— natijani qarang) qo’llaymiz. U holda olingan∀ ε>0
son uchun shunday δ1>0 va δ2>0 sonlar topiladiki,
[a,x¿−ε]
da Δx k<δ1 dan ωk<ε,
[x¿+ε,b]
da Δx k<δ2 dan ωk<ε
tengsizliklar o’rinli ekani kelib chiqadi. Agar
δ= min {δ1,δ2} deb olsak , u holda
ikkala oraliq uchun bir vaqtda
Δx k<δ
dan ωk<ε
tengsizliklar o’rinli ekani kelib chiqadi.
Endi yuqoridagi
∀ ε>0 songa ko’ra δ>0 sonni δ<ε deb olaylik.
[a,b]
oraliqni diametri λP<δ bo’lgan bo’laklashlari uchun f(x)
funksiyaning Darbu yig’indilarini tuzib, quyidagi
S(P)−s(P)=∑k=0
n−1
ωkΔx k (9.6)
ayirmani qaraymiz.
(9.6) yig’indining har bir hadida [xk,xk+1] (k=0,1,… ,n−1)
oraliqning uzunligi
Δx k qatnashadi. Bu [xk,xk+1] oraliqlarni x¿ nuqtaning
Uε(x¿)
atrofidan tashqarida joylashganiga, ya’ni [xk,xk+1]∩ U ε(x¿)=0
munosa-bat o’rinli bo’ladiganiga mos keladigan
(9.6) yig’indining hadlaridan
tuzilgan yig’indi
∑k
'ωkΔx k
bo’lsin .
(9.6) yig’indining qolgan barcha hadlaridan tashkil topgan
yig’indi
∑
k
''ωkΔx k
bo’lsin, bunda
[xk,xk+1]⊂Uε(x∗) yoki [xk,xk+1]∩{x¿−ε}≠Ø yoki
[xk,xk+1]∩ {x¿+ε}≠Ø
bo’ladi.
Natijada
(9.6) yig’indi ikki qismga ajraladi:
∑k=0
n−1
ωkΔx k =∑
k
'ωkΔx k+ ∑
k
''ωkΔx k (9.7)
Endi bu yig’indilarni baholaymiz. Yuqoridagi
(9.6) munosabatdan
foydalanib, topamiz:
17](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_17.png?v=1)
![∑
k
'ωkΔx k ¿∑
k
'ε⋅Δx k ¿ε∑k=0
n−1
Δx k = ε(b− a). (9.8)
Ikkinchi yig’indi uchun
∑
k
''ωkΔx k ¿∑
k
''Ω⋅Δx k= Ω⋅∑
k
''Δx k
bo’lishini topamiz, bunda
Ω− f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi tebranishi.
Agar
Uε(x¿) atrofida butunlay joylashgan [xk,xk+1] oraliqlari uzunliklari-
ning yig’indisi
2ε dan kichikligini hamda x¿−ε va x¿+ε nuqtalarni o’z ichi-
ga olgan
[xk,xk+1] oraliqlar ikkita bo’lib, ularning uzunliklari yig’indisi ham 2ε
(chunki
δ<ε ) dan kichik bo’lishini etiborga olsak, u holda
∑k
''Δx k<4 ε (9.9)
bo’ladi. Natijada
(9.7) , (9.8) va (9.9) munosabatlardan
∑k=0
n−1
ωkΔx k<ε(b−a)+4ε⋅Ω= ε[(b− a)+4Ω]
ekani kelib chiqadi. Demak,
limλP→0∑k=0
n−1
ωkΔx k=0.
Bu
f(x) funksiyaning [a,b] da integrallanuvchi bo’lishini bildiradi.
f(x)
funksiya [a,b] oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzulishga ega
bo’lib, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, uning
[a,b] da
integrallanuv-chi bo’lishi yuqoridagidek isbot etiladi.
f(x)
funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Biz
∫
b
a
f(x)dx =−∫
a
b
f(x)dx
hamda
∫
a
a
f(x)dx =0
tengliklar o’rinli deb kelishib olamiz.
18](https://docx.uz/documents/95dda52b-9e75-4471-b0b7-8787ed8a0338/page_18.png?v=1)
Integrallanuvchi funksiyalar sinfi Aniq integral xossalari. O‘rta qiymat haqida teorema. Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integral
-
Похожие документы
- Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
- Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
- Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
- Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
- Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi