Дата регистрации 19 Март 2026
0 ПродажInterval koeffitsentli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari
![yechim ham shunchalik aniq bo‘ladi. Bu sohani tarixi uzoq davrlarga borib
taqalsada, uning keng rivojlanishi EHM larni yaratilishi bilan bog‘liq. Ushbu
metod o‘zining soddaligi va aniqligi bo‘yicha boshqa shu kabi metodlardan ustun
turadi.
Intervalli sonlar ikkita son – intervalni boshi va oxiri bilan beriladi.
Masalan:
[2; 5] – bu yerda 2 – intervalning boshi, 5 esa intervalning oxirini
ifodalaydi. Intervallarni ifodalashda lotin alfavitining bosh xarflaridan, interval
chegaralarini belgilashda esa kichik xarflarlan foydalaniladi. Intervalli sonlar
ustida to‘rtta arifmetik amallar (+, - , /, *) quyidagicha aniqlanadi:
A + B =[ a , a ] +[ b , b ] = [ a + b , a + b ]
A − B =
[ a , a ] − [ b , b ] = [ a − b , a − b ]
A∙B= [a,a]∙[b,b]=[min {ab ,ab,ab,ab},max {ab ,ab,ab,ab}]
A/B=[a,a]/[b,b]=[a,a]∙[1/b,1/b]
Masalan, A = [2; 5], B = [3; 8] intervalli sonlar ustida bu amallarni
bajarishga doir misol keltiraylik:
A + B = [2; 5] + [3; 8] = [2+3; 5+8] = [5; 13];
A – B = [2; 5] – [3; 8] = [2 – 3; 5 - 8] = [-1; -3];
A*B = [2;5]*[3;8] = [min{6, 16, 15, 4 0}, max{6, 16, 15, 4 0}] = [6; 4 0];
A / B = [2; 5] / [3; 8] = [2; 5]*[1/8; 1/3] =
= [min{1/4, 5/8, 2/3, 5/3}, max{1/4, 5/8, 2/3, 5/3}] = [1/4; 5/3];
Ko‘rinib turibdiki, intervalli sonlar ustida bajariladigan amallar odatdagi
amallarga qaraganda bir muncha ko‘p hisoblashlarni bajarishni taqazo etadi. Shu
sababli bu hisoblashlarni bajarishni EHMga yuklash maqsadga muvofiq.
Qaraliyotgan muommo maxsus dasturlash tili zarurligini keltirib chiqaradi, chunki
mavjud dasturlash tillarining aksariyati universal tillar hisoblanib, aniq bir
matematik yo‘nalishga mo‘ljallanmagan. Ammo, shunday maxsus dasturlash
tillari yaratildiki, ular tegishli yo‘nalishlarga moslashgan. Shular jumlasiga
interval analizga moslashtirilgan Pascal XSC dasturlash tilini kiritish mumkin. Bu
9](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_9.png?v=1)
![ma’lum bo‘lib, ular keng qo‘llanilib kelinmoqda. Bu metodlarning afzalligi
shundaki, aniq berilgan sonlarda , ya’ni koeffitsiyentlarda yechim mavjudligi
haqida to‘liq ma’lumot berib, yechim bir qiymatli aniqlanadi. Fan va texnikaning
rivojlanishi hamda ulardan kelib chiqadigan chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasini koeffitsiyentlari aniq son bo‘lmasdan, balki ma’lum aniqlikda berilishi
yuqoridagi usullar bilan masalani hal qilish aniq yechimni katta xatoliklar bilan
topilishiga sabab bo‘ladi.
Hozirgi kunda yuqoridagi xatoliklarni kamaytirish hamda aniq yechimga
yetarlicha yaqin bo‘lgan yechimni topish maqsadida turli metodlar
qo‘llanilmoqda. Bulardan interval analiz deb nomlanuvchi soha ushbu yo‘nalishda
o‘zining ishonchliligi va soddaligi bilan ajralib turadi.
Bizga ma’lumki, yaratilgan dasturlash tillarining aksariyati universal tillar
bo‘lib, ularda matematik hisoblashlar umumiy hollar uchun qaraladi. Ammo,
shunday maxsus dasturlash tillari mavjudki, ular tegishli yo‘nalishlarga
moslashgandir. Shular jumlasiga interval analizga moslashtirilgan Pascal XSC
dasturlash tilini kiritish mumkin. Bu dasturlash tili Karlsrue Universitetining
(Germaniya) amaliy matematikasi kafedrasida prof. U. Kulish raxbarligida
yaratilgan.
Ushbu malakaviy bitiruv ishi koeffitsiyentlari intervallardan iborat bo‘lgan
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Pascal XSC dasturlash
muhitida dasturiy vositasini yaratishga bag‘ishlangan.
Faraz qilaylik R
– barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsin. [a,b],a≤b interval
R
to‘plamning quyidagi ko‘rinishdagi qism to‘plami deyiladi:
[
a , b ] = { x ∨ x R ϵ a ≤ x ≤ b }
Barcha intervallar to‘plamini
I(R) orqali ifodalaymiz. I(R) elementlarini
katta harflar bilan belgilaymiz. Agar A – element
I(R) ning elementi bo‘lsa, ya’ni
A I
ϵ ( R )
, u xolda chap va o‘ng oxirlari a , a : A = [ a , a ]
ko‘rinishda belgilanadi. I(R)
elementlari intervalli sonlar deyiladi .
12](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_12.png?v=1)
![ϵ∩⊂ belgilari va shunga o‘xshash belgilar odatdagi ma’noda qo‘llaniladi.
Ikki interval A va V , qachonki ularning quyi va yuqori chegaralari teng
bo‘lsagina
a=b,a=b teng bo‘ladi.
I ( R )
to‘plamda tartib munosabati quyidagi ko‘rinishda aniqlanadi: А< В
bo‘ladi qachonki faqat va faqat
a<b munosabat bajarilsa. Xuddi shu kabi tartib
munosabatni kuyidagicha xam kiritish mumkin: agar A ⊂ B
bo‘lsa, u xolda А В
dan oshmaydi. Biz bitiruv malakaviy ishida birinchi ta’rifdan foydalanamiz.
A ∩ B
- A va B intervallarning kesishmasi bo‘sh bo‘ladi, agarda A < B
yoki
B< A bo‘lsa, aks xolda A ∩ B = [ max
{ a , b } , min { a , b } ]
– yana interval xosil
bo‘ladi .
Agar intervalning quyi va yuqori chegaralari − a = a
munosabatda bo‘lsa,
[ a , a ]
interval ta’rifga ko‘ra s immetri k deyiladi.
Ushbu
ω
( A ) = a − a
(1.1 .1 )
ko‘rinishda aniqlanuvchi ω
( A )
miqdorga A intervalning kengligi deyiladi.
Xuddi shuningdek,
m
( A ) = ( a + a ) / 2
(1 .1.2 )
ya’ni, A intervalning oxirlari yarim yig‘indisiga A intervalning o‘rtasi
deyiladi va m
( A )
ko‘rinishda ifodalanadi.
A intervalning absolyut qiymati
¿A∨¿ ,
|
A | = max { ∨ a ∨ , ∨ a ∨ }
(1 .1. 3)
ko‘rinishda hisoblanadi.
Nixoyat, μ
( A ) = min {| a| ,| a|} , S ( A ) = ¿
. SHuningdek, qachonki A ⊂ B
bo‘lsa,
|A|≤|B|,ω(A)≤ω(B)
bajarilishini xamda A⊂ B va A≠B bo‘lsa ω ( A ) ≤ ω ( B )
bajarilishini ko‘rish qiyin emas.
A va B( A , B I
ϵ ( R )
elementlari orasidagi masofa ρ(A,B) kuyidagi
ρ
( A , B ) = max { | a − b | , ∨ a − b ∨ }
13](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_13.png?v=1)
![formula orqali aniqlanadi.
Aynigan inteval deb, oxirlari ustma-ust tushuvchi, ya’ni а xaqiqiy son
bilan berilgan a = a = a
tenglik bajariluvchi intervalga aytiladi
Standart interval arifmetika
Intervalli sonlar ustida arifmetik amallar quyidagi ko‘rinishda aniqlanadi.
Agar ¿ ϵ { + , − , ∙ , / } , A , B Iϵ ( R )
bo‘lsa, u holda
A ∗ B = { a ∗ b ∨ a A
ϵ , b B ϵ }
(1 .1. 4)
bu erda bo‘lish amalida
0 Bϵ deb qaraladi .
( 1.1 .4) ta’rif quyidagi munosabatlar bilan ekvivalent ekanligini osongina
tekshirish mumkin:
A+B=[a,a]+[b,b]=[a+b,a+b]
(1.1.5)
A− B= [a,a]−[b,b]=[a−b,a−b]
(1.1.6)
A ∙ B =
[ a , a ] ∙[ b , b ] = [ min { ab , a b , a b , a b } , max { ab , a b , a b , a b } ]
(1.1.7)
A/B=[a,a]/[b,b]=[a,a]∙[1/b,1/b]
(1.1.8)
Eslatib o‘tamizki, ayirish amalini qo‘shish va ko‘paytrish amallari orqali
ifodalash mumkin
A − B = A + ( − B )
bu erda
− B=(−1)∙B=[−1,−1]∙B belgilash olingan.
a,a,b,b
sonlarni ishorasiga bog‘liq ravishda intervallarni ko‘paytirish
uchun (1.1.7) qoida quyidagi ko‘rinishni oladi (biz
[c,c]=[a,a]∙[b,b] deb olamiz):
1. a ≥ 0 , b ≥ 0 : c = ab , c = a b
;
2.
a≥0,b≥0:c=ab,c= ab ;
3. a ≤ 0 , b ≥ 0 : c = a b , c = a b
4.
a≤0,b≥0:c=ab,c= ab
5.
a<0<a,b≥0:c= ab,c=ab
6.
a<0<a,b≤0:c= ab,c=ab
7. a ≥ 0 , b < 0 < b : c = a b , c = a b
14](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_14.png?v=1)
![8. a≤0,b<0<b:c= ab,c=ab
9. a < 0 < a , b < 0 < b : c = min
{ a b , ab } , c = max { ab , a b }
Bu yerda ko‘rish mumkinki, ko‘paytmani topish uchun faqat bitta (oxirgi)
holdagina to‘rtta ko‘paytirish amali talab etiladi. Qolganlari uchun esa ikkita
ko‘paytirish amali yetarli bo‘ladi.
agar A va B – aynigan intervallar bo‘lsa, u holda (1 .1 .5)–(1. 1. 8) formulalar
odatdagi haqiqiy sonlar ustidagi amallar bilan ustma-ust tushadi. Shunday qilib,
intervalli son umumlashgan haqiqiy son bo‘lib, interval arifmetikasi esa haqiqiy
sonlar arifmetikasining umumlashmasi hisoblanadi.
(1.1.4) ta’rifdan bevosita ko‘rinadiki, intervalli qo‘shish va intervalli
ko‘paytirish assotsiativ va kommutativ xarakterga ega. Boshqacha aytganda,
A , B , C I
ϵ ( R )
uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
A +
( B + C ) = ( A + B ) + C , A + B = B + A
A ∙
( B ∙ C ) = ( A ∙ B ) ∙ C , B = B ∙ A
Nol va bir sonlari sifatida
[ 0,0 ] , [ 1,1 ]
-aynigan intervallar ishlatiladi. Boshqa
so‘z bilan aytganda , ixtiyoriy A I
ϵ ( R )
uchun
A+0=0+A= A,A∙1=1∙A= A
o‘rinli.
Bundan so‘ng ko‘paytirish amalini ifodalovchi nuqtani, odatdagiday,
tashlab ketamiz. Masalan: AB – bu
A∙B ni ifodalaydi.
(1.1.4) tenglik (xuddi (1.1.5)-(1.1.8) tengliklar kabi) ko‘rsatadiki, agar
operandlardan biri aynimagan interval bo‘lsa, u xolda arifmetik amal natijasida
xam aynimagan interval xosil bo‘ladi. A , B , C I
ϵ ( R )
soxada ko‘paytirish xoli
bundan mustasnodir. Bu yerda , ko‘p xollarda, aynimagan A interval uchun xuddi
А + В = 0, АС = 1 kabi elementlari ustida teskari qo‘shish va ko‘paytirish amali
mavjud bo‘lmasa, u holda A, B, C intervallar aynigan intervallar bo‘lishi shart.
Qisqasi, ayirish bu qo‘shishning teskarisi emas va bo‘lish ham ko‘paytirishning
teskarisi emas. Demak, ω
( A ) > 0
bo‘lsa, u holda A− A≠0,A/A≠1 bo‘ladi. Albatta,
xar doim 0 A
ϵ − A , 1 A ϵ / A
bo‘lishi tushunarlidir.
15](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_15.png?v=1)
![Subdistributivlik
Interval-arefmetik amallarning eng qiziq xossalaridan biri bu distributivlik
qonunini bajarilmasligidir, ya’niA(B+S)= AB +AS
(1.1.9)
tenglik har doim xam bajarilavermaydi . Xaqiqatdan ham,
[ 0,1 ] ∙ ( 1 − 1 ) = 0
,
ikkinchi tomondan esa
[0,1 ]−[0,1 ]=[−1,1 ] . Ammo, subdistributiv lik deb ataluvchi
tegishlilik har doim to‘g‘ridir:
A
( B + C ) ⊂ AB + AC
(1.1.10)
Sezish mumkinki,
a Aϵ ,b Bϵ ,c Cϵ uchun agar d A ϵ ( B + C )
o‘rinli bo‘lsa, u holda
d = a ( b + c )
tenglik ham o‘rinlidir. Ammo
ab AB ϵ ,ac AC ϵ dan
d= ab +ac AB ϵ +AC kelib chiqmaydi.
Aytish mumkinki, bir qancha muhim xollarda ( 1 .1.10) ( 1 .1.9) bilan mos
tushadi.
Agar bo‘lsa A intervalni nol saqlovchi interval (n.s.-interval) deb ataymiz.
Ta’rifga ko‘ra
sign
( A ) =
{ 1 , A > 0 ,
0 , 0 A ϵ ,
− 1 , A < 0 , (1.1.11)
ni xosil qilamiz. Faraz qilaylik, A
( B + S ) , AB , AS
ko‘paytmalarning hech biri
ko‘paytuvchilarining ikkalasi bir vaqtda nol saqlovchi intervallar bo‘lmasin. U
holda quyidagi tengliklar zanjiri o‘rinli bo‘ladi:
ω
( AB + AC ) − ω ( A ( B + C )) = ω ( AB ) + ω ( AC ) − ω ( A ) s ( B + C )
− s
( A ) ω ( B + C ) = ω ( A ) s ( B ) + s ( A ) ω ( B ) + ω ( A ) s ( C )
+ s
( A ) ω ( C ) − ω ( A ) s( B + C ) − s ( A ) ω ( B ) − s ( A ) ω ( C ) = ω ( A ) ( s ( B ) + s ( C ) − s ( B + C ) )
( 1 . 1. 12)
Olingan ifoda ω
( A ) = 0
yoki s(B+C)= s(B)+s(C) bo‘lgan hollarda nolga teng
bo‘ladi. Oxirgi tenglik bajarilishi uchun faqatgina
bc emas, balki bc xam musbat
bo‘lishi zarur va yetarlidir. Buni
B=[0,0 ] yoki C=[0,0 ] yoki sign (B)= sign (C) kabi
16](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_16.png?v=1)
![yozish mumkin. Yuqorida aytilgan tasdiqlar A interval nol saqlamaydigan
interval bo‘lgandagina to‘g‘ridir. A interval nol saqlaydigan interval bo‘lganda
yuqoridagi tasdiqlar to‘g‘riligicha qolishi uchun В, С, В + С intervallarning
hech biri no saqlaydigan interval bo‘lmasligi kerak. Agar А , В + С – n.s.-
intervallar bo‘lsa, ammo na B va na C bunday bo‘lmasa, u xolda (1.1.12)
tengliklar zanjirining birinchi qismi qat’iy tengsizlikka aylanadi. А, В + С va В va
(ёки) С – n.s.-intervallar bo‘lganda aniq bir fikr aytib bo‘lmaydi. Faqatgina, В va
С intervallar simmetrik intervallar bo‘lganda (1.1.9) distributivlilik xar doim
to‘g‘ri bo‘ladi.
Shunday qilib, quyidagi tasdiqlar o‘rnatildi:
1. ( 1 .1.10) formula xar doim to‘g‘ri ;
2.Agar ω( A ) = 0
yoki B=[0,0 ] yoki C=[0,0 ] bo’lsa u holda A ( B + S ) = AB + AS
3.Agar A- n.s – interval bo’lmasa u holda faqat va faqatgina
sign (B)= sign (C) bo’lsa A(B+S)= AB +AS tenglik o’rinli;
4. Agar
d≥0 bo’lsa u holda A ( B + S ) = AB + AS
bo’ladi. Bu yerda
D=[d,d]= BC
5. Agar B va S – simmetrik bo‘lsa, u xolda
A(B+S)= AB +AS Tegishlilik
bo‘yicha monotonliligi
Interval arifmetikasi tegishlilik bo‘yicha monotonliligi kabi muxim
xususiyatga ega .
Bu degani, agar A ⊂ C , B ⊂ D
bo‘lsa , u xolda
A+B,C+D
, A− B⊂C− D , AB ⊂CD A/B⊂C/D (agar 0∈D ) (1.1.13)
Bu munosabatlar (1 .1.4 ) ta’rif dan bevosita kelib chiqqan natijalar d ir .
Tegishlilik munosabati tranzitiv ekanligidan foydalanib , biz quyidagi muhim
xulosaga kelamiz.
Teorema 1 .1 .1.
Agar -
F(x1,x2,… ,xn)¿,x2,… ,xn intervalli o‘zgaruvchilardan xosil qilingan
ratsional ifoda bo‘lsa, ya’ni x
1 , x
2 , … , x
n intervallar va intervalli arifmetika
17](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_17.png?v=1)
![amallari bilan bog‘langan doimiy intervallar yig‘indilarining chekli
kombinatsiyasi bo‘lsa, u xolda X
i( 1 )
⊂ X
i( 2)
i = 1 … n
dan quyidagi kelib chiqadi
F ( X
1
( 1)
, X
2 ( 1)
, … , X
n ( 1)
) ⊂ F ( X
1 ( 2)
, X
2 ( 2)
, … , X
n ( 2)
)
Bu erda X
1
( 2)
, X
2 ( 2)
, … , X
n ( 2)
- ifodadagi barcha arifmetik amallar ma’noga ega
bo‘ladigan ixtiyoriy intervalli sonlardir .
Bu teorema ba’zida interval arifmetikasning asosiy teoremasi deyiladi.
1.2. Interval arifmetikasini umumlashtirish
Nostandart ayirish va bo‘lish bilan berilgan interval arifmetika
Nostanart a y irish - va bo‘lish, : berilgan A , B ∈ I ( R )
elementlar bo‘yicha
quyidagi ko‘rinishda beriladi :
A − B = [ min
{ a − b , a − b } , max { a − b , a − b } ]
A : B =
{ [ min { a / b , a / b } , max { a / b , a / b } , agar A , B > 0 ]
[ min { a / b , a / b } , max { a / b , a / b } , agar A , B < 0 ]
( 1 / b ) A , agar 0 ∈ A , B > 0
( 1 / b ) A , agar 0 ∈ A , B < 0
Quyidagicha I ¿
(
R ) = { A ∨ A ∈ I ( R ) , 0 ∈ A }
belgilash kiritamiz va uning bir
qancha + va : amallari bilan bog‘liq xossalarini ko‘rsatamiz :
1.
A− A= 0,A∈I(R)
2. A , B ∈ I ( R )
uchun A + B = − ( B + A )
,
( − A ) + B = ( B ) + A
,
(tarif bo‘yicha − A = 0 + A
).
3. Ushbu
A+C= B+C tenglikdan A= B tenglik kelib chiqmydi; masalan,
[9,13 ]+[1,4 ]=[10,12 ]+[1,4 ]
4. A , B ∈ I ( R )
uchun
A+X= B tenglama yagona echimga ega : X= B+A .
5. A , B ∈ I ( R )
uchun A + X = B
tenglama X = A + ( − B )
ko‘rinishdagi echimga
ega.
ω(A)≥ω(B) bo‘lganda bu tenglama yana bitta ildizga ega: X= A+B .
6. Ushbu X + A = B
tenglama X = A + B
ko‘rinishdagi echimga ega. Agar
ω ( A ) ≥ ω ( B )
bo‘lsa, u xolda yana bir ildiz mavjud: X = A + ( − B )
.
18](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_18.png?v=1)
![7. A + B = A + ( − B )
tenglik bajariladi, fakat va faqat ω( A ) = 0
yoki ω ( B ) = 0
bo‘lsa.
8. A : A = 1 , A ∉ I ¿
( R )
9.
A,B∈I¿(R) uchun A : B = ( B : A )
, A−1:B= B−1:A bo‘ladi. (ta’rifga ko‘ra
A − 1
= 1 : A ).
10. Ushbu A : C = B : C
tenglikdan A = B
kelib chikmaydi; masalan,
[2,6 ]:[1,2 ]=[3,4 ]:[1,2 ]
A ∈ I ¿
( R )
elementlar uchun V ( A )
quyidagi ko‘rinishda funksiyani
keltiramiz:
V
( A ) = max { a / a , a / a }
11.
AX = B tenglama A , B ∈ I ¿
( R )
bo‘lganda X = B : A
ko‘rinishdagi echimga
ega bo‘ladi faqat va faqat V
( A ) ≤ V ( B )
bo‘lsa.
12. A : X = B
tenglama
A,B∈I¿(R) bo‘lganda X= AB−1 ko‘rinishdagi
echimga ega. Agar
V (A)≥V (B) bulsa, u xolda X= A:B ko‘rinishdagi yana bir
echimga ega.
13.
X :A= B tenglama X= AB ko‘rinishdagi echimga ega. Agar V (A)≥V (B)
bo‘lsa, u xolda
X= A:B−1 ko‘rinishdagi yana bir echimga ega.
14.
A : B = A B − 1
bo‘ladi faqat va faqat V
( A ) = 1
yoki V (B)=1 bo‘lsa.
1.3 Interval sonlar ustida arifmetik amallar. Klassik interval arifmetika
va uning algebraik xossaiari
Agar
¿ϵ{+,− ,∙,/} bo'lsa, u holda a va b intervallar uchun arifmetik amallar
quyidagicha ifodalanadi:
a∗b= {a∗b|a aϵ ,b bϵ }.
(1.3.13)
Bunda bo'lish amalida
0∈b .
19](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_19.png?v=1)
![a=[a,a] va b=[b,b] bo'lsa, u holda (1.3.13) formula mos hollarda, quyidagi
formulalarga ekvivalentdir:
a+b=[a,a]+[b,b]=[a+a,a+b]
a − b =
[ a , a ] − [ b , b ] = [ a − a , a − b ]
a ∗ b =
[ a , a ] ∗[ b , b ] = [ min { a ∗ b , a ∗ b , a ∗ b , a ∗ b } , max { a ∗ b , a ∗ b , a ∗ b , a ∗ b } ]
,
a/b=[a,a]/[b,b]=[a,a]∗[1/b,1/b] . (1.3.14)
Agar a va b intervallarda chap va o'ng chegaralari o'zaro teng bo'lsa, ya'ni
a= a, b = b bo'lsa, u holda (1.3.14) formulalar haqiqiy sonlar ustidagi arifmetik
amallarni aniqlovchi formulalarni ifodalashini ko'rish qiyin emas.
Demak, interval son haqiqiy sonning umumlashmasi, interval arifmetika esa
haqiqiy arifmetikaning umumlashmasidir.
Interval qo'shish va ko'paytirish amallari assotsiativlik va kommutativlik
qonuniyatlariga bo'ysunadi. Ya'ni, a , b , c ∈ ( R )
bo'lsa, u holda
a+b=b+a,
a +
( b + c ) = ( a + b ) + c
a∗b= b∗a,
a ∗
( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c
.
Interval sonni butun darajaga ko'tarish quyidagi formula asosida amalga
oshiriladi
a''=[a,a]n=
{
[an,a−n]agar n= 2i+1bo 'lsa
[an,a−n]agar n= 2iva a>0bo 'lsa
[an,a−n]agar n=2iva a>0bo 'lsa
a”=
[a,a]n = ¿
(l.3.13 )-(1.3.14) formulalar bilan aniqlangan interval arifmetika, interval
analizga tegishli adabiyotlarda, klassik interval arifmetika yoki R. Mur
arifmetikasi ham deb yuritiladi.
(l.3.13 )-(1.3.14) formulalarni tahlili shuni ko'rsatadiki, interval
arifmetikada: qo'shish amali, ayirish amaliga, ko'paytirish amali esa bo'lish
amaliga teskari emasdir. Ya'ni,
a− a≠[0,0 ],a/a≠[1,1 ]ammo 0 aϵ −a,I aϵ /a
20](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_20.png?v=1)
![Chunki,
rad( a ± b ) = rad ( a) + rad ( b )
formuladan ko'rinib turibdiki, intervallarning
yig'indisini yoki ayirmasining radiusi (kengligi) qo'shiluvchilarning radiuslarining
yig'indisiga teng bo'ladi. Shuning uchun, (R) ga tegishli ixtiyoriy interval uchun
unga qarama-qarshi interval mavjud emas, ya'ni
a− a≠0 . lkkinchi tomondan,
|
a| rad ( b) ≤ rad ( ab ) ≤ | a| rad ( b) + rad ( a )| mid ( b )|
,
rad (a)|b|≤rad (ab )≤rad (a)|b|+|,id (a)|rad (b)
formulalardan ko'rinib turibdiki, ixtiyoriy
chegaralari ustma-ust tushmagan intervalni, intervallar ko'paytmasining nolga
teng bo'lmagan radiusiga ko'paytirganda natija hech qachon nolga teng bo'lmaydi.
Shu sababli, I(R) ning ixtiyoriy chegaralari ustma-ust tushmagan intervalining
teskarisi mavjud emas, ya'ni
a/a≠[1,1 ] .
Ammo, I(R) da, quyidagi xossalar o'rinlidir:
a+c=b+c→ a= b,
a − c = b − c , 0 a
ϵ , 0 b ϵ , 0 c ϵ → a = b .
Klassik interval arifmetikani qo'llanilishiga doir quyidagi misollar bilan
tanishamiz:
[1,2 ]+[4,6 ]= [5,8 ];
[2,4 ]/[− 2,1 ]= aniqlanmagan ;
1+[−3,2 ]= [− 2,3 ];
[
2,5 ] − [ 0,2 ] = [ 2,3 ] ;
[−2,1 ]∗[0,4 ]=[−8,0 ];
3 ∗
[ − 2,3 ] = [ − 6,9 ] ;
2/[1,2 ]=[1,2 ];
[2,4 ]/[− 2,−1]=[−4,− 1];
[
2,3 ] ∗ ¿ 2 = [ 4,6 ] ;
[−1,2 ]∗¿2=[0,4 ];
21](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_21.png?v=1)
 = 0
bo'lgan holda
[ 0,1 ] − [ 0,1 ] = [ − 1,1 ]
ekanini ko'rish mumkin.
Interval arifmetikada subdistributivlik deb ataladigan quyidagi xossa
a ∗
( b + c ) ⊆ a ∗ b + a ∗ c
(1.3.16)
doimo o'rinlidir.
Shunday bo'lsada, quyidagi hollarda, ya'ni:
1) Agar <
mi d(a) = 0 yoki b = [0,0], yoki с = [0,0];
2) Agar b va с intervallar uchun sign(b) = sign (c) munosabat
o'rinli;
3) Agar d = bc = [ d ,d] interval hamma vaqt musbat;
4) Agar b va с intervallar - simmctrik intervallar bo'lsa, u holda interval
arifmetikada distributivlik qonuni bajariladi, ya'ni (1.3.15) tenglik o'rinli bo'ladi,
aks holda (1.3.16) munosabat, ya'ni subdistributivlik xossasi bajariladi.
1.4 Interval arifmetikaning monotonlik xossasi
Ta'rif. Agar a
⊆ c va b ⊆ d bo'lgan holda
a + b ⊆
c + d,
a-b
⊆ c-d,
ab ⊆
cd,
a/b
⊆ c/d. (1.4.17)
munosobat o'rinli bo'lsa, interval arifmetika monotonlik xossasiga
¿
amali bo’yicha) ega deyiladi.
Teurema. Agar f(x
1 ,x
2 ,...,x
n ) chekli sondagi x
1 ,x
2 ,...,x
n , interval
o'zgaruvchilar hamda interval arifmetik amallar yordamida 22 hosil qilingan
ratsional ifoda bo'lsa, u holda barcha x
i ϵ x
i , i = 1 , n
; uchun
f(x
1 ,x
2 ,...,x
n )=F (x
1 ,x
2 ,...,x
n ) f(x
1 ,x
2 ,...,x
n )
⊆ f (x
1 ,x
2 ,...,x
n )
22](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_22.png?v=1)
![munosabatlar o'rinli bo'ladi.
Yuqorida keltirilgan teorema interval analizda, interval arifmetikaning
asosiy (fundamental) teoremasi deb ham yuritiladi.
Oldingi paragrafda intervallarni tasvirlashning ikki usuli, ya'ni uning
chegaralari hamda o'rtasi va radiusi orqali ifodalanishi bilan tanishgan edik. Agar
sonlar tekisligida shu tasvirlashlarni ifodalamoqchi bo'lsak, u holda quyidagi
tasvirlarga ega bo'lamiz:
Rasm 1. Interval tekisliklar
Bu tasvirlardan ko'rinib turibdiki, I(R )ni koordinatalar tekisligida
tasvirlaganimizda, interval tekisliklar (ikkala holda ham) to'laligicha
foydalanilmay qolayapti, uning yarmisi foydalaniladi. Bu cheklashlar klassik
interval arifmetikaning takomillashgan ko'rinishlarida (keyingi paragrafga qarang)
ma'lum bir manoda yo'qotiladi.
1. 5 . Umumlashgan interval arifmetika
A − A ≠ 0 , A / A ≠ 1
va shu ko‘rinishdagi interval arifmetika kiruvchi xossalar
bir qator xollarda intervalli hisoblashlar natijasida xosil bulgan natijani kengligini
oshishiga sabab bo‘ladi. Umumlashgan interval arifmetika ko‘pgina xollarda bu
kabi odatdagi interval arifmetikadan kelib chiquvchi noxushliklarni yo‘qotadi.X=[x,x]
intervalni
23](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_23.png?v=1)
![x = y + [ − c , c ]
ko‘rinishda ifodalaymiz, bu yerday= m(x) , c = ( 1
2 ) ω ( x ) ≥ 0
.
Shunday qilib boshlang‘ich ich x ∈ X
nu q ta
x= y+ξ,ξ∈[− c,c] ko‘rinishda
yoziladi.
Faraz qilaylik bizga, n o‘zgaruvchili berilgan X
1 , X
2 , … , X
n intervallarda
o‘zgaruvchi ratsional ifodalar qiymatlari to‘plamidan olingan intervalni topish
talab etilgan bo‘lsin.
Har bir o‘zgaruvchini
xi∈Xi
ko‘rinishda ifodalaymiz
xi= yi+ξi,ξi∈[−c,c]
Ixtiyoriy
X
i = Y
i + α
( r = 1. . n ) ξ
r Z
ir , (1.5.18)
interval , bu e rda Y
i , Z
ir , i = 1 , … , n
q andaydir intervallar va ξ
i ∈ [ − c
r , c
r ]
(1.3.14) ko‘rinishda berilgan
Xi
interval umumlashgan interval deyiladi.
Y
i =
[ y
i , y
i ] , Z
ii = [ 0,0 ] , r ≠ i , ξ
r ϵ [ − c
r , c
r ]
ni hisobga olsak, X
i = Y
i
Umumlashgan intervallar ustida arifmetik amallarni keltiramiz.
Faraz qilaylik X
i = Y
i + α
( r = 1 , .. , n ) ξ
r Z
ir , X
j = Y
j + α
( r = 1 , .. , n ) ξ
r Z
jr
Quyidagilarga egamiz
xi∗xj= yk+∑r=1
n
ξrzir
Yk,Zkr
intervallar uchun har qaysi amallar aloxida quyidagicha bo‘ladi :
qo‘shish Y
k = Y
i + Y
j
Zkr= Zir+Zjr,r=(1..n)
ayirish Y
k = Y
i − Y
j
Zkr= Zir−Zjr,r=(1. .n)
ko’paytirish
Yk=YiYj+α(r=1..n)[0,c2]ZirZjr
z
kr = y
i z
jr + y
j z
ir + z
ir ∑
s = 1
s ≠ 1n
[
− c
s , c
s ] z
js = y
i z
jr + y
j z
ir + [ − 1,1 ] ¿ z
ir ∨
∑
s = 1
s ≠ 1n
c
s | z
is | ;
bo‘lish Y
k = Y
i / Y
j
z
kr = y
j z
ir − y
i z
jr
y
j ¿ ¿
24](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_24.png?v=1)
![Ko‘rsatish mumkinki,
agar xi∈Xi=Yi+α(r=1..n)ξrZir (1.5.18)
x
j ∈ X
j = Y
j + α
( r = 1. . n ) ξ
r Z
ir
bo‘lsa , uxolda
xi∗xjϵXiX jϵ{+,− ,∙,/} bo‘ladi.
3.1. Misol. Quyidagi funksiyani qiymatlari to‘plamini topamiz
f
( x ) = x − x
va g ( x
1 , x
2 ) = x
1 − x
2
x,x1,x2ϵ[0,1 ]
. Birinchi xolda
x = 1
2 + ξ , ξ
ϵ[ − 1
2 , 1
2 ] ;
ikkinchi xolda esa
x
1 = 1
2 + ξ
1 , x
2 = 1
2 + ξ
2 , ξ
1 , ξ
2 ϵ
[ − 1
2 , 1
2 ] ;
y1= 1
2,y2= 1
2,z11= z22=0,Z12= Z21=0;
deb olaylik, u xolda
f([0,1 ])=0+[
−1
2 ,1
2]∙0=0;
g([0,1 ],[0,1 ])= 0+[
−1
2 ,1
2]∙1+[
−1
2 ,1
2]∙1=[−1,1 ];
Kaxan tomonidan kiritilgan umumlashan interval amallar interval
[
a
1 , a
2 ] a
2 < a
1 shartni qanoatlantirganda 0 sonini o‘z ichiga oluvchi intervalga
bo‘lishni xam inkor etmaydi.
Umumlashgan interval arifmetika ko‘p amallarni bajarishni talab etadi ,
shubhasizki shu kabi mashina vaqtini ham. Shuning uchun ushbu arifmetikadan
faqat maxsus xollarda foydalanish talab etiladi.
II. BoB . Algebraik tenglamalar sistemasini yechish
2.1 . Intervalli vektorlar va matritsalar
25](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_25.png?v=1)
![‖A‖= maxi=1,n∑j=1
n
|Aij| (2.5)
dan foydalanamiz.
Ko‘rish mumkinki, agar
A,B Iϵ (Rn) yoki I(Rnxn ) bo‘lsa, u holda AB dan
‖A‖≤‖B‖,ω(A)≤ω(B) kelib chiqadi.
Agar
a
ϵ R n
bo‘lsa , u holda P
i operatorlar P
i a=a
i , i=1,n tenglikni
aniqlaydi.
Intervalli koeffsiyentlar bilan berilgan chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasi.
Quyidagi ko‘rinish bilan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini
qaraymiz.
S ˇU = F
(2.6)
bu yerda S I
ϵ ( R nxn
) F I ϵ ( R n
)
(2.6) tenglama quyidagi ma’noda tushuniladi:
ˇU = {u2,u2,… ,un|su = f,s Sϵ ,f Fϵ };
to‘plamni topish talab etiladi.
ˇU i= {Pr iu|uϵˇU },i=1,n belgilash kiritamiz. Yechimlar to‘plami ˇU
umuman chalkash va tushunarsiz tuzilishga ega bo‘lishi ham mumkin. Masalan,
Xansen ko‘rsatishicha,
S =
(
[ 2,3 ] [ 0,1 ]
[
1,2 ] [ 2,3 ]) F = (
[ 0,120 ]
[ 60,240 ]
)
bo‘lganda ˇ
U
yechim ( u
1 , u
2 )
tekislikda qavariq bo‘lmagan
sakkizburchakni ifodalaydi.
Shubhasizki, n ikkidan katta bo‘lganda maqsadga muvofiq yechimni
ifodalash bir muncha qiyin bo‘ladi.
Intervalli hisoblashlar doirasida ˇ
U
i ⊂ U
i i = 1 , n
bo‘lgan
U =(U 1,U 2,… ,U n)
intervalli vektorlarni topishga doir masala qo‘yish mumkin.
Komponentalari
U
i¿
=
[ inf ˇ
U
i ,
i ˇ
U ]
= ˇ
U
i i = 1 , n
27](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_27.png?v=1)
![.
Agar aϵ [ ( √ 5 − 1 ) / 2,1 ]
bo’lsa u holda 0 ϵ [ 1 − a 2
− a 2
/ ( 1 − a 2
) , 1 + a 3
( 1 − a 2
) ]
bo’lib
Gauss usulini qo’llash imkoniyati amalga oshmaydi
0,62> ni olaylik, ixtiyoriy s S(0,62) matritsa uchun dets
ϵ 0 .
Matritsa kuyidagi ko‘rinishga ega
,
(x, y, z, u, v, w) ϵ D = [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62]
[0, 0.62]
Va uning diterminanti det s = 1 + wxy + uvz + wz - ux - yv = f( x, y, z, u, v,
w ). Qiyin bo‘lmagan ammo ko‘p xisoblashlar natijasida barcha (x, y, z, u, v,w) ϵ
D
lar uchun
f(x, y, z, u, v, w) >0 ni topish mumkin. Demak, keltirilgan misol
ko‘rsatadiki, odatdagi Gauss metodidan intervalli analoga o‘tish natijasida
metodning afzalliklari yomonlashadi.
2.3. Intervalli matritsalar ustida amallar
(2.6) tenglamalar sistemasini yechishning usullaridan biri teskari
matritsalarni ishlatishdan iboratdir. Haqiqatdan ham, agar bizga T matritsa
quyidagi ko‘rinishda ma’lum bo‘lsa,
,
U holda sistemaning yechimlar to‘plami TF: U TF hosil bo‘ladi.
32](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_32.png?v=1)
![2.2. Teorema :
1. ketma-ketlikning har bir hadi o‘zida s -1
ni saqlaydi.
2. Agar e - sm(T 1
) matritsaning r(e - sm(T 1
)) spektral radiusi bir birlikdan
kichik bo‘lsa, faqat va faqat shundagina ketma-ketlik s -1
ga
yaqinlashadi.
3. Agar monoton multiplikativ matritsali norma bo‘lsа [312], u holda
matritsalar ketma-ketligi uchun quyidagi baholash bajariladi:
,
Bu yerda (A) - (Aij) elementlari bilan berilgan matritsa
Yana s -1
T(0) bo‘lsin . Quyidagi tenglik yordamida ketma –
ketlik aniqlanadi:
,
k >1.
. (2.16)
2.3 Teorema
1. barcha l = 0, 1, 2, .. uchun .s -1
T( 1
) bo‘ladi;
2. Agar barcha t T( 1
) lar uchun e - st matritsaning spektral radiusi bir
birlikdan kichik bo‘lsa , u holda ketma – ketlik s -1
ga yaqinlashadi:
r(e - st ) <1. (2.17)
3. Agar monoton multiplikativ matritsali norma bo‘lsa, u xolda
ifodalar to‘g‘ri bo‘ladi.
(2.17) bajarilganda yetarlicha oddiy kriteriyasini ifodalaymiz.
s -1
T va - sm(T)ϵ 1 bo‘lganda bo‘lsin. Agar
bo‘lsa, u xolda barcha t T lar uchun r(e - st) <1 bo‘ladi.
34](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_34.png?v=1)
![(2.15), (2.16) munosabatlar orqali aniqlangan metodlarni amalga oshirish
uchun boshlang‘ich yaqinlashish T(0) bilish zarur. Uni intervalli Gauss metodi
orqali topish mumkin. S -1
T tegishlilik sharti bajarilishi uchun yetarli shartni
kiritamiz.
2.4 teorema
1. T(e - s) T - e shart bajariluvchi matritsa berilgan bo‘lsin.
U xolda s -1
2. Agar e - s – aynimagan va T matritsa shartni
qanoatlantirsa, u xolda s -1
T.
2.4. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi uchun intervalli iteratsion
metod .
Intervalli metodlarni qo‘llash nafaqat yechimni EHM da ortiqcha xotirani
band qilmasdan tez aniqlashga yordam beribgina qolmasdan, balki yechimning
berilgan sohada mavjudligi va yagonaligini tekshirishga imkon yaratadi.
Nyutona metodi tipidagi odatdagi haqiqiy iteratsion metodlar boshlang‘ich
yaqinlashish aniq yechimga yaqinroq tanlangandagina uning yechimga tez
yaqinlashishini kafolatlaydi. [109].
Faraz qilaylik chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishda
berilgan bo‘lsin:
x = a x + b , (2.18)
, bu yerda a va b ga nisbatan a A, b B,
ma’lum .
(2.18)uchun intervalli iteratsion metod sifatida oddiy iteratsiya metodini
qaraymiz:
35](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_35.png?v=1)
![komponentlari bilan berilgan vektorni olish mumkin.
2.4. Maple dasturiy tizimida interval hisoblashlar
Maple dasturiy tizimi ham o’z imkonyatlariga ko’ra Mathematica tizimi
bilan bemalol bahslashadigan tizimdir
Maple dasturlash tizimi vositalaridan foydalangan holda dastlab 1993
yilda nemis tadqiqotchilari I.Geulig va W.Kraamerlar tomonidan INTPAK deb
nomlanadigan dasturlash majmuasi yaratildi
1999 yilda A.E.Connell va R.M.Corless tomonidan esa INTPAKX
deb nomlangan ammo imkonyatlari INTPAKdan ancha ustun bo’lgan yangi
dasturlash majmuasi taklif etildi. Bu dasturlar majmuasida foydalanuvchi uchun
ancha qulay shakilda interval miqdorlarni tasvirlash ular ustida arfmetik amallar
bajarish interval argumintli elimentar funksiyalrning qiymatlarini hisoblash
kompleks intirvallar ustida amallar bajarish interval funksiyalar grafklarini yasash
hamda Nyuton usulining interval varianti yordamida turli tinglamalarni interval
yichimlarini topish imkonyatlari mavjud
Ammo bu dasturlarni imkonyatlarini ko’rsatuvchi ilmiy maqolalar
mavjud bo’lsada ulardan foydalanish tijorat shartnomasi asosida bo’lganligi
sababli biz quyida shu dasturlarga muqobil tarzda yaratilgan INTAN dasturlar
majmuasining imkonyatlari haqida so’z yuritamiz
Intirval miqdor INTANda odtdagi yozuvda yoziladi yani:
¿ x : = [ 1,2 ] ;
x ≔
[1,2]
¿ tyupe ( x , interval ) ;
False
Bu yirda xning interval tipda emasligining asosiy sababi intervalning
chegaraviy nuqtalari odatda o’nli kasr ko’rinishida ifodalanishi yani ular 1. 0 va 2.
0 ko’rinishida yozilishi shartdir
39](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_39.png?v=1)
![Interval arifmetik amallar Maple dasturiy tizimining xususiyatidan kelib
chiqqan xolda mos ravishda &+,&-,&*,&/ belgilari orqali ifodalanishi kerak
quyida tipik interval xisoblashlarni bajarish usullari keltirilgan
x:= [1.,2.]
true
>construct(1/3)
[.3333333333,.3333333333]
>[1.,2]&+3&*0
[0,0]
>construct(1,rounded);
[.9999999999,1.00000000001]
>y:= construct (1,infinity, rounded);
Y:=[0.99999999,∞]
>type (y, interval);
True
>width(x); width(y);
1.
∞
>midpoint(x);
[1.49999999,1.50000001]
>[1.,2.]&+(3&*0);
[.9999999999,2.0000000001]
>[1.,2.]& intpower 3;
[-1.000000001,8.0000000001]
>&sqr(&cosh(1))&-&sqr(&sinh(1));
[.9999999919,1.0000000008]
40](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_40.png?v=1)
![Intervallarning birlashmasi (umumlashmasi) kesishmasi INTAN da
quydagicha
amalga oshiriladi
X:=[1.,3.]; y:=[2.,infinity];z=[4.,5.];
X:=[1.,3.]
Y:=[2.,∞]
Z:=[4.,5.]
>x&uneon y;
[1.,∞]
X&uneonz;
[1.,3],[4.,5.]
Quyida f( x ) ≔ x 3
− x 2
− x + 1
funksiyaning x o’zgaruvchi [0,0.5] intervalda
o’zgargandagi qiymaylar sohasini topish uchun tuzilgan algaritmni keltirib
o’tamiz
1. >x:=’x’;
x:=x
2. >f:=x^3-x^2-x+1;
f:=x 3
-x 2
-x+1
3. >F:=inapply(f,x);
Inapply funksiyasi f ni tabiiy interval kengaytmasini qurish uchun
foydalaniladi
F ≔ x →
( x '
∧ intpowe r '
3 ) '
∧ + ' ¿
4. F ning birinchi tartibli hosilasini tabiiy interval kengaytmasi quriladi
41](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_41.png?v=1)
![>dF:=inapply(diff(f,x),x):
dF ≔ x →( 3 '
∧ ¿ ' (
x '
∧ inpowe r '
2 )) '
∧ + ' ¿
5. f ni [0,0.5] dagi qiymatlar to’plamini hisoblaymiz
>X:=[0,0.5];
X:=[0,.5]
>mid_X:=midpoint(X);
mid_X:=[0.2499999999,1.250000002]
>r_i:=F(X);
r_i:=[0.2499999994,1.125000003]
>r_m:=F(mid_X)&-(dF(X)&*(x&-mid_x));
r_m:=[0.2031249977,1.203125003]
bunda interval kengaytmaning o’rta qiymatli ko’rinishidan foydalanildi.
6. f ning hosilasining interval kengaytmasini hisoblaymiz
>dF([0,0.5]);
[-2.000000003,-.249999985]
Bu nateja F funksiyaning monoton kamayuvchiligidan dalolat beradi
7. funksiyaning aniq qiymatlar to’plamiga yaqin natejani quydagicha
hisoblash mumkin
>r_e:=construct(F(X[2])[1],F(X)[1])[2]);
r_e:=[.3749999993,1.000000003]
bunda F(X[2]) interval funksiyaning x[2]=0.5 nuqtadadagi qiymati bo’lsa,
F(X[2])[1] esa F(X[2]) chap chegarasi ekanligini anglatadi aslida bu funksiyaning
aniq qiymatlar to’plami [0.375,1] interval bilan chegaralangandir. Tuzilgan
algaritmning natejasi esa [.3749999993,1.000000003]
ga teng. Yuqoridagidan ko’rinibdiki, olingan natija qanoatlanarlidir.
Bundan tashqari, INTAN dasturlar majmuasida kompleks intervallar ustida
arifmetik amallarni bajarish turli xaraktirdagi grafiklarini yasash mumkin
42](https://docx.uz/documents/79f374ba-98fc-4931-80c1-2823beff5390/page_42.png?v=1)
-
Похожие документы
- Yangi axborot texnologiyalaridan foydalanib, kasb-hunar kollejlarida geometriya kursini o`qitish metodik tizimini yaratish
- O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar
- Normallangan fazolarda chiziqli operatorlarni
- Aniq integrallar nazariyasining ba’zi tatbiqlari haqida
- Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi usullari