Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 84.1KB
Покупки 3
Дата загрузки 28 Январь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bohodir Jalolov

Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi

Купить
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI Tabiiy va aniq fanlar fakulteti Matematika va informatika kafedrasi “Informatika o’qitish metodikasi” fanidan Himoyaga tavsiya etilsin Tabiiy va aniq fanlar fakulteti dekani _____________P.Tojiyev “ ____”_____2024 yil KURS ISHI Mavzu: Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi 1 Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi MUNDARIJA: KIRISH…………………………………………………………………………….3 I.BOB. TENGLAMALARNI O’RGANISH METODIKASI 1.1. Tenglamalar tushunchasini kiritish metodikasi ……………….………………5 1.2. Tenglamalarni yechish usullari …………………………..…………………….9 II.BOB. IRRATSIONAL TENGLAMALARNI O’QITISH METODIKASI 2.1. Irratsional son tushunchasini kiritish metodikasi ………………….………… 13 2.2. Irratsional tenglamalarni yechish ………………………………………….… 17 XULOSA…………………………………………………………………………22 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………………………......23 2 KIRISH Irratsional tenglamalar algebraik ifodalar orqali ta'riflanadi, bunda tenglamaning o’zi ildizlar yoki ildizli ifodalar bilan bog’liq bo’lib, bu ifodalarning ildizlari yoki qismlari haqiqiy yoki kompleks sonlar bo’lishi mumkin. Irratsional tenglamalar odatda oddiy algebraik tenglamalardan farq qiladi, chunki ularning yechimlarini topish ko’pincha murakkabroq bo’ladi. Bunday tenglamalar nafaqat matematikada, balki ilm-fan, iqtisodiyot va muhandislik sohalarida ham keng qo’llaniladi. Irratsional tenglamalarni yechish jarayoni murakkabliklari va xilma-xilligi bilan ajralib turadi. Ularni o’qitishda, talabalar nafaqat algebraik manipulyatsiyalarni o’rganishadi, balki matematik mantiq, analitik fikrlash va amaliy masalalarni hal qilish ko’nikmalarini ham rivojlantiradilar. O’qitish metodikasining asosiy maqsadi, talabalarga irratsional tenglamalarni to’g’ri yechish usullarini o’rgatishdan iborat bo’lib, ular o’z fikrlarini izchil ravishda bayon qilishni va murakkab masalalarni bosqichma-bosqich hal qilishni o’rganadilar. Bu kurs ishida irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasining asosiy tamoyillari, metod va vositalari tahlil qilinadi. Shuningdek, talabalar uchun bu mavzuni o’rgatishdagi qiyinchiliklar va yechimlar haqida so’z yuritiladi. Kurs ishining dolzarbligi: Irratsional tenglamalarni o’rgatishning samarali metodlarini ishlab chiqish va amaliy tajriba asosida ta'lim jarayonini yanada takomillashtirishga yo’naltirilgan tavsiyalarni berishdir. Irratsional tenglamalar matematikaning bir bo’lagi bo’lib, ular o’zgaruvchilari ildizlar yoki kesmalar shaklida ifodalangan tenglamalardir. Ushbu tenglamalarni yechish va o’rganish, o’quvchilarda matematik tafakkur va muammolarni hal qilish ko’nikmalarini rivojlantirishda muhim rol o’ynaydi. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi, o’quvchilarga matematikani aniq va samarali o’rgatish uchun muhim vosita bo’lib, ularni tenglama yechishning turli yondashuvlari bilan tanishtiradi va ularni 3 murakkab masalalarni hal qilishga o’rgatadi. Ushbu kurs ishida irratsional tenglamalarni o’qitishning metodik yondashuvlari, usullari va samarali ta'lim texnikalari haqida batafsil ma'lumot beriladi. Kurs ishining maqsadi — irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasini o’rganish va o’quvchilarga bu turdagi tenglamalarni qanday samarali o’rgatish usullarini aniqlashdir. Shuningdek, kurs ishida o’qitishda uchraydigan muammolar va ularni hal qilishning metodik yondashuvlari ham ko’rib chiqiladi. Asosiy maqsadlar:  Irratsional tenglamalar turlari va ularning xususiyatlarini tahlil qilish.  Irratsional tenglamalarni o’qitishda qo’llaniladigan metodik yondashuvlar va usullarni o’rganish.  O’qituvchilarga irratsional tenglamalarni o’qitishda qanday yondashuvlar samarali bo’lishi haqida maslahatlar berish.  O’quvchilarni irratsional tenglamalar bilan ishlashga o’rgatishning samarali texnikalarini ishlab chiqish. Nazariy bilimlarni mustahkamlash: O’quvchilar irratsional tenglamalarni echishda zarur bo’lgan algebraik bilimlarni to’liq o’zlashtirishlari kerak. Bu, xususan, ildizlarni oddiy shakllarga keltirish, ildizlarni yo’q qilish va tenglama tomonlarini to’g’ri manipulyatsiya qilish kabi amaliy ko’nikmalarni o’z ichiga oladi. Misollar va amaliy mashqlar: Irratsional tenglamalarni tushunish uchun ko’plab misollar va amaliy mashqlarni yechish talab qilinadi. Ularning turli xil shakllarda berilishi o’quvchilarga har xil yondashuvlarni o’zlashtirishga yordam beradi. Geometrik va grafik yondashuvlar: Ba'zi hollarda, irratsional tenglamalarni grafik yoki geometrik tarzda tushuntirish o’quvchilarga ularni aniqroq tushunishga yordam beradi. Masalan, ildizlarni topish jarayonini grafik yordamida vizualizatsiya qilish ko’proq anglashuvni ta'minlaydi. 4 Sinov va nazoratlar: O’quvchilarning bilimlarini sinovdan o’tkazish jarayonida irratsional tenglamalarni yechish bo’yicha murakkab misollarni berish, ularning tahliliy va ijodiy yondashuvlarini rivojlantirishga yordam beradi. 5 I.BOB. TENGLAMALARNI O’RGANISH METODIKASI 1.1. Tenglamalar tushunchasini kiritish metodikasi Maktab matematika kursida tenglama tushunchasi konkret-induktiv metod orqali kiritiladi. O’quvchilar IV sinfgacha natural sonlar ustida ta’rifsiz to’rt amalni bajarishni o’rganadilar, so’ngra o’quvchilarga qo’shish, ayirish, bo’lish amallarida qatnashayotgan komponentlardan ikkitasi ma’lum bo’lganda noma’lum qatnashayotgan komponentni topish o’rgatiladi. Bunda ana shu topilishi kerak bo’lgan komponentni harf bilan belgilanadi. Masalan, qanday songa 4 ni qo’shsak, 7 soni hosil bo’ladi? x + 4 = 7. Qanday sondan 8 ni ayirsak, 10 soni hosil bo’ladi? x - 8=10. Qanday sonni 5 ga bo’lsak, 7 soni hosil bo’ladi? x: 5 =7, 18 soni qanday songa bo’linsa, 3 soni hosil bo’ladi? 18:x=3. Shu xildagi savollar asosida harfiy ifoda qatnashgan to’rt amalga doir tengliklarni hosil qilishi mumkin. O’quvchilar x+4 = 7 tenglikdagi noma’lum x sonini topishni ayirish mavzusidan biladilar, ya’ni «noma’lum qo’shiluvchini topish uchun yig’indidan ma’lum qo’shiluvchini ayirish kerak» degan qoidaga ko’ra berilgan x + 4 = 7 tenglikdagi noma’lum sonni quyidagicha topadilar: x = 7 4 = 3. Ana shu fikrlarni o’quvchilarga tushuntirib,˗ so’ngra x + 4 = 7 tenglik matematika kursida tenglama deb atalishini, so’ngra unga berilgan quyidagi ta’rifni keltirish mumkin. Ta’rif. Noma ’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi. x+4 = 7; x-5 = 9; 12- x = 6,27; x = 9; x: 8 = 7 ... . Tenglama deb qaralayotgan tengliklarda noma’lum sonlar x,y,z. ... harflar bilan belgilanadi. Tenglamani yechish degan so’z uning hamma ildizlarini topish demakdir, boshqacha aytganda, noma’lumning tenglamani chap qismini uning o’ng qismiga teng qiladigan qiymatni topish tenglamani yechish deb ataladi. Masalan, x + 4=7 tenglama, x = 3 soni uning ildizidir, chunki tenglamaning ildizigina berilgan tenglikni to’g’ri tenglikka aylantira oladi. Ta’rif. Nomalum sonning topilgan qiym ati berilgan tenglamaning yechimi yoki ildizi deyiladi. Bundan ko’rinadiki, noma’lumli tenglamaning ikkala qismini son jihatidan teng qiladigan qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi bo’lar ekan. Demak, x=3 6 yechim bo’lgani uchun 3+4=7 bo’ladi. IV sinf o’quvchilariga bir noma’lumli tenglamalarni yechish uchun quyidagi qoida o’igatiladi: 1. Agar berilgan tenglamada noma’lum son kamayuvchi bo’lsa, u quyidagi qoidaga ko’ra topiladi. Noma’lum kamayuvchini topish uchun ayriluvchi bilan ayirmani qo’shish kerak. Umumiy holda x b =c bo’lsa, x = b + c bo’ladi. ˗ 2. Agar berilgan tenglamada noma’lum son ayiriluvchi bo’lsa, u quyidagi qoidaga ko’ra topiladi. l^oma’lum ayiriluvchini topish uchun kamayuvchidan ayirmani ayirish kerak. Umumiy holda: a x =c bo’lsa, x = a - ˗ с bo’ladi. 3. Agar berilgan tenglamada noma’lum son ko’payuvchilardan biri bo’lsa, u quyidagi qoidaga ko’ra topiladi. Nomalum ko’payuvchini topish uchun ko’paytmani ma’lum ko’payuvchiga bo’lish kerak. Umumiy holda: a • x = с bo’lsa. x=c:a bo’ladi. 4. Agar berilgan tenglamada noma’lum son bo’luvchi bo’lsa, u holda u quyidagi qoidaga ko’ra topiladi. Nom a’lum bo’luvchini topish uchun bo’linuvchini bo’linmaga bo’lish kerak. Umumiy holda a: x = с bo’lsa, x = a: с bo’ladi. 5. Agar berilgan tenglamada nom a’lum son bo’linuvchi bo’lsa, u quyidagi qoidaga ko’ra topiladi. Noma’lum bo’linuvchini topish uchun bo’linmaga bo’luvchini ko’paytirish kerak. Umumiy holda x: a = с bo’lsa, x = a · с bo’ladi. 6. V sinf matematika kursida manfiy sonlami ayirish mavzusi o’tiladi, bunda berilgan yig’indi va qo’shiluvchilardan biriga ko’ra ikkinchi qo’shiluvchi topiladi. Masalan, x+( 5)= 12 tenglik berilgan bo’lsin. x ni topish uchun tenglikning har ikki ˗ qismiga 5 sonni qo’shamiz, x+( 5)+5=12+5, x =17. Bundagi 17 soni 12 va 5 ˗ ˗ sonlarining ayirmasidir, ya’ni 12 ( 5)=12+5=17. Javobning to’g’riligini qo’shish ˗ ˗ amali orqali tekshiriladi: 17+( 5)=12. Agar x+( 5)=12 tenglikka IV sinfdagi ˗ ˗ berilgan tenglam a ta ’rifmi qo’llasak, x+( 5)=12 tenglik tenglam a bo’lib ˗ hisoblanadi. Bu yerdagi x=17 soni esa x+( 5)=12 tenglamaning ildizi bo’ladi. ˗ Yuqoridagi yechish bosqichlariga ko’ra x + a =0 yoki x + a = 0 ko’rinishdagi ˗ tenglamalarni yechish qoidasini chiqarish mumkin. x+a=b yoki x + a = b ˗ ko’rinishdagi har qanday tenglamani yechish uchun ularning chap va o’ng 7 qismlariga birgina a sonini qo’shish kifoya: (x + a = b )= > [x + a a = b a )= > (x˗ ˗ ˗ = b a); ( x + a = b ) => ( x + a a = b -a )= > ( x = b a ) => (x=a b). ˗ ˗ ˗ ˗ ˗ ˗ ˗ Misollar: 1) x 3=17, 2)4 (2,8 x)=1,5 Tekshirish:2-misol ˗ ˗ ˗ x 3 + 3=17 + 3; 4 2,8+x=1,5 4 (2,8 0,3)=1,5 ˗ ˗ ˗ ˗ х = 14. x=0,3 1,5=1,5 ˗ Shu misollardan keyin tenglama tuzishga olib keladigan masalalami yechish foydali bo’ladi. 1-masala. Savatda bir necha qo’ziqorin bor edi. Unga yana 27 ta qo’ziqorin solinganidan keyin qo’ziqorinlar 75 ta bo’ldi. Savatda nechta qo’ziqorin bo’lgan? Yechish. Savatdagi bor qo’ziqorinlar soni x bilan belgilanadi. U holda shartga muvofiq x+27=75 tenglamani tuzamiz. Tenglamani yechish uchun bunday mulohaza yuritiladi: tenglikdagi noma’lum qo’shiluvchini topish uchun yig’indidan ma’lum qo’shiluvchini ayirish kifoya, ya’ni x=75 27=48 (ta). Tenglama yechimini to’g’ri yoki noto’g’ri ekanligini bilish ˗ uchun tuzilgan tenglamadagi noma’lum x o’miga 48 sonini qo’yib, uni hisoblaymiz. Agar tenglamaning chap qismida ham 75 chiqsa u to’g’ri yechilgan bo’ladi. 48+27=75, 75=75. Demak, yechim to’g’ri ekan. Matematika fanida tenglik tushunchasi taqqoslash tushunchasi orqali quyidagicha tushuntiriladi: o’rganilayotgan matematik obyektdagi narsalaming o’zaro o’xshash va farqli tomonlarini fijo’mrak aniqlash taqqoslash deyiladi. Ana shu o’rganilayotgan narsalarning o’xshash yoki farqli tomonlarini taqqoslagganda bir xil son qiymatiga ega bo’lsa, u holda bu narsalar son jihatidan teng deb qaraladi, u tenglik (=) ishorasi bilan belgilanadi. Agar a va b sonlar o’zaro teng bo’lsa, u a=b kabi agar ular teng bo’lmasa, a≠b kabi belgilanadi. Masalan, 3=3, 7+1=8, 9 6=3. ... . Shuningdek, 8≠9, 3+5≠4, ... kabi yoziladi. ˗ Matematika kursida tengliklar ikki xil bo’ladi, ayniyat va tenglama. Ta’rif. Tarkibidagi noma’lum sonlarning V qo’yiladigan har qanday qiymatlarida ikkala qismi bir xil son qiymatlarini qabul qiladigan tenglik ayniyat deyiladi. Masalan, 8 x² 1 = ( x l ) ( x + 1); ˗ ˗ 1) x² l=(x 1)(x+l) tenglikni olaylik, x ning ixtiyoriy qiymatlarida tenglikning chap ˗ ˗ tomoni o’ng tomoniga teng chiqadi. Masalan, x = 2 bo’lsin, 2²-l= (2 - l)(2+1), bundan 3 = 3 x = 5 bo’lsin, 5² l= (5 1)(5 + 1), bundan 24 = 24 ˗ ˗ 2) 1 X ² − 1 = 1 X − 1 ∙ 1 X + 1 tenglikni olaylik, bunda eng avvalo bu tenglikdagi noma’lumlarning yo’l qo’yiladigan qiymatlarini aniqlash lozim. Bu tenglikda x≠±l bo’lishi kerak, aks holda kasming maxraji nolga teng bo’lib, u ma’noga ega bo’lmay qoladi. Shuning uchun berilgan harflaming yo’l qo’yiladigan qiymatlariga quyidagicha ta’rif berilgan. Ta’rif. Tenglik tarkibiga kiruvchi harflaming shu tenglikning о ‘ng va chap qismi m a’noga ega bo’ladigan qiymatlari bu harflaming yo’l qo ‘yiladigan qiymatlari deyiladi. Yuqoridagi tenglamada yo’l qo’yiladigan qiymatlar x≠ ±1 lardan boshqa barcha haqiqiy sonlardir. Masalan, agar x ¿ 2 bo’lsa, 1 2² − 1 = 1 2 − 1 ∙ 1 2 + 1 , 1 3∙1 1= 1 3, agar x ¿ 3 bo’lsa, 1 3² − 1 = 1 3 − 1 ∙ 1 3 + 1 , 1 2 ∙ 1 4 = 1 8 . Endi matematika kursida shunday tengliklar ham borki, ularning ikkala qismi harfning bir xil yo’1 qo’yiladigan qiymatlarida turli son qiymatlarini qabul qiladi. Masalan: x+5=7, 2x − ¿ 7 = 8. Bu ko’rinishdagi tengliklarni tenglamalar deb ataladi, tenglama biror berilgan tenglikning ikkala qismi noma’lum harfning yo’l qo’yiladigan qiymatlarida bir xil son qiymatlar qabul qilishini aniqlash masalasini o’rganuvchi tenglik bo’lib hisoblanadi. V sinfda 4x=2x+l6 ko’rinishdagi tenglamani yechish o’rganiladi. Bunday tenglamalarni yechish uchun tenglikning har ikkala tomoniga − ¿ 2x ifoda qo’shiladi. 4x+(-2x)=2x+(-2x)+16, 4x − ¿ 2x=2x − ¿ 2x+l6. Bu ifodaning tengUgini quyidagicha tushuntirish mumkin. Tarozining har ikkala pallasidan o’zaro teng bo’lgan miqdordagi narsalar olib tashlanadi, u holda 2x=16 tenglik hosil bo’ladi, 9 bundan x=8 soni kelib chiqadi, x=8 soni 4x=2x+16 tenglamaning yechimi yoki ildizi bo’ladi. Bir noma’lumga nisbatan ikki tenglamadan binning har bir ildizi ikkinchi tenglamaning ham ildizi bo’lsa, ikkinchi tenglamaning har bir ildizi esa shu bilan birga birinchi tenglamaning ham ildizi bo’lsa, bu ikki tenglama tengkuchli (ekvivalent) tenglamalar deyiladi. Masalan, 2x+5=7 va x—1=0 tenglamalar teng kuchli tenglamalardir, chunki ularning ikkalasining ham ildizi x=l sonidan iboratdir. Bundan tashqari, ildizlari mavjud bo’lmagan tenglamalar ham teng kuchlidir. Masalan, x²= − ¿ 3 va x²+2 ¿ − ¿ 5 va hokazo. Teng kuchli tenglamalarning quyidagi xossalarini o’quvchilarga tushuntirish maqsadga muvofiqdir. 1- xossa. Agar tenglamaning ikkala qismi noldan farqli biror songako’paytirilsa yoki bo’linsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil bo’ladi. Masalan, 15x − ¿ 5=25, bu tenglamaning har ikki tomonini 5 soniga bo’lsak, 3x − ¿ 1=5 tenglama hosil bo’ladi, bu tenglama oldingi tenglamaga teng kuchli bo’lgan tenglamadir. Masalan: 12x − ¿ 7=2x+13. 12x − ¿ 2x=13+7, 10x =20, x=2. 1.2. Tenglamalarni yechish usullari. Tenglamani yechish usullari matematikaning muhim va asosiy bo’limlaridan biri bo’lib, ular o’quvchilarga tenglamalarni hal qilishni o’rgatishda ishlatiladigan turli yondashuvlarni o’z ichiga oladi. Tenglamalarni yechishda qo’llaniladigan usullar muayyan matematik tushunchalarni o’zlashtirishga, masalalarni to’g’ri va samarali yechishga yordam beradi. Tenglamalarni yechish usullari matematika va algebra sohasidagi asosiy jarayonlardan biridir. Tenglama, o’zgaruvchi (yoki o’zgaruvchilar) ni topish uchun berilgan ifodaning to’g’ri qiymatini aniqlash uchun ishlatiladi. Tenglamalarni yechish usullari metodikasi — bu matematik tenglamalarni samarali va to’g’ri yechish uchun qo’llaniladigan metodlar, yondashuvlar va ularni qo’llashning tizimli uslubidir. Tenglamalar turli sohalarda, jumladan, muhandislik, iqtisodiyot, tabiiy fanlar va boshqa ko’plab sohalarda uchraydi, shuning uchun ularni yechish metodlari ham turlicha bo’ladi. Tenglamalarni yechish metodikasi bu jarayonda qaysi usulni qachon va qanday qo’llashni tushunishga yordam beradi. 10 1. Tenglamaning turini aniqlash Tenglamalar turli shakllarda bo’lishi mumkin, va har bir turga mos yechim usulini tanlash juda muhim. Masalan: - Chiziqli tenglamalar: Bu tenglamalarda o’zgaruvchilar birinchi darajali bo’ladi, ya'ni ularning har biri birinchi darajada qatnashadi (masalan, \( ax + b = 0 \)). - Kvadrat tenglamalar: O’zgaruvchilarning darajalari ikki yoki undan ko’p bo’ladi, masalan, (ax 2 + bx + c = 0 ). - Chiziqli tenglamalar tizimi: Bir nechta o’zgaruvchilarni o’z ichiga olgan tenglamalar tizimi, masalan, (Adot X = B). - Differensial tenglamalar: O’zgaruvchilar orasida vaqt yoki boshqa uzluksiz o’zgarishlar bo’lishi mumkin. Bu tenglamalar tabiiy va texnik jarayonlarni tasvirlaydi, masalan, ({ dx dy } = f(x)). - Matritsalar bilan ishlash: Bu usul ko’pincha murakkab tizimlarni yechishda ishlatiladi va o’zgarmas o’zgaruvchilar (masalan, matritsa yoki vektorlar) bilan ishlashni o’z ichiga oladi. 2. Yechish usullarini tanlash Tenglamani yechishda foydalaniladigan usul muammoga qarab farq qiladi. Ular orasida eng ko’p qo’llaniladiganlar: - Analitik usullar: Bu usullar tenglamaning aniq yechimini topishga qaratilgan. Algebraik manipulyatsiyalar yoki formula yordamida yechimga erishiladi. - Kvadrat tenglamani yechish uchun formulalar (masalan, kvadrat tenglama formulasi) qo’llaniladi. - Tenglama tizimlarini yechishda Gauss eliminatsiyasi yoki Krama usullari ishlatiladi. - Grafik usul: Chiziqli tenglamalar yoki ularning tizimlari uchun grafik usul yordamida yechimni vizual tarzda topish mumkin. Masalan, ikki o’zgaruvchili tenglamani grafikda chizib, kesishgan nuqtani topish orqali yechimni aniqlash mumkin. 11 - Iteratsion usullar: Bunday usullar aniq formulalar mavjud bo’lmagan hollarda yoki yechimni faqat ma'lum aniqlikda topish zarur bo’lgan hollarda qo’llaniladi. Misollar: - Nyuton metodlari: Kvadrat tenglamalar yoki nonlineer tenglamalar uchun qo’llaniladi. - Jacobi va Gauss-Seidel metodlari: Bu metodlar chiziqli tenglamalar tizimlarini yechishda ishlatiladi. - Bisection (ikkilik) metodi: Nonlineer tenglamalarni yechish uchun ishlatiladi. - Raqamli metodlar: Matematik tenglamalarni yechishda kompyuter yordamida raqamli metodlar qo’llaniladi. Bu metodlar analitik yechimni topish imkonsiz yoki juda murakkab bo’lganda ishlatiladi. Misol uchun: - Chiziqli tenglamalar tizimi uchun raqamli yechimlar Gauss usuli, LU dekompozitsiyasi yoki matritsa inversiyasi yordamida olinadi. - Differensial tenglamalar uchun Euler yoki Runge-Kutta metodlari qo’llaniladi. 3. Bosqichma-bosqich yechim jarayoni Tenglamalarni yechishda bosqichma-bosqich yondashuvlar muhimdir. Tenglamaning turiga qarab, yechimni topish jarayoni quyidagi qadamlarni o’z ichiga olishi mumkin: - Tenglama tizimini to’g’ri shakllantirish: Muammo boshlanishida tenglamalarni to’g’ri yozib, tizimni shakllantirish lozim. Bu bosqichda noaniqliklar va xatoliklar kiritilishining oldini olish uchun ehtiyotkorlik zarur. - O’zgaruvchilarni ajratish: Ba'zan tenglamalar tizimida bir nechta o’zgaruvchilar bo’ladi. Ularni ajratib, alohida qarab chiqish mumkin. Bu yondashuv, ayniqsa, tizimlar bo’yicha ishlaganda samarali. - Yechimni olish: Yechimni aniq yoki raqamli metodlar yordamida olish. Ba'zi tenglamalar faqat bir nechta bosqichda yoki iteratsion tarzda yechiladi. - Natijalarni tekshirish: Yechimni olishdan so’ng, uni dastlabki tenglamada tekshirish muhimdir. Bu natijani aniq va to’g’ri topganligimizni tasdiqlaydi. 4. Kompyuter yordamida yechim 12 Murakkab tenglamalar tizimi yoki katta o’lchamdagi masalalarni yechishda kompyuter yordamida yechish keng qo’llaniladi. Dasturlar yordamida tenglamalar yechimi tez va samarali tarzda amalga oshiriladi. Misol uchun: - MATLAB: Matematika va muhandislik masalalarini yechish uchun keng qo’llaniladi. Bu dasturda chiziqli va chiziqli bo’lmagan tenglamalar tizimlari, diferensial tenglamalar va optimizatsiya masalalarini yechish mumkin. - Python: NumPy, SciPy va SymPy kutubxonalari yordamida turli xil matematik masalalarni yechish mumkin. Python kompyuterga tenglamalarni yechishda qulay va keng tarqalgan dastur bo’lib, bilim va amaliyotga asoslanadi. 5. Yechimlarni aniqlash va interpretatsiya qilish Yechimni topishdan keyin, uni muammoga qayta qo’llash zarur bo’ladi. Bu natijalarni to’g’ri talqin qilish va amaliyotda qo’llash uchun ham zarurdir. Yechimning to’g’riligini va foydaliligini baholash uchun turli metodlardan foydalaniladi: - Algebraik tekshiruv: Yechimni tenglamaga qo’yib tekshirish. - Grafik tekshiruv: Agar tenglama ikki yoki undan ortiq o’zgaruvchilarga ega bo’lsa, uning grafik shaklini chizib, kesish nuqtasini topish orqali natijani tasdiqlash. - Tenglama tizimini tahlil qilish: Olingan yechimni tizimga nisbatan umumiy sharhlash va xatoliklarni aniqlash. 13 2.BOB. IRRATSIONAL TENGLAMALARNI O’QITISH METODIKASI 2.1. Irratsional son tushunchasini kiritish metodikasi O’quvchilar VII sinfda birinchi marta irratsional son tushunchasi bilan tanishadilar. O’qituvchi bu mavzuni tushuntirishdan oldin o’quvchilarga kvadrat ildiz va arifmetik ildiz tushunchalarini tushuntirishi, so’ngra irratsional son tushunchasini quyidagi masalani yechish orqali kiritishi lozim. Masala. Katetlari bir birlikka teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi topilsin. Berilgan: ∆ ABC, ∠ C = 90% CB=AC=1. Topish kerak: AB — ? Yechish. Pifagor teoremasiga ko’ra: AB²=AC²+ СВ ², AB²=1²+ 1²=2. Masalaning yechimini quyidagicha o’qish mumkin. Shunday AB soni topilsinki, uni kvadratga ko’tarilganda 2 soni hosil bo’lsin. Bunday AB son ratsional sonlar to’plamida mavjud emas. A nuqtadan AB ga perpendikular A A 1 = 1 katetni o’tkazib, uning A1 nuqtasini В nuqta bilan birlashtirib, A1B ning qiymatini hisoblaymiz: A 1 B ² =AB ² +1 ² A 1 B ²=2+1=3; A1B ²=3 soni ham ratsional sonlar maydonida mavjud emas. Yuqoridagilardan ko’rinadiki, ratsional sonlar to’plamida mavjud bo’lmagan yana qandaydir sonlar to’plami ham mavjud ekan, ya’ni AB²=2, A1B²=¿ 3, ... Yuqoridagi mulohazalarga ko’ra AB²=2, A 1 B ²=3 ,... ko’rinishdagi sonlarni ratsional bo’lmagan yoki irratsional sonlar deb ataldi va ularni AB= √ 2 , A1B = √ 3 , ... kabi belgilash qabul qilingan. Ta’rif. p q kasr ko’rinishida tasvirlab bo’lmaydigan sonlar irratsional sonlar deyiladi. (p, q) ∈ N. Bu yerda o’quvchilarga yana shu narsani tushuntirish kerakki, har qanday ratsional sonni cheksiz davriy o’nIi kasr £o’rimshda ifodalash mumkin, irratsional sonni cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida ifodalab boimaydi, bunga quyidagi misollarni ko’rsatish mumkin. 1. √ 5 = 2,360679... bundagi √ 5 irratsional son cheksiz davriy bo’lmagan o’nli kasr ko’rinishida ifodalanayapti. 14 2. √2 = 1,41- bundagi √ 2 irratsional son ta’rifini yana quyidagicha keltirish mumkin. Ta’rif. Cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida ifodalab bo’lmaydigan sonlarni irratsional sonlar deb ataladi. Тео rema. Kvadrati 2 ga teng bo’lgan ratsional son mavjud emas. Bu teoremaning isbotini teskarisidan faraz qilish yoii bilan isbotlaymiz, chunki l 1² ≤2≤2² butun sonlar to’plamida u kvadrati 2 ga teng bo’lgan son mavjud emas. Isboti. Faraz qilaylik, p q ko’rinishidagi qisqarmas kasr mavjud bo’lsin, r va q - natural sonlar. Faraz qilaylik, kvadrati 2 ga teng bo’lgan ratsional son mavjud bo’lsin, ya’ni: ( p q ) ² =2 , bunda p²=2q², bunda r ning ham ikkiga bo’linishi kelib chiqadi. Agar r=2n bo’lsa, 4n = 2q² 2n =q² bo’ladi, bundan q ning ham juft son ekanligi kelib chiqadi. Farazimizga ko’ra, p q kasrni qisqarmas kasr degan edik, isbotning natijasida esa p q kasr qisqaruvchi kasr bo’lib chiqmoqda, bunday qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini tasdiqlab, teorema to’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Yuqoridagi ta’rif va isbot qilingan teoremalardan ko’rinadiki, kvadrati 2, 3, 5, 7, 10, 11 larga teng bo’ladigan ratsional son mavjud emas ekan, biz ta’rifga ko’ra bularni irratsional sonlar deb atadik. Bunday irratsional sonlarni √2,√3,√5, - kabi belgilash qabul qilingan. Ularga qarama-qarshi bo’lgan sonlar ham irratsional sonlar bo’lib, ular −√2,− √3,−√5, - kabi belgilanadi. O’qituvchi bu yerda o’quvchilarga shuni eslatishi kerakki, irratsional sonlarga kvadrati berilgan musbat songa teng bo’lgan sonni topish masalasigina olib kelmaydi. Masalan, aylana uzunligining diametriga nisbatini ifodalovchi π sonini oddiy kasr ko’rinishida tasvirlash mumkin emas, u ham irratsional sondir. 1. Algebraik usullar Algebra a) Tenglama boshqarish (transformatsiya) usuli Tenglamani o’zgartiriMisol: 2x+3=72x + 2 x + 3 = 7 15 Kvadrat ildizlar va faktorizatsiya usuli x2−5x+6=0 x 2 - 5x + 6 = 0 x2 − 5x + 6 = 0 (x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 yoki x=3(x - 2)(x - 3) = 0 x = 2 x = 3 ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 ⇒ x = 2 yoki x = 3 2. Grafik usul Tenglamani grafik usulda yechish — bu ikki funksiyaning harakatish nuqtasini topish. Agar tenglama f(x) = 0 ko’rinishida berilgan bo’lsa, unda yechimi f(x) grafikasi va xo’qi o’ tekshiruvish joyi  Grafikda funksiyaning ko’rinishi haqida tasavvur hosil qilish va un 3. Sonli (Chiziqli) usullari Agar tenglama yoki tenglamalar Korrigirovka metodi (Iteratsion usul) Iteratsionda, yechimni bosqichma-bosqichda va keyingi bosqichda yangi qiymatlar b) Yaxshi yaxshilar va sondan-tajaviy metodlar Bu usul, komplekslarni tezda topish uchun, qayta tiklashni va o’zaro taqqoslash 4. Tenglamalar yana yechish usullari Tenglamalar tizimi — bir nechta noma'lumlar bo’lgan tenglamalar majmui. Ularni yechishda usullarni qo’llanila a) Qora yig’ish usuli Bu usulda tenglamalarning ikki tomonini ko’paytirish orqali noma'lum yoki tarkibiy qismlarni yo’qotish. qaysi, tenglamalar ko’paytirilganidan so’ng, faqat bitta noma'lumni aniqlash mumk b) O’zgaruvchilarning qo’llanilishi (Substitutsiya usuli) Birinchi tenglamadan noma'lumni ifodalab, tenglamaga o’ c) Grafik usul Ko’p o’zgaruvchilar uchun tizimning grafik echimi — tizimning tenglamalarini grafikda kesishish nuqtalarini topish orqali amalga oshirish. d) Krammer qoidasi (determinantlar usuli) Tenglamalar aniq determinantlar yordamida yechish usuli. Bu metod, ko’po’zgaruvchilar bo’lgan 5. Maxsus tenglamalar 16 Boshqa maxsus ajratilgan tenglamalarni yechish uchun alohid a) Logarifmik tenglamalar Logarif tenglamalar yechimida logarifmlar va tahrirlardan foydalaniladi. Bu turib tenglamalarni yechish uchun logarifmlar qoidal Trigonometrik tenglamalar Agar tenglamalar trigonometrik funktsiyalarni o’z ichiga olsa, trigonometrik identifikat c) Eksponent tenglamalari Eksponentlar yordamida berilgan tenglamalarni yechish uchun eksponent va logarifmlar bog’lanis 6. Kompleks echimlar (Karma usullari) Agar tenglamaning yechimi kompleks sonlar olamiga kirsa, masalan, kvadrat tenglama yoki yuqori darajali teng 7. Tenglamalar yana yechishning umumiy metodikasi: 1. O’n 2. Ixtiyoriy tuzatish usulini tuzatish (grafik, algebraik yoki sonli). 3. Yechimni tekshiriladi 4. Yechimning umumiysin Tenglamalarni yechish metodikasi, tenglamaning turiga, uning qiyinchiligiga va mavjud ma'lumotlarga qarab, turlicha bo’lishi mumkin. yechimlar va metodlarni tuzatish Yaxshi matematika va analitik fikrlash yondoshuvlari mu him. 17 2.2. Irratsional tenglamalarni yechish Irratsional son tushunchasi maktab matematika kursining VIII sinfida o’tiladi. 0 ‘quv qo’llanmasida irratsional tenglamaga ta ’rif berilib, uni yechish usullari ko’rsatilgan. O’quv qo’llanmasidagi ta’rif quyidagicha ifodalanadi. Ta’rif. «Noma’lumlari ildiz ishorasi ostida bo’lgan tenglamalar irratsional tenglamalar deyiladi». Bu ta’rifni kengroq ma’noda quyidagicha ham berish mumkin. «Noma’lumlari ildiz ishorasi ostida yoki kasr ko’rsatkichli daraja belgisi ostida bo’lgan tenglama irratsional tenglama deyiladi». Masalan, √4−5x = 6; √ x = 7 ; √ 2 x − 8 + √ x + 5 =7; 3 √ x − a + 3√x+ava hokazo. Maktab matematika kursida faqatgina kvadrat ildizlami o’z ichiga olgan irratsional tenglamalarni yechish o’rgatiladi. Shuning uchun ham bu mavzu materialini o’tish jarayonida o’qituvchi o’quvchilarga sonning kvadrat ildizi va uning arifmetik ildizi degan tushunchalami takrorlab tushuntirish lozim, chunki biz maktab algebra kursida faqat manfiy bo’lmagan sonlardan ildiz chiqarishni o’rgatamiz. √ − 3 , √ − 7 , √ − 36 ,... lar haqiqiy sonlar maydonida ma’noga ega emas. Biz musbat sonning kvadrat ildizi deganda uning arifmetik ildizini, ya’ni uning musbat qiymatlarini tushunamiz. Masalan, √ 9 =±3 bo’ladi, ammo − ¿ 3 soni arifmetik ildiz bo’la olmaydi, 3 soni esa 9 sonning arifmetik ildizidir. Irratsional tenglamaning yechishdan avval uning aniqlanish sohasini topish lozim. 1-misol. √ 3 x − 6 + √ 1 + x =2 tenglamaning aniqlanish sohasini toping. Yechish. 3x −6≥0 va l+x ≥ 0 bu tengsizliklardan: x ≥ 2 va x ≥−¿ 1. Demak, bu tenglamaning aniqlanish sohasi x ≥ 2 bo’ladi. Haqiqatan ham, bu tenglama yechilsa, uning ildizi 2 ga teng yoki undan katta son chiqishi uning aniqlanish sohasidan ko’rinadi. 2-misoI. √x−1+√3− x = √ x + 2 tenglamaning aniqlanish sohasini toping, x − ¿ 1 ≥ 0 , 3 − x≥ 0, x+2 ≥ 0 bu tengsizliklardan x ≥ l, x ≤ 3 , x ≥−¿ 2.Bularga ko’ra 18 tenglamaning aniqlanish sohasi l≤x≤3 bo’ladibu degan so’z tenglama ildizi 1 soni bilan 3 soni orasida bo’ladi, deganidir. Irratsional tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional tenglama ko’rinishiga keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun eng ko’p ishlatijadigan shakl almashtirish berilgan tenglikning har ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish va √ f ( x ) √ g ( x ) = √ f ( x ) g ( x ) , √ f ( x ) √ g ( x ) = √ f(x) g(x) kabi usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish jarayonida yechilayotgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo’lishi mumkin, chunki bu ayniy tengliklarning o’ng tomonlarining aniqlanish sohasi chapga qaraganda kengroqdir. Teorema. Agarf(x)=g(x) (1) tenglamaning har ikkala qismini kvadratga ko’tarilsa, berilgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo’ladi, bu chet ildiz f(x)= − ¿ g(x) tenglamaning ildizidir. Isboti. Agar (1) tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko’tarilsa, [f(x)]²=[g(x)]² yoki [f(x)]² − ¿ [g(x)]²=0 bu degan so’z [f(x) − ¿ g(x)][f(x) +¿ g(x)]²=0 deganidir. Bunda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin: 1) agar f(x) − ¿ g(x)=0 bo’lsa, f(x) +¿ g(x) ≠ 0 u holda f(x)=g(x) bo’ladi; 2) agar f(x)+g(x)=0 bo’lsa,f(x) − ¿ g(x) ≠ 0 u holda g( х )= − g ( х )bo’ladi. Demak, hosil bo’ladigan chet ildiz yoki [f(x)]² − ¿ [g(x)]²=0 tenglamaning ildizi bo’ladi. Misol. 4x=7 tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarilsa, 16x²=49 bo’ladi. Bundan(16x² − ¿ 49=0)=> =>(4x − ¿ 7)(4x+7)=0. 1) agar 4x − ¿ 7=0 bo’lsa, 4x − ¿ 7 ≠ 0 bundan x= 7 4 =1 3 4 ; 2) agar 4x+7=0 bo’lsa, 4x + ¿ 7 ≠ 0 bundan x= − 7 4 = − ¿ 1 3 4 ; Bunda x = − ¿ 1 3 4 chet ildizdir, haqiqatda ham 4 ∙ ( − 7 4 ) = 7 bundan -7=7, bu x= − ¿ 1 3 4 yechim tenglamani qanoatlantirmaydi deganidir. Bu chet ildiz 4x=7 tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarish natijasida hosil bo’ladi. 19 Maktab matematika kursida irratsional tenglamalarni yechish quyidagi ikki usul orqali amalga oshiriladi: 1) irratsional tenglamaning har ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish; 2)yangi o’zgaruvchilar kiritish usuli. Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish usuli quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi: a) berilgan irratsional tenglama n√ f ( x ) = n√g(x) ko’rinishga keltiriladi; b) bu tenglamaning ikkala tomoni n darajaga ko’tariladi; d) hosil bo’lgan f (x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo’ladi; e) natijada f (x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali chet ildiz aniqlanadi. 1-misol. √ 3 x + 4 =x tenglamani yeching. Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasini topiladi: x≥0 va 3x+4≥0, bundan x ≥ − 4 3 . I usul. Har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak, [( √ 3 x + 4 )= x²]=> =>(3x + 4=x²). Bundan x ² -3x-4=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning yechimlari x =4 va x = - l , ₁ ₂ x = - l yechim ₃ √ 3 x + 4 =xtenglama uchun chet ildizdir, chunki u tenglamani qanoatlantirmaydi. II usul [( √ 3 x + 4 )= x²] => (3x + 4=x²) =>{[x² − ( 3 x + 4 ) ]=0}=>(x − √ 3 x + 4 )(x+ √ 3 x + 4 )= 0. 1) Agarx − √ 3 x + 4 = 0 bo’lsa,x+ √ 3 x + 4 ≠ 0 bo’ladi,bundan x = √ 3 x + 4 berilgan tenglama hosil bo’ladi, buning yechimi x = 4 bo’ladi. 2) Agar x+ √ 3 x + 4 =0 bo’lsa,x − √ 3 x + 4 ≠ 0 bo’ladi, bundanx = − √ 3 x + 4 bo’ladi, buning yechimi x = − ¿ l dir. Demak, √ 3 x + 4 =x tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarish natijasida x= − ¿ 1 chet ildiz hosil bo’ladi, x=4 esa uning haqiqiy yechimi bo’ladi. Irratsional tenglamalarni yangi o’zgaruvchilar kiritish usuli bilan ham yechiladi. 2-misol. 5 √( x − 5 ) 2 − ¿ 5 √ x − 5 ¿ =6 tenglamani yeching. Yechish.Bu tenglamaning aniqlanish sohasi (- ∞ ,∞ ). Agar 5√x−5 =y deb 20 belgilasak, tenglama y²-y-6=0 ko’rinishga keladi. Bu tenglama у =3 va y =-2₁ ₂ yechimlarga ega. Bunga ko’ra x - 5=243; x=248. 5√x−5 =-2 tenglama aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgan ildizga ega. Demak, x =248, x =-27 tenglamaning ₁ ₂ yechimi bo’lar ekan. 3-misol. √x+4+√x+20 =8 tenglamani yeching. Yechish. 1. Aniqlanish sohasi topiladi. x+4≥0 va x+20≥0, bulardan x≥-4 va x≥- 20 bo’ladi. Bundan x≥-4 qiymat olinadi. 2. Berilgan tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko’tariladi: ( √ x + 4 + √ x + 20 ) ² =(8)² x+4+ 2 √ x + 4 ∙ √ x + 20 +x+20=64 2x+ √ x + 4 ∙ √ x + 20 =40 ¿ )²=(20-x)², ( x + 4 )( x + 20 ) = 400 − 40 x + x 2 x 2 +24x+80= 400 − 40 x+x2 , 64x=320, x=5. Bu tenglamani yana quyidagi usul bilan ham yechish mumkin: (√x+4+√x+20 )² =(8)² ¿ =0] => [ (√ x + 4 + √ x + 20 ) − 8 ¿ ] [ ( (√ x + 4 + √ x + 20 ) ❑ + 8 ) ] = 0 ¿ ¿ ❑ 1) √ x + 4 + √ x + 20 =8 buningyechimi х =5, 2) √ x + 4 + √ x + 20 =-8, bu tenglama yechimga ega emas. 4-misol. √ 2 x + 3 = a, parametrik ko’rinishdagi irratsional tenglamani yeching. Bu yerda tenglamaning aniqlanish sohasiga nisbatan a>0 shartni qo’yish yetarli bo’ladi. ( √2x+3 )²= a², 2 х +3=a², bundan 2x=a²-3 yoki x ¿ a ² − 3 2 yechim hosil bo’ladi. Tekshirish. √2a²−3 2 +3 = a, √ a = ¿ a, a=a. 5-misol. √x2+4x+4+√x2−10 x+25 =10 irratsional tenglamani yeching. Yechish. Bu tenglamani √ ( x + 2 ) ² + √ ( x − 5 ) ² =10 yoki │x+2│+│x-5│=10 ko’rinishga keltirib, so’ngra yechiladi. a) agar x < - 2 bo’lsa, − ¿ x − ¿ 2 − ¿ x+5=10, bundan − ¿ 2x=7 yoki x= − ¿ 3,5; 21 b) agar -2≤x≤ 5 bo’lsa , x+2-x+5=10, yoki 7=10, bu holda tenglama yechimga ega emas; d) agar x>5 bo’lsa, x+2+x-5=10, bundan 2x=13 yoki x=6,5. x=-3,5va x=6,5. XULOSA Irratsional tenglamalar matematik o’qitishda muhim o’rin tutadi va ularni o’qitish samarali metodik yondashuvlarni talab qiladi. O’quvchilarga irratsional tenglamalarni yechish usullarini tushuntirishda bosqichma-bosqich yondashuv, 22 grafik metod, algebraik manipulyatsiyalar va xatoliklarni tahlil qilish kabi usullar foydalidir. Shuningdek, o’qitishda uchraydigan muammolarni aniqlash va ularni samarali hal qilish ham o’quvchilarning bilimlarini mustahkamlashga yordam beradi. Shu sababli, irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi, o’quvchilarning mantiqiy tafakkurini rivojlantirish va murakkab masalalarni hal qilishda samarali vosita bo’ladi. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi, nazariy va amaliy jihatlarni birlashtirgan holda, o’quvchilarning matematik tafakkurini rivojlantirishda muhim rol o’ynaydi. O’qituvchilar uchun ushbu metodni o’quvchilarning qiziqishlari va ehtiyojlariga mos ravishda shakllantirish va samarali yondashuvlarni qo’llash zarur. Bu esa matematik ta'limning sifatini oshirishga yordam beradi. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasini takomillashtirish, o’qituvchilarga o’quvchilarning tayyorgarligiga moslashishga imkon beradi. Bu metodika, o’qitishda texnologiyalarni qo’llash, individual yondashuvlar va interfaol mashqlarni kiritish orqali yanada samarali bo’lishi mumkin. Natijada, o’quvchilar bu mavzuni o’zlashtirishda yuqori natijalarga erishadilar va kelajakda matematik masalalarni hal qilishda ishonchli bilimlarga ega bo’ladilar. Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi matematik ta'limda muhim o’rin tutadi. Ushbu kurs ishida irratsional tenglamalarning mohiyati, ularni echishning turli metodlari, shuningdek, o’qitish jarayonida talabalar uchun eng samarali usullar ko’rib chiqildi. Irratsional tenglamalar, ya'ni ildizli yoki kesmalar shaklida ifodalangan tenglamalar, o’quvchilarda algebraik manipulyatsiyalarni mukammal o’zlashtirishni talab qiladi. Shu sababli, ularni o’qitishda quyidagi metodlarga e'tibor qaratish zarur: 23 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR I. O’zbekiston Respublikasi Davlat Qonunlari 1. 2022 – 2026-yillarga mo’ljallangan Yangi O’zbekistonning taraqqiyot strategiyasi // O’zbekiston Respublikasi Qonun ,,,, hujjatlari to’plami. – Toshkent, 2022. 2. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining 2019 yil 8 oktyabrdagi PF- 5847- son Farmoni // O’zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasi. – 2019 3. Sh.M.Mirziyoyev Erkin va Farovon demokratik O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz.Toshkent: “O’zbekiston”, 2016 4. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida” gi qarori - 07.05.2020 yildagi PQ-4708-son II. Asosiy adabiyotlar 1. Algebra 4-nashri. Sh.A.Alimov, A.R.Xalmuxamedov, M.A.Mirzaxmedov. Toshkent: "O’qituvchi" NMIU,2019. 2. Algebra. Nasritdinov G’.N., Mirzaahmedov M.A., Usmonov F.R., Aripova Sh.R. “G’afurG’ulom nomidagi nashryot-matbaa ijodiy uyi”, 2012. 3. Matematika o’qitish metodikasi. Alixanov S.– T.: ”O`qituvchi”, 2008. 4. “Algebra va matematika analiz asoslari” 2006. 5. Geometriya.A.A'zamov.B.Haydarov.E.Sariqov.Geometriya.-Tuzatilgan va to’ldirilgan uchinchi nashr.-Toshkent.: "Yangiyo’l poligraf servis",2017. 6. “ Matematikadan mavzulashtirilgan testlar to’plami ” : 1996-2020.Toshkent 7. “ Elementar matematikadan qo’llanma ”: K.Muhammedov.Sharq nashriyoti- matbaa aksiyadorlik jamiyati bosh tahririyati.Toshkent-2008 8. “ Elementar matematika ”: T.R.To’laganov. ”O`qituvchi” Toshkent-2008 9. M,Barakayev A,Shamsiyeva G,G’oyibnazarova, H,O’rinova, O’.Halimov Matematika o’qitish metodikasi ‘‘O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” nashriyoti: TOSHKENT-2019 10. Tojiyev М., Barakayev М., Xurramov A. «Matematika o ‘qitish metodikasi 24 fani o’quv mashg’ulotlari loyihasi. / / O ’quv-ilmiyuslubiy qo’llanma. - Т.: «Fan va texnologiya», 2015-yil 11. Tolipov Ol.Q., Usmonboyeva M. Pedagogik texnologiyalarning tatbiqiy asoslari. — Т.: «Fan», 2006-y 12. M. Barakayev va boshqalar. Zamonaviylashuv sharoitida matematika fanini o’qitish texnologiyalari. — Т .: 2017-yil. 13. Kaldibekova A.S., Xodjayev В . Х . O’quvchilarning bilish faolligini oshinsh yoilari. — Т .: TDPU, 2006-yil. 14. Курбонов Г.Г., Камолова Г.Б. Умумтаълим мактабларининг математика дарсларида рақамли таълим технологияларидан фойдаланишнинг дидактик тамойиллари. Science and education. 3:1 (2022), Pp. 424-430. 15. Qurbonov G.G., Rahmatova F.M. Uumumta’lim maktablarida matematika fanini o’qitishda axborot texnologiyalaridan foydalanish. Science and education. 2:11 (2021), Pp. 678-684. III. Axborot manbalari 1. http://www.ziyonet.uz – Axborot ta’lim portali. 2. http://www.edu.uz – Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi portal 3. http://www.max.dba.uz – Masofaviy o’quv kurslari portal 4. http://www.intuit.ru – masofaviy ta’lim sayti (Milliy ochiq universitet) 25

Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi

Купить