Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash 26 - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	429.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash 26

Купить

MATEMATIK ANALIZ FANIDAN
KURS ISHI
Mavzu: Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash
1

Farg ona-2026ʻ
2

MUNDARIJA
KIRISH.....................................................................................................................3
I BOB. ANIQMAS INTEGRAL VA INTEGRALLASH USULLARI ...............6
1- § . Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi ...................................6
2- § . Aniqmas integralni hisoblash va integral jadvali...............................................6
3- § . Integrallash usullari.. ..........................................................................................9
II BOB. RATSIONAL VA IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI
INTEGRALLASH .................................................................................................11
1- § . Ratsional funksiyalarni integrallash .................................................................11
2- § . Irratsional funksiyalarni integrallash ................................................................14
III BOB. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH .........18
1- § . Trigonometrik funksiyalarni integrallash .........................................................18
XULOSA ................................................................................................................23
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. .............................................................25
3

Kirish Darhaqiqat, kelajak bugundan boshlanadi. Kelajagimiz poydevorini esa biz
yoshlar quramiz. Xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishini bugungi yosh
avlodning ta’lim va tarbiyasi belgilab beradi.
Shuning uchun ham davlatimiz mustaqil bo‘lganidan to bugungi kunga
qadar butun mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish
tizimlari tubdan isloh qilinmoqda.
Xaqiqatdan ham, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega
bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil
olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan,
hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplashayotgan ming-minglab o‘quvchilar, katta
hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon etayotgan
yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning o‘zida o‘z
hosilini berayotgani guvohi bo‘lamiz.
Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga
oshirgan ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu
niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmayotgan hayot barpo etish,
yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin
yaratdi, desak hech qanday xato bo‘lmaydi.
Respublikamiz prezidenti Shavkat Miromonovich Mirziyoyevning 2020-yil
6-noyabrdagi “O‘zbekistonning yangi taraqqiyot davrida ta’lim-tarbiya va ilm-fan
sohalarini rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risidagi PF-6108-sonli qarori qabul
qilindi.Bu qarorning oliy ta’lim sohasiga tegishli joyini ko‘rib chiqsak;
2021-yil yanvar oyidan boshlab davlat oliy ta’lim tashkilotlariga kirish uchun test
sinovi topshiriqlarini tuzish va ekspertizadan o‘tkazishning yangi tartibi joriy
qilindi va unga muvofiq;
Test sinovi topshiriqlari davlat ta’lim standartlari va o‘quv dasturlari asosida
tuziladi;
Test sinovi materiallarining ma’no-mazmuni umumiy o‘rta ta’lim tizimidagi
fanlarning o‘quv dasturlariga moslashtiriladi;
4

Abiturentlarning nazariy bilimlarini o‘zlashtirish bilan birgalikda mantiqiy
fikrlashi, masala va misollarni bajara olish qobiliyati va ta’limning keying
bosqichiga tayyorgarligini baholaydigan, kompetensiyaga asoslangan test
topshiriqlari ishlab chiqiladi;
Bular birgina qaror xolos. Bunaqa qaror va farmoyishlardan judayam ko‘p.
Joriy yilda abiturentlarga cheksiz ko‘p oliy ta’lim muassasalarini tanlash
imkoniyati berilmoqda. May oyidan boshlab ijarada yashovchi talabalarning ijara
to‘lovlari to‘lab berish boshlandi. Qizlarga ajratilgan alohida grantlar fikrimizning
yana bir isbotidir.
Kurs ishining dolzarbligi: yoshlarning ongini rivojlantirishda
matematikaning o‘rni beqiyosdir. Matematikani o‘zlashtira olgan bola har qanday
boshqa yo‘nalishni bemalol o‘rgana olishi ayni haqiqatdir. Matematika fani o‘sib
kelayotgan yosh avlodni kamol topdirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga
ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi.
Shuning uchun ham davlatimizga yetuk matematiklar kerak.
Matematik analiz fani matematika yo‘nalishida tahsil oluvchi talabarning eng
asosiy fanidir. Bu fan chuqur tahlilga asoslanadi. Bu fanning asosiy mavzularidan
biri-integraldir. Integral mavzusining amaliy ahamiyati nihoyatda kattadir.
Boshlang‘ich funksiya va integral differensial tenglamalar fanining asosidir.
Ko‘pgina amaliy masalalar differensial tenglamaga olib kelinadi. Differensial
tenglamalarni esa boshlang‘ich funksiya topish orqali yechamiz. Bundan kelib
chiqadiki biz integrallashga oid mavzularni e’tabor bilan o‘rganishimiz kerak. Shu
jihatdan meni kurs ishim ham dolzarb mavzulardan biridir. O‘z kurs ishimda bu
mavzuni atroflicha va chuqur yoritishga harakat qilaman .
5

Kurs ishining maqsadi : irratsional va trigonometrik funksiyalarni
integrallash usullarini o‘rganish hamda ularni amaliy masalalarda qo‘llash
ko‘nikmasini shakllantirish.
Kurs ishining obyekti : oliy va o‘rta maxsus ta’lim muassasalarida
matematik analizni o‘qitish, aniqmas integral va uni hisoblash jarayonlari.
Kurs ishining predmeti : irratsional va trigonometrik funksiyalarni
integrallash usullari.
Kurs ishining vazifalari :
1. Aniqmas integral tushunchasini o‘rganish;
2. Integrallash usullarini ko‘rib chiqish;
3. Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallashni tahlil qilish;
4. Nazariy bilimlarni misollar bilan mustahkamlash.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish
qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari qisqacha bayon etilgan.
6

I BOB
ANIQMAS INTEGRAL VA INTEGRALLASH USULLARI
1- § . Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi
Aytaylik, va funksiyalar da uzluksiz bo‘lib, esa
hosilaga ega bo‘lsin. Agar da bo‘lsa, funksiya
ning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi. funksiya boshlang‘ich
funksiyalarining umumiy ko‘rinishi ning aniqmas
integrali deyiladi:

Misol: ning intervalda boshlang‘ich funksiyasi topilsin.
Bu funksiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi,
chunki da
Aniqmas integralning asosiy xossalari.
Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:
2- § . Aniqmas integral jadvali va integralni hisoblash
7

Sodda integral jadvali.
Quyidagi sodda integral jadvalini keltiramiz:

8

Sodda aniqmas integrallarni hisoblash.
Sodda aniqmas integralni asosan bevosita xossalardan va jadvaldan foydalanib
hisoblanadi.
1-misol. Ushbu
integral hisoblansin.
Integral ostidagi funksiyani quyidagicha yozib
olamiz. So‘ng integral xossalari va jadvaldan foydalanib topamiz:
9

2-misol. Ushbu
Integral hisoblansin.
Integral ostidagi ifodani quyidagicha yozib olamiz:
I=
Natijada,
hosil bo‘ladi.
10

3- § . Integrallash usullari
O‘zgaruvchini almashtirish usuli. Aytaylik, ushbu
aniqmas integral hisoblanishi kerak bo‘lsin. Agar deyilsa, ( -yangi
o‘zgaruvchi, -uzluksiz differensiallanuvchi funksiya) berilgan integral quyidagi
ko‘rinishga keladi:

Bunda funksiyasini shunday tanlash lozimki, (1) tenglikning o‘ng tomonidagi
ifoda hisoblashga qulay bo‘lishi kerak.
Misol: ni hisoblang.
Berilgan integralda o‘zgaruvchi ni kabi almashtirish bajaramiz.
Bunda bo‘lib,
bo‘ladi.
Bo‘laklab integrallash usuli. Agar differensiallanuvchi
funksiyalar bo‘lsa, u holda
bo‘ladi. Odatda bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi. formula ning
integralini ning integrali orqali ifodalaydi. Bu formuladan foydalanish uchun
qaraladigan integralning ostidagi ifodani va lar ko‘paytmasi ko‘rinishida
yozib olinadi, bunda albatta va ifodalarning integrallarini oson hisoblana
olishi e’tiborga olinishi kerak.
1-misol. Ushbu
11

integral hisoblansin.
Bu integralni formuladan foydalanib hisoblaymiz:
Ravshanki,
Demak,
2-misol. Ushbu
Integral hisoblansin.
Bu integralni formuladan foydalanib hisoblaymiz:
Agar, bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda
bo‘lishi kelib chiqadi.
12

II BOB.RATSIONAL VA IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI
INTEGRALLASH
1- § . Ratsional funksiyalarni integrallash
Avvalo ratsional funksiyalarga ta’rif berib o‘tsak:
Ratsional funksiyalar — o‘zgaruvchi x va ixtiyoriy sonlar ustida bajarilgan
arifmetik amallar (qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish) natijasida oxirgi son
hosil bo ladigan funksiya. Ratsional funksiyalarning integrali Ratsionalʻ
funksiyalarlar yig indisi, logarifmik va arktangens funksiyalar orqali hisoblanadi.
ʻ
Ratsional funksiyalar va ixtiyoriy sonlar ustida bajariladigan arifmetik amallar
natijasida olingan oxirgi son, Ratsional funksiyalarning hosilasi ham Ratsional
funksiyalar bo ladi. Ratsional funksiyalar elementar funksiyalarning muhim qismi
ʻ
bo‘lib, 20-asr o‘rtalaridan taqribiy funksiya masalalarini yechishda keng
qo llaniladi.
ʻ
1. Sodda kasrlar va ularning integrallari
Ushbu

kasrlar sodda kasrlar deyiladi. Ularning integrallari quyidagicha bo‘ladi:
13

2. Ratsional funksiyalarni integrallash.
Ushbu
ratsional funksiyaning integrali quyidagicha hisoblanadi.
Agar bo‘lsa, kasrning butun qismini ajratib, uni butun ratsional
funksiya va to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishida yozib olinadi. Ravshanki, butun
ratsional funksiyalar integrali oson hisoblanadi.
Ma’lumki, har qanday to‘g‘ri kasr sodda kasrlar sifatida ifodalanadi. Demak,
to‘g‘ri kasrning integrali soda kasrlarning integraliga keltirib hisoblanadi.
1-misol. Ushbu
integral hisoblansin.
Integral ostidagi kasrning suratini maxrajiga bo‘lib, butun qismini ajratamiz:
So‘ng bu tenglikning o‘ng tomonidagi to‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyamiz:
bundan
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
14

Keyingi tenglikdan esa
bo‘lishini topamiz. (*) tenglikka ko‘ra
bo‘ladi. Berilgan integralni hisoblaymiz:
2-misol. Ushbu
integral hisoblansin.
Integral ostidagi ifodani sodda kasrlarga yoyamiz:
Umumiy maxrajga keltirib topamiz:
larni topish uchun quyidagi sistemani yechamiz:
15

Bundan,
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, integral ostidagi
funksiya
bo‘ladi. Uning integralini hisoblaymiz:
Keyingi tenglikning o‘ng tomonidagi integralni integrallash usullari rejasidagi
rekurent formulaga ko‘ra topamiz:
Demak,
.
2- § . Irratsional funksiyalarni integrallash
ko‘rinishidagi integralni hisoblash.
integralda -ratsional sonlar, - xaqiqiy sonlar bo‘lib,
16

Agar -ratsional sonlarning umumiy maxraji bo‘lsa, integralda
almashtirish bilan qaralayotgan integral ratsional funksiyalarning integraliga
keladi.
ko‘rinishidagi
integralni hisoblash.
Bu integral quyidagi uchta almashtirish (Eyler almashtirishlari) bilan ratsional
funksiyaning integraliga keladi:
bunda soni tenglamaning ildizlaridan biri.
ko‘rinishidagi integralni hisoblash , bunda -ratsional
sonlar. Bu integral:
1) - butun son bo‘lgan holda almashtirish bilan, bunda - soni va
ratisonal sonlarning umumiy maxraji;
2) -butun son bo‘lgan holda almashtirish bilan, bunda soni
ratsional sonning maxraji;
3) - butun son bo‘lgan holda almashtirish bilan, bunda
soni ratsional sonning maxraji,
ratsional funksiyaning integraliga keladi.
1-misol. Ushbu
17

integral hisoblansin.
Ravshanki,
Demak, integral ostidagi funksiya va larning ratsional funksiyasi
bo‘ladi. Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda
bo‘lib,
bo‘ladi. Demak,
2-misol. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda bo‘lgani uchun almashtirish
bajaramiz. Unda
18

bo‘lib,
bo‘ladi. Ravshanki,
Demak,
3-misol. Ushbu integral hisoblansin.
Berilgan integralni quyidagicha
yozib olamiz. Integral ostidagi ifoda uchun
bo‘lib,
bo‘ladi. Bu integralda
deb topamiz:
19

.
Natijada,
bo‘ladi. Keyingi integralni hisoblab,

bo‘lishini topamiz.
4-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Bu integralni hisoblash uchun quyidagicha almashtirish bajaramiz.
Demak javob:
.
20

III BOB.TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
1- § . Trigonometrik funksiyalarni integrallash
Trigonometrik funksiyalarni integrallash — trigonometrik funksiyalar
yoki ular qatnashgan ifodalarning aniq va aniqmas integrallarini hisoblash
usullarini o‘rganuvchi integral hisob bo‘limidir.
1.Trigonometrik ayniyatlar.
2.Trigonometrik funksiyalarni birinchisini ikkinchisi orqali ifodalash
3. Trigonometrik funksiyalarni yig‘indisi va ayirmasi.
21

4.Yarim burchak formulalari.
5. Darajani pasaytirish formulasi.
7. Trigonometrik funksiyani ko‘paytmadan yig‘indiga aylantirish.
22

Asosiy trigonometrik funksiyalar deb funksiyalarga
aytiladi.
Ular orasida quyidagi bog‘lanishlar mavjud :
Trigonometrik funksiyalar davriydir. va funksiyalarning davri
, funksiyalarniki esa ga teng.
1. ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash.
Bunday integralda
almashtirish bajarilsa, u holda
bo‘lib, qaralayotgan integral ratsional funksiyaning integrali ga keltiriladi.
2. ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash.
Bunday integrallar toq bo‘lganda almashtirish yordamida, toq
bo‘lganda esa almashtirish yordamida hisoblanadi.
Agar va lar juft bo‘lsa, unda va ni mos ravishda
ga almashtirish lozim.
23

3. ko‘rinishidagi integrallarni
hisoblash.
Bunday integrallarni hisoblashda quyidagi
formulalardan foydalanish kerak.
1-Misol. Ushbu integral hisolansin.
Demak, ekan.
2-misol. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda
bo‘lib,
24

bo‘ladi.
3-misol . Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda almashtirish bajarib, uni hisoblaymiz:
4-misol. Ushbu integralni hisoblaymiz.
Bu integral quyidagicha hisoblanadi :
25

XULOSA
Biz funksiyaning hosilasini topish zarur bo‘lsa, funksiyalarni
differensiallash qoidalaridan foydalanganmiz. Agar hosila argumentning
funksiyasi bo‘lib, uni orqali belgilasak, bo‘ladi va
funksiya differensialini ko‘rinishida yozish mumkin bo‘ladi.
Aksincha, funksiyaning biror oraliqda berilgan hosilasi bo‘yicha shu
oraliqda aniqlangan funksiyani o‘zini topish talab qilinsa, funksiyani
integrallash amalidan , ya’ni integrallash nomi bilan ataluvchi maxsus qoidalar va
formulalardan foydalaniladi. Izlanayotgan funksiya uchun
boshlang‘ich funksiya vazifasini o‘taydi. Integrallash amali belgisi bilan
belgilanadi (lotincha untegrare –tiklash).
Shunday qilib, biror oraliqdagi barcha lar uchun o‘rinli
bo‘lsa, funksiya shu oraliqda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
deyiladi.
Matematikaga integral atamasini shveytsariyalik matematik Iogann Bernulli
(1667-1748) kiritgan va integral hisobdan birinchi sistematik kurs
tayyorlagan.Uning shogirdi Peterburg fanlar akademiyasining haqiqiy a’zosi
Leonard-Eyler (1707-1748) integrallashni belgisi orqali belgilangan.
Hozirgi zamondagi belgilashni esa fransuz matematigi J.Furye (1768-1860)
kiritgan.
Ushbu kurs ishini yozish davomida aniqmas integral va unga oid ko‘pgina
ma’lumotlarga ega bo‘ldim. Bu kurs ishini tayyorlashda:
Aniqmas integralga oid formulalarni va jadvalni ;
O‘zgaruvchini almashtirish, bo‘laklab integralash kabi integrallash usullarini;
Trigonometrik funksiyalarni integrallashni;
Ratsional funksiyalarni integrallashni;
26

Irratsional funksiyalarni integrallashni;
Eyler almashtirishlarini;
va boshqa ko‘plab integrallashga oid bilimlarimni yanada mustahkamladim va
o‘rganganlarimni ushbu kurs ishida iloji boricha yoritib berishga harakat qildim.
Ushbu kurs ishi 27 varoqdan iborat bo‘lib, kirish, 3 ta bob va foydalanilgan
adabiyotlarni o‘z ichiga oladi. Bu kurs ishida texnikaning rivojlanishiga asosiy
turtki bo‘lgan mavzulardan biri bo‘lmish trigonometrik, ratsional va irratsional
funksiyalarni integrallash qoidalari, yo‘llari va usullari yoritilgan. Qoidalar,
formulalar, ta’riflar, teoremalar keltirilgan va alohida tushuntirilib o‘tilgan. Kurs
ishida keltirilgan misollar eng oson va tushunarli usulda ishlangan.
Bu kurs ishini yozish davomida ko‘p bilimlar orttirdim. Bilmaganlarimni
o‘rgandim.

27

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Узбекистон Республикаси Вазирлар Махкамасининг “ Таьлим
тугрисидаг a” ги в a “Ka дрлар тайерлаш дастурида ” ги конуни 1997 – йил , 29 –
a вгуст .
2. I.A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” Toshkent – 2000- yil.
3. I.A. Karimov “Yuksak ma’naviyat – yengilmas kuch”. Toshkent “ Ma’naviyat”
2005.
4. I.A. Karimov “Mamalakatimizda demokratik islohotlarni yanada
chuqurlashtirish va fuqorolik jamiyatini rivojlantirish konsepsiyasi” – T:
O‘zbekiston, 2010-yil.
5. I.A. Karimov “Barcha reja va dasturlarimiz vatanimiz taraqqiyotini yuksaltirish,
xalqimiz farovonligini oshirishga xizmat qiladi”, “Xalq so‘zi” gazetasi, 2011-yil
22 – yanvar.
6. M. Салохиддинов “Ma тематик физика тенгламалари ”, T: Узбекистон 2002.
7. M.C. Салохиддинов , Г ’. Н . Насритдинов “O ддий дифференсиал
тенгламалар ”. Т : Узбекистон 1994.
8. T. A зларов , H. Ma нсуров “Ma тематик анализ ” 2- кисм . T : Укитувчи 1989.
9. Й. У. Соатов “ O лий математика”. T : Узбекистон 1996
10. Понтрячен “Обыкновенние дифференциальные уравнения”. М:
Наука, 1969 .
28

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26