Jismning og`irlik markazi - Fizika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	20000UZS
Hajmi	586.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	04 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Fizika

Sotuvchi

Esonboyev Nasrullo

Ro'yxatga olish sanasi 30 Aprel 2025

0 Sotish

Jismning og`irlik markazi

Sotib olish

Reja:
KIRISH
1. Parallel kuchlarning markazini aniqlash.
2. Qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
3. Bir jinsli qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
4. Bir jinsli oddiy geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
5. Bir jinsli murakkab geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
6. Ba’zi bir murakkab figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
7. Kuchni o`qqa nisbatan momenti
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1

Kirish
Jismning og‘irlik markazi tabiiy va sun’iy obyektlarning barqarorligi, muvozanati va
harakatiga oid muhim fizikaviy tushunchalardan biridir. Bu markaz — jismga ta’sir
qiluvchi og‘irlik kuchlarining natijaviy ta’siri bir nuqtaga to‘plangandek tasavvur
qilinadigan joy bo‘lib, mazkur nuqta jismning geometrik shakli, massaning
taqsimlanishi va joylashuviga bog‘liq holda aniqlanadi. Og‘irlik markazi ba’zan jism
ichida, ba’zida esa uning tashqarisida joylashishi mumkin.
Bu tushuncha qadimdan ilm-fan va texnikaning turli sohalarida, jumladan, mexanika,
muhandislik, arxitektura, aviatsiya va robototexnikada keng qo‘llanilib kelmoqda.
Masalan, ko‘priklar yoki binolar qurilishida ularning og‘irlik markazini to‘g‘ri
aniqlash inshootning mustahkamligi va barqarorligini ta’minlaydi. Yoki samolyotlar
konstruktsiyasida og‘irlik markazi noto‘g‘ri hisoblangan bo‘lsa, bu parvoz
xavfsizligiga jiddiy tahdid solishi mumkin. Shuningdek, sportda, ayniqsa gimnastika
yoki akrobatikada sportchi o‘z og‘irlik markazini boshqara olish qobiliyatiga
tayanadi.
Jismning og‘irlik markazini aniqlash geometriyaviy metodlar, tajriba asosida
kuzatuvlar yoki matematik hisob-kitoblar orqali amalga oshiriladi. Oddiy shaklli
jismlar uchun og‘irlik markazi nisbatan oson topilsa, murakkab shaklli jismlarda u
ancha murakkabroq hisoblanadi. Bu esa og‘irlik markazi haqidagi bilimlarni nazariy
va amaliy jihatdan puxta o‘zlashtirishni talab etadi.
Ushbu mavzuda og‘irlik markazining nazariy asoslari, uni aniqlash usullari va turli
sohalardagi qo‘llanilishi keng yoritilib, jismning muvozanati va harakatini
tushunishga yo‘l ochiladi. Jismning og‘irlik markazi — bu jismga ta’sir qiluvchi
barcha og‘irlik kuchlarining natijaviy ta’siri yig‘ilgan nuqtadir. Ushbu nuqta jismning
barqarorligi va harakatiga ta’sir ko‘rsatadigan muhim omil hisoblanadi. Og‘irlik
markazining tushunchasi jismning fizik holatini tahlil qilishda zarurdir, chunki bu
nuqta jismning muvozanatini saqlash, uning harakatini bashorat qilish va turli
holatlarda ta’sir etuvchi kuchlarni hisobga olishda asosiy o‘ringa ega.
Har bir jismning o‘ziga xos og‘irlik markazi bor, u jismning shakli, massaning
taqsimlanishi va joylashuviga bog‘liq ravishda o‘zgaradi. Oddiy shakllar, masalan,
2

to‘g‘ri burchakli kvadrat yoki sfera uchun og‘irlik markazini aniqlash nisbatan oson,
ammo murakkab shakllar yoki noaniq massa taqsimotida bu ko‘rsatkichni hisoblash
ancha qiyinlashadi. Shuning uchun og‘irlik markazini aniqlashda geometriya va
matematik hisob-kitoblar orqali turli metodlardan foydalaniladi.
Bu tushuncha ilm-fan va texnikaning bir qator sohalarida, jumladan, mexanika,
muhandislik, aviatsiya, qurilish va hatto sportda keng qo‘llaniladi. Masalan, transport
vositalarini loyihalashda og‘irlik markazining joylashuvi ularning xavfsizligini
ta’minlashda muhim omil hisoblanadi. Shuningdek, inshootlar va strukturaviy
ob’ektlar qurilishida ularning mustahkamligi va barqarorligini saqlashda og‘irlik
markazining aniqlanishi asosiy ahamiyatga ega.
Shu tarzda, jismning og‘irlik markazi nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy jihatdan
ham juda katta ahamiyatga ega bo‘lib, turli sohalarda ilgari surilayotgan texnologik
va ilmiy yutuqlarni qo‘llab-quvvatlaydi. Og‘irlik markazining to‘g‘ri aniqlanishi
jismning fizik xususiyatlarini va uning atrof-muhitga ta’sirini aniq baholash imkonini
beradi.
3

1.Parallel kuchlarning markazini aniqlash.
Parallel kuchlarning markazini aniqlash uchun quyidagi ikkita qoidani
bajarilishi shart:
1) Markazini aniqlanadigan parallel kuchlarni o`z tasir chiziqlari bo`yicha
bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga ko`chirish mumkin emas, yani ularning qo`yilgan
nuqtalari o`zgarmay qolishlari shart. Masalan og`irlik kuchlari shunday kuchlar
guruhiga kiradilar.
2) Markazini aniqlanadigan parallel kuchlarning son qiymatlari o`zgarmas
bo`lishi shart, aks holda markazning o`rni muqim bo`lmay qoladi.
3) Agar parallel kuchlarning modullari vaqt mobaynida o`zgaruvchan
bo`lsa, ularning markazi bo`lgan S nuqtaning koordinatalri ham o`zgaruvchan
funktsiyadan iborat bo`ladi.
Agar ushbu shartlar bajarilsa, harqanday parallel kuchlar sistemasi uchun
shunday bir nuqta topish mumkinki, shu kuchlar sistemasini hohlagan tomonga
burilganda ham u nuqta shu kuchlarning markazi bo`lib qolaveradi.
Nazariy mexanika fanida bu nuqtani lotincha S harfi bilan belgilash qabul
qilingan bo`lib, lotincha centrum - doiraning markazi degan manoni anglatadi.
Endi yuqoridagi shartlar bajarilgan parallel kuchlar sistemasi uchun ularning
markazini aniqlashni ko`rib chiqaylik.
Faraz qilaylik berilgan koordinata sistemalarining S
1 , S
2 , S
3 , .............S
N
nuqtalariga modullari R
1 , R
2 , R
3 , .................R
N ga teng bo`lgan N - ta parallel kuchlar
qo`yilgan bo`lsin, va bu kuchlar Oz o`qiga parallel ravishda yo`nalgan bo`lsinlar.
Har bir kuch qo`yilgan nuqtaning tegishli koordinatalari berilgan bo`lsin, ular
tegishlicha S
1 (x
1 ,y
1 ,z
1 ), S
2 (x
2 ,y
2 ,z
2 ), S
3 (x
3 ,y
3 ,z
3 ),............... S
N (x
N ,y
N ,z
N ) larni tashkil
etsin. Endi biz ularning teng tasir etuvchisi R - ning modulini aniqlaylik, bu juda oson
masala bo`lib, u quyidagi bitta tenglama orqali aniqlanadi, yani
(1)
4

Varinon teoremasiga binoan, harqanday kuchlarning biror o`qqa nisbatan
olingan momentlarining yig`indilari, shu kuchlarning teng tasir etuvchisini shu o`qqa
nisbatan olingan momentiga teng. SHunga ko`ra quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi, yani

(2)
ushbu tenglamadan , xuddi shu kabi barcha kuchlarning
momentlarini Ou o`qiga nisbatan olib, , ni aniqlaymiz.
Endi teng tasir etuvchining Oz o`qidagi koordinatasini aniqlash uchun, barcha
kuchlarni o`z qo`yilgan nuqtalari atrofiga bir tomonga 90 o
ga buramiz, va aytaylik
ular Ou o`qiga parallel holiga keldilar, deb faraz qilib, shu kuchlarni yana bir marta
Ox o`qiga nisbatan momentlarini olib, , ni ham aniqlaymiz.
SHunday qilib, biz harqanday parallel kuchlar sistemasining teng tasir
etuvchisining qo`yilgan nuqtasining (markazining) koordinatalarini aniqlovchi
formulalarni keltirib chiqardik, yani
, , va ,
(3)
larni keltirib chiqardik.
2.Qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
Erning atrofida joylashgan harqanday zarrachaga ularning massalariga
proportsional ravishda erning tortish kuchi, boshqacha aytganda og`irlik kuchlari tasir
etadi. Umuman olganda zarrachalarning oralaridagi masofa katta bo`lsa, ushbu
og`irlik kuchlarining yo`nalishlari bir birlariga parallel emas.
5

Lekin zarrachalar orasidagi masofa erning radiusiga nisbatan juda kichkina
masofani tashkil etgan hollarda og`irlik kuchlarini o`zaro parallel deb qabul qilinadi.
Ularning yo`nalishlari va modullari o`zgarmas bo`lganliklari uchun, harqanday qattiq
jismning og`irlik markazlari o`zgarmas bo`ladi. Quyida shu nuqtalarni aniqlash bilan
shug`ullanamiz.
Faraz qilaylik, N - zarrachalardan iborat qattiq jism berilgan bo`lsin, va har
birining og`irlik kuchlari tegishlicha R
1 , R
2 , R
3 , .................R
N larga teng bo`lib,
ularning koordinatalari tegishlicha S
1 (x
1 ,y
1 ,z
1 ), S
2 (x
2 ,y
2 ,z
2 ), S
3 (x
3 ,y
3 ,z
3 ),...............
S
N (x
N ,y
N ,z
N ) dan iborat bo`lsin, u holda bu qattiq jismning umumiy og`irligi - R,
quyidagi formuladan aniqlanadi, yani
(4)
ga teng bo`lsin.
Endi bu kuchlar parallel bo`lganliklari uchun ularning markazi, yani jismning
og`irlik markazi yuqorida isbotlangan formulalar orqali aniqlanadi, yani
, , ,
(5)
Shunday qilib qattiq jismning og`irlik markazi , uning shunday bir nuqtasiki
jismni qaysi tomnga aylantirishdan qatiy nazar uning umumiy og`irligining tasir
chizig`i shu nuqtani albatta kesib o`tadi. Bu nuqtani yuqorida takidlaganimizdek
lotincha S - harfi bilan belgilaymiz.
Bazi hollarda qattiq jismning og`irlik markazi joylashgan nuqta bo`shliqdan
iborat bo`lishi ham mumkin, masalan halqaning og`irlik markazi uning geometrik
markazi yani bo`shliqda yotadi. Boshqacha qilib aytganda qattiq jismning og`irlik
6

markazi, bu shunday nuqtaki uning atrofidagi massalar shu nuqtaga nisbatan
simmetrik ravishda joylangandirlar.
3. Bir jinsli qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
Agar qattiq jism bir xil materialdan tayyorlangan bo`lsalar, ularning har bir
qismining og`irligi, shu qismlarning hajmlariga to`g`ri proportsional bo`ladi. Masalan
R
1 h  V
1 , R
2 h  V
2 , R
3 h  V
3 ................ R
N h  V
N ga teng, va jismning umumiy
og`irligi Rh  V teng bo`lib, bu erda V
1 ,V
2 , V
3 .......... V
N lar qattiq jismning
bo`laklarini hajmlari, V - qattiq jismning umumiy hajmi.  - jismni tashkil etgan
moddaning solishtirma og`irligi.
Endi og`irlik kuchlarining ushbu qiymatlarini yuqoridagi formulaga qo`yib,
surat va mahrajlarini  - ga qisqartirib yuborsak, quyidagi formulalarni olamiz, yani
, , , (6)
Agar qattiq jism bir xil qalinlikdan iborat plastinadan tayyorlangan bo`lsa,
ushbu formulalardagi hajmlar yuzalarga proportsional bo`ladilar. SHu sababli
, , , (7)
bu erda S
k ,- jism bo`laklarining yuzalari, S - jismning umumiy yuzasi.
Agar qattiq jism bir xil yo`g`onlikdagi simlardan tayrlangan bo`lsa, uning
og`irlik markazi, bo`laklarining uzunliklariga proportsional ravishda aniqlanadilar,
yani
, , , (8)
7

bu erda - lar jism bo`laklarining uzunliklari, L - jismning umumiy uzunligi.
SHunday qilib, bir jinsli moddadan tayyorlangan qattiq jismlarning og`irlik
markazlarini ularning bo`lakalrini hajmlari, yuzalari yoki uzunliklari orqali aniqlanar
ekan.
4.Bir jinsli oddiy geometrik figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
a) Doiraning, aylananing va sharning og`irlik markazi ularning geometrik
markazida yotadi.
v) To`g`rito`rtburchak, parallelogramm, rombning og`irlik markazlari ularning
diagonallarining kesishgan nuqtasida yotadi.
s) Uchburchak yuzali qattiq jismning og`irlik markazi medianalarining
kesishgan nuqtalarida yotadi.
d) Simmetriya tekisligiga, yuzasiga, yoki o`qiga ega bo`lgan figuralarning
og`irlik markazlari shu tekislikda, yuzada, o`qda yotadi.
5.Bir jinsli murakkab geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
Agar jism birnecha oddiy figuralarning birikmasidan iborat bo`lsa, u holda bu
qattiq jismni bir necha oddiy figurali bo`laklarga ajratib yuboriladi. So`ngra har bir
qismining og`irlik markazlarini koordinatalarini va ularning hajmlari yoki yuzalarini
hisoblab chiqiladi, va yuqoridagi formulalardan birortasi orqali jismning umumiy
og`irlik markazining koordinatalari x
c , y
c , z
c - lar hisoblanadi.
1shakl
8

Masalan (shakl 1) shaklda berilgan figura, aslida murakkab yuzani tashkil
etadi, lekin uni uchta oddiy yuzaga ajratish mumkin, yani uchburchak, to`g`ri
to`rtburchak va yarim doiralarga ajratib yuboramiz.
Koordinata o`qlarini tanlab olib, har bir oddiy figuraning og`irlik markazlarini
koordinatalarini va ularning yuzalarini aniqlaymiz, so`ngra bularni yuqoridagi 7
formulaga qo`yib, jismning umumiy og`irlik markazini hisoblab chiqaramiz.
Lekin shunday xollar bo`lishi mumkinki, qattiq jism oddiy figuralarga
ajralmasligi mumkin. Bunday masalalarni echish uchun integrallash usulidan
foydalanamiz.
Faraz qilaylik bizga biror qattiq jism berilgan bo`lib, u oddiy figuralarga
ajralmasin, u holda bu qattiq jismni elementar hajmchalarga, yuzachalarga yoki
uzunliklarga bo`lib yuboramiz. YAni V - ni o`rniga dv, S - ni o`rniga ds, L - ni
o`rniga dL qo`yamiz.
Summani o`rniga integrall belgisi qo`yiladi, chunki elementar hajm, yuza va
uzunliklarni faqat integrall yordamida qo`shiladi. SHunga ko`ra quyidagi uchta
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. hajm uchun
(9)
yuza uchun,
(10)
uzunlik uchun,
(11)
9

6. Ba’zi bir murakkab figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
1) Aylana yoyining og`irlik markazini aniqlash. (2 shakl).

2 shakl.
S h aklda ko`rsatilgan R radiusli aylananing, markaziy burchagi AOVh2  ga
teng bo`lgan AV yoyi ko`rsatilgan. Ushbu yoyning og`irlik markazini aniqlash uchun
uning markazi O nuqtadan xOu koordinata o`qlarini shunday o`tkazamizki, Ox o`qi
AV yoyni teng ikkiga bo`lib o`tsin. U holda bu o`q simmetriya o`qi hisoblanadi,
qoidaga ko`ra jismning og`irlik markazi shu o`qda yotadi. Lekin koordinata boshidan
qancha uzoqlikda yotishi nomalum, yani u
s h0 lekin x
s h?.
Buning uchun AV yoyda kichkina MM’ - yoychani ajratib olamiz, uning
uzunligi dLhRd  ga teng bo`lib, shu yoychaning og`irlik markazining Ox o`qidagi
koordinatasi xhRcos  . Ushbu x va dL larni qiymatlarini yuqoridagi formulaga
qo`yib, butun yoy bo`yicha integrall olsak, quyidagini hosil qilamiz, yani
bu erda L h R  2  ga teng bo`lganligi uni yuqoridagi formulaga qo`ysak, x
c ni
qiymatini aniqlaymiz, yani
10

2) Doira sektorining og`irlik markazini aniqlash. (3 shakl.)
3 shakl.
SHaklda ko`rsatilgan doira sektorining O markazidan Ox simmetriya o`qini
o`tkazaylik, shu sababli uning og`irlik markazi shu o`qda yotadi. Uning qiymatini
hisoblash uchun, sektorni birnecha mayda mikrosektorlarga bo`lib yuboraylik, u
holda har bir mikrosektorni mikrouchburchak deb qabul qilish mumkin.
SHuning uchun har bir mikro-uchburchaklarning og`irlik markazlarini
aniqlasak, ED yoyida yotuvchi og`irlik markazlaridan iborat nuqtalarni hosil qilamiz.
so`ngra yuqoridagi formula orqali umumiy og`irlik markazini aniqlaymiz, yani
chunki OE yoyining radiusi OV yoyning radiusining uchdan ikki qismini tashkil
etadi.
Shundan keyin studentlarga og`irlik markazini aniqlashga doir masalalar echib
ko`rsatiladi.
Tayanch so`z va iboralar: Parallel kuchlar sistemasi, Og`irlik markazi,
og`irlik markazini aniqlash formulalari, aylana, doira, yoy, sektor va sharsimon
figuralarning og`irlik markazlari, uchburchak, to`g`ri to`rtburchak, parallelogramm
11

shakldagi figuralarni og`irlik markazlari, simmetriya o`qi va tekisligiga ega bo`lgan
figuralarning og`irlik markazlari.
12

7. Kuchni o`qqa nisbatan momenti
1 ) S i m m e t r i y a u s u l i . 1 - t e o r e m a : A g a r j i s m s i m m e t r i y a o ` q i g a e g a
b o ` l s a , j i s m n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i s h u s i m m e t r i y a o ` q i d a y o t a d i .
S i m m e t r i y a o ` q i g a e g a b o ` l g a n j i s m b e r i l g a n b o ` l s i n ( 8 8 - r a s m ) .
K o o r d i n a t a o ` q l a r i n i n g b i r i n i m i s o l u c h u n Z o ` q i n i s i m m e t r i y a o ` q i
b o ` y i c h a y o ` n a l t i r a m i z . J i s m o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g i k k i t a k o o r d i n a t a s i n i
( 9 4 ) f o r m u l a l a r b i l a n a n i q l a y m i z ;Xc= ∑ υkXk
V ;Yc= ∑υkYk
V
(94)
B u j i s m d a n o ` q i g a n i s b a t a n s i m m e t r i k j o y l a s h g a n i k k i t a
M R v a M 1
¿
¿ R
n u q t a l a r n i o l a m i z . U l a r n i n g a t r o f i d a n b i r - b i r i g a t e n g b o ` l g a n
VK
e l e m e n t a r x a j m a j r a t i b o l a m i z .
M R v a M 1
¿
¿ R n u q t a l a r o ` q i g a
p e r p e n d i k u l y a r b o ` l g a n b i t t a t o ` g ` r i c h i z i q d a y o t i b d i v a b u n u q t a l a r d a n
o ` q i g a c h a b o ` l g a n m a s o f a l a r t e n g ;
M R N R
= N R M 1
¿
¿ R D e m a k , b u n u q t a l a r n i n g X
K v a Y
K k o o r d i n a t a l a r i
o ` z a r o t n g i s h o r a l a r i e s a , t e s k a r i b o ` l a d i . U h o l d a h a r b i r
XK , YK , Z k
k o o r d i n a t a l a r b i l a n a n i q l a n a d i g a n
VK x a j m l i b o ` l a k c h a g a m o s k e l a d i . S h u
s a b a b l i
∑ VRXK = 0 v a ∑ V
R
Y k = 0 t n g b o ` l a d i . ∑ VRXK = V1 X
1
+ V2 X
2
+…….. +
VN XN
- V1X1 - V2 X2 - … … . - VN XN = 0 s h u n i n g u c h u n X c = 0 v a U s = 0
j i s m n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i Z o ` q i d a y e t a d i v a u n i n g b u o ` q d a g i h o l a t i
b i t t a k o o r d i n a t a b i l a n a n i q l a n a d i :
Z
C =
1
V ∑ V
K ( 9 4 ’ )
2 – t e o r e m a : A g a r j i s m s i m m e t r i y a t e k i s l i g i g a e g a b o ` l s a , j i s m n i n g
o g ` i r l i k m a r k a z i s h u s i m m e t r i y a t e k i s l i g i d a y o t a d i ( 8 8 - r a s m ) . B u n i
i s b o t q i l i s h u c h u n s i m m e t r i y a t e k i s l i g i o r q a l i O x y t e k s l i k n i o ` t k a z a m i z
B u t e k i s l i k k a p e r p e n d i k u l y a r q i l i b Z o ` q i n i y o ’ n a l t i r a m i z . J i s m d a n
13

O x y t e k i s l i g i g a n i s b a t a n s i m m e t r i k j o y l a s h g a n i k k i t a M k v a M k 1
n u q t a l a r n i o l a m i z . B u n u q t a l a r n i n g a t r o f i d a n υ
k e l e m e n t a r x a j m l a r n i
a j r a t i b o l a m i z . M k v a M k 1 n u q t a l a r O x y t e k i s l i g i g a p e r p e n d i k u l y a r
b o ` l g a n b i t t a t o ` g ` r i c h i z i q d a y o t i b d i . B u n u q t a l a r d a n s i m m e t r i y a
t e k i s l i g i g a c h a b o ` l g a n m a s o f a l a r o ’ z a r o t e n g , y a ’ n i M
k N
k = M
k1
N
k ( 8 8 -
r a s m ) . D e m a k , b u n u q t a l a r n i n g Z k k o o r d i n a t a l a r i o ’ z a r o t e n g b o ` l i b ,
i s h o r a l a r i t e s k a r i d i r .
∑ υ
k Z
k = υ
1 Z
1 + υ
2 Z
2 + ... + υ
n Z
n − υ
1 Z
1 − υ
2 Z
2 − ... − υ
n Z
n = 0
Z
c = 1
V ⋅ ∑ υ
k Z
k = 0 , X
c = 1
V ⋅ ∑ υ
k X
k , Y
c = 1
V ⋅ ∑ υ
k Y
k ( 9 5 )
8 8 - r a s m
O l i n g a n b u n a t i j a s h u n i k o ` r s a t a d i k i j i s m n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i
s i m m e t r i k t e k i s l i g i d a y o t a d i . X u d d i s h u n i n g d e k , j i s m s i m m e t r i k
m a r k a z i g a e g a b o ` l s a , u n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i s h u s i m m e t r i y a m a r k a z i d a
y o p i s h i i s b o t l a n a d i .
B o ` l a k l a r g a b o ` l i s h u s u l i . A g a r j i s m n i o g ` i r l i k m a r k a z l a r i o l d i n d a n m a ’ l u m b o ` l g a n
b i r n y e c h a m i z a b o ` l a k l a r g a b o ` l i s h m u m k i n b o ` l s a , j i s m o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g
k o o r d i n a t a l a r i ( 9 5 ) f o r m u l a l a r y o r d a m i d a a n i q l a n a d i .
M a n f i y y u z a u s u l i . B u u s u l b o ` l a k l a r g a b o ` l i s h u s u l i n i n g x u s u s i y h o l .
B u u s u l t e s h i g i b o r j i s m l a r g a q o ` l l a n i l a d i . B u u s u l n i n g m o x i y a t i
s h u n d a n i b o r a t k i , j i s m n i t e s h i k s i z b u t u n j i s m v a t e s h i k d a n i b o r a t d e b
q a r a l a d i ; t e s h i k y u z a s i s h a r t l i r a v i s h d a m a n f i y i s h o r a b i l a n o l i n a d i . B u
u s u l d a t a t b i q e t i s h u c h u n b u t u n j i s m n i n g v a t e s h i k n i n g o g ` i r l i k
m a r k a z l a r i m a ’ l u m b o ` l i s h i k e r a k .
14

I n t e g r a l l a s h u s u l i . A g a r j i s m b i r n y e c h a m i z t a o g ` i r l i k m a r k a z l a r i
m a ’ l u m b o ` l g a n b o ` l a k c h a l a r g a a j r a t i s h m u m k i n b o ` l m a s a , o l d i n u
i x t i y o r i y k i c h i k Δυk x a j m l a r g a b o ` l i n a d i v a j i s m u c h u n ( 9 5 ) f o r m u l a
q u y i d a g i k o ` r i n i s h n i o l a d i .
Xc
¿ 1
V ⋅ ∑ υ
k Z
k v a x o k a z o , ( 9 6 )
b u n d a X k , Y k , Z k - Δ υ
k x a j m i c h i d a y o t g a n b i r o r n u q t a n i n g
k o o r d i n a t a l a r i . ( 9 6 ) f o r m u l a l a r g a
Δυk n o l g a i n t i l d i r i b l i m i t g a o ’ t s a k ,
q u y i d a g i l a r n i o l a m i z :
a ) X a j m o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g k o o r d i n a t a l a r i u c h u n :
Xc= 1
V ⋅∫V
XdF ,Yc= 1
V ⋅∫V
Ydυ ,Zc= 1
V ⋅∫V
Zdυ ,
( 9 7 )
b ) Y u z a o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g k o o r d i n a t a l a r i u c h u n :
X
c = 1
F ⋅
∫
F XdF , Y
c = 1
F ⋅
∫
F YdF , Z
c = 1
F ⋅
∫
F ZdF
( 9 8 )
v ) C h i z i q o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g k o o r d i n a t a l a r i u c h u n :
Xc= 1
L⋅∫L
Xdl ,Yc= 1
L⋅∫L
Ydl ,Zc= 1
L⋅∫L
Zdl
( 9 9 )
Uchburchak yuzasining og`irlik markazi.
I x t i y o r i y A V D u c h b u r c h a k y u z a s i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i n i a n i q l a s h
u c h u n u c h b u r c h a k y u z a s i n i A V t o m o n i g a p a r a l l e l b o ` l g a n t o ` g ` r i
c h i z i q k e s m a s i b i l a n b o ` l a m i z ( 8 9 - r a s m ) . H a r b i r b u n d a y k e s m a n i n g
o g ` i r l i k m a r k a z i u n i n g u r t a s i d a y a ’ n i D E m e d i a n a d a y o t a d i .
D e m a k , u c h b u r c h a k y u z a s i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i b u m e d i a n a g a y o t a d i .
X u d d i s h u n i n g d e k , u c h b u r c h a k y u z a s i n i A D t o m o n i g a p a r a l l e l b o ` l g a n
t o ` g ` r i c h i z i q k e s m a s i b i l a n a j r a t s a k , b u t o ` g ` r i c h i z i q k e s m a l a r i n i n g
o g ` i r l i k m a r k a z i V K m e d i a n a d a y o t a d i .
D e m a k , u c h b u r c h a k y u z a s i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i u n i n g u c h t a
m e d i a n a l a r i n i n g k e s i s h g a n n u q t a d a y o t a d i . G e o m e t r i y a d a n m a ’ l u m k i ,
m e d i a n a l a r n i n g k e s i s h g a n u q t a s i a s o s d a n m e d i a n a n i n g
15

8 9 - r a s m
1
3 q i s m i d a y o t a d i , y a ’ n i S E = 1
3 D E A g a r u c h b u r c h a k u c h l a r i n i n g
A ( X 1 , U 1 ) , V ( X 2 , U 2 ) , D ( X 3 , U 3 ) k o o r d i n a t a l a r i b e r i l g a n b o ` l s a , u n i n g
o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g S ( X
c , U
c ) k o o r d i n a t a l a r i q u y i d a g i f o r m u l a l a r d a n
t o p i l a d i :
X
c = X
1 + X
2 + X
3
3 , U
c = Y
1 + Y
2 + Y
3
3 ( 1 0 0 )
( 1 0 0 ) f o r m u l a l a r a n a l i t i k g e o m e t r i y a d a k e l t i r i b c h i k a r i l g a n .
A y l a n a y o y i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i .
R a d i u s i R g a t e n g , b u r c h a g i 2α g a t e n g b o ` l g a n a y l a n a y o y i A V
n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i n i a n i q l a y m i z . B u n i n g u c h u n O X o ` q i n i a y l a n a
y o y i n i n g s i m m e t r i y a o ` q i b o ` y l a b y o ’ n a l t i r a m i z ( 9 0 - r a s m ) . U h o l d a
a y l a n a y o y i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i s h u O X o ` q d a y o y a d i . ( Y c = O ) .
( 1 0 1 ) f o r m u l a b i l a n X s k o o r d i n a t a n i t o p a m i z . B u n i n g u c h u n A V
y o y i d a g i d l = R d y g a t e n g b o ` l g a n e l e m e n t a r b o ` l a k c h a a j r a t i b o l a m i z .
U n i n g h o l a t i
γ b u r c h a k g i b i l a n a n i q l a n a d i . e l e m e n t a r b u r c h a k g a
o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g k o o r d i n a t a s i X = R cos γ
g a t e n g ( 9 9 )
f o r m u l a l a r n i n g b i r i n c h i s i g a X v a d e l a r n i n g q i y m a t l a r i n i q o ` y i b v a
b u t u n y o y i n i n g u z u n l i g i b o ` y i c h a i n t e g r a l l a y m i z :
X
c − 1
L ⋅
∫
AB
Xdl = 1
L ⋅
∫
− LL ∫ R 2
L ∫
− LL ∫ R 2
L sin γ
| ❑
− LL R 2
L ¿ ¿
¿ ¿
¿
X
c = R 2
L ⋅
[ sin L + sin L ] = R 2
L ⋅ 2 sin L = 2 R 2
L ⋅ sin L
16

b u n d a L – A V y o y i n i n g u z u n l i g i L= R⋅2L g a t e n g . D e m a k , a y l a n a
y o y i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i s i m m e t r i y a o ` q i d a , y o t a d i v a a y l a n a
m a r k a z i d a n
Xc= R⋅sin α
α
( 1 0 1 )
9 0 - r a s m
m a s o f a d a b o ` l a d i . B u n d a L b u r c h a g i r a d i a n d a o ` l c h a n a d i .
A g a r 2 L =
π g a t e n g b o ` l s a , y a r i m A y l a n a h o s i l b o ` l a d i ( 9 0 - r a s m )
B u n i ( 9 9 ) f o r m u l a g a q o ` y s a k ,
X
{ X
c sin
( π
2 )
π
2 = 2
π ⋅ R = 2
3,14 ⋅ R = 0,64 R
91-rasm
(101) formula bilan yarim aylana yoyining og`irlik markazinig
koordinatasi topiladi.
Doira sektori yuzasining og`irlik markazi
R a d i u s i R , m a r k a z i y b u r c h a g i 2
α g a t e n g d o i r a s e k t o r i y u z a s i n i n g
o g ` i r l i k m a r k a z i n i n g a n i q l a s h u c h u n X o ` q n i s e k t o r y u z a s i n i n g
s i m m e t r i y a o ` q i b o ` y l a b y o ’ n a l t i r a m i z ( 9 2 - r a s m ) .
17

S e k t o r y u z a s i n i n g b i r q a n c h a e l e m e n t a r s e k t o r l a r d a n t a s h q i l t o p g a n
d e b k a r a y m i z . H a r b i r e l e m e n t a r s e k t o r n i b a l a n d l i g i R g a t e n g u c h -
b u r c h a k d e b k a r a s a k , u n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i O n u q t a d a n 2
3 R
m a s o f a d a
y o t a d i . O A V D o i r a s e k t o r i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i , r a d i u s i 2
3R g a t e n g A E
a y l a n a y o y i n i n g o g ` i r l i k m a r k a z i b i l a n u s t m a - u s t t u s h a d i . ( 1 0 1 ) g a
a s o s a n
92-rasm
X2=
2
3∗Rsin α
¿α
¿
( 101 )
A g a r α = π
2 g a t e n g b o ` l s a y a r i m d o i r a h o s i l b o ` l a d i . ( 1 0 1 ) f o r m u l a d a n
y a r i m d o i r a o g ` i r l i k m a r k a z i n i g k o o r d i n a t a n i a n i q l a y m i z .
Xc= 2
3⋅
sin π
2
π
2
⋅R= 4
3π⋅R= 4
3⋅3,14 ⋅R= 0,42 R
(102)
X
c =0,64R (y
c =0)
18

Xulosa
Jismning og‘irlik markazi — bu jismga ta’sir qiluvchi og‘irlik kuchlarining
natijaviy ta’siri bir nuqtaga yig‘ilgandek ko‘riladigan joy bo‘lib, fizikaviy jihatdan
jismning muvozanat holatini saqlashda muhim ahamiyatga ega. Har bir jismning
o‘ziga xos og‘irlik markazi mavjud bo‘lib, bu nuqta jismning geometrik shakli va
massaning taqsimotiga qarab turlicha joylashishi mumkin. Og‘irlik markazi
aniqlanganda, jismning bo‘linmalari yoki qismlarining alohida ta’sirlarini
birlashtirish va tahlil qilish imkonini beradi. Bu tushuncha nafaqat teoriyaviy
fizikada, balki amaliy sohalarda ham keng qo‘llaniladi.
Jismning og‘irlik markazining aniqlanishi eng oddiy jismlar uchun ko‘pincha
soddalashtirilgan hisob-kitoblar yordamida amalga oshirilsa, murakkab shakllar va
noaniq massa taqsimotida matematik modellar yoki tajriba asosidagi usullarni
qo‘llash zarur bo‘ladi. Misol uchun, to‘g‘ri geometrik shaklga ega bo‘lgan jismlar
uchun og‘irlik markazini topish juda oson, ammo murakkab shakllar uchun ko‘proq
ilmiy va texnik yondashuvlar talab etiladi. Bu usullar orqali jismning
bo‘linmalarining og‘irlik kuchlari bir nuqtada qanday yig‘ilishini tahlil qilish
mumkin.
Og‘irlik markazining amaliy qo‘llanilishi juda kengdir. Masalan, arxitektura va
qurilishda inshootlarning barqarorligi va mustahkamligini ta’minlashda, transport
vositalarining xavfsizligini oshirishda, samolyotlar va boshqa uchish vositalarining
konstruktsiyasini optimallashtirishda og‘irlik markazining aniqlanishi muhim rol
o‘ynaydi. Sportda esa sportchining og‘irlik markazini boshqarish qobiliyati uning
muvaffaqiyatiga ta’sir ko‘rsatadi, ayniqsa gimnastika, akrobatika va suzish kabi
turlarida.
Shuningdek, jismning og‘irlik markazi haqidagi bilimlar nafaqat ilmiy, balki
amaliy hayotda ham keng qo‘llaniladi. Bu bilimlar yordamida jismning harakatini
oldindan aytib berish, uning barqarorligini saqlash va unga tashqi kuchlarning
ta’sirini tahlil qilish mumkin. Shu bois, og‘irlik markazi konseptsiyasi ilmiy-tadqiqot
ishlari, texnikaviy loyihalar va turli qurilish ishlarida katta ahamiyatga ega.
19

Shuningdek, og‘irlik markazining aniqlanishi faqatgina mexanika sohasida
emas, balki biologiya, astronomiya va boshqa fanlarda ham muhim ahamiyatga ega.
Masalan, yerni yoki boshqa sayyoralarni o‘rganishda, ularning og‘irlik markazlarini
aniqlash orqali ularning harakatini va atrof-muhitga ta’sirini hisoblash mumkin. Bu
nuqtai nazardan, og‘irlik markazi tushunchasi fizikaviy hodisalarni yaxshiroq
tushunishga, yangi ilmiy kashfiyotlarga erishishga yordam beradi.
Shunday qilib, jismning og‘irlik markazi nafaqat jismning fizik holatini
o‘rganishda, balki uning harakatini, barqarorligini va boshqa ko‘plab fizik hodisalarni
tushunishda muhim asosiy unsur hisoblanadi. Bu tushuncha o‘zining nazariy va
amaliy ahamiyati bilan turli fan sohalarida keng qo‘llanilib, insoniyatning ilmiy va
texnik yutuqlariga hissa qo‘shadi.
20

Adabiyotlar:
1. P. Shoxaydarova, Sh. Shoziyotov, Sh. Zoirov «Nazariy mexanika» darslik.
Toshkent 1991 yil.
2. T.R. Rashidov, Sh. Shoziyotov, K.B.Muminov «Nazariy mexanika asoslari»
darslik. Toshkent 1990 y.
3. S. M. Targ «Kratkiy kurs teoreticheskoy mexanik i » «Visshaya shkola» 2002 g.
4 . I. V. Meshcherskiy. Nazariy mexanikadan masalalar to`plami. O`quv qo`llanmasi
Toshkent. 1989 y.
5. “Sbornik zadaniy dlya kursov i x rabot po teoreticheskoy mexanike ” pod redaktsiey
A. A. Yablonskogo, «Visshaya shkola», 1985 g.

21

Sotib olish